資源簡介

第22講
解析幾何雙曲線性質綜合
一、知識點
1.雙曲線及其標準方程：
(1)定義：平面內與兩定點E,的距離之差的絕對值等于常數2a(0<2a<|到)的點的軌跡叫做
雙曲線，即點集M={PlPl-|Pl|=2a,0<2a<|}:
(2)雙曲線的標準方程：
①焦點在z軸上：專-
62
=1(a>0,b>0);
②焦點在y軸上：蘭-票-1a>0,6>0叭，
2.雙曲線的幾何性質
已知雙曲線方程為三-蒂=10>0,6>0)則有以下性質：
(1)范圍：x≥a,y∈R;
(2)對稱性：對稱軸方程為x=0,y=0,對稱中心為O(0,0):
(3)頂點：A(-a,0),A2(a,0),實軸長為2a,虛軸長為2b;
(4)焦點和焦距：焦點(-c,0),(c,0);焦距2c;
(5)漸近線方程：y=±名x;(6)離心率：e=合，(T)焦漸距：b
3.焦點三角形面積結論
(1)焦點三角形面積：雙曲線若-多-=1焦點為R、及，P為雙指線上的點，∠KPF=a,則5P8
b=clypl;
tan 2
(2)橢圓雙曲線共焦點三角形：橢圓和雙曲線有公共焦點，記∠FP=α時，則
sin2 d cos 2 =1.
十
e
Te
4.題型歸納
【題型一】第一定義與軌跡
【題型二】第一定義與最值
【題型三】第二定義
【題型四】焦點弦與余弦定理
【題型五】焦點三角形面積
【題型六】第三定義與中點弦
【題型七】焦漸距
【題型八】雙曲線漸近線與離心率
【題型九】綜合
181
【題型一】第一定義與軌跡
例1.己知圓C:(c+3)+y2=4及點A(3,0),Q為圓周上一點，AQ的垂直平分線交直線CQ于點M,則動
點M的軌跡方程為一
例2.設乃，乃是雙曲線x2一=4的兩個焦點，P是雙曲線上任意一點，過作∠乃P乃平分線的垂線，垂
足為M,則點M到直線x+y-2W瓦=0的距離的最大值是()
A.4
B.5
C.6
D.3
例3.已知定點P(m,0),動點Q在圓O:x2+y=16上，PQ的垂直平分線交直線OQ于M點，若動點M
的軌跡是雙曲線，則m的值可以是()
A.2
B.3
C.4
D.5
【題型二】第一定義與最值
例解設P是雙曲線號-需=1上一點，M,N分別是兩圓e-5P+=4和(e+5P+=1上的點，則
|PM-PNW的最大值為()
A.6
B.9
C.12
D.14
182
例5.已知雙曲線C苦-蘭=16>0)的左，右焦點分別為R,,點M在C的左支上，過點M作C的一
條漸近線的垂線，垂足為N,若M+MN|的最小值為9，則該雙曲線的離心率為()
A.√2
B.V3
c多
D號
【題型三】第二定義
/例6.若點P為雙曲線C:二-=1(@，6>0)上任意一點，則P滿足性質：點P到右焦點的距離與它到
直線工=二的距離之比為離心率 ，若C的右支上存在點Q,使得Q到左焦點的距離等于它到直線
=。的距離的6倍，則雙曲線的離心率的取值范圍是
【題型四】焦點弦與余弦定理
例7如圖所示，月，馬是雙曲線C若-茶=1Q>0,6>0)的左右焦點，雙魚線C的右支上存在一點B
滿足BR⊥B,BR與雙曲線C的左支的交點A平分線段BR,則雙曲線C的離心率為()
B
F2
A.3
B.2w3
C.W13
D.√15
183第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此故點B的鎖跡C的方程為蘭+苦-1g≠0，
【解析】設M(co,o)
(1)由|M引=3引MMf,得a+eo=3(a-e),即2
例5.【答案】4w2
+3
【解析】設F為橢圓右焦點，由橢圓的定義可知，
。-32-,解得4=2號，代入置
4
|PF+PF|=2a=6w2,
+廣1，得%=士.所以M點的坐標是(2，
所以|PA+|PF=PA+6W2-|PF=6w2-
(PF-PA).
(2)若∠FMF2為鈍角，由余弦定理知，|M|2
要求PA+PF的最小值，也就是求PF
+ME2-FE2<0,即(a+e)2+(a-ex)2-4c2
PA的最大值.如圖示：
<0,即(2+)'+(2-9-4×3<0，解
得-<，<
3
31
例8【答案】號
【解析】xA十xa十cc=3,
FA=a-exA FB=a-exe:FC=a-exc,
FA+FB+FCl=3a-e(xA+ZB+Zc)=2.
9
而當P,A,F共線(A在中間)時，PF\-PA最
大，此時
例9.【答案】B
PF|-|PA=AF=√22+22=2w/2,所以|PA
+|PF=6W2-2W2=4v2.
【詳解】由sin/PF風
PgF,得-
sin∠PEE=PA_
P
所以|PA+PF的最小值為4w2.
sin/PFF PE2a-PR
,得P=
故答案為：4v2
2ac
a+c
例6.【答案】A
又1Pl∈(a-c,a+c),則a-c<2aca十c
【解析】根據題意作出如圖所示的圖象，其中、
C,
是橢圓的左，右焦點，在△PM中可得：
a2-c2<2ac<(a+c)2,即e2+2e-1>0,
IPFl-1≤|PM|≤Pl+1①，
又e∈(0,1)，∴.e∈(W2-1,1)
故選：B.
例0【答案】（受]
【詳解】由題意，因為線段乃為直徑的圓與橢圓
C在第一象限相交于點A.
故半徑O>b,即c>b,且∠RA=90°，
又離心率8=%=A干A調
FE
當且僅當P、M、三點共線時，等號成立，
VAFPAF
在△PNE中可得：P到-2≤PN|≤P網+2
AF+AF
②，
VA+A-2A·A
AF+AR
當且僅當P、N、及三點共線時，等號成立，
2A·A
由①+②得：P+|P-3≤lPM|+|PW
(A+A)2
1Pl+P+3,
1
由相圖方程若+若=1可得：2=25，即6=5，
AFAF
AR
+2
由橢圓定義可得：Pl+P=2a=10,
因為|A≤2A,結合題意有1<
所以，7≤PM川+|PW≤13.
A到≤2，設
A
故選：A.
lA=t,則=
A
一？，易得對勾函
a
t+1+2
例7答案10(2，±5)2)-45<
3
3
161

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