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第20講
解析幾何之直線和圓綜合
一、知識點(diǎn)
1.直線的傾斜角
(1)定義：x軸正向與直線向上方向所成的角叫做這條直線的傾斜角，規(guī)定，直線與x軸平行或重合
的傾斜角為零度角，
(2)傾斜角的范圍為0°≤&<180°.
2.直線的斜率
(1)定義：當(dāng)a≠90°時，tana=k,當(dāng)a=90°，斜率不存在；
(2)推導(dǎo)定義：R(c,),B(,h)為直線上的兩點(diǎn)，當(dāng)工≠，k=二業(yè)，當(dāng)x=斜率不存在.
工1一T2
3.傾斜角與斜率的變化關(guān)系
(1)當(dāng)=0，k=0,直線與x軸平行或重合；
(2)當(dāng)=90°，斜率不存在，直線與x軸垂直；
(3)當(dāng)0(4)當(dāng)90°(5)直線越陡，即直線的傾斜角越接近90°，[k越大.
4.直線方程的五種形式及適用的條件
(1)點(diǎn)斜式方程：y-0=k(x-)(不含垂直于x軸的直線).
(2)斜截式方程：y=kx+b
(不含垂直于x軸的直線)，
(3)兩點(diǎn)式方程：y一絲=￠一西
(不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線).
2一1T2一T1
(④截距式方程：呂+號=1
(不包括垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線)，
(5)一般式方程：Ax+By+C=0
（A+B≠0).
5.兩直線的位置關(guān)系
方程
斜截式：y=x+b,y=kc+b
般式：Ax+By+C=0,Ac+By+C=0
相交
卡k2
A,B2-AB1≠0
垂直
kk2=-1
A1A2+BB2=0
平行
k=k2,b1≠b2
AB2-AB=0,A1C3-AC1≠0（或B,C-B2C≠0）
重合
k=k2,b1=b2
A1B2-A2B1=0,A1C-AC1=0(或B1C-BC1=0)
6.距離公式
(1)兩點(diǎn)間距離公式：BP=√(2-)2+(-)2（點(diǎn)R(1),P(x2):
(2》點(diǎn)到直線的距離公式：d=1A+B+C(點(diǎn)Pw,直線Ar+B倒+C=0):
VA+B
(3)兩平行線間的距離公式：d=
C1-C2
√A2+B2
:(平行直線l:Ax+By+C1=0,2:Ax+By+C2=0)
7.圓的方程
(1)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡.定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑
(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=m2:C(a,b)為圓心，r為半徑
159
特別地，圓心為原點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+y2=2
3)圓的-般方程：形式：2+y+Dx++F=0可變形為(e-》+W-號)=D+B2-4,
故有：（圓的判別式記為△=D2+E2-4F)
①若A>0,則表示以（號，號）為圓心，D+E-F為半徑的圓：
②若△=0，則表示一個點(diǎn)(-號-）：
③若△<0，則不表示任何圖形.
(4)二元二次方程Ax2+Bxy+C+Dx+y+F=0表示圓的條件：
①A=C≠0：②B=0:③D2+E2-4AF>0、
8.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xo0),圓C的方程為：(c-a)2+(y-b)2=r2.
(1)點(diǎn)P在圓內(nèi)臺lCPl(2)點(diǎn)P在圓上臺1CP|=r臺(-a)2+(yo-b)2=r2,
(3)點(diǎn)P在圓外臺ICP|>r(-a)2+(-b)2>r2
9.直線與圓的位置關(guān)系
判斷直線Ax+B%+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系的兩種方法：
(1)代數(shù)方法：判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組解的情況即判斷△的正負(fù)；
(2)幾何方法：比較圓心到直線的距離d與半徑r的大小.
①直線與圓相交一△>0臺d②直線與圓相切白△=0臺d=r;
③直線與圓相離臺△<0臺d>r.
10.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O的半徑為r,圓O2的半徑為r2,且兩圓圓心的距離為d
(1)兩圓外離臺d>r1十72
(2)兩圓外切臺d=T1十r2
(3)兩圓相交臺m-T2(4)兩圓內(nèi)切臺d=m1r2(r≠T2):
(5)兩圓內(nèi)含臺0≤d11.題型歸納
【題型一】直線的方程
【題型二】直線過定點(diǎn)問題
【題型三】直線的對稱
【題型四】直線與圓位置關(guān)系
【題型五】弦長與弦心距
【題型六】切線與切線長
【題型七】切點(diǎn)弦
【題型八】阿波羅尼斯圓
【題型九】米勒圓
160第01講
三種重要不等式及其
+y2=6osig+號sn9+號in8coa0=1+
應(yīng)用
有in29-30os29+號
例1.【答案】BC
=號+號i(20-晉）)∈[號，2]，所以當(dāng)=
3
【分析】根據(jù)基本不等式成立的條件“一正二定三
相等”，逐一驗(yàn)證可得選項(xiàng)。
時滿足等式，但是x2+y2>1不成立，所
3
【解析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)x∈(0,1)時，lnx<0,此時
以D錯誤
Inc+I
9
。<0,故A不正確。
故選：BC
對于B選項(xiàng)，y=6sin+2sina≥2w9=6,當(dāng)
例3.【答案】BC
【解析】對于A,因?yàn)?=a2+b2=a2+lb2≥2abl,
且僅當(dāng)6sna=2水z即5n4=號時取=”，
所以|ab|≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=√2時取等，故
A錯誤；
故B正確。
對于C選項(xiàng)，y=3+32-≥2W3=6,當(dāng)且僅當(dāng)3
對于B,因?yàn)?a+l≤22，即la+bl≤2，
√2
=32,即c=1時取“=”，故C正確，
可看作部分圓x2+2=4(xy≠0)上的點(diǎn)(a,b)到直
對于D選項(xiàng)，y=+6+9=V+16+
線x+y=0的距離不大于2，
W2+16
因?yàn)閳A心(0,0)在直線x+y=0上，半徑為2，故
9≥2W9=6,
√x2+16
la+1≤2恒成立，故B正確；
當(dāng)且僅當(dāng)V+16=9云，即2=-7無解，故
√2
√x2+16
對于C,因?yàn)閍b|≤2，所以log2la+log2lb=log2
D不正確.
|abl≤1og22=1,故C正確；
故選：BC.
對于D,因?yàn)閍2+b2=4,a∈R,b∈R,且ab≠0，令
例2.【答案】BC
a=b=反，此時☆+內(nèi)=>1，
【解析】方法1：(x+y)2-3y=1,(x+y)2-1=
故D錯誤.
3y≤3（巴），解得-2≤+y<2,
故選：BC
另一方面，2+-1=y≤女，解得2+≤
例4.【答案】ABD
2
【解析】對于A,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1
2.
1-y=+≥2，解得-3≤y≤1，所以
=2@-2+2≥
+=1+∈[導(dǎo)2]故選：BC,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時，等號成立，故A正確，
對于B,a-b=2a-1>-1,所以2-t>21=
方法2：因?yàn)閎≤（告≤(a,be風(fēng)，由
21
故B正確；
x2+y2-y=1可變形為，(c+y)2-1=3y≤
3(色告，解得-2≤+y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)=y
對于C,1oga+logb=l1ogab≤1og,(2)°-
10ge4=-2,
-1時，c+y=-2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時，x十y=
2,所以A錯誤，B正確：
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時，等號成立，故C不正確：
由x2+y2-y=1可變形為(2+y)-1=cy≤
對于D,因?yàn)?Wa+√D2=1+2Wab≤1+a+b=
0,解得2+2≤2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=士1時取
2,
2
等號，所以C正確：因?yàn)閤2+-y=1變形可得
所以Va+6≤V2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=號時，等號
(e-》+子=1，設(shè)-號=os9,9y
成立，故D正確；故選：ABD
例5.【答案】ACD
sin9,所以x=cos0+1
n,y=goin6,因此角A一1一E的平面角，由對稱性可知：此角即為二
-BD-C,
D
面廓A一2一岔的平面角的最大值，且∠AOE=
因?yàn)锽C⊥面AD1
2∠AOP,其中OP=2,由勾股定理得：AO=
BC,AC⊥面BDB,
A
、AP0P=I,所以cos∠40P=O2
D,
·AO
所以AC,BC的所
2=42I.則oos∠A0B=2cos'∠A0P-1
27
21
成角大小為二面角
2
B-BD-C大小，
=貴
因?yàn)椤螧,CA=60°，
故選：B
所以面α與面B所成銳二面角大小為60°.
故選：C
例13.【答案】C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：解決本題的關(guān)鍵在于說明平
【分新】設(shè)平面a與面BCD所成的二面角為9，二
面α經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面積最大
面角C-BD-C為7，分9E(x,]和8∈(0,7]
時，平面a與面BDBD重合，考查了分類討論思
兩種情況討論，證明平面α經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方
想和極限思想
體所得截面面積最大時，平面α與面BDBD1重
例14.【答案】ABD
合，從而可得出答案
【分析】利用異面直線的定義判斷選項(xiàng)AB,求出異
【詳解平面α經(jīng)過點(diǎn)B、D且截正方體所得截面面
面直線BD與CD的距離為2，即可判斷選項(xiàng)C,
積最大時，平面a與面BDBD重合，
把異面直線BD與CD的距離轉(zhuǎn)化為CD到平面
證暖：設(shè)平面a與面BCD所成的二面角為0，二面
ABD的距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到平面ABD1的距
角C-BD-C為Y
離，再利用等體積法求解判斷！
當(dāng)9∈(，]時，記平面α截正方體所得截面為面
【詳解】如圖所示，AA與BD1是異面直線，AB,與
CE
BDEF.CD,
D
BD1是異面直線，所以選項(xiàng)AB正確；
由正方體得DD⊥平面ABCD1,所以DD1⊥B
CF
a=AA∈(0,1]
D,又DD⊥CD,所以DD是異面直線BD1與
CD的公垂線段，又DD=2,所以異面直線BD
AB=1,
與CD的距離為2，所以選項(xiàng)C錯誤；
則Sam=21+)
D
因?yàn)镃D∥AB,CD4平面ABD,BD,C平面
W-28+3=
ABD1,所以CD∥平面ABD,所以CD到平面
8
ABD的距離就是異面直線BD1與CD的距離，即
匠-+21+那，
點(diǎn)D到平面ABD的距離就是異面直線BD1與
令A(yù)》=(2-1)2+2(1十λ)2，
CD的距離.設(shè)距離為h,由題得AD=√2+1=
因?yàn)锳)=4(a+1)>0,所以h()max=h(1)=2,
V5,因?yàn)閍-Aao=W-Aa ，合·3×2X1X2=
(SPBo)mx=S5DaD=√2，
當(dāng)臺E(0,y]時，顯然平面a截正方體所得截面面
號分×2xV5×hh=號5.所以異面直線
積最大時，
BD,與CD的距離為25，所以選項(xiàng)D正確。
5
藏面為面CBD,Sc=
2,
故選：ABD
當(dāng)B=0時，平面x截正方體所得截面為ABCD,
0
C
SABCDF 1
所以平面藏正方體所得截面面積最大時截面為
面BDBD,
4
同理平面饣過A、D,時，截正方體所得截面面積最
大時藏面為面AD,BC,
連援BD,AC,BC,面a與面B所成銳二面角為B
144

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