資源簡介

第三章 直線和圓的方程
3.3.2 拋物線的簡單性質(zhì)
第1課時
1.通過數(shù)形結(jié)合的方法學習拋物線的性質(zhì)，理解并掌握拋物線性質(zhì)的內(nèi)容，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；
2.結(jié)合具體的問題情境，掌握拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，能夠使用拋物線的性質(zhì)求解幾何問題，培養(yǎng)邏輯推理和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
重點：借助圖形，與之前所學內(nèi)容相結(jié)合，掌握拋物線性質(zhì)的內(nèi)容及應(yīng)用.
難點：掌握數(shù)形結(jié)合的學習方法，面對問題能夠舉一反三，使知識融會貫通，并能夠解決實際問題.
（一）創(chuàng)設(shè)情境
我們之前學習了橢圓性質(zhì)和雙曲線性質(zhì)，同學們是否還記得它們的性質(zhì)都有哪些？
先來看橢圓的性質(zhì)，我們知道橢圓的性質(zhì)有以下四種，分別是：
（1）范圍：位于直線和圍成的矩形框里.
（2）對稱性：關(guān)于x軸與y軸和原點都是對稱的.
（3）頂點：，，，.
（4）離心率：焦距與長軸長的比 .
再來看雙曲線的性質(zhì)，我們知道雙曲線的性質(zhì)有以下五種，分別是：
（1）范圍：位于直線x=-a及其左側(cè)和直線x=a及其右側(cè)的區(qū)域.
（2）對稱性：關(guān)于x軸、y軸和原點都是對稱的.
（3）頂點：.
（4）漸近線：直線 和 (以焦點在軸上的雙曲線為例)
（5）離心率：雙曲線的焦距與實軸長的比 ，且e＞1.
通過類比橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)，你認為應(yīng)該研究拋物線的哪些幾何性質(zhì)呢？我們又該如何研究這些性質(zhì)？
讓我們帶著問題，進入本節(jié)課的內(nèi)容！
師生活動：教師引導學生類比橢圓和雙曲線的性質(zhì)，引出本節(jié)課內(nèi)容，方便學生理解.
設(shè)計意圖：通過橢圓和雙曲線，引出本節(jié)課的內(nèi)容.使學生體會到知識點之間的聯(lián)系，將知識融會貫通. 提升學生舉一反三的能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).
（二）探究新知
任務(wù)1：理解拋物線的范圍.
首先，讓我們來看拋物線的圖象：
思考1：觀察給定的拋物線圖象，我們發(fā)現(xiàn)拋物線位于y軸的右側(cè)，并且其開口方向與x軸的正方向一致.現(xiàn)在，請你結(jié)合拋物線的標準方程來詳細解釋，為什么這條拋物線會呈現(xiàn)出這樣的特征？
答：已知p＞0，由拋物線的標準方程可知，對于拋物線上的點M（x，y），x≥0，y∈R.當x＞0時，拋物線在y軸的右側(cè)，開口與x軸的正方向相同.
思考2：當x增大時，y是如何變化的？你能否從中總結(jié)出拋物線的范圍呢？
答：由于拋物線的標準方程是，所以當x的值無限增大時，的值也隨之無限增大，并且，x≥0.與圖象相結(jié)合就是，當圖象向x的正方向延伸時，也同時向y軸的正方向和負方向無限延伸，即拋物線向右上方和右下方無限延伸，這就是拋物線范圍.
師生活動：首先，教師通過圖象向同學們直觀的展示了拋物線的范圍.然后，由拋物線的標準公式推理出拋物線的范圍.通過兩個問題，引導學生思考，逐步完成這部分的教學.
設(shè)計意圖：通過數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學生更加直觀的理解拋物線的范圍.在觀察圖象的過程中，培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng).在通過拋物線的標準方程推理出圖象的范圍的過程中，培養(yǎng)了學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
任務(wù)2：理解拋物線的對稱性和頂點.
思考1：我們由拋物線的圖象發(fā)現(xiàn)，拋物線可能是關(guān)于x軸對稱的.你能根據(jù)拋物線的標準方程來驗證這個結(jié)論嗎？
答：由于拋物線的標準方程是，如果用-y代替y，我們發(fā)現(xiàn)方程是不變的，所以拋物線關(guān)于x軸對稱.
提示：拋物線的軸：我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.
思考2：我們知道橢圓的頂點，是圖象與對稱軸的交點；雙曲線的頂點，是圖象與對稱軸的交點.
這節(jié)所學的拋物線的頂點也是圖象與它的軸的交點.那么，請思考在拋物線的標準方程中，它的頂點坐標是什么？
答：由于拋物線的標準方程是，當x=0時，y=0，因此拋物線的頂點就是原點.
師生活動：首先用數(shù)形結(jié)合的方法，先由教師根據(jù)圖象給出拋物線可能關(guān)于x軸對稱的猜想，再由學生根據(jù)拋物線的標準方程來驗證這個猜想，得出最后的結(jié)論.之后教師帶領(lǐng)學生回顧橢圓與雙曲線的頂點的概念，類比推理出拋物線頂點的概念，最后由學生自主求出在拋物線的標準方程下的頂點坐標.
設(shè)計意圖：在繼續(xù)培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合能力的同時，引導學生獨立思考，幫助學生了解類比法在數(shù)學學習過程中的應(yīng)用.能夠根據(jù)已有的知識體系推測出未知的知識內(nèi)容，并且可以合理的驗證自己的猜想，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)和舉一反三的能力.
任務(wù)3：理解拋物線的離心率.
對于橢圓而言，它的離心率就是焦距與長軸長的比，記作 ；
對于雙曲線而言，它的離心率就是焦距與實軸長的比，記作 ，且e ＞1.
同樣地，我們也可以類比推理出拋物線的離心率的概念：拋物線上的點M與焦點F的距離和點M到準線的距離d的比，叫做拋物線的離心率，同樣也是用e表示.
思考：你能求出拋物線離心率的取值范圍嗎？
答：由拋物線的定義可以知道，拋物線上的點M永遠有恒成立.又因為離心率就是拋物線上的點M與焦點F的距離和點M到準線的距離d的比，所以我們由此可以推斷出且e =1也是恒成立的.
師生活動：教師帶領(lǐng)學生回顧橢圓與雙曲線的離心率的概念，類比推理出拋物線離心率的概念，最后由學生自主求出拋物線離心率的取值范圍.
設(shè)計意圖：通過類比橢圓與雙曲線離心離的概念，幫助學生理解拋物線離心率的概念，引導學生獨立思考拋物線離心率的取值范圍，了解類比法的應(yīng)用，使知識點之間不再孤立，培養(yǎng)學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
總結(jié)：拋物線的四個幾何性質(zhì)：
（1）范圍：x≥0，y∈R.
（2）對稱性：關(guān)于x軸對稱.
（3）頂點：原點.
（4）離心率： ，e=1.
任務(wù)4：應(yīng)用拋物線的簡單幾何性質(zhì)解決問題.
思考：當拋物線為、以及時，拋物線的圖象又是怎么樣的呢？
答：圖象如下圖所示：
探究：頂點在原點，對稱軸是坐標軸，并且經(jīng)過點的拋物線有幾條？求出這些拋物線的標準方程.
提示：因為拋物線經(jīng)過第四象限的點，所以拋物線開口向右或者向下.接下來進行分類討論即可.
合作探究：
1. 先獨立思考，然后小組內(nèi)交流思路；
2. 小組合作完成探究；
3. 選派代表并匯報得出結(jié)論.
答：
情況一：當拋物線的開口向右時，設(shè)其標準方程為，把點M的坐標代入，得8=4p.所以2p=4，得.
情況二：當拋物線的開口向下時，設(shè)其標準方程為，把點M的坐標代入，得，所以，得.
故所求拋物線的標準方程為或.
師生活動：教師先引導學生思考其他三種拋物線的圖象及標準方程，進一步提出問題，應(yīng)用拋物線的性質(zhì)解決問題.幫助學生在思考與應(yīng)用的過程中，加深對拋物線性質(zhì)的理解.
設(shè)計意圖：通過總結(jié)概括拋物線的標準方程及圖象，增強學生分析解釋的能力，培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).在使用拋物線的性質(zhì)解決問題的過程中，增強學生的應(yīng)用能力和分類討論的能力，進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
（三）應(yīng)用舉例
例1：已知拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點，求它的標準方程.
解：因為拋物線關(guān)于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點，所以可設(shè)它的標準方程為，因為點在拋物線上，所以2，解得p=2.因此，所求拋物線的標準方程是.
總結(jié)：用待定系數(shù)法求拋物線標準方程的步驟：
第一步，定位置：根據(jù)條件確定拋物線的焦點在哪條坐標軸上及開口方向.
第二步，設(shè)方程：根據(jù)焦點和開口方向設(shè)出標準方程.
第三步，尋關(guān)系：根據(jù)條件列出關(guān)于p的方程.
第四步，得方程：解方程，將p代入所設(shè)方程，即為所求.
例2：斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長.
解：
由題意可知p=2，，焦點F的坐標為(1，0)，準線方程為x=-1.如圖，設(shè)，，A，B兩點到準線的距離分別為，.由拋物線的定義，可知，，于是.因為直線l的斜率為1，且過焦點，所以直線l的方程為y=x-1.①
將①代入方程，得，化簡，得.所以，.所以，線段AB的長是8.
總結(jié)：設(shè)直線經(jīng)過拋物線焦點，并與拋物線相交于兩點，則可由拋物線的方程直接得出A、B兩點的距離：
注意，直線必須滿足“經(jīng)過拋物線焦點”這一條件.
例3：已知為拋物線：的焦點，過點的直線交拋物線于，兩點，若，則線段的中點的橫坐標為 ( )
A. B. C. D.
解：由題意，拋物線的焦點為，如圖所示：線段AB的中點為Q，準線為l，分別作，，，M、N、P為垂足，若，由拋物線的性質(zhì)可得，所以，設(shè)，則，解得，故選B.
總結(jié)：
拋物線的焦點弦：過焦點的直線與拋物線相交所得的弦叫做焦點弦，
若拋物線的焦點弦的端點為則
1.；
2.當垂直于對稱軸時，焦點弦最短，最短長度為.此時稱為通徑.
3.；
設(shè)計意圖：鞏固知識，強化理解.
（四）課堂練習
1.已知點在拋物線上，點M到拋物線C的焦點的距離是( )
A. B. C. D.
解：由點在拋物線上，可得，拋物線，焦點坐標，準線方程為，點M到拋物線C的準線方程的距離為4，則點M到拋物線C焦點的距離是4.故選A .
2.已知直線l經(jīng)過拋物線的焦點F，且l與C相交于A，B兩點，若弦AB中點的縱坐標為3，則( )
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8
解：設(shè)，則，所以.故選：C．
3.若拋物線上橫坐標為的點到焦點的距離為5，則p的值為( )
A. B. 2 C. 4 D. 5
解：由題意，得，解得.故選D．
4.設(shè)經(jīng)過點的直線與拋物線相交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則( )
A. B. C. D.
解：易知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為，代入拋物線方程得，設(shè)，因為線段AB的中點的橫坐標為2，所以，解得，因此故選C
設(shè)計意圖：通過課堂練習，讓學生反復(fù)鞏固所學知識，能夠靈活運用.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學到了什么？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識.第三章 直線和圓的方程
3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
第2課時
1.結(jié)合拋物線的標準方程和性質(zhì)，能夠通過方程計算證明直線與拋物線的綜合問題，培養(yǎng)數(shù)學運算與邏輯推理的核心素養(yǎng)；
2.能夠通過數(shù)形結(jié)合的方法解決與拋物線有關(guān)的軌跡問題，培養(yǎng)直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)；
3.結(jié)合問題情境，能夠使用拋物線的標準方程及性質(zhì)解決數(shù)學綜合問題，培養(yǎng)數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
重點：借助圖形，與之前所學內(nèi)容相結(jié)合，掌握直線與拋物線位置關(guān)系的證明以及解決與拋物線有關(guān)的軌跡問題.
難點：能夠利用拋物線的標準方程及其簡單幾何性質(zhì)解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學建模的能力，掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法，面對問題能夠舉一反三，使知識融會貫通.
（一）創(chuàng)設(shè)情境
如圖，在我們生活中，經(jīng)常會看到這樣的拱橋結(jié)構(gòu)，它與拋物線之間有著密切的關(guān)聯(lián)，我們稱其為“拋物拱”.除此之外，“拋物拱”在現(xiàn)實中還有著許多的原型，比如衛(wèi)星接收天線，拋擲出去的鉛球在空中劃過的軌跡等，也是“拋物拱”的一部分.
拋物線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)都有哪些綜合的應(yīng)用呢？
這節(jié)課，就讓我們學以致用，進一步學習拋物線的相關(guān)內(nèi)容！
師生活動：教師將拋物線與生活實際相結(jié)合，同時給出了“拋物拱”概念，引導學生將數(shù)學知識與生活實際相結(jié)合，提升學生的應(yīng)用能力，引出本節(jié)課內(nèi)容，方便學生理解.
設(shè)計意圖：通過給出生活中的現(xiàn)實案例，引出本節(jié)課的內(nèi)容.使學生體會到生活處處有數(shù)學，加深學生對數(shù)學的學習興趣，增強對拋物線的理解.提升學生的應(yīng)用能力和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).
（二）探究新知
任務(wù)1：直線與拋物線的綜合應(yīng)用.
思考1：問題1.類比直線與橢圓、直線與雙曲線的位置關(guān)系，思考直線與拋物線有幾種位置關(guān)系？怎樣判斷其位置關(guān)系？
提示：直線與拋物線的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.判斷方法是聯(lián)立直線與拋物線方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的方程，利用方程的解來判斷.
問題2.設(shè)直線與拋物線，兩方程聯(lián)立消去y，會得到一個什么樣的方程？怎樣判斷這個方程的解的個數(shù)？
提示：兩方程聯(lián)立消去y，得.
當時，方程有一解；
當時，，方程有兩解；，方程有一解；，方程無解.
問題3.如果直線與拋物線只有一個公共點，那么直線與拋物線一定相切嗎？
提示：可能相切，也可能相交，當直線與拋物線的對稱軸平行或重合時，直線與拋物線相交且只有一個公共點.
總結(jié)：直線與拋物線的位置關(guān)系：
(1)直線與拋物線的位置關(guān)系有相離、相交、相切三種.
(2)直線l：與拋物線兩方程聯(lián)立消去y，得.
當時，直線與拋物線有一個公共點；
當時，，直線與拋物線有兩個不同的公共點；，直線與拋物線有一個公共點；，直線與拋物線無公共點.
(3)當直線與拋物線只有一個公共點時，直線與拋物線可能相切，也可能相交.
設(shè)計意圖：通過師生問答的方式，引導學生思考直線與拋物線的位置關(guān)系.同時指出易錯點，即直線與拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系，幫助學生理解本節(jié)所學內(nèi)容，培養(yǎng)學生舉一反三的能力.
思考2：現(xiàn)在有一個拋物線，它的焦點是F，準線是l，現(xiàn)在有一條直線與拋物線相交于A、B兩點，經(jīng)過點A和拋物線頂點的直線與拋物線的準線相交于點D，過DB做一條直線.要求證明直線BD與拋物線的對稱軸平行，你能想到什么方法？
提示：證明兩直線平行，除了直接使用幾何知識進行證明之外，還有最常用的兩種方法，分別是坐標法和向量法，具體使用哪種方法需要根據(jù)實際情況來判定.
回答2：我們可以考慮使用坐標法證明這個結(jié)論，使用坐標法的關(guān)鍵是建立合理的平面直角坐標系.以拋物線的對稱軸為x軸，拋物線的頂點為原點，建立平面直角坐標系Oxy.然后設(shè)出拋物線的方程為，通過建立拋物線及直線的方程，運用方程思想進行計算證明，如圖所示：
思考3：現(xiàn)在問題變成了要證明直線BD與x軸平行，請同學繼續(xù)思考，我們有哪些方法可以證明直線BD平行于x軸呢？
提示：如果BD是平行于x軸的直線，那么BD兩點的坐標有什么特點呢？
回答3：我們可以通過證明B、D兩點的縱坐標相等來證明直線BD平行于x軸.
【師生活動】在面對一個復(fù)雜的新問題時，教師帶領(lǐng)學生逐步分析題干，理清思路.在一問一答之間，解題思路躍然紙上.為接下來的解題和學習做好了準備.
設(shè)計意圖：通過數(shù)形結(jié)合的方式，幫助學生更加直觀的理解問題，培養(yǎng)學生直觀想象的核心素養(yǎng).在教師的引導之下，學生分析出解題方法，培養(yǎng)了學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
思考4：由于直線過定點A，我們可以考慮設(shè)出A的坐標，從而求出OA的方程.你知道該怎么求出A的坐標及OA的方程嗎？
回答4：由于點A在拋物線上，所以我們可以設(shè)出點A的坐標為
，則根據(jù)直線的兩點式方程，可以計算出直線OA的方程為.
思考5：現(xiàn)在我們要求出D的縱坐標，你有什么方法嗎？
提示：仔細觀察圖象，通過直線方程進行計算得出.
回答5：由于點D是直線OA與準線 的交點，所以我們可以聯(lián)立兩個直線方程，得到，解得點D的縱坐標為.
思考6：現(xiàn)在已經(jīng)知道了點D的坐標，只要再求出點B的縱坐標，然后比較兩個點的縱坐標是否相等，即可證明本題.參考上面求解點D坐標的思路，你有什么方法可以求出點B的坐標嗎？
合作探究：
1. 先獨立思考，然后小組內(nèi)交流思路；
2. 小組合作完成探究；
3. 選派代表并匯報得出結(jié)論.
提示：我們發(fā)現(xiàn)點B是直線AF與拋物線的交點，現(xiàn)在已知拋物線的方程，只要再求出直線AF的方程，然后聯(lián)立兩個方程，就可以求出點B的縱坐標.
回答6：已知點F是拋物線的焦點，坐標為，當時，直線AF的方程為.聯(lián)立直線AF的方程與拋物線的方程，得到，解得點B的縱坐標為 .因為點D的縱坐標與點B的縱坐標是相等的，所以可以證明直線DB平行于x軸.
總結(jié)：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊猜想，一般驗證”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程來計算.
【師生活動】教師逐步引導學生求出直線方程，然后利用方程思想求出焦點D與焦點B的縱坐標.使用問答的形式，幫助學生證明直線BD平行于x軸，即直線BD平行于拋物線的對稱軸.最后，給出知識總結(jié)，幫助學生掌握求解直線過定點問題常用方法.
設(shè)計意圖：利用方程思想，結(jié)合圖象，幫助學生求出B、D兩點的縱坐標，培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng).在教師的引導之下，學生根據(jù)B、D兩點的縱坐標證明出本題，培養(yǎng)了學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
任務(wù)2：與拋物線有關(guān)的軌跡問題.
請看下圖，定點B的坐標是（a，-h），BC⊥x軸于點C，M是線段OB上任意一點，MD⊥x軸于點D，ME⊥BC軸于點E，OE與MD相交于點P.
思考1：假設(shè)點P的坐標是（x，y），點M的坐標是（x，m），其中，則點E的坐標是（a，m）.你能求出m的值嗎？
提示：由于點M的坐標是（x，m），并且點M在線段OB上，所以求出OB的方程，即可求出m的值.
回答1：由于點B的坐標是（a，-h），所以直線OB的方程是 .因為點M在OB上，所以將點M的坐標代入OB的方程，得.
思考2：現(xiàn)在已經(jīng)知道了m的值，你能求出直線OE的方程嗎？
回答2：由于，所以點M的坐標是，點E的坐標是，根據(jù)兩點式方程可以計算出直線OE的方程為.
思考3：你能求出點P的軌跡方程嗎？
合作探究：
1. 先獨立思考，然后小組內(nèi)交流思路；
2. 小組合作完成探究；
3. 選派代表并匯報得出結(jié)論.
回答3：我們通過圖象觀察到，由于MD⊥x軸于點D，OE與MD相交于點P，所以點P的橫坐標與點M的橫坐標相同，又由于點M的橫坐標滿足，所以點P的橫坐標也滿足.由于點P在直線OE上，則點P的坐標也滿足.聯(lián)立方程，消去m，得，這便是點P的軌跡方程.
總結(jié)：與拋物線有關(guān)的軌跡方程問題，通常涉及到根據(jù)給定的條件（如距離、角度、比例等）來求解動點的軌跡方程.這類問題要求我們熟練掌握拋物線的標準方程、性質(zhì)以及坐標變換、距離公式、中點公式等基礎(chǔ)知識.以下是一些常見的與拋物線有關(guān)的軌跡方程求解方法：
（1）定義法：
根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點到焦點和準線的距離相等.利用這一性質(zhì)，可以直接求出滿足條件的動點軌跡方程.
（2）相關(guān)點法（代入法）：
如果動點M(x，y)與另一個已知軌跡上的點N有某種關(guān)系（如中點、距離、比例等），且點N的坐標滿足某個方程，則可以通過這種關(guān)系將N的坐標代入方程，得到動點M的軌跡方程.
（3）參數(shù)法：
當動點的坐標之間的關(guān)系不易直接找出時，可以引入一個或多個參數(shù)來表示動點的坐標，然后根據(jù)題目條件建立參數(shù)方程，最后消去參數(shù)得到普通方程.
（4）交點法：
如果動點是兩條曲線的交點，則可以通過聯(lián)立這兩條曲線的方程來求解動點的坐標，進而得到動點的軌跡方程.
【師生活動】教師先從圖像出發(fā)，通過直觀的感受帶領(lǐng)學生求出m的值，從而得出點M和點E的坐標.再通過兩點式方程求出直線OE的方程.然后，帶領(lǐng)學生一起討論，得出點P的軌跡方程，在討論過程中，教師巡回解疑.最后，教師總結(jié)出解決與拋物線有關(guān)的軌跡方程的常用方法，幫助學生進一步增強應(yīng)用拋物線解題的能力.
設(shè)計意圖：結(jié)合圖象，幫助學生求出m的值，進而求出點M與E的坐標，利用兩點式方程求出OE的直線方程.培養(yǎng)了學生數(shù)學運算與直觀想象的核心素養(yǎng).最后通過討論，逐步求出點P的軌跡方程，培養(yǎng)了學生邏輯推理的核心素養(yǎng).
（三）應(yīng)用舉例
例1：已知拋物線：的焦點為，直線的斜率為且經(jīng)過點，與拋物線交于，兩點點在第一象限，與拋物線的準線交于點，若，則下列說法正確的是( )
； 為的中點；； ．
A. B. C. D.
解析：設(shè)拋物線的準線與軸交點為，過點作垂直軸于點，過點作垂直拋物線準線于點，
直線的斜率為且經(jīng)過點，即直線的傾斜角為，
點的橫坐標，
又，
即，則，故正確；
，
由三角形全等判定定理可知，，
，故F為中點，故正確；
由題意可知，在直角三角形中，，
則．
又．
，故正確，
又，
，故錯誤．
總結(jié)：拋物線的焦點弦問題：
如圖
若AB交準線于點P，則 ，
例2：點是拋物線上一動點，若點，記點到直線的距離為，則的值可以取( )
A. B. C. D.
解析：如圖，由拋物線定義可知，．
故答案選ABC．
總結(jié)：拋物線定義的兩種應(yīng)用：
（1）實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化，根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線的定義可以實現(xiàn)點與點之間的距離與點到準線的距離的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題；
（2）解決最值問題，在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線為直線解決最值問題.
設(shè)計意圖：鞏固知識，強化理解.
（四）課堂練習
1.動點到點的距離比它到直線的距離大，則動點的軌跡是( )
A. 橢圓 B. 雙曲線 C. 雙曲線的一支 D. 拋物線
解析：由題意可知，動點到點的距離等于它到直線的距離，
由拋物線定義知，動點的軌跡是拋物線.故選：．
2.設(shè)為坐標原點，直線與拋物線交于，兩點，若，則拋物線的焦點坐標為( )
A. B. C. D.
解析：根據(jù)題意，不妨設(shè)，，因為，可得，所以，故，所以拋物線，所以拋物線的焦點坐標為.故選B．
3.若點到點的距離比它到直線的距離大，則點的軌跡方程為( )
A. B. C. D.
解析：動點到點的距離比它到直線的距離大，動點到點的距離與它到直線的距離相等，根據(jù)拋物線的定義可得點的軌跡為以為焦點，以直線為準線的拋物線，其標準方程為.故選D．
4.設(shè)圓與軸交于，兩點在的上方，過作圓的切線，若動點到的距離等于到的距離，則動點的軌跡方程為( )
A. B. C. D.
解析：由題意可知，，，則：，動點的軌跡為拋物線，且其焦點為，準線為，故點的軌跡方程為．
5.拋物線上到直線距離最近的點的坐標是( )
A. B. C. D.
解析：因為直線的斜率，又因為，則，令，解得，此時，可知拋物線上到直線距離最近的點的坐標是.故選：C.
設(shè)計意圖：通過課堂練習，讓學生反復(fù)鞏固所學知識，能夠靈活運用.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學到了什么？
設(shè)計意圖：通過小結(jié)讓學生進一步熟悉鞏固本節(jié)課所學的知識.

展開更多......

收起↑