資源簡介

第三章 圓錐曲線的方程
3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第1課時(shí)
1.通過實(shí)例，掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等幾何性質(zhì)；
2.通過探究，掌握的幾何意義以及的相互關(guān)系；
3.通過對橢圓的幾何性質(zhì)的研究，初步學(xué)習(xí)利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的方法.
重點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)及其探究過程.
難點(diǎn)：利用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)的基本方法，離心率的幾何意義.
創(chuàng)設(shè)情境
情境：下圖是中國國家大劇院的照片,為什么國家大劇院最終會選擇了半橢球形設(shè)計(jì)呢 其根本原因是橢球形非常美觀,這源于橢圓的美!那么橢圓到底美在何處 它又具有哪些特性
師生活動：通過觀察橢圓的形狀，師生討論，明確本節(jié)課要研究的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、扁平程度.教師給出研究的基本思路是數(shù)形結(jié)合，先“形”后“數(shù)”，即先觀察橢圓的形狀特征并提出猜想，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行推理驗(yàn)證.
設(shè)計(jì)意圖：通過實(shí)例，明確本節(jié)課的研究問題和研究方法.
（二）探究新知
任務(wù)1：橢圓的簡單幾何性質(zhì).
探究1：觀察橢圓的形狀,你能從圖上看出它的范圍嗎
師生活動：教師給出探究問題，學(xué)生思考，教師評價(jià).
答：通過觀察橢圓的形狀,得出橢圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍是,,即橢圓位于直線和圍成的矩形框里.如下圖所示：
思考：你能利用方程給出橢圓范圍的證明嗎
答：由方程，可知 ，
所以,橢圓上點(diǎn)的橫坐標(biāo)都適合不等式，即.
同理有，即.
這說明橢圓位于直線 和圍成的矩形框里.
設(shè)計(jì)意圖：明確研究橢圓的范圍的實(shí)質(zhì)是利用橢圓的方程來確定橢圓上點(diǎn)的橫，縱坐標(biāo)的取值范圍，讓學(xué)生初步掌握怎樣用曲線方程來研究曲線的范圍.
探究2：觀察橢圓的形狀，它具有怎樣的對稱性
師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察橢圓的形狀，啟發(fā)學(xué)生思考.
答：它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.
思考：你能利用方程給出橢圓對稱性的證明嗎
答：在橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中，以代換，方程不變.這說明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于軸對稱.
同理，以代換，方程也不變，這說明如果點(diǎn)在橢圓上，那么它關(guān)于軸的對稱點(diǎn)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于軸對稱.以代 ，以代換，方程也不變，這說明當(dāng)點(diǎn)在橢圓上時(shí)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于原點(diǎn)對稱.
總結(jié)：橢圓關(guān)于軸、軸都是對稱的.坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心.
設(shè)計(jì)意圖：明確研究橢圓的對稱性的實(shí)質(zhì)是研究橢圓上點(diǎn)的對稱，讓學(xué)生知道怎樣通過曲線方程判斷曲線是否關(guān)于原點(diǎn)或坐標(biāo)軸對稱.
探究3：觀察下圖,你認(rèn)為橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊 為什么
師生活動：師生討論何為特殊點(diǎn)，即橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).
答：.
思考：如何得到這些點(diǎn)的坐標(biāo)
答：分別將與代入方程，得到橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)，
，.
總結(jié)：橢圓的頂點(diǎn)的定義：
橢圓與它的對稱軸的四個(gè)交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn).
頂點(diǎn)坐標(biāo)：，(a，0)，.
線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長.
設(shè)計(jì)意圖：明確橢圓的頂點(diǎn)的含義，讓學(xué)生知道怎樣通過曲線方程研究曲線的頂點(diǎn).
探究4：在同一坐標(biāo)系中作出和的圖象(如圖所示)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)橢圓的扁平程度不一，那么橢圓的扁平程度該如何刻畫呢
師生活動：學(xué)生交流討論，得出就結(jié)論后，教師請同學(xué)進(jìn)行回答.
思考：在a不變的情況下，隨著的變化橢圓的形狀如何變化？
答：不變，越小，橢圓越扁；越大，橢圓越圓.
思考：上述問題中，能不能用和刻畫橢圓的扁圓程度？為什么？
答：可以，因?yàn)椋浇咏瑒t越小，橢圓越扁；反之越大，橢圓越圓.
思考：當(dāng)?shù)闹底兓瘯r(shí),橢圓的形狀如何變化 為什么？
答：因?yàn)椋?dāng)越大，即越小時(shí)，橢圓越扁；當(dāng)越小，即越大時(shí)，橢圓越圓；當(dāng)不變，即不變時(shí)，橢圓的扁圓程度不變.
總結(jié)：(1)橢圓的扁平程度與，或與，有關(guān)；
(2)離心率的定義：橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，用表示，即.
因?yàn)椋裕瑥亩浇咏?，橢圓越扁平；相反，越接近0，橢圓越接近于圓.
(3)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，它的方程為.
設(shè)計(jì)意圖：通過對橢圓離心率的研究，學(xué)生學(xué)習(xí)如何用參數(shù) 刻畫橢圓的形狀，同時(shí)體會用曲線方程中的參數(shù)刻畫曲線的形狀的方法.
師生活動：學(xué)生自行閱讀教材相關(guān)內(nèi)容，歸納概括得出橢圓的相關(guān)幾何性質(zhì).教師結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和下圖進(jìn)行講解總結(jié).
設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用方程與函數(shù)思想獲得橢圓的幾何性質(zhì)，幫助學(xué)生進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.
任務(wù)2：橢圓的特征三角形
探究： 請觀察如下圖形，如果我們把短軸的一個(gè)端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連接起來，則短軸的端點(diǎn)、橢圓的中心、焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形.顯然，這個(gè)直角三角形的兩直角邊的長分別是和.那么，它的斜邊是多長呢
師生活動：學(xué)生作圖，確定三條線段的位置，分析關(guān)系，教師講解.
答：由橢圓的對稱性可知,橢圓短軸的端點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離相等,且等于長半軸長,即,所以斜邊長是.
在中,,即,這就是在上節(jié)中的幾何意義.
我們把叫做橢圓的特征三角形.
設(shè)計(jì)意圖：通過分析橢圓的特征三角形，鞏固橢圓中的關(guān)系.
（三）應(yīng)用舉例
例1：求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).
師生活動：教師出示例1，學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師點(diǎn)評，并給出完整解答過程.
解：把原方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得.
于是.
因此，橢圓的長軸和短軸的長分別為和，離心率，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是和，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，，.
總結(jié)：確定橢圓幾何性質(zhì)的四個(gè)步驟：
(1)化標(biāo)準(zhǔn):把橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式.
(2)定位置:根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程中分母的大小確定焦點(diǎn)的位置.
(3)求參數(shù):根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出,的值,并求出的值.
(4)寫性質(zhì):按要求寫出橢圓的簡單幾何性質(zhì).
設(shè)計(jì)意圖：通過例1的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生明確橢圓的簡單幾何性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
例2：如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分.過對稱軸的截口是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn)上.由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn).已知，，.試建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求截口所在橢圓的方程（精確到）.
師生活動：學(xué)生自主探究、交流，教師補(bǔ)充講解.
解：建立如上圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為.
在中，.
由橢圓的性質(zhì)知，，所以
；
.
所以，所求的橢圓方程為.
總結(jié)：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：
若給定焦點(diǎn)坐標(biāo)及橢圓上一點(diǎn)坐標(biāo)求橢圓方程，可使用橢圓的定義先求出，再根據(jù)求出，然后寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
利用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：
確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上；
依據(jù)已知條件及確定的值；
寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（3）求橢圓方程時(shí)，若沒有指明焦點(diǎn)的位置，一般可設(shè)所求橢圓方程為，再根據(jù)條件確定的值，然后化成橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.
設(shè)計(jì)意圖：通過例2的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握實(shí)際問題中橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
（四）課堂練習(xí)
1.如圖，某顆人工智能衛(wèi)星的運(yùn)行軌道近似可看作以地心為一個(gè)焦點(diǎn)且離心率為的橢圓，地球可看作半徑為的球體，近地點(diǎn)離地面的距離為，則遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為( )
A. B. C. D.
解：由題意，不妨以橢圓中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則橢圓方程為，
則，且，解得，，
故該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為，
又，所以．
故選：．
2.已知為橢圓：上一動點(diǎn)，、分別為其左右焦點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為，的周長為若的最大值為，則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
解：由題意，得的周長為，則，
的最大值為，則，
故該橢圓的離心率為．
故選：．
3.已知是過橢圓左焦點(diǎn)的弦，且，其中是橢圓的右焦點(diǎn)，則弦的長是 ．
解：橢圓的方程為，
，，可得，
根據(jù)橢圓的定義，得，
得，
是過橢圓左焦點(diǎn)的弦，得，
．
故答案為：．
4.求符合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
與橢圓有相同離心率且經(jīng)過點(diǎn)
離心率為，短軸長為．
解：若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)代入得，故所求方程為若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，將點(diǎn)代入得，故所求方程為綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
因?yàn)闄E圓的離心率為，短軸長為，所以解得若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則方程為若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則方程為綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)可所學(xué)的內(nèi)容，提高學(xué)生解決問題的能力.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的知識，構(gòu)建自己的知識體系.第三章 圓錐曲線的方程
3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)
第2課時(shí)
1.會利用橢圓的簡單幾何性質(zhì)求橢圓的離心率；
2.通過數(shù)形結(jié)合，掌握判斷點(diǎn)與橢圓、直線與橢圓的位置關(guān)系的方法；
3.理解橢圓弦長公式的推導(dǎo)過程，會利用弦長公式求橢圓的弦長；
4.掌握利用點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦的斜率.
重點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷、弦長公式.
難點(diǎn)：靈活運(yùn)用曲線方程研究曲線的幾何性質(zhì)相關(guān)問題.
復(fù)習(xí)導(dǎo)入
師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行回顧與思考.
回顧：根據(jù)所學(xué)的橢圓的簡單幾何性質(zhì)的有關(guān)知識，填寫下表：
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
焦點(diǎn)坐標(biāo)
對稱性
頂點(diǎn) 坐標(biāo)
范圍
長軸、短軸
總結(jié)：1.橢圓的幾何性質(zhì)與橢圓的形狀、大小和位置的關(guān)系：
（1）橢圓的焦點(diǎn)決定橢圓的位置；
（2）橢圓的范圍決定橢圓的大小；
（3）對稱性是橢圓的重要性質(zhì)，橢圓的頂點(diǎn)是橢圓與其對稱軸的交點(diǎn)，是橢圓的重要特殊點(diǎn)，在畫圖的時(shí)候先確定這些點(diǎn).
2.的幾何意義
長度分別為的三條線段構(gòu)成一個(gè)直角三角形，且長度為的線段是斜邊，這就說明，以橢圓的任意一個(gè)短軸端點(diǎn)、任意一個(gè)焦點(diǎn)以及原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)直角三角形，且短軸端點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線長為.
設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容，鞏固橢圓有關(guān)的基礎(chǔ)知識，為本節(jié)課進(jìn)一步深入研究橢圓的幾何性質(zhì)相關(guān)的問題作鋪墊.
（二）探究新知
任務(wù)1：橢圓離心率的求法
探究1：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線過與橢圓交于，兩點(diǎn)，若為正三角形，求該橢圓的離心率.
師生活動：教師給出探究問題，學(xué)生分析，自主作答，教師評價(jià).
分析：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓離心率的求解等知識．
設(shè)橢圓方程，根據(jù)橢圓的對稱性可得垂直于軸，結(jié)合橢圓的定義，轉(zhuǎn)化求解離心率即可．
解：不妨設(shè)橢圓的方程為，則
，，
因?yàn)闉檎切危矗裕礊榫€段的中點(diǎn)，
根據(jù)橢圓的對稱性知垂直于軸，
設(shè)，則，，
所以，即，所以．
總結(jié)：求橢圓離心率的值或取值范圍的方法(1)：
直接法：若已知的值，則可直接利用求解；若已知或，則可借助
求出或，再代入公式求解.
設(shè)計(jì)意圖：通過探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的離心率的方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng).
探究2：已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)到直線的距離為．求該橢圓的離心率.
師生活動：學(xué)生作答，教師評價(jià).
分析：本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓的幾何性質(zhì)及離心率的求法，對計(jì)算能力有一定要求.由點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，再結(jié)合，化簡計(jì)算得到關(guān)于的二次方程，解方程即可求出離心率，注意.
解：依題意得，直線的方程為，即，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
，
,得
，
或舍去，
故橢圓的離心率為．
總結(jié)：求橢圓離心率的值或取值范圍的方法：
方程法：若的值不可求，則可根據(jù)條件建立的關(guān)系式，借助，將它轉(zhuǎn)化為的齊次方程或不等式，再將方程或不等式進(jìn)行化簡，得到關(guān)于的方程或不等式，即可求得的值或取值范圍.
設(shè)計(jì)意圖：通過探究2的學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生鞏固根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓離心率的方法.
任務(wù)2：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系的判斷
思考：類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，猜想：點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系如何判斷
師生活動：學(xué)生舉例說明，師生共同得出結(jié)論.
答：有兩種方法：
(1)根據(jù)橢圓的定義判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：
點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；
點(diǎn)在橢圓上；
點(diǎn)在橢圓外部.
(2)根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程（以為例）判斷點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系：
點(diǎn)在橢圓內(nèi)；
點(diǎn)在橢圓上；
點(diǎn)在橢圓外；
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從數(shù)與形的角度認(rèn)識點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系.
任務(wù)3：直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷
思考：類比直線與圓的位置關(guān)系，猜想：直線與橢圓的位置關(guān)系有幾種 如何判斷呢
師生活動：學(xué)生舉例說明，師生共同得出結(jié)論.
答：直線與橢圓的位置關(guān)系有三種：相交、相離、相切.如圖所示.
思考：直線與橢圓的位置關(guān)系與直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是否是等價(jià)對應(yīng)的 為什么？
答：等價(jià)對應(yīng).
因?yàn)槿粢阎本€的方程和橢圓的方程，可通過聯(lián)立方程，消去未知數(shù)，得到關(guān)于的一元二次方程，由一元二次方程的解的情況，即計(jì)算的值來判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.
當(dāng)，即一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與橢圓相交；
當(dāng)，即一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與橢圓相切；
當(dāng)，即一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，直線與橢圓相離.
例如：已知直線和橢圓.為何值時(shí)，直線與橢圓
有兩個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)
解：由方程組
消去得
方程的根的判別式
由，得，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．
由，得，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
由，得，或此時(shí)方程沒有實(shí)數(shù)根，直線與橢圓沒有公共點(diǎn)．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從數(shù)與形的角度認(rèn)識直線與橢圓的位置關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
任務(wù)4：求橢圓的弦長.
思考：當(dāng)直線與橢圓相交時(shí)，設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，如何求出弦長.
師生活動：教師設(shè)定數(shù)學(xué)模型，引導(dǎo)學(xué)生思考，教師評價(jià).
探究1：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，怎樣求弦長？
師生活動：學(xué)生作圖，自主探究.
答：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線平行于軸，.
探究2：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，怎樣求弦長？
答：求弦長，本質(zhì)上是求兩點(diǎn)之間的距離.
方法一：聯(lián)立直線與橢圓兩個(gè)方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后使用兩點(diǎn)間距離公式求解.但一般計(jì)算比較繁瑣.
方法二：推導(dǎo)弦長公式，利用根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求，整體代入.
斜率存在時(shí)，設(shè)直線：，則
同理可得，.
例如：已知是經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)的弦，若直線的傾斜角為，求的長.
分析：用弦長公式求弦長，先寫出直線的方程，再與橢圓聯(lián)立方程組，整理成關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系表示出兩根和與積，代入弦長公式求出弦長．
解：由橢圓的左焦點(diǎn)，所以直線方程為：，
與橢圓聯(lián)立方程組得：，
整理得，
設(shè)，所以，，
所以
．
設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生熟悉直線與橢圓相交時(shí)弦長的求法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).
（三）應(yīng)用舉例
例1：過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分.
求此弦所在的直線方程；
求此弦長．
師生活動：教師出示例1，引導(dǎo)學(xué)生求解，學(xué)生作答，教師評價(jià).
（1）分析：聯(lián)立方程，消元后利用根于系數(shù)關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；或點(diǎn)差法.
解：方法一（根與系數(shù)關(guān)系法）
設(shè)所求直線方程為，將直線的方程代入橢圓方程并整理，得
.----------①
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，，則，是方程①的兩個(gè)根，
于是，.
又是的中點(diǎn)，所以.
解得.
故所求直線的方程為，即.
方法二（點(diǎn)差法）
設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為，.
因?yàn)闉橄业闹悬c(diǎn)，所以，.
又兩點(diǎn)都在橢圓上，所以，，
兩式相減得.
于是，.
所以，即.
又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，故所求直線的方程為，即.
總結(jié)：解決橢圓中有關(guān)中點(diǎn)弦問題的兩種方法：
（1）根與系數(shù)關(guān)系法：
聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；
（2）點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系求解.
（2）分析：聯(lián)立解方程組，求出直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)求解；或利用弦長公式.
解：方法一：（利用兩點(diǎn)間距離公式）
聯(lián)立，
消去，得，
即，；，．
所以．
方法二：（利用弦長公式）
設(shè)弦的兩端點(diǎn)分別為，.
由，得，
所以，，，
所以．
設(shè)計(jì)意圖：通過例1的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會求橢圓弦長的方法，同時(shí)了解利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
例2：動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是常數(shù)，求動點(diǎn)的軌跡.
師生活動：學(xué)生自主探究、交流，教師補(bǔ)充講解.
解：如圖，設(shè)是點(diǎn)到直線：的距離，動點(diǎn)的軌跡就是集合.
由此得.
將上式兩邊平分，并化簡，得，
即．
所以，點(diǎn)的軌跡是長軸、短軸長分別為的橢圓
設(shè)計(jì)意圖：通過例2的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生掌握和橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
（四）課堂練習(xí)
1.已知為橢圓：上一動點(diǎn)，、分別為其左右焦點(diǎn)，直線與的另一交點(diǎn)為，的周長為若的最大值為，則該橢圓的離心率為( )
A. B. C. D.
解：由題意，得的周長為，則，
的最大值為，則，
故該橢圓的離心率為．
故選：．
2.已知，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的面積為( )
A. B. C. D.
解：橢圓，
，，
則，
，
，
，
且，
，
，
．
故選：．
3.橢圓被直線所截得的弦長 ．
解：聯(lián)立，消去并整理得，，
解得或，
所以弦長，
故答案為．
4.已知橢圓的長軸長為，焦距為．
求的方程；
若直線與交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的方程．
解：設(shè)的焦距為，長軸長為，
則，
所以，所以，
所以的方程為．
設(shè)，
代入橢圓方程得
兩式相減可得，
即．
由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
得，
則的斜率，
所以的方程為，
即．
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂練習(xí)，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)可所學(xué)的內(nèi)容，提高學(xué)生解決問題的能力.
（五）歸納總結(jié)
回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？
設(shè)計(jì)意圖：通過課堂小結(jié)，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的知識，構(gòu)建自己的知識體系.

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