資源簡介

第15講
數列函數性質不等式放縮
一、知識點
1.等差數列的通項公式
(1)am=a+(n-1)d;
(2)an=am+(n-m)d;
(3)an=An.+B.
2.等差數列的前n項和公式
(1)S=n(ato)
2
(2)Sn=na1
.n(n-1d:
2
(3)S=An2+Bn.
3.等差數列簡單性質
(1)等差數列中，若p+q=m+m,則有ap十a,=am十an:若2m=p十q,則有2am=ap十ag:
(2)等差數列中，Sn,Sm-Sn,Sn一S2n,.為等差數列，公差為n2d.
4.等比數列的通項公式
(1)an=a4g-1;
（2)an=amg”-m;
(3)an=cq"
5.等比數列的前n項和
na1,g=1,
na1,9=1,
na1,q=1,
(1)Sn=
a1一a
(2)Sn=
,9≠1.
a(1-q）
1-q
1-q
q≠1.
3)s={A1-q）q≠1
6.等比數列簡單性質
(1)等比數列中，若p十q=m+n,則有apag=aman,若2m=p十q,則有an=apag:
(2)等比數列中，Sn,Sn-Sn,Sn-S2m仍為等比數列.
7.題型型歸納
【題型一】等差數列函數最值
【題型二】等比數列函數最值
【題型三】添拆項裂項放縮函數最值
【題型四】添拆項放縮成等差數列函數最值
【題型五】添拆項放縮成等比數列函數最值
【題型六】利用導數研究數列“性質”
【題型七】冪型升次裂項放縮最值
【題型八】糖水不等式放縮最值
119
【題型一】等差數列函數最值
例1.（多選）數列{a}的通項為a,=31衛，它的前n項和為S,前n項積為T,則下列說法正確的
13
是()
A.數列{an}是遞減數列
B.當n=30或者n=31時，Sn有最大值
C.當n=17或者n=18時，T有最大值
D.Sn和T都沒有最小值
例2.（多選）設Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數列{an}的前n項和，則下列命題正確的是（)
A.若d<0,則S1是數列{Sn}的最大項
B.若數列{Sn}有最小項，則d>0
C.若數列{S}是遞減數列，則對任意的：n∈W,均有Sn<0
D.若對任意的n∈N,均有Sm>0,則數列{Sn}是遞增數列
例3.（多遠）設d,Sn分別為等差數列{an}的公差與前n項和，若S。=S2,則下列論斷中正確的有
()
A當n=9時，Sn取最大值
B.當n=18時，Sn=0
C.當d>0時，a6十a4z<0
D.當d<0時，la6l>a2
120第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此…d+d++止=2-合)+分-)+
an
所以會=1-是n≥2，即-=
(分-n+力=21-n+）
-2(n≥2)，所以Tn-T-1=2(n≥2).
例20.【答案1(0a=2-2)號1-2）
當n=1時，a=公所以六=1-會解得公=3，
故{T}是以3為首項，2為公差的等差數列.
【詳解】(1)解：因為Sn=2an-1,當九=1時S=2a
(2)由(1)可知，T=3+(九-1)×2=2m+1,
-1,解得a=1,
當n≥2時Sa-1=2an-1-1,所以Sn-Sn-1=2an-1
所以6=(-經產=(-1
2+品+=(-八(2n++n+s
4n+4
-(2an-1-1),即an=2an-2an-1,
所以an=2a-1,所以{an}是以1為首項，2為公比
的等比數列，所以an=2m-1.
所以3=-（號+）+（號+）-（停+局）+
2n-1
1
2由()可得6.=2-)-2-可
號+n+3=2n+g
1
4n
站》
例23.【答案】BCD
所以公=2)+站1)
【詳解】對A,由ant2=an+1十an知，{an}的前10項
依次為：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，
其中，第一二項相等，不滿足遞增性，故A錯誤；
=22+六+…+
1
1
對B,根據遞推公式an=an-1十an-2,得an十am=
=1-
am-2十am-l十an=an-2十an+1(n≥3)，故B正確；
對C,a1=2a
例21.【答案】(1)見解析(2)=2-2
ai=an (as-an)=an"as-ae"an'
+1
as=as'(as-az)=as'as-as'az,
【詳解1()由S.=na+得：當n≥2時，S
2
=(m-1(a+a-
a222=a202m*(a2023-a221）=a2022*a202s-2022'a2021'
2
絲
ai+a5+…a2=a202ae02s,即∑a=a22'a2023
兩式子相減得(m-2)an=一a1+(n-1)a-①，因
1
此可得(n-1)an+1=-a十nan②，
故C正確；
①②相減得：(2m-2)a=(n-1)am+1
對D,由遞推式，得ag-Q2=a1,a4一as=a2,…,
+(饑-1)an-1由于n-1>0,所以20n=at1
02023-2022=a2021,
+an-1'
累加得g-2十a4一9十十2023-a2022=a十a2十…
所以{an}是等差數列；
十a2021'
(2)由(1)知{an}是等差數列，=1，=2，所以
.a223-a2=a1十a2十十a2021)
.a1十a2十十a2021=a2023-a2=a2023-1,
an=n
2“(1-a2=2"(1-0）=2-2t
因此bn=
即∑a=a02s-1,故D正確；
ananti n(n+1)nn+1'
所以T=(供-》+（-》
故選：BCD.
十
例24.【答案】B
【詳解】由a+an十1=3an+1(n∈N)可得：a品+an
4n
-2=3an+1-3,
例22.【答案】(1)證明見解析（②）-12元+g
即(an+2)(an-1)=3(au+1-1)
【詳架10)由愿流得器=4≥到，又士=1
兩邊同時取倒數得：。1，
99

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