資源簡介

高考導數復習專題一
知識點一 已知切線（斜率）求參數,由導數求函數的最值（不含參）,函數單調性、極值與最值的綜合應用,利用導數研究方程的根
典例1、已知函數，．已知曲線在點處的切線與直線平行．
（1）求的值；
（2）證明：方程在內有且只有一個實根．
隨堂練習：已知函數的圖象在處的切線與直線平行.
（1）求的值；
（2）若關于的方程在區間上有兩個不相等的實數根，求的取值范圍.
典例2、已知函數．（）在處的切線l方程為．
（1）求a，b，并證明函數的圖象總在切線l的上方（除切點外）；
（2）若方程有兩個實數根，．且．證明：．
隨堂練習：已知函數的圖象的一條切線為軸.
（1）求實數的值；
（2）令，若存在不相等的兩個實數滿足，求證：.
典例3、設函數，曲線在原點處的切線為x軸，
（1）求a的值；
（2）求方程的解；
（3）證明：.
隨堂練習：已知函數，直線與曲線相切．
（1）求實數的值；
（2）若曲線與直線有兩個公共點，其橫坐標分別為．
①求實數的取值范圍；
②證明：．
知識點二 利用導數研究函數的零點,函數極值點的辨析
典例4、已知函數．
（1）求證：有且僅有兩個極值點的；
（2）若，函數有三個零點，求實數c的取值范圍．
隨堂練習：已知函數，.
（1）是否存在使得0為函數的極值點？若存在，求的值；若不存在，說明理由；
（2）若函數有且只有兩個零點，求的值.
典例5、已知函數，求證：
（1）在區間存在唯一極大值點；
（2）在上有且僅有2個零點.
隨堂練習：設函數，，（為參數）．
（1）當時，求的單調區間，并證明有且只有兩個零點；
（2）當時，證明：在區間上有兩個極值點．
典例6、已知a為實數，函數
（1）當時，求曲線在點（1，f（1））處的切線的方程：
（2）當時，求函數f（x）的極小值點；
（3）當時，試判斷函數f（x）的零點個數，并說明理由.
隨堂練習：已知函數，為的導數．
（1）判斷并證明在區間上存在的極大值點個數；
（2）判斷的零點個數．
高考導數復習專題一答案
典例1、 答案：（1）；（2）證明見解析.
解：（1）， 由題意知，曲線在點處的切線斜率為2，
則， 所以，解得.
（2）令，，
則，， 所以，
所以函數在內一定有零點，
，
∴在上單調遞增，所以函數在內有且只有一個零點，
即方程在內有且只有一個實根.
隨堂練習：答案： （1）1；（2）.
解：（1）∵， ， 則，解得.
（2）由（1）有. ∴原方程可整理為.
令， 得， ∴當時，，
當時，，又， 即在上是增函數，在上是減函數.
∴當時，有最大值.
∵，.
∴.
由，得，，
故的取值范圍是.
典例2、 答案：（1）1、；證明見解析 （2）證明見解析
解：（1）將代入切線方程，有，
所以，所以，
又，所以，
若，則，與矛盾，故，．
∴，，，
設在處的切線方程為， 令，
即，所以，
當時，，
當時，設，，
故函數在上單調遞增，又，
所以當時，，當時，，
綜合得函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增， 故，
即函數的圖象總在切線的上方（除切點外）．
（2）由（1）知， 設的根為，則，
又函數單調遞減，故，故，
設在處的切線方程為，
因為，，所以，所以．
令，，
當時，，
當時，設，則，
故函數在上單調遞增，又，
所以當時，，當時，，
綜合得函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以，即．
設的根為，則， 又函數單調遞增，故， 故，又，
所以．
隨堂練習：答案：（1），（2）見解析
解:（1）由，得，，
設切點坐標為，由題意得， 解得.
（2），令，
則，當時，，，
又可以寫成，當時，，，
因此在上大于0，在上單調遞增，又，
因此在上小于0，在上大于0，
且在上單調遞減，在上單調遞增， ，
當時，， 記，
記函數的導函數為，則
，
故在上單調遞增， 所以，所以，
不妨設，則，
而，，有單調性知，即.
典例3、答案：（1） （2） （3）證明見解析
解：（1）因為， 所以，
因為曲線在原點處的切線為軸，所以，即.
（2）方程可化為，
令， 則，
所以在上單調遞增， 又，所以在上有唯一零點，
所以方程有唯一解.
（3）要證， 即證，
即證， 先證，
由（2）易得，
所以；
再證， 令，
則， 所以在單調遞減，
所以當時，， 即，
所以，
因為， 所以，即；
所以.
隨堂練習：答案：（1） （2）①；②證明見解析
解：（1）設切點，，
得，，所以，代入直線方程得；
（2）①由（1）知，若曲線與直線有兩個公共點，
則等價于有2個實數根，，
設，則，
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
，當趨向于正無窮大時，趨向于0，
當趨向于負無窮大時，趨向于負無窮大， 則；
②，即，等價于，
令，， ，
因為，所以，故，所以在上單調遞增，故,
不妨設，故，即，由已知，所以，
由①知，當時，單調遞增，故，所以， 所以.
典例4、答案：（1）證明見解析； （2）當時，；當時，．
解：（1）依題意，，令，即，
因為恒成立，則有兩個根，不妨令，
即，當或時，，當時，，
在，上單調遞增，在上單調遞減，
分別是的極大值點和極小值點， 所以有且僅有兩個極值點的．
（2）由（1）知是關于x的方程的兩根，即有，，
因，則，解得或，
當時，，，則，，
由（1）知在，上單調遞增，在上單調遞減，
則函數的極大值為，極小值為，要使函數有三個零點，
當且僅當， 即，解得；
當時，，，則，，
函數在，上單調遞增，在上單調遞減，
則函數的極大值為，極小值為，要使函數有三個零點，
當且僅當， 即，解得，
所以，當時，；當時，．
隨堂練習：答案：（1）不存在，詳見解析；（2）1.
解:（1）由函數， . 得， .
若0為函數的極值點， 則，
解得，此時，函數單調遞增，無極值點，
所以不存在使得0為函數的極值點；
（2）令，得 ，
當或時，， 當時，，
所以當函數取得極大值，當時，函數 取得極小值，
若函數有且只有兩個零點，
則或，
即或 ，
解得或（舍去）
典例5、 答案：（1）證明見解析（2）證明見解析
解：（1）因為，所以，
設，則，則當時，，
所以即在單調遞減，
又，，且圖像是不間斷的，
由零點存在性定理可得在有唯一零點，設為.
則當時，；當時，.
所以在單調遞增，在單調遞減，
故在存在唯一極大值點.
（2）因為，所以，
設，則，則當時，，
所以即在單調遞減，
由（1）知，在單調遞增，在單調遞減.
又，，所以，
又的圖像是不間斷的，所以存在，使得；
又當時，，所以在遞減，
因，又，又的圖像是不間斷的，
所以存在，使得；
當時，，，所以，從而在沒有零點.
綜上，有且僅有2個零點.
隨堂練習：答案：（1）在和單調遞增，在單調遞減；證明見解析；
（2）證明見解析．
解:（1）當時，，，.
當時，；當時，，
所以在和單調遞增，在單調遞減．
且，，，.
根據零點存在定理得，在有唯一零點，在有唯一零點，
因此，在上有且只有兩個零點．
（2）當時，，，
令，則，
當時，，當時，，故在單調遞減，在單調遞增．
又因為，，，
根據零點存在定理得，在和各有一個零點分別為，
所以在單調遞增，在單調遞減，在單調遞增，
故在上有一個極大值點和一個極小值點．
典例6、答案：（1） （2）極小值點 （3）函數f（x）的零點個數為2，理由見解析
解：（1）當時，，
設曲線在點（1，f（1））處的切線的方程為，
因為，所以，又，
所以切線方程為，即.
（2）當時，，故， 令，故，
f（x）與f'（x）在區間（0，+∞）上的情況如下：
0
極小值
所以f（x）在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.
所以函數f（x）有且僅有一個極小值點.
（3）函數f（x）的零點個數為2，理由如下：
①當時，.
由于， 所以，
故函數f（x）在區間（0，a]上單調遞減， ，
所以函數f（x）在區間（0，a]上有且僅有一個零點：
②當時，， 故，
令，得， ，，故，
因此恒有，所以函數f（x）在區間（a，+∞）上單調遞增.
又，
所以函數f（x）在區間（a，+∞）上有且僅有一個零點.
綜上，函數f（x）的零點個數為2.
隨堂練習：答案：（1）在區間上存在的極大值點個數為1，理由見解析；
（2）2個零點，理由見解析.
解：（1）在區間上存在的極大值點個數為1，理由如下：
，， ，令，，
則，令，，
，當時，，所以，
即在上單調遞減，
又， ，
故存在，使得，
且當時，，當時，，
所以在處取得極大值，
故在區間上存在的極大值點個數為1；
（2）的定義域為，
①當時，由（1）知，在上單調遞增，而，所以當時，，
故在上單調遞減，又， 所以是在上的唯一零點；
②當時，由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，
而，， 所以存在，使得，
且當時，，當時，，
所以在單調遞增，在單調遞減，
又，所以當時，，
所以在上沒有零點；
③當時，，所以在上單調遞減，
而， 所以在上有唯一零點；
④當時，，所以，從而在上無零點；
綜上：有且僅有兩個零點.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題二
知識點一 由導數求函數的最值（不含參）,函數單調性、極值與最值的綜合應用
利用導數研究函數的零點
典例1、已知函數．
（1）若，求函數在區間上的最大值；
（2）若函數有三個零點，求實數的取值范圍．
隨堂練習：已知函數．
（1）若，求函數在區間的最值；
（2）若恰有三個零點，求a的取值范圍．
典例2、已知函數在處取得極值.
（1）求在上的最小值；
（2）若函數有且只有一個零點，求b的取值范圍.
隨堂練習：已知.
（1）若在有唯一零點，求值； （2）求在的最小值.
典例3、已知函數，且，其中是自然對數的底數
（1）當時，求函數的單調區間和最值；
（2）若函數沒有零點，求實數m的取值范圍．
隨堂練習：已知函數.
（1）當，求的最值； （2）若有兩個不同的極值點，求的取值范圍.
知識點二 求過一點的切線方程,用導數判斷或證明已知函數的單調性,利用導數研究方程的根,
利用導數研究雙變量問題
典例4、已知函數．
（1）當時，求函數的單調區間；
（2）若函數有兩個不同零點，，①求實數a的取值范圍； ②求證：．
隨堂練習：已知函數，（其中是自然對數的底數）
（1）試討論函數的零點個數；
（2）當時，設函數的兩個極值點為、且，求證：.
典例5、已知函數．
（1）當時，求曲線與曲線的公切線的方程；
（2）設函數的兩個極值點為，
求證：關于的方程有唯一解．
隨堂練習：已知，函數.
（1）當時，求的單調區間和極值；
（2）若有兩個不同的極值點，.
（i）求實數的取值范圍；
（ii）證明：（……為自然對數的底數）.
典例6、已知函數.
（1）若函數存在兩個零點，求實數的范圍;
（2）當函數有兩個零點，且存在極值點，
證明:①; ②.
隨堂練習：函數，．
（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；
（2）若直線是函數圖象的切線，求的最小值；
（3）當時，若與的圖象有兩個交點，，試比較與的大小．（取為2.8，取為0.7，取為1.4）
高考導數復習專題二答案
典例1、答案： （1）；（2）
解：（1）當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得極大值為，
當時，所以函數在區間上的最大值為；
（2）由，所以，
當時所以函數在定義域上單調遞增，則只有一個零點，故舍去；
所以，令得或，
函數有三個零點，等價于的圖象與軸有三個交點，函數的極值點為，，
當時，令得或，所以函數在和上單調遞增，
令得，所以函數在上單調遞減，所以函數在處取得極大值，
在處取得極小值，解得；
當時，令得或，所以函數在和上單調遞增，
令得，所以函數在上單調遞減，所以函數在處取得極小值，
所以的圖象與軸不可能有三個交點； 綜上可得，即
隨堂練習：答案： （1）最大值為37，最小值為；（2）.
解：（1）若，則，，
令，得或，列表如下：
x 1 3
+ 0 - 1 +
單增 5 單減 單增 37
在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以的極大值為，
的極小值為，，. 故最大值為37，最小值為．
（2）， 當時，恒成立，在R上單調遞減，
此時至多一個零點，不符合題意；
當時，令，則， 所以當或時，；當時，；
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
所以極大值為，的極小值為．
因為恰有三個零點，所以，解得，
所以；綜上所述，a的取值范圍為．
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）因為，所以，
在處取得極值，，即解得，
，所以，
所以當或時，當時，
在上單調遞增，在上單調遞減，
又，在上的最小值為.
（2）由（1）知，， 若函數有且只有一個零點，
則方程有唯一解，即有唯一解，
由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，
又，函數圖象如下所示：
或，得或， 即b的取值范圍為.
隨堂練習：答案：（1）（2）
解:（1）由得， 令，，由得；
所以當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增； 故
因為在有唯一零點，所以只需與直線有一個交點， .
（2），.
當時，恒成立，所以在上單調遞增，因此最小值為；
當時，由得；由得；
所以在上單調遞減，在上單調遞增；因此；
當時，在上恒成立，所以在上單調遞減；
因此，最小值為； 綜上，.
典例3、答案：（1）單調減區間是，單調增區間是，最小值是，無最大值
（2）
解：（1）當時， ，，令，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增
∴單調減區間是，單調增區間是
∴最小值是，無最大值．
（2）由題可知，，其中，
當時，恒成立，在區間上單調遞增．
令，即，，如圖
因為當時，，，
可知，，必有一個零點，不符合題意． 當時，令，則，
時，，單調遞減，當時，，單調遞增
當時，即，有一個零點，不符合題意
當時，即，沒有零點，符合題意
當時，即，因為，
∴，，有一個零點，不符合題意．綜上所述，當時，函數沒有零點．
隨堂練習：答案：（1）最小值為，無最大值；（2）.
解:（1）當時，，，，
則在單調遞減，在單調遞增， 則，無最大值.
（2）.有兩個極值點有兩個不等實根有兩個不等的實根.
記，則. 所以，.
則在上單調遞增，上單調遞減，，
，且當時，，如圖所示：
∴即. 綜上，的取值范圍是．
典例4、答案：（1） 1、單調遞增區間是，單調遞減區間是（2）①；②證明見解析
解：（1）對函數求導，得．
當時，，
因為函數的定義域， 由，得， 由，得，
所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．
（2）由，得，
①函數有兩個不同零點，等價于方程有兩個不同的實根．
設，即方程有兩個不同的實根． 設，
，再設，所以函數在上單調遞增，
注意到， 所以當時，，當時，．
所以在（0，1）上單調遞減，在上單調遞增．
當時，， 當時，， 當時，，只需，即所求．
②注意到，，要證，只需證．
由①知，，故有，即． 下面證明：．
設，有，
所以函數在上單調遞增， 所以，
所以，故有．
又，，且在上單調遞減，所以，即得．因此
隨堂練習：答案：（1）答案見解析 （2）證明見解析
解：（1）由可得，令，其中，
則函數的零點個數等于直線與函數圖象的公共點個數，
，令可得，列表如下：
減 極小值 增
如下圖所示：
當時，函數無零點； 當時，函數只有一個零點；
當時，函數有兩個零點.
（2）證明：，其中，
所以，，由已知可得，
上述兩個等式作差得， 要證，即證，
因為，設函數的圖象交軸的正半軸于點，則，
因為函數在上單調遞增，，，，
設函數的圖象在處的切線交直線于點，
函數的圖象在處的切線交直線于點，
因為，所以，函數的圖象在處的切線方程為，
聯立可得，即點，
構造函數，其中，則，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，所以，，
所以，對任意的，，當且僅當時等號成立，
由圖可知，則，所以，，
因為，可得， 函數在處的切線方程為，
聯立，解得，即點，
因為， 所以，，
構造函數，其中，則，，
當時，，此時函數單調遞減，
當時， ，此時函數單調遞增，則，
所以，對任意的，，當且僅當時，等號成立，
所以，，可得，
因此，，故原不等式成立.
典例5、 答案：（1）（2）見解析
解:（1）曲線在切點處的切線方程為：，即，
曲線在切點處的切線方程為，即，
由曲線與曲線存在公切線，得，得，即．
令，則， ，解得，∴在上單調遞增，
，解得，∴在上單調遞減， 又，∴，則，
故公切線方程為．
（2）要證明關于的方程有唯一解， 只要證明，
先證明：． ∵有兩個極值點，
∴有兩個不同的零點， 令，則，
當時，恒成立，∴單調遞增，不可能有兩個零點；
當時，，則，∴在上單調遞增，
，則，∴在上單調遞減，又時，，時，，
∴，得，∴．
易知，
由，得，，
∴．
下面再證明：． ，
令，則只需證，令，則，
∴，得． ∴有唯一解．
隨堂練習：答案：（1） 1、遞減區間為，遞增區間為，極小值為，無極大值
（2）（i）；（ii）證明見解析
解：（1）當時，()，則，
故當時，，當時，，
故的遞減區間為，遞增區間為， 極小值為，無極大值；
（2）(i)因為()，
令()，問題可轉化函數有個不同的零點，
又，令，
故函數在上遞減，在上遞增，
故，故，即，
當時，在時，函數，不符題意，
當時，則，，，
即當時，存在，，
使得在上遞增，在上遞減，在上遞增，
故有兩個不同的極值點的a的取值范圍為；
（ii）因為，，且， 令，則，，
又，
令，即只要證明，即，
令，
則，
故在上遞增，且，所以，即，
從而，
又因為二次函數的判別式，
即，即，
所以在上恒成立，故.
典例6、 答案：（1）；（2）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
解：（1） 因為，令
則 所以在遞減，遞增
又有兩個零點，所以
令，則在上單調遞增 又，所以時 故
（2）（i） 而
（ii）由上知 而有：
即 又
即
又即
隨堂練習：答案： （1）；（2）；（3）.
解：（1）：， 則，
在上單調遞增， 對，都有，
即對，都有， ，， 故實數的取值范圍是；
（2）， 設切點，則切線方程為，
即， 即，
令，由題意得，，
令，則，
當時，，在上單調遞減； 當時，，在上單調遞增，
，故的最小值為；
（3）由題意知，， 兩式相加得，
兩式相減得，即 ，
即， 不妨令，記，
令，則，在上單調遞增，則，
，則， ，
， ，即，
令，則時，， 在上單調遞增，
又， ，
則，即．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題三
知識點一 求過一點的切線方程,用導數判斷或證明已知函數的單調性,利用導數研究方程的根,
利用導數研究雙變量問題
典例1、已知函數，實數，為方程的兩個不等的根.
（1）求實數的取值范圍；（2）證明：.
隨堂練習：已知函數.
（1）求函數的單調區間；
（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：.
典例2、已知，函數，其中為自然對數的底數.
（1）判斷函數的單調性；
（2）若是函數的兩個極值點，證明：.
隨堂練習：已知函數．
（1）若，證明：當時，；當時，．
（2）若存在兩個極值點，證明：．
典例3、已知函數(aR)．
（1）討論函數的單調性；
（2）若，為函數的兩個極值點，證明：．
隨堂練習：1、設函數．
（1）求函數的最小值；
（2）設存在兩個不同零點，，記，，求證：．
隨堂練習：2、已知函數，，其中.
（1）若函數的圖象與直線在第一象限有交點，求的取值范圍.
（2）當時，若有兩個零點，，求證：.
知識點二 由導數求函數的最值（不含參）,函數單調性、極值與最值的綜合應用
利用導數研究函數的零點
典例4、已知函數．
（1）求函數的最大值；
（2）若函數有兩個零點，求實數m的取值范圍；
（3）若不等式僅有一個整數解，求實數a的取值范圍．
隨堂練習：已知函數.
（1）當時，求在區間上的最小值；
（2）若有兩個零點，求的取值范圍.
典例5、已知函數．
（1）當時，求的最小值； （2）若函數有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．
隨堂練習：已知函數，．
（1）當時，求函數的最小值；
（2）當時，求證有兩個零點，，并且．
典例6、已知函數．
（1）當時，求的最小值；
（2）若函數有兩個不同的零點，求的取值范圍．
隨堂練習：已知函數.
（1）求的最小值；
（2）記為的導函數，設函數有且只有一個零點，求的取值范圍.
高考導數復習專題三答案
典例1、答案 （1） （2）證明見解析
解：（1）函數的定義域為， ，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
則， 所以
（2）在處的切線的斜率為，其切線方程為，
首先證明： ，
,
在上單調遞增，在上單調遞減,
的最大值，所以成立,
在處的切線的斜率為，其切線方程為，
再證明：,
，
在上單調遞增，在上單調遞減,
的最大值，所以成立,
不妨設，實數，為方程的兩個不等的實根,
設直線與在處的切線的交點的橫坐標為，
則可得, 由可得，
設直線與在處的切線的交點的橫坐標為，
則可得,
由可得， 所以.
（注：不等式，可以直接使用）
隨堂練習：答案：（1）答案見解析 （2）證明見解析
解：（1）由題意可知，，
當時，，則在是單調遞增；當時，若，即時，若，即時，和時，時，，
綜上，時，在是單調遞增；
時，在和遞增， 在遞減
（2）由題意可設，是的兩個根， 則
（用分別表示出和），
整理，得，此時
設，求導得 恒成立，
在上單調遞減，
典例2、答案：（1）答案見解析 （2）證明見解析
解： （1）， 令，，
當時，， 所以有2個根：，
所以當或時，，
當時，，
所以當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，，所以恒成立，所以在上單調遞增.
所以時，在上單調遞增.
綜上得：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；
當時，在上單調遞增.
（2）因為是函數的兩個極值點，所以是方程的兩根，
設，則，，
要證明，即證， 即證，
即證， 令，則，
即證， 即證，
令， ，
所以在上單調遞增， 所以，故結論成立.
隨堂練習：（1）證明見解析；（2）證明見解析.
解：（1）當時，，定義域為，
在定義域上恒成立，
所以在上單調遞減，當時，；當時，原命題得證．
（2），若存在兩個極值點，則，解得．
由韋達定理可知，
原命題即證：．
不妨設，原命題即證：，由（*）知，
齊次化，即證：，不放令，
原命題即證：，記，
則，
當時，在上單調遞減，．
典例3、答案： （1）答案見解析；（2）證明見解析.
解:（1），令
當即時，，在上單調遞增； 當即或時，
① 當時，在上單調遞增；
② 當時，令，
+ 0 - 0 +
遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
綜上：當時，在上單調遞增；
當時，在上單調遞增， 在上單調遞減.
（2）由（1）知時有兩個極值點， 且，不妨設，
要證即證，
即，
設由（1）知當時，在上單調遞增，
，則在上單調遞減， .原式得證.
隨堂練習：1、答案： （1）；（2）證明見解析.
解:（1）函數，定義域為， ，
當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增； 所以；
（2）不妨設,， ，
當時，，函數在上單調遞減；
當時，，函數在上單調遞增；
∴在遞減，在遞增， ∴，，
∴， ∴，
∵，即， ∴，
∴
要證， 即 即證
即證 即證
又由于，， 所以只需證
即證明， 即證， 即證
隨堂練習：2、答案： （1）；（2）證明見解析.
解：（1）設， 則由題設知，方程，在有解，
而.
設，則.
①若，由可知，且，
從而，即在上單調遞減，從而恒成立，
因而方程在上無解.
②若，則，又時，，
因此，在上必存在實根，設最小的正實根為，
由函數的連續性可知，上恒有， 即在上單調遞減，
也即，在上單調遞減，從而在上恒有，
因而在上單調遞減，故在上恒有，即，
注意到，因此，
令時，則有，由零點的存在性定理可知函數在，上有零點，符合題意.
③若時，則由可知，恒成立，從而在上單調遞增，
也即在上單調遞增，從而恒成立，故方程在上無解.
綜上可知，的取值范圍是.
（2）因為有兩個零點，所以（2）， 即，
設，則要證，因為，，
又因為在上單調遞增， 所以只要證明，
設， 則，
所以在上單調遞減，（2），所以，
因為有兩個零點，，，所以，
方程即構造函數， 則，，， 記，
則在上單調遞增，在上單調遞減， 所以，且，
設， ， 所以遞增，
當時，， 當時，， 所以，
即，
，，， 所以，
同理， 所以，
所以， 所以，
由得： ， 綜上：.
典例4、答案： (1)；(2)；(3)．
解:(1)函數，則，當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減，所以當時，函數取得極大值，也是最大值為．
(2)函數有兩個零點，相當于函數的圖象與直線有兩個交點．
當時，，時，， 結合（1）中結論，可得．
(3)因為，所以不等式僅有一個整數解，
即只有一個整數解，因為的極大值為，，，
所以當時，只有一個整數解，
即當時，不等式僅有一個整數解． 所以實數的取值范圍是
隨堂練習：答案： （1） ； （2）.
解： （1），令，得.當時，
，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.
當時，有極小值，也是最小值，最小值為.
（2），定義域，由題意， 即有兩個零點，
令 所以在時，，函數單調遞增；
當時，函數單調遞減.所以函數的最大值
時，， 函數的圖象如圖所示，
所以，所以.
典例5、答案：（1） 0 （2）
解：（1）當時， 令，，
，
因為在上單調遞增， 所以，
又因為時，， 所以，當且僅當時，等號成立，
所以在上是增函數，且， 所以在上是增函數，所以；
由于，問題轉化為求在區間有一根時，實數a的取值范圍，當，即時，
（2）由（1）可知，
即在區間無零點，不滿足題意， 當，即時，
令， 令，
①當時，，
所以在上為增函數， ，
所以存在唯一一個實數，使．
②當時，， ．
由①②知，當時，單調遞減， 當時，單調遞增，
因為， 所以存在唯一實數，使，
所以當時，單調遞減， 當時，單調遞增，
因為， 所以存在唯一實數，使，
即在區間有唯一零點，
綜上所得，函數兩個不同的零點時，實數a的取值范圍是．
隨堂練習：答案：（1） 1 （2）證明見解析
解：（1）當時，， ．
令，則，所以在單調遞增，
又因為，，所以存在，使得，此時．
當時，，在單調遞減；
當時，，在單調遞增．
所以的最小值為，
（2）， ，當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增． 則，
這時， 利用放縮
記的正根為 所以，
所以存在兩個零點和，，，
因為，即 兩式相減得；
兩式相加得． 要證，即
只要證， 令，，
，則在單調遞增，所以，
又因為，所以得證，所以成立．
典例6、答案： （1）1 （2）
解：（1）的定義域為，時，，
當時，；當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
所以是的極小值點，也是的最小值點，故．
（2）由，定義域為 ，
當時，，所以在上單調遞減，則最多有一個零點，不合題意；
當時，當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
則的極小值為．
設，則，所以，從而在上單調遞減，又．
當，即時，； 所以當時，最多有一個零點，不合題意；
當，即時，，即； 又，
則，所以在內有一個零點． 由（1）得:，
所以，所以在內有一個零點，
結合的單調性，可知時，有兩個不同的零點，故的取值范圍為．
隨堂練習：答案： （1） 1、； （2）或.
解：（1）由題得，
∴當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增， 所以是的極小值點；
又當時，，當時，，當時，，
所以只能在內取得最小值，因為是在（0，）內的極小值點，也是最小值點，
所以．
（2）由題可得（）， ∴
①當時，，函數在上單調遞增，
又∵， ∴函數有且僅有1個零點，∴符合題意；
②當時，令，，函數在上單調遞增，
因為，
∴存在唯一的實數，使得，即，
當時，，單調遞減；時，，單調遞增；
又∵時，，時，，且，
∴當函數有且僅有1個零點時，，
∴符合題意
綜上可知，的取值范圍是或.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題四
知識點一 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究函數的零點
典例1、已知函數f(x)＝2ex(x＋1)－xsinx－kx－2，k∈R．
（1）若k＝0，求曲線y＝f(x)在x＝0處切線的方程；
（2）討論函數f(x)在[0，＋∞)上零點的個數．
隨堂練習：已知函數．
（1）求函數的圖象在處的切線方程；（2）判斷函數的零點個數，并說明理由.
典例2、已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）討論在區間上的零點個數.
隨堂練習：已知函數.
（1）若，求曲線的斜率等于3的切線方程；
（2）若在區間上恰有兩個零點，求a的取值范圍.
典例3、已知函數，其中為常數.
（1）當時，求曲線在處的切線方程；
（2）若函數在區間上只有一個零點，求的取值范圍.
隨堂練習：已知函數，其中.
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在內只有一個零點，求的取值范圍.
知識點二 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究不等式恒成立問題
利用導數研究函數的零點
典例4、已知函數，曲線在處的切線方程為.
（1）求的值； （2）函數在區間上存在零點，求的值；
（3）記函數，設（）是函數的兩個極值點，若，
且恒成立，求實數的最大值.
隨堂練習：已知函數
（1）若，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，且在區間上恒成立，求的取值范圍；
（3）若，判斷函數的零點的個數.
典例5、已知函數.
（1）求曲線在處的切線方程；
（2）函數在區間上有零點，求k的值；
（3）記函數，設是函數的兩個極值點，若，
且恒成立，求實數k的取值范圍.
隨堂練習：已知函數，設．
（1）若，求的最小值
（2）若函數有兩個零點，求實數m的取值范圍；
（3）若直線是曲線的一條切線，求證：，都有．
典例6、已知函數，（）.
（1）求函數在點（e，e）處的切線方程；
（2）已知，求函數極值點的個數；
（3）若對任意，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.
隨堂練習：已知函數．
（1）求函數在處的切線方程；
（2）若對任意的，恒成立，求a的取值范圍；
（3）當a=3時，設函數，證明：對于任意的k<1，函數有且只有一個零點．
高考導數復習專題四答案
典例1、答案：（1） （2）當時，有且僅有1個零點；當時，有有2個零點.
解：（1）當時，，，
則曲線在處切線的斜率為，
又，故切點為，因此切線方程為.
（2）首先證明：當時，. 證明：設，，則，單調遞增，
于是，即原不等式得證.，，
當時，， 故在上單調遞增.
若，則當時，，單調遞增，
又，故此時有且僅有1個零點. 若，則，
又，
所以在上存在唯一的零點，，當，，當，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
且，，因此在上有2個零點.
綜上，當時，有且僅有1個零點；當時，有有2個零點.
隨堂練習：答案：（1） （2）在區間上有且僅有一個零點，理由見解析
解：（1）， 所以函數的圖象在處的切線方程為，
即.
（2）設，則，
①當時，，所以單調遞減；且，，
由零點存在定理可知，在區間存在唯一的，使
又當時，；當時，，
所以在上單調遞增，
且， ，所以在上有唯一零點；
當時，單調遞減，且，所以在上沒有零點.
②當時， 單調遞增，， ，
所以在區間有唯一零點，設為，
當時，，此時單調遞減；
當時，，此時單調遞增；
在區間上，此時單調遞減，
且，故有，此時單調遞減，且，
由，得， 所以.
當時， ，所以單調遞增，
又，故，
，，
所以存在，使，即，故為的極小值點.
此時. 所以在上沒有零點.
③當時，，
所以，所以在區間上沒有零點.
綜上在區間上有且僅有一個零點.
典例2、答案：（1） （2）見解析
解：（1）當時， ，即切點的坐標為
切線的斜率
切線的方程為： 即
（2）
令 ，解得 ，在上遞增 同理可得，在上遞增上遞減
討論函數零點情況如下：
（Ⅰ）當，即時，函數無零點，在上無零點
（Ⅱ） 當，即時，函數在上有唯一零點，而，
在上有一個零點
（Ⅲ）當，即時，由于，
當時，即時， ，
由函數的單調性可知，函數在上有唯一零點，在上有唯一零點，
在有兩個零點
當，即時，，而且 ，
由函數單調性可知，函數在上有唯一零點，
在上沒有零點，從而在有一個零點
綜上所述，當時，函數在有無零點
當或時，函數在有一個零點
當時，函數在有兩個零點
隨堂練習：答案： （1）； （2）．
解: 由已知函數定義域是，
（1），， 由解得（舍去），
又，所以切線方程為，即；
（2）， 易知只有一個極值點，要使得有兩個零點
則，即，此時在上，遞減，
在上，遞增， 在時取得極小值，
所以解得． 綜上的范圍是．
典例3、 （1）； （2）.
解: （1）當時，，
對函數求導可得，
所以， 又，
所以曲線在處的切線方程為，即.
（2）由（1）知，
因為，所以， 所以，所以，
所以， 故函數在區間上單調遞增.
因為函數在區間上只有一個零點，
結合零點存在定理可得， 解得，即的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1）； （2）.
解：（1）, ，
則， 故所求切線方程為；
（2）， 當時，對恒成立 ，
則在上單調遞增，從而，則，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，
則 ，
當時， 對恒成立，則在上單調遞減，
在（1，2）內沒有零點 ， 綜上，a的取值范圍為（0，1）.
典例4、答案： （1） （2）或 （3）
解：（1）因為曲線在處的切線方程為，所以切點為，
所以，得
（2）由（1）得，則，當時，，當時，，
所以在上遞減，上遞增， 所以當時，取得極小值，
因為， 所以在區間上存在一個零點，此時，
因為，
所以在區間上存在一個零點，此時， 綜上或
（3）， 則，
由，得， 因為（）是函數的兩個極值點，
所以方程有兩個不相等的正實根， 所以，， 所以，
因為，所以，解得或， 因為，所以，
所以
令，則，所以在上單調遞減，
所以當時，取得最小值，即，
所以， 所以實數的最大值為
隨堂練習：答案： （1）；（2）；（3）當時，函數恰有1個零點．
解：（1）若，則，
所以，所以，所以切線方程為
（2）依題意，在區間上 因為，．
令得，或． 若，則由得，；由得，．
所以，滿足條件；
若，則由得，或；由得， ，
依題意，即，所以．
若，則． 所以在區間上單調遞增，，不滿足條件； 綜上，．
（3），．
所以．設，．
令得． 當時，；當時，．
所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以的最小值為．
因為，所以．所以的最小值．
從而，在區間上單調遞增． 又，
設． 則．令得．由，得；
由，得．所以在上單調遞減，在上單調遞增．所以．
所以恒成立．所以，．
所以．
又，所以當時，函數恰有1個零點．
典例5、答案： （1） （2）或 （3）
解：（1）因為，所以，切線斜率為，
又，切點為，所以切線方程為；
（2），， 當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增， 所以的極小值為，，
在區間上存在一個零點，此時；
又，，
在區間上存在一個零點，此時． 綜上，的值為0或3；
（3）函數，，所以，
由得，依題意方程有兩不相等的正實根、，
，，， 又，，，解得，
，
構造函數，， 所以，在上單調遞減；
所以當時，， 所以．
隨堂練習：答案： （1）0 （2） （3）證明見解析
解：（1）當時，， 令．
列表如下：
單調遞減 極小值0 單調遞增
所以的最小值為0
（2），
當時，單調遞減；當時，單調遞增，
， 要使有兩個零點，首先必有
當時，注意到，
在和上各有一個零點，符合題意， 綜上：取值范圍為．
（3）由題得，，設與切于，
，，
要證：，需證：
即證：，即證：．
令，需要證明：，．
構造，，在上單調遞增， ，證畢．
典例6、 答案：（1） （2）答案見解析 （3）
解：（1）由已知，所以，所以，切線斜率，
所以函數在，點處的切線方程為，即.
（2）， 令，則，
當時，，當時，，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，
由得，
所以當時，由，
函數有兩個變號零點，函數有兩個極值點.
當時，函數有一個變號零點，函數有一個極值點.
當時，函數沒有變號零點，函數沒有極值點.
（3）不等式等價于.
令，
則在上恒成立，所以必須有，
所以. 又，
顯然當時，，則函數在上單調遞增，
所以，所以. 綜上可知，的取值范圍為.
隨堂練習：答案：（1）； （2）； （3）證明見解析.
解：（1）由求導得：，則，而，
所以函數在處的切線方程為：，即.
（2），，令，
求導得：，當時，，當時，，
即函數在上單調遞減，在上單調遞增，當時，，
則有，所以a的取值范圍是.
（3）當a=3時，，由k<1得，
當時，，即函數在上單調遞增，而，，
即函數在上有唯一零點，因此，函數在上有唯一零點，
當時，令，則，，
當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，
，，因此，函數在上沒有零點，
綜上得，函數在R上有唯一零點，
所以對于任意的k<1，函數有且只有一個零點．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題五
知識點一 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究不等式恒成立問題，利用導數研究函數的零點
典例1、已知函數.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）設，若恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若有兩個零點，求實數a的取值范圍.
隨堂練習：已知函數，.
（1）若曲線在點處的切線方程為y=0，求m的值；
（2）若對任意，都有，求m的取值范圍；
（3）討論在區間上的零點個數.
典例2、已知，設函數，
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，若不等式恒成立，求實數的值；
（3）若函數與的圖象沒有交點，求實數的取值范圍．
(注：題中為自然對數的底數，即)
隨堂練習：已知函數．（注：是自然對數的底數）
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若只有一個極值點，求實數a的取值范圍；
（3）若存在，對與任意的，使得恒成立，求的最小值．
典例3、設函數．
（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；
（2）若，求實數的取值范圍；
（3）求證：當時，函數不存在零點．
隨堂練習：已知函數．
（1）求函數在處的切線方程；
（2）若關于x的不等式恒成立，求實數a的值；
（3）設函數，在（2）的條件下，證明：存在唯一的極小值點，且．
知識點二 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究函數的零點
典例4、已知函數
求曲線在點處的切線方程
若函數，恰有2個零點，求實數a的取值范圍
隨堂練習：已知函數，.
（1）求在點處的切線方程；
（2）求證：當時，有且僅有個零點.
典例5、已知函數（）．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）求的單調區間；
（3）若恰有兩個零點，求實數的取值范圍．
典例6、已知函數．
（1）求曲線在點，處的切線方程；
（2）當時，求的單調區間；
（3）當時，在區間有一個零點，求的取值范圍．
高考導數復習專題五答案
典例1、答案：（1）；（2）；（3）.
解:（1）當時，，，所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）因為，
若恒成立，則恒成立，所以恒成立，
令，，
所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，
所以，所以，故a的取值范圍為.
（3）若有兩個零點，則有兩個零點，
所以在上有兩個解，所以在上有兩個解，
令，，，
令，，
當時，單調遞增，當時，單調遞減，
所以，且，
所以在上，單調遞增，在上，單調遞減，
所以，又在上，；在上，，
所以a的取值范圍為.
隨堂練習：答案： （1）1 （2） （3）3、答案見解析
解：（1）因為曲線在點處的切線方程為y=0，所以，即，解得m=1.
（2），， 由于在單調遞增，所以.
①當時，，所以在單調遞增，即.
②當時，令，解得，
，的情況如下：
x
- 0 +
單調遞減 極小值 單調遞增
函數在單調遞減，即，不合題意.
綜上，使在都成立的m的范圍是.
（3）根據第（2）的結論，
①當時，在單調遞增，且有唯一零點x=0，所以在區間上沒有零點；
②當時，
若，即時，在區間上有1個零點；
若，即時，在區間上沒有零點；
綜上，時，在區間上沒有零點：
當時，在區間上有1個零點.
典例2、答案： （1）；（2）；（3）．
解:（1）時，，所以， 所以，
所以切線方程為：，即
（2） 設，，
又不等式： 恒成立，即恒成立，
故是的極大值點，所以，得；
另一方面，當時，，，
在區間單調遞減，又，故在單調遞增，單調遞減，
所以，即恒成立 綜合上述：
（3）由題意，即方程沒有實根，
我們先把方程有實根時，的取值范圍求出，再關于取補集，
不妨設：()，
則方程變為，
設函數，
∵，在上遞增， （）
設，則， 所以在上增，在上減 ，(的圖象如圖)
有實數解，結合， 則，有
即，所以方程有實根時，的取值范圍為
所以方程沒有實根時，的取值范圍為．
隨堂練習：答案： （1） （2） （3）
解：（1）當時，，故，
故在點處的切線方程為，化簡得．
（2）由題意知有且只有一個根且有正有負．
構建，則
①當時，當時恒成立，在上單調遞增，
因為， 所以有一個零點，即為的一個極值點；
②當時，當時恒成立，即無極值點；
③當時，當；當，
所以在單調遞減，在上單調遞增，
故， 若，則即.
當時，， 當時，,
設，故，
故在上為增函數，故， 故，
故當時，有兩個零點，此時有兩個極值點．
當時，當時恒成立，即無極值點；綜上所述：．
由題意知，對與任意的，使得恒成立，則，
又要使取到最小值，則．
當時，，故，所以的最小值為e；
當時，當時，， 所以無最小值，即無最小值；
當時，由（2）得只有一個零點，即且
當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，，
此時，因，
所以代入得 ：，
令，當時，，當時，，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
，此時，所以的最小值為．
典例3、答案： （1）； （2）； （3）證明見解析.
解：（1）因為，則，
因為點在直線上，則， 所以，，解得.
（2）因為成立，則，
當時，，下面證明，
設，其中，則，
令，則且不恒為零，
所以，函數在上為增函數，
當時，，此時函數單調遞減，
當時，，此時函數單調遞增，所以，，
即成立，所以，故實數的取值范圍為.
（3）因為，所以， 且兩個等號不同時成立，即，
令，其中，則且不恒為零，
所以函數在上單調遞增，且，當時，，即，
所以當時，，即，此時函數不存在零點；
當時，，而，此時，
即，所以此時函數不存在零點；
當時，，而，所以，
即，所以此時函數不存在零點． 綜上可得，時，函數不存在零點．
隨堂練習： 答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.
解：（1），而，所以在處的切線方程為：
（2）由題意得：，因為，所以問題等價于在上恒成立，
令，則，
當時，恒成立，則在上單調遞增，又，
所以當時，，不滿足題意，舍去；
當時，因為時，；時，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得極大值且為最大值，即最大值為，
所以，整理得：令，
則，易得在上單調遞增，在上單調遞減，
所以當時，取得極大值，即最大值為，所以的解為．
（3）， 設，則，
當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
又，所以在上有唯一零點， 在上有唯一零點1；
且當時，；當時，；當時，．因為，
所以時的唯一極小值點．由得故，由得，．
因為當時，在取得最小值，由得，．
所以．
典例4、答案： (1) x+y-1=0. (2) .
解:（1）因為，所以.所以 又
所以曲線在點處的切線方程為 即.
（2）由題意得，， 所以. 由，解得，
故當時，，在上單調遞減；
當時，，在上單調遞增. 所以.
又，，
若函數恰有兩個零點， 則解得.
所以實數的取值范圍為.
隨堂練習：答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由知，則，，
所以，，，所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）證明：記，則，
當時，，在上單調遞增，
，，則，使得；
當時，，在上單調遞減，
，，則，使得，
當時，；當時，. 故在上遞增，在上遞減，
，，故當時，；
當時，. 綜上，有且僅有個零點.
典例5、答案： （1）；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）．
解：（1）當時，，，所以，．
所以曲線在點處的切線方程為，即．
（2）因為，定義域為，
所以．
①當時，與在上的變化情況如下：
最大值
所以在內單調遞增，在內單調遞減．
②當時，與在上的變化情況如下：
極大值 極小值
所以在，內單調遞增，在內單調遞減．
③當時，，所以在上單調遞增．
④當時，與在上的變化情況如下：
極大值 極小值
所以在，內單調遞增，在內單調遞減．
（3）由（2）可知：
①當時，在內單調遞增，在內單調遞減，
當時，取得最大值．
（i）當時，， 所以在上至多有一個零點，不符合題意．
（ii）當時，．
因為，，在內單調遞減， 所以在內有唯一零點．
因為， 所以且．
因為，，
且在內單調遞增，所以在內有唯一零點．
所以當時，恰有兩個零點．
②當時，在，內單調遞增，在內單調遞減，
因為當時，取得極大值，
所以在上至多有一個零點，不符合題意．
③當時，在上單調遞增，
所以在上至多有一個零點，不符合題意．
④當時，在，內單調遞增，在內單調遞減．
因為當時，取得極大值，
所以在上至多有一個零點，不符合題意．
綜上所述，實數的取值范圍是．
典例6、答案：（1）（2）單調遞增區間為，，單調遞減區間為，，，．
（3）
解：（1），所以， 又，
所以在，處的切線方程：，即．
（2）當時，， ，
所以在，上，，單調遞增，
在，，，上，，單調遞減，
所以單調遞增區間為，，單調遞減區間為，，，．
（3）當時，令，得， 所以，
令，，，
當，時，，，即， 所以在，上單調遞增，
又，， 若在區間有一個零點，則，
故的取值范圍，．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題六
知識點一 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究不等式恒成立問題
典例1、已知函數
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若恒成立，求實數的取值范圍．
隨堂練習：已知，，
（1）若與在處的切線重合，分別求，的值.
（2）若，恒成立，求的取值范圍.
典例2、已知函數.
（1）求的圖象在處的切線方程；
（2）已知，對，，求a的取值范圍.
隨堂練習：已知函數在點處的切線方程2x－2y－3=0．
（1）求實數a，b的值；
（2）設函數的兩個極值點為，且，若恒成立，求滿足條件的的最大值．
典例3、已知函數.
（1）若在處的切線與軸垂直，求的極值；
（2）若有兩個不同的極值點，且恒成立，求的取值范圍.
隨堂練習：已知函數的圖象在點處的切線與直線平行．
（1）求實數m的值，并求函數的單調區間；
（2）若不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍．
知識點二 利用導數研究方程的根,由導數求函數的最值（含參）
典例4、已知函數.
（1）求函數的單調區間和極值；
（2）若方程有兩個不同的解，求實數a的取值范圍.
隨堂練習：已知函數，．
（1）討論函數的單調性；
（2）若方程在上有實根，求實數a的取值范圍．
典例5、已知函數.
（1）討論的單調性；
（2）若函數與的圖像有兩個不同的公共點，求的取值范圍.
隨堂練習：已知函數.
（1）求在（為自然對數的底數）上的最大值；
（2）對任意給定的正實數，曲線上是否存在兩點P，Q，使得是以О為直角頂點的直角三角形，且此直角三角形斜邊的中點在y軸上
典例6、已知函數，其中．
（1）討論函數的單調性；
（2）若有且僅有兩個不相等實根，求實數a的取值范圍．
隨堂練習：已知函數f(x)＝lnx－ax2－2x.
（1）若函數f(x)在x＝2處取得極值，求實數a的值；
（2）若函數f(x)在定義域內單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）當時，關于x的方程在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根，求實數b的取值范圍.
高考導數復習專題六答案
典例1、答案:（1） （2）
解：（1）當時，, 所以.
所以,，
所以曲線在點處的切線的斜率為，
所以曲線在點處的切線方程為，即．
（2）由題易得，由，得:
，
令， 則，所以在上單調遞增，
式等價于，即．
所以，，
令，則有， 令，即，解得，
當時， ；當時， ；
所以在上單調遞減，在上單調遞增， 所以；
所以只需，即． 綜上，實數m的取值范圍是．
隨堂練習：答案：（1）， （2）
解：（1）因為，， 所以.，，
因為且， 即且， 解得，.
（2）因為對恒成立，
.對恒成立，
即對恒成立，
令，
因為， 所以是的最小值點，且是的極值點，即，
因為在上單調遞增，且，所以，
下面檢驗：當時，對恒成立，
因為，所以當時，當時，
所以在上單調遞減，在上單調遞增. 所以，符合題意， 所以.
典例2、答案：（1） （2）
解：（1），
， 的圖象在處的切線方程為：
， ， ，在上恒成立，
令， ，
令， ，
令， ，
， ，則在上單調遞減，
， 在上單調遞減， ，
①當，即時，， ，在上單調遞減，
， 解得，
②當時，， 所以存在使得，
當時，， ，在單調增， ，
因為，所以， 所以，
所以當，與矛盾，所以當時，不符合題意，
綜上所述，a的取值范圍.
隨堂練習：答案：（1），b=1 （2）
解：（1）由，得，
因為點在切線方程2x－2y－3=0上，所以2－2y－3=0， 解得，即，
又∵，所以解得，b=1．
（2）由（1）知，，則，
則，
由，得，因為，是函數g（x）的兩個極值點，
所以方程有兩個不相等的正實根，，
所以，，所以．因為，所以，解得或．
因為，所以，
所以，
令，則，
所以F（x）在當上單調遞減，所以當時，F（x）取得最小值，
即，所以， 即實數的最大值為．
典例3、答案：（1） 極大值為，極小值為 （2）
解：（1），的定義域為， ，
若在處的切線與軸垂直， 則，
所以，，
所以在區間遞增； 在區間遞減.
所以的極大值為，極小值為.
（2）若有兩個不同的極值點，則有兩個不同的正根，
即有兩個不同的正根， 所以，解得.
， ， 依題意，恒成立，
恒成立，
恒成立，即恒成立，所以，
解得. 故的取值范圍為
隨堂練習：答案：（1），增區間是，減區間是 （2）
解：（1）函數的定義域為，，
因為函數的圖象在點處的切線與直線平行，
所以，故，解得，所以，所以．
當時，，又，則， 故，所以在上單調遞減．
（2）設，則，
當時，，，是增函數，即在上單調遞增，
所以，因此在上單調遞增，
所以的單調遞增區間是，單調遞減區間是．
不等式可化為，
設，由已知可得在上恒成立，滿足題意．
因為，令，
則，令，
則，所以即在上是增函數，
，當時，，
函數即在上單調遞增， 所以，在上單調遞增，
所以恒成立，原不等式恒成立；
當時，則，又，
所以存在，使得，
時，，即在上單調遞減，
時，，即在上單調遞增，
又，所以時，，從而在上單調遞減，
于是當時，，不合題意．
綜上，實數a的取值范圍是．
典例4、答案：（1）單增區間是，單減區間是，極小值，無極大值；（2）.
解:（1）的定義域是，， 可得，
x -2
0
減函數 極小值 增函數
所以的單增區間是，單減區間是
當時，取得極小值，無極大值.
（2）由（1）以及當，， ，， ，
因為方程有兩個不同的解， 所以a的取值范圍為.
隨堂練習：答案：（1） 見解析； （2） .
解：（1）， 時，，在R上單調遞減；
時，，，單調遞增， ，，單調遞減；
綜上，時，在R上單調遞減；
a＞0時，f(x)在單調遞增，在單調遞減.
（2），
令， 則，
∴g(x)在(1，e)上單調遞增， ∴ ∴.
典例5、答案：（1） 答案見解析 （2）
解：（1），，.
①當，，函數在上單調遞增；
②當，令，得， 時，；時，，
在上單調遞減，在上單調遞增.
綜上所述：當，的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
（2）當，的單調遞增區間為，的單調遞減區間為.
根據題意可知：方程，即有兩個不同的實根.
由可得：. 令，當時，，
時，，，所以在上單調遞增，
要使有兩個不同的實根，則需有兩個不同的實根.
令，則，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，.
①若，則，沒有零點；
②若，則，當且僅當時取等號，只有一個零點；
③若，則，，.
令，則當時，，即在上單調遞增，
所以，即.
故此時在上有一個零點，在上有一個零點，符合條件.
綜上可知，實數的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1）1答案見解析 （2）存在，理由見解析.
解：（1）當時，，，
令，解得，此時在和上單調遞減，在上單調遞增，
由于，故當時，；
當時，，，
故當時，在區間上單調遞減，；
當時，在區間上單調遞增，，
當時，.
綜上，當時，在上的最大值為，
當時，在上的最大值為.
（2）假設曲線上存在兩點，，使得是以為直角頂點的直角三角形，
且此直角三角形斜邊的中點在y軸上，則，只能在軸的兩側，
不妨設（），則，且．
因為△是以為直角頂點的直角三角形，所以，即： ①
是否存在點，等價于方程①是否有解．
若，則，代入方程①得：，此方程無實數解；
若，則，代入方程①得：，
設（），則在上恒成立，
所以在上單調遞增，從而，
所以當時，方程有解，即方程①有解．
所以，對任意給定的正實數，曲線上存在兩點，，
使得△是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．
典例6、答案： （1）答案詳見解析 （2）
解：（1）的定義域為，，
當時，恒成立，所以在上遞增；
當時，在區間遞增；在區間遞減.
（2）依題意有且僅有兩個不相等實根，即有兩個不相等的實根，
，構造函數，
，所以在區間遞增；在區間遞減.
所以. ，當時，，，
， 所以的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1）－；（2）(－∞，－1]；（3）.
解:（1）由題意，得 (x>0)，
因為x＝2時，函數f(x)取得極值，所以，即，解得，
則，則，令，則或，所以和時，，單調遞減，時，，則單調遞增，故函數在x＝2處取得極大值，故符合題意，因為；
（2）函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，依題意在時恒成立，
即在時恒成立，則在時恒成立，即，
當時，取最小值，所以a的取值范圍是.
（3）當時，， 即.
設， 則，令，或，
當變化時，的變化情況如下表：
x (0，1) 1 (1，2) 2 (2，4)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
所以g(x)極小值＝g（2）＝ln2－b－2， g(x)極大值＝g（1）＝－b－，
又g（4）＝2ln2－b－2，
因為方程g(x)＝0在[1，4]上恰有兩個不相等的實數根， 則，解得ln2－2所以實數b的取值范圍是.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題七
知識點一 利用導數研究不等式恒成立問題,利用導數證明不等式,含參分類討論求函數的單調區間
典例1、已知：函數.
（1）當時，討論函數的單調性；
（2）若在上單調遞增，求實數的取值范圍.
隨堂練習：已知函數.
（1）討論的單調性；（2）求證：當時，.
典例2、已知函數．
（1）討論函數的單調性； （2）若且，求證：．
隨堂練習：已知函數.
（1）當時，討論函數的單調性； （2）若且，求證：.
典例3、已知函數.
（1）當時，討論的單調性；
（2）證明：當時，，.
隨堂練習：已知函數
討論函數的單調性；
設，對任意的恒成立，求整數的最大值；
求證：當時，
知識點二 利用導數研究方程的根,由導數求函數的最值（含參）
典例4、已知函數，其中.
（1）當時，求的最小值； （2）討論方程根的個數.
隨堂練習：已知，．
（1）存在滿足：，，求的值；
（2）當時，討論的零點個數．
典例5、已知函數，．
（1）當a＝2時，求曲線在處的切線方程；
（2）討論關于x的方程的實根個數．
典例6、函數，.
（1）試討論的單調性； （2）若恒成立，求實數的集合；
（3）當時，判斷圖象與圖象的交點個數，并證明.
高考導數復習專題七答案
典例1、答案： （1）單調遞增；（2）.
解:（1）當時，， 所以，
令，則， 當時，，遞減；
當時，，遞增； 所以取得最小值，
所以在上成立， 所以在上遞增；
（2）因為在上單調遞增， 所以，恒成立，
即，恒成立， 令，則，
當時，當時，，遞減； 當時，，遞增；
所以取得最小值， 所以
當時，易知，不成立， 當a=0時，成立，
綜上：， 所以實數的取值范圍.
隨堂練習：答案：（1）見解析；（2）證明見解析.
解：（1）函數，定義域為， 所以，
當時，，在單調遞減；
當時， 令，則，解得，在單調遞增；
令，則，解得；在單調遞減；
綜上：當時，在單調遞減；
當時，在單調遞增，在單調遞減；
（2）要證當時，， 只須證：，
而，因此，只要證：， 設，
則， 當時，單調遞增；
當時，單調遞減； 所以，即；
所以當時，．
典例2、答案：（1）答案見解析；（2）證明見解析.
解:（1）函數的定義域為，．
若，則，在上單調遞減．若，當時，；
當時，；當時，，
故在上，單調遞減；在上，單調遞增．
若，當時，； 當時，；當時，，
故在上，單調遞減；在上，單調遞增．
（2）若且，則． 欲證，
只需證． 設函數，則．
當時，，函數在上單調遞增，所以．
設函數，則．
設函數，則．
當時，， 故存在，使得，
從而函數在上單調遞增；在上單調遞減， 所以，且，
故存在，使得， 即當時，，當時，，
從而函數在上單調遞增；在上單調遞減．
因為，， 所以當時，，所以，，
即，．
一題多解：（2）另解一 若且，則，
欲證， 只需證．
設函數，則． 當時，，函數在上單調遞增．
所以． 設函數，，
因為，所以，所以， 又，所以，
所以， 即原不等式成立．
隨堂練習：答案： (1)答案見解析；(2)證明見解析.
解:（1）函數的定義域為
①若時，則，在上單調遞減；
②若時，當時， 當時，；當時，
故在上，單調遞減；在上，單調遞增
（2）若且，欲證 只需證 即證
設函數，，則
當時，；故函數在上單調遞增 所以
設函數，則
設函數，則
當時， 故存在，使得
從而函數在上單調遞增；在上單調遞減
當時， 當時， 故存在，使得
即當時，，當時，
從而函數在上單調遞增；在上單調遞減
因為 故當時，
所以 即
典例3、答案：（1）在上單調遞增，在上單調遞減． （2）證明見解析.
解：（1）由題意知， ,
當 時， 對恒成立，
所以當 時， ；當 時，,
所以函數 在上單調遞增，在上單調遞減．
（2）證明：要證明當時，，,
即證當時，對任意， 恒成立，
令 ， 所以，
因為，，則，僅在或時取等號，所以函數 在上單調遞減，
所以 ， 即當時，，.
隨堂練習:答案:（1）當時，函數在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減；（2）；（3）證明見解析.
解:（1）
① 若，則，函數在上為增函數；
②若，由可得；由可得
因此在上為增函數，在上為減函數；
（2）若，則，不滿足題意；
若，則在上為增函數，在上為減函數；
設，則，又在上單調遞增 且，
故存在唯一使得 當時，，當時，
故，解得 ，又， 則綜上的最大值為；
（3）由（2）可知，時，
，
記，則 記，則
由可得 ，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增
所以
故，故函數在上單調遞增
即
典例4、答案：（1） （2）答案見解析
解：（1）時，.
①時，， ，
所以，即在時單調遞減；
②時，.
所以，即在時單調遞增；
當時，取得最小值為 所以的最小值是.
（2）由題，， 則，
即.
所以.由，得.
當時，； 當時，；
所以，在上遞減；在上遞增.
又因為，所以，當且僅當或.
又，故和不可能同時成立.
所以方程根的個數是兩函數和的零點個數之和，其中
當時，函數的零點個數轉換為直線與函數圖象的交點個數，
，令，即，解得.
當易知時，,單調遞減， 當時，，單調遞增；
在處取得最小值為，
所以時，直線與函數圖象無交點，函數無零點；
時，直線與函數圖象有一個交點，函數有1個零點；
時，直線與函數圖象有2個交點函數，有2個零點.
同理：函數的零點個數轉化為直線與函數圖象交點個數，
設，則 所以函數在單調遞增，
在處的函數值為， 所以故時，在上必有1個零點.
綜上所述，時，方程有1個根； 時，方程有2個根；時，方程有3個根.
隨堂練習：答案：（1） 或4； （2）答案見解析.
解：（1）時，原條件等價于， ∴，
令，則，
∴為增函數，由，則有唯一解，所以，
時，，解得：． 綜上，或4．
（2）ⅰ.時，則，，
而，，即為增函數，又，
當時；當時，故，
∴恒成立，故時零點個數為0；
ⅱ.時，，由①知：僅當時，此時零點個數為1．
ⅲ.時，，則，，
∴為增函數，，，
∴僅有一解，設為，則在上，在上，
所以最小值為，故．
又，，
故、上各有一零點，即有2個零點．
ⅳ.時，上，
，
∴無零點，則上，，，
∴為增函數，，，
∴有唯一解，設為，則，
又，，
故、上，各有一個零點，即有2個零點．
ⅴ.時，由（1）知：上有唯一零點：；
在上，則，，
所以為增函數，，，故使，
則上，遞減；上，遞增；
故，而，
又，，故在、上各有一個零點，
所以共有3個零點．
綜上：時零點個數為0；時零點個數為1；時零點個數為2；時 零點個數為3．
典例5、答案：（1） （2）答案不唯一，具體見解析
解：（1）當a＝2時，，， 則切線的斜率為，
又，所以曲線在處的切線方程是，即．
（2）即為，化簡得，
令，則， 令，則，
令，得． 當時，，即在上單調遞增；
當時，，即在上單調遞減．
①當時，，即， 所以在R上單調遞減．
又，所以有唯一零點0；
②當時，，，所以存在，，
又，
令，，
所以在上單調遞減，，
即，所以存在，，
x n m
－ 0 ＋ －
單調遞減 單調遞增 單調遞減
則，又，所以存在，；
同理，，又，所以存在，，
由單調性可知，此時有且僅有三個零點0，，．
綜上，當時，有唯一零點，方程有唯一的實根；
當時，有且僅有三個零點，方程有3個實根．
典例6、答案：（1）當時，在 上是減函數，在上是增函數，當時， 在上是減函數；（2）；（3）2，證明見解析.
詳解:（1）定義域為： ，， 由得： ，
當時，， 在 上是減函數，在上是增函數，
當時，， 在上是減函數，
當時，，在上是減函數，
綜上所述，當時，在 上是減函數，在上是增函數，
當時，在上是減函數.
（2）由（1）知， 當時，，
由恒成立得，， 設，，
， 由得：， 在 上是增函數，在上是減函數，
， ， 要使恒成立，則，
當時，在上是減函數，且， 當，，不合題意，
綜上所述，實數的集合；
（3）原問題可轉化為方程的實根個數問題，
當時，的圖象與的圖象有且僅有2個交點，理由如下：
由得，， 令，
因為，所以是的一根， ，
，當時，，，
所以，在上單調遞減，， 即在上無實根；
，當時，， 所以在上單調遞增，
又，， 所以在上有唯一實數根 ，，
且滿足，
①當時，，在上單調遞減， 此時，在上無實根；
②當時，，在上單調遞增，
此時，
， 故在上有唯一實根；
，當時，由（1）知，在上單調遞增，
所以，
故
即在上無實根；
綜合，，得，有且僅有兩個實根，即的圖象與的圖象有且僅有2個交點.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題八
知識點一 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,利用導數研究不等式恒成立問題,由導數求函數的最
典例1、已知函數．
（1）若，求函數的單調遞減區間； （2）若，求函數在區間上的最大值；
（3）若在區間上恒成立，求的最大值.
隨堂練習：已知．
（1）若有最值，求實數a的取值范圍；
（2）若當時，，求實數a的取值范圍．
典例2、已知函數且．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
隨堂練習：已知．
（1）已知函數在點的切線與圓相切，求實數a的值；
（2）當時，，求實數a的取值范圍．
典例3、已知函數.
（1）若，求在處的切線方程； （2）求的最值；
（3）若時，，求a的取值范圍.
隨堂練習：設函數，記．
（1）求曲線在處的切線方程； （2）求函數的單調區間；
（3）若函數的圖象恒在的圖象的下方，求實數a的取值范圍．
知識點二 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,用導數判斷或證明已知函數的單調性,
利用導數證明不等式
典例4、設函數.
（1）若，求在點處的切線方程； （2）求的單調遞減區間；
（3）求證：不等式恒成立.
隨堂練習：已知函數.
（1）當時，求函數的圖象在處的切線方程；
（2）討論函數的單調性；
（3）當時，若方程有兩個不相等的實數根，求證：.
典例5、已知函數
（1）求曲線在點處的切線方程； （2）求的單調區間；
（3）若關于x的方程有兩個不相等的實數根，記較小的實數根為，求證：
隨堂練習：已知函數為常數，是自然對數的底數），曲線在點, 處的切線與軸平行．
（1）求的值； （2）求的單調區間；
（3）設，其中為的導函數．證明：對任意，．
典例6、已知直線是函數圖象的切線，也是曲線的切線．
（1）求，的值； （2）證明：當,,時，；
（3）當時，討論函數的單調性．
隨堂練習：已知函數，為的導函數．
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，求函數的單調區間和極值；
（3）當時，求證：對任意的，，且，有．
高考導數復習專題八答案
典例1、答案：（1） （2）答案見詳解 （3） 1
解：（1）當時，，則，
令．因為 ，則 所以函數的單調遞減區間是
（2）． 令，由，解得，（舍去）．
當，即時，在區間上，函數在上是減函數．
所以函數在區間上的最大值為；
當，即時，在上變化時，的變化情況如下表
x
+ + -
↗ ↘
所以函數在區間上的最大值為．
（3）綜上所述：當時，函數在區間上的最大值為；
當時，函數在區間上的最大值為．
當時，則在上恒成立 ∴函數在上是減函數，則
∴成立
當時，由（2）可知：
①當時，在區間上恒成立，則成立；
②當時，由于在區間上是增函數，
所以 ，即在區間上存在使得，不成立
綜上所述：的取值范圍為，即的最大值為．
隨堂練習：答案：（1） （2）
解：（1）函數的定義域為，，
當時，在上恒成立，則在上單調遞增，無最值，不合題意，舍去
當時，令，則，令，則
∴在上單調遞減，在上單調遞增，則在處取到最小值
所以，即實數a的取值范圍為．
（2）因為，，所以， 因為，所以成立．
令，則 令，則當時恒成立
∴在上單調遞增，則 則當時恒成立
所以函數在上單調遞增，所以，
所以，即實數a的取值范圍為．
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）當時，因為， 所以，，
又因為， 所以曲線在點處的切線方程為， 即；
（2）因為且， 所以，
當時，，所以在上單調遞增，取，則，不符合題意，
當時，令，解得或（舍），
當時，，所以在區間上單調遞減，
當時，，所以在區間上單調遞增，
所以在上的最小值為，
若恒成立，只需，解得， 綜上可知，的取值范圍是．
隨堂練習：答案：（1）或；（2）.
詳解:（1）由題知，，．在點的切線斜率為，
在點的切線方程為， 即，
由題意知，，解得或．
（2）設 ，
設，， 當時，，，，
即在上是增函數，，
當時，， 則當時，， 函數在上是增函數，
當時，，滿足題意，
當時，， 在上是增函數，，
存在上，使，當時，，函數在是減函數
當時，，不滿足題意．
綜上所述，實數的取值范圍為．
典例3、答案：（1） ； （2）答案見解析； （3） .
解：（1）當時，， 則，故，又，
所以在處的切線方程為，即
（2）， .
①當時，， 則在R上單調遞增，所以無最值；
②當時，令，得.
當時，; 當時，,
在上單調遞減，在上單調遞增，
所以函數在處取得最小值為 無最大值.
綜上，當時，無最值；當時，有 最小值為，無最大值.
（3）由題意得對于任意的恒成立， 且當x=0時，等號成立.
令則，
①若，則. 令, 則，顯然在[0，+∞)上恒成立，
在[0，十∞)上單調遞增，即在[0，十∞)上單調遞增.
當，即時，. 又, 易證，
, ，使，
時，,即在上單調遞減， 對，不符合題意;
當,即時，, 在上單調遞增，
，，符合題意，所以;
②當時，只需證明當時，即可.
令 ， 則
， 易得即在上單調遞增，
故時，， ，，即在上單調遞增，
所以，即當時，在上恒成立，
綜上所述，的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1） ； （2）單調區間見解析； （3）
解：（1），所以，，則切線方程為.
（2），，
當時，，則在上為增函數；
當時，，即，則在上為增函數，上為減函數.
綜上所述，當時，則的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
當時，則的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（3）函數的圖象恒在的圖象的下方，即恒成立；
由(2)知，當時，則在上為增函數，此時無最大值，
事實上，不合題意；
當時，在上為增函數，上為減函數.
所以，故； 即實數a的取值范圍是
典例4、答案：（1） （2） （3）證明見解析
解：（1）當時，，， ，又，
在點處的切線方程為：，即.
（2）由題意得：定義域為，； 令，解得：，
當時，；當時，； 的單調遞減區間為.
（3）設，則，
在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，又，，
，使得，則，，
在上單調遞減，在上單調遞增，
（當且僅當時取等號），
又，，，即恒成立.
隨堂練習：答案：（1）；（2）當時，在上是減函數；當 時，在上是增函數；（3）證明見解析.
解:（1）當時，，
所以 ，，
所以函數的圖象在處的切線方程為，即；
（2）由已知得，，令，得，
所以當時，，當時，，
所以在上是減函數，在上是增函數；
（3）當時，，，由（2）得在上單調遞減，在單調遞增，
所以，且時，，當時，，，
所以當方程有兩個不相等的實數根，不妨設，且有，，
構造函數，則，
當時，所以，
在上單調遞減，且，，
由 ，
在上單調遞增，
.
所以.
典例5、答案：（1）；（2）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增；（3）證明見解析.
解:（1），， ，，
所以在點處的切線方程為， 整理得：，
（2）函數定義域為，
當時，，此時在上單調遞增； 當時，令，得，
此時在上，單調遞減， 在上，單調遞增，
綜上：時，在上單調遞增，時，在上單調遞減，在上單調遞增；
（3）證明：由（2）可知，當時，才有兩個不相等的實根，且，
則要證，即證，即證， 而，則，否則方程不成立），
所以即證，化簡得，
令，則， 當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增， 所以（1），而，
所以， 所以，得證．
隨堂練習：答案：（1） ； （2）在遞增，在遞減； （3）證明見解析.
解：（1）由題設，，，
又在,處的切線與軸平行，即， .
（2）由（1）得：，， 令，，
當時，，當時，，又，
時，，時，， 在遞增，在遞減；
由，即，，，，
（3）由（2），對于，， ，，
時，遞增，,時，遞減，
，即， 設，則，
時，遞增，即，則，
綜上，，故，，得證．
典例6、答案：（1） ，； （2）證明見解析；
（3） 在上單調遞增，在上單調遞減.
解：（1）設與和的切點分別為,、,；
， ，， ，可得，
切線方程分別為即，
或即，
，解得， ，；
（2）令，,,，則，
令，解得：，令，解得：，
故在遞增，在遞減，則，故,,時，即；
，則，故，
在上單調遞減，而，，
（3）由（2）中的單調性，可得：， 由（2）及可得：，
使得，即時，時，
∴在上單調遞增，在上單調遞減．
隨堂練習：：答案： （1） ；（2）函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；的極小值為，無極大值 ；（3）證明見解析 ．
解： （1）當時，，．可得，，所以曲線在點 處的切線方程為， 即．
（2）依題意，．
從而可得，整理可得：， 令，解得．
當x變化時，的變化情況如下表：
x
- 0 +
單調遞減 極小值 單調遞增
所以，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為；
的極小值為，無極大值．
（3）證明：由，得．對任意的，，且，令，則：
． ①
令，． 當時，，
由此可得在單調遞增， 所以當時，，即．
因為，，，
所以 ． ②
由（2）可知，當時，，即， 故 ③
由①②③可得．
所以，當時，任意的，且，有．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題九
知識點一 求在曲線上一點處的切線方程（斜率）,用導數判斷或證明已知函數的單調性,
利用導數證明不等式
典例1、設函數，其中為自然對數的底數.
（1）當時，判斷函數的單調性（2）若直線是函數的切線，求實數的值；
（3）當時，證明：.
隨堂練習：已知函數，且曲線在處的切線平行于直線．
（1）求a的值； （2）求函數的單調區間；
（3）已知函數圖象上不同的兩點，試比較與的大小．
典例2、已知函數
（1）若曲線在點處的切線與軸平行.（i）求的值；（ii）求函數的單調區間；
（2）若，求證：.
隨堂練習：已知函數，g .
（1）求在點處的切線方程； （2）討論的單調性；
（3）當時，求證： .
典例3、形如的函數稱為冪指函數，冪指函數在求導時，可以利用對數法：在函數解析式兩邊取對數得，兩邊對求導數，得，于是.已知，.
（1）求曲線在處的切線方程； （2）若，求的單調區間；
（3）求證：恒成立.
隨堂練習：已知函數，．
（1）求曲線在處的切線方程； （2）求函數在上的單調區間；
（3）證明：對任意的實數，，，都有恒成立．
知識點二 函數單調性、極值與最值的綜合應用,利用導數證明不等式
典例4、已知函數在處的切線過點，a為常數．
（1）求a的值； （2）證明：．
隨堂練習：已知函數(為自然對數的底數，為常數)的圖像在(0，1)處的切線斜率為.
（1）求的值及函數的極值； （2）證明：當時，.
典例5、已知函數.
（1）當時，恒成立，求的取值范圍；
（2）若曲線的一條切線為，證明：當時，恒成立.
隨堂練習：：已知函數（），曲線在點處的切線在軸上的截距為.
（1）求的最小值； （2）證明：當時，.
典例6、已知函數.
（1）當時，求的單調區間；（2）若恒成立，求a的值；
（3）求證：對任意正整數，都有（其中e為自然對數的底數）.
隨堂練習：已知曲線在處的切線方程為．其中a、b均為實數．
（1）求的值； （2）若是函數的極小值點，證明：．
高考導數復習專題九答案
典例1、答案：（1）在區間上單調遞增.（2）（3）見證明
解：（1）函數的定義域為.
因為，所以， 所以在區間上單調遞增.
（2）設切點為，則，
因為，所以，得， 所以.
設，則， 所以當時，，單調遞增，
當時，，單調遞減， 所以.
因為方程僅有一解， 所以.
（3）因為，
設，則，所以在單調遞增.
因為，， 所以存在，使得.
當時，，，單調遞減，當時，，，單調遞增，
所以. 因為，所以，，
所以.
隨堂練習：答案： （1）；（2）函數的單調增區間是，單調減區間是；
（3）
解: （1）的定義域為．
曲線在處的切線平行于直線，，．
（2），．
當時，是增函數；當時，是減函數．
函數的單調增區間是，單調減區間是．
（3），，．
又，
．
設，則， 在上是增函數．
令，不妨設，，，
即．又，，．
典例2、答案：（1）（i），（ii）單增區間為，單遞減區間為（2）證明見解析.
解:（1）（i）定義域為，由 可得，
因為曲線在點處的切線與軸平行， 所以，可得：，
（ii）當時，，， 令，則，
所以在上單調遞減，且，
所以當時，，；當時，，；
所以單增區間為，單遞減區間為；
（2）要證明，即證， 等價于
令，只需證明， ，，
由得有異號的兩根， 令其正根為，則，
當時，；當時，；
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，
因為，，所以，
所以，，可得，
所以，即.
隨堂練習：答案：（1） （2）當時，在R上單調遞增；當時，在 上單調遞減，在上單調遞增； （3）證明見解析
解：（1）定義域為，，則，
所以在點處的切線方程為：，即
（2）定義域為R，，當時，恒成立，在R上單調遞增，
當時，令，解得：，令，
解得：，故在上單調遞減，在上單調遞增，
綜上：當時，在R上單調遞增；當時，在上單調遞減，
在上單調遞增.
（3）令，，，當時，，
單調遞減，故，即，故，
令，，其中，
則，
令，則，令，解得：，
當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，，由于，故，
所以在上恒成立，故在上單調遞增，，
所以，證畢.
典例3、答案：（1）；（2）的單調增區間為，無單調減區間；（3）證明見解析.
解: （1）由冪指函數導數公式得， 所以，又，
所以，曲線在處的切線方程為.
（2），
則，
所以的單調增區間為，無單調減區間.
（3）構造，， 則，
令， 所以，
因為與同號，所以，所以，又，所以，
所以即為上增函數，又因為， 所以，當時，；
當時，. 所以，為上減函數，為上增函數，
所以，， 即，
因此，恒成立，即證.
隨堂練習：答案：（1）；（2）單調遞增區間是，單調遞減區間是；
（3）證明見解析.
解:（1）由題意可知，，， 所以，
所以在處的切線方程為，即．
（2），
當時，； 當時，；
所以函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是．
（3）證明：不等式 可化為．
設， 即證函數在上是增函數，
即證在上恒成立，
即證在上恒成立． 令，則，
在上單調遞減，在上單調遞增，， 所以，即．
因為，所以， 所以要證成立，只需證．
令，， 則，
當時，，單調遞減； 當時，，單調遞增，
所以， 所以，
即在上恒成立，即證．
典例4、答案：（1） （2）證明見解析.
解：（1）由，得， 所以，，
因為在處的切線過點， 所以，
所以，解得，
（2）證明：要證，即證， 即證，
即證， 因為， 所以即證，
令，則， 當時，，當時，，
所以在上遞減，在上遞增， 所以， 所以恒成立，
令，則， 所以在遞增，
所以當時，取得最小值0， 所以原不等式成立.
隨堂練習：答案：（1），極小值，無極大值 （2）證明見解析
解：（1）由，得. 由題意得，，即，
所以，. 令，得，
當時，，則在上單調遞減；
當時，，則在上單調遞增．
所以當時，取得極小值，且極小值為， 無極大值．
（2）證明：令，則. 由(1)知，，
故在上單調遞增． 所以當時，， 即.
典例5、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由，得，
當時，在上恒成立，所以在上單調遞增，
，此時恒成立，
當時，令則，解得， 當時，，
當時，， 所以在上單調遞增，在上單調遞減.
當時，取得最小值為 ，不滿題意，
綜上所述，的取值范圍為.
（2）由題意可知，， 所以，
設切線為的切點為， 則 ，解得，
所以， 所以，
要證，只需證即可，
所以表示點與點連線的斜率，
因為，所以當距的距離越遠，斜率越小，當b趨近a時，，
所以成立，即證.
隨堂練習：答案：（1） 的最小值為0. （2）詳見解析.
解：（1），，
故曲線在點處的切線方程為：
將代入求得，所以.
當時，，單調遞增； 當時，，單調遞減；
所以， 故的最小值為0.
（2）由（1）知當時，，從而
所以有，，（當時等號成立）， 所以有，
要證成立，只要證成立，
令，且 ， ，
故在上為增函數，所以
即恒成立，故成立，
所以成立.
典例6、答案：（1） 單調增區間是，單調減區間是和 （2） （3）證明見解析
解：（1）的定義域為，，
令得或，當時，；當時，；當時，，
∴的單調增區間是，單調減區間是和.
（2）由，得對恒成立. 記，，
1°若，則恒成立，在上單調遞減，
當時，，不符合題意.
2°若，令，得， 當時，；當時，，
∴在上單調遞增，在上單調遞減， ∴.
記，. 令得，
當時，；當時，，
∴在上單調遞減，在上單調遞增.
∴，即（當且僅當時取等號），
∴.又因為，故.
（3）由（2）可知：，（當且僅當時等號成立）.
令，則，（，3，4…，n）.
∴，
即，
也即，
所以，
故對任意正整數，都有.
隨堂練習：答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）定義域為 ， ， 由題意知， ,
解得 , ∴;
（2）由（1）知 ， 令 ，則 ，
從而 ，即單調遞增，
，故存在唯一的 使得，
故可得下表：
x
- 0 +
遞減 極小值 遞增
從而是僅有的一個極小值點，∴ ，∴，
令 ， 則 ，
從而 在 上單調遞減，， 故 ；
下證 ，即證； 一方面令，則，
則 在上單調遞增，從而 ，
另一方面，令， 令有，
x
+ 0 -
遞增 極大值 遞減
從而， 從而即成立，故 ，
故.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）高考導數復習專題十
知識點一 利用導數證明不等式,利用導數研究方程的根,求已知函數的極值點
典例1、己知函數（e是自然對數的底數）.
（1）若是函數的兩個零點，證明：；
（2）當時，若對于，曲線與曲線都有唯一的公共點，求實數m的取值范圍.
隨堂練習：已知函數（）
（1）當時，有兩個實根，求取值范圍；
（2）若方程有兩個實根，且，證明：
典例2、已知函數，.
（1）若不等式對于恒成立，求實數的取值范圍；
（2）若方程有且僅有兩個實根，①求實數的取值范圍； ②證明：.
隨堂練習：已知函數在處的切線方程為．
（1）求a，b的值；（2）若方程有兩個實數根，
①證明：；②當時，是否成立？如果成立，請簡要說明理由．
典例3、已知函數，其中.
（1）求函數的單調區間； （2）當時，
①證明：； ②方程有兩個實根，且，求證：.
隨堂練習：已知函數.
（1）若，討論的單調性； （2）若方程有兩個不同的實數根.
（i）求的取值范圍；（ii）若，求證：. (參考數據：)
知識點二 利用導數研究函數的零點,含參分類討論求函數的單調區間
典例4、設函數，.
（1）討論函數的單調性；（2）若函數在處有極值且，當函數恰有三個零點時，求實數的取值范圍.
隨堂練習：已知函數，其中e為自然對數的底數.
（1）求的單調區間：（2）若函數在區間上存在零點，求實數a的取值范圍.
典例5、已知函數，.
（1）討論的單調性；（2）設，函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍.
隨堂練習：已知函數．
（1）討論的單調性；（2）設，若有3個互不相等的實根，求的取值范圍．
典例6、已知函數，.
（1）討論的零點個數；（2）若對，不等式恒成立，求a的取值范圍.
隨堂練習：已知函數，，其中是的導函數.
（1）討論函數的單調性；（2）若關于的方程有且僅有一個實根，求的取值范圍.
高考導數復習專題十答案
典例1、答案：（1）答案見解析 （2）
解：（1）由，得， 令，解得或，
當時，，和時，
，單調遞增，時，，單調遞減；
當時，恒成立，在上單調遞增； 當時，，和時，
，單調遞增，當時，，單調遞減；
綜上所述：當時，的單調遞增區間為和，的單調遞減區間為；
當時，在上單調遞增，無減區間；
當時，的單調遞增區間為和，的單調遞減區間為；
（2）因為函數在處有極值且 所以，即，解得，
當時，，，
令，解得或，
單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
所以函數在處取極小值，即成立；
的單調遞增區間為和，單調遞減區間為，所以，，
如圖所示，
函數有三個零點，可轉化為函數與函數有三個交點，
數形結合可知，， 解得， 所以的取值范圍為.
隨堂練習：答案：（1）見解析 （2）
解：（1）∵，∴， 當時，恒成立，
所以的單調遞增區間為，無單調遞減區間.
當時，令，得：令，得，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
綜上：當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；
（2）當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
由（1）知. 當時，函數在區間上單調遞增且，
所以函數在區間上不存在零點.所以當時，在區間上單調遞減且，
所以函數在區間上不存在零點.
所以當時，函數在區間上單調遞減，在上單調遞增，
又∵，，∴當，即時，函數在區間上不存在零點；
當，即時，函數在區間上存在零點.
綜上，實數a的取值范圍為.
典例2、答案：（1） 答案見解析 （2）
解：（1）函數的定義域為，且.
當時，即當時，對任意的，，此時函數的增區間為；
當時，即當時，由可得，由可得，
此時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
綜上所述，當時，函數的增區間為；
當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2）由，可得，其中，
構造函數，其中，所以，直線與函數的圖象有兩個交點，
，當時，，此時函數單調遞增，
當時，，所以，函數單調遞減，
所以，函數的極大值為，且當時，，如下圖所示：
由圖可知，當時，直線與函數的圖象有兩個交點，因此，實數的取值范圍是.
隨堂練習：答案：（1） 答案見解析 （2）
解：（1）， ，
時,令，即，
，，在上單調遞減，
，，在上單調遞增；
當時， ，，在上單調遞增.
（2）， 令，則有2個互不相等的實根，
設，，則代表，兩個函數有2個交點
如圖，設切點坐標為， ，，
則切線方程為： 又切點在上，
聯立①②，解得，切線斜率 因此 的取值范圍為
典例3、答案：（1） 答案見解析； （2） .
解：（1）由已知可得，定義域為，.
因為，解可得，. 解可得，，所以在上單調遞減；
解可得，，所以在上單調遞增.
所以，在處有唯一極小值，也是最小值，.
所以，當時，，恒成立，此時的零點個數為0；
當時，，有唯一零點；
當時，，此時有， 且.
由在上單調遞減，，，
根據零點的存在定理可知，，即，使得；
令，，則在上恒成立，
所以在上單調遞減，又，所以.
所以在上恒成立， 又，，
又在上單調遞增，
根據零點的存在定理可知，，即，使得.
所以是的零點，所以的零點個數為2.
綜上所述，當時，的零點個數為0；當時，有1個零點；
當時，的零點個數為2.
（2）由已知可得，. 因為，，所以有
令，對于，，
則，則對恒成立，即對恒成立.
令，則只需即可. ，所以在上單調遞增.
所以， 所以，解得.
隨堂練習：答案：（1） 當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增. （2） .
解：（1），，，
當時，對，恒成立，故在上單調遞增；當時，令，解得；
令，解得， 故在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）等價于，即， 所以，
令， 則方程有且只有一個實數根等價于函數只有個零點，
令，因為為的一個零點， 則僅有一個零點為或無零點.
①若是僅有的一個零點，則，所以，
此時，則，，
所以存在，使得，與僅有一個零點矛盾，故.
②若無零點， 因為， 當時，，則在R上單調遞增，
又，， 所以存在，使得，與題意不符；
當時，，對，，在R上無零點，符合題意；
當時，令，得，令，得，
所以在上單調遞減，在上單調遞增，
所以，若無零點，則，
又，所以，即.
綜上所述，關于x的方程有且僅有一個實根時，實數a的取值范圍為.
典例4、答案：（1） 見解析； （2） .
解：（1）證明：因為是函數的兩個零點，且， 所以，即有，
，即有， 則有， 令,
因為， 所以， 則，解得：，即 ，
則，
因為，所以， 所以， 即要證，
設， 則，則有，
令，則， 又，所以，
所以在上單調遞增，即在上單調遞增， 所以，
故在上單調遞增， 又， 所以， 即，
則， 故有；
（2）當時，， 令，
又因為曲線與曲線都有唯一的公共點，
即有唯一的解， 因為，
當，即時，， 則函數單調遞增，
又趨于0時， 趨于，趨于時， 趨于，
則只有唯一的解，滿足題意，
當，即時，令，
即得有兩個解：，，
由韋達定理可得， 故兩個解一個大于4，一個小于4，即，
又因為，所以，則有， 當時，，函數單調遞減，
則函數在和上單調遞增，在上單調遞減，
故函數存在一個極大值和一個極小值，且極大值點為，極小值點為，
要使有唯一的解， 只需大于極大值或小于極小值，
即或， 當時， 即恒成立，
又， 即， 則，
令， 求導可得， 令，得，
當時，，即單調遞增， 當時，，即單調遞減，
則在上單調遞增，在上單調遞減，又， 所以，
要使恒成立，則有； 當時， 即恒成立，
又， 即， 則，
又在上單調遞減， 故在上無最小值，
又，則不存在使恒成立， 綜上，實數的取值范圍為.
隨堂練習：答案：（1） 取值范圍是 （2）證明見解析
解：（1）的定義域為， ，
在上單調遞增，所以的取值范圍是.
（2）的定義域為， 有兩個不相等的實數根，
令，由（1）知在上遞增，則，
則有兩個不相等的零點，，
，.
要證，只需證，即證， 即證，
， 故只需證，
不妨設，令， 則只需證， 只需證，
令， ， 所以，
即當時，成立. 所以，即，所以.
典例5、答案：（1） ； （2）①；②證明見解析.
解：（1）因為不等式對于恒成立，即對于恒成立
所以，令，則，
所以當時，遞增；當時，遞減；
即在處取得極大值也為最大值，從而.
（2）①方程，即， 所以，
令，則， 因為單調遞增，所以，
因為有且僅有兩個實根，
所以有且僅有兩個實根，即有且僅有兩個實根，
令，則，
由（1）知：在上遞增，在上遞減，
而在上值域為，上值域為，
由有兩個零點，則，即，
當時，，所以，
由零點存在定理知：在上存在唯一零點，
當時，令，則，故遞減，
所以，即， 故，
令得：，即有，所以，
由零點存在定理知：在上存在唯一零點，
綜上，有且僅有兩個零點， 所以.
②因為有且僅有兩個實根，不妨設，所以，兩式相除得，
令，解得，
要證，即證，即證，即證，
令，則對恒成立，
所以，證得.
隨堂練習：答案：（1） ， （2）①證明見解析，②成立，理由見解析
解：（1）， 因為函數在處的切線方程為，
所以，，
∴，或，（舍）， 所以，；
（2）①證明：由（1）可知，，
令， 則，令，得，
所以函數在上遞減，在上遞增， 所以，
即， 又，，，，
且，，∴，使得，即，即，
當時，，當時，，所以函數在上遞減，在上遞增，
所以，
∵，∴，令，則 ，
所以函數在上遞增， 故， 所以，
即， ∴；
②解：成立，理由如下： 當直線過，時割線方程為，
得，當直線過，時割線方程為，得，
∴.
典例6、答案：（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為
（2）①證明見解析；②證明見解析
解：（1）函數的定義域為，函數的導數，解得，
所以當時，此時，函數單調遞減區間為，
所以當時，此時，函數單調遞增區間為，
所以函數單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（2）當時，①要證不等式成立，即證明成立.即證明成立.
令 當時，此時，
當時，此時， 所以在單調遞減，在單調遞增
所以最小值為， 恒成立，即恒成立得證.
②由①得恒成立，即直線始終在曲線下方或有唯一切點，
又結合（1）可知單調遞減區間為，單調遞增區間為，
所以當時取最小值，
且當時，；當時，；當時，.
所以方程有兩個實根，則，且.
由直線與聯立解得交點的橫坐標，顯然
因此，要證，只要證即可
即證，即證即可
又因為，所以只要證
令恒成立
所以在單調遞增，即
所以得證，原命題得證.
隨堂練習：答案：（1） 答案見解析； （2）(i)；(ii)證明見解析.
解：（1）的定義域為， 當時，.
設，則，由得：，
當時，；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，
的最大值為， ，即在上恒成立，
在上單調遞減.
（2）（i）由得：，即.
設，則，由得：，
當時，函數單調遞增， 當時，函數單調遞減，
有極大值也是最大值， 當時，，當時，.
要使有兩個不同的實數根，則，
即，即實數m的取值范圍為.
（ii）證明：，則，即，故.
設，由得， 設，則，
設，則，
在上單調遞增，故，故，
在上單調遞增，故，
，結合（i）有.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）

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