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第16講
空間幾何體截面圖形問題
一、知識點
1.定義：用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面，與幾何體表面的
交集（交線）叫做截線，與幾何體棱的交集（交點）叫做截點.用一個平面去截一個幾何體所得到的
平面圖形稱之為截面，
2.作截線與械點的主要根據有：
(1)確定平面的條件
(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線
(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內，
(4)如果一條直線平行于一個平面，經過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線
平行.
(⑤)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行；
3.作空間幾何體截面的常見方法：
(1)直接連接法：有兩點在幾何體的同一個面上，連接該兩點即為幾何體與截面的交線，找截面就
是找交線的過程；
(2)作平行線法：過直線與直線外一點作截面，若直線所在的平面與點所在的平面平行，可以通過
過點找直線的平行線找到幾何體與截面的交線：
(3)作延長線找交點法：若直線相交但是立體圖形中未體現，可通過作延長線的方法先找到交點，
然后借助交點找到截面形成的交線：
(4)輔助平面法：若三個點兩兩都不在一個側面或者底面中，則在作截面時需要作一個輔助平面，
4.常見正方體的截面情況：
銳角三角形
等腰三角形
等邊三角形
梯形
平行四邊形
菱形
矩形
任藏五邊形
任意六邊形
正六邊形
5.題型型歸納
【題型一】畫截面
【題型二】截面形狀
【題型三】哉面面積
【題型四】截面周長
【題型五】截面分兩部分體積
【題型六】與線、面平行的截面
【題型七】與直線、平面垂直的截面
127
【題型八】外接球截面
【題型九】內切球截面
【題型十】“動點”型截面
【題型十一】截面與角度
【題型十二】與截面有關的最值
【題型一】畫截面
例1.在正方形ABCD-A1BCD1中，點E,F,G,H分別在AB,BC,DD1,BC上，點
P,Q,R在平面A1C,AB,BC內，點S在正方體內部，
(1)作過E,F,G三點的截面：(2)作過E,G,H三點的截面；
(3)作過E,G,P三點的截面；(4)作過F,H,S三點的截面；
(⑤)作過P,Q,R三點的截面.
D
C
D
Ci
By
B
C
D
D
C
B
B
D
9
D
Ci
A
B1
B1
C
D
D
A
B
B
D
BL
D
B
128第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此.2Sn-1=a2-十an-1(n≥2)，
五=+++a=1-方+方方+…
11
則2an=an十a2-an-1-a2-1
.an十an-1=(an十an-i)(an-an-l),且數列{an}各
+=1-<1
項均為正數
∴.am-am-1=1,
例17.【答案】(1a,=32(Q②)證明見解析
2S=2+a1,因為a1>0,得a1=1,
【詳解】()由a+1=3a+1得a1+號=
.數列{an}是首項為1，公差為1的等差數列，
故an=n.
3a+號》又a+號-號所以{a+}是首項為
②VneN.m≥2，是=是1
1
號，公比為3的等比數列.a+方=號，因此a}
11
(n-1)n'
的通項公式為4，=3”1
2
故=+
下乏千2千話+、
+記=}++京+
（②由國知士=名因為當m≥1時，3-1≥
2x8”所以≤2X于是品+立+
1
1
+女≤1+號++=引-宗)是所以
+++女<號
n-1 n
例18.【答案】(1)a=1(2)am=3”-2"(3)證明見解析
【詳解】(1)因為a1,a2+5,a3成等差數列，所以
所以<子
2(@2+5)=a1十ag,又2Sn=an+1-2m+1+1,所以
例16.【答案】(1)證明見解析，a,=n;(2)證明見解析
2S1=a2-22+1,2S2=ag-23+1,所以2a1=a2
【分析】(1)由2Sn=nan十m,2Sn+1=(m+1)a+1十n
-3,2(a1十a2)=ag-7.
+1作差得到(m-1)an+1-na十1=0，進一步得到
2(a2十5)=a十ag
a1=1
由
2a1=a2-3
,得{a2=5,所以a1=1.
na+2-(m+1)an+1十1=0，再作差即可得到an+1
2(a十2)=ag-7
(ag=19
+an=2an+1,從而使問題得到解決：
(2)因為2Sn=an+1-2m+1+1
①
②b,=+1+a+a=二
1
所以當n≥2時，2Sn-1=an-2”+1
②
Vr(n+1)
方公行求和即可。
①-②得2an=an+1-an-2m+1+2,所以an+1=3aa
1
+兩邊同除以2得會器=號會+號，所以
【詳解】(1)2Sn=nan十n,2Sm+1=(n+1)an+:十n+
1,
2器+1=號（會+刂又由國知嘗+1=號
兩式相減：(n-1)a+1-nan+1=0①
用n+1換n,得an+2-(n十1)an+1+1=0②
(會+，數列{會+}是以號為公比的等比數
②@-①，得nan+2-2nan+i十nan=0,即an+1十a=
列，
2an+1'
所以2會+1=號·（受）=（受）”，所以a=3
所以數列{an}是等差數列，又2S1=a1十1，
-2”,即數列{an}的通項公式為an=3”-2”.
∴a1=1,a2=2,公差d=1,所以an=n.
(3)證明：因為an=3”-2"=(1+2)m-2”=C%1n,2
1
()b=-
+C41n.2+C41n-2.22+…
vanti+antivan
1
+C%1°，2"-2=1+2n+2(n2-m)=1+2m2>2m
mn+I+(n+1)n=
>2m(n-1),所以
aa+而=+普-六
1
=2<-可所
1
1
√m+i
ay
a
<1+
106

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