資源簡介

2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時一
知識點一 求橢圓中的最值問題
典例1、如圖，橢圓的左、右焦點為，過的直線與橢圓相交于、 兩點.
（1）若，且 求橢圓的離心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
隨堂練習：已知橢圓的左、右焦點分別為，橢圓E的離心率為，且通徑長為1．
（1）求E的方程；（2）直線l與E交于M，N兩點（M，N在x軸的同側），當時，求四邊形面積的最大值．
典例2、已知焦點在x軸的橢圓C：離心率e=，A是左頂點，E（2，0）
（1）求橢圓C的標準方程：
（2）若斜率不為0的直線l過點E，且與橢圓C相交于點P，Q兩點，求三角形APQ面積的最大值
隨堂練習：已知橢圓的中心在原點，焦點，且經過點．
（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上有一點P，另一焦點，求的面積的最大值．
典例3、橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，過的長軸，短軸端點的一條直線方程是.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點作直線交橢圓于，兩點，若點關于軸的對稱點為，證明直線過定點.
隨堂練習：已知橢圓經過點和點．
（1求橢圓的標準方程和離心率；
（2）若、為橢圓上異于點的兩點，且點在以為直徑的圓上，求證：直線恒過定點．
知識點二 求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題,根據韋達定理求參數
典例4、已知雙曲線的左、右焦點分別為、，雙曲線的右頂點在圓上，且．
（1）求雙曲線的方程；（2）動直線與雙曲線恰有1個公共點，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，設為坐標原點．求證：的面積為定值．
隨堂練習：已知雙曲線C：的離心率為，焦點到其漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點，O為坐標原點，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．
典例5、已知雙曲線W：的左、右焦點分別為、，點，右頂點是M，
且，．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．
隨堂練習：在一張紙上有一圓：，定點，折疊紙片使圓C上某一點恰好與
點M重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕PQ，設折痕PQ與直線的交點為T.
（1）求證：為定值，并求出點的軌跡方程；
（2）曲線上一點P，點A B分別為直線：在第一象限上的點與：在第四象限上的點，若，，求面積的取值范圍.
典例6、已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經過點．
（1）求雙曲線的方程； （2）已知雙曲線的左右焦點分別為，，直線經過，斜率為， 與雙曲線交于A，兩點，求的值．
隨堂練習：已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程； （2）過F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時一答案
典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.
解:（1）， 因為。所以， 所以，
所以
（2）由于，得，則.
①若垂直于軸，則， 所以，
所以
②若與軸不垂直，設直線的斜率為，則直線的方程為
由 得
，方程有兩個不等的實數根.
設，.,
=
，所以當直線垂于軸時，取得最大值
當直線與軸重合時，取得最小值
隨堂練習：答案：（1）；（2）2.
解:（1）依題意可知，解得 故橢圓的方程為．
（2）延長交E于點，由（1）可知，
設，設的方程為，由得，故．
設與的距離為d，則四邊形的面積為S，
，
又因為，
當且僅當，即時，等號成立， 故四邊形面積的最大值為2．
典例2、答案：（1）（2）
解:（1）∵∴，a=4， 橢圓的標準方程為；
（2）設直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程得，
設P，Q，則
∴三角形APQ面積為：，
令
∵函數y=x+在上單調遞增
∴當u=，即m=0時，三角形APQ的面積取最大值.
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）因為橢圓的焦點為且過，所以
所以，，所以橢圓方程為：；
（2）因為，
因為，
所以，此時P點位于短軸端點處
典例3、答案：（1）；（2）見解析
解: （1）對于，當時，，即，當，，即，
橢圓的方程為，
（2）證明：設直線，（）， 設，兩點的坐標分別為，，則，
聯立直線與橢圓得， 得，
，解得 ，，
， 直線 ，
令，得 ，
直線過定點
隨堂練習：答案：（1）橢圓的標準方程為，離心率為 （2）證明見解析
解：（1）將點、的坐標代入橢圓的方程可得，解得，則，
所以，橢圓的標準方程為，離心率為.
（2）分以下兩種情況討論：
①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，
聯立可得， 可得，
由韋達定理可得，，
，同理可得，
由已知，則
，
所以，，即，解得或.
當時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；
當時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意；
②當直線軸，則點、關于軸對稱，所以，，，即點，
由已知可得， ，，由已知，
則，所以，，因為，解得，
此時直線的方程為，則直線過點. 綜上所述，直線過定點.
典例4、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）不妨設 , 因為,
從而 故由 , 又因為, 所以 ,
又因為 在圓 上, 所以
所以雙曲線的標準方程為：
（2）設直線與軸交于點，雙曲線的漸近線方程為
由于動直線與雙曲線恰有1個公共點, 且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點,
當動直線的斜率不存在時, ,，,
當動直線的斜率存在時, 且斜率, 不妨設直線 ,
故由
依題意，且 , 化簡得 ,
故由 , 同理可求,,
所以 又因為原點到直線的距離,
所以,又由 所以,
故的面積是為定值,定值為
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）雙曲線C：的焦點坐標為，其漸近線方程為，
所以焦點到其漸近線的距離為． 因為雙曲線C的離心率為，
所以，解得， 所以雙曲線C的標準方程為．
（2）設，， 聯立，得，，
所以，．
由， 解得t＝1（負值舍去），
所以，． 直線l：，所以原點O到直線l的距離為，
， 所以△OAB的面積為．
典例5、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，則，∴，∴，
解得，，∴雙曲線的方程為．
（2）直線l的斜率存在且不為0，設直線l:，設、，
由，得， 則，解得①，
∵點在以線段AB為直徑的圓的外部，則，
，解得②，
由①、②得實數k的范圍是.
由已知，∵B在A、Q之間，則，且，
∴，則，∴， 則，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范圍是．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析， （2）
解：（1）證明：如圖，由點與關于對稱，
則，，故為定值.
由，
由雙曲線定義知，點的軌跡為以為焦點，實軸長為8的雙曲線，
設雙曲線方程為 ，，
所以雙曲線方程為；
（2）由題意知，分別為雙曲線的漸近線
設，由，設.
，由于P點在雙曲線上
又同理，設的傾斜角為，
則.
由函數的性質可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時， ；
當時，； .
典例6、答案： （1） （2）6
解：（1）設所求雙曲線方程為， 代入點得：，即，
雙曲線方程為，即；
（2）由（1）知：，， 即直線的方程為，
設，， 聯立，得，
滿足，且，，
由弦長公式得.
隨堂練習：答案： （1）；（2）證明見解析.
解:（1）設雙曲線方程為 由題知
雙曲線方程為：
（2）設直線l的方程為代入
整理得，設 所以：
由弦長公式得：
設AB的中點 則， 代入l得：
AB的垂直平分線方程為
令y=0得，即，所以：為定值.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時二
知識點一 根據橢圓過的點求標準方程,橢圓中的直線過定點問題
典例1、已知橢圓T：經過以下四個不同點中的某三個點：，，，．
（1）求橢圓T的方程；
（2）將橢圓T上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，得到橢圓E．已知M，N兩點的坐標分別為，，點F是直線上的一個動點，且直線，分別交橢圓E于G，H（G，H分別異于M，N點）兩點，試判斷直線是否恒過定點？若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．
隨堂練習：已知橢圓：（）的左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線：與的兩個交點和，構成一個面積為的菱形.
（1）求的方程；
（2）圓過，，交于點，，直線，分別交于另一點，.
①求的值； ②證明：直線過定點.
典例2、已知橢圓過點，橢圓的左、右頂點分別為，點P坐標為，成等差數列．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若對斜率存在的任意直線l與橢圓恒有M，N兩個交點，且．證明：直線l過定點．
隨堂練習：已知橢圓：過點，且點A到橢圓的右頂點的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為坐標原點，直線：與交于M，N兩點，記線段MN的中點為P，連接OP并延長交于點Q，直線交射線OP于點R，且，求證；直線過定點.
典例3、如圖，已知橢圓：經過點，離心率為.點，以為直徑作圓，過點M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點A，B和點N.
（1）求橢圓的標準方程； （2）當的面積最大時，求直線的方程.
隨堂練習：已知橢圓C的左、右焦點分別為，離心率為，過點且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點P，且的面積為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線與y軸正半軸交于點S，與曲線C交于點E，軸，過點S的另一直線與曲線C交于M，N兩點，若，求所在的直線方程．
知識點二 求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題,根據韋達定理求參數
典例4、已知雙曲線的焦距為，且過點，直線與曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線與、兩點，為坐標原點.
（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值.
典例5、已知雙曲線：的右焦點與拋物線的焦點重合，一條漸近線的傾斜角為．
（1）求雙曲線的方程；（2）經過點的直線與雙曲線的右支交與兩點，與軸交與點，點 關于原點的對稱點為點，求證：．
隨堂練習：已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數，的左 右焦點分
別為，，且到的一條漸近線的距離為1.
（1）求的標準方程；（2）若是與在第一象限的交點，與的另一個交點為P，與的另一個交點為，與的面積分別為，，求.
典例6、已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
（1）求圓心的軌跡方程（2）若過點且斜率的直線與交與兩點，線段的垂直平分線交軸與點，證明的值是定值.
隨堂練習：已知點，，動點滿足直線的斜率與直線的斜率乘積為．當
時，點的軌跡為；當時點的軌跡為．
（1）求，的方程；
（2）是否存在過右焦點的直線，滿足直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，且？若存在，求所有滿足條件的直線的斜率之積；若不存在，請說明理由，
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時二答案
典例1、答案：（1）；（2）直線恒過定點.
解:（1）由題意可得A，C一定在橢圓上，即①， 若B在橢圓上，則②，
由①②可得，不存在， 所以D在橢圓上，可得③，
由①③可得，， 所以橢圓的方程為：；
（2）將橢圓T上所有點的縱坐標縮短為原來的倍，橫坐標不變，
設E上的點為：，對應的點，由題意可得，， 所以，，
所以E的方程， 設，，， ，
所以直線的方程為：，直線的方程，
聯立直線與橢圓的方程整理可得，
所以，，即，
聯立直線NF與橢圓的方程：整理可得，
所以，即，
所以直線的斜率為：，
所以直線的方程為：，
整理可得，當，. 所以直線恒過定點．
隨堂練習：答案：（1） （2）①②證明見解析
解：（1）因為直線：與的兩個交點和，構成的四邊形是菱形，
所以垂直平分，所以，.
設為直線與的一個交點，則菱形的面積為.
因為菱形的面積為，所以，解得，即.
將點代入，得，又因為，所以.
故的方程為.
（2）①由題意，得為圓的一條弦，且直線垂直平分該弦，
故直線經過圓心，所以為圓的直徑，因此，即.
設，，則.
注意到，，則.
又因為，，所以.
②易知直線不可能平行于軸，則設直線的方程為（），，.
由得. ，（*）
，.①因為，，所以，
即， 即.
將①代入上式得，
化簡得，解得，滿足（*），
所以直線的方程為， 故直線過定點.
典例2、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意知：，， 成等差數列．可得：
解得： 又，，解得： 故橢圓標準方程為：
（2）設直線方程為
聯立，化簡得：
可得：，，
則有：
可得： 解得：或 故直線方程為：或
所以直線恒過點或
又因為直線l與橢圓恒有兩個交點，故易知定點必在橢圓內，故直線l恒過點
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意得，，解得或（舍去）， 則橢圓的方程為
將代入：得，，解得， 則橢圓的方程為.
（2）設，，：，
聯立，得，
由得，∴，∴.
由斜率公式可知，∴：，∴.
聯立，得，即.
∵，∴，
∴，∴，此時滿足，
則直線為：，則直線過定點.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）將點代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因為，設直線的方程為，設，，
聯立，得， 且，則，，
則，且， 直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離為， ∴，
∴面積，
當且僅當時，取到等號，此時， 所以直線的方程為.
隨堂練習：答案： （1） （2）或.
解：（1）由題意知，， 又，∴，，
∴橢圓標準方程為.
（2）∵軸，∴， 設，則，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
設，，則，， ∴.
①當直線的斜率不存在時，的方程為，此時∴不符合條件.
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯立得.
得， ∴，即，解得.
故直線的方程為或.
典例4、答案：（1）；（2）證明見解析，面積為.
解:（1）設雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則雙曲線的方程為；
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），則直線的斜率存在，
設直線的方程為， 則消得，
，①
設與軸交于一點，，
，
雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯立，聯立，
則（定值）.
典例5、答案：（1）；（2）證明見解析．
解：（1）由題意得，，
解得所以雙曲線的方程為：
（2）由題意知直線的斜率存在，設直線方程為：，得，，
設，， 聯立，整理可得
， 所以
所以
直線與雙曲線右支有兩個交點，所以
所以，設，
所以
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）雙曲線的離心率為： 故橢圓的離心率為：
雙曲線的一條漸近線方程為：
設的坐標為：，則，解得
又，解得， 故橢圓的標準方程為：
（2）聯立方程組： 解得：，即點坐標為：
直線的斜率為： 則直線的方程為：
聯立方程組： 解得：或
即點坐標為，點到的距離為
聯立方程組： 解得：或
即點坐標為，點到的距離為 則，即
典例6、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）因為圓C與圓A、圓B外切， 設C點坐標，圓C半徑為，
則，， 所以<4， 所以點C的軌跡是雙曲線的一支，
又，，， 所以其軌跡方程為；
（2）設直線為，
聯立，消去y得：， 所以，
設MN中點坐標為G，則，
所以，，
直線GP的方程為:， ，
所以， 所以=1.
隨堂練習：答案： （1）C1：，C2： （2）存在，
解：（1）設，． 對于，由題可得， 整理得，
故的方程為． 對于由題可得，
整理得． 故的方程為．
（2）由（1）可得，，
的右焦點為，設，，，．
當直線的斜率不存在時，直線與無交點，不滿足題意，故直線的斜率存在，
于是可設直線的方程為，
聯立直線方程與橢圓方程可得，
恒成立， 由韋達定理：，．①
于是， 將①代人整理得．
同理其中，故．
因為，所以．
設，則即．
平方整理得， 因式分解得，
解得，，（舍去）， 即，．
于是所有滿足條件的直線的斜率之積為．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時三
知識點一 根據橢圓過的點求標準方程,橢圓中的直線過定點問題
典例1、已知橢圓經過點和點．
（1）求橢圓的標準方程和離心率；
（2）若、為橢圓上異于點的兩點，且點在以為直徑的圓上，求證：直線恒過定點．
隨堂練習：已知橢圓過點，且離心率為．
（1）求該橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在定點M，過該點的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，使得為定值？如果存在，求出點M坐標；如果不存在，請說明理由.
典例2、已知橢圓經過點，其右頂點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經過定點．
隨堂練習：已知F是橢圓的左焦點，焦距為4，且C過點．
（1）求C的方程；
（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點，l2與C交于D，E兩點，記AB的中點為M，DE的中點為N，試判斷直線MN是否過定點，若過點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．
典例3、已知為橢圓上任一點，，為橢圓的焦點，，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線：與橢圓的兩交點為A，，線段的中點在直線上，為坐標
原點，當的面積等于時，求直線的方程．
隨堂練習：已知橢圓的對稱中心為原點，焦點在軸上，左、右焦點分別為，，且，點在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程； （2）過的直線與橢圓相交于，兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．
知識點二 根據雙曲線的漸近線求標準方程,求雙曲線中的弦長,由中點弦坐標或中點弦方程、
斜率求參數,根據韋達定理求參數
典例4、已知雙曲線C的兩焦點在坐標軸上，且關于原點對稱.若雙曲線C的實軸長為2，焦距為，且點P（0，-1）到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過點P的直線l分別交雙曲線C的左、右兩支于點A、B，交雙曲線C的兩條漸近線于點D、E（D在y軸左側）.記和的面積分別為、，求的取值范圍.
隨堂練習：雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，且焦點到其漸近線的距離為2．
（1）求雙曲線的標準方程； （2）過點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點，與其漸近線分別交于，（從左至右）兩點． ①證明：；
②是否存在這樣的直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
典例5、已知兩定點,滿足條件的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1
與曲線E交于A,B兩點,
(1)求k的取值范圍;
(2)如果,且曲線E上存在點C,使,求m的值和的面積S．
典例6、已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的標準方程與離心率；（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點，為坐標原點，直線，的斜率之積為，求的面積．
隨堂練習：在平面直角坐標系中中，已知雙曲線的一條漸近線方程為，
過焦點垂直于實軸的弦長為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線交于兩點，且，若的面積為，求直線的方程.
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時三答案
典例1、答案：（1）橢圓的標準方程為，離心率為 （2）證明見解析
解：（1）將點、的坐標代入橢圓的方程可得，解得，則，
所以，橢圓的標準方程為，離心率為.
（2）分以下兩種情況討論：
①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，
聯立可得，
可得，
由韋達定理可得，，
，同理可得，
由已知，則
，
所以，，即，解得或.
當時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；
當時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意；
②當直線軸，則點、關于軸對稱，所以，，，即點，
由已知可得， ，，由已知，
則，所以，，因為，解得，
此時直線的方程為，則直線過點. 綜上所述，直線過定點.
隨堂練習：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，橢圓，將代入可得，故，
橢圓方程為：；
（2）當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，，，，
聯立方程可得：，
，，為常數，
代入韋達定理可知，即為常數，，故
且，直線l過定點
當直線l斜率為0時，可檢驗也成立，故存在定點.
典例2、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意可知，，將點的坐標代入橢圓的方程可得，可得，
因此，橢圓的方程為.
（2）證明：若軸，則點、關于軸對稱，則直線與也關于軸對稱，
從而直線與的斜率互為相反數，不合乎題意.
設直線方程為，設點、，
聯立，可得，，可得，
由韋達定理可得，，因為，
整理可得，
即，化簡得，
即，可得或.
當時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；
當時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意.
隨堂練習：答案：（1） （2） 過定點，定點坐標為
解：（1）依題意， 由解得， 所以橢圓的方程為.
（2）由題意知，當其中一條的斜率不存在時，另外一條的斜率為，此時直線為軸；
當的斜率都存在且不為時，設，
設，聯立，整理得，
，，
則， 所以的中點，
同理由，可得的中點， 則，
所以直線的方程為，
化簡得，
故直線恒過定點． 綜上，直線過定點.
典例3、答案：（1） （2）或
解：（1）由橢圓定義得，，所以，故， 所以橢圓的方程為．
（2）設代入方程， 得
所以，， 所以，解得，
則式變為則，
底邊上的高，所以的面積．
令，解得， 把，代入式，經檢驗，均滿足，
此時直線的方程為或．
隨堂練習：答案：（1）； （2）.
解：（1）由題意知，所以，， 所以，由橢圓定義知：，
則，， 故橢圓的方程為．
（2）①當直線軸時，令，可得，解得，
可取，，此時的面積，與題設矛盾，舍去．
②當直線與軸不垂直時，
設直線的方程為，代入橢圓方程得，
成立，
設，，則，，
可得． 又圓的半徑，
∴的面積為， 化簡得，解得，
∴， ∴圓的方程為．
典例4、答案： （1）；（2）.
解:（1）由，知，，，
故雙曲線C的方程為或.
由點到漸近線的距離為，知雙曲線方程為.
（2）設l：，，.
由可得；由可得.
由得，∴，.
∴.
由和的高相等，可， 由得，
所以，.
隨堂練習：答案： （1）；（2）①見詳解；②.
詳解:（1）因為雙曲線C的漸近線為y＝±2x， 由雙曲線的焦點在x軸上時，則雙曲線，
漸近線的方程為，焦點F（±c，0）， 所以解得a＝1，b＝2，
所以雙曲線的方程為；
（2）①由（1）知雙曲線的方程為， 其漸近線的方程為y＝±2x，設直線l：y＝kx+2，
因為直線l交C雙曲線的左右兩支分別于A，B，所以﹣2＜k＜2，
聯立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝，x1x2＝，
聯立，解得x＝，y＝，則M（，），
聯立，解得x＝，y＝，則N（，），
所以|AM|＝，|BM|＝，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2]＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|．
②由共線，可得，
由①可得，
解得，所以符合題意， 所以直線的方程為.
典例5、答案：（1）；（2），面積為.
解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，
且，得， 故曲線的方程為；
設，由題意建立方程組，
消去，得，
又直線與雙曲線左支交于兩點，有，解得，
（2），
依題意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直線的方程為，
設，由已知，得，
∴，
又， ∴點，
將點的坐標代入曲線的方程，得得，
但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，
∴，點的坐標為，到的距離為，
∴的面積.
典例6、答案： （1），離心率為 （2）
解：（1）由題意知焦點到漸近線的距離為， 則
因為一條漸近線方程為，所以， 又，解得，，
所以雙曲線的標準方程為， 離心率為．
（2）設直線：，，， 聯立
則， 所以，
由
解得或（舍去）， 所以，
：，令，得，
所以的面積為
隨堂練習：答案： （1） （2）或
解：（1）過C的焦點垂直于實軸的弦長為6，將代入雙曲線，得，則①，
又C的一條漸近線方程為，則②， 由①②解得，，
所以雙曲線C的方程為．
（2）顯然，當直線OA斜率為0或不存在時均不符合題意．
當直線OA斜率存在且不為0時，設直線OA的斜率為k，則方程為．
聯立，整理得，于是得
則，同理可得，
因為 整理得，解得．
即或 （滿足）．
考慮到，只需分以下兩種情形：
①當OA、OB的斜率為、時，
結合得或，
同理可得或，
于是由點、，據直線的兩點式方程并化簡可得AB方程，
同理可得AB的方程為或或．
②同理，當OA、OB的斜率為、時，
直線AB的方程為，或或或
綜上，直線AB的方程為或2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時四
知識點一 橢圓中三角形（四邊形）的面積,求橢圓中的最值問題,橢圓中的定值問題
典例1、已知橢圓的左右焦點為，且，直線過且與橢圓相交于兩點，當是線段的中點時，．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當線段的中點不在軸上時，設線段的中垂線與軸交于點，與軸交于點為橢圓的中心，記的面積為的面積為，當取得最大值時，求直線的方程．
隨堂練習：已知橢圓：的左右焦點分別為，，右頂點為，上頂點為，為
坐標原點，
（1）若的面積為，求橢圓的標準方程：
（2）過點作斜率的直線交橢圓于不同兩點，，點在橢圓的內部，在橢圓上存在點，使，記四邊形的面積為，求的最大值.
典例2、已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點，拋物線的準線交橢圓于，兩點，且.
（1）求橢圓與拋物線的方程；
（2）為坐標原點，過焦點的直線交橢圓于，兩點，求面積的最大值.
隨堂練習：在平面直角坐標系中，橢圓的離心率為，過點，且
是橢圓的內接三角形.
（1）若點為橢圓的上頂點，且原點為的垂心，求線段的長；
（2）若點為橢圓上的一動點，且原點為的重心，求原點到直線距離的最小值.
典例3、已知橢圓經過點，其右頂點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經過定點．
隨堂練習：已知F是橢圓的左焦點，焦距為4，且C過點．
（1）求C的方程；
（2）過點F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點，l2與C交于D，E兩點，記AB的中點為M，DE的中點為N，試判斷直線MN是否過定點，若過點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．
知識點二 直線與拋物線交點相關問題,根據韋達定理求參數
典例4、已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點P（2，0）的直線l交拋物線C于A（x1，y1）和B（x2，y2）兩點.
（1）當x1+x2＝8時，求直線l的方程；（2）若過點P（2，0）且垂直于直線l的直線l'與拋物線C交于M，N兩點，記△ABF與△MNF的面積分別為S1與S2，求S1S2的最小值.
隨堂練習：已知拋物線的焦點為，斜率為2的直線與拋物線相交于、兩點．
（1）若直線與拋物線的準線相交于點，且，求直線的方程；
（2）若直線不過原點，且，求的周長．
典例5、已知拋物線C：的焦點為F，點在拋物線C上，且．
（1）求拋物線C的方程；（2）直線FM與拋物線C交于A點，O為坐標原點，求面積．
隨堂練習：已知拋物線的焦點為，O為坐標原點．
（1）求拋物線方程；（2）斜率為1的直線過點F，且與拋物線交于A，B兩點，求的面積．
典例6、已知拋物線的焦點為，為坐標原點．
（1）過作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點，的面積為．求拋物線的標準方程；
（2）拋物線上有兩點，若為正三角形，求的邊長．
隨堂練習：已知拋物線的焦點為，為拋物線上的動點，為在動直線 上的投影，當為等邊三角形時，其面積為.
（1）求拋物線的方程；（2）設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于A，兩點，直線與線段交于點，試問：是否存在，使得和的面積相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時四答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由于，所以，則右焦點的坐標為，
當時，代入橢圓方程為 ，故當是線段的中點時，此時軸，
故，又，聯立即可求解
解得，，， 橢圓的標準方程：；
（2）由線段的中點不在軸上可知直線有斜率且不為0，
設過橢圓的右焦點的直線的方程為，， 設，，，，
聯立整理得：，
由韋達定理得，． ．
為線段的中點，則可得點，．
，
又直線的斜率為，直線的方程為：．
令得，，故 令得，,故
因此,
, 故
令 ， 故，記，
故當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
故當時，取最大值 ，故此時取最大值，
此時， 此時直線的方程為
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1），∴， ，，又，
解得，所以橢圓的標準方程為：.
（2），∴，橢圓，
令，直線l的方程為：，
聯立方程組： ， 消去y得，
由韋達定理得，， 有 ，
因為：，所以， ，
將點Q坐標代入橢圓方程化簡得： ，
而此時： . ，
而， O點到直線l的距離，
所以：，
因為點P在橢圓內部，所以 ，得， 又，所以
，當，即時等號成立. 所以的最大值是.
典例2、答案：（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）最大值為1.
解：（1）因為，所以不妨設的坐標為，的坐標為，
所以有：，∴，，
∴橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；
（2）由（1）可知：的坐標為：，
設直線的方程為：，到的距離為，則，
聯立可得：，則，
，
當且僅當時取等號，故面積的最大值為1.
隨堂練習：答案：（1）；（2）.
解：（1）設焦距為，由題意知：，
因此，橢圓的方程為：；
由題意知：，故軸，設，則，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
（2）設中點為，直線與橢圓交于，兩點， 為的重心，則，
當斜率不存在時，點在軸上，所以此時點在長軸的端點處
由,則，則到直線的距離為1；
當斜率存在時，設：，，，
則，所以，
所以，即
也即
，則
，
則：，，代入式子得：，
設到直線的距離為，則 時，；
綜上，原點到直線距離的最小值為.
典例3、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意可知，，將點的坐標代入橢圓的方程可得，可得，
因此，橢圓的方程為.
（2）證明：若軸，則點、關于軸對稱，則直線與也關于軸對稱，
從而直線與的斜率互為相反數，不合乎題意.
設直線方程為，設點、，
聯立，可得，，可得，
由韋達定理可得，，
因為，
整理可得，
即，化簡得，
即，可得或.
當時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；
當時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意.
綜上所述，直線過定點．
隨堂練習：答案：（1） （2）過定點，定點坐標為
解：（1）依題意， 由解得， 所以橢圓的方程為.
（2）由題意知，當其中一條的斜率不存在時，另外一條的斜率為，此時直線為軸；
當的斜率都存在且不為時，設，
設，聯立，整理得，
，，
則， 所以的中點，
同理由，可得的中點， 則，
所以直線的方程為，化簡得，
故直線恒過定點． 綜上，直線過定點.
典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.
解:（1）直線l過定點P（2，0），在x軸上，且直線l與拋物線相交，則斜率一定不為0，
可設直線l的方程為x＝my+2，聯立拋物線的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，
因為x1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，
所以直線l的方程為x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；
（2）設直線l的方程為x＝my+2，聯立拋物線的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，則S1|PF||y1﹣y2|2，
因為直線MN與直線l垂直，且當m＝0時，直線l的方程為x＝2，此時直線l'的方程為x＝0，
但此時直線l'與拋物線C沒有兩個交點，所以不符題意，所以m≠0，所以直線l的斜率為，
因此直線MN的斜率為﹣m（m≠0），由點斜式方程可得直線l'的方程為y﹣0＝﹣m（x﹣2），
即mx+y﹣2m＝0， 聯立拋物線的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，
設M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4，
則y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），
因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|，
所以S2|PF||y3﹣y4|1，
所以S1S2＝2444412，
當且僅當2m2即m＝±1時等號恒成立，所以S1S2的最小值為12.
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解:（1）由拋物線可知，準線為，
設直線的方程為，則點的坐標為，
聯立方程，消去后整理為，
又由，可得，
由點的坐標為，有，
解得或（舍去），故直線的方程為．
（2）設直線的方程為， 點、的坐標分別為，，
聯立方程，消去后整理為， 可得，，
又由，可得． 又由，，
可得，
得（舍去）或．由，可得，，
所以，
， 故的周長為．
典例5、答案: （1） （2）
解：（1）， 又點在拋物線C上，
根據拋物線的定義，， 所以， 所以， 所以，
代入得，， 所以， 所以拋物線C：.
（2）根據題意，F坐標為， ， 所以直線.
聯立和，所以，
所以 所以， 所以
隨堂練習：答案： （1） （1）
解：（1），則由拋物線性質得， ∴，∴，
即拋物線的標準方程是.
（2）由題意得，拋物線的焦點為， ∴斜率為1的直線的方程為，，，
， 所以，，
∴ 原點到直線的距離為，
所以的面積
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）由拋物線方程知：，為拋物線的通徑，則，
，解得：， 拋物線的標準方程為：.
（2）為正三角形，，由拋物線對稱性可知：軸，
設，則，解得：，，
，，解得：，，即的邊長為.
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）由題意得：，由拋物線定義可知：此時，
過點F作FD⊥P Q于點D，由三線合一得：D為PQ中點，
且，可得： 所以拋物線方程為
（2）由題意得：當M為AB中點時，滿足題意，
設，由得：直線斜率為，則可設直線：，
整理得：，聯立得： ，
設， 則， 則， 由得直線OQ：，
聯立直線OQ與直線l得：， 從而，可得：，解得：.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時五
知識點一 根據橢圓過的點求標準方程,橢圓中的直線過定點問題
典例1、已知橢圓過點，離心率為，過點作斜率為，的直線，，它們與橢圓的另一交點分別為，，且.
（1）求橢圓的方程； （2）證明：直線過定點.
隨堂練習：已知橢圓的離心率，上頂點是，左 右焦點分別是，，若橢圓經過點.
（1）求橢圓的方程；（2）點和是橢圓上的兩個動點，點，，不共線，直線和的斜率分別是和，若，求證直線經過定點，并求出該定點的坐標.
典例2、已知橢圓過點，且離心率為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）當橢圓和圓：.過點作直線和，且兩直線的斜率之積等于，與圓相切于點，與橢圓相交于不同的兩點，．
（i）求的取值范圍； （ii）求面積的最大值．
隨堂練習：已知橢圓的左，右頂點分別為A，B，直線交橢圓C于P，Q兩點，直線與
x軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
（1）求證：直線恒過定點；（2）設和的面積分別為，求的最大值.
典例3、在平面直角坐標系中，已知點，，過點的動直線與過點的動直線 的交點為P，，的斜率均存在且乘積為，設動點Р的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程;（2）若點M在曲線C上，過點M且垂直于OM的直線交C于另一點N，點M關于原點O的對稱點為Q.直線NQ交x軸于點T，求的最大值.
隨堂練習：對于橢圓，有如下性質：若點是橢圓外一點，，是橢圓
的兩條切線，則切點A，B所在直線的方程是，可利用此結論解答下列問題．
已知橢圓C：和點，過點P作橢圓C的兩條切線，切點是A，B，記點A，B到
直線（O是坐標原點）的距離是，．
（1）當時，求線段的長； （2）求的最大值．
知識點二 根據焦點或準線寫出拋物線的標準方程,拋物線中的三角形或四邊形面積問題
典例4、已知動點到定點的距離比到直線的距離小2，設動點的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設是軸上的點，曲線與直線交于，且的面積為，求點的坐標.
隨堂練習：已知動點M到點的距離等于它到直線的距離，記動點M的軌跡為曲線C.
（1）求動點M的軌跡方程C；（2）已知，過點的直線l斜率存在且不為0，若l與曲線C有且只有一個公共點P，求的面積.
典例5、已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交C于A，B兩點．
（1）當l的傾斜角為時，若，求；（2）設點，且，求l的方程．
隨堂練習：已知拋物線的焦點為，直線過點，且與拋物線交于、兩點，．
（1）求的取值范圍；（2）若，點的坐標為，直線與拋物線的另一個交點為，直線與拋物線的另一個交點為，直線與軸交于點，求的取值范圍．
典例6、已知P為拋物線E：上任意一點，過點P作軸，垂足為O，點在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．
（1）求E的方程；（2）若直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且為等邊三角形，求m的值．
隨堂練習：已知拋物線C：上的點到其焦點F的距離為2．
（1）求拋物線C的方程；（2）已知點D在直線l：上，過點D作拋物線C的兩條切線，切點分別為A，B，直線AB與直線l交于點M，過拋物線C的焦點F作直線AB的垂線交直線l于點N，當|MN|最小時，求的值．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時五答案
典例1、答案：（1）；（2）證明見解析.
解:（1）由于，故， 所以.
又橢圓過點，故， 從而，，橢圓的標準方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，，不合題意，舍去.
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
由得， 設，則.
又由 得：，
所以，化簡得， 解得或（舍去）.
當時，直線過定點，符合要求.
綜上可知，直線過定點.
隨堂練習：答案：（1）；（2）直線過定點
解：（1）因為橢圓的離心率，橢圓經過點， 所以，又，
解得，，， 所以橢圓的方程為．
（2）證明：設直線的方程為，，，，，
聯立，得，
所以，，
所以，，
所以，
解得， 所以直線過定點．
典例2、答案： （1） （2）（i）；（ii）
解：（1）由題意，，解得，，，所以橢圓的標準方程為.
（2）（i）由題意，兩直線、的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，
設的斜率為，則的斜率為， 則直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
與圓相切于點，，化簡得，
由得，，
，化簡得，，
由得，，代入上式化簡得，，
解得， 又，則，得，
所以的取值范圍是.
（ii）設，，
由（1）可知，，，
又， 又原點到直線的距離，
面積，
設，則，由以及得，
所以當時，面積取最大值. 所以面積的最大值是.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）依題意，，設，
直線方程為，由消去x并整理得：
，，則，
因在橢圓上，有，直線BP斜率，有，
則，即， 而
，
解得，此時，直線：恒過點，所以直線恒過定點.
由（1）知，，令，，
則，
令，函數在上單調遞增，則當時，取得最小值，
所以當，即時，取得最大值.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）設點坐標為，
定點，，直線與直線的斜率之積為，
，
（2）設，，，則，，
所以
又，所以，又即，則直線：，
直線：，由，解得，即，
所以
令，則，所以
因為，當且僅當即時取等號，
所以的最大值為；
隨堂練習：答案：（1）；（2）．
解:（1）當時，直線方程為，聯立，得．
設，，則，．則．
（2）直線：，即，直線：．
設，，則，
記，則，
法一：常規換元法
令，，則
，當即時取得等號，則的最大值是．
法二：分離常數法
，顯然時不取得最大值，
則，
當時取得等號，則的最大值是．
典例4、答案：（1） （2）或
解：依題意動點到定點的距離等于動點到直線的距離，
由拋物線的定義可知，動點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）聯立方程，整理得,
設，則有, 于是,
設到直線的距離為，因為，
由點到直線的距離公式得,
又，所以， 于是，解得或.
故點的坐標為或.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）根據拋物線定義得動點M的軌跡為曲線..
（2）設過點的直線l為，將其與拋物線方程聯立，
得，消去得：①，
因l與C有且只有一個公共點，則.
將代入①得，解得，代入直線l可得
則直線AP方程為：，則其與y軸交點為，則由圖可得：
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）當l的傾斜角為時，l的斜率為1， 又，所以直線，
將代入，得，即，
設，，則，，
根據拋物線的幾何性質可知，，，
因為， 可知，
， 所以．
（2）當軸時，，，，此時PA不垂直于PB．
當l不垂直于x軸時，設l的斜率為k，則直線，
將代入，得，即，．
設，，則，，
又，，，
所以，
即，
所以，化簡有，解得，
所以l的方程為或．
隨堂練習：答案： （1）（2）
解:（1）依題意，設直線為，
代入得，其判別式為， ∴．
設，為交點， ∴，．
∵焦點的坐標為， ∴，．
∵， ∴，
∴， ∴或．
∵成立． ∴．
（2）若，則，
設點，為直線、直線與拋物線的交點．
設直線為，代入得， ∴，∴，
同理可得， ∴點和的坐標分別為，．
又∵在直線上， ∴，共線，
∴， ∴．
∵，∴， ∴，設，
∴在時恒成立， ∴在單調遞增，
∴的取值范圍為．
典例6、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）拋物線E：的焦點，準線方程為，
所以，故，
又因為的最小值為9，所的最小值為，
當且僅當點C，P，F三點共線時，取得最小值，
此時，解得， 故拋物線E的方程為；
（2）聯立，消去x得，
直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B， ，得，
設，，則有，， 所以，
設線段AB的中點， 則，，即，
直線MN的斜率，直線MN的方程為：，
令，得，即， 所以，
，
又因為為等邊三角形，所以， 所以，
解得，且滿足， 故所求m的值為．
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）因為點，在拋物線C：上，所以，拋物線的準線方程為，
由拋物線的定義得：，解得，即拋物線C的方程為；
（2）由題意可設，，， 因為，所以，即，
故，整理得， 設點，同理可得，
則直線AB方程為：， 令得，即點，
因為直線NF與直線AB垂直， 所以直線NF方程為：，
令得，即點， ∴，
當且僅當時，時上式等號成立， 聯立，得，
∴，，，
， ∴．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時六
知識點一 根據橢圓過的點求標準方程,橢圓中的直線過定點問題
典例1、已知橢圓的長軸長為，且經過點.
（1）求C的方程；（2）過點斜率互為相反數的兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點（A，B在x軸同一側）.求證：直線過定點，并求定點的坐標.
隨堂練習：已知橢圓：過點，過右焦點作軸的垂線交橢圓于，兩點，且.
（1）求橢圓的標準方程； （2）點，在橢圓上，且.證明：直線恒過定點.
典例2、已知橢圓經過點和點．
（1）求橢圓的標準方程和離心率；
（2）若、為橢圓上異于點的兩點，且點在以為直徑的圓上，求證：直線恒過定點．
隨堂練習：已知橢圓過點，且離心率為．
（1）求該橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在定點M，過該點的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，使得為定值？如果存在，求出點M坐標；如果不存在，請說明理由.
典例3、如圖，已知橢圓：經過點，離心率為.點，以為直徑作圓，過點M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點A，B和點N.
（1）求橢圓的標準方程； （2）當的面積最大時，求直線的方程.
隨堂練習：已知橢圓C的左、右焦點分別為，離心率為，過點且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點P，且的面積為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點的直線與y軸正半軸交于點S，與曲線C交于點E，軸，過點S的另一直線與曲線C交于M，N兩點，若，求所在的直線方程．
知識點二 求拋物線的切線方程,由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數,根據焦點或準線寫出拋物線的標準方程
典例4、如圖，設為軸的正半軸上的任意一點，為坐標原點.過點作拋物線的兩條弦和， 在軸的同側.
（1）若為拋物線的焦點，，直線的斜率為，且直線和的傾斜角互補，求的值；
（2）若直線 分別與軸相交于點 ，求證：.
隨堂練習：已知拋物線，點為其焦點，為上的動點，為在動直線上的投影.當為等邊三角形時，其面積為.
（1）求拋物線的方程；（2）過軸上一動點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點A，B和C，D，點H，K分別為，的中點，求面積的最小值.
典例5、已知拋物線，過其焦點F的直線與C相交于A，B兩點，分別以A，B為切點作C的切線，相交于點P．
（1）求點P的軌跡方程；（2）若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．
隨堂練習：已知拋物線的焦點為F，且F與圓上點的距離的最大值為5.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若點P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點，求面積的最大值.
典例6、已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于M，N兩點，交y軸于P點，點N位于點M和點P之間.
（1）若，求直線l的斜率；（2）若，證明：為定值.
隨堂練習：已知拋物線的焦點為．
（1）如圖所示，線段為過點且與軸垂直的弦，動點在線段上，過點且斜率為1的直線 與拋物線交于兩點，請問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由；
（2）過焦點作直線與交于兩點，分別過作拋物線的切線，已知兩切線交于點，求證：直線 、的斜率成等差數列．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時六答案
典例1、答案：（1）；（2）證明見解析，.
解:（1）由題意得，得，所以橢圓方程為：，
將代入橢圓方程得：，解得， 故橢圓C的方程為
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立，得.
設A，B的坐標分別為， 則，
且， 因為直線，斜率互為相反數，即，
所以，則， 即，
即， 所以，化簡得，
所以直線的方程為， 故直線過定點
隨堂練習：答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由已知得當時，， 又因為橢圓過點，則，
聯立解得，故橢圓的標準方程為；
（2）證明設點，， 因為，即，
即.* 當直線的斜率存在時，設直線方程為.
代入橢圓方程消去得， ，，，
根據，.代入*整理， 得，
結合根與系數的關系可得，.
即， 當時，
直線方程為.過點，不符合條件.
當時，直線方程為， 故直線恒過定點.
當直線的斜率不存在時，令點， 此時，
又.可得（舍去）或. 當時，與點重合，與已知條件不符，
∴直線的斜率一定存在，故直線恒過定點.
典例2、答案：（1）橢圓的標準方程為，離心率為 （2）證明見解析
解：（1）將點、的坐標代入橢圓的方程可得，解得，則，
所以，橢圓的標準方程為，離心率為.
（2）分以下兩種情況討論：
①當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設點、，
聯立可得，
可得，
由韋達定理可得，，
，同理可得，
由已知，則
，
所以，，即，解得或.
當時，直線的方程為，此時直線過點，不合乎題意；
當時，直線的方程為，此時直線過定點，合乎題意；
②當直線軸，則點、關于軸對稱，所以，，，即點，
由已知可得， ，，由已知，
則，所以，，因為，解得，
此時直線的方程為，則直線過點. 綜上所述，直線過定點.
隨堂練習：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，橢圓，將代入可得，故，
橢圓方程為：；
（2）當直線l的斜率不為0時，設直線l的方程為，，，，
聯立方程可得：，
，，為常數，
代入韋達定理可知，即為常數，，故
且，直線l過定點
當直線l斜率為0時，可檢驗也成立，故存在定點.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）將點代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因為，設直線的方程為，設，，
聯立，得， 且，則，，
則，且， 直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離為， ∴，
∴面積，
當且僅當時，取到等號，此時， 所以直線的方程為.
隨堂練習：答案： （1） （2）或.
解：（1）由題意知，， 又，∴，，
∴橢圓標準方程為.
（2）∵軸，∴， 設，則，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
設，，則，， ∴.
①當直線的斜率不存在時，的方程為，此時∴不符合條件.
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
聯立得.
得， ∴，即，解得.
故直線的方程為或.
典例4、答案：（1） （2）證明見解析.
解：（1）根據題意，為拋物線的焦點，則，
由于直線的斜率為，故直線的方程為，
所以聯立方程得， 設，則，
因為直線和的傾斜角互補，所以， 因為，所以，
所以，解得. 所以.
（2）設，直線的方程為，直線的方程為
設， 直線與拋物線聯立得，
所以，，同理，直線與拋物線聯立得，
所以，， 對于直線，由于，
所以，所以直線方程為，
故令得，即
同理得，，， 所以，
， 所以
隨堂練習：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）拋物線的焦點，準線，
為等邊三角形，則有，而為在動直線上的投影，則，
由，解得，設，則點，
于是由得：，解得，
所以拋物線的方程為：.
（2）顯然直線AB，CD都不與坐標軸垂直，設直線AB方程為：，則直線CD方程為：，
由消去x并整理得：，設，則，
于是得弦AB中點，，同理得，
因此，直角面積
，當且僅當，即時取“=”，
所以面積的最小值為16.
典例5、答案：（1） （2）2
解：（1）拋物線的焦點.由得，∴.
設，，，由導數的幾何意義可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，則，所以．
∵直線AB過焦點F，∴．所以點P的軌跡方程是．
（2）由（1）知，，代入得， 則，
則，
P到AB的距離，所以，
∵，當時，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四邊形PRFQ為矩形，
∵，∴，
∴，當且僅當時取等號．∴的最小值為2．
隨堂練習：答案： （1） （2）32
解：（1）由題意知，，設圓上的點，則.
所以. 從而有.
因為，所以當時，.
又，解之得，因此. 拋物線C的方程為：.
（2）切點弦方程韋達定義判別式求弦長求面積法
拋物線C的方程為，即，對該函數求導得，
設點、、，
直線的方程為，即，即
同理可知，直線PB的方程為，
由于點P為這兩條直線的公共點，則，
所以，點A、B的坐標滿足方程， 所以，直線的方程為，
聯立，可得， 由韋達定理可得，
所以， 點P到直線AB的距離為，
所以，，
∵，
由已知可得，所以，當時，的面積取最大值.
典例6、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）設，
因為過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，所以直線斜率存在，且不為0，
設直線l為， 聯立與得：，
則，， 因為，所以，
故，解得：，
當時，，此時，解得：，
直線l的斜率為，滿足點N位于點M和點P之間，
當時，，此時，解得：，
直線l的斜率為，滿足點N位于點M和點P之間，
綜上：直線l的斜率為；
（2）設，
因為過點的直線l交拋物線C于M，N兩點，所以直線斜率不為0，
設直線l為，令得：，故，
聯立與得：， 則，，
因為， 所以，，
解得：，， 所以，
故為定值-1.
隨堂練習：答案： （1）是定值;定值為4. （2）證明見解析.
解：（1）依題意知 ，將 代入可得，
設，所以直線l的方程為 ，
聯立方程 ，得： ,當不滿足題意舍去，
則是定值.
（2）證明：依題意設直線的方程為； ，設點 ,
聯立方程 得： ，， ，
又,點F坐標為,∴ ,
，，
，
所以直線 、的斜率成等差數列．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時七
知識點一 根據a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積
典例1、已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點，x軸上方一點P在橢圓C上，且滿足，．
（1）求C的方程及點P的坐標；（2）過點P的直線l交C于另一點Q（點Q在第三象限），點M與點Q關于x軸對稱，直線PM交x軸于點N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．
隨堂練習：已知橢圓的內接正方形的面積為，且長軸長為4．
（1）求C的方程．（2）直線l經過點，且斜率大于零．過C的左焦點作直線l的垂線，垂足為A，過C的右焦點作直線l的垂線，垂足為B，試問在C內是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由．
典例2、已知橢圓()的離心率為，其右焦點為F，點，且．
（1）求C的方程；
（2）過點P且斜率為()的直線l與橢圓C交于A、B兩點，過A、B分別作y軸的垂線，垂足為M、N，直線AN與直線交于點E，證明：B、M、E三點共線．
隨堂練習：已知橢圓C：過點，離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右兩個頂點分別為A，B．過點的直線與橢圓C交于M、N（不與A、B重合）兩點，直線AM與直線交于點Q，證明：B、N、Q三點共線．
典例3、已知橢圓，左右焦點分別為，直線y=-x+1與橢圓相交于兩點．
（1）求橢圓的焦點坐標及離心率；
（2）求的面積．
隨堂練習：已知橢圓：的長軸長為4，左、右頂點分別為，，經過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點，（不與點，重合）．
（1）求橢圓的方程及離心率； （2）求四邊形面積的最大值；
知識點二 根據a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,橢圓中的直線過定點問題
典例4、已知橢圓：（）的左右焦點為，，上、下端點為，.若從，，，中任選三點所構成的三角形均為面積等于2的直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過點作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點，若線段，的中點分別為，，試問直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由.
隨堂練習：已知橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為，且離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設為的左頂點，過點作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點，證明：直線 經過定點，并求這個定點的坐標．
典例5、已知橢圓E經過點和點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設圓，直線l與圓C相切于，與橢圓交于A，B兩點，且，求直線l的方程.
隨堂練習： 已知點B是圓上的任意一點，點，線段的垂直平分線交于
點P.
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）直線與E交于點M，N，且，求m的值.
典例6、已知①如圖，長為，寬為的矩形，以 為焦點的橢圓恰好過兩點
②設圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓
（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；
（2）根據（1）所得橢圓的標準方程，若為橢圓上的點，，分別是橢圓的左右焦點，若，求的周長與面積.
隨堂練習：已知橢圓的左，右焦點分別為，，過的直線與橢圓交于，兩點，圓是的內切圓．當直線的傾斜角為時，直線與橢圓交于點．
（1）求橢圓的方程； （2）求圓周長的最大值．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時七答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）因為，所以，且．
又，所以，
即，即，所以，
又離心率，所以，，所以， 所以橢圓方程為．
（2）∵，又∵，∴，∴P點的坐標為．
依題意直線l的斜率存在，設直線l的方程為，
由消去y整理，解得或，
所以Q點坐標為， 從而M點坐標為，
所以直線PM的方程為， 則N點的坐標為，
因為的面積是的面積的2倍，點Q在第三象限， 所以，
即，解得（舍負），
所以滿足條件的直線l的方程為， 即：．
隨堂練習：答案：（1） （2）存在；
解：（1）設C的內接正方形的一個端點坐標為， 則，解得，
則C的內接正方形的面積為，
即．又，所以，
代入，解得，故C的方程為．
（2）存在梯形，其面積的最大值為． 理由如下：設直線，．
因為直線l經過點，所以， 所以點到直線l的距離為，
點到直線l的距離為，
所以梯形的面積（為直線l的傾斜角），
所以， 當且僅當時，等號成立，
此時，直線，直線，
聯立這兩條直線的方程，解得， 因為，
所以點在C的內部. 同理可證：也在C的內部.
故在C內存在梯形，其面積的最大值為．
典例2、答案： （1）； （2）證明見解析﹒
解：（1）設()，由題意知，∴．
∵點，且，解得， ∴，，
因此C的方程為．
（2）由題意可知，直線l的方程為．
由得，
設，，則，．
∵軸，∴，∴直線，
令，得． ∵軸，∴．
∴
，
∴B，M，E三點共線．
隨堂練習：答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）由題意知，，， 所以，則，
所以橢圓C的方程為．
（2）由題知：l斜率不為零，設l為，，，
由得，，則，，
所以， ∴，直線AM的方程為，則，
∴，，
∴
，即， ∴N、B、Q三點共線．
典例3、答案： （1）焦點坐標為；離心率為 （2）
解：（1）橢圓知，該橢圓的焦點在 軸上，設焦距為，
由， 所以，所以焦點坐標為
離心率為：
（2）由直線y=-x+1與橢圓相交于兩點，設
則消去得，，
所以
又到y=-x+1的距離為
所以的面積為：
隨堂練習：答案： （1）； （2）
解：（1）由題意，得，解得， 所以橢圓方程為，
，，， 則離心率為.
（2）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，
代入橢圓的方程，得，，
又因為，， 所以四邊形的面積,
當直線的斜率存在時，設的方程為，
設 ， 聯立方程，消去，得，
由題意，可知恒成立， 則，，
四邊形的面積
令，則四邊形的面積，，
所以， 綜上所述，四邊形面積的最大值.
典例4、答案： （1） （2）直線過定點，且定點為
解：（1）解法一：從，，，中任選三點可構成四個三角形，
其中，.
為此僅需考慮，為面積等于2的直角三角形即可.
其中，.
因為為等腰三角形，故可得，即有：；
同時因為為等腰三角形，故可得，即有：；
綜上可得：，，即可得橢圓的方程為.
解法二：由橢圓的對稱性，結合已知條件可知從，，，中任選三點所構成的三角形，
均為等腰直角三角形，故四邊形是面積為4的正方形，
又正方形的邊長為，故，即
又正方形的對角線相等，所以，即
又因為，所以 從而橢圓的方程為.
（2）解法一：依題意，設直線的方程為：①
設直線的方程為：，
聯立方程①與橢圓的方程可得
由韋達定理得， 根據中點公式可得：
則，即 同理可得：
從而直線的斜率為：
故直線的方程為：
因為，將代入上式可得：
故直線必過定點.
解法二：依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：①，
設直線的方程為：②， 設直線的方程為：，
聯立方程②與橢圓的方程可得
由韋達定理得 根據中點公式可得：
同時點是直線和直線的交點，聯立方程①②得
即可得， 整理得④
同理可得⑤
根據④⑤可以理解為，為關于的一元二次方程的兩個根.
由韋達定理可得：，即可得：，
∴直線的方程為：，故直線必過定點.
隨堂練習：答案： （1） （2）直線恒過定點，證明見解析
解：（1）由橢圓定義知：，解得：，
又離心率，，，
橢圓的標準方程為：.
（2）由（1）知：；
當直線斜率存在時，設，，，
由得：，
則，解得：， ，，
，，
即，
，
即，
整理可得：，或；
當時，直線恒過點，不合題意；
當時，直線，恒過定點；
當直線斜率不存在且恒過時，即，
由得：，，滿足題意；
綜上所述：直線恒過定點.
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）設橢圓E方程為，（t，且）
將點代入橢圓方程得到,
解得， 所以橢圓的標準方程為.
（2）不妨設直線l的方程為,
因為該直線與圓相切，所以， 所以，
將直線方程代入橢圓方程并消去x
得：，則,，
所以，
聯立，解得，
即或， 則直線l的方程為或.
隨堂練習：答案： （1），（2）.
解:
（1）由條件可得
所以動點P的軌跡E是以為焦點的橢圓，設其方程為
所以，所以 所以方程為
（2）設 聯立可得
所以由得
因為 所以可解得
典例6、答案： （1）；（2），
解:（1）選擇條件①：由已知可得點代入橢圓方程得：
故橢圓方程為：
選擇條件②：
由題設可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，
∴，又，即， ∴，則，
∵，
∴橢圓定義知：動點到兩定點的距離和為定值4，
∴的軌跡方程為.
（2）設 ， 則
在 中，根據余弦定理可得：
即
根據定義： 代入上式得： 故
且周長為：
隨堂練習：答案：（1）；（2）．
解:（1）設橢圓的半焦距為，則，
當直線的傾斜角為時，直線的方程為，
又直線與橢圓交于點，，
將點代入橢圓方程得：
解得或（舍）， 橢圓的方程為
（2）設圓的半徑為，
當直線的斜率不存在時，直線的方程為，，
當直線的斜率存在時，設為，直線的方程為，
設， 由得
，
又
綜上， 當時，圓的周長取得最大值．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時八
知識點一 根據a、b、c求橢圓標準方程,橢圓中的定值問題
典例1、如圖，已知橢圓分別是長軸的左、右兩個端點，是右焦點．橢圓
C過點，離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線上有兩個點，且，連接交橢圓C于另一點P（不同于點），證明：三點共線．
隨堂練習：已知橢圓：（）過點，且焦距與長軸之比為.設，為橢圓的左 右頂點，為橢圓上異于，的一點，直線，分別與直線：相交于，兩點，且直線與橢圓交于另一點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求證：直線與的斜率之積為定值；
（3）判斷三點，，是否共線，并證明你的結論.
典例2、已知橢圓，由E的上 下頂點，左 右焦點構成一個邊長為的正方形.
（1）求E的方程；（2）過E的右焦點F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點A，B，C，D，若由點A，B，C，D構成的四邊形的面積是，求，的方程.
隨堂練習：已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合．
（1）求橢圓的離心率與拋物線的方程；（2）過焦點的動直線與拋物線交于，兩點，從原點作直線的垂線，垂足為，求動點的軌跡方程；（3）點為橢圓上的點，設直線與平行，且直線與橢圓交于，兩點，若的面積為1，求直線的方程．
典例3、橢圓的右焦點為F、右頂點為A，上頂點為B，且滿足．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線l與橢圓有唯一公共點M，與y軸相交于N（N異于M）．記O為坐標原點，若，且的面積為，求橢圓的標準方程．
隨堂練習：已知橢圓的上頂點與橢圓左、右頂點連線的斜率之積為．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若直線與橢圓相交于、兩點，且的面積為 （為坐標原點），求橢圓的標準方程．
知識點二 根據a、b、c求橢圓標準方程,根據韋達定理求參數,根據弦長求參數
典例4、已知橢圓與的離心率相同，過的右焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓、的交點從上到下依次為、、、，且，求的值．
隨堂練習：已知①如圖，長為，寬為的矩形，以 為焦點的橢圓恰好過
兩點②設圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，判斷點的軌跡是否橢圓
（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求橢圓的標準方程；
（2）根據（1）所得橢圓的標準方程，若直線被橢圓截得的弦長等于短軸長，求的值.
典例5、已知橢圓，過點．
（1）求C的方程；
（2）若不過點的直線l與C交于M，N兩點，且滿足，試探究：l是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
隨堂練習：已知為橢圓上一點，上、下頂點分別為、，右頂點為，
且.
（1）求橢圓的方程；
（2）點為橢圓上異于頂點的一動點，直線與交于點，直線交軸于點.求證：直線 過定點.
典例6、已知直線經過橢圓的右焦點，且橢圓C的離心率為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）以橢圓的短軸為直徑作圓，若點M是第一象限內圓周上一點，過點M作圓的切線交橢圓C于P，Q兩點，橢圓C的右焦點為，試判斷的周長是否為定值．若是，求出該定值．
隨堂練習：已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，點是橢圓的右焦點，且點
在橢圓上，直線與橢圓交于A，兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）當時，求的面積；
（3）對，的周長是否為定值？若是，給出證明，并求出定值；若不是，說明理由.
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時八答案
典例1、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意可知：，
， 橢圓C的方程為；
（2）證明：設，
由于，因此，，
直線的斜率為， 直線的方程為，
代入橢圓方程得：，
整理得：，
設，
代入直線的方程得，
直線的斜率為，
直線的斜率為， ，
所以三點共線．
隨堂練習：答案： （1）；（2）定值為，證明見解析；
（3），，三點共線，證明見解析.
解:（1）由題知：， 所以橢圓：.
（2）由題知：，存在，且不為零，設，，，
則，即. .
所以直線與的斜率之積為定值.
（3），，三點共線，證明如下：
設直線：，則直線：，
將代入直線，得：，，
，設直線：，
，
設，則，解得，
所以，即，
所以，，
所以， 為公共點，所以，，三點共線.
典例2、答案： （1） （2）與的方程分別為：，
解：（1）由已知，，，所以E的方程為.
（2）又題意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合題意；
②若斜率存在，設，和的方程聯立得：
，，，
，
設，同理可得，
所以
解得，，所以與的方程分別為：，，
隨堂練習：答案： （1）離心率為；拋物線的方程為
（2） （3）
解：（1）因，，故，從而橢圓的離心率為．
且橢圓的右焦點坐標為．
于是由橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，得，即．
從而拋物線的方程為．
（2）設動點的坐標為，由條件，且點，在直線上，可得．
于是． 即．
故動點的軌跡方程為：．
（3）由于，設直線方程為，，．
由得，故．
則． 又點到直線的距離，
故由，
解得，從而．因此，直線的方程為．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），
離心率為.
（2）由（1）可知橢圓的方程為，
易知直線的斜率存在，設直線的方程為，
聯立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
聯立①②③可得，，，故橢圓的標準方程為．
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）由題知橢圓上頂點的坐標為，左、右頂點的坐標分別為、，
所以，即，
又，所以，所以橢圓的離心率.
（2）設、，聯立得，
所以，可得，，，
所以，
又原點到直線的距離，所以，
解得，因此，橢圓的方程為．
典例4、答案： （1）；（2）．
解:（1）設橢圓的方程為，焦距為，
將代入的方程可得，解得.
由題意得，解得，因此的方程為；
（2）設、、、，
由，得（或），
與、相交，只需當時，，解得.
當時，，
由韋達定理可得，所以，與的中點相同， 所以，，
即，
整理可得，解得，滿足條件.
隨堂練習：答案： （1）;（2）.
解: （1）選①：由已知，將代入橢圓方程得： 故橢圓方程為：
選②：由題設可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，
∴，又，即， ∴，則，
∵，
∴橢圓定義知：動點到兩定點的距離和為定值4，
∴的軌跡方程為.
（2）聯立與橢圓方程可得：，且，
若交點為，則，，
∴直線被橢圓截得的弦長為，而短軸長為2，
∴，解得.
典例5、答案：（1） （2）直線過定點
解：（1）由題意，，解得， 所以橢圓C的標準方程為．
（2）因為，兩邊平方，化簡整理得，
易知直線l的斜率存在，設其方程為，其中．
由，得，
，
設，則，
所以
，
所以，
即，
因為，所以，
所以，
得，解得，滿足，
所以直線l的方程為：，即直線過定點
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）因為為橢圓上一點，所以.
因為，所以，整理得，解得或.
當時，，與矛盾.所以，.
橢圓的方程為.
（2）設直線的斜率為，則.
因為， 由解得，.
因為，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以，
所以.
所以. 所以直線過定點.
典例6、答案： （1） （2）周長是定值，且定值為4
解：（1）因為經過橢圓的右焦點，令，則，所以橢圓的右焦點為，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴橢圓的標準方程為 ；
（2）設直線的方程為，
由得：，
所以，
設，，則：，
所以
.
因為直線與圓相切，所以，即，
所以，
因為，
又， 所以， 同理.
所以，
即的周長是定值，且定值為4．
隨堂練習：答案： （1） （2） （3）是，定值為8，證明見解析
解：（1）長軸長是焦距的2倍，則，則，
∴橢圓為，代入點得，解得.
∴橢圓的方程為.
（2），則直線為，過橢圓左焦點，右焦點為.
設，由得，∴，
，.
∴. ∴.
（3）的周長為定值，理由如下： 直線l恒過橢圓左焦點，
由橢圓定義可知的周長為.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時九
知識點一 根據橢圓過的點求標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,橢圓中三角形（四邊形）的面積
典例1、已知橢圓，分別為的右頂點、下頂點．
（1）過作直線的垂線，分別交橢圓于點，若，求橢圓離心率；
（2）設，，直線過點的兩條相互垂直的直線，直線與圓交于兩點，直線與橢圓交于另一點，求面積的最大值．
隨堂練習：已知橢圓的左焦點為F，上頂點為B，M為的中點，且．
（1）求橢圓的離心率；
（2）直線，l與橢圓有唯一公共點N，與y軸的正半軸相交．若點P滿足，且四邊形的面積為，求橢圓的方程．
典例2、已知A B為橢圓=1(a>b>0)和雙曲線=1的公共頂點，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B的動點，且滿足，設直線AP BP AQ BQ的斜率分別為k1 k2 k3 k4.
（1）求證：點P Q O三點共線；
（2）當a=2，b=時，若點P Q都在第一象限，且直線PQ的斜率為，求△BPQ的面積S；
（3）若F1 F2分別為橢圓和雙曲線的右焦點，且QF1PF2，求k12+k22+k32+k42的值.
隨堂練習：已知橢圓：，四點，，，中恰有
三個點在橢圓上，，是橢圓上的兩動點，設直線，的斜率分別為，.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，，三點共線，求的值.
典例3、已知橢圓：的短軸長為2，離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖，點為橢圓的上頂點，過點作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點，，直線與圓和橢圓分別相交于點，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．
隨堂練習：設橢圓的離心率為，且經過點．
（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于，兩點，是坐標原點，分別過點，作，的平行線，兩平行線的交點剛好在橢圓上，已知，的面積為，求直線的方程．
知識點二 根據橢圓過的點求標準方程,求橢圓中的參數及范圍,根據韋達定理求參數
典例4、已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
隨堂練習：已知橢圓過兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）F為橢圓C的右焦點，直線l交橢圓C于P，Q（均不與點A重合）兩點，記直線AP，AQ，l的斜率分別為k1，，，若，求△FPQ的周長．
典例5、已知橢圓的離心率為，點在橢圓C上.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知直線與橢圓C交于P，Q兩點，點M是線段PQ的中點，直線過點M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點為N，是否存在非零實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
隨堂練習：設橢圓的左焦點為，離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓
截得的線段長為3.
（1）求橢圓的方程；
（2）設為橢圓的下頂點，為橢圓的上頂點，過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點.若，求的值.
典例6、已知橢圓C：過點．右焦點為F，縱坐標為的點M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）設過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標不為0的點P為C上一動點，過F作直線PA的垂線交l于點Q，證明：直線PQ過定點．
隨堂練習：已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點．
（1）求動點的軌跡的方程.
（2）動點的軌跡與軸交于，兩點在點左側，直線交軌跡于，兩點不在 軸上，直線，的斜率分別為，，且，求證：直線過定點．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）由題意得：，， 故可設直線的方程為，
聯立方程組，解得， 同理：直線的方程為，
聯立方程組，解得：，
因為，可得， 即，
整理得：，即， 故橢圓離心率
（2）由，，可得橢圓的方程為：，
當直線的斜率不存在時，直線與橢圓相切于點，不合題意；
當直線的斜率為0時，此時可得，
當直線的斜率存在且不為0時，設直線方程為：，
則點到直線的距離，
根據圓的弦長公式，可得
因為，所以直線的方程為，
聯立方程組，解得， 即，
可得， 所以
設，則， 則，
因為，當且僅當，即時取等號，
所以，由于， 故面積的最大值為.
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）為直角三角形，M為的中點，
所以，，又，所以，
，所以， 所以橢圓離心率為.
（2）由題意可設直線方程為：，
聯立，得，
又l與橢圓有唯一公共點N，故，即，即，
又所在直線方程為：，所以直線與l的距離為，
四邊形的面積為：，
解得：，故橢圓的方程為：
典例2、答案： （1）證明見解析；（2）；（3）8.
解：（1）證明：因為A，B為橢圓與雙曲線的公共點，P，Q分別為雙曲線和橢圓上不同于A，B動點，
又因為，
所以，即 所以點P，Q，O三點共線.
（2）設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
直線PQ的方程為
聯立，解得x=±，y=±， 所以P(，)，
同理，解得x=±，y=±， 解得Q(，)，
則|PQ|=3﹣， 又因為a=2，b=，
聯立，解得B(±2，0)， 所以點B到直線PQ的距離d=，
則.
（3）因為，設，， 所以，
因為，所以 又， ，
因為QF1PF2， 所以|OF1|=λ|OF2|， 所以λ2=，
所以= =，
所以：
同理(k3+k4)2=4， 而k1k2=， 又x12=a2+y12， 所以k1k2=，
同理k3k4=﹣， 所以k12+k22+k32+k42=8.
典例3、答案： （1） （2），或，
解：（1）根據題意可得解得 橢圓的標準方程
（2）圓 設，則
設，，，
則，同理可得：，，
∵的面積是面積的倍，則
代入整理得：
聯立方程，得或，即，同理
聯立方程，得或，即，同理
代入可得：，解得或
當時，直線，；
當時，直線，
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）設橢圓的半焦距為，因為橢圓的離心率為，所以．①
又橢圓經過點，所以．②
結合，③由①②③，解得． 故橢圓的標準方程是．
（2）①當直線的斜率不存在時，不妨設，
根據對稱性知兩平行線的交點在軸上，又交點剛好在橢圓上，
所以交點為長軸端點，則滿足條件的直線的方程是．
此時點或；
直線的斜率不存在不成立
②當直線的斜率存在時，設直線的方程為．
將直線代入橢圓方程得，
則， ， ．
不妨設兩平行線的交點為點，則，故點的坐標為．
因為點剛好在橢圓上，所以，
即． 此時，
則．
設點到直線的距離為，則．
所以，
即，解之得：或，
當時，，當時，（舍），所以，直線的方程
典例4、答案： （1） （2）證明見解析，定值為
解：（1）由已知設橢圓方程為：，
代入，得， 故橢圓方程為.
（2）設直線，
由
得：， ，
又，
故
，
由，得，
故或，
①當時，直線，過定點，與已知不符，舍去；
②當時，直線，過定點，即直線過左焦點，
此時，符合題意.
所以的周長為定值.
隨堂練習：答案： （1） （2）8
解：（1）將，B（，）代入橢圓C：中，
，解得， 故橢圓C方程為；
（2）設直線，
由，
得 ，
又，
故
由k，得，得，
故或．
①當時，直線l，過定點，與已知不符，舍去；
②當時，直線l，過定點，即直線l過左焦點，此時，符合題意．
所以△FPO的周長為．
典例5、答案：（1） （2）不存在，理由見解析
解：（1）由題意可得，解得，. 故橢圓C的標準方程為.
（2）設，，.
聯立，整理得，
則，解得，
從而，.
因為M是線段PQ的中點，所以，
則，故.
直線的方程為，即.
令，得，則，
所以
因為，所以，解得.
因為，所以不存在滿足條件的.
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解：（1）由題意可得，，當時，，
所以得：， 解得， 所以橢圓的標準方程為；
（2）由（1）可知，，，，
過點且斜率為的直線方程為，
聯立方程，可得，
設，， 則，，
故，
又，， ，，
所以
， 整理可得，解得.
典例6、答案：（1） （2）過定點；證明過程見詳解
解：（1）設點，其中，則，
因為橢圓過點，則， 將點的坐標代入橢圓的方程得，
所以，解得， 因此橢圓的標準方程為；
（2）設點， 則，所以直線的垂線的斜率為，
由題可知，故直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
所以直線的方程為，
即，
因為，所以，
所以，
所以， 所以直線過定點．
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）圓的圓心為，半徑為，
依題意得， 則動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，
其中，，， 所以動點的軌跡的方程為.
（2）設直線的方程為，，，
則由得，
由根與系數的關系得①，
由題意，兩點不在軸上，所以，，，
又點，， 所以，，由得，
從而由已知得，即②，
又，③，
將③代入②得，
將①代入上式并整理得： ．
，
整理得， ，直線的方程為，
故直線恒過定點.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十
知識點一 求橢圓中的最值問題
典例1、已知橢圓：經過點，且短軸的兩個端點與右焦點構成等邊三角形.
（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線交橢圓于 兩點，求的取值范圍.
隨堂練習：已知橢圓，經過拋物線的焦點的直線與交于 兩點，在點處的切線交于兩點，如圖.
（1）當直線垂直軸時，，求的準線方程；
（2）若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.
典例2、橢圓的方程為，過橢圓左焦點且垂直于軸的直線在第二象限與橢圓相交于點，橢圓的右焦點為，已知，橢圓過點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交軸于點，若，，求證：為定值．
隨堂練習：已知橢圓的焦距為2，點在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P為橢圓C上異于頂點的任意一點，點M、N分別與點P關于原點、y軸對稱．連接MN與x軸交于點E，并延長PE交橢圓C于點Q．試問：是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
典例3、已知橢圓：（）的左右焦點為，，上、下端點為，.若從，，，中任選三點所構成的三角形均為面積等于2的直角三角形.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，過點作兩條不重合且，斜率之和為2的直線分別與橢圓交于，，，四點，若線段，的中點分別為，，試問直線是否過定點？如果是，求出定點坐標，如果不是，請說明理由.
隨堂練習：已知橢圓上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為，且離心率為．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設為的左頂點，過點作兩條互相垂直的直線分別與交于兩點，證明：直線 經過定點，并求這個定點的坐標．
知識點二 根據a、b、c求橢圓標準方程,根據韋達定理求參數,根據弦長求參數
典例4、已知橢圓：過點，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線被橢圓截得的弦長為，求的值.
隨堂練習：已知橢圓的離心率為，上頂點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，，且，求的值．
典例5、已知橢圓：，，為橢圓的左右焦點，為橢圓上一點，
且.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線：，過點的直線交橢圓于，兩點，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點，求最小值.
隨堂練習：已知橢圓的焦點在軸，且右焦點到左頂點的距離為．
（1）求橢圓的方程和焦點的坐標；
（2）與軸不垂直且不重合的直線與橢圓相交于不同的，兩點，直線與軸的交點為，點 關于軸的對稱點為．
①求面積的最大值； ②當面積取得最大值時，求證：．
典例6、已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點A在橢圓C上，，，過與坐標軸不垂直的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，N為線段PQ的中點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點，且，求線段MN所在的直線方程．
隨堂練習：設橢圓E：（）的左、右焦點分別為，，點在橢
圓E上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設點T在直線上，過T的兩條直線分別交E于A，B兩點和P，Q兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由題意，橢圓短軸的兩個端點與右焦點構成等邊三角形 故，
即橢圓：，代入 可得
故橢圓的方程為：
（2）分以下兩種情況討論：
①若直線與軸重合，則；
②若直線不與軸重合，設直線的方程為，設點、，
聯立，消去可得， 則恒成立，
由韋達定理可得，，
由弦長公式可得，
，則，所以，.
綜上所述，的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1）x=-1； （2）
解：（1）由知，， 當直線PF垂直于x軸時，由，得，
有， 所以的準線方程為：，即；
（2）由題意知，，設直線，，
則，，
，
由，即直線PB的斜率為，
所以直線PB的方程為：，即，
，
，又G為的重心，且G在x軸上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，
①，令，則，
所以①式②，
令，則， 所以②式，
故的取值范圍為.
典例2、答案： （1） （2）證明見解析
解（1）依題可知：，，
所以，即， 解得
又∵橢圓過點，則 聯立 可得，
橢圓的標準方程為．
（2）設點、，，
由題意可知，直線的斜率存在，可設直線的方程為，
聯立，可得，
由于點在橢圓的內部，直線與橢圓必有兩個交點，
由韋達定理可得，，
，，，
得，，
，，
．
隨堂練習：答案： （1）； （2）是定值，且定值為．
解：（1）由已知，， 所以， 解得，橢圓方程為；
（2）設，，則，，所以，,
直線方程為，代入橢圓方程得，
顯然是此方程的一個解，另一解為，
而，即為點的橫縱坐標，
,
所以． 所以為定值．
典例3、答案： （1） （2）直線過定點，且定點為
解：（1）解法一：從，，，中任選三點可構成四個三角形，
其中，.
為此僅需考慮，為面積等于2的直角三角形即可.
其中，.
因為為等腰三角形，故可得，即有：；
同時因為為等腰三角形，故可得，即有：；
綜上可得：，，即可得橢圓的方程為.
解法二：由橢圓的對稱性，結合已知條件可知從，，，中任選三點所構成的三角形，
均為等腰直角三角形，故四邊形是面積為4的正方形，
又正方形的邊長為，故，即
又正方形的對角線相等，所以，即
又因為，所以 從而橢圓的方程為.
（2）解法一：依題意，設直線的方程為：①
設直線的方程為：，
聯立方程①與橢圓的方程可得 由韋達定理得，
根據中點公式可得：
則，即 同理可得：
從而直線的斜率為：
故直線的方程為：
因為，將代入上式可得：
故直線必過定點.
解法二：依題意可知直線的斜率存在，設直線的方程為：①，
設直線的方程為：②， 設直線的方程為：，
聯立方程②與橢圓的方程可得
由韋達定理得
根據中點公式可得：
同時點是直線和直線的交點，聯立方程①②得
即可得， 整理得④
同理可得⑤
根據④⑤可以理解為，為關于的一元二次方程的兩個根.
由韋達定理可得：，即可得：，
∴直線的方程為：，故直線必過定點.
隨堂練習：答案： （1） （2）直線恒過定點，證明見解析
解：（1）由橢圓定義知：，解得：，
又離心率，，， 橢圓的標準方程為：.
（2）由（1）知：；
當直線斜率存在時，設，，，
由得：，
則，解得：， ，，
，，
即，
， 即，
整理可得：，或；
當時，直線恒過點，不合題意；
當時，直線，恒過定點；
當直線斜率不存在且恒過時，即，
由得：，，滿足題意；
綜上所述：直線恒過定點.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）依題意得，因離心率為，則橢圓半焦距，于是得，
所以橢圓E的方程為.
（2）設直線與橢圓E的交點為(，)，(，)，
由消去y并整理得：， 解得，
依題意，即，
整理得：，即，解得，即，
所以的值是.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）由離心率，則，
又上頂點，知，又，可知，，
∴橢圓E的方程為；
（2）設直線l：，設，，
則，整理得：，
，即， ∴，，
∴，
即，解得：或（舍去） ∴
典例5、答案： （1） （2）4
解：（1）設，則，所以，即.
，則由橢圓定義，
，則，故橢圓的標準方程為；
（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設直線：，
聯立方程得，
設，，由題意，，
由韋達定理，，
則，，
，，，
又
，
當且僅當即時取等號.
隨堂練習：答案：（1）橢圓方程為焦點坐標分別為，；（2）①；②證明見解析．
解:（1）因為，所以． 又，所以．
所以橢圓方程為焦點坐標分別為，．
（2）（ⅰ）方法一：
設，，， 所以，．
聯立得．
，，，即．
點到直線的距離為．
所以
． 當且僅當即時等號成立．
（ⅱ）因為．
而 所以，所以．
方法二：
（ⅰ）設直線（）， 所以，．
聯立方程化簡得．
所以．
所以．
點到的距離為：．
．
當且僅當，即等號成立．
（ⅱ） ．
因為， 所以．
典例6、答案：（1） （2）或
解：（1）由，得，已知，，
由橢圓定義，解得，則， ∴，
∴橢圓C的方程為；
（2）設直線l的方程為，，，
聯立整理得，
則，， ∴．
又，則．
∵，∴， ∴，整理得，
解得或， 則或，
故直線MN的方程為或．
隨堂練習：答案： （1） （2）0
解：（1）由已知橢圓的左、右焦點分別為，，∴，
方法一： 由題意得，解得， ∴橢圓的方程為；
方法二： 由，
則，又，得， ∴橢圓的方程為；
（2）設，，
由，消去得：
設，
由題意，
從而
同理，又
所以，即，又
故，直線的斜率與直線的斜率之和為0．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十一
知識點一 根據橢圓過的點求標準方程,橢圓中的定值問題
典例1、已知橢圓：，，點在橢圓上．
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點且不與軸垂直的直線與橢圓交于，兩點，，證明，斜率之積為定值．
隨堂練習：已知橢圓經過點 ，離心率為，過點的直線l與橢圓C
交于不同的兩點M，N.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線AM和直線AN的斜率分別為和 ，求證：為定值
典例2、已知橢圓的焦距為，且過點
（1）求橢圓的方程；（2）若點是橢圓的上頂點，點在以為直徑的圓上，延長 交橢圓于點，的最大值.
隨堂練習：如圖，點P為拋物線與橢圓在第一象限的交點，過拋物線焦點F且
斜率不為0的直線l與拋物線交于A，B兩點，連接交橢圓E于點C，連接交橢圓E于點D，記直線的斜率分別為．
（1）求點P的坐標并確定當為常數時的值；（2）求取最大值時直線l的方程．
典例3、已知橢圓，過點．
（1）求C的方程；
（2）若不過點的直線l與C交于M，N兩點，且滿足，試探究：l是否過定點，若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．
隨堂練習：已知為橢圓上一點，上、下頂點分別為、，右頂點為，
且.
（1）求橢圓的方程；
（2）點為橢圓上異于頂點的一動點，直線與交于點，直線交軸于點.求證：直線
過定點.
知識點二 過圓上一點的圓的切線方程,根據a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓中的最值問題
典例4、已知橢圓的左右焦點分別為．過點的直線與橢圓交
于兩點，過點作的垂線交橢圓于兩點，的周長為．
（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍．
隨堂練習：已知橢圓經過兩點，.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過橢圓的右焦點的直線交橢圓于，兩點，且直線與以線段為直徑的圓交于另一點 （異于點），求的最大值.
典例5、已知橢圓的離心率為，左頂點為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線與橢圓在第一象限的交點為，過點A的直線與橢圓交于點，若，且（為原點），求的值.
隨堂練習：已知橢圓的焦距為，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過橢圓頂點，斜率為的直線交橢圓于另一點，交軸于點，且、、成等比數列，求的值.
典例6、已知橢圓：的左 右焦點分別為 ，焦距為2，點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）若點是橢圓上一點，為軸上一點，，設直線與橢圓交于， 兩點，若直線，關于直線對稱，求直線的斜率.
隨堂練習：已知橢圓：經過點且離心率為，，是橢圓的兩個焦點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設是橢圓上一點，直線與橢圓交于另一點，點滿足：軸且，求證：是定值．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十一答案
典例1、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意得，故橢圓為，
又點在上，所以，得，，
故橢圓的方程即為；
（2）由已知直線過，設的方程為，
聯立兩個方程得，消去得：，
得，
設，，則，（*），
因為，故，
將（*）代入上式，可得：，
∴直線與斜率之積為定值．
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意橢圓經過點 ，離心率為，
可得，解得， 故橢圓C的方程為
（2）由題意可知直線l的斜率一定存在，設直線l的方程為，
由，可得，
由于直線l與橢圓C交于不同的兩點M，N，
則，解得，
設,則，
，
故
， 即為定值.
典例2、答案：（1）；（2）.
解：（1）根據題意，橢圓的焦距為，且過點， 可知，，則，
，， 所以橢圓的方程為；
（2）可得，，則，則以為直徑的圓，圓心為，半徑為，
以為直徑的圓方程為， 即：，
點，由于延長交橢圓于點，則點在直線上，
可知直線的斜率存在，且， 則設直線的方程為，設，
聯立直線和圓的方程，得， 解得：，
可得，
聯立直線和橢圓的方程，得， 解得：，
可得， 則，
可知，設上式為， 即有，，
，即為， 解得：， 則的最大值為.
隨堂練習：答案： （1）， （2）
解：（1）由得． 設直線l的方程為．
由得，由韋達定理得．
又，同理可得，
則
所以當時，為常數．
（2）由（1）知，．
設直線的方程分別為．
由得，
由韋達定理得，解得，
代入直線的方程得，同理可得．
又由（1）知，，得．
所以
．
所以，令，
則，當且僅當時，等號成立，
此時直線l的方程為．
典例3、答案： （1） （2）直線過定點
解：（1）由題意，，解得， 所以橢圓C的標準方程為．
因為，兩邊平方，化簡整理得，
易知直線l的斜率存在，設其方程為，其中．
由，得，
，
設，則，
所以
，
所以，
即，
因為，所以，
所以，
得，解得，滿足，
所以直線l的方程為：，即直線過定點
隨堂練習：答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）因為為橢圓上一點，所以.
因為，所以，整理得，解得或.
當時，，與矛盾.所以，. 橢圓的方程為.
（2）設直線的斜率為，則. 因為，
由解得，.
因為，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以， 所以.
所以.
所以直線過定點.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由題， 由橢圓定義，的周長為，所以
所以橢圓的方程為.
（2）當軸時，MN與x軸重合，不符合題意，
當直線與軸重合時，，所以；
當直線斜率存在且不為0時，設
，
由韋達定理
所以
同理 所以
綜上所述，的取值范圍是.
隨堂練習：答案： （1）（2）最大值為
解:（1）橢圓過點，
，解得： 橢圓的標準方程為
（2）由題易知直線的斜率不為，可設：
由得：，則
設，，則，
又，以為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為
故圓心到直線的距離為
，即
（當且僅當，即時取等號）
當時，直線與橢圓有交點，滿足題意，且 的最大值為
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由題意得， 故，
所以， 所以橢圓的方程為；
（2）設直線與橢圓得另一個交點為，
設， 因為， 則直線的方程為，
聯立，消整理得， 則，
所以，則，
所以，
聯立，消整理得，
則， 所以，
因為， 所以，
解得， 又， 所以.
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解:（1）由已知，即有，由已知條件可得，解得，
因此，橢圓的方程為；
（2）由（1）得直線的方程為，聯立，
消去可得，解得，則，
依題意且，
因為、、成等比數列，則，則.
當時，則有，該方程無解；
當時，則，解得，
所以，解得，
所以，當、、成等比數列時，.
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）依題意可得，又， 所以，，.
所以；
（2）因為，所以是的中點. 結合軸，
所以軸，所以，則，解得，因為，
所以，所以. 因為直線、關于直線對稱.
所以、的傾斜角互補，所以，
顯然直線的斜率存在，設：，由，
得，由得.
設， ，則，，
由， 整理得，
所以，即
若，則，
所以直線的方程為，此時，直線過點，舍去.
所以，即， 所以直線的斜率為.
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意可得， 由橢圓經過點，可得，
又，解方程得，，，
所以橢圓的方程為；
（2）證明：由題意可得，，
設，，，則，
由，可得，
；
直線的方程為,得，與橢圓方程聯立，
可得，
所以， 即有，
所以．
所以，是定值．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十二
知識點一 根據a、b、c求橢圓標準方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,橢圓中的直線過定點問題
典例1、已知橢圓C：過點．右焦點為F，縱坐標為的點M在C上，
且AF⊥MF．
（1）求C的方程；
（2）設過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標不為0的點P為C上一動點，過F作直線PA的垂線交l于點Q，證明：直線PQ過定點．
隨堂練習：已知點，圓，點在圓上運動，的垂直平分線交于點．
（1）求動點的軌跡的方程.
（2）動點的軌跡與軸交于，兩點在點左側，直線交軌跡于，兩點不在 軸上，直線，的斜率分別為，，且，求證：直線過定點．
典例2、已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為軸，軸，且過兩點.
（1）求橢圓的方程；
（2）為橢圓的右焦點，直線交橢圓于（不與點重合）兩點，記直線的斜率分別為，若，證明：的周長為定值，并求出定值.
隨堂練習：已知橢圓的左 右焦點分別為，且焦距長為2，過且斜率為
的直線與橢圓的一個交點在軸上的射影恰好為.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，下頂點為，過點作一條與軸不重合的直線，該直線交橢圓于兩點，直線分別交軸于，兩點，為坐標原點.求證：與的面積之積為定值，并求出該定值.
典例3、如圖，已知橢圓的離心率為，且過點.
（1）求橢圓的標準方程；（2）過左焦點且斜率為正的直線與橢圓交于、兩點，過點、
分別作與直線垂直的直線，交軸于、兩點，求的最小值.
知識點二 根據橢圓過的點求標準方程,根據韋達定理求參數
典例4、已知橢圓，其長軸長為短軸長的倍，且兩焦點距離為2，點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點P的直線交橢圓于M N兩點，O為坐標原點，求面積的最大值，并求此時直線的方程；
（3）已知斜率為k的直線l交橢圓于A B兩點，直線 分別交橢圓于C D，且直線過點，求k的值.
隨堂練習：已知橢圓過點，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設，直線l與橢圓C交于兩點，且，當（O為坐標原點）的面積S最大時，求直線l的方程．
典例5、已知橢圓的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點，且．
（1）求橢圓C的方程．
（2）設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側．直線PA，PB與直線分別交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E，F，求點P橫坐標的取值范圍及的最大值．
隨堂練習：已知焦點在軸上，中心在原點，離心率為的橢圓經過點，動點（不與定點
重合）均在橢圓上，且直線與的斜率之和為1，為坐標原點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證直線經過定點；
（3）求的面積的最大值
典例6、在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率，且橢圓C上一點N到距離的最大值為4，過點的直線交橢圓C于點A、B.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓上一點，且滿足（O為坐標原點），當時，求實數t的取值范圍.
隨堂練習：已知M，N分別是x軸，y軸上的動點，且，動點P滿足，設點P
的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）直線與曲線C交于A，B兩點，G為線段AB上任意一點（不與端點重合），斜率為k的直線經過點G，與曲線C交于E，F兩點．若的值與G的位置無關，求k的值．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十二答案
典例1、答案： （1） （2）過定點；證明過程見詳解
解：（1）設點，其中，則，
因為橢圓過點，則，
將點的坐標代入橢圓的方程得， 所以，解得，
因此橢圓的標準方程為；
（2）設點， 則，所以直線的垂線的斜率為，
由題可知，故直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
所以直線的方程為，
即，
因為，所以， 所以，
所以， 所以直線過定點．
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）圓的圓心為，半徑為，
依題意得， 則動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，
其中，，， 所以動點的軌跡的方程為.
（2）設直線的方程為，，，
則由得，
由根與系數的關系得①，
由題意，兩點不在軸上，所以，，，
又點，， 所以，，由得，
從而由已知得，即②，
又，③，
將③代入②得，
將①代入上式并整理得：．
，
整理得， ，直線的方程為， 故直線恒過定點.
典例2、答案： （1） （2）證明見解析，定值為
解：（1）由已知設橢圓方程為：，
代入，得， 故橢圓方程為.
（2）設直線，
由
得：，，
又，
故
，
由，得，
故或，
①當時，直線，過定點，與已知不符，舍去；
②當時，直線，過定點，即直線過左焦點，
此時，符合題意.
所以的周長為定值.
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析，定值為
解：（1）由題意，，，故過且斜率為的直線的方程為，
令，得，由題意可得，解得，．
求橢圓的方程為；
（2）證明：由題意知，直線的斜率存在，設直線，
，，，， 聯立，得．
，， 由，得，
，
，
直線的方程為，令，解得，
則，，同理可得，，
典例3、答案：（1）；（2）最小值是.
解:（1）由題意，解得，因此，橢圓的標準方程為；
（2）設點、，設直線的方程為，
由得，，
由韋達定理可得，，
直線的方程為，令得，
同理， 所以，
令，則，
當且僅當時，即當時，取最小值.
典例4、答案： （1）； （2）面積的最大值為，直線的方程為： 或； （3）
解：（1）由題知，其長軸長為短軸長的倍，且兩焦點距離為2
則，，又 解得：，
橢圓的方程為：
（2）由橢圓的方程知，當過點P的直線斜率不存在時，直線與橢圓無交點，
所以直線的斜率存在，設過點P的直線的斜率為
則直線的方程為：，，
由（1）可得橢圓的方程為：
聯立直線方程與橢圓方程：得：
解得：，即 ，
設點到直線的距離為，則
令且得：，
當且僅當，即時取等號 此時，，即
所以面積的最大值為
直線的方程為：或
（3）設，，由題意知，直線的斜率不為，
則直線的方程為：
由（1）知橢圓方程為
聯立直線與橢圓的方程：， 得
所以 即
所以 同理可得：，
設，則 即
化簡得： 即 所以直線l的斜率為
隨堂練習：答案： （1）； （2）或
解：（1）因為橢圓過點，且離心率為，
所以，解得， 所以橢圓的方程為；
（2）顯然，直線的斜率存在，
①當時，可設直線的方程為由可設，
則，所以，
所以，
當且僅當，即時取等號，此時直線的方程為；
②當時，可設直線的方程為即，，
聯立，消去整理得，
由，得（*），則有，
于是可得的中點為即，
因為，所以，化簡得，
結合（*）可得解得，
又到直線的距離為
所以， 即，
所以，當時，取最大值，
此時由可得，直線的方程為，
綜上所述，直線的方程為或.
典例5、答案：（1） （2）橫坐標的取值范圍為，的最大值為2
解：（1）由題意，可得，，得，解得：．
橢圓C的標準方程為．
（2）解法1：設點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴，直線PA的方程為，
同理：直線PB的方程為．
直線PA與直線的交點為；
直線PB與直線的交點為．
∵線段MN的中點坐標為， ∴圓的方程為．
令，則．
∵，∴， ∴．
∵這個圓與x軸相交，該方程有兩個不同的實數解， ∴，解得．
設交點坐標分別為，，則．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法2：設點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴，直線PA的方程為，
同理：直線PB的方程為．
直線PA與直線的交點為；
直線PB與直線的交點為．
若以MN為直徑的圓與x軸相交，則，
即，即．
∵， ∴，代入得到，解得．
該圓的直徑為；
圓心到x軸的距離為；
該圓在x軸上截得的弦長為．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法3：設點P的坐標為，點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴，直線PA的方程為 同理：直線PB的方程為．
直線PA與直線的交點為；
直線PB與直線的交點為．
∴．
圓心到x軸的距離為．
若該圓與x軸相交，則，即．
∵，∴，∴，解得．
該圓在x軸上截得的弦長為．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法4：記點D的坐標為（2，0），點H的坐標為（4，0），設點P的坐標為，
點M的坐標為，點N的坐標為．
由已知可得點A的坐標為（0，1），點B的坐標為．
∴AP的直線方程為，BP的直線方程為．
令，分別可得，．
∴點M的坐標為，點N的坐標為．
若以MN為直徑的圓與x軸相交于點E，F，
∵， ∴．
．
∵， ∴，代入得到，
∴． ∴．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
解法5：設直線OP與交于點T．
∵軸， ∴有，．
∴，，即T是MN的中點．
又設點P的坐標為，則直線OP方程為．
令，得，∴點T的坐標為．
而，若以MN為直徑的圓與x軸相交于點E，F，
則，即．
∵，∴， ∴，解得或．
∵，∴， ∴．
∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．
隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3）．
解:（1）設橢圓（）的離心率為，
可知，又因為，所以．
由定點在橢圓上可得，故，．
所以橢圓的方程為．
（2）當直線與軸垂直時，設（），則．
由題意得：，即．所以直線的方程為．
當直線不與軸垂直時，可設直線為，，，
將代入得．
所以，．
由直線與的斜率之和為1可得①，
將和代入①，
并整理得②，
將，代入②， 并整理得，
分解因式可得，
因為直線：不經過點，所以，故．
所以直線的方程為，經過定點． 綜上所述，直線經過定點．
（3）由（2）可得：，．
因為坐標原點到直線的距離為，
所以的面積（）．
令，則，且，
當且僅當，即時，的面積取得最大值．
典例6、答案： （1）；（2）或.
解:（1）橢圓C的半焦距c，，即，
則橢圓方程為，即，設，
則，
當時，有最大值，即，解得， ，
故橢圓方程是；
（2）設，，，直線AB的方程為，
由，整理得，
則，解得，，，
因且，則，
于是有，化簡，得，
則，即， 所以，
由得，則，，
而點P在橢圓上，即，化簡得，
從而有，而，
于是得，解得或，
故實數t的取值范圍為或.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）設，，則．
設，則，．
由題意，得解得
所以，化簡得，
即曲線C的方程為．
（2）由題意并結合（1）易知（不妨設點A在第一象限內），，．
設點，其中，則，，
所以．
因為斜率為k的直線經過點G，所以直線的方程為．
將直線的方程代入曲線C的方程化簡、整理，
得：．
設，，則，，
所以
，
所以．
因為的值與m的值無關，
所以，解得．2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十三
知識點一 雙曲線定義的理解,根據a、b、c求雙曲線的標準方程,等軸雙曲線,雙曲線中的定值問題
典例1、已知雙曲線的方程為.
（1）直線與雙曲線的一支有兩個不同的交點，求的取值范圍；
（2）過雙曲線上一點的直線分別交兩條漸近線于兩點，且是線段的中點，求證：為常數.
隨堂練習：已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點；且的一條漸近線
與直線平行.
（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線 的兩條漸近線于兩點，為坐標原點，試判斷的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，請說明理由.
典例2、已知雙曲線與有相同的漸近線，且經過點．
（1）求雙曲線C的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓上，求實數m的值．
隨堂練習：已知橢圓長軸的頂點與雙曲線實軸的頂點相同，且的
右焦點到的漸近線的距離為．
（1）求與的方程；（2）若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經過點，與交于、兩點，與交于、兩點，求．
典例3、已知雙曲線W：的左、右焦點分別為、，點，右頂點是M，
且，．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個不同的點（B在A、Q之間），若點在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．
隨堂練習：在一張紙上有一圓：，定點，折疊紙片使圓C上某一點恰好與
點M重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕PQ，設折痕PQ與直線的交點為T.
（1）求證：為定值，并求出點的軌跡方程；
（2）曲線上一點P，點A B分別為直線：在第一象限上的點與：在第四象限上的點，若，，求面積的取值范圍.
知識點二 拋物線的焦半徑公式,根據拋物線上的點求標準方程,拋物線中的參數范圍問題,拋物線中的定值問題
典例4、已知拋物線，點F為其焦點，且點F到其準線l的距離為4.
（1）求拋物線T的方程；
（2）設l與x軸的交點為A，過x軸上的一個定點的直線m與拋物線T交于B，C兩點.記直線AB，AC的斜率分別為，，若，求直線m的方程.
隨堂練習：已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，點M在第一象限且為拋物線C上一點，點N
（5，0）在點F右側，且△MNF恰為等邊三角形．
（1）求C的方程；
（2）若直線l：x＝ky+m與C交于A，B兩點，∠AOB＝120°（其中O為坐標原點），求實數m的取值范圍．
典例5、已知拋物線的焦點為F，點M是拋物線的準線上的動點．
（1）求p的值和拋物線的焦點坐標；
（2）設直線l與拋物線相交于A、B兩點，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．
隨堂練習：已知圓的圓心為，點是圓上的動點，點是拋物線的焦點，點 在線段上，且滿足.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）不過原點的直線與（1）中軌跡交于兩點，若線段的中點在拋物線上，求直線的斜率的取值范圍.
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十三答案
典例1、答案： （1）； （2），證明見解析.
解：（1）直線與雙曲線即
聯立得即
由題意得有兩個同號根，則滿足 即，即
解得：
雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線為
則，所以的中點
又因為點在雙曲線上，即 即，即.
隨堂練習：答案： （1） （2）是，2
解：（1）設雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則， 則雙曲線的方程為.
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），則直線的斜率存在，
設直線的方程為，則， 消得：，
則，可得：①
設與軸交點為， 則，
∵雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯立，解得，即， 同理可得：，
則（定值）.
典例2、答案：（1）雙曲線C的方程為，離心率，漸近線方程為 （2）
解：（1）因為雙曲線C與有相同的漸近線，
所以可設雙曲線C的方程為，
代入，得，得，故雙曲線C的方程為，
所以，，，故離心率， 漸近線方程為．
（2）聯立直線AB與雙曲線C的方程，得，
整理得， ．
設，，則AB的中點坐標為，
由根與系數的關系得，，，
所以AB的中點坐標為，
又點在圓上，所以， 所以．
隨堂練習：答案： （1）， （2）
解：（1）由題意可得，則． 因為的漸近線方程為，即，
橢圓的右焦點為，由題意可得，，解得，
故橢圓的方程為，雙曲線的方程為．
（2）設直線的傾斜角為， 所以，直線的斜率為，
所以直線的方程為， 聯立得，則，
設、，則，， 所以,
聯立可得，，
設點、，則，，
所以，，故．
典例3、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，則，∴，∴，
解得，，∴雙曲線的方程為．
（2）直線l的斜率存在且不為0，設直線l:，設、，
由，得， 則，解得①，
∵點在以線段AB為直徑的圓的外部，則，
，解得②，
由①、②得實數k的范圍是.
由已知，∵B在A、Q之間，則，且，
∴，則，∴， 則，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范圍是．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析， （2）
解：（1）證明：如圖，由點與關于對稱，
則，，故為定值.
由，
由雙曲線定義知，點的軌跡為以為焦點，實軸長為8的雙曲線，
設雙曲線方程為 ，，
所以雙曲線方程為；
（2）由題意知，分別為雙曲線的漸近線
設，由，設.
，由于P點在雙曲線上
又同理，設的傾斜角為，
則.
由函數的性質可知函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時， ；
當時，； .
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）因為點F到其準線l的距離為4， 所以， 所以拋物線T的方程為；
（2）若直線的斜率不存在時則與題意不符，
故直線的斜率必存在，不妨設直線的方程為，
將直線和拋物線聯立，，
則，
所以直線m的方程為.
隨堂練習：答案：（1）；（2）.
解：（1）由題意知，， 由拋物線的定義可知，
則由，得， 所以拋物線的方程為．
（2）設，，，，
由，得， ， 則，
所以，，
因為，
所以
，
所以且，
所以，解得， 即的取值范圍為．
典例5、答案：（1）； （2）
解：（1）因為拋物線的準線是，所以拋物線的焦點坐標，所以；
（2）因為點M是拋物線的準線上的動點，設．
（ⅰ）若直線l的斜率不存在，則．
由得，
因為，所以， 即，所以，
因為，所以； 因為，所以，
即，所以，
所以因為，所以①．
（ⅱ）若直線l的斜率存在，設為k，則．設．
由得，所以，
且，所以（*），
因為，所以，即，
所以， 所以，得，
因為，所以，
即，所以，
所以
則
所以，得，
所以②，
代入（*）得，，所以③，
由②得，所以④，
所以，所以，⑤
由④，⑤知，
綜合（ⅰ）（ⅱ）知直線l在x軸上截距b的取值范圍是．
隨堂練習：答案： （1） （2）或
解：（1）易知點是拋物線的焦點，，
依題意，
所以點軌跡是一個橢圓，其焦點分別為，長軸長為4，
設該橢圓的方程為， 則，
， 故點的軌跡的方程為.
（2）易知直線1的斜率存在，
設直線1：，
由得：，
，
即①又，
故，將，代，
得：，
將②代入①，得：，
即， 即，即，
且，
即的取值范圍為或.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十四
知識點一 根據雙曲線的漸近線求標準方程,求雙曲線中的弦長,由中點弦坐標或中點弦方程、斜率求參數,根據韋達定理求參數
典例1、已知雙曲線的離心率為2，F為雙曲線C的右焦點，M為雙曲線C上的任一點，且點M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
（1）求雙曲線C的方程；（2）設過點F且與坐標軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點P，Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點B，求的值．
隨堂練習：已知雙曲線的右焦點為，過點F與x軸垂直的直線與雙曲線
C交于M，N兩點，且.
（1）求C的方程；（2）過點的直線與雙曲線C的左 右兩支分別交于D，E兩點，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點，若，求實數的取值范圍.
典例2、以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線切于點．
（1）求雙曲線的離心率及方程；（2）點分別是雙曲線的左、右頂點，過右焦點作一條斜率為的直線，與雙曲線交于點，記直線的斜率分別為，．求的值．
隨堂練習：已知雙曲線的中心為坐標原點，焦點在坐標軸上，且點，，三
個點中有且僅有兩點在雙曲線上．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）直線交雙曲線于軸右側兩個不同點的，連接分別交直線于點．若直線 與直線的斜率互為相反數，證明：為定值．
典例3、已知雙曲線的焦距為，且過點，直線與曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線與、兩點，為坐標原點.
（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值.
知識點二 拋物線的焦半徑公式,根據拋物線上的點求標準方程,拋物線中的參數范圍問題,拋物線中的定值問題
典例4、已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上．
（1）若，求拋物線的標準方程；
（2）若直線與拋物線交于，兩點，點的坐標為，且滿足，原點到直線 的距離不小于，求的取值范圍．
隨堂練習：已知拋物線的焦點到準線的距離為1.
（1）求C的方程；
（2）已知點在C上，且線段AB的中垂線l的斜率為，求l在y軸上的截距的取值范圍.
典例5、已知拋物線，點為其焦點，點、在拋物線上，且直線過點，
.
（1）求拋物線的方程；
（2）過焦點作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點、和、，點、分別為、的中點，求面積的最小值.
隨堂練習：已知拋物線C：，F為拋物線C的焦點，是拋物線C上點，且；
（1）求拋物線C的方程；
（2）過平面上一動點作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點），求的最大值.
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十四答案
典例1、答案： （1） （2）1
解：（1）由題意可得，漸近線的方程為， 設，則有，即，
因為點M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
所以，
又離心率，即，所以，所以，，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知，，設直線的方程為，
聯立，得， 所以，
若，，則，，
所以|， 所以，
所以的中點坐標為，
所以線段的垂直平分線的方程為，
整理得，所以， 則，所以．
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）由題意得，解得 故C的方程為.
（2）顯然直線率存在，設直線的方程為，，，
聯立，得，
因為與雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點，
故， 解得， 此時有.
，，
由，解得，同理可得，所以.
因為，故. 因為，故，
故實數的取值范圍是.
典例2答案：（1）離心率為，方程為； （2）．
解：（1）雙曲線的漸近線為，
所以圓與切于點，．①
設，則，即，② 又，③
由①②③解得，，， 所以雙曲線的離心率為，方程為．
（2）因為，，，
設的方程為，，，
由，消去整理得，
所以且解得，
所以，， ，，
． 故的值為．
隨堂練習：答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）由題意知：不可能同時在雙曲線上；
若在雙曲線上，則雙曲線焦點在軸上，可設為，，
解得：，雙曲線方程為；
若在雙曲線上，則雙曲線焦點在軸上，可設為，，方程組無解；
綜上所述：雙曲線的標準方程為.
（2）由題意知：直線，即直線斜率存在，可設，，，
由得：，
且，即且；
，，
直線與直線的斜率互為相反數，，
即，
化簡得：，
整理可得：，即；
當時，，則，恒過點，與已知矛盾，舍去；
當，即時，直線直線，即，，
，即； 要證為定值，即證為定值，
即證為定值，
，，即為定值.
典例3、答案：（1）；（2）證明見解析，面積為.
解:（1）設雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則雙曲線的方程為；
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），則直線的斜率存在，
設直線的方程為， 則消得，
，①
設與軸交于一點，，
，
雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯立，聯立，
則（定值）.
典例4、答案： （1）或； （2）.
解：（1）由題意及拋物線的定義得：，
又因為點在拋物線上，所以，
由 可得或，
所以拋物線的標準方程為或．
（2）設，， 聯立消去可得：，
則，，
因為，
所以，
所以，可得，
由原點到直線的距離不小于，可得，解得或，
因為，所以不成立，所以，
因為在上單調遞增，
所以，所以， 即的取值范圍為．
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）因拋物線的焦點到準線的距離為1，則p=1， 所以C的方程為.
（2）依題意，設直線l的方程為，直線AB的方程為y=2x+m，
設， 由消去x得：，
由題意知，得，
設線段AB的中點為，則，再由，可得，
又點N在直線l上，則，于是，從而有，
所以l在y軸上的截距的取值范圍為.
典例5、答案： （1）； （2）16.
解：（1）過點、分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為、，
易知，，
因為，則，則點為的中點，
連接，則為的中位線，所以，，則，
所以，點在線段的垂直平分線上，則點的橫坐標為，
，解得，所以，拋物線的標準方程為.
（2）因為，若直線、分別與兩坐標軸垂直，
則直線、中有一條與拋物線只有一個交點，不合乎題意.
所以，直線、的斜率均存在且不為，
設直線的斜率為，則直線的方程為，
聯立，得，則，
設、，則，
設，則，則，所以，
同理可得， 故，
，因為，
所以，
當且僅當，即時等號成立，故面積的最小值為.
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）依題意得： ∴，∴，
所求拋物線的方程為；
（2）拋物線的方程為，即∴，
設，，則切線PA，PB的斜率分別為，.
所以切線PA：，
∴，又，，
同理可得切線PB的方程為，
因為切線PA，PB均過點，所以，，
所以，為方程的兩組解.
所以直線AB的方程為.
聯立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由拋物線定義可知，， 所以
∵ ，
∴
令 ∴原式，
即原式的最大值.2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十五
知識點一 拋物線的焦半徑公式,根據拋物線上的點求標準方程,拋物線中的參數范圍問題,拋物線中的定值問題
典例1、如圖，拋物線的焦點為F，點A為拋物線上的一動點，直線AF交拋物線
于另一點B，當直線的斜率為1時，線段的中點的橫坐標為2．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若過B與軸平行的直線和過F與AB垂直的直線交于點N，求N的縱坐標的取值范圍．
隨堂練習：如圖，已知過點，圓心C在拋物線上運動，若MN為在x軸上截得的弦，設，，
當C運動時，是否變化？證明你的結論．
求的最大值，并求出取最大值時值及此時方程．
典例2、設點，動圓經過點F且和直線相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）過點F的直線交曲線E于A，B兩點，另一條與直線平行的直線交x軸于點M，交y軸于點N，若是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，求點M的橫坐標．
隨堂練習：已知拋物線的焦點為，拋物線上一點到點的距離為．
（1）求拋物線的方程及點的坐標；
（2）設斜率為的直線過點且與拋物線交于不同的兩點、，若且，求斜率的取值范圍．
知識點二 雙曲線定義的理解,根據a、b、c求雙曲線的標準方程,等軸雙曲線,雙曲線中的定值問題
典例3、在平面直角坐標系中，動點M到點的距離等于點M到直線的距離的倍，記動點M的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；（2）已知直線與曲線C交于A，B兩點，曲線C上恰有兩點P，Q滿足，問是否為定值 若為定值，請求出該值；若不為定值，請說明理由.
隨堂練習：已知雙曲線的離心率為，左 右頂點分別為M，N，點滿足
（1）求雙曲線C的方程；（2）過點P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，直線OP與直線AN交于點D.設直線MB，MD的斜率分別為，求證：為定值.
典例4、已知拋物線：（）的焦點為，為上的動點，為在動直線（）上的投影.當為等邊三角形時，其面積為.
（1）求的方程；（2）設為原點，過點的直線與相切，且與橢圓交于，兩點，直線與交于點.試問：是否存在，使得為的中點？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
典例5、已知雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，點在雙
曲線C上，TP垂直x軸于點P，且點P到雙曲線C的漸近線的距離為2.
（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知過點的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，且
的外接圓圓心Q在y軸上，求滿足條件的所有直線l的方程.
隨堂練習:已知兩定點,滿足條件的點P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1
與曲線E交于A,B兩點,
(1)求k的取值范圍;
(2)如果,且曲線E上存在點C,使,求m的值和的面積S．
2025高考--圓錐曲線的方程（一輪復習）課時十五答案
典例1、答案： （1）；（2），，．
解：（1）設直線AF的方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),
則，. ∴,,
設M(x0，y0),則x1+x2=2x0,∴x0=pk,
∵當k=1時x0=2,∴p=2, 則拋物線的方程為
（2）設，，，．
由題知不垂直于軸，可設直線
由消去得， 故，所以．
又直線的斜率為，故直線的斜率為，
從而的直線，直線，
由解得的縱坐標是，其中，
或． 綜上，點的縱坐標的取值范圍是，，．
隨堂練習：答案： （1）不變（2）最大值為，圓C方程為：
解：設，方程為
與聯立
得
在拋物線上 ，代入
得為定值 不變
由可設、，
，
當且僅當時取等號，即 圓方程為
當時，為∠ANx--∠AMx，又
同理，時，仍可得
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由題意，點P到點F的距離等于到直線的距離，
所以點P的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線， ,
故曲線E的方程是.
（2）顯然，直線不與x軸重合，設直線的方程為，
與E聯立得：
設，則 則，，
即中點C坐標為，
由題意△NAB是以點N為直角頂點的等腰直角三角形，
故，過C與垂直的直線，其方程為，
令，得，故點N坐標為，
又， 故，
令，則，由，解得，
即，解得 又直線的方程為，
令，得到點M橫坐標為.
隨堂練習：答案： （1）拋物線方程為，點的坐標為 （2）
解：（1）由拋物線定義可知，得，所以，拋物線方程為，
將點的坐標代入拋物線方程得，所以，點的坐標為.
（2）直線的方程為，設點、，
聯立整理得，，可得或，
由韋達定理可得，，
又，即，所以，，
因為，，則，
又，
令，所以，，
由雙勾函數的單調性可知，函數在上為減函數，在上為增函數，
當時，，
同理可知，當時，，
又因為或，所以，的取值范圍是.
典例3、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）設，由題意得，化簡得
（2）存在. 設，，
聯立直線與雙曲線方程，有
由韋達定理，有 ，
法一：注意到上式當時，上式恒成立，即過定點和
經檢驗兩點恰在雙曲線C上，且不與A，B重合，故為定值，該定值為
法二：聯立直線與雙曲線方程，有……（1）
（1）式兩邊平方，有，即……（2）
注意到，是此方程的兩個增根，故含有因式，記為代入（2），有 即
即 即
解得，代回（1）有或
經檢驗直線不過這兩點，故上述兩點為P，Q，為定值，該定值為
隨堂練習：答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）由題意知，又， 所以，
由，可得， 又，所以，故，
所以雙曲線的方程為；
（2）因為，
若直線l的斜率不存在，則l與雙曲線C僅有一個公共點， 不合題意，故l的斜率存在，
設l：， 聯立得：，
設， 則.
因為，故，①
又， 所以，②
聯立①②，解得，
于是
所以為定值.
典例4、答案： （1）； （2）存在，，理由見解析.
解：（1）設，， 因為為等邊三角形時，其面積為，
所以，解得，即，
由拋物線定義可知，y=t為拋物線的準線，
由題意可知，所以， 所以的方程；
（2）設，則在動直線上的投影， 當時，，
由可得，所以切線的斜率為，
設，，線段的中點，
由，可得， 所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因為，
所以當時，，此時三點共線，滿足為的中點，
綜上，存在，使得點為的中點恒成立，.
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）由在雙曲線C上，得， 由TP垂直x軸于點P，得，
則由到雙曲線C的漸近線的距離為2， 得，得，
聯立和， 解得，， 即雙曲線C的標準方程為.
（2）由題意，， 當直線無斜率時，直線方程為，則、，
則為等腰三角形，若的外接圓的圓心Q在y軸上，
則，而，，， 不符合題意（舍）；
當直線存在斜率時，設直線方程為，
聯立，得， 即
設直線l與雙曲線C的右支相交于、，
則， 解得，即或；
則，， 從而，
則線段AB的中點， 且.
由題意設， 易知Q在線段AB的垂直平分線上，因此，
得，即， 連接QP，QA，QM，因此.
由勾股定理可得，，
又，則，
化簡得，得（舍去），
因此直線l的方程為， 即或.
隨堂練習：答案：（1）；（2），面積為.
解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，
且，得， 故曲線的方程為；
設，由題意建立方程組，
消去，得，
又直線與雙曲線左支交于兩點，有，解得，
（2），
依題意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直線的方程為，
設，由已知，得，
∴，
又， ∴點，
將點的坐標代入曲線的方程，得得，
但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意，
∴，點的坐標為，到的距離為，
∴的面積.

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