資源簡介

解三角形專題一
知識點 正弦定理解三角形,三角形面積公式及其應用,余弦定理解三角形
典例1、內角，、、對應的邊分別為、、，且，
（1）求； （2）若，求的面積．
典例2、在中，內角對應的邊分別為，，向量
與向量互相垂直.
（1）求的面積； （2）若，求的值.
典例3、在中，角所對的邊分別為平分，交于點，已知，.
（1）求的面積； （2）若的中點為，求的長.
典例4、如圖，在中，，，，點M N是邊AB上的兩點，.
（1）求的面積； （2）當，求MN的長.
典例5、已知△中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，
且.
（1）求邊a； （2）當時，求△的面積.
典例6、如圖，在四邊形中，.
（1）求的長； （2）若，求的面積.
解三角形專題一答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）因為，，，，
所以，所以，又
所以，，所以
（2）因為，所以，又，所以，所以為銳角，
所以，所以，
所以
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）因為，解得，
因為，所以，.
有因為，所以，
所以的面積.
（2），
所以.
典例3、答案：（1）； （2）.
解：（1）在中，，，
由余弦定理得：，即，
，則，
在中，，由正弦定理得：，
又，
則，即有，，
所以的面積.
（2）由（1）知，，所以.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理得：，，則
因為，則或（不合題意，舍去），
則
的面積為
（2）在中，，，
由余弦定理可得
則有，所以
在直角中，，
，則
典例5、答案： （1） （2）
解：（1）由余弦定理可知，，
即，整理得， 解得，
（2）在△中，，，，
由余弦定理可得，，
∴, ∴， ∴.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因為，
所以
由余弦定理得：，
所以.
（2）由正弦定理得，
所以，
故，，
則為銳角，，
所以
，
所以的面積為
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題二
知識點 二倍角的正弦公式,三角形面積公式及其應用,余弦定理解三角形
典例1、在中，角的對邊分別為，.
（1）求角； （2）若，面積，求△的周長.
典例2、在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求B； （2）若，的面積為，求的周長．
典例3、在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，，
且
（1）求A； （2）若，的面積為，求的周長．
典例4、已知的內角、、的對邊分別為、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的周長.
典例5、的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求角A的大小；
（2）若AD為的平分線，且，，求的周長.
典例6、在中，角A，，的對邊分別是，，，且向量和向量
互相垂直．
（1）求角的大小；
（2）若外接圓的半徑是1，面積是，求的周長．
解三角形專題二答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）在中，∵，
∴由正弦定理可得．
又∵，，
∴． 整理得．
∵，∴，．∴．
（2）∵，∴，
即， 亦即．
又由余弦定理知，∴．
∴．∴．
∴的周長為．
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由正弦定理得：，
即，
因為， 所以
因為， 所以， 故，
因為， 所以
（2）由面積公式得：，解得：，
由余弦定理得：
將，代入，求得：，
故的周長為
典例3、答案： （1）； （2）.
解：（1）由，則，
由正弦定理得：，
在中，故，即，
因為，所以；
（2）由余弦定理得，即，可得，
又，得，則，即，
所以的周長為
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由，
利用正弦定理可得，化為，
所以，，，.
（2），且，所以，，
由余弦定理可得，
所以，，解得，
因此，周長為.
典例5、答案：（1） （2）
解：（1）∵，由正弦定理可得，
即，
化簡得，
又∵在中，， ∴，即，
∴，結合，可知.
（2）∵AD為的平分線，，∴，
又∵，，
∴， ∴，，
∴，
∴， ∴的周長為.
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）因為，互相垂直，所以， 則．
由余弦定理得．
因為，所以．
（2）∵，則
因為，所以．
即，則，
因此，即．
故的周長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題三
知識點 二倍角的正弦公式,三角形面積公式及其應用,余弦定理解三角形
典例1、已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求角C的值；
（2）若2a+b=6，且的面積為，求的周長.
隨堂練習：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求B；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長.
典例2、在中，內角、、的對邊分別為、、，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且的面積為，求的周長.
隨堂練習：已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
（1）求B；
（2）若，面積為，求周長.
典例3、的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．
（1）求A；
（2）若點D在BC邊上，AD平分BAC，且，求的周長．
隨堂練習：在中，
（1）求角A的大小
（2）若BC邊上的中線，且，求的周長
解三角形專題三答案
典例1、答案： （1） （2）6或
解：（1）∵， 則
∵ ∴，即
∵，則 ∴
（2）∵△ABC的面積為，則 ∴
根據題意得，則或
若，則△ABC為等邊三角形，的周長為6；
若，則，即，的周長為
∴的周長為6或
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）由及正弦定理得，
∴，∵，∴，
∵，∴.
（2）由（1）及已知得，∴，
由余弦定理知，
∴，∴，
∴△ABC的周長為.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）因為，
由正弦定理
又，，所以，所以.
（2）因為，所以，
又，所以，，
由余弦定理可得，所以.
所以的周長為.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）因為，由正弦定理：，
得，
又∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，即.
（2）由題意知，∴
由余弦定理得，又∵，，
∴
∴，故，
所以的周長.
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理得，
在中，，
化簡為，又，
，又 ；
（2）依題意得， 即，
由余弦定理得，
，解得
的周長為.
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）由已知，
由正弦定理得：， 由余弦定理得：，
在中，因為， 所以；
（2）由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因為，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周長.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題四
知識點 正弦定理解三角形,三角形面積公式及其應用,余弦定理解三角形
典例1、如圖，在中，，，，點D在邊BC上，且．
（1）求AD； （2）求的面積．
隨堂練習：如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AB＝6，，
，點D在邊BC上，且∠ADC＝60°．
（1）求cosB與△ABC的面積； （2）求線段AD的長．
典例2、在中，，，分別是角，，的對邊．若，，．
（1）求的長； （2）求的面積．
隨堂練習：在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，
（1）求a；
（2）若，D是線段BC上一點（不包括端點），且AD⊥AC，求△ABD的面積．
典例3、已知在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，函數 圖象的一條對稱軸的方程為，角C為函數的零點.
（1）若，求面積的最大值；
（2）若D為BC邊上一點，且的面積為8，角B為銳角，，，求AC的長.
隨堂練習：在中，角、、所對的邊分別為，，，已知．
（1）若，，若為的中點，求線段的長；
（2）若，求面積的最大值．
解三角形專題四答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由題意得．
在中，由正弦定理，得
（2）由余弦定理，
得，解得．
因為，所以， 所以．
故的面積為．
隨堂練習：答案： （1）； （2）4
解：（1）根據題意得：，則
∴△ABC的面積
（2）∵∠ADC＝60°，則
在△ABD中由正弦定理，可得
典例2、答案： （1）4 （2）
解：（1）因為，，
所以，
又， 所以，
在中，由余弦定理得
整理可得， 解得或（舍去），即的長為4．
（2）因為，，，
所以，
所以
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）由及正弦定理得：，
∴，即，
∴，．
（2）如圖，在△ABC由正弦定理得， 即，
解得，
∵ ∴，
∴，．
∵，
∴，
顯然C為銳角，由易求得，
又∵， ∴，
∴．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由題意，函數，其中.
因為為函數圖象的一條對稱軸，所以，
所以，解得，所以，
因為，，可得，
在中，根據余弦定理得，
又因為，所以，當且僅當時取等號，
所以的面積.
（2）因為的面積為，所以，解得，
因為，所以，
在中，根據余弦定理得，可得，
在中，可得，
所以，所以，
在中，根據正弦定理得，
可得，解得.
隨堂練習：答案： （1）； （2）.
解：（1）， ，
根據余弦定理可知，， 解得，
為的中點，則為邊的中線，設長度為x，
,
,
， ，
解得， 即線段的長度為．
（2）由余弦定理可得：，
即，當且僅當時取到等號，
則．
則面積最大值為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題五
知識點 正弦定理,三角形面積公式,余弦定理
典例1、在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的面積．
隨堂練習：在中，分別為角所對的邊.已知，，.
（1）求的值； （2）求的面積.
典例2、在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，點D在線段AC上，且，，.
（1）求角B的大小； （2）求的面積.
隨堂練習：在中，角所對的邊分別為，且，的
中線長為．
（1）證明：；（2）求的面積最大值．
典例3、的內角A，B，C所對的邊分別為．
（1）求A的大小；
（2）M為內一點，的延長線交于點D，___________，求的面積．
請在下面三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使存在，并解決問題．
①M為的重心，； ②M為的內心，；
③M為的外心，．
隨堂練習：在平面四邊形ABCD中，∠A＝120°，AB＝AD，BC＝2，CD＝3．
（1）若cos∠CBD＝，求；
（2）記四邊形ABCD的面積為,求的最大值．
解三角形專題五答案
典例1、答案： （1） （2）
解：（1）由可得，，
顯然，， ∴
又 ∴
（2）由（1）知，，
又，有正弦定理可得，，
∴，為直角三角形，
∴
隨堂練習：答案：（1）2 （2）
解：（1）在中，因為，所以，
因為，所以，
由正弦定理可得.
（2）由得，，
由，得，
所以，
因此，的面積.
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）根據， 由正弦定理得，
∴，又∴，
即，又 ∴，∴.
（2）設，由得，即，
兩邊平方得，即，
可得.所以.
故的面積.
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）證明：左邊，
∴，又， ∴
（2）法一：（角化邊）如圖，設為中點，設，，
因為，所以，
所以，在中，由余弦定理得：，
所以，
所以，，
所以，當，即時，有最大值，
所以， 的面積最大值為.
法二：（邊化角）
由，，過點作，垂足為， 所以，
所以，，即，
又因為，即，
所以， 所以
所以的面積，
當且僅當時，等號成立，
所以，的面積最大值為.
典例3、答案： （1） （2）答案見解析
解：（1）∵，∴，即
由正弦定理得，，即，
∵，∴，∴，
又，∴，∴
（2）設外接圓半徑為，則根據正弦定理得，，
若選①：∵M為該三角形的重心，則D為線段的中點且，
又，∴，
即， 又由余弦定理得，即，解得，∴；
若選②：∵M為的內心，∴，
由得，
∵，∴，即，
由余弦定理可得，即，∴，
即，∵，∴， ∴．
若選③：M為的外心，則為外接圓半徑，
，與所給條件矛盾，故不能選③.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）如圖，，設，，
得，整理得，，，
解得，又由，則有，
故，解得，
（2）在中，設，由，可得，在中，
由余弦定理可得，，可得，，
四邊形ABCD的面積為，得
.
當且僅當時，即時，等號成立，此時的最大值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題六
知識點 正弦定理解三角形,正弦定理邊角互化的應用,三角形面積公式及其應用,
余弦定理解三角形
典例1、在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求角C的大小；（2）若______，，求b的值．
在①，②sinA＝3sinB，這兩個條件中，任選一個，補充在問題中，并加以解答．
隨堂練習：從①；②；③中任選兩個作為條件，另一個作為（1）小題證明的結論．
已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，________．
（1）證明：________；（2）求的面積．
注：若選不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．
典例2、在①，②，③．這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答．
在中，角，，所對的邊分別為，，，且 ．
（1）求角的大小；（2）若的面積等于，求的周長的最小值．
隨堂練習：在①，②這兩個條件中任選一
個，補充到下面問題中，并解答問題.
在中，內角，，的對邊長分別為，，，且___________.
（1）求角的大小；
（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.
(注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分)
典例3、在①，其中為角的平分線的長（與交于點），②
，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.在中，內角，，的對邊分別為，，，______.
（1）求角的大小；（2）若，，為的重心，求的長.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
隨堂練習：在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D為AC邊上的一點，，且______，求的面積．
①BD是的平分線；②D為線段AC的中點．（從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上并作答）．
解三角形專題六答案
典例1、答案： （1）； （2）選條件①，b＝3或b＝4；選條件②，b＝2.
解：（1）已知，所以
由余弦定理，所以
因為，所以；
（2）由（1）知
因為，，即，
選條件①，，則，， 解得b＝3或b＝4；
選條件②，由可得a＝3b， 所以，解得b＝2．
隨堂練習：答案： （1）答案見解析 （2）
解：（1）由正弦定理得， 所以，
又， 所以，
整理得， 故．
若選①③作為條件，②作為證明結論．
由得，
由正弦定理得， 所以，
所以， 故．
若選②③作為條件，①作為證明結論．
由得， 由正弦定理得，
又，所以，
因為，所以，
由正弦定理得，所以， 又，故．
（2）由（1）知，，兩邊平方得，
由余弦定理得，所以， 所以，
解得或（舍去）．
故的面積．
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）選擇①時，由正弦定理角化邊可得，
化簡，由余弦定理可得,
因為， 所以.
選擇②時，由正弦定理將邊化角可得
即，
因為， 所以， 所以，
因為， 所以.
選擇③時，由正弦定理可得，
因為，所以,
即，即，
因為， 所以
因為，所以 所以
（2）由面積公式,,
因為，當且僅當時，取等號，所以的最小值為4，
由余弦定理得，
所以，所以，
當且僅當時，取等號，此時的最小值為，
所以當且僅當時，取得最小值
即周長最小值為.
隨堂練習：答案：（1）；（2）.
解：（1）選條件①.
因為， 所以，
根據正弦定理得，， 由余弦定理得，，
因為是的內角， 所以.
選條件②， 因為，由余弦定理，
整理得， 由余弦定理得，，
因為是的內角， 所以.
（2）因為，為銳角三角形，
所以， 解得.
在中，，
所以，
即， 由可得，，
所以， 所以.
典例3、答案：（1）；（2）.
解:（1）方案一：選條件①.
由題意可得，∴.
∵為的平分線，，
，即
又，∴，即，
∵，∴， ∴，∴.
方案二：選條件②.
由已知結合正弦定理得，
由余弦定理得，
∵，∴.
方案三：選條件③.
由正弦定理得，，
又，∴，
∴，
∴，
易知， ∴，∵，∴.
（2）在中，由余弦定理可得，，
∴，∴.
延長交于點，
∵為的重心，∴為的中點，且.
在中，由余弦定理可得，，
∴，∴.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）由正弦定理知：
又：
代入上式可得：
，則 故有：
又，則 故的大小為：
（2）若選①： 由BD平分得：
則有：，即
在中，由余弦定理可得：
又，則有：
聯立 可得：
解得：（舍去） 故
若選②：
可得：，
，可得：
在中，由余弦定理可得：，即
聯立 解得： 故
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題七
知識點 利用三角恒等變換判斷三角形的形狀,余弦定理解三角形,證明三角形中的恒等式或不等式
典例1、如圖，在四邊形ABCD中，為鈍角，且．
（1）求的大小；
（2），，BD平分，且的面積為，求邊CD的長．
隨堂練習：已知的內角所對的對邊分別為，周長為，且．
（1）求的值； （2）若的面積為，求角的大小．
典例2、在中，.
（1）求； （2）求邊上的中線.
隨堂練習：如圖，在銳角中，，，，點在邊的延長線上，且.
（1）求； （2）求的周長.
典例3、如圖，四邊形中，，，設.
（1）若面積是面積的4倍，求；
（2）若，求.
隨堂練習：中，已知．
（1）求； （2）記邊上的中線為．求和的長度．
解三角形專題七答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由條件可得 ，由正弦定理得 ,
由題意， ；
（2）在 中，由余弦定理得： ，
，解得BC=4，
由題意， ，， ，
在 中，
由余弦定理得： ，
； 綜上，， .
隨堂練習：答案： （1）1 （2）
解：（1）因為三角形周長為，所以，
因為，所以由正弦定理可得，
所以 解得．
（2）由的面積得，
由（1），由余弦定理得：
又 所以
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）因為，，故，
所以，解得，
故，故.
（2）如圖所示，是中點，連接，
，，，
故，解得，即邊上的中線為.
隨堂練習：答案： （1）； （2）30.
解：（1）在中，，，，
由正弦定理可得，故，
因為是銳角三角形，所以 .
（2）由（1）得，所以.
在中，，，，
所以
所以的周長為.
典例3、答案：（1）（2）
解: （1）設，則，，，
由題意， 則，所以.
（2）由正弦定理，中，，即①
中，，即②
①÷②得：，化簡得：，所以.
隨堂練習：答案：（1）1、 （2）
解：（1）依題意， ，
,
由于，所以.
（2）由三角形的面積公式得，
由余弦定理得.
由兩邊平方并化簡得：，
所以.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題八
知識點 三角恒等變換的化簡問題,正弦定理邊角互化的應用,余弦定理邊角互化的應用
典例1、在中，從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．
（1）求； （2）若的面積為，求的周長．
條件①：；
條件②：．
注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分．
隨堂練習：在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．在中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，____________．
（1）求角A； （2）若，的面積為，求的周長．
典例2、已知內角所對的邊分別為，面積為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件（若兩個都選，以第一個評分），
求：（1）求角的大小；（2）求邊中線長的最小值.
條件①：;
條件②：.
隨堂練習：下面給出有關的四個論斷：①；②；③或；④. 以其中的三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題：若______，則_______（用序號表示）并給出證明過程：
典例3、在△中，內角對應的邊分別為，請在①；
②；③這三個條件中任選一個，完成下列問題：
（1）求角的大小；
（2）已知，，設為邊上一點，且為角的平分線，求△的面積.
隨堂練習：設的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且有
（1）求角的大小；
（2）從下列條件①、條件②、條件③中選一個作為已知，使唯一確定，并求 的面積．
條件①：邊上的高為； 條件②：，； 條件③：，．
解三角形專題八答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）選①：
，
因為，所以，因此有，
因為，所以；
選②：由
，
因為， 所以；
（2）因為的面積為，
所以有，而，解得：，
由余弦定理可知：，
所以的周長為.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）若選①，
因為，
所以，
所以，即，
所以.
因為，所以. 又因為，所以.
若選②，
因為，
所以，即，
所以. 因為，所以.
若選③，
因為，所以，
所以， 所以.
因為，所以. 又因為，所以.
（2）因為，所以.
因為，
所以，即， 所以，即的周長為.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）選條件①：,
因為中，所以，
由正弦定理可得，
即，， 又,所以.
選條件②：
由余弦定理可得即，
由正弦定理可得，
因為，所以，所以，即，
又,所以.
（2）由（1）知，的面積為，所以，解得，
由平面向量可知，
所以
，
當且僅當時取等號， 故邊中線的最小值為.
隨堂練習：答案： 見解析
解: 方案一：如果①②③，則④；
證明：由②得，得，即；
由①，得，且，得；
由③或，不仿取，聯立，得，；
余弦定理：，得，④成立；
方案二：如果①②④，則③；
證明：由②得，得，即；
由①，得，且，得；
由④，且，得；
從而，；
得或，得或，③成立；
方案三：如果①③④，則②；
證明：由①，得，
由③或，不仿取，得，即；
由④，且，，得，
從而；
同時，得，得或，
當時，得，由余弦定理得：，且，得，
即；即，②成立；
當時，得，由余弦定理得：，
且，得，
即不成立；即不成立，②不成立；
方案四：如果②③④，則①；
證明：由②得，得，即；
由④，且，得；
由③或，不妨取，代入， 即，得，；
從而得，，①成立；
典例3、答案： （1）； （2）.
解：（1）選①，因為，
所以，得，
即，
由正弦定理得：，
因為，所以()，所以．
選②，因為，所以，()
得，
即，
，
所以()，所以．
選③，因為，所以，
，
，
，，
，即，
因為，所以，所以．
（2）在△中，由余弦定理，則，那么；
由角平分線定理,則,
那么.
隨堂練習：答案： （1） （2）答案見解析.
解：（1）由題，因.
則，因A為三角形內角，所以A.
（2）若選擇①，設邊上的高為，
則，得.因題目條件不足，故無法唯一確定.
若選擇②，由正弦定理及（1），
有.因，
又題目條件不足，故無法判斷B為鈍角還是銳角，則無法唯一確定.
若選擇③，由正弦定理，及，
則.又由余弦定理及（1），
有， 得，.
此時唯一確定，.
綜上選擇③時，唯一確定，此時的面積為
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題九
知識點 三角恒等變換的化簡問題,三角形面積公式及其應用,余弦定理解三角形,
數量積的運算律
典例1、如圖，在凸四邊形中，，，的面積．
（1）求線段的長度； （2）若，求的值．
隨堂練習：已知分別為三個內角的對邊，且滿足：.
（1）求； （2）若，且，求的面積.
典例2、已知四邊形中，與交于點，．
（1）若，，求；
（2）若，，求的面積．
隨堂練習：在中，角所對的邊為，且.
（1）若，求面積；
（2）若，求
典例3、在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，滿足
（1）設，，過B作BD垂直AC于點D，點E為線段BD的中點，求的值；
（2）若為銳角三角形，，求面積的取值范圍．
隨堂練習：在中，角的對邊分別為，
已知：.
（1）求角的大小；
（2）若，點滿足，求的面積；
（3）若，且外接圓半徑為2，圓心為，為上的一動點，試求的取值范圍.
解三角形專題九答案
典例1、答案：（1） （2）14
解：（1）因為，則， 解得
∵ ,則∴．
在中，．則
（2）因為，所以，
∵∴
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解:（1）因為，所以，
因為，所以，
又，所以，所以，
因為，所以，所以， 所以即；
（2）因為，，
所以，
又在中，由余弦定理得，所以，
所以，所以.
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）在中，由正弦定理得，
即，解得，
因為為鈍角，所以，即；
（2）因為是中點，所以，
平方得，
由余弦定理得，
代入上式有，即，
解得， 所以，
即，
所以．
隨堂練習：答案： （1）；（2）.
解:（1）由已知，
由正弦定理，， 由余弦定理，，
， ，
， 面積.
（2）由已知，，
，
， ，
即，①
， ，②
①-②得，
. 由正弦定理，.
典例3、答案：（1）； （2）.
解：（1），由正弦定理得：
所以，
因為，所以， 所以，即，
因為，所以，
因為，，由余弦定理得：，
因為，所以，
其中， 所以，
因為點E為線段BD的中點，所以，
由題意得：， 所以.
（2）由（1）知：，又，
由正弦定理得：，
所以，
因為為銳角三角形，所以，解得：，
則，，， 故，
面積為
故面積的取值范圍是.
隨堂練習：答案： （1），（2），（3）
解: （1）因為，
所以由正弦定理和余弦定理得，
化簡得，
所以由余弦定理得，， 因為，所以，
（2）由余弦定理得，，
所以，即，
所以，因為，所以，
因為，
所以，
所以的面積為，
（3）由，利用余弦定理得，得，
所以三角形為等邊三角形， 所以，，,
所以,
所以,
所以
因為，所以，
所以的取值范圍為
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）解三角形專題十
知識點 三角恒等變換的化簡問題,正弦定理邊角互化的應用,余弦定理解三角形,
基本不等式求和的最小值
典例1、在 ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.
（1）求角B；
（2）若D為AC的中點，且，求 ABC面積的最大值.
隨堂練習：在銳角中，分別為角所對的邊，，且的面積．
（1）若，求； （2）求的最大值．
典例2、在中，已知角所對的邊分別為，，向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）當取得最大值時，求角的大小和的面積．
隨堂練習：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，．
（1）求角C；
（2）已知邊上的點P滿足，求線段的長度取最大值時的面積．
典例3、在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且；
（1）求的值；
（2）若，當取得最大值時，求的面積．
隨堂練習：在中，角，，所對的邊分別為，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）求取值范圍；
（3）如圖所示，當取得最大值時，在所在平面內取一點（與在兩側），使得線段，，求面積的最大值．
解三角形專題十答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）因為， 所以
即， 由余弦定理，得
∵，∴ ∵，∴；
（2）解法一：∵， ∴，
∴，即，
∵， ∴，
∴，當且僅當時取等號，
故ABC面積的最大值為；
解法二：在ABD中，由余弦定理，得，
即①
在CBD中，由余弦定理，得，
即
∵， ∴②
①+②得③
在ABC中，由余弦定理，得，即，
代入③中，整理得，
∵，∴
∴，當且僅當時取等號
故ABC面積的最大值為4
解法三：如圖，
過C作AB的平行線交BD的延長線于點E，
∵，D為AC的中點， ∴，，，，
在BCE中，由余弦定理，得，
即，整理得，
∵，∴，
∴，當且僅當時取等號
故ABC面積的最大值為4.
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1），解得：；
，，，
由余弦定理得：，解得：.
（2），即，
由正弦定理得：，
，
，
；
，，，
則當時，取得最小值，的最大值為.
典例2、答案： （1） （2）；
解：（1），
，，，
，.
，
，，
當，即時，取得最大值；
在中，由正弦定理得：；
，
隨堂練習：答案： （1） （2）
解：（1）由，得，
即
由正弦定理得：，
因為，，所以．
因為，所以．
在中，由正弦定理得：．
所以．
由及，可得，在中，
由余弦定理可得：
．
．
所以，當且僅當即時，取最大值.
所以，取最大值時，，，，
，
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）由，
因為，可得，
所以，
整理得，即， 所以．
（2）由，知，
又由
因為，所以，
當且僅當時取等號，此時，
因為，故，所以．
隨堂練習：答案： （1） （2） （3）
解：（1）因為，
所以在中，由余弦定理得，
又，所以；
（2）由（1）得，，得，
所以
由，所以，
所以的取值范圍是；
（3）當取得最大值時，，解得；
令，，， 則，∴；
又，
∴，
∴．
∴
，
當時等號成立； ∴面積的最大值為．
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