資源簡介

第五章 三角函數
5.4.2正弦函數、余弦函數的性質
第1課時
1.類比指對數函數、冪函數的研究方法，通過觀察、探究正余弦函數的圖象得到正余弦函數的性質：通過直觀感知——操作確認——嚴格證明的認識方法體會正余弦函數的周期性“周而復始”的特點，然后從周期性出發，探究奇偶性、對稱性.
2.初步掌握用正余弦函數的性質來簡化正余弦函數的研究過程，并靈活應用.通過觀察圖象、誘導公式恒等變形等數形結合的手段，培養學生自主探究和邏輯思維、體會整體代換（換元法）的精妙之處.
重點：結合圖象探究、理解正余弦函數的周期性、奇偶性與對稱性.
難點：理解周期函數的意義、最小正周期的意義．
（一）創設情境
情境：你能舉出生活中的周而復始，循環往復現象嗎？
我們稱這種周而復始，循環往復的變化規律為周期性，那么正弦函數、余弦函數是否有這樣的周期性呢
設計意圖：從生活中的簡單例子引入本節新課，讓學生意識到數學與生活息息相關，培養學生學習數學的興趣.
（二）探究新知
任務1：了解正弦函數、余弦函數的周期性
思考：回憶正弦函數（余弦函數）圖象的作圖順序，我們先畫哪個區間的圖象？為什么？
答：先畫區間[0，2π]上的圖象，再畫整個定義域的圖象.
思考：由誘導公式一： .結合正(余)弦曲線，可以看出正(余)弦函數怎樣的特征 圖象變化趨勢是怎樣的
師生活動：教師利用多媒體演示圖片，以正弦函數為例，在以2π長度的區間內的一段函數圖象在整個定義域區間內“平移”得到整個正弦函數.也就是說：每隔2π個單位長度，函數值就一樣（即縱坐標相同的點）.同學不難發現，這一點可以從定義中看出，也能從誘導公式中得到反映，即自變量的值增加2π整數倍時所對應的函數值，與x所對應的函數值相等.即()
設計意圖：通過觀察圖象，從“形”上對周期性有初步了解，再通過誘導公式1定性的分析函數的周期性，歸納總結確定周期函數的對應法則滿足的條件.這樣從“形”到“數”為周期性定義的給出做好鋪墊.
形成概念：一般地，設函數f(x)的定義域為D.如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫作這個函數的周期．
師生活動：學生觀察正弦函數圖象，教師引導學生得到2π就是它一個周期.同理請學生思考余弦函數的一個周期可以是多少，選派學生代表來回答.
注意：周期函數的周期不止一個.如：以及 都是正弦函數的周期；
事實上且 常數 2kπ 都是它的周期.
如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期.
設計意圖：最小正周期的介紹是在學生對周期函數有一個初步認識的基礎上，一切水到渠成．
總結：正弦函數是周期函數，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
類似地，余弦函數是周期函數，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
思考：，
那么是正弦函數的一個周期嗎？為什么？
答：不是，因為當時，，
所以，不是正弦函數的一個周期.
設計意圖：高一的學生對于“任意”“存在”的理解是比較困難的，教學中讓更多的學生參與概念的生成過程，讓學生提出想法，并讓學生辨析這個想法是否科學.充分認識概念中提到的關鍵條件，特別是對“任意”二字的理解.
思考：如果函數f(x)的周期為T，那么2T是不是它的周期？3T、4T呢？你能發現什么規律嗎？
答：2T是它的周期，3T、4T也是它的周期，kT(k∈Z且k≠0)都是函數的周期．
思考：一個周期函數的周期有多少個？周期函數的圖象具有什么特征？
答：有無數個，周期函數的圖象周期性重復出現.
設計意圖：通過對函數周期不唯一性的探究，讓學生認識到函數的周期不止一個，它們有無數個周期，周期函數的圖象周期性重復出現.
任務2：探索正弦函數、余弦函數的奇偶性
探究：仔細觀察正弦、余弦函數的圖象，說說它們分別關于什么對稱？
答：正弦曲線關于原點O對稱，所以正弦函數是奇函數；
余弦曲線關于y軸對稱，所以余弦函數是偶函數.
思考：如何從代數角度證明正弦函數、余弦函數的奇偶性？
證明：函數定義域為
為奇函數.
函數定義域為
為偶函數.
總結：正弦函數是奇函數，余弦函數是偶函數.
設計意圖：從幾何與代數的角度，分別探究正弦函數與余弦函數的奇偶性，加深學生對正余弦函數奇偶性的理解.
任務3. 探索正弦函數、余弦函數的對稱性.
探究：容易知道，正弦函數是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心.除原點外，正弦曲線還有其他的對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經學過的正弦函數性質解釋上述現象嗎？對余弦函數，討論上述同樣的問題.
答：正弦曲線的對稱中心；對稱軸
余弦曲線的對稱中心；對稱軸
師生活動：學生通過觀察圖象先獨立思考，再小組討論教師適時點撥，共同總結歸納.
設計意圖：學生通過觀察正弦函數、余弦函數的圖象，嘗試總結對稱性，培養學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象、等核心素養，同時培養他們的團隊合作意識.
（三）應用舉例
例1求下列函數的周期：
，x
f(x)=cos2x，x
解：（1）任意 x∈，有 3(x+ 2π ) = 3x ，
由周期函數的定義可知，y = 3x，x∈的最小正周期為2π ；
(2)令 z = 2x，由 x∈，得 z∈，且 y=cosz的周期為2π；
由周期函數定義知，的周期為π；
（3）令，由 ，得 ，且 的周期為即周期為2π；
即：
所以，.
由周期函數的定義知，原函數的周期為 4π .
設計意圖：通過例1的鞏固訓練，讓學生加深對周期概念的理解.并通過運用周期定義的證明來訓練同學們的邏輯推理素養.
總結：
1.形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常數， A≠0，ω≠0)的函數的周期為
2.正弦函數、余弦函數的周期性，實質上是由終邊相同角所具有的周期性決定的.
設計意圖：推導出三角函數模型的周期，讓學生明確只有ω對周期產生影響，培養學生由特殊到一般的歸納能力，以及嚴密地邏輯推理能力.
總結：對周期函數中“周期” 理解
自變量x本身加的常數才是最小正周期；即f (2x+T)= f (2x)中T不是最小正周期；如：f (2x+T)= f [2(x+)]=f (2x)，即 才是最小正周期.
② 周期函數的周期不唯一；若T是函數f (x)的最小正周期，則kT (k∈Z且k ≠ 0) 也是函數f (x)的周期；
③ 不是所有的周期函數都有最小正周期；對于函數f(x)=c (c為常數，x∈R)所有非零實數T都是它的周期，故最小正周期是不存在的，所以常數函數沒有最小正周期.
例2 判斷下列函數的奇偶性，并說明理由.
（1）y = 2sinx，x∈[0，2π]； （2）y = 1 – cosx，x∈R；
（3）y = x + sinx，x∈R； （4）y = – sinx·cosx，x∈R.
解：（1）定義域關于原點不對稱，所以函數 y = 2sinx，x∈[0，2π] 無奇偶性；
（2）定義域關于原點對稱，又 y = f (x)且f (– x) = 1 – cosx = f (x)；偶函數；
（3）定義域關于原點對稱，又 f (– x) = – x – sinx = – f (x)；奇函數；
（4）定義域關于原點對稱，又 f (– x) = sinx · cosx = – f (x)；奇函數.
總結：
1.判斷函數奇偶性應把握好的兩個方面：
一看函數的定義域是否關于原點對稱；二看f (x)與f (-x)的關系.
2.對于三角函數奇偶性的判斷，有時可根據誘導公式先將函數式化簡后再判斷.
設計意圖：鞏固學生對奇偶性的理解.
例3 已知函數，則下列說法正確的是（ ）
A.圖象關于點對稱 B.圖象關于點對稱
C.圖象關于直線對稱 D.圖象關于直線對稱
解：由題可得，設，解得，
所以函數f(x)的對稱中心為.
設，解得，
所以函數f(x)的對稱軸為.
通過對比選項可知，f(x)的圖象關于點對稱.
故選B.
設計意圖：加深學生對正弦函數、余弦函數的對稱性的理解，突出重點.
例4 定義在R上的函數f(x)既是偶函數，又是周期函數，若f(x)的最小正周期是π，且當時，f(x)=sin x，則等于（ ）.
A. B. C. D.
解：
故選D.
設計意圖：在掌握正弦函數與余弦函數的周期性與奇偶性基礎上，靈活運用，考查學生的融會貫通情況和綜合素養.
（四）課堂練習
1.已知直線和都是函數圖象的對稱軸，則的解析式可能為( )
A. B.
C. D.
解：由題可知，當或時，取得最值，
對于選項對應的函數，，，符合題意，
驗證可知，，選項對應的函數均不符合題意．
故選：．
2.已知函數的最小正周期為，則圖象的一個對稱中心的坐標為( )
A. B. C. D.
解：由，得，所以．
令，則，
當時，，
所以圖象的一個對稱中心的坐標為．
故選D.
3.下列函數中最小正周期為，且為偶函數的是( )
A. B. C. D.
解：對于，定義域為，因為，所以函數為偶函數，因為的圖象是由的圖象在軸下方的關于軸對稱后與軸上方的圖象共同組成，所以的最小正周期為，所以A正確，
對于，定義域為，因為，所以函數為奇函數，所以B錯誤，
對于，定義域為，，最小正周期為，因為，所以函數為偶函數，所以C正確，
對于，定義域為，最小正周期為，所以D錯誤，
故選：
4.設函數是以為最小正周期的周期函數，且當時，求，的值．
解：的最小正周期為，且當時，．
，
．
5.已知函數．
求函數的定義域并判斷函數的奇偶性
求函數的最小正周期．
解：由，得，，
所以函數的定義域為，
．
因為，且函數的定義域關于坐標原點對稱，故函數為偶函數．
因為，
所以的最小正周期為．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固正弦函數、余弦函數的周期性、奇偶性和對稱性，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
設計意圖：及時鞏固所學，加深理解.第五章 三角函數
5.4.2正弦函數、余弦函數的性質
第2課時
1.了解正弦函數和余弦函數的單調性，并能利用單調性比較大小.
2.了解正弦函數和余弦函數的最大值與最小值，并會求簡單三角函數的值域和最值.
3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數在區間[0，2π]上并延伸至R的性質.
4.體會數學抽象的過程，提升邏輯推理和數學運算素養.
重點：正弦函數、余弦函數的單調性、最值，研究函數的思想方法.
難點：利用正弦函數、余弦函數的周期性來研究它們的單調性、最值．
（一）創設情境
情境：過山車是一項富有刺激性的娛樂工具，該運動包含了許多物理學原理，人們在設計過山車時巧妙地運用了這些原理．如果能親身體驗一下過山車那感覺真是妙不可言．一個基本的過山車構造中，包含了爬升、滑落、倒轉(兒童過山車沒有倒轉)，幾個循環路徑．
這種爬升和滑落體現了函數的什么性質？
回顧：1.正弦函數、余弦函數的周期性：
（1）
（2）
2.正弦函數、余弦函數的奇偶性：正弦函數為奇函數；余弦函數為偶函數.
3.正弦函數、余弦函數的對稱性：
（1）y=sinx對稱中心為(kπ，0)，k∈Z對稱軸為
（2）y=cosx對稱中心為(，0)，k∈Z對稱軸為x=kπ，k∈Z
設計意圖：從生活中的簡單例子引入本節新課，讓學生意識到數學與生活息息相關，培養學生學習數學的興趣.
探究新知
任務1：探究正弦函數的單調性與最值
思考：上節課已經學習過周期性、奇偶性和對稱性，那還有哪些性質需要我們研究？
答：單調性、最值
思考：利用周期性，我們可以先研究正弦函數一個周期內的單調性再進行推廣，你覺得選取哪一段比較合適？
答：
探究：觀察正弦函數y=sinx，的圖象，研究函數的單調性與最值.
師生活動：觀察正弦函數y=sinx，的圖象.
答：當時，曲線逐漸上升，是增函數，sinx的值由-1增大到1；
當時，曲線逐漸下降，是減函數，sinx的值由1減小到-1.
當x=時，ymax=1；當x=或時，ymin=1
用表格表示為：
師生活動：通過觀察圖象，引導學生用語言描述函數圖象中蘊含的變化．
設計意圖：引導學生認真觀察圖象，并用自己的語言敘述．
思考：根據正弦函數的周期性，你能說說正弦函數y=sinx，的單調性嗎？
答：當時，正弦函數y=是增函數，函數值由-1增大到1.
當時，正弦函數y=是減函數，函數值由1減小到-1.
師生活動：引導學生觀察，先找到一個單調區間，再尋找每一個單調區間的之間的關系，然后用完善的形式表達出來．提醒學生區間中的k是整數，這一點不可缺少．
設計意圖：將正弦函數的單調性總結歸納出來．
總結：正弦函數 y = sin x，x∈R的單調性
上單調遞增；上單調遞減.
正弦函數 y = sin x，x∈R的最值
當x=，取到最大值：1；當x=，取到最小值：-1；
任務2：探究余弦函數的單調性與最值
探究：類比正弦函數研究單調性（最值）的方法，請大家以小組形式進行探究余弦函數的單調性（最值）
（1）畫出余弦函數在區間 [– π，π]上的圖象，并總結函數的特征，歸納函數的性質（單調性、最值）；
（2）畫出余弦函數在定義域 (x∈R)上的圖象，總結歸納函數的性質.
要求：先獨立思考，再交流討論.
總結：余弦函數 y =cos x，x∈R的單調性
上單調遞增；上單調遞減.
余弦函數 y = cos x，x∈R的最值
當x=，取到最大值：1；當x=，取到最小值：-1；
總結：正弦函數、余弦函數的圖象與性質
函數 y=sinx y=cosx
圖形
定義域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
周期性 最小正周期為2π 最小正周期為2π
奇偶性 奇函數 偶函數
對稱性 對稱中心(kπ，0)(k∈Z) 對稱軸為直線x=+kπ(k∈Z) 對稱中心(+kπ，0)(k∈Z) 對稱軸為直線x=kπ(k∈Z)
最值 時， 時， 時， 時，
單調性 增函數 減函數 增函數 減函數
設計意圖：學生通過觀察正弦函數、余弦函數的圖象，嘗試總結性質，培養學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養，同時培養他們的團隊合作意識.
（三）應用舉例
例1下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出最大值、最小值時自變量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）y = cosx+1，x∈R； （2）y = -3sin 2x，x∈R.
解：容易知道，這兩個函數都有最大值、最小值
（1）使函數y = cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數y = cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}；
使函數y = cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數y = cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}.
函數y = cosx+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
（2）令z=2x，使函數y = -3sin 2x，x∈R取得最大值的z的集合，就是使y =sinz，z∈R取得最小值的z的集合.
由，得.所以，使函數取得最大值的x的集合是 .
同理，使函數y = -3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是.
函數y = -3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3.
總結：
1.求解例題的基本依據是正弦函數、余弦函數的最大（小）值.
2.對于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函數，一般通過變量代換（如設z=ωx+φ）化歸為y=Asinz+B的形式，然后利用正弦函數的最大（小）值求解.
3.余弦函數類似.
設計意圖：通過例1的鞏固訓練，讓學生加深對最大小值的理解.并掌握取得最值時的x的取值.
例2 不通過求值，比較下列各數的大小.
（1） sin ( ) 和 sin ( )； （2）cos ( ) 和 cos ( ).
分析：利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小.為此，先用誘導公式將已知角化為同一單調區間內的角，然后再比較大小.
解：（1）因為 ，
正弦函數 y = sin x 在上是增函數，所以
sin ( ) >sin ( ).
（2）cos ( )＝cos，
cos ( )=cos ( 6 )=cos ，
∵π＜＜＜2π，且函數y＝cos x在[π，2π]上單調遞增，
∴cos＜cos，即cos ( )師生活動：學生獨立完成，教師進行指導.本例中，對于（1），可直接應用函數的單調性求解；對于（2），首先要將所給的角化簡，使之位于同一個單調區間內，即轉化為第（1）題之后求解．
設計意圖：初步應用正余弦函數的單調性解決比較大小的問題．
總結：比較三角函數值大小的應對策略
1.比較同名三角函數值的大小時，首先應把三角函數轉化為同一單調區間上的同名三角函數，利用單調性，由自變量的大小，確定函數值的大小.
2.比較不同名的三角函數的大小時，應先化為同名三角函數，然后再進行比較.
例3 求函數 的單調遞增區間．
分析：令 ，當自變量x的值增大時，z 的值也隨之增大，因此若函數 y = sin z 在某個區間上單調遞增，則在相應的區間上也一定單調遞增；
解：令 z =，x∈[ – 2π，2π ]，則
因為 y = sin z，的單調遞增區間是 ，
且由，得
所以，函數 ，的單調遞增區間是.
師生活動：師生共同分析此問題，然后共同完成求解．
設計意圖：類比例3求解，進一步熟練換元轉化的思想方法；通過變換自變量系數的符號，提高學生思維的深刻性，提升學生的邏輯推理和數學運算素養．
總結：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數的單調區間的應對策略
1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數的單調區間時，若ω為負數，則要先把ω化為正數．對于y＝Asin(ωx＋φ)，如果ω<0，可以利用正弦函數為奇函數將負號移到函數符號外面，對于y＝Acos(ωx＋φ) ，如果ω<0，可以利用余弦函數為偶函數將負號直接調整．
2.當A＞0時，把ωx＋φ整體放入y＝sin x或y＝cos x的單調增區間內，求得的x的范圍即函數的增區間；整體放入y＝sin x 或y＝cos x的單調減區間內，可求得函數的減區間．
當A＜0時，上述方法求出的區間是其單調性相反的區間．
例4 (1)y=cos(x+)，x∈[0，]；(2)y=cos2x-4cos x+5.
解：(1)由x∈[0，]可得x+∈[，]，
函數y=cos x在區間[，]上單調遞減，所以函數的值域為[-，].
(2)y=cos2x-4cos x+5，令t=cos x，則-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1，
當t=-1時，函數取得最大值10;
當t=1時，函數取得最小值2，
所以函數的值域為[2，10].
總結：求三角函數值域的常用方法
1.求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函數的最值或值域問題時，利用正、余弦函數的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函數取最值時相應自變量x的集合時，要注意考慮三角函數的周期性．
2.求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函數的值域或最值時，通過換元，令t＝sin x(或cos x)，將原函數轉化為關于t的二次函數，利用配方法求值域或最值即可．求解過程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
設計意圖：在掌握正弦函數與余弦函數的單調性與最值基礎上，靈活運用，考查學生的融會貫通情況和綜合素養.
（四）課堂練習
1.函數的值域為 ( )
A. B. C. D.
解：令，，
則．
，
．
2.下列關于函數，的單調性的敘述，正確的是( )
A. 在上單調遞增，在上單調遞減
B. 在上單調遞增，在上單調遞減
C. 在及上單調遞增，在上單調遞減
D. 在上單調遞增，在及上單調遞減
解：正弦函數在及上單調遞增，在上單調遞減．
所以函數在及上單調遞增，在上單調遞減．
故選C．
3.若是一個三角形的內角，且函數在區間上是單調函數，則的取值范圍是
解：，
，
，
又，
，
又在區間上是單調函數，
，
解得
故答案為：．
4.已知函數，其中
若對任意都有，求的最小值；
若函數在區間上單調遞減，求的取值范圍．
解：由已知在處取得最大值，，
解得，，又，當時，的最小值為
設，，
，
由已知，，
又
.
5.已知函數是奇函數．
求函數最大值與最小值，并寫出取得最大值、最小值時自變量的集合；
求函數，的單調遞增區間．
解：由，得，故，，
故，而，
故時，，
故，
當即時，取最大值，
當即時，取最小值，
故取最大值時，自變量的取值集合是，
取最小值時，自變量的取值集合是；
由題意，，
，令，可得：，令，可得：，
故函數，的單調遞增區間為
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固正弦函數、余弦函數的單調性與最大小值，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
函數 y=sinx y=cosx
圖形
定義域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
最值 時， 時， 時， 時，
單調性 增函數 減函數 增函數 減函數

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