資源簡介

數列專題一
知識點一 累加法求數列通項,由遞推關系證明等比數列,求等比數列前n項和
典例1、已知數列{an}，{bn}滿足a1=b1=1，是公差為1的等差數列，是公差為2的等差數列．
（1）若b2=2，求{an}，{bn}的通項公式；
（2）若，，證明：．
隨堂練習：已知數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）若數列的前項和為，求數列的前項和．
典例2、設數列滿足，且．等差數列的公差d大于0．已知，且成等比數列．
（1）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；
（2）求數列的前n項和．
隨堂練習：已知等差數列滿足，，數列滿足，．
（1）求，的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
典例3、設數列的前項和為，，，數列中，，，，…，，…是首項、公差均為2的等差數列.
（1）求數列、的通項公式；
（2）令，求數列的前項和.
隨堂練習：已知數列中，，當時，，記．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列的前n項和為，證明：．
知識點二 由Sn求通項公式,裂項相消法求和
典例4、已知數列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）若，求證：數列的前項和．
隨堂練習：已知數列的前項和為，且．
1、求的通項公式；
2、設數列的前項和為，證明：．
典例5、已知數列的前n項和為，，，．
（1）求的通項公式；
（2）證明：．
隨堂練習：已知是數列的前n項和，，且．
（1）求的通項公式；
（2）證明：．
典例6、已知數列的前n項和為，已知，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）證明：．
隨堂練習：已知各項都是正數的數列的前項和為，，
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足：，，數列的前項和，求證：；
（3）若對任意恒成立，求的取值范圍.
數列專題一答案
典例1、答案： （1）； （2）證明見解析
解：（1）因為是公差為1的等差數列， 所以，
即，且， 所以，
累加得， 所以， 則；
（2）因為， 累加得，
所以， 則， 則，
令， 且，
所以，且，所以， 所以，
且，
從而，
所以，
當時，時，， 所以．
隨堂練習：答案： （1）. （2）.
解：（1）由題意數列滿足，
則 .
（2）由（1）可得， 故，
所以，
故
典例2、答案：（1）證明見解析， （2）
解：（1）證明：因為， 所以，
又， 所以數列是以4為首項，2為公差的等差數列，
則，
當則
，n=1成立 所以；
（2）由，得，
又成等比數列，使用，
即，解得（舍去）， 所以，
則，
所以.
隨堂練習：答案：（1），； （2）.
解：（1）設數列的公差為，由題可得，解得， 故；
因為滿足，，
故當時，，
故，符合該式，所以；
（2）由題可得，設的前項和為，
則，
故
則
即，故.
故數列的前項和為.
典例3、答案： （1），. （2）
解：（1）當時，由可得：；
當時，由①，②
則得： 所以.
因為，，所以數列為等比數列，所以.
因為，，，…，，…是首項、公差均為2的等差數列，
所以，，，……，
累加得：，
所以.n=1成立 綜上所述：，.
（2）
所以數列的前項和
所以.
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意得， 所以，即．
當時，
．
當時，也符合． 綜上，．
（2）證明：由（1）得， 當時；
當時，，
故當時，
． 綜上，．
典例4、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）當時，．
當時，， 則，
當時，滿足上式，則．
（2）由（1）可得，
則．
∵∴ 所以.
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意，當時，，
當時，由得，
兩式相減，得，又，
故數列的通項公式為.
（2）依題意，得，
則， 所以.
典例5、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）因為，， 所以，
所以，所以，
又，也成立， 所以的通項公式．
（2）證明：由（1）知，
所以，
所以．
因為，所以，所以，所以，．
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）當時，可得．
當時，，
所以， 所以，所以．
因為，所以，
時也符合，故．
（2）證明：由（1）知， 所以，
所以．
因為，所以．得證
典例6、答案：（1）；（2）證明見解析.
解:（1）因為，所以，
故，即，
又因為，所以，
故為首項為2，公差為2的等差數列，即，即.
（2）由（1）得，當時，，
所以
，故得證.
隨堂練習：答案：（1）；（2）證明見解析；（3）.
解:（1）時，，解得或（舍去）
當時，
化簡得：
，
數列是以為首項，為公差的等差數列，.
（2）證明：，
，
，
數列的前項和
（3）由已知條件參數分離可得（）
當且僅當即時，有最大值， .
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題二
知識點一 等差數列通項公式的基本量計算,等比數列通項公式的基本量計算,錯位相減法求和,
分組（并項）法求和
典例1、已知等差數列各項均不為零，為其前項和，點在函數的圖像上.
（1）求的通項公式；
（2）若數列滿足，求的前項和；
（3）若數列滿足，求的前項和的最大值、最小值.
隨堂練習：已知數列{}的前n項和滿足：．
（1）求數列{}的前3項；
（2）求證：數列是等比數列；
（3）求數列的前n項和．
典例2、已知數列中，．
（1）證明：數列和數列都為等比數列；
（2）求數列的通項公式；
（3）求數列的前n項和．
隨堂練習：在數列中，，
（1）設，求證：；
（2）求數列的通項公式；
（3）求數列的前項和.
典例3、已知等差數列的公差，它的前項和為，若=70，且，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）中的第2項，第4項，第8項，…，第項，按原來的順序排成一個新數列，求的前n項和.
（3）已知數列，，若數列的前項和為，求證：.
隨堂練習：已知數列的前項和，其中．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，，求數列的前項和；
（3）若存在，使得成立，求實數的最小值．
知識點二 等差數列通項公式的基本量計算,裂項相消法求和,累乘法求數列通項
典例4、已知數列的前項和為，且滿足，
（1）求數列的通項公式；
（2）-若數列的前項和為，求證：
隨堂練習：已知為等差數列，.
（1）求的通項公式；
（2）若為的前項和，求.
典例5、已知數列的前項和為，，且．數列為等比數列，．
（1）求和的通項公式；
（2）設 ，數列的前項和為，求的最小值．
隨堂練習：已知正項數列滿足，且，設.
（1）求證：數列為等比數列并求的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求數列的前項和.
典例6、已知數列的前項和滿足，，．
（1）求的通項公式；
（2）數列，，滿足，，且，求數列的前項和．
隨堂練習：已知數列，前n項和為，對任意的正整數n，都有恒成立．
（1）求數列的通項公式；
（2）已知關于n的不等式…對一切恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）已知 ，數列的前n項和為，試比較與的大小并證明．
人教A版數學--數列專題二答案
典例1、答案：（） （2） （3）最大值為，最小值為
解：（1）因為點在函數的圖像上，所以，
又數列是等差數列，所以，
即所以，
；
（2）解法1：，
==，
解法2：， ①
， ②
①-② 得 ， ；
（3）
記的前n項和為，
則=，
當n為奇數時隨著n的增大而減小，可得，
當n為偶數時隨著n的增大而增大，可得，
所以的最大值為，最小值為.
隨堂練習：答案： （1）；（2）證明見解析； （3）.
解：（1）當時，有：；
當時，有：；
當時，有：；
綜上可知；
（2）由已知得：時，，
化簡得：
上式可化為：
故數列{}是以為首項，公比為2的等比數列.
（3）由（2）知，∴，
∴
當n為偶數時，=
令，
①
②
則①②得
，
∴，=，
所以.
當n為奇數時，，
，
所以.
綜上，.
典例2、答案： （1）證明見解析. （2） （3）.
解：（1）由得，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以.
由得，
所以數列是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得，
則， 所以
，
也符合上式， 所以.
（3），
令， ，
兩式相減得 ，
所以.
所以.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）； （3）.
解：（1）由條件可知：，， ，
，；
（2）由第（1）問可知，，
當時，， 當時，， 當時，，
當時，，
以上各式相加，得，
，，，即；
（3）由第（1）、（2）問知，，，則，
設數列的通項公式，前項和為，
，
兩式相減，得，
，
數列的前項和.
典例3、答案： （）1（） （2） （3）證明見解析.
解：（1）解：因為數列是等差數列， 所以，．
依題意，有，即 解得，．
所以數列的通項公式為（）．
（2）由題意：，
∴
（3）證明：由（1）可得．所以，
．
因為，所以．
因為，所以數列是遞增數列．
所以．所以．
隨堂練習：答案： （1） （2） （3）
解：（1）當時，，
當時，， 兩式相減并化簡得（），
當時，上式也符合， 所以.
（2）數列滿足，，
則，，
所以數列是首項為，公差為的等差數列， 所以，
所以，
設數列滿足，且前項和為，
,,
兩式相減得，
所以.
設數列滿足，則的前項和，
所以.
（3）依題意，存在，使得成立，
，則只需求的最小值.
，
當或時，取得最小值為. 所以的最小值為.
典例4、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由已知，時，，
與已知條件作差得： 所以，
所以,n=1成立
（2）證明：因為，
所
.得證.
隨堂練習：答案：（1）； （2）.
解：（1）∵. ∴，
∴， ∴；
當時，滿足上式， 所以；
（2）由（1）可得，
∴.
典例5、答案： （1）；，；（2）.
解:（1）
即有，
上式對也成立，則；
為公比設為的等比數列，，．
可得，，則，即，，；
（2），
前項和為，
， 即，可得遞增，則的最小值為．
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）因為， 所以，
因為， 所以，
所以，且，
所以數列是以為公比，為首項的等比數列，即，
即，可得，，
所以時，，
即， 而此時時，，
所以；
（2）由（1），所以，
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）
解：（1）由題意知，，
兩式相減得，， 故，，
兩式相減得，
即，可知數列為等差數列，
又，則，解得，
又因為，所以，等差數列的公差，故．
（2）由題易知，又因為，
所以，
由累乘法可得：，，，，
所以，，因為，所以，，
當時，也符合，所以，，則，
．
隨堂練習：答案：（1）；（2）；（3），證明見解析．
解:（1）由題意，因為2Sn=（n+1）an， 當n≥2時，2Sn-1=nan-1，
兩式相減2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），
又a1=1≠0，則an≠0，所以，
可得， 累乘得n≥2時，，
n=1時，a1=1也滿足上式， 所以數列的通項公式為an=n．
（2）設，
則=
=，
所以f（n）在n≥3，n∈N*上單調遞減， 所以，即．
（3），
則Tn=c1+c2+c3+…+cn=
=
所以．
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知識點一 等差數列通項公式的基本量計算,等比數列通項公式的基本量計算,錯位相減法求和,
分組（并項）法求和
典例1、已知為等差數列，為等比數列，．
（1）求和的通項公式；
（2）記的前項和為，求證：；
（3）對任意的正整數，設求數列的前項和．
隨堂練習：已知等比數列的公比是的等差中項．等差數列滿足
．
（1）求數列的通項公式；
（2）將數列與數列的所有項按照從小到大的順序排列成一個新的數列，求此新數列的前50項和；
（3），求數列的前項和．
典例2、在等差數列中，已知，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前n項和；
（3）記，數列的前n項和為，若對任意的，，都有，求正整數k的最小值．
隨堂練習：已知數列中，，，，數列的前n項和為Sn.
（1）求的通項公式；
（2）已知，
（i）求數列前n項和Tn；
（ii）證明：當時，.
典例3、已知數列的前項和為，，.
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前項和；
（3）若數列，，求前項和.
隨堂練習：已知等差數列的前項和為，公差為1，且滿足．數列是首項為2的等比
數列，公比不為1，且、、成等差數列，其前項和為．
（1）求數列和的通項公式；
（2）若，求正整數的值；
（3）記，求數列的前項和．
知識點二 等差數列通項公式的基本量計算,寫出等比數列的通項公式,求等比數列前n項和,
分組（并項）法求和
典例4、已知數列是等差數列，記為的前n項和，是等比數列，．
（1）求；
（2）記，求數列的前2n項和．
隨堂練習：已知公差不為零的等差數列的前項和為，且滿足，，，成等比數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
典例5、已知數列，，，數列為等比數列，滿足，且，，成等差數列.
（1）求數列和的通項公式；
（2）記數列滿足：，求數列的前項和.
隨堂練習：已知等差數列的前項和為，數列為正項等比數列，且，
．
（1）求數列和的通項公式；
（2）若設的前項和為，求．
典例6、已知等比數列的前n項和為，且滿足，數列滿足：，．
（1）求數列，的通項公式；
（2）設數列的通項，求數列的前n項和．
隨堂練習：已知正項數列的前n項和為，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）將數列和數列中所有的項，按照從小到大的順序排列得到一個新數列，求的前50項和．
人教A版數學--數列專題三答案
典例1、答案：（1），；（2）證明見解析；（3）.
解: (1)設等差數列的公差為，等比數列的公比為q.
由，，可得d=1. 從而的通項公式為.
由， 又q≠0，可得，解得q=2，
從而的通項公式為.
(2)證明：由(Ⅰ)可得，
故，，
從而， 所以.
(3)當n為奇數時，，
當n為偶數時，，
對任意的正整數n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
從而得：.
因此，.
所以，數列的前2n項和為.
隨堂練習：答案： （1），； （2）； （3）．
解：（1）依題有,因為，解得：
．數列是等差數列,設其公差為,，解得：.
（2）數列與數列都是遞增數列, ,
,,
新數列的前50項和為:.
（3）∵，
設 ,
，
，
兩式相減有
,
∴. ∴
.
.
典例2、答案：（1） （2） （3）9
解：（1）設公差為，則，解得，
所以；
（2）由題意，所以，
；
（3）由（1），
，，
相減得，
，由，得，
令，則，
設， 則，
當時，，
當時，，即，
當時，，
，，， 所以當時，，當時，，
當時，遞減，當時，遞增，
，，， 因此當時，，當時，，
所以滿足的的最小值是9，即的最大值是9．
隨堂練習：答案： （1） （2）（i）Tn；（ii）證明見解析
解：（1）由題意可知，數列的奇數項構成的數列是首項為1，公差為4的等差數列，
偶數項構成的數列是首項為2，公差為4的等差數列.
當n為奇數時，；
當n為偶數時，
（2）（i），
，
；
（ii）， ，則；
（時等號成立） 當時，
設，
；
綜上，當時，.
典例3、答案：（1） （2） （3）
解：（1）當時，，可得，
當時，由可得，
上述兩個等式作差得，可得，
所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，故.
（2），所以，， 所以，，
上述兩個等式作差得，
因此，.
（3）由題意可得，，
所以，
.
隨堂練習：答案：（1），； （2）4； （3）.
解：（1）依題意，，解得，則，
設數列的公比為q，因，，成等差數列，則，
有，而，解得，，
所以數列和的通項公式分別為：，.
（2）由（1）知，，，，
依題意，，整理得，而，解得，
所以正整數n的值是4.
（3）由（1）知，
令數列的前n項和為，數列的前n項和為，
則，
于是得，
兩式相減得：，
因此，，
，
數列的前項和.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由題意得，所以①，
又是等比數列， 所以，
因為，所以②，
又，故由①②聯立解得，
又是等差數列，所以 為定值，即為定值，
故為等比數列，首項，公比， 所以的通項公式為．
（2）由（1）得，
所以，
即是以1為首項，4為公差的等差數列，
令，則，
記的前n項和為， 所以，
數列數列的前2n項和為．
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）設公差為，則，即，
因為，，成等比數列，所以，
即，整理得，
因為所以，代入，解得， 所以.
（2）,
所以
.
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）由題意，，，，令得，又數列為等比數列，
所以，即數列為公比為等比數列.
所以由可得即，
數列是首項為，公差為的等差數列，
數列的通項公式：.
由，，成等差數列，得：，，，有.
（2）由（1）知，數列的奇數項是首項為3，公差為4的等差數列，
偶數項是以首項為4，公比為4的等比數列.
.
隨堂練習：答案： （1）； （2）
解：（1）設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
，
或是正項等比數列， ， ．
（2）由（1）知， ，
．
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）設數列的公比為q，
因為，即，得，解得或，
當時，，不合題意，舍去，所以，
由，解得，所以，
對于，因為①，
當時，，則，
當時，②，
由①－②得，即，
又，也適合上式，故，，
采用累乘法求通項得， 所以．
（2）由（1）可得：，則，
則數列的前n項和，
①當為偶數，時，
采用分組求和：，
， 所以；
②當為奇數，且時，為偶數，由（1）中結論得，
此時，
當時，，也適合上式， 所以.
綜上所述，．
隨堂練習：答案：（1） （2）2150
解：（1）依題意， 當時，，解得，
由， 當時，有，
作差得：， 所以，
因為， 所以，
所以數列是首項為3，公差為2的等差數列， 所以.
（2）由（1）得，， 又，同時， 所以
所以
．
所以的前50項和為2150．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題四
知識點一 數列新定義
典例1、對于數列，若存在正數，使得對任意都成立，則稱數列為“擬等比數列”．
（1）已知，，且，若數列和滿足：，且，；
①若，求的取值范圍；
②求證：數列是“擬等比數列”；
（2）已知等差數列的首項為，公差為，前項和為，若，，，且是“擬等比數列”，求的取值范圍（請用、表示）．
隨堂練習：已知是由正整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，最小值記為，令 ，并將數列稱為的“生成數列”．
（1）若，求數列的前項和；
（2）設數列的“生成數列”為，求證：；
（3）若是等比數列，證明：存在正整數，當時， 是等比數列．
典例2、已知數列：，，…，，其中是給定的正整數，且.令，，，，，.這里，表示括號中各數的最大值，表示括號中各數的最小值.
（1）若數列：2，0，2，1，-4，2，求，的值；
（2）若數列是首項為1，公比為的等比數列，且，求的值；
（3）若數列是公差的等差數列，數列是數列中所有項的一個排列，求的所有可能值（用表示）.
隨堂練習：已知無窮數列滿足：①；②（；
；）.設為所能取到的最大值，并記數列.
（1）若，寫出一個符合條件的數列A的通項公式；
（2）若，求的值；
（3）若，求數列的前100項和.
典例3、對于序列，實施變換T得序列，記作；對繼續實施變換T得序列，記作．最后得到的序列只有一個數，記作．
（1）若序列為1，2，3，求；
（2）若序列為1，2，…，n，求；
（3）若序列A和B完全一樣，則稱序列A與B相等，記作，若序列B為序列的一個排列，請問：是的什么條件？請說明理由．
隨堂練習：若數列滿足，則稱為E數列.記
.
（1）寫出一個滿足，且的E數列；
（2）若，，證明E數列是遞減數列的充要條件是；
（3）對任意給定的整數，是否存在首項為0的E數列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的E數列；如果不存在，說明理由.
知識點二 等差數列通項公式的基本量計算,等差數列前n項和的基本量計算,等比中項的應用,
數列不等式能成立（有解）問題
典例4、設等差數列的前n項和為，數列是首項為1公比為的等比數列，其前n項和為，且，對任意恒成立.
（1）求數列，的通項公式；
（2）設，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
隨堂練習：已知數列的前項和為，且滿足．設
，數列的前項和為．
（1）證明：數列是等比數列；
（2）設，若對任意的恒成立，求實數的取值范圍．
典例5、設首項為a的等比數列的前項和為，若等差數列的前三項恰為，，.
（1）求數列，的通項公式；（用字母a表示）
（2）令，若對恒成立，求實數a的取值范圍.
隨堂練習：已知數列和，記，分別為和的前項和，為的前項積，且滿
足，，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設，記數列的前項和為，若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.
典例6、若數列的前n項和為，.
（1）求數列的通項公式；
（2）已知數列滿足，其前n項和為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.
隨堂練習：已知數列的前項和為，，數列滿足，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設數列滿足：，，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
人教A版數學--數列專題四答案
典例1、答案：（1）①；②證明見解析 （2）
解：（1）①因為，，且，，，所以，的取值范圍是；
②由題意可得， 則，即，
假設當時，，
則當時，，即，
所以，對任意的，，
所以，，，
即存在，使得， 所以，數列是“擬等比數列”.
（2）因為，，，
即，所以，
即，且有，
因為，則，所以，，
又因為數列是“擬等比數列”，故存在，使得，且數列為單調遞減數列.
①當時，此時， 所以，，
因為，則，
因為數列在時單調遞減，故， 而；
②當時，，則，
由，則，
因為數列在時單調遞減，故.
由①②可得，即的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1）； （2）證明見解析； （3）證明見解析.
解：（1）因為，所以． 所以，
所以， ， 所以，
因為， 所以數列是等比數列， 所以數列的前項和為：；
（2）由題意可知，， 所以，
所以．所以 ， 所以，
由“生成數列”的定義可得， 所以．
累加可得.
（3）由題意知．由（2）可知．
① 當時，得，即， 所以， 所以.
即為公比等于1的等比數列，
②當時，令，則.
當時，顯然．
若，則，與矛盾, 所以，即.
取，當時， ，顯然是等比數列,
綜上，存在正整數，使得時，是等比數列.
典例2、答案： （1），； （2）； （3）所有可能值為.
解：（1）由題設，，，，則，
，，，則， 所以，.
（2）若數列任意兩項均不相等，
當時； 當且時，，
又，， 此時；
綜上，，故，不合要求；
要使，即存在且使，即，
又，則， 當，則，不合要求；
當，則，滿足題設； 綜上，.
（3）由題設數列單調遞增且，
由（2）知：，
根據題設定義，存在且，，
則，
由比數列中個項大，，同理， 所以；
又至少比數列中一項小，，同理，
所以；
綜上，.
令數列，下證各值均可取到，
ⅰ、當，而數列遞增，
，且，
此時，，，
則；
ⅱ、當時，，則，
當且時，令，則，
所以，，
此時；
ⅲ、給定，
令()且()，
則()，()，
又數列遞增，，
()，()，
所以，
此時且，
故， 綜上，.
隨堂練習：答案： （1）； （2）； （3）.
解：（1）；
（2） 因為，所以，所以或. 因此.
當時， 且同時成立，此時.
當時，
且同時成立，此時矛盾. 綜上，.
（3）因為， 所以. 所以.
由知，. 事實上，當時，
與同時成立， 所以，從而.
猜想數列：1，2，4，5，7，8，，
即數列由不能被3整除的正整數從小到大排列組成，且滿足數A：的兩條性質.
下面用數學歸納法證明.
①當時結論成立. ②假設時結論成立，則當時，
當時，此時，
由于； ；
上面各式均成立，此時有.
當時，此時， 由于；
；
上面各式均成立，此時有.
綜上，數列是由不能被3整除的正整數從小到大排列組成.
數列的前100項和為：.
典例3、答案： （1） （2） （3）充分不必要條件
解：（1）序列為1，2，3，，，，即8，．
（2）時，
時，．
時，，
時，，，
取時，，
取時，①，
則②，
①②得，
所以． 由序列為1，2，，，可得．
（3）序列為序列，2，，的一個排列，．而反之不成立．
例如取序列為：，，，2，1，滿足．
因此是的充分不必要條件．
隨堂練習：答案：（1）0,1,2,1,0（或 0,1,0,1,0）（2）證明見解析；（3）不存在，理由見解析.
解：（1）（或 ）
（2）必要性：因為數列是遞減數列， 所以 ，
所以是首項為，公差為的等差數列， 所以；
充分性：由于，，…，，
所以，即，
因為，所以， 所以數列是遞減數列.
綜上，結論得證． 令， 則．
（3）因為，，……,，
所以
因為，所以為偶數，
所以為偶數．
所以要使，必須使為偶數，即整除，亦即或．
當時， 數列的項滿足，，時，
有，； 當時，
數列的項滿足，，，時，
有，． 當，時，不能被整除，
所以對任意給定的整數,不存在數列使得，．
典例4、答案： （1）， （2）
解：（1）設等差數列的首項為，公差為則
由，得即
由①得，由②得，由③得，
所以數列的通項公式為， 所以數列的通項公式為.
（2）由（1）知，，所以，
①
②
②-①得： 化簡得：，
又因為，即
即，
（i）當時，，所以；
（ii）當時，，
令，則
當時，，所以單調遞減；
當時，，所以單調遞增；
當時，取得最小值為
，即, 所以的取值范圍是.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析；（2）.
解：（1）因為，① 所以，②
②-①得，． 所以，
又， 即．
在①中，令得，，
又，所以． 所以，即．
所以， 故數列是以為首項，為公比的等比數列．
（2）由（1）可得，， 所以，
所以時，．
當時，適合上式， 所以．
所以， 所以．
令，得，即恒成立．
令，則．
當時，， 所以，解得， 故實數的取值范圍為．
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）設等比數列的公比為，依題意有，故，
所以，即，解得， 所以，
又，所以公差， 所以；
（2）， 令，則，
，
所以， 所以，
由題意，對都有，即恒成立，
令，則時，
故時，數列遞減，又，故，
所以，即的取值范圍為.
隨堂練習：答案： （1）， （2）
解：（1）時，①，②， ①-②得，
當時，③，④， ③÷④得.
由上可得，即，化簡得.
當時，，，兩式相等得，.
故，因此且，故. 綜上，.
（2）， ⑤ ⑥
⑤－⑥得：，，
將代入得， 化簡得，
因在單調遞增，故的最小值為－4，故.
典例6、答案： （1）；（2）.
解：（1）因為，所以， 當，時，
所以， 所以數列為等比數列，首項為，公比為2，
所以，則；
（2）因為，所以，
由（1）， 所以恒成立，
當n為偶數時，恒成立，所以，
設，由于，
所以，當時，， 所以，
當n為奇數時，，若n=1，則有，
若，則有， 令，由于，
所以，綜上，.
隨堂練習：答案：（1），；（2）.
解:（1）當時，，∴，
當時，由
得，即，
∴數列是公差為2的等差數列， ∵，∴.
由條件得，， ∴，即數列是公比為2的等比數列， ∴.
（2），設數列的前項和為，則，
∴， ∴，，
∴， 由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，則，
∴， ∴， ∴.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題五
知識點一 等差數列通項公式的基本量計算,等差數列前n項和的基本量計算,等比中項的應用,
數列不等式能成立（有解）問題
典例1、已知數列中，，且滿足．
（1）求的值；
（2）證明：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（3）若恒成立，求實數的取值范圍．
隨堂練習：已知等差數列中，公差，，是與的等比中項，設數列的前項和為，滿足.
（1）求數列與的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，若對任意的恒成立，求實數的取值范圍.
典例2、已知數列、滿足，，，﹒
（1）求證：為等差數列，并求通項公式；
（2）若，記前n項和為，對任意的正自然數n，不等式恒成立，求實數的范圍．
隨堂練習：已知數列滿足，（為非零常數），且.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）若數列滿足，且；
（i）求數列的通項公式；
（ii）若對任意正整數i，，都成立，求實數的取值范圍.
典例3、已知數列的前項和為，，數列滿足，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設數列滿足：，，若不等式恒成立，求實數的取值范圍.
隨堂練習：已知數列滿足：，，，且；等比數列滿足：，
，，且．
（1）求數列、的通項公式；
（2）設數列的前n項和為，若不等式對任意都成立，求實數的取值范圍．
知識點二 數列新定義
典例4、從一個無窮數列中抽出無窮多項，依原來的順序組成一個新的無窮數列，若新數列是遞增數列，則稱之為的一個無窮遞增子列．已知數列是正實數組成的無窮數列，且滿足．
（1）若，，寫出數列前項的所有可能情況；
（2）求證：數列存在無窮遞增子列；
（3）求證：對于任意實數，都存在，使得．
隨堂練習：給定正整數m，數列，且.對數列A進行T
操作，得到數列.
（1）若，，，，求數列；
（2）若m為偶數，，且，求數列各項和的最大值；
（3）若m為奇數，探索“數列為常數列”的充要條件，并給出證明.
典例5、已知數列為無窮遞增數列，且．定義： 數列：表示滿足的所有i中最大的一個．數列：表示滿足的所有i中最小的一個（，2，3…）
（1）若數列是斐波那契數列，即，，（，2，3，…），請直接寫出，的值；
（2）若數列是公比為整數的等比數列，且滿足且，求公比q，并求出此時，的值；
（3）若數列是公差為d的等差數列，求所有可能的d，使得，都是等差數列．
隨堂練習：對于數列，，…，，定義變換，將數列變換成數列，，…，
，，記，，．對于數列，，…，與，，…，，定義．若數列，，…，滿足，則稱數列為數列．
（1）若，寫出，并求；
（2）對于任意給定的正整數，是否存在數列，使得若存在，寫出一個數列，若不存在，說明理由：
（3）若數列滿足，求數列A的個數．
典例6、已知數列為有限數列，滿足，則稱滿足性質.
（1）判斷數列和是否具有性質，請說明理由；
（2）若，公比為的等比數列，項數為12，具有性質，求的取值范圍；
（3）若是的一個排列符合都具有性質，求所有滿足條件的數列.
隨堂練習：已知數列，給出兩個性質：①對于任意的，存在，當時，都有成立；②對于任意的，存在，當時，都有成立．
（1）已知數列滿足性質①，且，，試寫出的值；
（2）已知數列的通項公式為，證明：數列滿足性質①；
（3）若數列滿足性質①②，且當時，同時滿足性質①②的存在且唯一.證明：數列 是等差數列．
人教A版數學--數列專題五答案
典例1、答案：（1） （2）證明見解析； （3）
解：（1）由題意得：
（2）為常數
數列是首項為2，公差為1的等差數列
（3）
令，
當時，，遞增 當時，，遞減
當或n=3時，有最大值
隨堂練習：答案： （1）， （2）
解：（1）∵ 則，解得或（舍去）
∴. 又∵，
當時，，則，
當時，，則，即，
則數列是以首項，公比為的等比數列，
∴.
（2）， ，
兩式相減得：
∴
∵對任意的恒成立，即對任意的恒成立
①當是奇數時，任意的'恒成立 ∴對任意的恒成立
②當是偶數時，對任意的恒成立 ∴對任意的恒成立
令，對任意的恒成立 ∴為遞增數列
①當是奇數時，則，即 ②當是偶數時，則 ∴.
典例2、答案： （1）證明見解析；. （2）.
解：（1）∵，，兩邊同除以得： ，從而，，
是首項為1，公差為1的等差數列，， ∴；
（2）由，，
∴，∴， ∴，
∴， ，
兩式相減得，，
∴ ＝，
中每一項，為遞增數列，∴，
∵，∴， ， .
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）（i）；（ii）
解：（1）由 可得
即，
因此是以為首項，為公比的等比數列.
（2）（i）因為
所以由可得
因此
即
（ii）當n為奇數時，單調遞減，得；
當n為偶數時，單調遞增，得；
因為，所以，
因此的最大值為，最小值為，
因為對任意正整數i，，都成立，所以，即
解得.
典例3、答案： （1），；（2）.
詳解:（1）當時，，∴，
當時，由
得：，即，
∴數列是公差為2的等差數列，
∵，∴. 由條件得，，
∴，即數列是公比為2的等比數列， ∴.
（2），設數列的前項和為，則，
∴，
∴，， ∴，
由得， 累加得，
即， ∴， ∴，
令，則，
∴，
∴， ∴.
隨堂練習：答案：（1）（），（）， （2）
解：（1）由兩邊同除得：，
兩邊同除得：， 則，
所以
，（）
所以，又符合， 故（），
（2）由得：，解得：， 所以（）.
∵， ∴ ①
∴ ②
由①-②得：，
∴.
則，由得：
，
因為 所以當為偶數時，；當為奇數時，.
故 所以，即，
故的取值范圍是.
典例4、答案： （1）、、、或、、、或、、、（2）證明見解析 （3）證明見解析
解：（1）由已知，即，可得或.
當時，由，即，因為，可得；
當時，由，即，因為，可得或.
因此，若，，
寫出數列前項的所有可能情況為：、、、或、、、或、、、.
（2）證明：對于數列中的任意一項，
由已知得，或，即或．
若，則由可得；
若，則，此時，即．
設集合，、，且，
，，，，，，
則數列是數列一個無窮遞增子列．
（3）證明：考察數列和．
①當或時，顯然成立；
②當時，設，由（2）可知．
如果，那么，或，于是總有，
此時；
如果，那么，或，于是總有，
此時．
綜上，當且時總有． 所以，
所以，，，，
疊加得，．
令，解得，
即存在，（其中表示不超過的最大整數），
使得． 又因為是的子列，令，則．
由①②可知，對于任意實數，都存在，使得．
隨堂練習：答案： （1） （2） （3），證明見解析
解：（1）由題意時，，，，由，知，
所以，，，， 故.
（2）記數列的所有項和為S，
因為，且，所以，
則，故.
當，或，時取到等號，
所以當，或，時，
S取到最大值，為.
“數列為常數列”的充要條件是（）
證明如下：先證充分性：當（）時，，
所以為常數列； 再證必要性：當為常數列時，記，
設中有x個，則必有個，
將數列的所有項相加得：，由，且m為奇數，
所以，
所以，由得：，所以，
所以.
典例5、答案： （1）, （2）,, （3）
解：（1）數列是斐波那契數列,則的項分別是
當時,則;當時,則,當時,則;當時,
則
以此類推,可知當時,表示滿足的所有i中最大的一個,
所以,表示滿足的所有i中最小的一個,所以
（2）因為數列是公比為整數的等比數列,故公比
當時,的項為,表示滿足的所有i中最大的一個,所以,
同理;表示滿足的所有i中最小的一個,所以,同理,符合題意.
當時,的項為,表示滿足的所有i中最大的一個，不符合,當時,的項增長的更快速,此時,故不符合題意.綜上,,,
（3）由數列是公差為d的等差數列,且單調遞增,所以,又因為,
設數列,的公差分別為,則
則,
當時,滿足
由于是任意正整數,故可知
同理可知當時,滿足
由于是任意正整數,故可知,綜上可知,又因為,
所以可以是任意一個正整數.故
隨堂練習：答案： （）1；；（2）不存在適合題意的數列；（3）.
解：（1）由， 可得，
， ∴；
（2）∵，
由數列A為數列，所以，
對于數列，，…，中相鄰的兩項，
令，若，則，若，則，
記中有個，有個，則，
因為與的奇偶性相同，而與的奇偶性不同，
故不存在適合題意的數列；
（3）首先證明，
對于數列，，…，，有，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
，，…，，，，，…，，，
∵，
，
∴， 故，
其次，由數列為數列可知，， 解得，
這說明數列中任意相鄰兩項不同的情況有2次，
若數列中的個數為個，此時數列有個，所以數列的個數為個.
典例6、答案：（）1滿足，不滿足 （2） （3）共4個滿足，分別是：和和和
解：（1）對于第一個數列有，滿足題意，該數列滿足性質
對于第二個數列有不滿足題意，該數列不滿足性質.
（2）由題意可得， 兩邊平方得：
整理得：
當時，得， 此時關于恒成立，
所以等價于時，所以， 所以或者，所以取.
當時，得， 此時關于恒成立，
所以等價于時，所以， 所以，所以取.
當時，得.
當為奇數的時候，得，因為，故顯然成立
當為偶數的時候，得，因為，故顯然不成立，
故當時，矛盾，舍去.
當時，得. 當為奇數的時候，得，顯然成立，
當為偶數的時候，要使恒成立，
所以等價于時，所以，
所以或者，所以取. 綜上可得，.
（3）設，，
因為， 故， 所以可以取或者，
若，，則， 故或（舍，因為），
所以（舍，因為）.
若，，則， 故（舍，因為），或
所以（舍，因為）.
所以均不能同時使，都具有性質.
當時，即有， 故，故，
故有數列：滿足題意.
當時，則且，故，
故有數列：滿足題意.
當時，， 故，故，
故有數列：滿足題意.
當時，則且， 故，
故有數列：滿足題意. 故滿足題意的數列只有上面四種.
隨堂練習：答案： （1） （2）證明見解析 （3）證明見解析
解：（1）因為數列滿足性質①，且，所以，所以，
又因為，即，所以，同理可得：.
（2）因為數列的通項公式為，所以，對于任意的，令，則，
.
又，則，即.
又，所以， 即對于任意的.
所以，對于任意的，令，則當時，都有成立，
所以，數列滿足性質①.
（3）由題意，數列滿足性質①②，且當時，同時滿足性質①②的存在,
即對于任意的，存在，當時，都有成立，
所以，當時，， 即.
對于任意的,有，
對于任意的,有,
，
又當時，同時滿足性質①②的存在且唯一,
所以，當時，, 所以，滿足條件的數列是等差數列.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題六
知識點一 由遞推數列研究數列的有關性質,由遞推關系證明數列是等差數列,數列新定義
典例1、已知為有窮數列．若對任意的,都有（規定）,則稱具有性質．設．
（1）判斷數列是否具有性質？若具有性質,寫出對應的集合;
（2）若具有性質,證明:;
（3）給定正整數,對所有具有性質的數列,求中元素個數的最小值．
隨堂練習：已知數列滿足，，數列的前項和記為.
（1）寫出的最大值和最小值；
（2）若，求的值；
（3）是否存在數列，使得？如果存在，寫出此時的值；如果不存在，說明理由.
典例2、已知為實數，數列滿足.
（1）當和時，分別寫出數列的前5項；
（2）證明：當時，存在正整數，使得；
（3）當時，是否存在實數及正整數，使得數列的前項和？若存在，求出實數及正整數的值；若不存在，請說明理由.
隨堂練習：已知數列滿足：，且.記集合.
（1）若，寫出集合的所有元素；
（2）若集合存在一個元素是3的倍數，證明：的所有元素都是3的倍數；
（3）求集合的元素個數的最大值.
典例3、已知數列的首項，其中，令集合，．
（1）若是數列中首次為1的項，請寫出所有這樣數列的前三項；
（2）求證：；
（3）當時，求集合中元素個數的最大值．
隨堂練習：已知無窮數列滿足公式，設.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）給定整數，是否存在這樣的實數，使數列滿足：
①數列的前項都不為零；
②數列中從第項起，每一項都是零.
若存在，請將所有這樣的實數從小到大排列形成數列，并寫出數列的通項公式；若不存在，請說明理由.
知識點二 利用定義求等差數列通項公式,由遞推關系證明數列是等差數列,反證法證明,
利用an與sn關系求通項或項
典例4、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an＋Sn＝2.
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)求證：數列{an}中不存在三項按原來順序成等差數列．
隨堂練習：已知數列滿足：，，記數列，
（1）證明數列是等比數列；
（2）求數列的通項公式；
（3）是否存在數列的不同項使之稱為等差數列？若存在，請求出這樣的不同項；若不存在，請說明理由．
典例5、設數列的前項和為，且，.
（1）求證：數列為等比數列；
（2）設數列的前項和為，求證：為定值；
（3）判斷數列中是否存在三項成等差數列，并證明你的結論.
隨堂練習：已知數列的前項和滿足，數列的前項和滿足且.
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前項和;
(3)數列中是否存在不同的三項，，，使這三項恰好構成等差數列 若存在，求出，， 的關系；若不存在，請說明理由.
典例6、已知等比數列的前項和為，，．數列的前項和為，且，．
（1）分別求數列和的通項公式；
（2）若，為數列的前項和，是否存在不同的正整數，，（其中，， 成等差數列），使得，，成等比數列？若存在，求出所有滿足條件的，，的值；若不存在，說明理由．
隨堂練習：若數列的前項和為，且滿足等式.
（1）求數列的通項公式；
（2）能否在數列中找到這樣的三項，它們按原來的順序構成等差數列？說明理由；
（3）令，記函數的圖像在軸上截得的線段長為，
設，求，并證明：.
人教A版數學--數列專題六
典例1、答案：（1）不具有性質,具有性質, （2）證明見解析 （3）
解：（1）解:由題知, 即
因為, 所以不具有性質,
由于, 即
因為 故具有性質,
因為
故;
（2）“”等價于“證明兩個元素至少有一個在中”,
假設兩個元素均不在中, 則有
不妨設, 若, 則由,
可得, 與矛盾, 故, 同理,
從而, 所以,
與具有性質矛盾, 所以假設不成立,即;
（3）設
規定時,, 時,,
則, 所以,
考慮數列, ,
由題設可知,他們均具有性質, 設中元素個數最小值為,
所以, 所以,
由(2)知,從而,
當時,令,
當時,令,
此時均有, 所以中元素個數的最小值為.
隨堂練習：答案：（1），； （2）0； （3）不存在，理由見解析.
解：（1）因為，， 所以，解得或，
當時，由，解得或，
當時，由，解得，
所以或或，
所以最大值為，最小值為.
（2）當時，，則或，
此時由知，不滿足，舍去；
當時，，則或，
滿足，不滿足，舍去；
當時，由，得或，
由知滿足題意，當時，不滿足題意，
綜上， 或，或，
所以或或， 故.
（3）由，可得為整數，，
所以，
則，
所以，
若存在數列，使得，則， 又為整數，所以方程無解，
故不存在數列，使得.
典例2、答案： （1）當時，當時，
（2）證明見解析； （3）存在，與，
解：（1）當時，
當時，
當時，，
在數列中直到第一個小于等于的項出現之前，
數列是以為首項，為公差的遞減的等差數列 即
當足夠大時，總可以找到，則存在正整數，使得
（i）若，令，則存在正整數，使得
（ii）若，，則
令，則存在正整數，使得
綜上所述，則存在正整數，使得.
（3）①當時，
當時， 當時，
令，而此時為奇數，成立，
又不成立，所以存在正整數，使得.
②當時， 所以數列的周期為，
當時，
當時，
當時，
當時， 所以
所以或者是偶數，或者不是整數，即不存在正整數，使得
③當時，
，當時，
綜上所述，當與，時，.
隨堂練習：答案： （1） （2）見解析 （3）5
解：（1）若，則，，，
，故中的項的大小從第3項開始周期變化，且周期為2. 故.
（2）設， 若，則，因互質，故為3的倍數；
若，則即，因互質， 故為3的倍數，
依次類推，有均為3的倍數.
當時，我們用數學歸納法證明：也是3的倍數.
當時，若，則，故為3的倍數；
若，則，故為3的倍數，
設當時，是3的倍數即為3的倍數，
若，則，故為3的倍數；
若，則，因為3的倍數，故為3的倍數，
故當時，是3的倍數也成立，
由數學歸納法可得是3的倍數成立，
綜上，的所有元素都是3的倍數.
（3）當，則，，，，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為4；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為4；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為4；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為4；
當，則，故的元素個數為5；
當，則，故的元素個數為1；
當時，的元素個數不超過為5，
綜上，的元素個數的最大值為5.
典例3、答案：（1）27，9，3；8，9，3；6，2，3 （2）證明見解析 （3）21
解：（1）是數列中首次為1的項，又，；
或，即或2；同理或，當時，
即或8，當時，或1（不合題意，舍去）；
所以，滿足條件的數列的前三項為： 27，9，3；或8，9，3；或6，2，3．
（2）若被3除余1，則由已知可得，，；
若被3除余2，則由已知可得，，；
若被3除余0，則由已知可得，； 所以，
所以
所以，對于數列中的任意一項，若“，則”．
因為，所以． 所以數列中必存在某一項（否則會與上述結論矛盾！）
若，則，；若，則，，若，，
由遞推關系易得．
（3）集合中元素個數的最大值為21．
由已知遞推關系可推得數列滿足：
當時，總有成立，其中，，，．
下面考慮當時，數列中大于3的各項：
按逆序排列各項，構成的數列記為，由（1）可得或9，
由（2）的證明過程可知數列的項滿足：
，且當是3的倍數時，若使最小，需使，
所以，滿足最小的數列中，或7，且，
所以，所以數列是首項為或的公比為3的等比數列，
所以或，即或，
因為，所以，當時，的最大值是6，
所以，所以集合中元素個數的最大值為21．
隨堂練習：答案：（1）（2）（3）存在這樣的，，理由見解析
解：（1）因為，所以；
（2）因為，
（i）當時，，所以， 此時，若，則；
若，則.
（ii）當時，，所以，此時，若，則；
若，則. 綜上所述， ；
（3）存在這樣的， 因為，由（2）可知，
（i）當時，，所以，
（ii）當時，，所以，
以此類推，，
所以數列的通項公式為.
典例4、答案：(1) . (2)見證明
解：(1)當n＝1時，a1＋S1＝2a1＝2，則a1＝1.
又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，兩式相減得，
所以{an}是首項為1，公比為的等比數列，所以.
(2)證明：(反證法)假設存在三項按原來順序成等差數列，
記為ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，則，所以2·2r－q＝2r－p＋1.①
又因為p＜q＜r，所以r－q，r－p∈N*.
所以①式左邊是偶數，右邊是奇數，等式不成立．所以假設不成立，原命題得證．
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析．
解：（1）由已知 ，
，
所以 是 為首項，為公比的等比數列
（2）由（1）得 所以

（3）假設存在 滿足題意成等差數列，
代入得 ，
所以，即 ，左偶右奇不可能成立．
所以假設不成立，這樣三項不存在
典例5、答案：（1）（2）證明見解析（3）數列中不存在三項成等差數列，證明見解析.
解:（1）1°當時,,解得.
2°當時,,即.
因為,所以,從而數列是以2為首項,2為公比的等比數列, 所以.
（2）因為,所以, 故數列是以4為首項,4為公比的等比數列,
從而, 而, 所以.
（3）不存在.理由如下.
假設中存在三項成等差數列,不妨設第m,n,k（）項成等差數列,
則,即.
因為,且m,n,,所以.
令（）,則,顯然在上是增函數,
所以,即,
所以,
所以,其左邊為負數,右邊為正數,故矛盾,
所以數列中不存在三項成等差數列.
隨堂練習：答案：(1) ； (2) (3) 不存在不同的三項，，，使之成等差數列.理由見解析
解:(1)當時，.
，① 當時，.②
①-②得，，
，故成等比數列，公比， 又，.
，， 數列是一個首項為，公差為的等差數列，
，，
當時，， 且滿足， .
（2），
.① .②
①-②，得.
.
（3）且，.
假設存在不同的三項，，，恰好構成等差數列，則，
即，化簡得.
兩邊同除以，得.（*）
不妨設，則，則，且，，與（*）矛盾.
不存在不同的三項，，，使之成等差數列.
典例6、答案：（1），；（2）不存在，理由見解析.
解:（1）因為數列為等比數列，設首項為，公比為，
由題意可知，所以， 所以，
由②可得，即，所以或2，
因為，所以，所以， 所以，
由，可得，
所以數列為等差數列，首項為，公差為1，
故，則，
當時，， 當時，也適合上式， 故．
（2）由，可得，
所以，
所以，
假設存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），
使得，，成等比數列，
則有， 所以，
則，即，
因為，所以，即，
所以，所以，
則，所以，則， 所以，即，
所以，這與已知的，，互不相等矛盾，
故不存在不同的正整數，，（其中，，成等差數列），
使得，，成等比數列．
隨堂練習：答案：（1）；（2）不存在，理由見解析；（3），證明見解析.
解: （1）當時，，則，
當時，，則，
∴是首項為，公比為的等比數列， ∴，.
（2）若，有成等差數列，則，
∴，即，整理有，又，
∴，故，與矛盾，
故數列中找不到三項，它們按原來的順序構成等差數列.
（3）由（1）知：，則，
又，
∴
∴，得證.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題七
知識點一 根據規律填寫數列中的某項,數列求和的其他方法,數列新定義
典例1、對于項數為的有窮數列，設為中的最大值，稱數列是的控制數列.例如數列3，5，4，7的控制數列是3，5，5，7.
（1）若各項均為正整數的數列的控制數列是2，3，4，6，6，寫出所有的；
（2）設是的控制數列，滿足（為常數，）.證明：.
（3）考慮正整數的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列.是否存在數列，使它的控制數列為等差數列？若存在，求出滿足條件的數列的個數；若不存在，請說明理由.
隨堂練習：給定整數()，設集合，記集合．
（1）若，求集合；
（2）若構成以為首項，()為公差的等差數列，求證：集合中的元素個數為；
（3）若構成以為首項，為公比的等比數列，求集合中元素的個數及所有元素之和．
典例2、設，為正整數，一個正整數數列，，…，滿足，對，定義集合，數列，，…，中的（）是集合中元素的個數.
（1）若數列，，…，為5,3,3,2,1,1，寫出數列，，…，；
（2）若，，，，…，為公比為的等比數列，求；
（3）對，定義集合，令是集合中元素的個數.求證：對，均有.
隨堂練習：已知數列的各項均為正整數，設集合，記
的元素個數為.
（1）①若數列：，，，，求集合，并寫出的值；
②若數列：，，，，且，，求數列和集合；
（2）若是遞增數列，求證：“”的充要條件是“為等差數列”；
（3）請你判斷是否存在最大值，并說明理由.
典例3、對于項數為m（且）的有窮正整數數列，記，即為中的最小值，設由組成的數列稱為的“新型數列”.
（1）若數列為2019，2020，2019，2018，2017，請寫出的“新型數列”的所有項；
（2）若數列滿足，且其對應的“新型數列”項數，求的所有項的和；
（3）若數列的各項互不相等且所有項的和等于所有項的積，求符合條件的及其對應的“新型數列”.
隨堂練習：設數列（）的各項均為正整數，且.若對任意，存
在正整數使得，則稱數列具有性質.
（1）判斷數列與數列是否具有性質；（只需寫出結論）
（2）若數列具有性質，且，，，求的最小值；
（3）若集合，且（任意，）.
求證：存在，使得從中可以選取若干元素（可重復選取）組成一個具有性質的數列.
知識點二 利用定義求等差數列通項公式,裂項相消法求和,利用an與sn關系求通項或項
典例4、已知數列是等差數列，其前n項和為，，，數列滿足( 且)，.
（1）求和的通項公式；
（2）求數列的前n項和.
隨堂練習：已知等差數列的各項均為正數，其前n項和為，且滿足，.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，且，求數列的前n項的和.
典例5、已知數列的首項，其前n項和為，且滿足.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，數列的前n項和為，且，求n.
隨堂練習：已知數列的前項和，數列滿足.
（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）設，數列的前項和為，求滿足的的最大值.
典例6、在“①，，；②，；③”三個條件中任選一個，補充到下面的橫線上，并解答． 已知等差數列的前n項和為，且__________．
（1）求的通項公式；
（2）若，求的前n項和為，求證：．
隨堂練習：已知等差數列的前項和為，數列是各項均為正數的等比數列，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答.
問題：已知，___________，是否存在正整數，使得數列的前項和？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
人教A版數學--數列專題七答案
典例1、答案： （1）答案見解析； （2）證明見解析； （3）。
解：（1）由題意，，，，，
所以數列有六種可能：；；；；；．
（2）因為，，所以，
所以控制數列是不減的數列，
是的控制數列，滿足，是常數，所以，
即數列也是不減的數列，，
那么若時都有，則，
若，則，若，則，
又，由數學歸納法思想可得對，都有；
（3）設的控制數列是，由（2）知是不減的數列，必有一項等于，
當是數列中間某項時，不可能是等差數列， 所以或，
若，則（），是等差數列，
此時只要，是的任意排列均可．共個，
，而時，數列中必有，否則不可能是等差數列，
由此有，即就是，只有一種排列，
綜上，的個數是．
隨堂練習：答案：（1）（2）見解析（3）
解:（1）因為， 當時，
∴．
(2) 因為構成以為首項，()為公差的等差數列，
所以有()，以及()．
此時，集合中的元素有以下大小關系：．
因此，集合中含有個元素．
(3)由題設，． 設集合，．
①先證中的元素個數為，即從集合中任取兩個元素，它們的和互不相同．
不妨設，于是． 顯然．
假設，可得，即．
因為，，所以，又，
于是，等式不成立．
因此，． 同理可證．
②再證．
不妨設，于是． 顯然，．
假設，可得，即，
因為，所以，又，于是，等式不成立．
因此，． 由①②，得，且．
此時，集合中的元素個數為．
集合中所有元素的和為．
典例2、答案：（1）數列，，…，是6,4,3,1,1. （2） （3）
解: （1）解：數列，，…，是6,4,3,1,1.
（2）由題知，由于數列，，…，是項的等比數列，
因此數列，，…，為，，…，2
下面證明
假設數列中有個，個，…，個2，個1，顯然
所以.
由題意可得，，
，…，，…，.
所以 故
即
（3）對，表示，，…，中大于等于的個數
由已知得，，…，一共有項，每一項都大于等于1，
故，由于 故
由于，故當時， 即.
接下來證明對，
，則，即1,2，…，，從而 故，
從而1,2，…，，故，從而，故有
設，即，根據集合的定義，有.
由知，1,2，…，，由的定義可得，
而由，故 因此，對，
隨堂練習：答案： （1）①；②數列：，，，，；
（2）證明見解析； （3）不存在，證明見解析.
【試題解析】 分析:
解：（1）因為，，，，，，
所以集合，.
因為：，，，，且，所以，，均不相等，
所以，，都是集合中的元素，因為，
所以，可得：，， 所以數列：，，，，.
（2）充分性：是遞增數列，若為等差數列，則，
設的公差為，，當時，，
所以，所以，故充分性成立.
必要性：若是遞增數列，，則為等差數列，
因為是遞增數列，所以，
所以，且互不相等， 所以，
又因為， 所以且互不相等，
所以，，，，
所以，所以為等差數列，必要性成立.
所以若是遞增數列，“”的充要條件是“為等差數列”.
（3）假設存在最大值為，即中有個元素，
分別為，且，
不妨設，其中且與均是正整數，
則，且也是正整數，所以，
所以中有個元素，與假設中有個元素矛盾，
所以假設不成立，所以不存在最大值.
典例3、答案：（1）數列為2019，2019，2019，2018，2017（2）（3）滿足題意的數列：.所以對應的“新型數列”分別為：.
解：（1）數列為2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：當時，關于n遞減；當時，關于n遞減，
又時，關于n遞減. ，.
又，. 共21項且各項分別與中各項相同，
其和為 .
（3）先不妨設數列單調遞增， 當時，，，
，此時無解，不滿足題意；
當時，由 得，
，又，，代入原式得.
當時，， 而，矛盾，
所以不存在滿足題意的數列.
綜上，滿足題意的數列：.
所以對應的“新型數列”分別為：.
隨堂練習：答案（1）數列不具有性質；數列具有性質（2）的最小值為（3）證明見解析
解: （1）數列不具有性質；數列具有性質.
（2）由題可知，，，，， 所以.
若，因為且，所以.
同理，
因為數列各項均為正整數，所以.所以數列前三項為.
因為數列具有性質，只可能為之一，而又因為， 所以.
同理，有. 此時數列為.
但數列中不存在使得，所以該數列不具有性質. 所以.
當時，取.（構造數列不唯一）
經驗證，此數列具有性質. 所以，的最小值為.
（3）反證法：假設結論不成立，即對任意都有：若正整數，則.
否則，存在滿足：存在，使得，此時，從中取出：
當時，是一個具有性質的數列；
當時，是一個具有性質的數列；
當時，是一個具有性質的數列.
（i）由題意可知，這個集合中至少有一個集合的元素個數不少于個，
不妨設此集合為，從中取出個數，記為，且.
令集合.
由假設，對任意，，所以.
（ii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，
從中取出個數，記為，且.
令集合.
由假設.對任意，存在使得.
所以對任意，，
由假設，所以，所以，所以.
（iii）在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，
從中取出個數，記為，且.
令集合.
由假設.對任意，存在使得.
所以對任意，，
同樣，由假設可得，所以，所以.
（iv）類似地，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，
從中取出個數，記為，且， 則.
（v）同樣，在中至少有一個集合包含中的至少個元素，不妨設這個集合為，
從中取出個數，記為，且，同理可得.
（vi）由假設可得.
同上可知，，
而又因為，所以，矛盾.所以假設不成立. 所以原命題得證.
典例4、答案： （1），； （2）.
解：（1）設等差數列公差為d， ∵，∴，
∵公差，∴.
由得，即，
∴數列是首項為，公比為2的等比數列，∴；
（2）∵，∴，
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解: （1）設數列的首項為，公差為，且.
則由題意，得， 解之得或（舍）， ∴.
（2）由 得：；；；；
以上等式左右相加得，
又，∴， 當時，也滿足上式，
.
∴
.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由得，
從而數列是以1為首項，1為公差的等差數列， 所以；
（2）由（1）得
，
由得 又，所以.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析，；（2）的最大值為.
解:（1）. 當時，，解得；
當時，由，可得，
上述兩式相減得，即，
等式的兩邊同時乘以，得，即，
所以，且，
所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，
即，；
（2）由（1）可
，
所以，，
由可得，即，. 因此，正整數的最大值為.
典例6、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）若選擇①，因為，，，， 解得，，
設公差為d，則有，， 解得，， 所以．
若選擇②，設公差為d，， 即，
結合，解得，， 所以．
若選擇③，當時，； 當時，，
當時亦滿足上式， 所以．
（2）證明：由（1）得，
所以，
因為，（），所以， 所以．
隨堂練習：答案： （1） （2）答案見解析
解：（1）設等比數列的公比為，由得：，，又，
因此有，即，解得，(舍去)，則，
所以數列的通項公式.
（2）若選①：設等差數列公差為d，則，，解得，
于是得：，，
則有，
由，解得，而為正整數，則的最小值為，
所以存在正整數滿足要求，的最小值為.
若選②：設等差數列公差為d，則，，解得，
于是得，，
則有，
由，解得，而為正整數，則的最小值為，
所以存在正整數滿足要求，的最小值為.
若選③：設等差數列公差為d，則，，解得，
于是得：，，
，
令，得，顯然數列()是遞減的，
當時，，當時，，
即由得，則的最小值為
所以存在正整數滿足要求，的最小值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題八
知識點一 等差數列的單調性,等比數列通項公式的基本量計算,求等比數列中的最大（小）項,
數列新定義
典例1、設數集滿足：①任意，有；②任意x，，有或，則稱數集具有性質.
（1）判斷數集和是否具有性質，并說明理由；
（2）若數集且具有性質.
（i）當時，求證：，，…，是等差數列；
（ii）當，，…，不是等差數列時，求的最大值.
隨堂練習：已知項數為的有窮數列滿足如下兩個性質，則稱數列具有性質P；
①；②對任意的、，與至少有一個是數列中的項．
（1）分別判斷數列、、、和、、、是否具有性質，并說明理由；
（2）若數列具有性質，求證：；
（3）若數列具有性質，且不是等比數列，求的值．
典例2、對于無窮數列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱 為“數列”．
（1）若數列的通項公式為的通項公式為，分別判斷是否為“數列”，并說明理由；
（2）已知數列為等差數列，
①若是“數列，，且，求所有可能的取值；
②若對任意，存在，使得成立，求證：數列為“數列”．
隨堂練習：已知為正整數數列，滿足．記．定義A的伴隨數
列如下：①； ②，其中．
（1）若數列A：4，3，2，1，直接寫出相應的伴隨數列；
（2）當時，若，求證：；
（3）當時，若，求證：．
典例3、已知數列：，，…，滿足：（，2，…，，），從中選取第項、第項、…、第項（，）稱數列，，…，為的長度為的子列.記為所有子列的個數.例如：0，0，1，其.
（1）設數列：1，1，0，0，寫出的長度為3的全部子列，并求；
（2）設數列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判斷，，的大小，并說明理由；
（3）對于給定的正整數，（），若數列：，，…，滿足：，求的最小值.
隨堂練習：若項數為且的有窮數列滿足：，則稱數列具
有“性質”．
（1）判斷下列數列是否具有“性質”，并說明理由； ①1，2，4，3；②2，4，8，16．
（2）設，2，，，若數列具有“性質”，且各項互不相同．求證：“數列為等差數列”的充要條件是“數列為常數列”；
（3）已知數列具有“性質”．若存在數列，使得數列是連續個正整數1，2，，的一個排列，且，求的所有可能的值．
知識點一 利用定義求等差數列通項公式,由遞推關系證明數列是等差數列,裂項相消法求和
典例4、設是公差不為0的等差數列，，是，的等比中項.
（1）求的通項公式；
（2）設，求數列的前n項和.
隨堂練習：已知數列各項均為正數，且.
（1）求的通項公式；
（2）記數列的前項和為，求的取值范圍.
典例5、記為數列的前項和，已知．
（1）證明：是等差數列；
（2）若，記，求數列的前項和．
隨堂練習：數列滿足，．
（1）證明：數列為等差數列．
（2）若，求數列的前項和．
典例6、已知正項數列的前項和為，且，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）記數列的前項和，求證：.
隨堂練習：已知數列滿足
（1）證明：數列為等差數列：
（2）設數列滿足，求數列的前項和.
人教A版數學--數列專題八答案
典例1、答案： （1）數集不具有性質，數集具有性質，證明見解析
（2）（i）證明見解析；（ii）4
解：（1）證明：對于數集，，，所以數集不具有性質，
對于數集，任意，，所以數集具有性質.
（2）（i）當時，數集具有性質，
，所以，即，因為，
則，又因為，所以，
則，因為，
所以得，，，
因為，所以，則，
又因為，所以或，因為，
所以(舍去)，即，，
所以，即當時，，，…，是等差數列.
（ii）若數集且具有性質，
按照(1)推導的方式得出一般結論，具體如下：因為，
所以，即，
因為，
所以①，所以，，
因為，
所以，即，
因為，
根據， 分兩種情況：
第一種情況為，，…，，
第二種情況為，，
先考慮第二種情況，與題意矛盾，
，與題意矛盾，
所以只能為第一種情況，可得②，
由①-②，得， 即，
即當時，，，…，是等差數列，
當時，，所以，即，
由前面得出，所以，，
當成立時，，，，不是等差數列， 所以的最大值為4.
隨堂練習：答案：（1）數列、、、不具有性質，數列、、、不具有性質，見解析
（2）證明見解析 （3）
解：（1）對于數列、、、，因為，，
所以，數列、、、不具有性質；
對于數列、、、，當時，，，
所以，數列、、、不具有性質.
（2）證明：因為，
因為，則為數列中的項，所以，，
設且，因為，則不是數列中的項，
所以，為數列中的項，
因為， 所以，，，，，
上述等式全部相乘可得，因此，.
（3）解：當時，由（2）可知，
由題意可得，這與數列是等比數列矛盾；
當時，由（1）可知，數列、、、具有性質；
當時，由（2）可知，，①
當時，，所以，不是數列中的項，
因為，，
所以，，，，，所以，，
因為，所以，，，
所以，，，所以，，②
由①②可得，這與數列不是等比數列矛盾，不合題意.
綜上所述，.
典例2、答案： （1）是“數列”，不是“數列”；（2）①9,10,12,16；②證明見解析．
解：（1），對任意的，，，，，
取，則，∴是“數列”，
，對任意的，，，，
為偶數，而為奇數，因此不存在
使得，∴不是“數列”；
（2）數列為等差數列，
①若是“數列，，且，，， ，
對任意的，，，，
，由題意存在，使得，
即，顯然，
所以，，
，所以是8的正約數，即，2，4，8，
時，，；
時，，；
時，，；
時，，．
綜上，的可能值為9，10，12，16；
②若對任意，存在，使得成立， 所以存在，，，
設公差為，則，， ，
對任意的，，，，
，取，則，
所以是“數列”．
隨堂練習：答案：（1）； （2）見解析； （3）見解析.
解：（1）因為數列A：4，3，2，1，， 所以.
因為， 所以，，，
，. 故數列A的伴隨數列為.
（2）當時，，顯然有；
當時，只要證明. 用反證法，假設，
則，從而，矛盾. 所以.
再根據為正整數，可知. 故當時，.
當時，，有，此時，命題成立；
（3）當時，由（2）的結論，中至少有兩個1，
現假設中共有個1，即 則.
因為若，則，矛盾. 所以.
根據的定義可知，，， ，
以此類推可知一直有，再由后面，可知；
另一方面與奇偶性相同，所以.
典例3、答案：（1）6 （2） （3）
解：（1）由的定義以及， 可得：的長度為3的子列為：，有2個，
的長度為的子列有個，的長度為的子列有個， 所以.
（2） 理由如下：
若是的一個子列，
則為的一個子列.
若與是的兩個不同子列，
則與也是的兩個不同子列.
所以. 同理， 所以.
同理 所以有
（3）由已知可得，數列中恰有個1，個0.
令， 下證：.
由于，
所以的子列中含有個0，個1 的子列有且僅有1 個，
設為：.
因為數列的含有個0，個1的子列至少有一個， 所以.
數列中， 不含有0的子列有個，
含有1個0的子列有k個， 含有2個0的子列有個，，
含有個0的子列有個， 所以.
所以的最小值為.
隨堂練習：答案： （1）數列1，2，4，3不具有“性質M”；數列2，4，8，16具有“性質M”
（2）證明見解析 （3）或5
解：（1），該數列不具有“性質”；
，該數列具有“性質”；
（2）證明：充分性，若數列是常數列，則，
即，或
又數列且各項互不相同，，數列為等差數列；
必要性，若數列為等差數列，則，即，數列為常數列；
（3）數列是連續個正整數1，2，，的一個排列，當時，，
，不符合題意；
當時，數列3，2，4，1滿足，，符合題意；當時，
數列2，3，4，5，1滿足，符合題意；
當時，令，2，，，則，
且，的取值有以下三種可能
①，②，③，
當時，，
由（2）知，，，是公差為1或的等差數列，
若公差為1時，由得或，，不合題意，不合題意；
若公差為，同上述方法可得不符合題意；
當滿足②，③時，同理可證不符合題意，
故：或5．
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）設的公差為，因為，是，的等比中項，
所以，所以.
因為，所以，故.
（2）因為，
所以.
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）因為，所以
所以，
因為各項均為正數，， 所以，
所以數列是首項為4，公差為4的等差數列，
， 所以數列的通項公式為.
（2）因為 所以，
則，
因為，故， 所以，又，所以，
所以的取值范圍為.
典例5、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）當且時，，
，
整理可得：，，
數列是公差為的等差數列.
（2）由（1）得：，
， .
隨堂練習：答案： （1）見解析 （2）
解：（1）證明：因為， 所以，又，
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列；
（2）由（1）得，
，
則
.
典例6、答案： （1） （2）見解析
解：（1）當時，，所以，
由， 得， 兩式相減得，
又，所以，
所以數列的奇數項和偶數項都是以為公差的等差數列，
又， 所以數列是以為首項為公差的等差數列， 所以；
（2）， 則，
所以，
所以.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）方法1：由，
兩邊同除以得，，（）為常數，
∴數列為等差數列，首項，公差為1，
方法2：由得，
∴（）為常數，
∴數列為等差數列，首項，公差為1. 由，∴，
（2）方法1：，
則.
方法2：，
則.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題九
知識點一 裂項相消法求和,利用an與sn關系求通項或項
典例1、已知數列的前項和為，滿足，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
隨堂練習：設數列的前n項積為，且.
（1）求證數列是等差數列；
（2）設，求數列的前n項和.
典例2、已知數列{}滿足
（1）求證：數列是等差數列；
（2）記，求數列{·}的前2022項和；
隨堂練習：已知數列滿足，，.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
典例3、已知數列{an}和{bn}，a1＝2，，，
（1）證明：是等比數列；
（2）若，求數列的前n項和Sn.
隨堂練習：已知數列的前n項和為，其中，滿足．
（1）證明數列為等比數列；
（2）求數列的前n項和．
知識點二 確定數列中的最大（小）項,利用an與sn關系求通項或項
典例4、已知數列的前項和，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的最小項的值.
隨堂練習：已知數列的前項和．
（1）證明：數列是等差數列；
（2）設，試問：數列是否有最大項、最小項，若有，分別指出第幾項最大、最小；若沒有，試說明理由．
典例5、是數列的前項和，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求數列中最小的項.
隨堂練習：設數列的前項和為，滿足，.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的最小值及相應的n的值.
典例6、數列滿足，且（）．
（1）求；
（2）求數列的通項公式；
（3）令，求數列的最大值與最小值．
隨堂練習：已知數列的前項和為,且滿足,數列的前項和為,且滿足
,其中N*.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列是公差不為零的等差數列.
①求實數的值.
②若≤對任意的N*恒成立,求的取值范圍.
人教A版數學--數列專題九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）因為，所以， 兩式相減得，
即，即，
又，，故，
因此，數列是每項都是1的常數列，從而.
（2）因為，所以， 從而，
因此.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）因為數列的前n項積為，且，
∴當n=1時，，則，.
當n≥2時，，∴，
所以是以為首項，為公差的等差數列；
（2）由（1）知數列，則由得，
所以，
所以.
典例2、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）依題設可得
∴數列{}是以為首項，以1為公差的等差數列，
∴， ∴
（2）由（1）可得，
∴，
∴
隨堂練習：答案： （1）
（2）當時，；當時，
解：（1）證明：，變形為：，，
∴數列是等比數列，首項為6，公比為3.
∴，
變形為：，，
∴， ∴
（2）由（1）得，
∴當時，數列的前項和
.
當時，數列的前項和
.
典例3、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）知，則，
∴，
∴ .
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）．
解: （1）由可得，
因為，所以 所以數列是首項為2，公比為2的等比數列
（2）根據（1）可得：，
所以，
所以，
所以．
典例4、答案：（1）；（2）.
解: （1），，則， 即，
當時，；
當時，；
經檢驗適合，
（2）由（1）知： ，， ，
當時，，
當時，；當時，；
又，，當時，有最小值.
隨堂練習：答案：（1）證明見解析 （2）第1595項最小，無最大項
解：（1）因為數列的前項和，
當時，，
當時，，
因為當時也滿足，故.
故為常數，故是等差數列
（2）由（1），故，
則
，
因為，故令可解得或，
即，，，
因為，，
故數列有最小項為第1595項，又隨著的增大一直增大無最大值，
故數列第1595項最小，無最大項
典例5、答案：（1）；（2）.
解: （1）對任意的，由得，
兩式相減得， 因此，數列的通項公式為；
（2）由（1）得，則.
當時，，即，；
當時，，即，.所以，數列的最小項為.
隨堂練習：答案： （1）；（2）最小值，或9.
解: （1）∵，則，
兩式相減得：，即，
驗：由且知：符合， ∴.
∴數列是以1為首項，3為公比的等比數列，則.
（2），則，
∴時，；時，；時，，即：
∴當或9時，數列取得最小值.
典例6、答案：（1），，；（2）；
（3）數列的最大值為，最小值為.
解: （1）當時，有，所以，
當時，，所以，
當時，，所以，
（2）當時，①， 又②，
②式減①式可得：，即，
由（1）知當時，上式不成立，
所以是以從第二項開始，公比為的等比數列，
所以.
（3）當時，，
當時，，
當時，且遞減，，
當時，且遞減，， 又，
綜上所述，數列的最大值為，最小值為.
隨堂練習：答案：（1）；（2）①；②≤≤.
解: （1）由可得，
作差得， 化簡可得，
又時 所以數列是以首項，為公比的等比數列, 所以.
(2) 設數列是以首項，為公差的等差數列,
則,,
由可得,
對任意恒成立,
可得,解之得或者(舍去) 所以，
（3）因為≤恒成立，
①當為偶數時，≤，
令， 則
當≥3時，；當≤2時，；
又因為， 所以 ， 所以，≤，
② 當為奇數時，≥，
令， 則，
當≥3時，；當≤2時，；
因為， 所以 ，
所以，≥， 綜上所述：≤≤，
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題十
知識點一 等比中項的應用,裂項相消法求和,分組（并項）法求和,等差數列通項公式的基本量計算
典例1、記為數列的前項和，已知．
（1）證明：是等差數列；
（2）若，記，求數列的前項和．
隨堂練習：已知等差數列的前項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前項和．
典例2、已知等差數列是單調遞增數列，，且，，成等比數列，是數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，是數列的前項和，求.
隨堂練習：已知數列的前項和為，，，．
（1）求；
（2）設是數列的前項和，求．
典例3、已知數列的前項和為，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
隨堂練習：已知數列為公差不為0的等差數列，，且，，成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求數列的前n項和．
知識點二 由遞推關系證明數列是等差數列,由遞推關系證明等比數列,裂項相消法求和
典例4、已知數列滿足.
（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（2）若__________，求數列的前項和.
（在①；②；③這三個條件中選擇一個補充在第（2）問中，并對其求解）
隨堂練習：已知數列的首項為1，前項和為，且滿足______.
①，；②；③. 從上述三個條件中選一個填在橫線上，并解決以下問題：
（1）求； （2）求數列的前項和.
典例5、在①是與的等比中項：②；③這三個條件中任選兩個補充到下面的橫線中并解答．
問題：已知公差不為零的等差數列的前項和為，且滿足______．
（1）求； （2）若，求數列的前項和．
注：如果選擇多個組合分別作答，按第一個解答計分．
隨堂練習：設首項為2的數列的前n項和為，前n項積為，且滿足______________．
條件①：；條件②：；條件③：．
請在以上三個條件中，選擇一個補充在上面的橫線處，并解答以下問題：
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．）
（1）求數列的通項公式；（2）求證：數列的前n項和．
參考公式：．
典例6、在①數列的前n項和；②且，，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并求解：
（1）已知數列滿足__________，求的通項公式；
（2）已知正項等比數列滿足，，求數列的前n項和．
隨堂練習：已知為等差數列的前項和，且，___________.在①，，成等比數列，②，③數列為等差數列，這三個條件中任選一個填入橫線，使得條件完整，并解答：
（1）求； （2）若，求數列的前項和.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
人教A版數學--數列專題十答案
典例1、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）當且時，，
整理可得：，，
數列是公差為的等差數列.
（2）由（1）得：，
，
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）設等差數列的公差為，則，解得：，
.
（2）由（1）得：，
典例2、答案： （1）； （2）.
解：（1）設的公差為，則
∴，∵，∴，
∴的通項公式為.
（2）由（1）得，
.
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）由題，可得，
又知，所以數列是首項為1，公差為的等差數列，
所以，即．
（2）由（1）可得，
∴．
典例3、答案： （1）， （2）
解：（1）由題意，當時，，
當時，由， 可得，
兩式相減， 可得，
化簡整理，得， 也滿足上式，
數列是以2為首項，2為公差的等差數列，
，．
（2）由（1），可得，
則
．
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）∵，，成等差數列，
∴， ∴，
設數列的公差為， ∴， ∴，
∵，解得：，
∵， ∴，，
∴；
（2）∵，
∴數列的前n項和為．
典例4、答案： （1） （2）答案見解析
解：（1）∵，則，即
故數列是首項和公差都為2的等差數列， ∴，即
（2）選①：
∵，
∴.
選②：
∵，則有：
當時，；
當時，； ∴.
選③：
∵，
∴.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）選①
因為，所以當為奇數時，；
同理，當為偶數時，. 所以.
選②
因為，（*）所以當時，，（**）
（*）-（**），得，即，
所以數列是首項為1的常數列， 所以.
選③
因為，所以，
所以數列是首項為的常數列，
所以，所以當時，.
當時，也符合上式.所以.
（2）由（1）得，，
所以
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）方法1：選①和③
，整理得，
設等差數列的公差為， 則有：，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：選①和②
，，所以，，
設等差數列的公差為，則有，
化簡得，解得，，則，
方法3：選②和③，
，可得，，
設等差數列的公差為，則有，得到方程，解得，
故，所以等差數列的通項公式為：.
（2），
隨堂練習：答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）若選擇條件①：因為，所以，又，
所以數列是首項為2，公差為1的等差數列．
所以，所以．
若選擇條件②：因為，所以．
當時，，整理得，，
所以， 累乘得，，
當時，，符合上式， 所以．
若選擇條件③：因為，所以，即，
所以，所以數列為常數列，
又，所以，即．
（2）由（1）知：，結合參考公式
可得
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）.
解：（1）若選①：數列的前n項和.
當時，，
當時，，上式仍成立， ∴的通項公式為．
若選②：且，.
由可得，所以是和的等差中項，
所以是等差數列.
設公差為，則由，可得，所以.
所以的通項公式為．
（2）設的公比為. 由（1）知，
又，所以， 即，又，所以，
所以，的通項公式為.
則，
所以
．
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）設等差數列的公差為
選擇①：由題意得，
故，解得， 所以.
選擇②：由題意得，即
解得， 所以.
選擇③：由題意得，
故，解得， 所以.
（2）由當為奇數時，，得數列的前項中奇數項的和為
，
由當為偶數時，，
得數列的前項中偶數項的和為：
，
故.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題十一
知識點一 判斷等差數列,寫出等比數列的通項公式,求等比數列前n項和,分組（并項）法求和
典例1、已知數列，，為數列的前項和，.
（1）求數列的通項公式；
（2）證明為等差數列，并求數列的前項和.
隨堂練習：已知數列滿足，，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）記在區間上，的項數為，求數列的前m項和.
典例2、設各項均為正數的數列的前n項和為，滿足對任意，都．
（1）求證：數列為等差數列；
（2）若，求數列的前n項和．
隨堂練習：設數列滿足，且.
（1）求證：數列為等差數列，并求的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
典例3、已知正項數列的前n項和為，且，數列滿足．
（1）求數列的前n項和，并證明，，是等差數列；
（2）設，求數列的前n項和．
隨堂練習：已知數列，，且對任意，都有.
（1）設，判斷數是否為等差數列或等比數列；
（2）若，，求數列的前項的和.
知識點一 累加法求數列通項,含絕對值的等差數列前n項和,由遞推關系證明等比數列
典例4、已知在前n項和為的等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前20項和．
隨堂練習：已知等差數列的前項和為，，，．
（1）求的通項公式
（2）設，求數列的前項之和．
典例5、已知是數列的前項和，且.
（1）求的通項公式；
（2）若，求.
隨堂練習：已知等差數列的公差為，數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和；
（3）請直接寫出的結果.
典例6、在等比數列中，，公比，且，又有4是和的等比中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前21項和．
隨堂練習：在數列中，，，且滿足.
（1）求數列的通項公式;
（2）設是數列的前項和，求.
人教A版數學--數列專題十一答案
典例1、答案： （1） （2）證明見解析，
解：（1）當， 所以，
當， 即，
所以 所以；
（2）當， 所以，
因為， 所以，
所以是， 所以， 所以，
令，
則=-1+，
，
.
隨堂練習：答案： （1），； （2）前m項和為，.
解：（1）由題意知：為等差數列，設其公差為d，
由，得，又，
∴，則.
（2）由題及（1）得，，
∴.
典例2、答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）證明：當時，，，所以.
當時，有，，
兩式相減得，
所以，則，
兩式相減得，即，
因為數列各項均為正數，所以有，
又時，則，即，整理可得，
解得或（舍去），
所以，滿足.
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列.
（2）由（1）可得，，所以.
所以，當為偶數時，.
當為偶數時，
；
當為奇數時，.
綜上所述，.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析，; （2） .
解：（1）由已知得， 即，
是以 4 為首項， 2 為公差的等差數列.
，
當時，,
當時，也滿足上式，所以;
（2）,
當為偶數時，
當為奇數時，
,
所以 .
典例3、答案：（1），證明見解析； （2）．
解：（1）①，，
當時，，∴或(舍)，
當時，②，
①－②：，∴，
∵，∴，
∴是以2為首項，2為公差的等差數列，∴，，
∴數列是首項為－2，公比為2的等比數列，
∴．
（2）∵，
∴，，成等差數列； ，
當n為偶數時，
．
當n為奇數時，
．
綜上可知．
隨堂練習：答案：（1）答案見解析；（2）.
解:（1）由，得，，
所以，數列是等差數列.
當的公差為零時，，數列是等差數列，不是等比數列；
當的公差不為零時，，數列既是等差數列也是等比數列；
（2）若，由（1）知，
所以數列是等差數列，且首項為，公差為，.
則，.
.
典例4、答案： （1）； （2）.
解：（1）由，則，
由，則，
所以，即，故， 則.
（2）由（1）知：，可得，即，故時，
所以.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）設等差數列的公差為，
則由已知可得：，解得，
所以.
（2）因為，，
所以.
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）
當時，，
當時，，
也符合上式，所以，
（2）因為，所以時，；時，，
當時，，
當時，
.
綜上：
隨堂練習：答案： （1） （2） （3）
解：（1）為等差數列，，
得到公差，進而得到，
（2），
所以
令，得，又，
，整理得，
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因為，可得，即，
又因為，所以，
因為4是和的等比中項，所以，
即與是方程的兩個根，且，
所以，即，解得，
所以數列的通項公式為.
（2）由，可得，則，
則數列的前項和為，
當時，，所以；
當時，，
所以.
隨堂練習：答案：（1）； （2）.
解：（1）由可得是等差數列，且公差，
所以.
（2）由，可得的前項和，
當時，，
，
當時，，此時，
所以
，
綜上所述：
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題十二
知識點一 等差數列通項公式的基本量計算,求等差數列前n項和,裂項相消法求和
典例1、在①，；②；③，是與的等比中項，這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目．已知為等差數列的前n項和，若________．
（1）求；
（2）記，已知數列的前n項和，求證：
隨堂練習：在①是與的等比中項：②；③這三個條件中任選兩個補充到下面的橫線中并解答．問題：已知公差不為零的等差數列的前項和為，且滿足______．
（1）求；（2）若，求數列的前項和．
注：如果選擇多個組合分別作答，按第一個解答計分．
典例2、在①且，②且，③正項數列滿足這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題:已知數列的前項和為，且______
（1）求數列的通項公式:
（2）求證：.
隨堂練習：設數列的前項和為，已知，__________.
（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，證明：.
從下列兩個條件中任選一個作為已知，補充在上面問題的橫線中進行求解（若兩個都選，則按所寫的第1個評分）：①數列是以為公差的等差數列；②.
典例3、已知的前n項和為，，且滿足______，現有以下條件：
①；②；③
請在三個條件中任選一個，補充到上述題目中的橫線處，并求解下面的問題：
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求的前n項和，并證明：．
隨堂練習：已知等差數列與正項等比數列，滿足，，.
（1）求數列和的通項公式；
（2）在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，并完成求解.若______，求數列的前項和.（注：若多選，以選①評分）
知識點二 由遞推關系證明數列是等差數列,錯位相減法求和
典例4、已知為數列的前項和,．
（1）證明:數列為等比數列;
（2）求數列的前項和．
隨堂練習：已知數列中，，且滿足.
（1）證明：數列為等比數列，并求數列的通項公式；
（2）若，求數列的前項和.
典例5、已知數列的前n項和為．
（1）記，證明：是等差數列，并求的通項公式；
（2）記數列的前n項和為，求，并求使不等式成立的最大正整數n．
隨堂練習：已知數列中，，數列的前項和為滿足.
（1）證明：數列為等比數列；
（2）求數列的前項和.
典例6、對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數．
（1）定義在R上的函數滿足：對任意，，都有，且；又數列滿足．
（Ⅰ）求證：是數列的母函數； （Ⅱ）求數列的前n項和．
（2）已知是數列的母函數，且．若數列的前n項和為，求證：．
隨堂練習：已知數列
（1）令，求證：數列是等比數列；
（2）若，求數列的前項和．
人教A版數學--數列專題十二答案
典例1、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）選擇條件①：設等差數列的公差為d，
則，解得， 故；
選擇條件②：，
當時，，即，
當時，，也適合上式，故；
選擇條件③：設等差數列的公差為，則，
解得、或、（不合題意），故．
（2）證明：因為，所以，
故，得證.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）方法1：選①和③
，整理得，
設等差數列的公差為，則有，
整理得,，解得，
又由，可得，解得，故，所以，
方法2：選①和②
，，所以，，
設等差數列的公差為，則有，
化簡得，解得，，則，
方法3：選②和③，
，可得，，
設等差數列的公差為，則有，得到方程，解得，
故，所以等差數列的通項公式為：.
（2），
典例2、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）選擇①
當時，， ，
兩式作差得：， 整理得，
所以為常數列，因此， 所以.
選擇②
得，
兩式相減得，即數列為隔項等差數列，且公差為，
當時，，又，則，
當為偶數時，，
當為奇數時，， 綜合得：；
選擇③
又，得. 當時，，
兩式相減得：，即.
又因為，所以，故為公差為1的等差數列，
得.
（2）證明：由（1）可得
所以
因為 所以
因此.
隨堂練習：答案： （1）選擇①②，都有； （2）證明見解析.
解：（1）若選擇①數列是以為公差的等差數列，顯然其首項為
故，故；
當時，，
當時，，滿足. 故的通項公式為；
若選擇②
即，整理得：
故，即數列是首項為，公差為的等差數列，
與選擇①相同，故的通項公式為.
（2）根據（1）中所求可得：，則
故
又，故可得.
典例3、答案： （1）； （2）；證明見解析.
解：（1）若選擇條件①：因為，
當時，， 兩式相減得，
所以當時，當n＝1時符合， ∴；
若選擇條件②：因為，
當時， 兩式相減得，，
∴是首項為2，公比為2的等比數列， ∴；
若選擇條件③：∵，
∴時，， 兩式相減得，
當n＝1時，，可得，， ∴時成立，
∴是首項為2，公比為2的等比數列， ∴；
（2）由（1）可知，
則， 所以，
因為， 所以各項均為正數， 所以，
又因為， 所以．
隨堂練習：答案： （1）， （2）見解析
解：（1）設等差數列的公差為，正項等比數列的公比為，
由已知得，則，解得，
所以，；
（2）選①，則有
即.
選②，則有，設數列的前項和為，
，，
兩式相減，，
解得.
選③，則由，
即.
典例4、答案：（1）證明見解析 （2）
解：（1）證明:由題知, ,
解得:故,
由, 可得,,
兩式相減可得: ,,
所以,, 所以,,
所以數列是以6為首項,2為公比的等比數列;
（2）由(1)得數列是以6為首項,2為公比的等比數列, 所以,
故, 則,
設,其前n項和為,
則①, ②,
①-②可得: ,
所以,
所以,
綜上:.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析； （2）
解：（1），
數列是以為首項，以5為公比的等比數列.
，
（2） ，
即①， ②，
由①②得： ，
， 化簡得：.
典例5、答案： （1）證明過程見解析，； （2）；n為5．
解：（1）由，得，
即，
． 即， 又，
數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
；
（2）由（1）知．
，①
，②
①-②，得
，
， ，
因為 所以，所以是遞增數列，
，
使不等式成立的最大正整數n為5．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）當時，，；
當時，，
則，
又滿足，
數列是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）得：，則，；
，
則，
，
.
典例6、答案： （1）（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）； （2）證明見解析.
解：（1）（Ⅰ）由題知，
且．
是數列的母函數；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：是首項和公差均為2的等差數列，故．
①
②
兩式相減得： ；
（2）由題知：，．，
，從而是以為首項，
為公比的等比數列．
又．
故當時，
．
隨堂練習：答案： （1）見解析 （2）
解：（1）證明：因為，所以，即，
又， 所以數列是以3為首項，3為公比的等比數列；
（2）由（1）得，
， 則， ，
兩式相減得， 所以．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題十三
知識點一 寫出等比數列的通項公式,由遞推關系證明等比數列,求等比數列前n項和,
分組（并項）法求和
典例1、在數列中，，數列的前項和為．
（1）證明：數列是等比數列，并求數列的通項公式；
（2）求．
隨堂練習：已知數列各項均為正數，且
（1）求的通項公式；
（2）設，求．
典例2、已知數列的前n項和分別是，若
（1）求的通項公式；
（2）定義，記，求數列的前n項和．
隨堂練習：已知數列滿足．
（1）求數列的通項公式；
（2）當時，求數列的前n項和為．
典例3、數列滿足，．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數列的前20項和．
隨堂練習：已知數列滿足，
（1）令，求，及的通項公式；
（2）求數列的前2n項和.
知識點一等差數列通項公式的基本量計算,等比數列通項公式的基本量計算,數列不等式能成立（有解）
典例4、已知數列的前n項和為，正項等比數列的首項為，且．
（1）求數列和的通項公式；
（2）求使不等式成立的所有正整數n組成的集合．
隨堂練習：已知等差數列的首項，公差．記的前n項和為．
（1）若，求；
（2）若對于每個，存在實數，使成等比數列，求d的取值范圍．
典例5、已知數列的首項，且滿足N*）．
（1）求證：數列為等比數列；
（2）若＜100，求滿足條件的最大正整數n．
隨堂練習：已知數列和滿足，，且.
（1）求數列和的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求滿足的正整數的值.
典例6、已知等差數列的公差為，前項和為，且．
（1）求數列的通項公式和；
（2）若數列的通項公式為，記數列的前項和為，若存在，使得對任意，總有成立，求實數的取值范圍．
隨堂練習：已知是公差不為0的等差數列，為其前n項和，，.
（1）數列的通項公式；
（2）試求所有的正整數m，使得為數列中的項.
人教A版數學--數列專題十三答案
典例1、答案： （1）證明見解析， （2）
解：（1）因為，所以
即數列是以首項為，公比為的等比數列
故，即
（2）
隨堂練習：答案： （1）； （2）20.
解：（1）由得：，而，
因此，即數列是首項，
公差的等差數列，，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，則有，
所以.
典例2、答案：（1）， （2）
解：（1）由，可得
所以是以為首項，以為公比的等比數列
所以，即
又，所以
所以
（2）滿足上式，所以
由
當時，；當時，
所以，所以
當時，
當時，
綜上，
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）當時，，則，令，則，
又因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，即，從而；
（2）因為，
所以
．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），兩式相除得：，
當時，
，
當時，
，
綜上所述，的通項公式為：
（2）由（1）知：
數列的前20項和：
隨堂練習：答案： （1），， （2）
解：（1）由題意得，，，，，
，，，
當時，，
又，所以是以1為首項，2為公比的等比數列，所以.
（2）由（1）知，所以，
所以
.
典例4、答案： （1）, （2）
解：（1）因為數列的前n項和為， 所以當時，；
當時，，
滿足上式，故.
所以，從而,化為，
又因為數列為正項等比數列且，設公比為，且，
又，解得或（舍），從而.
（2）不等式轉化為，即，
記，，
當時，，從而單調遞減，所以.
因此使不等式成立的所有正整數組成的集合為.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）因為， 所以，
所以，又， 所以， 所以，
所以，
（2）因為，，成等比數列，
所以，
， ，
由已知方程的判別式大于等于0，
所以，
所以對于任意的恒成立，
所以對于任意的恒成立，
當時，，
當時，由，可得
當時，，
又 所以
典例5、答案： （1）證明見解析 （2）
解：（1）， ，
又，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列．
（2）由（1）可知，，
，
若，則，
令，所以在上單調遞增，
且， 所以滿足條件的最大正整數．
隨堂練習：答案： （1），；（2）或.
詳解:（1）對任意的，，則，且，
所以，數列是等比數列，且首項和公比均為，
故，，
因為，
所以，；
（2）設數列的前項和為，
則，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
則，
由可得，
整理可得，解得， 因為，故或.
典例6、答案： （1）， （2）
解：（1）為等差數列，且，，即，
又公差，．，
所以，．
（2），，
，①
，②
①②得
，
，， ，
，且， 時，，
又，時，，
存在，使得對任意，總有成立．
，， 實數的取值范圍為.
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）由題設，，可得，
所以.
（2）由（1）知：，
若使為數列中的項，則必須為整數且m為正整數，
因此得或，
當時，，而是數列的最小項，故不符合題意，舍去；
當時，，符合題意， 所以.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列專題十四
知識點一等差數列通項公式的基本量計算,等比數列通項公式的基本量計算,數列不等式能成立（有解）
典例1、已知Sn是數列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn－－，a1＝－1.
（1）求證：{2nSn＋2n}是等差數列；
（2）若{an}中，只有三項滿足，求實數λ的取值范圍.
隨堂練習：設數列的前n項和為．數列為等比數列，且成等差數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，求的最小值．
典例2、在數列中，已知，()．
（1）證明：數列為等比數列；
（2）記，數列的前n項和為，求使得的整數n的最小值．
隨堂練習：已知數列中，.
（1）求證：數列是常數數列；
（2）令為數列的前項和，求使得的的最小值.
典例3、已知數列的前n項和，數列滿足．
（1）求證：數列是等差數列；
（2）設，數列的前n項和為，求滿足的n的最大值．
隨堂練習：已知單調遞減的等比數列滿足，且是，的等差中項．
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列的前項和為，求滿足不等式成立的所有正整數，組成的有序實數對．
知識點二 由遞推關系證明數列是等差數列,求等差數列前n項和的最值,等比中項的應用,
利用an與sn關系求通項或項
典例4、已知數列的前n項和.
（1）求的通項公式．
（2）的前多少項和最大？
（3）設，求數列的前n項和.
隨堂練習：已知數列滿足，設.
（1）證明：數列為等差數列，并求的通項公式；
（2）求數列的前項和的最小值.
典例5、已知數列的前項和為，點在直線上．
（1）求數列的前項和，以及數列通項公式；
（2）若數列滿足：，設數列的前項和為，求的最小值．
隨堂練習：已知等差數列的前n項和為.
（1）若數列為等差數列，且，求；
（2）若，求公差d的取值范圍.
典例6、已知數列的前項和為，，______.指出、、…中哪一項最大，并說明理由.從①，，②是和的等比中項這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答.
隨堂練習：已知正項數列的前n項和為，，當且時，.
（1）求數列的通項公式；
（2）請判斷是否存在三個互不相等的正整數p，q，r成等差數列，使得，，也成等差數列.
人教A版數學--數列專題十四答案
典例1、答案：（1）證明見解析；（2）．
解:（1）證明：∵，
∴，
∴．
∵， 所以，是以為首項，以為公差的等差數列．
（2）由（1）可知，， ∴．
當時，，
∵，所以，的通項公式為．
∴，，，，，．
當時，，即，
也就是說，數列從第項起，是遞減數列．
所以，實數的取值范圍是．
隨堂練習：答案： （1） （2）4
解：（1）由題意得： 設數列的公比為．由，得
，即
成等差數列
，即，解得，或（舍去）
．
（2）由，當時，，兩式相減得，，
對也成立 所以
設
當n為奇數時，可遞減數列，所以
當n為偶數時，為遞增數列，所以
所以的最小值為4．
典例2、答案： （1）證明見解析；（2）10．
解:（1）證明：由，得，從而，
∴，又， 故數列為等比數列；
（2）解：由（1）得，故，
∴，
，
令，則，解得，
∵， ∴．
故使得的整數n的最小值為10；
隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）最小值為.
解: （1）由得：，即
，即有數列是常數數列；
（2）由（1）知：
即，
當為偶數時，，顯然無解；
當為奇數時，，令，解得：，
結合為奇數得：的最小值為 所以的最小值為
典例3、答案：（1）證明見解析；（2）n的最大值為4．
解:（1）證明：∵，
∴當時，，即，
當時，，則，整理得，
∵，即．
當時，，又 ∴數列是首項和公差均為1的等差數列．
（2）由（1）得， ∴．
∴
∴
由，得，故， ∴n的最大值為4．
隨堂練習：答案：（1）；
（2）正整數m，n組成的有序實數對為(1，1)，(2，1)，(2，2).
解：（1）依題意，有，代入，
得，解得，所以，
設等比數列的公比為q，則， 解得或.
又單調遞減，所以，，于是．
（2）由（1）知，，所以．
則
因為，所以又，
所以，所以m=1，2．
當m=1時，由，解得n=1；
當m=2時，由，解得n=1，2．
綜上，滿足不等式的所有正整數m，n組成的有序實數對為(1，1)，(2，1)，(2，2)．
典例4、答案：（1） （2）前16項或前17項的和最大 （3）
解：（1）因為，當時，
當時，所以，
經檢驗當時也成立，所以；
（2）令，即，所以，
故數列的前17項大于或等于零．
又，故數列的前16項或前17項的和最大．
（3）由（2）知，當時，；
當時，，
所以當時，．
當時，
．
故．
隨堂練習：答案： （1）證明見解析， （2）
解：（1）因為，所以，由，
所以，且，
所以數列以為首項，以1為公差的等差數列， 所以；
（2）由（1）可知，所以，
所以當或時取得最小值，且
典例5、答案：（1），， （2）-15
解：（1），則， 當時，；當時，；
而，∴，.
（2），當時，，當時，，
故.
隨堂練習：答案：（1）；（2）或.
解: （1）∵數列為等差數列，設其公差為，
∴， ∴，
∴當時，
當時也應成立，此時，故
此時，.
（2）∵為等差數列，首項為，
∴，，
∴， ∴，
整理得，，
上述方程對有解，故， ∴.
典例6、答案： ①②均能得到最大.
解: 因為，故， 故.
當時，即，
所以是以為首項，為公差的等差數列，所以，
所以，故，也即是
故，所以為等差數列.
若選①，
因為，，故，
故，，故最大.
若選②，則，故，解得，
故，故，故最大.
隨堂練習：答案： （1）；（2）不存在.
解：（1）當且時，有，可得，
由，滿足該式，
可得當時，有，平方后可得
當且時，有
可化為 有
由，有，可得數列是以1為首項，2為公差的等差數列，
有 故數列的通項公式為
（2）由題意有
又由（1）可知
有
由，有，，有
可得
故不存在三個互不相等的正整數p，q，r成等差數列，使得，，也成等差數列.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）人教A版數學--數列高考復習專題十五
知識點一 由遞推關系證明數列是等差數列,求等差數列前n項和的最值,等比中項的應用,
利用an與sn關系求通項或項
典例1、已知數列的各項為正數，其前項和滿足，設．
（1）求證：數列是等差數列，并求的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求的最大值．
隨堂練習：已知數列的前項和公式為
（1）求的通項公式；
（2）求的前項和的最小值．
典例2、已知數列的前項和為.
（1）求證：數列是等差數列；
（2）求的最大值及取得最大值時的值.
隨堂練習：已知正項數列的首項為1，其前項和為，滿足.
（1）求證：數列為等差數列，并求數列的通項公式；
（2）若，是的前項和，已知對于都成立，求的取值范圍.
知識點二 由遞推關系證明數列是等差數列,求等差數列前n項和的最值,等比中項的應用,
利用an與sn關系求通項或項
典例3、已知數列的前項和為.
（1）求出的通項公式；
（2）求數列前n項和最小時n的取值
隨堂練習：記為公差不為0的等差數列的前n項和，已知，且，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）求，并求的最小值．
典例4、設等比數列的公比，且滿足，，，成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足：對任意正整數n，均成立，求數列的前n項和 的最大值.
隨堂練習：公差非零的等差數列的前n項和為，若是，的等比中項，．
（1）求；
（2）數列為等差數列，，數列的公差為，數列的前n項和為，是否存在最大或者最小值？如果存在求出最大或者最小值，如果不存在請說明理由．
典例5、已知等比數列的各項均為正數，且
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的最大項.
隨堂練習：在數列{an}中，（n∈N*），.
（1）求；
（2）設為的前n項和，求的最小值．
典例6、已知數列的前n項積.
（1）求數列的通項公式；
（2）記，數列的前n項為，求的最小值.
隨堂練習：已知正項數列的前項和為，且.
（1）求；
（2）求證：數列是等差數列.
（3）令，問數列的前多少項的和最小？最小值是多少？
典例7、設數列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）若，求數列的前項和的最大值及此時的值；
（3）求數列的前項和．
隨堂練習：在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，
并解答．設等差數列的前n項和為，且,．
（1）求的最小值；
（2）若數列滿足____________，求數列的前10項和．
人教A版數學--數列高考復習專題十五答案
典例1、答案： （1）證明見解析，；（2）.
解：（1）當時，，∴
當時，，即
∴，∴，∴
∴，所以是等差數列，
（2），，∵，∴是等差數列
∴，當時，
隨堂練習：答案： （1）； （2）當或時，的值最小，值為.
解：（1）當時，，
當時，=
經檢驗，滿足此式，所以
（2）由（1）可知，數列為等差數列，
設，得，
當或時，的值最小，值為.
典例2、答案： （1）證明見解析；（2）前16項或前17項和最大，最大值為.
解：（1）證明：當時，，
又當時，，滿足，
故的通項公式為，
∴.
故數列是以32為首項，為公差的等差數列；
（2）令，即，解得，
故數列的前16項或前17項和最大，
此時.
隨堂練習：答案： （1）證明見解析， （2）或
解（1）∵，∴，
∵∴，∴，
∴，又由，
∴是以1為首項，1為公差的等差數列；
所以，∴，
當時，，
當時，，
當時，上式也符合，所以.
（2），時，，，，，，
∴或5時，，∴或.
典例3、答案：（1）；（2）當或時，數列前n項和取得最小值.
解:（1）因為， 所以當時，；
當時，；
顯然是，也滿足， 所以；
(2) 因為，
所以數列為等差數列，其前n項和
又，所以當或時，取得最小值.
隨堂練習：答案：（1） （2），最小值為
解：（1）因為，且，，成等比數列，所以，
即，解得 即
（2）
當或時，有最小值
典例4、答案：（1）；（2）49.
解:（1）由題意，等比數列滿足，，，成等差數列，
可得，兩式相減得，即，
代入，可得，
解得或（舍），
所以，所以數列的通項公式為.
（2）對任意正整數n，均成立，
當時，可得，
當時，
兩式相減得，
由（1）知，所以當時，，
當時也滿足此式，數列為等差數列，
故數列的前n項和，
所以當時，數列的前n項和的最大值為49.
隨堂練習：答案： （1）60 （2）存在最大值66
解：（1）記等差數列的公差為，
由題知，整理得
因為 所以可解得 所以
（2）由（1）可知
因為數列的公差為， 所以
因為的對稱軸為，
所以當時，有最大值
典例5、答案： （1）； （2）.
解：（1）設等比數列的公比為，
由得，，解得：，
；
（2）；
當取3或4時，取得最大項.
隨堂練習：答案： （1）
（2）當n為偶數時，取得最小值為－242；當n為奇數時，取最小值為－243
解：（1）∵（n∈N*），① ②
②－①得，.
又∵a2＋a1＝2－44，a1＝－23， ∴a2＝－19， 同理得，a3＝－21，a4＝－17.
故a1，a3，a5，…是以為首項，2為公差的等差數列，
a2，a4，a6，…是以為首項，2為公差的等差數列．
從而
（2）當n為偶數時，
故當n＝22時，Sn取得最小值為－242.
當n為奇數時，
.
故當n＝21或n＝23時，Sn取得最小值－243.
綜上所述：當n為偶數時，Sn取得最小值為－242；當n為奇數時，Sn取最小值為－243.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）.
當時，；
當時，，也符合. 故的通項公式為.
（2）， ，
是以為首項，2為公差的等差數列，
， 當時，的最小值為.
隨堂練習：答案： （1），；（2）證明見解析；
（3）數列的前9或前10項的和最小，最小值為
解：（1）由已知得，，，；
，，
化簡得，，又由已知得，，
（2）由題意得，，①
令，得，② 得，，
化簡得，，進而得到，
，又由為正項數列得，，
故有，，所以，，故數列是等差數列，
由（1）得，，所以，
（3）由（2）得，，明顯地，為等差數列，設的前項和為，
故有，，
根據二次函數的性質，的對稱軸為，因為為正整數，
明顯地，取或時，有最小值，
故最小值為，，所以，數列的前9或前10項的和最小，最小值為.
典例7、答案：（1）； （2）當，取得最大值； （3）.
解:（1）由題意知，，
所以 所以，
當時，符合通項公式， 所以數列的通項公式為；
（2）由（1）可得，由等差數列的求和公式，
可得
∴當，取得最大值，且；
（3）由（1）知，令，為的前項和，則，
∴
．
隨堂練習：答案： （1） （2）答案見解析
解：（1）由題，，，所以，
則， 所以當時，的最小值為.
（2）設數列的前項和為，
選①，由（1），，令，即, 所以，
所以；
選②，由（1），，
所以；
選③，由（1），，，
所以
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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