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第18講
空間幾何體外接球內(nèi)切球
一、知識點(diǎn)
1.單面定球心：
(1)步驟：
①定一個(gè)面外接圓圓心：選中底面△ABC,確定其外接圓圓心O(正三角形外心就是中心，直角三
角形外心在斜邊中點(diǎn)上，普通三角形用正弦定理定外心2r=品A:
②過外心O做（找）底面△ABC的垂線l,則球心一定在直線（注意不一定在線段L上）兒上；
③計(jì)算求半徑R:在直線U上取一點(diǎn)O,則OP=OA=R,利用公式OA=O1A+OO可計(jì)算出球
半徑R,
2.雙面定球心（兩次單面定球心）
(1)雙面定球心
如圖：在三棱錐P一ABC中：
①選定底面△ABC,定△ABC外接圓圓心O1
②選定面△PAB,定△PAB外接圓圓心O2
③分別過O做面ABC的垂線，和O2做面PAB的垂線，
兩垂線交點(diǎn)即為外接球球心O
(2)含二面角外接球半徑公式：2=m+n2-2 mnc0s+
sin'a
4
證明：如右圖，若空間四邊形ABCD中，
二面角C-AB-D的平面角大小為a,ABD的外接圓圓心為O1,
ABC的外接圓圓心為O2,E為公共弦AB中點(diǎn)，則∠OEO2=a,
O,E=m,OB=,AB=號，OA=R,由于0、O盡、0，四點(diǎn)共圓，
OB-2R=0O,IO.O:'=m+n-2mcosa,R-A
sina
所以R=m+mno2+景
sin'a
(特別注意當(dāng)△CAB與△ABD為一鈍和一銳角三角形時(shí)，&需要換成π一a)
3.球的內(nèi)切問題（等體積法）
在四棱錐P一ABCD中，內(nèi)切球?yàn)榍騉,求球半徑T.方法如下：
VP-ABCD-VO-ABCD+Vo-PBC+Vo-PCD+Vo-PAD+Vo-PAB
即 -AaD=方SANCO+號S+號Src+合SA+專SrAT
1
可求出r.
4.題型型歸納
【題型一】單面定球心
【題型二】雙面定球心
【題型三最值】
【題型四內(nèi)切球】
【題型五截面與球】
143
【題型一】單面定球心
例1.在四面體PABC中，PA⊥AB,PA⊥AC,∠BAC=120°，AB=AC=AP=2,則該四面體的
外接球的表面積為（)
A.12π
B.16π
C.18r
D.20π
例2.已知三棱錐P一ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=AB=√6，∠ACB=
三，則球0的體積為()
A.3
8
C.
D.9π
例3.（多選）正三棱錐S-ABC的外接球半徑為2，底面邊長為AB=3,則此三棱錐的體積為（)
A.馬3
0.273
D.33
4
B
4
2
例4.（多選）某正四棱臺的上、下底面邊長分別為32和42，若該四棱臺所有的項(xiàng)點(diǎn)均在表面積為
100r的球面上，則該四棱臺的體積可能為(）
A羅
B.
0.515
3
D.518
3
144第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應(yīng)用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當(dāng)=
3
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng)。
時(shí)滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，lnx<0,此時(shí)
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項(xiàng)，y=6sin+2sina≥2w9=6,當(dāng)
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因?yàn)?=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當(dāng)6sna=2水z即5n4=號時(shí)取=”，
所以|ab|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=√2時(shí)取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項(xiàng)，y=3+32-≥2W3=6,當(dāng)且僅當(dāng)3
對于B,因?yàn)?a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時(shí)取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(diǎn)(a,b)到直
對于D選項(xiàng)，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因?yàn)閳A心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當(dāng)且僅當(dāng)V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因?yàn)閍b|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因?yàn)閍2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時(shí)☆+內(nèi)=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導(dǎo)2]故選：BC,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因?yàn)閎≤（告≤(a,be風(fēng)，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時(shí)，c+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因?yàn)?Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=士1時(shí)取
2,
2
等號，所以C正確：因?yàn)閤2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時(shí)，等號
(e-》+子=1，設(shè)-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此則∠0PE=∠A=晉，OF∥A,B,同理易知OG
在△ADE中，由余弦定理變形得，
∥AC,
COS∠DEA=
DE2+AE-AD=
2xDEXAE
故四邊形AFOG是菱形，則∠FOG=3
(+(3-AD
:屁的長度為號×V=號，故點(diǎn)P的軌跡長
2×5×3y圓
3
2
2
度為3×號x=2x
解得AD=√6，所以AE2=DE2+AD2,所以AD
故選：A.
⊥DE;
由BC⊥AE,BC⊥OE,AEnOE=E,可得BC
例17.【答案】ACD
⊥平面AOE,
【詳解】依題意，延長正三棱臺側(cè)棱相交于點(diǎn)O,取
又ADC平面AOE,所以BC⊥AD,
BC中點(diǎn)D,
由BC⊥AD,AD⊥DE,BC∩DE=B,可得
BC中點(diǎn)E,連接AD,DE,AE,則有OA=OB=
AD⊥平面BCCB1,
OC,
因?yàn)锳P與平面BCCB所成角的正切值為√6，
所以DE的延長線必過點(diǎn)O且DE⊥BC,DE⊥
BC,
所以品=6，解得DP=1,AP=VAD+DP
過點(diǎn)D作DF∥C1C,DG∥B,B,則四邊形DFCC
=w6+1=√7，
是邊長為1的菱形。
所以點(diǎn)P在平面BC℃B,的軌跡為CE,B,G
如圖所示：
對于A:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到DC與CF的交點(diǎn)時(shí)CP有
最小值，
因?yàn)樗倪呅蜠FCC是邊長為1且∠FDC=號的
菱形，
所以DC=3,所以CP=DC-DP=√3-1，
故A選項(xiàng)正確；
對于B:要使得AP⊥BC,則點(diǎn)P必須落在
平面ADE與平面BCCB,的交線上且DP=1,
由圖易知，在平面BCCB,中不存在這樣的點(diǎn)P,
G
故B選項(xiàng)錯誤；
B
Oc
對于C:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)F時(shí)，連接AF,OF,OF
BC OC
在△0BC中，BC=
O
0G+CC,即
交BC于點(diǎn)Q,
OC
連接AQ,由于平面A1B1C∥平面ABC,
=0C+1'
所以AF∥平面AB,C,又AFC平面AFO,平面
解得OC=2,所以O(shè)C=OC+CC=2+1=3,
AFO∩平面A1BC1=A1Q,
所以△OBC為邊長為3等邊三角形，
所以AFA1Q,所以存在點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q∈BC,
所以∠DPE=∠F0C=∠0CB=子，OB=
2
使得AP∥AQ
所以DE=DFX血號=1×9=
故C選項(xiàng)正確；
2”
對于D:設(shè)CF的長度為l,則l=∠FDC×DP列
因?yàn)椤鰽BC是邊長為3的等邊三角形且E為BC
中點(diǎn)，
=系×1=號
所以AE=3y5,BC⊥AE,
動線段AP形成的曲面展開為兩個(gè)面積相等扇形，
2
設(shè)其中一個(gè)的面積為S,
在△OAE中，由余弦定理變形得，c0s∠OEA=
OE2+AE2-OA2
(3)+(3-8
則有S=號X1XAP=號×吾×v7=,
6
因此所有滿足條件的動線段AP形成的曲面面積
2×OE×AE
2×3y8×38
3
2
2
為25=2×7=7m
6
31
122

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