資源簡介

教案標題：冪函數
【教學目標】
1.了解冪函數的概念,會畫出冪函數,,,,的圖象,根據上述冪函數的圖象,了解冪函數的變化規律和性質.
2.了解幾個常見的冪函數的性質,會用它們的單調性比較兩個底數不同而指數相同的指數式值的大小.
3.進一步加深學生對研究函數性質的基本方法和流程的體驗，培養學生的觀察、分析、歸納能力，了解“類比”、“特殊到一般”、“數形結合”等思想方法在研究問題中的作用.
【教學重點】從具體冪函數歸納冪函數概念、圖象及性質.
【教學難點】運用數形結合思想歸納冪函數的性質.
【教學方法】自主學習與探究學習相結合
【教學手段】多媒體輔助教學
【核心素養】數學抽象、直觀想象、邏輯推理
【教學過程】
創設情境，引入課題
我們先看下面幾個生活實際問題：
1.如果某人購買了每千克1元的蔬菜千克，則需要的錢數為 元；
2.如果某正方形的邊長為，則面積為 ；
3.如果某正方體的棱長為，則體積為 ；
4.如果某正方形的面積為，則邊長為 ；
5.如果某人秒內騎車行進了1公里，騎車的速度為公里／秒，那么 ；
問題：上述函數解析式有什么共同特征？
預案：
〖設計意圖〗由生活實際問題入手，從熟悉的情景引入，激發學生學習興趣，符合學生認知特點.
形成概念,探索性質
冪函數的概念：形如的函數叫做冪函數，其中是自變量，且
問題1：判斷下列函數中哪些是冪函數？
① ②
③ ④
〖設計意圖〗鞏固概念，強化學生對概念形式特征的把握，總結冪函數的特征：整體為冪，變量在底，系數為1.同時調動學生思考問題的積極性，培養學生的創造性思維.
1.借助圖象，直觀感知
下面我們通過舉例來研究這類函數的一些性質，
探究1：在同一坐標系內作出冪函數，，，的圖象；
探究2：在同一坐標系內作出冪函數和的圖象；
探究3：在同一坐標系內作出冪函數和的圖象；
〖設計意圖〗學生描點法作圖，最后教師用幾何畫板展示，動態演示值變化時冪函數圖象的變化，引導學生觀察圖象，歸納概括冪函數的圖象變化規律及性質.
總結冪函數的性質：
⑴所有的冪函數在都有定義，并且圖象都過點；
⑵當時，圖象都過點和且在上是增函數；
⑶當時，圖象過點且在上是減函數；
2.探究規律，理性認識
問題：冪函數圖象在四個象限分布情況如何，為什么會有這樣的分布？
留給學生充足的時間觀察函數圖象并進行思考.
預設：第一象限一定有冪函數的圖象；第四象限一定沒有冪函數的圖象；而第二、三象限也可能沒有圖象. 當時，不論取何值，函數值都不可能為負值.所以第四象限無函數圖象.
問題：冪函數，，與的圖象有何不同？
預設：當時，，冪函數的圖象都在軸的下方，形狀向下凸，越大，下凸的程度越大；當時，，冪函數的圖象都在軸的上方，形狀向上凸，越小，上凸的程度越大.
〖設計意圖〗通過微問題鏈訓練學生的觀察能力和語言敘述能力，再次體會冪指數的不同情況對冪函數單調性的影響.
掌握證法，適當延展
例比較下列兩個代數式值的大小：
⑴
⑵
⑶
⑷
解：⑴可看作冪函數的兩個函數值.該函數在上遞增，由于底數，所以.
⑵可看作冪函數的兩個函數值.該函數在上遞增，由于底數，所以.
⑶因為，可看作冪函數的兩個函數值.該函數在上遞增，由于，所以.
⑷可看作冪函數的兩個函數值.該函數在上遞減，由于，所以.
〖設計意圖〗訓練學生用冪函數的性質進行比較兩個代數式值的大小，利用冪函數的單調性，通過自變量的大小關系可以判斷相應函數值的大小關系.強化學生的邏輯推理、構造意識等.
例討論函數的定義域、奇偶性，作出它的圖象并說明函數的單調性.
分析：在函數解析式中含有分數指數時，可以把它們的解析式化成根式，根據“偶次根號下非負”這一條件來求出對應函數的定義域；當函數解析式的冪指數為負數時，根據負指數冪的意義將其轉化為分式形式，根據分式的分母不能為0這一限制條件來求出對應函數的定義域.
拓展：若，試求實數的取值范圍.
〖設計意圖〗留給學生自己探索的空間，讓每個學生都經歷探索的過程．讓每個學生根據自己的體驗，用自己的思維方式自由地、開放地去探索、發現、創造，使學生探究問題落在實處.
四、歸納小結，提高認識
1.冪函數的概念，幾個簡單的冪函數的圖象，冪函數圖象的變化規律和性質；
2.思想方法方面：
數形結合
由特殊到一般
3.作業
求函數的定義域，并指出函數的單調區間.

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