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第三章 圓錐曲線的方程
3.3.1 拋物線及其標準方程
1.掌握拋物線的定義及焦點、準線的概念．
2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程，四種不同標準方程形式的特點.
3.理解拋物線方程系數的幾何意義，能解決求拋物線標準方程問題．
重點：拋物線的定義及焦點、準線的概念.
難點：的幾何意義，并能解決簡單的求拋物線標準方程問題．
（一）創設情境
情境：前面已經學習了圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線，這些圖形都可以用數學語言來表達和研究，同樣的研究過程也適用今天的內容——拋物線.
觀察下圖，模仿學過的圓錐曲線學習過程，我們該如何學習下圖曲線？
師生活動：教師給出兩幅圖案，并提出問題，引導學生對圓、橢圓、雙曲線三種圓錐曲線知識進行回顧與思考，梳理出前面學習圓錐曲線的過程.
答：通過“定義——方程——性質——應用”四個環節學習和研究圓錐曲線.
回顧：我們知道，橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：
在平面內與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數e的點的軌跡. (其中定點不在定直線上).
一個動點M到一個定點F和一條定直線l的距離之比為常數e， 點M的軌跡是什么？
答：當01時，軌跡是雙曲線；
當e=1時，軌跡是什么形狀？
設計意圖：通過煙花橋梁這些和拋物線關聯的場景引出本節課的研究對象，讓同學們回顧前面學習過的圓錐曲線知識和幾何意義和研究過程，通過類比從而展開教學.
（二）探究新知
任務1：拋物線的概念感知和理解.
思考：利用信息技術作圖.如圖右F是定點，l是不經過點F的定直線，H 是直線l上任意一點，過點l 作MH⊥L，線段FH 的垂直平分線m交MH于點M.施動點H，觀察點M的軌跡，它是什么形狀？你能發現點M 滿足的幾何條件嗎？
答：點M 的軌跡形狀與二次函數的圖象相似；點M 隨著點H 運動的過程始終有|MF |=|MH |；點M與定點F 的距離等于它到定直線l 的距離.
【概念形成】
定義：我們把平面內與一個定點F 和一條定直線l(l 不經過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F 叫做拋物線的焦點，直線l 叫做拋物線的準線.
思考：當直線l經過點F 時，點的軌跡是什么？
答：過定點F且垂直于定直線l的一條直線.
師生活動：教師提出問題，根據拋物線的圖像特征給予引導總結出幾何特征，拓展引出拋物線的定義.
設計意圖：通過圖像和幾何特征總結感知拋物線，總結出拋物線的定義.針對定義中的前提條件，提出新問題讓學生拓展思考，加深對定義的理解和記憶.
任務2：拋物線的標準方程.
思考1：我們是如何求軌跡方程的？
答：求軌跡方程的流程：建(坐標系)；設(動點坐標)；限(限制條件，動點、已知點滿足的條件)；代(動點、已知點坐標代入)；化(化簡整理).注意檢驗.
思考2：類比求橢圓、雙曲線標準方程的過程，如何建立適當的坐標系，得出拋物線的方程？
合作探究：請先獨立思考，再小組內交流；選派代表全班展示成果；時間2分鐘.
答：考慮拋物線的對稱性，采用方法1建系最恰當.
具體方法如下：
根據拋物線的幾何特征，如下圖，我們取經過點且垂直于直線的直線為軸，垂足為，并使原點與線段的中點重合，建立平面直角坐標系.
設.那么焦點的坐標為，準線的方程為.
設是拋物線上任意一點，點到準線的距離為.
由拋物線的定義，拋物線是點的集合.
因為，，
所以.
將上式兩邊同時平方并化簡，得 ①
從上述過程可以看到，拋物線上任意一點的坐標都是方程①的解，以方程①的解為坐標的點與拋物線的焦點的距離和它到準線的距離相等，即以方程①的解為坐標的點都在拋物線上.
【概念形成】
定義：我們把方程叫做拋物線的標準方程.它表示焦點在軸正半軸上，焦點是，準線是的拋物線.
p的幾何意義：焦點F到準線l的距離.
填一填：
標準方程 焦點坐標 準線方程
答：的焦點坐標為，準線方程為；
的焦點坐標為，準線方程為.
師生活動：教師提出問題，引導學生回顧軌跡方程求解方法，回顧橢圓、雙曲線標準方程的求解過程，一同推導出雙曲線的標準方程，以及拋物線的焦點、準線、p的幾何意義.同時讓學生進行簡單練習.
設計意圖：通過回顧相關知識和過程，推導出拋物線方程并總結相關知識點，簡單練習加深理解和記憶.
任務3：幾種不同形式的拋物線的標準方程辨析.
思考：在平面直角坐標系中，類比橢圓、雙曲線，拋物線的焦點位置會有些什么情況？要怎樣求不同開口方向的拋物線的標準方程呢？
答：
探究：在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選擇不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程，拋物線的標準方程有哪些不同的形式 請探究之后填寫下表.
答：
思考1：拋物線的四種標準方程形式上有什么共同特點
答：左邊都是平方項，右邊都是一次項
思考2：如何根據拋物線的標準方程來判斷拋物線的焦點位置及開口方向？
答：①焦點在一次項字母對應的坐標軸上.
②一次項系數的符號決定了拋物線的開口方向.
任務4：二次函數再認識
思考：二次函數的圖象是拋物線嗎？如果是，請寫出它的焦點坐標、準線方程.
答：∵ ∴ .
當時，表示開口向上的拋物線， ， 焦點坐標為，準線方程為 ；
當時，表示開口向下的拋物線， ， 焦點坐標為，準線方程為 ；
（三）應用舉例
例1：(1)已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程；
(2)已知拋物線的焦點是F(0，-2)，求它的標準方程.
解：(1)因為，拋物線的焦點在軸正半軸上，
所以它的焦點坐標是(，0)，準線方程是.
(2)因為拋物線的焦點在軸負半軸上，且，，
所以拋物線的標準方程是.
總結：拋物線方程的焦點位置由一次項和一次項系數的正負決定.
例2：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：
(1)；(2)；(3).
解：(1)因為，所以，即，
所以它的焦點坐標是，準線方程是.
(2)因為，所以，即，
所以它的焦點坐標是，準線方程是.
(3)因為，所以，所以，即，
所以它的焦點坐標是，準線方程是.
例3：一拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，過焦點作垂直于軸的直線交拋物線于，兩點，的長為8，則拋物線的方程為________．
解：∵拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，
∴設所求拋物線的方程為.
∵，所以．
故所求拋物線的方程為．
總結：確定拋物線方程時，一般先定位(拋物線焦點位置)，后定量(參數的值).
例4：一種衛星接收天線如圖所示，其曲面與軸截面的交線為拋物線.在軸截面內的衛星波束呈近似平行狀態射入形為拋物線的接收天線，經反射聚集到焦點處，如圖.已知接收天線的口徑(直徑)為4.8m，深度為1m.試建立適當的坐標系，求拋物線的標準方程和焦點坐標.
解：如圖，在接收天線的軸截面所在平面內建立直角坐標系，使天線的頂點(即拋物線的頂點)與原點重合，焦點在軸上.
設拋物線的標準方程是.
由題知點的坐標是，代入方程，得，即.
所求拋物線的標準方程是，焦點坐標是.
設計意圖：通過4個層層漸近的例題，幫助學生及時鞏固所學知識，加深理解，提升學生運用所學知識解決問題的能力.
（四）隨堂練習
1.若拋物線上一點到其焦點的距離等于，則( )
A. B. C. D.
解：因為拋物線的標準方程為，其準線方程為，
由于拋物線上一點到其焦點的距離等于，
由拋物線的定義可得，，解得．
2.若拋物線上一點到軸的距離為，則點到拋物線的焦點的距離為( )
A. B. C. D.
解：拋物線的準線方程為，
拋物線上一點到軸的距離為，則，
到拋物線的準線的距離為：，
點到拋物線的焦點的距離為．
故選：．
3.若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于( )
A. B. C. D.
解：拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，
則，，，，，
故選D．
4.若拋物線的焦點到準線的距離為，且頂點是坐標原點，拋物線的開口朝上，則的標準方程為 ．
解：依題意可設的標準方程為，
因為的焦點到準線的距離為，所以，
所以的標準方程為
故答案為：
5.已知拋物線上一點到焦點的距離是，則其準線方程為( )
A. B. C. D.
解：因為拋物線的準線為：，
根據拋物線的定義，可得到準線的距離為，即．
所以準線方程為．
故選：．
6.拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是( )
A. B. C. D.
解：因為拋物線的焦點坐標為，
雙曲線的漸近線方程為，
由對稱性可得點到直線的距離與點到直線的距離相等，
由點到直線的距離公式可得點到直線的距離．
故選：．
設計意圖：及時進行課堂練習，趁熱打鐵，鞏固所學知識.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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