資源簡介

13.4 課題學習 最短路徑問題
教學目標
1.目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用；感悟轉化思想.
2.能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“連點之間，線段最短”問題；在探索最算路徑的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想.
重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“連點之間，線段最短”問題
難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題
教學過程
教學內容與教師活動 學生活動 設計意圖
一、創設情景 引入課題師：前面我們研究過一些關于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．現實生活中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將利用數學知識探究數學史中著名的“將軍飲馬問題”． （板書）課題 學生思考教師展示問題，并觀察圖片，獲得感性認識. 從生活中問題出發，喚起學生的學習興趣及探索欲望.
二、自主探究 合作交流 建構新知追問1：觀察思考，抽象為數學問題　這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 活動1：思考畫圖、得出數學問題將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線． 追問2　你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數學問題嗎？ 師生活動：學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識：（1）從A 地出發，到河邊l 飲馬，然后到B 地； （2）在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地到飲馬地點，再回到B 地的路程之和；（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點．設C 為直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小（如圖）． 強調：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”活動2：嘗試解決數學問題問題2 ： 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB 的和最小？ 追問1　你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條件的點B′嗎？ 　問題3 如圖，點A，B 在直線l 的同側，點C 是直線上的一個動點，當點C 在l 的什么位置時，AC 與CB的和最小？師生活動：學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補充如果學生有困難，教師可作如下提示作法：（1）作點B 關于直線l 的對稱點B′；（2）連接AB′，與直線l 相交于點C，則點C 即為所求． 如圖所示：問題3　你能用所學的知識證明AC +BC最短嗎？ 教師展示：證明：如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），連接AC′，BC′，B′C′． 由軸對稱的性質知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′．方法提煉：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”.問題4練習　如圖，一個旅游船從大橋AB 的P 處前往山腳下的Q 處接游客，然后將游客送往河岸BC 上，再返回P 處，請畫出旅游船的最短路徑． 基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接PQ，線段PQ 為旅游船最短路徑中的必經線路．將河岸抽象為一條直線BC，這樣問題就轉化為“點P，Q 在直線BC 的同側，如何在BC上找到一點R，使PR與QR 的和最小”． 問題5 造橋選址問題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋MN.喬早在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）思維分析：1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？2、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維點撥：改變AM+MN+BN的前提下把橋轉化到一側呢？什么圖形變換能幫助我們呢？（估計有以下方法）1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.教師：上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢？請檢驗.1、2兩種方法改變了.怎樣調整呢？把A或B分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢 問題解決：如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短. 理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１. 由平移性質可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１. AM+MN+BN轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１　轉化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN 如圖所示：方法提煉：將最短路徑問題轉化為“線段和最小問題” 動手畫直線觀察口答動手連線觀察口答獨立思考合作交流匯報交流成果，書寫理由.思考感悟活動1中的將軍飲馬問題，把剛學過的方法經驗遷移過來學生獨立完成，集體訂正學生獨立完成，集體訂正互相交流解題經驗獨立完成，交流經驗觀察思考，動手畫圖，用軸對稱知識進行解決各抒己見合作與交流交流體會 為學生提供參與數學活動的生活情境，培養學生的把生活問題轉化為數學問題的能力.經歷觀察-畫圖-說理等活動，感受幾何的研究方法，培養學生的邏輯思考能力.達到軸對稱知識的學以致用注意問題解決方法的小結：抓對稱性來解決及時進行學法指導，注重方法規律的提煉總結.學以致用，及時鞏固注意問題解決方法的小結：抓軸對稱來解決經歷觀察-畫圖-說理等活動，感受幾何的研究方法，培養學生的邏輯思考能力.提煉思想方法：軸對稱，線段和最短體會轉化思想，體驗軸對稱知識的應用動手體驗動手作圖體驗轉化思想
教學內容與教師活動 學生活動 設計意圖
三、鞏固訓練1、最短路徑問題(1)求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l異側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時點C是直線l與AB的交點．(2)求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求．如圖所示，點A，B分別是直線l同側的兩個點，在l上找一個點C，使CA＋CB最短，這時先作點B關于直線l的對稱點B′，則點C是直線l與AB′的交點．2.A和B兩地之間有兩條河，現要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．橋MN和PQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線段最短”解決問題，只有利用平移變換轉移到兩側或同一側先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移到A點處、都平移到B點處、MN平移到A點處，PQ平移到B點處 學生獨立思考解決問題獨立思考，合作交流. 鞏固所學知識，增強學生應用知識的能力，滲透轉化思想.提煉方法，為課本例題奠定基礎.
四、反思小結 布置作業小結反思 （1）本節課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？解決問題中，我們應用了哪些數學思想方法？你還有哪些收獲？ 作業布置、課后延伸必做題：課本P93-15題；選做題：生活中，你發現那些需要用到本課知識解決的最短路徑問題 自由發言,相互借鑒.自我評價. 總結回顧學習內容，幫助學生歸納反思所學知識及思想方法.關注學生的個體差異.
板書設計：
B
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。A
l
l
A
B′
C
B
B
。
。A
l
B
l
A
C
B′
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C
A
B
B
l
A
B′
C
C′
A
B
C
P
Q
山
河岸
大橋
B
A
B
A
Ｍ
Ｎ
B
A
A1
N
Ｎ１
Ｍ１
M
13.4 最短路徑問題
兩點的所有連線中，線段最短”、
“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題．
方法提煉：
將最短路徑問題轉化為“線段和最小問題”

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