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第五章 三角函數
5.4.3正切函數的性質與圖象
1.理解并掌握正切函數的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調性，培養數學抽象的核心素養；
2.會利用正切線及正切函數的性質作正切函數的圖象，提升直觀想象的核心素養；
3.能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題，提升數學運算的核心素養
重點：正切函數的周期性、定義域、值域、奇偶性和單調性 .
難點：能夠應用正切函數的圖象和性質解決相關問題．
（一）創設情境
情境：孔子東游，見兩小兒辯斗，問其故.
一兒曰：“我以日始出時去人近，而日中時遠也?！?br/>一兒曰：“日初出大如車蓋。及日中，則如盤盂，此不為遠者小而近者大乎？”
一兒曰：“日初出滄滄涼涼，及其日中如探湯，此不為近者熱而遠者涼乎？” 孔子不能決也。兩小兒笑曰：“孰為汝多知乎？”
事實上，中午的氣溫較早晨高，主要原因是早晨太陽斜射大地，中午太陽直射大地.在相同的時間、相等的面積里，物體在直射狀態下吸收的熱量多，這就涉及太陽光和地面的角度問題.
研究太陽光和地面的角度問題常常用到那個函數的性質與圖象呢？
答：正切函數.
回顧：結合所學，你能說出正弦函數（余弦函數）的圖象與性質的研究過程嗎？
答：作函數圖象→根據圖象研究性質
y=sin x，x∈[0，2π]→y=sin x，x∈R→正弦函數的性質
根據研究正弦函數和余弦函數的經驗，你認為應該如何研究正切函數的圖象和性質？
答：正切函數的定義→部分性質→圖象
研究圖象→正切函數的性質
設計意圖：通過重溫“正弦函數的圖象”，類比得出探索正切函數的圖象與性質的可能思路：思考正切函數的部分性質（定義域和周期性），借助單位圓作出一個周期內的。第二步，根據圖象探索新的性質.
探究新知
任務1：探索正切函數的周期性、奇偶性
思考：根據已有的知識準備，你能得到正切函數的哪些性質？
要求：
1.先獨立思考2分鐘；
2.小組內交流討論；
3.以小組為單位進行展示匯報.
答：定義域：
周期性：由誘導公式且可知：
正切函數是周期函數，周期是π；
奇偶性：由誘導公式且可知，
正切函數有奇偶性，是奇函數.
師生活動：通過回顧誘導公式，引導學生歸納正切函數的周期性與奇偶性．
設計意圖：通過對已有的知識進行回顧，探究正切函數的性質，并為利用這些性質畫出正切函數的圖象作出鋪墊．
任務2：探索正切函數的圖象
探究：如何畫出函數, ∈ 的圖象的圖象？
答：設∈ ，在直角坐標系中畫出角的終邊與單位圓的交點B（, ）過點B作軸的垂線，垂足為M；過點作軸的垂線與角的終邊交于點，則
；由此可見，當∈ 時，線段AT的長度就是相應角的正切值．我們可以利用線段AT畫出函數, ∈ 的圖象.
如圖所示：
當∈ 時，
1.隨著x的增大，線段AT的長度也在增大
2.且當x趨向于時AT的長度趨向于無窮大
3.函數, ∈的圖象從左向右呈不斷上升趨勢，且向右上方無限逼近直線 x =.
師生活動：學生觀察圖象，討論交流.
思考：你能借助以上的結論，并根據正切函數的性質，畫出正切函數的圖象嗎？
答：根據正切函數是奇函數，只要畫出, ∈的圖象關于原點的對稱圖形，就可得到, 的圖象.
借助正切函數的周期性，只要把函數, 的圖象向左、右平移，每次平移π個單位，就可得到函數的圖象.
思考：類比五點法作圖，正切函數的圖象是否也能抓住幾個關鍵點？
答：“三點”：
“兩線”：直線
師生活動：引導學生觀察總結圖象特征：正切曲線是由相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組成，每支曲線向上、向下可無限接近相應的兩條直線。
設計意圖：培養學生的總結歸納能力．
任務3：探索正切函數的單調性與值域
做一做：觀察正切函數的圖象，完成下列填空.
函數
單調性 上都是單調遞增
值域 R
總結：正切曲線是由被與y軸平行的一系列直線 所隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的，圖象無限接近這些直線但永不相交.
思考：正切函數在在整個定義域內是增函數嗎？
正切函數在每一個區間上都單調遞增；但是在整個定義域上不是增函數.
總結：
解析式 y=tanx
圖象
定義域
值域 R
周期
奇偶性 奇函數
對稱性 對稱中心：
單調性 在開區間內都是增函數
設計意圖：通過對正切函數圖象的分析，歸納總結單調性和最值，使學生理解正切函數的性質，突破難點．發展學生直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養．
任務4：探索正切函數的對稱性
探究：正切函數是奇函數，而奇函數的圖象關于原點對稱，除了原點之外，正切函數還有其它的對稱中心嗎？有沒有對稱軸？
師生活動：學生觀察正切函數的圖象，分組討論，共同歸納總結.
總結：正切函數的對稱中心是；無對稱軸.
設計意圖：學生通過觀察正切函數的圖象，嘗試總結正切函數的對稱性，培養學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養，同時培養他們的團隊合作意識.
（三）應用舉例
例1求函數的定義域．
解：由，得，
所以函數的定義域為.
總結：函數的定義域是
設計意圖：通過例1的鞏固訓練，讓學生加深對正切函數定義域的理解.并掌握“整體代換”思想.
例2 求函數的值域.
解：由題意，得，
因為，
所以，
所以原函數的值域為.
總結：
1.求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tanx有意義，即，(k∈)，而對于構建的三角函數不等式，常利用三角函數的圖象求解．
2.求解與正切函數有關的函數的值域時，要注意函數的定義域，在定義域內求值域；對于求由正切函數復合而成的函數的值域時，常利用換元法，但要注意新“元”的范圍．
例3 比較大?。簍an1與tan4．
解：因為，
因為，
且y＝tanx在區間 上單調遞增
所以，，
即，.
師生活動：師生共同分析此問題，然后共同完成求解．
設計意圖：初步應用正切函數的單調性解決比較大小的問題．
總結：運用正切函數單調性比較大小時，先把各角轉化到同一個單調區間內，再運用單調性比較大小.
例4 求函數的定義域、周期及單調區間．
分析：利用正切函數的性質，通過代數變形可以得出相應的結論.
解：自變量的取值應滿足;
+；即+2
所以，函數的定義域是
設z=，又，
所以=
即 =
因為,
都有=
所以，函數的周期為2．
由
解得
因此，函數在區間(, ), k∈, 上單調遞增．
設計意圖：通過對典型問題的分析解決，提高學生對函數性質的理解。發展學生數學建模、邏輯推理，直觀想象、數學抽象、數學運算等核心素養.
（四）課堂練習
1.函數的圖象上的相鄰兩支曲線截直線所得的線段長為，則的值是 ( )
A. B. C. D.
解：的圖象的相鄰兩支截直線所得的線段長度為函數的最小正周期，
所以該函數的周期是，
，
解得，
故選C．
2.若函數的圖象與直線沒有交點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
解：函數的圖象與直線沒有交點．
若函數的圖象與直線沒有交點，
則，，又，
則的最小值為．
故選：．
3.已知函數，下列結論正確的是( )
A. 函數恒滿足
B. 直線為函數圖象的一條對稱軸
C. 點是函數圖象的一個對稱中心
D. 函數在上單調遞增
解：對于，根據正切型函數的周期公式，的最小正周期為，A正確；
對于，正切型函數無對稱軸，B錯誤；
對于，由，所以點是函數圖象的一個對稱中心，C正確；
對于，區間的長度為，而的最小正周期為，故在該區間上不可能單調遞增，D錯誤．
故選AC．
4.已知函數．
求的最小正周期和單調遞減區間；
試比較與的大小．
解：函數，
所以最小正周期．
由，，
解得，
單調遞減區間為，．
因為，
又，函數在上單調遞減，
所以，即．
5.設函數．
求函數的定義域、最小正周期．
求不等式的解集．
解：對于函數，
由，，解得，，
所以函數的定義域為，
函數的最小正周期；
由不等式，得，，
解得，，
所以不等式的解集為．
設計意圖：通過課堂練習，鞏固本節所學知識，鞏固對正切函數圖象與性質的理解，增強學生的直觀想象、數學抽象、數學運算、邏輯推理的核心素養.
（五）歸納總結
通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？

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