資源簡介

第19講
空間幾何體角度距離問題
一、知識點
1.平面的法向量：
如果表示向量元的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面α，記作元⊥L4,如果
元⊥a,那么向量充叫做平面α的法向量
(1)寫出平面內兩個不平行的向量=(1，)，=(x2,y2,22)
言方飛
(2)平面法向量花=
11
一2'西2
222
（(122一2六1，之12-221，工12-工21)；
2.空間向量可解決的立體幾何問題（用，表示直線a,b的方向向量，元，花表示平面α，B的法向量）
(1)判定類：
①線面平行：a∥b臺流H:
②線面垂直：a⊥b臺d⊥；
③面面平行：aHB臺元∥亢：
④面面垂直：a⊥B臺成⊥克；
(2)計算類：
①兩直線所成角：cos日=1cos(,兒=
a.8
閫阿
②線面角：sin0=lcos(a,)兒=
a.m
③二面角：cos6=c0s(元，)=
元抗
威威
或c0s8=-60s(杭)=-成成（視平面角與法向量夾
角關系而定)：
④點到平面距離：設A為平面α外一點，P為平面a上任意一點，則A到平面α的距離為dA-a=
A產.元
,即AP在法向量元上投影的絕對值；
材■
⑤異面直線間的距離：設兩條異面直線a、b的公垂線的方向向量為元，這時分別在α、b上任取
A、B兩點，則向量在元上的正射影長就是兩條異面直線a、b的距離、d=A店·品|=
尼，列，即兩異面直線間的距離等于兩異面直線上分別任取兩點的向量和公垂線方向向量的數
量積的絕對值與公垂線的方向向量模的比值、
3.題型型歸納
【題型一】空間幾何體位置關系
【題型二】線線角
【題型三】線面角
【題型四】二面角
【題型五】異面直線距離
【題型六】位置關系與角度綜合
151
【題型一】空間幾何體位置關系
例1.己知a、B是空間中兩個不同的平面，m、n是空間中兩條不同的直線，則下列命題中正確的是
()
A.若m∥n,nca,則ma
B.若m∥a,m∥B,則a∥B
C.若a⊥B,mCa,則m⊥B
D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,則a⊥B
例2.（多選)在正方體ABCD-A1B1C1D,中，E,F分別為AB,A1D的中點，則下列結論錯誤的是
()
A.EF∥平面BBD
B.EF∥平面BCD
C.EF⊥平面ABD
D.EF⊥平面BCD
例3.在正方體ABCD-A1BCD中，E,F分別為AB,BC的中點，則()
A.平面B,EF⊥平面BDD,
B.平面BEF⊥平面A1BD
C.平面BEF∥平面AAC
D.平面BEF∥平面A1CD
例4.（多選）在正方體ABCD-ABCD1中，點P滿足B2=BD(0≤A≤1)，則（)
A.若入=1，則AP與BD所成角為圣
B.若AP⊥BD,則A=分
C.AP∥平面BCD
D.AC⊥AP
152第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當=
3
【分析】根據基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗證可得選項。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項，當x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項，y=6sin+2sina≥2w9=6,當
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因為4=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當且僅當a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項，y=3+32-≥2W3=6,當且僅當3
對于B,因為1a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(a,b)到直
對于D選項，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因為圓心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當且僅當V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因為ab|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因為a2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導2]故選：BC,
當且僅當a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因為b≤（告≤(a,be風，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當且僅當=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當且僅當x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當且僅當a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因為(Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當且僅當x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因為x2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當且僅當a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此因為底面邊長為2√3，底面△ABC的高AN=2W5
PN,MN,如圖，
×號=3，所以Sa=壹×2W5×3=3/3,
2
因△PAB是正三角形，則PM⊥AB,又ABCD是
矩形，有MN⊥AB,而平面PAB⊥平面ABCD,
平面PAB∩平面ABCD=AB,PMC平面
PAB,MNC平面ABCD,因此PM⊥平面
所以三棱錐的體積收a0=號×方XSak心=號×
ABCD,MN⊥平面PAB,
又AD∥MN∥BC,則AD⊥平面PAB,BC⊥平
h×3v3=3,求得h=√3，
面PAB,即有AD⊥PA,BC⊥PB,
在底面△ABC中AM=號AN=2,
PM∩N=M,PM,MNC平面PMN,有AB⊥
則側棱長為PA=V+AM=√(3)+2=V7,
平面PMN,PNC平面PMN,AB⊥PN,而
每個側面的三邊長為BC=2W3,PB=PC=√7，
AB∥CD,則CD⊥PN,
則側面的高PN=√PB2-BW2=√7-3=2，
顯然△PAD蘭△PBC,由球的對稱性及四棱錐P
一ABCD的特征知，平面PMN截四棱錐P
ABCD的內切球O得截面大圓，
此圓是Rt△PMN的內切圓，切MN,PM分別于
E,F,有四邊形OEMF為正方形，
令AD=x,而PM=3,PN=√x2+9,則球半徑
=ME=號(e+3-V2+9),
所以SAr=號BC.PN=×2WB×2=2V3,所
四棱錐P-ABCD的表面積為S=SAPAB十2S△PAD
以三棱錐P-ABC的表面積為3X2W+3v=
+SABCD+SAPCD=3V3+4V3+3V2+9,
9√3.
由等積法知V=弓×93×r=3,得r=
由8w=方rS=號SPM得：2e+3-
3
v2+9)·√3(3+4x+Vx2+9)=2W/5x·3,
用一平行于底面ABC且與球O上部相切的平面
整理得：6c·(3+4x+√2+9)=12c·(x+3+
ABC截此三棱錐，下部得到一個高為2的樓
√x+9),即2x-3=V√x2+9,解得x=4,
臺，
因此，7=1，內切球的體積V=暫，二誓，四棱
3
那么截得的小棱錐P-AB'C'的高為h一2r=
錐P-ABCD體積VP-ABCD=8V5.
寫，即為P-ABC高的寧，則此小棱錐的內切球
故答案為：鈣；8W3
半徑即為球O的半徑，
例13.【答案】C
根據相似關系，截得的棱錐的體積為3×（兮）°
【分析】當平面BAC⊥平面DAC時，四面體B一
號，表面積為9B×(號)=V3,
ACD的高最大，并利用導函數討論體積的最大值，
根鋸等體積法，子×V3×R=日解得R=怎
構造長方體求外接球的半徑，利用等體積法求內切
球的半徑，進而可求解
故選：D.
【詳解】不妨設菱形的邊長為√3，AC=2x,0例12.【答案】誓83
<√5，
外接球半徑為R,內切球半徑為T,
【詳解】取AB中點M,CD中點N,連接PM,
取AC中點為O,連接OB,OD,BD,
130

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