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第23講
解析幾何拋物線性質綜合
一、刻識點
1.拋物線：
(1)定義：平面內到一定點的距離等于到一條定直線（定點不在定直線上）的距離的點的軌跡為拋物
線；
(2)拋物線的標準方程及焦點位置：
①焦點在x軸正半軸：=2px(p>0),焦點坐標（號，0）：
②焦點在x軸負半軸：=-2px(p>0),焦點坐標(-號，0)：
焦點在y軸正半軸：x=2pyp>0),焦點坐標(0，)：
④焦點在y軸負半軸：x2=-2y(p>0),焦點坐標(0，-)
2.幾何性質
y=2px(p>0),過點F的直線與拋物線交于A(11)、B(x2,2)兩點，A在上方，a為直線AB傾斜
角，M是AB的中點，l是拋物線的準線，MN⊥I,N為垂足，
(1)以AB為直徑的圓與準線1相切；
(2)以AF(或BF)為直徑的圓與y軸相切；
p
A=,+號=1-cosa BF=+2=1-
2p
(4)AB|=x1十x2十p=
sin'a
(5)SaAOB-2sina
(6)設AF
BF
=則coea=
(7)設AB交準線于點P,則A
A=cos@:
BF
=cosa;
PB
(8)設BD⊥U,D為垂足，則A、O、D三點在一條直線上；
(9)h=-p,西1=
4
(10)FN⊥AB;
(11)NA(或NB)與拋物線相切；
3.題型歸納
【題型一】拋物線定義與最值
【題型二】拋物線幾何性質
【題型三】焦半徑
【題型四】焦點弦
【題型五】中點弦
【題型六】阿基米德三角形
【題型七】定值應用
【題型八】綜合
191
【題型一】拋物線定義與最值
例1.已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q(2,-1)的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最
小值時，點P的坐標為(
)
A(,-1)
B.(1)
C.(1,2)
D.(1,-2)
例2.已知，點P是拋物線C:2=4z上的動點，過點P向y軸作垂線，垂足記為點N,點M(3,4),則|PM
+PW的最小值是()
A.2W5-1
B.√5-1
C.w5+1
D.2W5+1
例3.已知雙曲線號-蘭=16>0)的右焦點到其一條漸近線的距離等于√2，拋物線y=2x(p>0)的
焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線4：4x-3g+8=0和l2:x=一3的距離之和
的最小值為()
A號
B.14
5
C.6
5
D.21
5
例4.已知拋物線C:=4x,焦點為F,點M是拋物線C上的動點，過點F作直線(a-1)x+y-2a+1=
0的垂線，垂足為P,則MF+MP的最小值為()
A.5-2
B.3-2
2
2
C.5
D.3
192第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第22講
解析幾何雙曲線性質
綜合
1【答案】2-譽=1
【詳解】由AQ的垂直平分線交直線CQ于點M,
得|MA=MQ,圓的半徑為2：
所以MC-MA‖=2跡是以C,A為焦點的雙曲線，
圖1
所以由題意的2a=2,2c=6,所以a=1,c=3→b2
連接MP,則IQMI={MPL,所以MP|+MO=
=c2-a2=8,
MQ+MO=OQ=4
又因為焦點在軸上，故所求方程為2蘭=1
則|MP|+lMO=4>lOP\=lm
放答案為：菩=1
此時M的軌跡是以O,P為焦點的橢圓！
當P在圓上時，線段PQ的中垂線交線段OQ于圓
例2.【答案】A
心O.
【詳解]雙曲線的方程為菩-蘭=1，可得。=8
當P在圓外時，設PQ與圓的另一交點為N,設點
H為弦NQ的中點，
→c=2W2,則(-2W2,0),(2W2,0),設
則OH LPQ,線段PQ的中點E在線段HP內，則
M(xo,o),不妨設點P在雙曲線的右支上，延長
線段PQ的中垂線交線段QO的延長線于點M,如
M交P于N,則N(2x+2W2,2).
圖
由題意，P=PN川，由雙曲線的定義：P
-|PF=2a=4,則N=4,于是，
圖2
V(2x+2W2-2W2)2+(20-0)2=4→6+y6=4,
即點M在以原點為圓心，2為半徑的圓上，而圓心
連接P,則IQM=MPL,所以PI-|MfO=
(0,0)到直線x+y-2W2=0的距離為：一-2W
MQ-MO=OQ=4
√2
則lP-lMO=4=2,該直線與圓相切，則點M到該直線的距離的
此時M的軌跡是以O,P為焦點的雙曲線的一支：
最大值為：2+2=4.
同理當Q在圓上運動時，還會得到{MO-P|=
故選：A.
4例3.【答案】D
所以動點M的軌跡是雙曲線，則P在圓外，所以
【詳解】當P在圓內時，設P2與圓的另一交點為
ml>r=4
N,設點H為弦NQ的中點，
故選：D
則OH⊥PQ,線段PQ的中點E在線段HQ內，則
例4.【答案】B
線段P2的中垂線交線段OQ于點M,如圖1·
【詳解因為雙曲線方程為號-品=1，故心六-9
+16=25,則其焦點為(-5,0)，(5,0)，
根據題意，作圖如下：
169
≥6，整理有e2-5e+6≥0，
所以e≥3或e≤2，
若Q到r=g的距離為d,則Q到左、右焦點的距
c
離分別為6d、ed,又Q在C的右支上，
所以6d-ed>0,則e<6,又e>1,
綜上，雙曲線的離心率的取值范圍是(1,2]U
[3,6).故答案為：(1,2]U[3,6)
則PM≤P+2,當且僅當P,M,B三點共線，
例7.【答案】C
且在P,M之間時取得等號：
【詳解】設|AB=A=x(c>0),由雙曲線的定
PN≥P-1.當且僅當P,N,三點共線，且N
義得|Bl=2x,|B=2c-2a,A=x+2a,
由BFL BE得A2=ABP+B2,.(x+2a)2=
在P,E之間時取得等號：
則-PW1≤1-P,
x2+(2x-2a)2,
故可每|PM川-PN≤3+|P-|P=3+6=
解得x=3a,所以|Bl=6a,B=4a,
在△BEE中，由勾股定理得|2=B2+|B2
9,
∴.(2c)2=(6a)2+(4a)2,
故PM1-PN的最大值為：9.
故選：B.
整理得c2=13a2,即雙曲線C的離心率e=√
例5.【答案】A
=√13，
【詳解】根據雙曲線的對稱性，僅作一條漸近線，
故選：C.
因為雙省戰C號-苦=-10>0叭，
例8【答案】D
【詳解】如圖所示，不妨設M在左支，
.a工3，
由雙曲線的定義可知，MFl-{Ml=2a=6,
MF+MN=MF+MN +6>FN+6,
當且僅當點R,M,N三點共線時，等號成立，
設右焦點為，連接M,NF,
由對稱性知四邊形MNR為平行四邊形，
由|N=2M得FM=2M,
:海近線方程為y=名x,即c-ay=0,且R(-c,
由雙曲線定義知：M-M=2a,
所以lM=2a,|M=RN=4a,
0):
因為∠MN=60°，所以∠MF=120°
此時N=C=e=b,
=
在△M中，由余弦定理得|E2=MP+|M
.AMF到+MW的最小值為b+6,
2-2M|FMcos120°，
6士6=9,6=3
即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×(-2)
所以c=√a+b=3/2
整理得c2=7a2,即a2+b2=7a2,所以b
=√6，
籬心率e=鄉=√2，
被選：A.
則C的漸近線方程為y=土名=士6c
故選：D
例6【答案】11,2]U[3,6)
【詳解】由題意，a+2≥6，即+c=e+e
例9.【答案】A
a、&
0c-a2e-1
【詳解】設A=t七，則|A=t+2a=|B,
從而B=t+4a,進而BA=4a.
170

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