資源簡介

第三章 圓錐曲線的方程
3.2.2雙曲線的簡單幾何性質
第1課時 雙曲線的簡單幾何性質
結合實例，能通過雙曲線的標準方程確定雙曲線的范圍、對稱性、頂點、實軸、虛軸、漸近線、離心率等性質；
理解漸近線的定義，會利用漸近線畫出雙曲線的草圖；
掌握雙曲線的幾何性質，會根據幾何性質求出雙曲線的標準方程；
通過參與課堂活動，激發學習數學的興趣，提高審美情趣，培養勇于探索的精神.
重點:雙曲線的簡單幾何性質及其應用.
難點:雙曲線漸近線、離心率的應用.
(一)創設情境
情境1：復習導入：
師生活動：教師給出雙曲線定義和標準方程的部分內容，引導學生回顧與思考相關內容.
思考：雙曲線的定義是什么？
答：一般地，把平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于非零常數(小于)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
思考：根據所學內容，填寫下表：
焦點位置 焦點在軸上 焦點在軸上
圖形
標準方程
焦點
，，的關系
設計意圖：通過讓學生自主填空式復習，保持知識連貫，為本節課的內容做準備.
情境2：有一首歌，名字叫做《悲傷的雙曲線》，歌詞如下：如果我是雙曲線，你就是那漸近線.如果我是反比例函數，你就是那坐標軸.雖然我們有緣，能夠身在同一個平面；然而我們又無緣，漫漫長路無交點……
你能通過歌詞體會雙曲線的幾何性質嗎？
師生活動:教師出示歌詞并提出問題，學生思考雙曲線有哪些幾何性質，嘗試回答 ，教師不作評價.
設計意圖:通過歌詞意境，激發學生探求雙曲線幾何性質的興趣，使學生主動、積極地參與到教學中來，為后續的學習做好準備.
(二)探究新知
任務1:雙曲線的簡單幾何性質
探究1：從雙曲線的方程上,能看出雙曲線的范圍嗎 如何得出雙曲線的范圍？
師生活動:教師提出問題，并引導學生從雙曲線的圖形和方程兩個角度探究雙曲線的范圍.學生通過觀察雙曲線的形狀和由雙曲線方程計算，得出雙曲線的范圍.
答：如圖所示，觀察雙曲線，我們發現雙曲線上點的橫坐標的范圍是，或，縱坐標的范圍是.
下面利用雙曲線的方程求出它的范圍．
由方程可得
于是，雙曲線上點的坐標都適合不等式 即
所以或，.
這說明雙曲線位于直線及其左側和直線及其右側的區域.
設計意圖:研究雙曲線的范圍，實質上是利用圖形或方程確定雙曲線上點的橫、縱坐標的取值范圍.通過研究雙曲線的范圍，讓學生進一步掌握怎樣利用方程研究曲線性質.
探究2:類比研究橢圓對稱性的方法,如何研究雙曲線的對稱性
師生活動:教師提出問題，學生回答，教師進行總結.
答：從雙曲線的圖形上看：雙曲線關于軸、軸和原點都是對稱的．這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心．
從方程上看：在雙曲線的標準方程中，以代換，方程不變.這說明當點在橢圓上時，它關于軸的對稱點也在雙曲線上，所以雙曲線關于軸對稱.同理，以代換，方程也不變，這說明如果點在雙曲線上，那么它關于軸的對稱點也在雙曲線上，所以雙曲線關于軸對稱.以代，以代換，方程也不變，這說明當點在雙曲線上時，它關于原點的對稱點也在雙曲線上，所以雙曲線關于原點對稱.
設計意圖:通過類比橢圓對稱性的研究方法，探究得出雙曲線的對稱性，讓學生明確研究雙曲線的對稱性的實質是研究雙曲線上點的對稱，知道怎樣通過方程判斷曲線是否關于原點或坐標軸對稱.培養學生的探究能力及數學抽象核心素養 .
探究3:橢圓有四個頂點,雙曲線有幾個頂點？
師生活動:教師提出問題，并引導學生探究，提醒學生注意不同類型雙曲線的頂點不同.學生完成關于雙曲線的頂點的探究.
答：類比求橢圓頂點的方法，在方程中，令，得，因此雙曲線和軸有兩個交點．因為軸是雙曲線的對稱軸，所以雙曲線和它的對稱軸有兩個交點，它們叫做雙曲線的頂點．
令，得，這個方程沒有實數解，說明雙曲線和軸沒有公共點，但我們也把兩點畫在軸上
線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于，叫做雙曲線的實半軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于，叫做雙曲線的虛半軸長．
思考1：焦點在軸上的雙曲線的頂點是什么？
答：
.，
思考2：橢圓的焦點永遠在長軸上,雙曲線的焦點在哪個軸上？
答：雙曲線的焦點在實軸上.
設計意圖:通過問題引導學生思考，明確雙曲線頂點、實軸、虛軸的含義，已經知道怎樣類比求橢圓頂點的方法，通過方程研究曲線的頂點.
探究4：利用信息技術畫出雙曲線線和兩條直線．在雙曲線的右支上取一點，測量點的橫坐標以及它到直線的距離．沿曲線向右上方拖動點，觀察和的大小關系，你發現了什么？
師生活動:教師出示問題，引導學生舉具體的例子探究，然后師生共同歸納一般性的結論.
答：可以發現，點的橫坐標越來越大，越來越小，但是始終不等于0．
實際上，經過兩點，作軸的平行線，經過兩點，作軸的平行線，四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對角線所在直線的方程是，即．可以發現，雙曲線的兩支向外延伸時，與兩條直線逐漸接近，但永不相交．
思考1：過雙曲線的實軸、虛軸頂點作坐標軸的平行線得到矩形，矩形的對角線所在的直線方程分別是什么？雙曲線與這兩條直線有什么關系？
答：對角線所在的直線方程分別是，即.雙曲線的范圍在以直線和為邊界的平面區域內，從，的變化趨勢看，雙曲線與直線逐漸接近.
【概念的形成】
1.雙曲線漸近線的概念：一般地，雙曲線的兩支向外延伸時，與兩條直線逐漸接近，我們把這兩條直線叫做雙曲線的漸近線．雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．
2.等軸雙曲線：在雙曲線中，如果，那么方程變為，此時雙曲線的實軸和虛軸的長都等于．這時，四條直線，圍成一個正方形，漸近線方程為，他們互相垂直，并且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角．實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線．
總結：
1.雙曲線與它的漸近線無限接近，但永遠不相交.
2.雙曲線的漸近線方程為，即；
雙曲線的漸近線方程為，即．
3.由漸近線方程可確定與或與的比值，但無法確定焦點位置.
4.兩類漸近線方程容易混淆，可將雙曲線方程中等號右邊的1改為0，再因式分解求解.
思考2：具有相同漸近線的雙曲線焦點位置都一樣嗎
答：由圖可知，焦點位置不同的雙曲線也可能有相同的漸近線，即具有相同漸近線的雙曲線焦點位置不一定一樣.
思考3：如何利用雙曲線的漸近線作出雙曲線的圖形
答：利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準確地畫出雙曲線的草圖.具體做法是：畫出雙曲線的漸近線；確定雙曲線頂點及雙曲線上第一象限內任意一點的位置，然后根據雙曲線在第一象限內從漸近線的下方(或上方)逐漸接近漸近線的特點過這兩點畫出雙曲線的一部分；最后利用雙曲線的對稱性畫出完整的雙曲線.
設計意圖:通過對雙曲線漸近線的研究，幫助學生認識到雙曲線與漸近線無限接近而不相交的變化趨勢，培養學生的直觀想象核心素養.
探究5：橢圓的離心率刻畫了橢圓的扁平程度，雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的什么幾何性質呢？
師生活動：可借助信息技術的演示，以增強學生對雙曲線離心率是如何影響雙曲線張口大小的直觀認識.
答：雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小.
雙曲線的離心率，離心率越大，漸近線的斜率越大，雙曲線的“張口”越大．
思考：雙曲線的離心率和漸近線的斜率之間有什么聯系？
答：由得，，.
思考：橢圓與雙曲線的離心率都是，其范圍一樣嗎？
答：不一樣.因為雙曲線的標準方程中，，所以雙曲線的離心率.而橢圓的離心率滿足.
設計意圖:通過對雙曲線離心率的研究，引導學生學習用雙曲線標準方程中的參數刻畫雙曲線的幾何特征的方法，并明確雙曲線與橢圓的離心率的取值范圍不同，培養學生的數形結合思想，發展直觀想象.
探究6：等軸雙曲線的漸近線方程和離心率分別是什么？
師生活動：教師提出問題，學生思考并回答，教師補充并展示.
答：漸近線方程是,離心率是.
總結：關于等軸雙曲線：
1.定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線；
2.等軸雙曲線具有以下性質：
（1）方程形式為；
（2）漸近線方程為，它們互相垂直，并且平分雙曲線的實軸和虛軸所成的角；
（3）實軸長和虛軸長都是，離心率.
設計意圖:通過問題，引導學生類比思考，得到等軸雙曲線的幾何性質，發展學生的數學抽象、直觀想象等核心素養.
師生活動：師生共同總結雙曲線的簡單幾何性質.
圖形
方程
范圍 或， 或，
對稱性 關于軸、軸、原點對稱 關于軸、軸、原點對稱
頂點
離心率
漸近線
設計意圖：結合雙曲線的標準方程，運用方程與函數思想獲得雙曲線的幾何性質，幫助學生進一步體會數形結合的數學思想.
(三)應用舉例
例1:求雙曲線的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標、離心率、漸近線方程．
師生活動:教師出示例1，學生獨立完成，教師點評.
解：把雙曲線化為標準方程
由此可知，實半軸長，虛半軸長，，
焦點坐標是，；離心率；漸近線方程為．
設計意圖:通過例1的解答，幫助學生鞏固雙曲線中的幾何要素與幾何性質的認識，掌握確定雙曲線幾何性質的方法，培養學生的數學運算核心素養.
例2:雙曲線型冷卻塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面（如圖1所示）它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為．試建立適當的坐標系，求出此雙曲線的方程（精確到）．
師生活動:教師出示例2，并引導學生分析、理解題意，然后由學生獨立完成，教師點評.
解：根據雙曲線的對稱性，在冷卻塔的軸截面所在平面建立如圖所示的直角坐標系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合這時，上、下口的直徑都平行于軸，且，
設雙曲線的方程為，點的坐標為，則點的坐標為．
因為直徑是實軸，所以又，兩點都在雙曲線上，所以
由方程，得負值舍去代入方程，得
化簡得．
解方程，得負值舍去．
因此所求雙曲線的方程為．
設計意圖:通過例2的學習，幫助學生盡快掌握求實際問題中雙曲線的標準方程的方法，培養學生的數學建模、數學運算的核心素養.
例3：求證：雙曲線的焦點到漸近線的距離為.
解：雙曲線的漸近線方程為，則點到漸近線的距離．
設計意圖:通過例3的學習，幫助學生發現和探索雙曲線的其它性質，培養學生的觀察、猜想、推理等核心素養.
(四)課堂練習
1.雙曲線的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
解：由解得雙曲線的漸近線方程為．
故選：．
2.已知雙曲線的左焦點到其漸近線的距離為，則該雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
解：根據雙曲線的幾何性質可知，左焦點，
其到漸近線的 距離為，
因為，所以．
故選：．
3.雙曲線的漸近線方程為 ．
解：當時，雙曲線方程可化為，
，
所以，，
所以漸近線方程為
同理，可求得當時漸近線方程也為
故答案為
4.已知雙曲線的兩個焦點分別為，，且過點．
求雙曲線的虛軸長；
求與雙曲線有相同漸近線，且過點的雙曲線的標準方程．
解：由題意，易知，，且 ，
在中，，
由雙曲線的定義可知，，，即 ，
雙曲線的兩個焦點分別為，， ，
又，，
故雙曲線的虛軸長為；
由知雙曲線的方程為 ，
設與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為，
將點的坐標代入上述方程，得，
故所求雙曲線的標準方程為．
設計意圖:通過課堂練習,進一步鞏固本節課的內容，提高學生解決問題的能力.
(五)歸納總結
回顧本節課的內容,你都學到了什么
設計意圖:通過對本節內容進行反思、歸納、總結，達到深化知識理解、構建知識網絡、領悟思想方法的目的.第三章 圓錐曲線的方程
3.2.2雙曲線的簡單幾何性質
第2課時 雙曲線的簡單幾何性質
1.會求雙曲線的漸近線方程及已知漸近線方程求雙曲線方程等問題；
2.掌握直線與雙曲線的位置關系及其判定；
3.理解并掌握直線與雙曲線的交點個數的判斷及求法；
4.會利用雙曲線的簡單幾何性質求雙曲線的弦長等簡單的應用.
重點：直線與雙曲線位置關系.
難點：結合圖象討論分析直線與雙曲線位置關系.
復習導入
師生活動：教師提出問題，引導學生進行回顧與思考.
思考：根據所學的橢圓的簡單幾何性質的有關知識，填寫下表：
圖形
方程
范圍 或， 或，
對稱性 關于軸、軸、原點對稱 關于軸、軸、原點對稱
頂點
離心率
漸近線
設計意圖：通過復習上一節課的內容，鞏固橢圓有關的基礎知識，為本節課進一步深入研究橢圓的幾何性質相關的問題作鋪墊.
（二）探究新知
任務1：雙曲線漸近線的求法
探究：求滿足下列條件的雙曲線的標準方程：
以直線為漸近線，過點；
與雙曲線具有相同的漸近線，且過點；
師生活動：教師給出探究問題，學生分析，自主作答，教師評價.
解：（1）由題意，可設所求雙曲線方程為.
將點的坐標代入方程得，即.
因此，所求雙曲線的標準方程為.
（2）設所求雙曲線方程為.
由點在雙曲線上得.
故所求雙曲線的標準方程為.
總結：求雙曲線漸近線的方法：
（1）已知雙曲線方程求漸近線方程：
若雙曲線方程為，則求其漸近線方程時，可令，則，得.
（2）已知漸近線方程求雙曲線方程：
若雙曲線的漸近線方程為，則可設雙曲線方程為，
根據已知條件求出的值即可.
求與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程：
與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程可設為（0，焦點在軸上；0，焦點在軸上），根據已知條件求出的值即可.
設計意圖：通過探究學習，讓學生掌握雙曲線的漸近線的求法，培養學生的計算能力.
任務2：直線與雙曲線的位置關系的判斷
思考：直線與橢圓的位置關系有幾種？如何研究直線與橢圓的位置關系？
答：三種：相離、相切、相交；
有兩種方法：
方法一：圖象法；
方法二：判別式法：把直線與雙曲線的方程聯立成方程組,通過消元后化為一元二次方程，通過方程的判別式（或解的個數）來說明：
(1)當時，直線與橢圓有兩個公共點.
(2)當時，直線與橢圓只有一個公共點.
(3)當時，直線與橢圓沒有公共點.
設計意圖：通過回憶、總結加強對直線與橢圓位置關系的感性和理性認知，并為學習直線與雙曲線的位置關系做鋪墊.
思考：類比直線與橢圓的位置關系的研究方法,如何研究直線與雙曲線的位置關系？
探究1：圖象法
師生活動：教師引導學生作圖，教師評價.
答：一個交點
兩個交點：
沒有交點：
探究2：判別式法
已知直線與雙曲線，當實數為何值時，直線與雙曲線：（1）沒有公共點；（2）有兩個公共點；（3）有一個公共點.
師生活動：教師提出問題，學生思考，教師補充說明.
分析：聯立方程組，消去，得-----①
若，即時，方程①為一次方程，只有一解，直線與雙曲線有一個公共點；
若，，
當，即時，方程①無解，直線與雙曲線沒有公共點；
當，即時，方程①有兩個相等的根，直線與雙曲線只有一個公共點；
當，即或時，方程①有兩個不相等的根，直線與雙曲線有兩個公共點.
答：（1）當時，直線與雙曲線沒有公共點；
（2）當或時，直線與雙曲線有兩個公共點；
（3）當或時，直線與雙曲線只有一個公共點.
注意：（1）三個問題中，前兩個問題類似直線與橢圓的位置關系，但問題（3）要對二次項的系數加以討論，不同于前面的情況，比較特殊.
（2）直線與雙曲線有一個公共點的情況有兩種：一種是直線與雙曲線的漸近線平行；另一種是直線與雙曲線相切.
探究3：已知直線與雙曲線，試探究其交點個數情況及位置關系.
答：聯立，消去，得-------①
（1）若即，直線與雙曲線的漸近線平行或重合.方程①為一元一次方程：
當時，方程無解.直線與 雙曲線無交點，此時直線為，直線與漸近線重合，位置關系：相離.
當時，方程①有唯一解，直線與雙曲線有唯一公共點，此時直線為，直線與漸近線平行，位置關系：相交.
若即，.
當時，只有一個公共點，直線與雙曲線相切；
當時，有兩個公共點，直線與雙曲線相交；
當時，沒有公共點，直線與雙曲線相離.
結論：有一個公共點：①直線與漸近線平行；
②直線與雙曲線相切.
有兩個公共點：.
沒有公共點：直線與雙曲線相離①，即；
②
設計意圖：通過類比直線與橢圓的位置關系的研究方法，從特例出發到一般情形的分析論證，得出直線與雙曲線的位置關系，培養學生的類比推理能力.
探究4：已知直線與雙曲線相交于兩點，當滿足什么條件時，點位于雙曲線的同一支上？滿足什么條件時，點位于雙曲線的兩支上？
師生活動：教師展示交點位于雙曲線的同一支上與位于雙曲線的兩支上的圖象，引導學生觀察并思考它們有什么共同點和不同點，再歸納總結分析，得出結論.
答：共同點：都有兩個公共點.
不同點：交點在同一支上時，兩交點的橫坐標同號，交點在兩支上時，兩交點的橫坐標異號.由二次方程的根與系數關系，結合直線與雙曲線的位置關系的條件可得：
①點在同一支上；
②點分別在兩支上.
設計意圖：通過數形結合，對比討論的方式，讓學生進一步理解直線與雙曲線的位置關系，達到對知識的內化與延伸.
（三）應用舉例
例1：已知過點的直線與雙曲線只有一個公共點，求直線的斜率的值．
師生活動：教師出示例1，引導學生求解，學生作答，教師評價.
分析：與判斷直線與橢圓的位置關系不同，當直線與雙曲線有一個公共點時，除了考慮聯立直線和雙曲線的方程，消元看一元二次方程的根的判別式外，還需考慮直線和漸近線平行，以及直線斜率不存在且與雙曲線相切這兩種特殊情況.
解：可分兩種情況：
（1）當直線斜率不存在時，：與雙曲線相切，符合題意；
（2）當直線斜率不存在時，設直線的方程為，聯立整理得
若，即，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個公共點；
若，則，解得
綜上可得，直線的斜率不存在或或
設計意圖：通過對直線與雙曲線有一個交點時復雜情況的討論研究，讓學生進一步理解直線與雙曲線的位置關系.
例2：動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數，求動點的軌跡．
師生活動：教師出示例2，引導學生畫圖分析，學生作答，教師點評.
解：設是點到直線的距離，根據題意，動點的軌跡就是點的集合，
由此得．
將上式兩邊平方，并化簡，得，即．
所以，點的軌跡是焦點在軸上，實軸長為、虛軸長為的雙曲線．
思考：將這個例題與教材橢圓一節中的例6比較，你有什么發現？
師生活動：教師提出思考問題，學生對比兩道例題，總結規律，嘗試回答.
答：圓錐曲線的統一定義：平面內動點與定點的距離和它到定直線的距離的比是常數.
若常數，即，則點的軌跡為橢圓，方程為.
若常數，即，則點的軌跡為雙曲線，方程為.
設計意圖：通過例2的學習，獲得求雙曲線軌跡方程的方法，與教材橢圓一節的例6對比，總結規律，引出圓錐曲線的統一定義，提升學生的數學抽象能力，發展學生的邏輯推理和數學運算等核心素養.
例3：如圖所示，過雙曲線右焦點傾斜角為30的直線交雙曲線于，兩點，求.
師生活動：教師出示例3并指導學生類比橢圓的弦長求法，分析問題，然后由學生獨立完成，教師視情況講解、點評.
解：方法一：由雙曲線的標準方程可知，雙曲線的焦點分別為,.
因為直線的傾斜角是30，且經過右焦點，所以直線的方程為.①
由，消去，得，解方程，得 =.
將的值分別代入①，得
2， .
于是，兩點的坐標分別為，，
所以，
方法二：由雙曲線的方程得，，
，，．
直線的方程為．
設，，由得．
，．
．
總結：解決與雙曲線有關的弦長問題和解決橢圓中的弦長問題類似，有兩種方法：
（1）求出兩個交點坐標，用兩點間距離公式計算；
（2）“設而不求”，根據弦長公式
或計算.
設計意圖：讓學生熟悉直線與雙曲線相交時弦長的求法，培養學生的邏輯推理與數學運算的核心素養.
（四）課堂練習
1.已知雙曲線的離心率為分別為雙曲線的左、右兩個頂點，左頂點到雙曲線漸近線的距離為；
求雙曲線的方程；
若過點且斜率為的直線與雙曲線僅有一個交點，求實數的值．
解：左頂點到雙曲線漸近線的距離為；
由題意可知：，則得，雙曲線的方程為；
設直線，
聯立，消元可得，
，
，則．
綜上，的值為或．
2.雙曲線的焦點與橢圓的焦點相同，雙曲線的離心率為．
求雙曲線的方程；
若雙曲線的一弦中點為，求此弦所在的直線方程．
解：設雙曲線的方程為，
橢圓的焦點為，，
，
雙曲線的離心率為，即，
解得，，
雙曲線的方程為；
設弦的兩端分別為，．
則有：
所以，
即，
弦中點為，
故直線的斜率，
則所求直線方程為：，
即．
設計意圖：通過課堂練習，幫助學生進一步鞏固本節可所學的內容，提高學生解決問題的能力.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過課堂小結，幫助學生進一步鞏固本節課的知識，構建自己的知識體系.

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