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第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此第14講
數列通項與數列前項和
一·、知識點
1.數列求通項
(1)“等差型”：an+1一an=f(m)
(2)“等比型”：n+1=f(n)
(3)“等和型”：an+十an=f(n)
(4)“等積型”：an+'an=f(n)
(5)“構造法”：an+=can+f(n)
(6)“不動點”：a+1=
a"an十b
c·an十d
2.數列求和
(1)裂項相消法求和
(2)錯位相減法求和
3.題型型歸納
【題型一】“等差型”累加法
【題型二】“等比型”累積法
【題型三】“等和型”奇偶討論法
【題型四】“等積型”奇偶討論法
【題型五】周期數列型遞推
【題型六】構造法
【題型七】分式型求遞推
【題型八】Sn與an型：消Sm型
【題型九】S.與a型：消a型
【題型十】冪型裂項相消求和
【題型十一】指數型裂項相消
【題型十二】等差指數混合型裂項
【題型十三】裂和型裂項相消
【題型十四】高級裂項與求和
【題型十五】錯位相減型求和
109
【題型一】“等差型”累加法
例1.已知數列{an}中，已知=2，an+1-an=2m,則asn等于（)
A.2451
B.2452
C.2449
D.2450
例2.已知數列{an}滿足a =2，an+1一a=2”,則ag=（)
A.510
B.512
C.1022
D.1024
3.在數列a}中，=2，行=只+h(+》則a=（）
A.as
B.2+(n-1)lnn C.1+n+Inn
D.2n+nlnn
【題型二】“等比型”累積法
例4.已知數列{a}滿足a=分，2(n-1)a,a1=0.求數列{a}的通項公式；
110
例5.已知數列{a,}滿足a1,a=a+分+號4++nn1n>1.數列a}的通項公式
【題型三】“等和型”奇偶討論法
例6.（多選）已知數列{an}的前九項和為Sn,且a=1,an+1+am=2m則()
A.S6=18
Jn,n為奇數
B.am={n-l,n為偶數
C.數列{a}為等差數列
D.n為奇數時，S.=n+n,1
2
【題型四】“等積型”奇偶討論法
例7.（多選)已知數列{a},a1=1,aan+=2(n∈N),{an}的前n項的和為Sn,前n項的積為T,
則下列結論正確的是()
A.as=2
B.Ontl =4
C、Sn=2-1
D.T=2n(9n-1)
am-】
111
【題型五】周期數列型遞推
例8.已知數列{a}滿足a4=2,at=十g,(n∈N,則ara…ww00產一
例9.已知數列{a}滿足a.=nos號，b。=a+a+1則數列{b}的前50項和為()
A.48
B.-48
C.52
D.-52
【題型六】構造法
例10.己知數列{a,}滿足a4=2,a=2a--1(n≥2，neN),則a,=
112則oi=d+6
+3=0的距離減去半徑1，
2:
由（它-）(2-à-)=0得，(-)：
所以P@=衛-2+3
√2
-1=√2-1，
(&-8+3)=0:
所以+M的最小值為2√2-2，
2
故選：A
e-1(e-+)月
例25.【答案】√19
作OC=,連接AC,CD,則AC=&-d,D心=
【解析】結合數量積的運算律，可根據方-2=4
-a+6
求得à方=1，進而得到<à，>=哥；令à=
2；
(1,0),=(1,√3)，設=(c,),根據數量積的坐
∴.AC⊥DC;
標運算可求得點(c,y)滿足的軌跡方程，將問題轉
.C點在以AD為直徑的圓上；
化為直線x+√3y-4=0上的點P到A(-1,0)
.當C運動到圓的最右側時，OC在O店上的投影
和B(1,0)的距離之和；通過作出點A關于直線x
最大，即最大；
+√3y一4=0的對稱點AX,可知所求最小值為
又OG=OA·
|AB;利用點關于直線對稱點的求法求得A'坐標
后，即可利用兩點間距離公式得到結果，
GB=2-司
【詳解1~6-2==2，=1,6-2=
=是
-4城方+4=8-4à3=4，
又△BEH
解得：a.b=1,即2cos=1,即=
△BAG,且AE=AB,
5,
所以G=B=×=，
不妨令a=(1,0),=(1,W3),設在=(c,y),
則（在-）·i=-=心+3y-4=0,
所以O心在O麗上的最大投影為受+冬+9-
4
:E+=√e+1)2+,-=
7+2W3
8
√紅-1)+，
所以(-)x=7+28×2=7+23
則++尼-的幾何意義為：直線x+V3y-
8
4
故答案為：7+2W3
4=0上的點P到A(-1,0)和B(1,0)的距離之和，
4
即IPAL+PB:
例24.【答案】A
作出點A關于直線龍+√y-4=0的對稱點A,
【解析】設MN的中點為E,則M姬+M=
y
2P可，則由題意可得點E在以C(1,2)為圓心，1
x+3y40
為半徑的圓上，從而可得P面的最小值即為圓心
C(1,2)到直線x-y+3=0的距離減去半徑1，進
P
而可求得答案
【詳解】
由x2+2-2x-4y=0,得(x-1)2+(y-2)2=5,所
0
以圓心C(1,2),半徑r=√5，
設MN的中點為E,則N2+=2P,
因為MN=4,半徑r=√5，
所以|CE=5-4=1,
所以點E在以C(1,2)為圓心，1為半徑的圓上，
PAI=PAl,:PA+PBI=PA+PBI
所以P可的最小值即為圓心C(1,2)到直線x一y
AB(當且僅當A,P,B三點共線時取等號)，
94

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