資源簡介

第八章 立體幾何初步
8.1基本立體圖形
第1課時
1.了解多面體和旋轉體的結構特征，理解棱柱、棱錐和棱臺的結構特征.
2.能根據(jù)幾何結構特征對空間物體進行分類.
3.經(jīng)歷從物體到幾何體的抽象過程，體驗研究幾何體的方法，提升直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng).
重點：認識多面體、旋轉體、棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．
難點：多面體、旋轉體、棱柱、棱錐、棱臺的結構特征的抽象概括．
（一）創(chuàng)設情境
觀看視頻
想一想：幾何體的組成元素有哪些呢？
師生活動：教師播放視頻，讓學生初步感受生活中的幾何圖形.
設計意圖：通過生活中的真是物體抽象出的幾何圖形，讓學生了解生活中處處有數(shù)學，數(shù)學是與我們生活息息相關的．
（二）探究新知
任務1：探究幾何體的定義和分類
思考：回憶一下我們在小學和初中接觸過哪些幾何體？數(shù)學是從生活而來的，你能根據(jù)經(jīng)驗嘗試總結出幾何體的概念嗎？
答：正方體、長方體、圓柱、圓錐、球.如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體.
設計意圖：引出本節(jié)研究內容，給出幾何體的概念以及認識幾何體的角度.
說一說：觀察下面的圖片，嘗試描述它們的形狀.將這些幾何體進行分類，說一說他們具有什么樣的結構特征？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：
概念：一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，如面ABE，面BAF；兩個面的公共邊叫做多面體的棱，如棱AE，棱EC；棱與棱的公共點叫做多面體的頂點.
一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.這條定直線叫做旋轉體的軸.圖中的旋轉體就是由平面曲線OAA'O'繞軸OO'旋轉形成的，圖中的紙杯、奶粉罐、籃球和足球、鉛錘等物體都具有旋轉體的形狀.
師生活動：教師展示生活中的物品圖片，讓學生進行對幾何體分類，先獨立思考，再以小組為單位進行交流分享自己的分類標準.
設計意圖：通過對這些物體的分類，讓學生從中找到幾何體的分類，了解幾何體的分類的依據(jù)，更好的理解什么是多面體和旋轉體，為后面總結棱柱、棱錐、棱臺的概念特征分類做好鋪墊．
任務2：探究棱柱的定義、分類及其特征.
思考：觀察長方體，它的每個面是什么樣的多邊形？不同的面之間有什么位置關系？類比一般多面體的面、棱、頂點，棱柱的面、棱、頂點有什么特點？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
答：1.可以發(fā)現(xiàn)，它們每個面都是平行四邊形（矩形），并且相對的兩個面，如面ABCD和面A'B'C'D'，給我們以平行的形象.①有兩個面互相平行；②其余各面都是四邊形；③每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.滿足這三個特征的多面體叫做棱柱.
2.在棱柱中，兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形；其余各面叫做棱柱的側面，它們都是平行四邊形；相鄰側面的公共邊叫做棱柱的側棱；側面與底面的公共頂點叫做棱柱的頂點.
表示：棱柱用表示底面各頂點的字母來表示，如圖中的棱柱記作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.
說一說：嘗試從它們的底面多邊形的邊數(shù)或側面與底面的關系的角度對它們進行分類.
答：棱柱的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……，我們把這樣的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…….
一般地，我們把側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱（圖（1）（3）），側棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱（圖（2）（4））.底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱（圖（3））.底面是平行四邊形的四棱柱也叫做平行六面體（圖（4））.
思考：嘗試用集合之間的關系表示平行六面體、直四棱柱、正四棱柱、長方體、正方體.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報
師生活動：教師提出思考，先讓學生獨立思考，再在小組交流分享.
設計意圖：以棱柱為載體，師生共同深入認識一個基本幾何體，在教學棱柱過程中，滲透認識一個幾何體的基本內容和方法，認識一個幾何體，主要從其結構特征，從組成這個幾何體的要素以及要素之間的位置關系的角度進行，除把握幾何體的結構特征外，一般我們還要弄清其相關概念，表示以及分類，在認識幾何體的過程中，要注意實物以及立體模型的作用，在這一過程中，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng).
任務3：探究棱錐的定義、分類及其特征.
思考：觀察圖中金字塔這樣的多面體類比棱柱的學習過程，嘗試給出棱錐的相關概念.
答：像圖中金字塔這樣的多面體，均由平面圖形圍成，其中一個面是多邊形，其余各面都是三角形，并且這些三角形有一個公共頂點.
一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
這個多邊形面叫做棱錐的底面；有公共頂點的各個三角形面叫做棱錐的側面；相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱；各側面的公共頂點叫做棱錐的頂點.棱錐用表示頂點和底面各頂點的字母來表示，如圖中的棱錐記作棱錐S-ABCD.
說一說：類比棱柱的學習過程，嘗試給棱錐進行分類.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形……，我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……，其中三棱錐又叫四面體.
底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做正棱錐.
師生活動：教師提出問題，類比對棱柱的研究方法，研究棱錐，先讓學生獨立思考，然后再小組內交流討論，最后以小組形式匯報展示.
設計意圖：類比棱柱的學習，在把握棱錐的結構特征的基礎上，了解棱錐及其相關概念、表示和分類.
任務4：探究棱臺的定義、分類及其特征.
思考：類比棱柱與棱錐，你能給出棱臺的相關概念嗎？棱臺如何表示，并嘗試對它進行分類.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：發(fā)現(xiàn)用平行于底面的平面截掉三棱錐上面一部分后可以得到棱臺. 所以我們可以通過判斷一個多面體側校的延長線是否交于一點來判斷其是否為棱臺.
如圖，用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
在棱臺中，原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面.
類似于棱柱、棱錐，棱臺也有側面、側棱、頂點.
表示：棱臺用表示底面各頂點的字母來表示，如圖中的棱臺記作棱臺ABCD-A'B'C'D'，由三棱錐、四棱錐、五棱錐……截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……
師生活動：教師提出問題，類比對棱柱的研究方法，研究棱錐，先讓學生獨立思考，然后再小組內交流討論，最后以小組形式匯報展示.
設計意圖：對于棱臺，其定義與棱柱和棱錐不同，它是從截棱錐的角度定義的，教學中要注意到這種差別，可以利用動畫展現(xiàn)截棱錐得到棱臺的過程，對于棱臺的相關概念、分類與表示，可以類比棱柱與棱錐完成.
任務5：探究棱柱、棱臺和棱錐的關系
思考：棱臺與棱柱、棱錐在結構上有哪些相同點和不同點？當?shù)酌姘l(fā)生變化時，它們能否互相轉化呢？
答：棱柱、棱錐、棱臺都是多面體.棱柱有兩個大小相同的底面，棱臺有兩個大小不同的底面，棱錐有一個底面.
從相互聯(lián)系的觀點看：棱臺的上底面擴大，使上下底面全等，就得到棱柱；棱臺的上底面縮小為一個點，就得到棱錐.
設計意圖：一是通過建立棱柱、棱錐、棱臺之間的聯(lián)系，引導學生用運動、變化、聯(lián)系的觀點去看棱柱、棱錐、棱臺，體會從量變到質變的過程，滲透辯證的觀點.
（三）應用舉例
例1 將下列各類幾何體之間的關系用Venn圖表示出來；多面體，長方體，棱柱，棱錐，棱臺，直棱柱，四面體，平行六面體.
提示：每次添加一個條件如何將平行六面體變成正方體呢
解：
設計意圖：通過例題、練習鞏固本節(jié)知識，深化對相關概念的理解.
例2 如圖，在三棱柱中，，分別是與的中點，試判斷幾何體是什么幾何體，并指出它的底面與側面．
提示：怎么判斷呢？
①棱柱的側棱都相等，側面都是平行四邊形，兩個底面相互平行；
②棱錐的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形;
③棱臺的上、下底面相互平行，各側棱的延長線交于同一點．
解：∵，分別是，的中點，且，，，．
且，，延長后交于一點．又平面平行于平面，∴幾何體是三棱臺．其中是下底面，是上底面，四邊形，四邊形，四邊形是側面．
（四）課堂練習
1.下列說法不正確的是( )
A. 直四棱柱是長方體 B. 正方體是平行六面體
C. 長方體是平行六面體 D. 平行六面體是四棱柱
解：對于A，直四棱柱的側棱垂直底面，當?shù)酌娌皇蔷匦螘r直四棱柱不是長方體，故A錯誤；
對于B，正方體的對面平行，是平行六面體，故B正確；
對于C，長方體的對面平行，是平行六面體，故C正確；
對于D，平行六面體是底面為平行四邊形的四棱柱，故D正確．
故選A．
2.下列關于幾何體特征的判斷正確的是( )
A. 一個斜棱柱的側面不可能是矩形
B. 底面是正多邊形的棱錐一定是正棱錐
C. 有一個面是邊形的棱錐一定是棱錐
D. 平行六面體的三組對面中，必有一組是全等的矩形
解：對于A中，斜棱柱的側面中，可以有的側面是矩形，所以A不正確；
對于B中，根據(jù)正棱錐的定義，底面是正多邊形且頂點在底面的射影為底面多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以B不正確；
對于C中，在棱錐中有一個面是 邊形，則此面一定是棱錐的底面，所以棱錐一定是 棱錐，所以C正確；
對于D中，平行六面體的三組對面中，可以沒有矩形，所以D錯誤．
故選：C．
3.設：四棱柱是正方體，：四棱柱是長方體，則是的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
解：正方體是特殊的長方體，而長方體不一定是正方體，
所以是的充分不必要條件．
故選：A．
4.一個幾何體由個面圍成，則這個幾何體不可能是( )
A. 四棱臺 B. 四棱柱 C. 四棱錐 D. 五棱錐
解：對于A，四棱臺是上下兩個四邊形，四個側面，共有6個面，滿足題意；
對于B，四棱柱是上下兩個四邊形，四個側面，共有6個面，滿足題意；
對于C，四棱錐有一個底面，四個側面，共有5個面，不滿足題意；
對于D，五棱錐有一個底面，五個側面，共有6個面，滿足題意．
故選：C
5.如圖，在正四棱臺中，與棱平行的棱有 條，分別是 ．
解析：因為正四棱臺中兩底面都是正方形，側面是等腰梯形，
所以，，
所以
故與棱平行的棱有，，，共條．
故答案為：；，， ．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固直線與平面垂直的判定定理，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節(jié)課的內容，你都學到了什么？
認識一個幾何體，基本思路：
先由實物抽象出幾何體，再從幾何體的整體人手，關注每個面的形狀、面與面之間的關系，歸類總結出它的概念，研究其表示、分類以及相互之間的關系.
設計意圖：讓學生回顧本節(jié)課知識點，建立知識與知識之間的聯(lián)系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.第八章 立體幾何初步
8.1基本立體圖形
第2課時
1.理解圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的的結構特征.
2.類比幾何體棱柱、棱錐、棱臺的研究方法，經(jīng)歷從物體到幾何體的抽象過程，提升直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng).
重點：圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結構特征．
難點：圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征的抽象概括.
（一）創(chuàng)設情境
觀看視頻
讓我們一起探究圓柱圓錐圓臺和球吧！
師生活動：教師播放視頻，讓學生初步感受生活中的旋轉體.
設計意圖：通過生活中的真是物體抽象出的幾何圖形，讓學生了解生活中處處有數(shù)學，數(shù)學是與我們生活息息相關的.
（二）探究新知
回顧：研究棱柱、棱錐、棱臺的結構特征的方法是什么？什么是旋轉體？
答：先從幾何實物出發(fā)感受空間幾何體的整體結構，然后再從幾何體的組成要素及位置關系出發(fā)，抽象出空間幾何體的結構特征.
一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.
這條定直線叫做旋轉體的軸.
師生活動：教師先讓學生回顧之前所學，為這節(jié)課的新知做好鋪墊.
設計意圖：回顧上節(jié)課的研究方法和旋轉體的概念，為圓柱、圓錐、圓臺的學習做好鋪墊.
任務1：探究圓柱的定義和特征
思考：請你例舉生活中的圓柱體，類比旋轉體的概念，嘗試給出圓柱的概念.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱，旋轉軸叫做圓柱的軸.垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉而成的曲面叫做圓柱的側面；無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線.圓柱用表示它的軸的字母表示，如圖中的圓柱記作圓柱.
任務2：探究圓錐的定義和特征.
思考：請你例舉生活中的圓錐，并觀察圓錐的結構特征給出它的概念.嘗試在圖中標出圓錐的軸、底面、側面、母線.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：旋轉軸叫做圓錐的軸；直角三角形的另一條直角邊旋轉而成的圓面叫做圓錐的底面；直角三角形的斜邊旋轉而成的曲面叫做圓錐的側面；無論旋轉到什么位置的斜邊都叫做圓錐側面的母線. 表示：圓錐.
師生活動：教師提出問題，學生以小組為單位進行合作，先獨立思考，再小組討論分享.
設計意圖：通過對事物的觀察，歸納得出定義和特征，培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象的學科核心素養(yǎng)能力.
任務3:探究圓臺的定義和特征.
思考：請你例舉生活中的圓臺，并類比棱臺給出圓臺的概念.嘗試在圖中標出圓臺的軸、底面、側面、母線.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.表示：圓臺.
師生活動：教師提出問題，學生以小組為單位進行合作，先獨立思考，再小組討論分享.
設計意圖：通過對事物的觀察，歸納得出定義和特征，培養(yǎng)了學生的數(shù)學抽象的學科核心素養(yǎng)能力.
探究：圓錐可以由直角三角形旋轉得到，圓臺可以用平行于圓錐底面的平面去截圓錐得到，那么圓臺是否也可以由平面圖形旋轉得到？如果可以，由什么平面圖形旋轉得到？如何旋轉？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：用平行于直角邊的直線去截直角三角形，可以得到直角梯形.圓臺可以由直角梯形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體就是圓臺.
任務4：探究圓柱、圓臺和圓錐的關系
思考：通過上節(jié)的學習我們已經(jīng)知道了棱柱棱錐棱臺的關系，那么圓柱圓錐圓臺之間有什么樣的關系呢？
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：圓臺的上底面擴大，使上下底面全等，就得到圓柱；圓臺的上底面縮小為一個點，就得到圓錐.
任務5：探究球的定義和特征.
思考：請你例舉生活中的球并嘗試給出球的概念.
要求：以小組為單位進行討論交流，并匯報.
答：半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球，半圓的圓心叫做球的球心；連接球心和球面上任意一點的線段叫做球的半徑；連接球面上兩點并且經(jīng)過球心的線段叫做球的直徑.
表示：球常用表示球心的字母來表示，如圖中的球記作球O.
任務6：探究簡單組合體.
思考：圖中各幾何體是由哪些簡單幾何體組合而成的？
答：簡單組合體的構成有兩種基本形式： 一種是由簡單幾何體拼接而成，如圖（1）（2）中物體表示的幾何體；一種是由簡單幾何體截去或挖去一部分而成，如圖（3）（4）中的幾何體.
現(xiàn)實世界中的物體大多是由具有柱體、錐體、臺體、球等結構特征的物體組合而成.
設計意圖：通過觀察生活中的物體，讓學生說出構成這些物體的幾何體構成，可以培養(yǎng)學生直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng)能力.
（三）應用舉例
例1 判斷下列說法是否正確，并說明理由：
（1）矩形繞一直線旋轉所成的旋轉體是圓柱；
（2）直角三角形繞其一邊所在的直線旋轉所成的旋轉體是圓錐；
（3）直角梯形繞其一腰所在直線旋轉所成的旋轉體是圓臺；
（4）圓面繞其任意一條直徑旋轉都能形成球．
解：（1）錯．矩形繞其一邊所在直線旋轉形成的才是圓柱．
（2）錯．直角三角形繞斜邊所在的直線旋轉形成的是兩個同底圓錐的組合體．
（3）錯．直角梯形繞垂直于底的腰所在直線旋轉形成圓臺，若繞另一腰所在直線旋轉形成的是組合體．
（4）正確．符合球的定義．
例2 已知一個圓臺的上、下底面半徑分別是1 cm，2 cm，截得圓臺的圓錐的母線長為12 cm．求圓臺的母線長．
解：如圖是幾何體的軸截面，由題意知2 cm，＝1 cm，＝12 cm．
由，得2=6（cm），
∴（cm）．
∴圓臺的母線長為6 cm．
總結：求圓臺母線長
求法：平行線段成比例
步驟：①找平行線②線段成比例③求解
例3請描述如圖所示的組合體的結構特征．
解：（1）是由一個圓錐和一個同底的圓臺拼接而成的組合體；
（2）是由一個圓臺挖去一個同底的圓錐后剩下的部分得到的組合體；
（3）是由一個四棱錐和一個同底的四棱柱拼接而成的組合體．
例4 如圖，以直角梯形ABCD的下底AB所在直線為軸，其余三邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，說出這個幾何體的結構特征.
解：幾何體如圖所示，其中，垂足為E.
這個幾何體是由圓柱BE 和圓錐AE組合而成的，其中圓柱BE的底面分別是B和E，側面是由梯形的上底CD繞軸AB旋轉形成的；圓錐AE的底面是E，側面是由梯形的邊AD繞軸AB旋轉而成的.
設計意圖：通過例題、練習鞏固本節(jié)知識，深化對相關概念的理解.
（四）課堂練習
1.已知圓錐側面展開圖是一個半圓，其母線長度為，則底面半徑為( )
A. B. C. D.
解：圓錐的側面展開圖是一個半圓，
由已知可得，
，解得．
故選A．
2.(多選)以鈍角三角形的某條邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉一周所得到的幾何體可以是( )
A. 兩個圓錐拼接而成的組合體 B. 一個圓臺
C. 一個圓錐 D. 一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐
解：以鈍角三角形的最長邊所在的直線為軸，旋轉一周所得到的幾何體是兩個同底圓錐拼接而成的組合體，所以A正確；
以鈍角三角形的較短邊所在的直線為軸，旋轉一周所得到的幾何體都是一個大圓錐挖去一個同底的小圓錐，所以D正確；同時排除，；故選：．
3.一個球體被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截后，剩下的線段長叫做球缺的高，球缺曲面部分的體積，其中為球的半徑，為球缺的高．如圖，若一個半徑為的球體被平面所截獲得兩個球缺，其高之比為，則體積之比 ．
解：因為 ， ，所以 ，
則 ．故答案為： ．
4.我國古代數(shù)學名著九章算術對許多幾何體的體積計算問題有深入的研究，如方亭、圓亭、鱉臑、陽馬等，其中圓亭是指圓臺如圖，在圓亭的軸截面中，，點為弧上一點，且，若，則 ．
解：連接，，，如圖，
因為在等腰梯形中，，
所以，，則四邊形為平行四邊形，
所以．
因為，，所以，
在中，．
由，，可得，D.
在中，，
解得，故BC．
5.我國古代有這樣一道數(shù)學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因為一丈等于十尺，則該圓柱的高為尺，底面周長為尺，有葛藤自點處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點處，則問題中葛藤的最短長度是 尺
解：如圖，一條直角邊即枯木的高長尺，另一條直角邊長尺，
因此葛藤的最短長度為尺．故答案為：．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固圓柱、圓錐和圓臺、球以及簡單組合體的定義和特征，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節(jié)課的內容，你都學到了什么？
認識一個幾何體，基本思路：先由實物抽象出幾何體，類比棱柱、棱錐、棱臺結合旋轉體的概念逐個探究了圓柱、圓錐、圓臺、球的相關知識.
設計意圖：讓學生回顧本節(jié)課知識點，建立知識與知識之間的聯(lián)系，形成自己的知識體系，加深對新知識的理解與認識.

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