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重難點(diǎn)突破04 初等數(shù)論與平面幾何背景下新定義
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：進(jìn)位制 2
題型二：數(shù)對(duì)序列 4
題型三：群論 6
題型四：平面幾何 8
題型五：置換 10
題型六：余數(shù)、約數(shù) 12
03 過關(guān)測(cè)試 13
在初等數(shù)論與平面幾何的背景下，新定義和方法的發(fā)展為這兩個(gè)領(lǐng)域注入了新的活力。
數(shù)論中，新定義往往源于對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律及數(shù)列模式的深入探索。方法上，我們強(qiáng)調(diào)邏輯推理的嚴(yán)密性，運(yùn)用歸納法、反證法等技巧解決復(fù)雜問題。同時(shí)，注重?cái)?shù)與形的結(jié)合，通過圖形直觀展示數(shù)論概念，降低理解難度。
平面幾何中，新定義關(guān)注圖形的性質(zhì)、變換及相互關(guān)系。方法上，我們運(yùn)用公理化體系，從基本性質(zhì)出發(fā)推導(dǎo)出復(fù)雜結(jié)論。此外，注重圖形的構(gòu)造與變換，通過旋轉(zhuǎn)、平移等操作揭示幾何規(guī)律。
總結(jié)而言，初等數(shù)論與平面幾何的新定義和方法發(fā)展，要求我們不斷提升邏輯推理能力，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。同時(shí)，注重?cái)?shù)與形的結(jié)合，以及圖形的構(gòu)造與變換，以更全面地理解和掌握這兩個(gè)領(lǐng)域的精髓。
題型一：進(jìn)位制
【典例1-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和計(jì)算方便而約定的記數(shù)方式，通常“滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿八進(jìn)一，就是八進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制……；滿幾進(jìn)一，就是幾進(jìn)制”．
我們研究的正整數(shù)通常是十進(jìn)制的數(shù)，因此，將正整數(shù)的各位上的數(shù)字分別記為，則表示為關(guān)于10的次多項(xiàng)式，即，其中，，記為，簡(jiǎn)記為．
隨著計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，表示整數(shù)除了運(yùn)用十進(jìn)制外，還常常運(yùn)用二進(jìn)制、八進(jìn)制等等．更一般地，我們可類似給出進(jìn)制數(shù)定義．
進(jìn)制數(shù)的定義：給出一個(gè)正整數(shù)，可將任意一個(gè)正整數(shù)，其各位上的數(shù)字分別記為，則唯一表示為下列形式：，其中，，并簡(jiǎn)記為．
進(jìn)而，給出一個(gè)正整數(shù)，可將小數(shù)表示為下列形式：，其中，，并簡(jiǎn)記為．
(1)設(shè)在三進(jìn)制數(shù)下可以表示為，在十進(jìn)制數(shù)下可以表示為，試分別將轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，；
①當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②證明：當(dāng)時(shí)，．
【典例1-2】（2024·福建泉州·二模）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，如果約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制：滿十六進(jìn)一，就是十六進(jìn)制．k進(jìn)制的基數(shù)就是k．我們?nèi)粘Ｉ钪凶钍煜ぁ⒆畛Ｓ玫木褪鞘M(jìn)制．例如，數(shù)3721也可以表示為：一般地，如果k是大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為．其中．為了簡(jiǎn)便，也會(huì)把它寫成一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式：，如果不加下標(biāo)就默認(rèn)是十進(jìn)制．
(1)令集合，將B中的元素按從大到小的順序排列，則第100個(gè)數(shù)為多少？
(2)若，記為整數(shù)n的二進(jìn)制表達(dá)式中0的個(gè)數(shù)，如，求的值．（用數(shù)字作答）
(3)十進(jìn)制中的數(shù)999在其他進(jìn)制中是否也可以表示成一個(gè)各位數(shù)字之和為27的三位數(shù)？如果能，請(qǐng)求出所有的k進(jìn)制數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
【變式1-1】（2024·河南·三模）定義1 進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．
定義2 三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．
(1)若是三角形數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的的值；
(2)若是完全平方數(shù)，求的值；
(3)已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．
【變式1-2】（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）1642年，帕斯卡發(fā)明了一種可以進(jìn)行十進(jìn)制加減法的機(jī)械計(jì)算機(jī)年，萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī)，但萊布尼茲認(rèn)為十進(jìn)制的運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來過于復(fù)雜，隨即提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念之后，人們對(duì)進(jìn)位制的效率問題進(jìn)行了深入的研究研究方法如下：對(duì)于正整數(shù)，，我們準(zhǔn)備張不同的卡片，其中寫有數(shù)字0，1，…，的卡片各有張如果用這些卡片表示位進(jìn)制數(shù)，通過不同的卡片組合，這些卡片可以表示個(gè)不同的整數(shù)例如，時(shí)，我們可以表示出共個(gè)不同的整數(shù)假設(shè)卡片的總數(shù)為一個(gè)定值，那么進(jìn)制的效率最高則意味著張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)最大根據(jù)上述研究方法，幾進(jìn)制的效率最高？
題型二：數(shù)對(duì)序列
【典例2-1】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)對(duì)序列， 記，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，
(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序列， 求的值
(2)記m為a、b、c、d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)， 對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a， b)， (c， d)組成的數(shù)對(duì)序列和， 試分別對(duì)m=a和m=d時(shí)兩種情況比較和的大小
(3)在由5個(gè)數(shù)對(duì)(11， 8)， (5， 2)， (16， 11)， (11， 11)， (4， 6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中， 寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使最小， 并寫出的值(只需寫出結(jié)論)．
【典例2-2】（2024·高一·上海楊浦·期中）對(duì)于四個(gè)正數(shù)，若滿足，則稱有序數(shù)對(duì)是的"下位序列".
(1)對(duì)于2、3、7、11，有序數(shù)對(duì)是的"下位序列"嗎 請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由;
(2)設(shè)均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷之間的大小關(guān)系；
(3)設(shè)正整數(shù)滿足條件:對(duì)集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)的最小值.
【變式2-1】（2024·高三·北京西城·期末）給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.
(1)當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.
題型三：群論
【典例3-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）稱代數(shù)系統(tǒng)為一個(gè)有限群，如果
1、為一個(gè)有限集合，為定義在上的運(yùn)算(不必交換)，
2、
3、稱為的單位元
4、，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運(yùn)算.
(1)設(shè)為有限群的子群，為中的元素. 求證:
(i)當(dāng)且僅當(dāng)；
(ii)與元素個(gè)數(shù)相同.
(2)設(shè)為任一質(zhì)數(shù).上的乘法定義為，其中[x]為不大于的最小整數(shù).已知構(gòu)成一個(gè)群，求證:(其中表示個(gè)作運(yùn)算)
【典例3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非空集合，定義其在某一運(yùn)算（統(tǒng)稱乘法）“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”，簡(jiǎn)記為．而判斷是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：
1、（封閉性）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；
2、（結(jié)合律）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；
3、（恒等元）存在，使得對(duì)任意，；
4、（逆的存在性）對(duì)任意，都存在，使得．
記群所含的元素個(gè)數(shù)為，則群也稱作“階群”．若群的“×”運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意，，我們稱為一個(gè)阿貝爾群（或交換群）．
(1)證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群；
(2)記為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“×”運(yùn)算使得在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，并說明理由；
(3)所有階數(shù)小于等于四的群是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說明理由．
【變式3-1】（2024·安徽蕪湖·二模）對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個(gè)平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對(duì)稱性，并記m為K的一個(gè)對(duì)稱變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合S．一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來說作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
對(duì)于一個(gè)群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群．

(1)直接寫出集合S（用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素）；
(2)同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如．對(duì)于集合S中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，．
①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個(gè)群；
②已知H是群G的一個(gè)子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；
③寫出群S的所有子群．
題型四：平面幾何
【典例4-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理（西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”）.如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】在平面幾何里有射影定理：設(shè)的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則．拓展到空間，在四面體中，⊥面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式4-1】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，S表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.如圖，等腰梯形∥，已知，則其重心到的距離為（ ）

A． B． C． D．
【變式4-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【變式4-3】（2024·高三·廣東揭陽(yáng)·期末）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)了九點(diǎn)圓，即在任意的三角形中，三邊的中點(diǎn)、三條高的垂足、三條高的交點(diǎn)（垂心）與三角形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)共圓，因此九點(diǎn)圓也稱作歐拉圓．已知在中，，，，則的九點(diǎn)圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】（多選題）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，為定值
D．的最大值為16
【變式4-5】（多選題）萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家.歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把整個(gè)數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型五：置換
【典例5-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“對(duì)稱性”是一個(gè)廣義的概念，包含“幾何對(duì)稱性”、“置換對(duì)稱性”等范疇，是數(shù)學(xué)之美的重要體現(xiàn)．假定以下各點(diǎn)均在第一象限，各函數(shù)的定義域均為．設(shè)點(diǎn)，，，規(guī)定，且對(duì)于運(yùn)算“”，表示坐標(biāo)為的點(diǎn)．若點(diǎn)U，V，W滿足，則稱V與U相似，記作V~U．若存在單調(diào)函數(shù)和，使得對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)T，均在圖像上，則稱為的鏡像函數(shù)．
(1)若點(diǎn)，，且N~M，求的坐標(biāo)；
(2)證明：若為的鏡像函數(shù)，，則；
(3)已知函數(shù)，為的鏡像函數(shù)．設(shè)R~S，且．證明：．
【典例5-2】一個(gè)如果定義在上的函數(shù)使得，則稱是一個(gè)元置換，可以用一個(gè)的數(shù)表來簡(jiǎn)單表示，例如表示一個(gè)4元置換，對(duì)于一個(gè)元置換和，按照的遞推關(guān)系定義的數(shù)列稱為關(guān)于生成的數(shù)列．
(1)對(duì)于3元置換，直接寫出2關(guān)于的生成數(shù)列的前四項(xiàng)；
(2)給出兩條新定義：
①對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意正整數(shù)，都有，則稱是一個(gè)周期數(shù)列，并稱是的一個(gè)周期；
②對(duì)于一個(gè)元置換，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都是關(guān)于的生成數(shù)列的一個(gè)周期，則稱是元置換的一個(gè)周期．
對(duì)于5元置換，求的一個(gè)周期；
(3)王老師有一個(gè)特制機(jī)關(guān)盒和一把特制鑰匙，鎖孔內(nèi)部有10個(gè)互不相同的可移動(dòng)的凹槽，鑰匙上有10個(gè)對(duì)應(yīng)的固定的齒，必須所有的齒與對(duì)應(yīng)的凹槽同時(shí)匹配后，再按下開關(guān)，才能打開機(jī)關(guān)盒，鑰匙每順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，就會(huì)按照某個(gè)10元置換運(yùn)作，將在第個(gè)位置的凹槽轉(zhuǎn)移到第個(gè)位置上．機(jī)關(guān)盒原本處于打開狀態(tài)，但一位貪玩的同學(xué)將機(jī)關(guān)盒關(guān)上后，又把鑰匙順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈，且操作不當(dāng)弄壞了零件，導(dǎo)致鑰匙只能繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，而且只有一次按下開關(guān)的機(jī)會(huì)，如果按下開關(guān)時(shí)所有的齒與凹槽沒有匹配上，機(jī)關(guān)盒就會(huì)徹底報(bào)廢．問：王老師還有辦法打開機(jī)關(guān)盒嗎？他要至少繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)鑰匙多少次，才能保證能打開機(jī)關(guān)盒？
【變式5-1】（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合的函數(shù)稱為次置換.滿足對(duì)任意的置換稱作恒等置換.所有次置換組成的集合記作.對(duì)于，我們可用列表法表示此置換：，記.
(1)若，計(jì)算；
(2)證明：對(duì)任意，存在，使得為恒等置換；
(3)對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，......，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的牌型？請(qǐng)說明理由.
題型六：余數(shù)、約數(shù)
【典例6-1】約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.
(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，求證：.
【典例6-2】（河北省2024屆高三學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)（V）數(shù)學(xué)試題）設(shè)a，b為非負(fù)整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．
(1)求證：；
(2)若p是素?cái)?shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理．應(yīng)用費(fèi)馬小定理解決下列問題：
①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有；
②求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)．
【變式6-1】（湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)2024屆高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”問題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)被除余，我們可以寫作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國(guó)剩余定理”）是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國(guó)剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：，，…，方程組一定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．
(1)求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第個(gè)滿足條件的正整數(shù)；
(2)在不超過4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和．（提示：可以用首尾進(jìn)行相加）．
【變式6-2】（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）“剩余定理”又稱“孫子定理”.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此算法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”該定理講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2029這2029個(gè)整數(shù)中，能被3除余2且能被4除余2的數(shù)按從小到大順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列所有項(xiàng)中，中間項(xiàng)為（）
A．1010 B．1020 C．1021 D．1022
1．歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的出發(fā)點(diǎn)．其中第命題是著名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路:如圖，中，，四邊形、、都是正方形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．先證明與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進(jìn)一步定理得證.在該圖中，若，則（　　）
A． B． C． D．
2．幾何學(xué)有兩個(gè)偉大的瑰寶，一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，另一個(gè)是黃金分割.畢達(dá)哥拉斯幾何學(xué)中有一個(gè)關(guān)于五角星結(jié)構(gòu)的問題.如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正五邊形有5條對(duì)角線，這些對(duì)角線相交于五點(diǎn)，它們組成了另一個(gè)正五邊形，則的值為（ ）(參考數(shù)值：)
A． B． C． D．
3．（2024·河南洛陽(yáng)·三模）首位數(shù)定理：在進(jìn)位制中，以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個(gè)定理.已知某銀行10000名儲(chǔ)戶的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上述定理，則下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為
B．存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%
C．存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率
D．存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%
4．（2024·高三·上海寶山·開學(xué)考試）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中.有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“.”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：
①對(duì)任意的，有；
②對(duì)任意的，有；
③存在，使得對(duì)任意的，有稱為單位元；
④對(duì)任意的，存在，使，稱與互為逆元.
則稱關(guān)于“.”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
5．（多選題）（2024·山西·一模）群的概念由法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué) 晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元，記作.一般地，可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作，以此類推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對(duì)正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對(duì)稱變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對(duì)運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對(duì)稱變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說法中，正確的有（ ）
A．，且
B．與互為逆元
C．中有無(wú)窮多個(gè)元素
D．中至少存在三個(gè)不同的元素，它們的逆元都是其本身
6．（多選題）（2024·高二·全國(guó)·期末）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素，，都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元.根據(jù)以上信息，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．和均關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群
7．（多選題）（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）群論是代數(shù)學(xué)中一門很重要的理論，我們熟知的一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論的知識(shí)證明，群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，若滿足：
①有；
②，使得，有；
③，使，
則稱關(guān)于“”構(gòu)成一個(gè)群，則下列說法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
C．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
8．任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則 ．
9．莫利定理，也稱為莫雷角三分線定理，是由英國(guó)數(shù)學(xué)家法蘭克·莫利于1899年左右發(fā)現(xiàn)的一個(gè)幾何定理.該定理的內(nèi)容如下：將任意三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，則靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形.如圖，在等腰直角中，是的莫利正三角形，則的邊長(zhǎng)為 .
10．平面幾何中有定理：若點(diǎn)為銳角的外心，直線，，分別與銳角外接圓交于另外一點(diǎn)，，，則．若銳角的外接圓方程為，且該圓與軸的交點(diǎn)分別為，，則六邊形的面積的最大值為 ．
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）古希臘科學(xué)家阿基米德對(duì)幾何很有研究，下面是他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：設(shè)的外接圓的弧的中點(diǎn)為，自點(diǎn)向，中較長(zhǎng)的邊作垂線，垂足為，則點(diǎn)平分折線的長(zhǎng)．如圖，點(diǎn)都在圓：上，軸，且，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，則 ．

12．平面幾何中有一個(gè)著名的定理：的三條高線的垂足、三邊中點(diǎn)及三個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線段的中點(diǎn)共圓，該圓稱為的九點(diǎn)圓或歐拉圓，若，，的垂心為，則的九點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
13．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍．若點(diǎn)A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
14．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在1815年英國(guó)倫敦出版的著名數(shù)學(xué)科普刊物《男士日記》中刊登了如下問題：如圖所示，設(shè)M為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作弦CD和EF，連接CF和DE分別交AB于點(diǎn)P，Q，則M為PQ的中點(diǎn)．這個(gè)問題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，所以該問題被冠名為“蝴蝶定理”．若點(diǎn)D到AB的距離為，點(diǎn)F到AB的距離為，，△QMD的外接圓為，△PMF的外接圓為，隨機(jī)向圓內(nèi)丟一粒豆子，落入△QMD內(nèi)的概率為，隨機(jī)向圓內(nèi)丟一粒豆子，落入△PMF內(nèi)的概率為，利用蝴蝶定理的結(jié)論，可得，的大小關(guān)系是 ．
15．漢代大將韓信集合部隊(duì)欲知部隊(duì)總?cè)藬?shù)，只要求部下先后按報(bào)數(shù)，再報(bào)告一下每次報(bào)的余數(shù).這種算法，稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱韓信點(diǎn)兵，被譽(yù)為中國(guó)剩余定理，剩余定理是等差數(shù)列的應(yīng)用.明代數(shù)學(xué)家程大位用詩(shī)歌揭示了鬼谷算：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知.即用3除所得余數(shù)乘以70，加上用5除所得余數(shù)乘以21，再加上用7除所得余數(shù)乘以15，就是所得數(shù)，若結(jié)果大于則減去105的倍數(shù).如，則52的鬼谷算式子為.寫出134的鬼谷算式子： .
16．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”．1852年英國(guó)來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中因剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ．
17．阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)與中線長(zhǎng)度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.
(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形OACB的周長(zhǎng)；
(2)克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求
(3)問：B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.
20．已知橢圓（），四點(diǎn)，，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點(diǎn)，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點(diǎn)，，則.
該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.
21．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運(yùn)動(dòng)的.由于光在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)平面中，光在介質(zhì)Ⅰ內(nèi)點(diǎn)以入射角，速度在介質(zhì)1內(nèi)傳播至軸上的點(diǎn)，而后以折射角，速度v在介質(zhì)Ⅱ內(nèi)傳播至點(diǎn).
(1)將光從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B的所需的時(shí)間關(guān)于x的函數(shù)的解析式；
(2)費(fèi)爾馬認(rèn)為：光總是沿著最節(jié)省時(shí)間的路線傳播，設(shè)點(diǎn)B在x軸上的射影為C.根據(jù)費(fèi)爾馬的結(jié)論，解決以下問題：
（i）證明：.
（ii）若，，，求光線從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B所經(jīng)過路程的取值范圍.
22．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小．意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：
(1)若是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，求該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和；
(2)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，點(diǎn)為的費(fèi)馬點(diǎn)．
（i）若，求；
（ii）求的最小值．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點(diǎn)突破04 初等數(shù)論與平面幾何背景下新定義
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：進(jìn)位制 2
題型二：數(shù)對(duì)序列 7
題型三：群論 10
題型四：平面幾何 16
題型五：置換 23
題型六：余數(shù)、約數(shù) 28
03 過關(guān)測(cè)試 32
在初等數(shù)論與平面幾何的背景下，新定義和方法的發(fā)展為這兩個(gè)領(lǐng)域注入了新的活力。
數(shù)論中，新定義往往源于對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)律及數(shù)列模式的深入探索。方法上，我們強(qiáng)調(diào)邏輯推理的嚴(yán)密性，運(yùn)用歸納法、反證法等技巧解決復(fù)雜問題。同時(shí)，注重?cái)?shù)與形的結(jié)合，通過圖形直觀展示數(shù)論概念，降低理解難度。
平面幾何中，新定義關(guān)注圖形的性質(zhì)、變換及相互關(guān)系。方法上，我們運(yùn)用公理化體系，從基本性質(zhì)出發(fā)推導(dǎo)出復(fù)雜結(jié)論。此外，注重圖形的構(gòu)造與變換，通過旋轉(zhuǎn)、平移等操作揭示幾何規(guī)律。
總結(jié)而言，初等數(shù)論與平面幾何的新定義和方法發(fā)展，要求我們不斷提升邏輯推理能力，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。同時(shí)，注重?cái)?shù)與形的結(jié)合，以及圖形的構(gòu)造與變換，以更全面地理解和掌握這兩個(gè)領(lǐng)域的精髓。
題型一：進(jìn)位制
【典例1-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和計(jì)算方便而約定的記數(shù)方式，通常“滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制；滿八進(jìn)一，就是八進(jìn)制；滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制……；滿幾進(jìn)一，就是幾進(jìn)制”．
我們研究的正整數(shù)通常是十進(jìn)制的數(shù)，因此，將正整數(shù)的各位上的數(shù)字分別記為，則表示為關(guān)于10的次多項(xiàng)式，即，其中，，記為，簡(jiǎn)記為．
隨著計(jì)算機(jī)的蓬勃發(fā)展，表示整數(shù)除了運(yùn)用十進(jìn)制外，還常常運(yùn)用二進(jìn)制、八進(jìn)制等等．更一般地，我們可類似給出進(jìn)制數(shù)定義．
進(jìn)制數(shù)的定義：給出一個(gè)正整數(shù)，可將任意一個(gè)正整數(shù)，其各位上的數(shù)字分別記為，則唯一表示為下列形式：，其中，，并簡(jiǎn)記為．
進(jìn)而，給出一個(gè)正整數(shù)，可將小數(shù)表示為下列形式：，其中，，并簡(jiǎn)記為．
(1)設(shè)在三進(jìn)制數(shù)下可以表示為，在十進(jìn)制數(shù)下可以表示為，試分別將轉(zhuǎn)化成十進(jìn)制數(shù)，轉(zhuǎn)化成二進(jìn)制數(shù)；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，；
①當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
②證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1）由于，，
故的十進(jìn)制表示是，的二進(jìn)制表示是.
（2）①由于，故.
用數(shù)學(xué)歸納法證明：.
當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；
假設(shè)結(jié)論對(duì)正整數(shù)均成立，考慮的情況.
此時(shí)，
所以結(jié)論對(duì)也成立.
由數(shù)學(xué)歸納法可知對(duì)任意正整數(shù)成立.
當(dāng)時(shí)，由已知有
.
所以所求的通項(xiàng)公式為.
②.
【典例1-2】（2024·福建泉州·二模）進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，如果約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制：滿十六進(jìn)一，就是十六進(jìn)制．k進(jìn)制的基數(shù)就是k．我們?nèi)粘Ｉ钪凶钍煜ぁ⒆畛Ｓ玫木褪鞘M(jìn)制．例如，數(shù)3721也可以表示為：一般地，如果k是大于1的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制數(shù)可以表示為．其中．為了簡(jiǎn)便，也會(huì)把它寫成一串?dāng)?shù)字連寫在一起的形式：，如果不加下標(biāo)就默認(rèn)是十進(jìn)制．
(1)令集合，將B中的元素按從大到小的順序排列，則第100個(gè)數(shù)為多少？
(2)若，記為整數(shù)n的二進(jìn)制表達(dá)式中0的個(gè)數(shù)，如，求的值．（用數(shù)字作答）
(3)十進(jìn)制中的數(shù)999在其他進(jìn)制中是否也可以表示成一個(gè)各位數(shù)字之和為27的三位數(shù)？如果能，請(qǐng)求出所有的k進(jìn)制數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）將集合B中的元素都乘以，
得集合，則中的最大數(shù)為．
在10進(jìn)制中，從624起從大到小排列的第100個(gè)數(shù)是，這就是中的元素按從大到小順序排列的第100個(gè)數(shù)，
所以B中的元素按從大到小的順序排列，第100個(gè)數(shù)為．
（2），．
∴從到中，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)從到中，最多六位數(shù)．最高位只能是1，
∴0的個(gè)數(shù)只能是1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，
或或或或或，
有共6個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)；
有個(gè)．
．
（3）假設(shè)存在這樣的k進(jìn)制數(shù)，
則，
，
①要想使且，∴x，y，z中必有大于9的數(shù)，則；
②，
綜上，，
所以，
k x y z
① 12 81 13 5 11 11
② 18 54 19 2 14 11
③ 27 36 28 1 7 19
綜上可知，滿足題意的k進(jìn)制數(shù)有3個(gè)，分別為：．
【變式1-1】（2024·河南·三模）定義1 進(jìn)位制：進(jìn)位制是人們?yōu)榱擞?jì)數(shù)和運(yùn)算方便而約定的記數(shù)系統(tǒng)，約定滿二進(jìn)一，就是二進(jìn)制：滿十進(jìn)一，就是十進(jìn)制；滿十二進(jìn)一，就是十二進(jìn)制；滿六十進(jìn)一，就是六十進(jìn)制；等等．也就是說，“滿幾進(jìn)一”就是幾進(jìn)制，幾進(jìn)制的基數(shù)就是幾，一般地，若是一個(gè)大于1的整數(shù)，那么以為基數(shù)的進(jìn)制數(shù)可以表示為一串?dāng)?shù)字符號(hào)連寫在一起的形式進(jìn)制的數(shù)也可以表示成不同位上數(shù)字符號(hào)與基數(shù)的冪的乘積之和的形式．如．
定義2 三角形數(shù)：形如，即的數(shù)叫做三角形數(shù)．
(1)若是三角形數(shù)，試寫出一個(gè)滿足條件的的值；
(2)若是完全平方數(shù)，求的值；
(3)已知，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時(shí)，．
【解析】（1），
當(dāng)時(shí)，就是一個(gè)三角形數(shù)．
（2），
，即．
若是偶數(shù)，則和是兩個(gè)連續(xù)正整數(shù)，所以上式不成立，得是奇數(shù)．
所以．
解得，即．
（3）由題意可知：，且，
則
．
．
【變式1-2】（2024·高三·江蘇·專題練習(xí)）1642年，帕斯卡發(fā)明了一種可以進(jìn)行十進(jìn)制加減法的機(jī)械計(jì)算機(jī)年，萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī)，但萊布尼茲認(rèn)為十進(jìn)制的運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來過于復(fù)雜，隨即提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念之后，人們對(duì)進(jìn)位制的效率問題進(jìn)行了深入的研究研究方法如下：對(duì)于正整數(shù)，，我們準(zhǔn)備張不同的卡片，其中寫有數(shù)字0，1，…，的卡片各有張如果用這些卡片表示位進(jìn)制數(shù)，通過不同的卡片組合，這些卡片可以表示個(gè)不同的整數(shù)例如，時(shí)，我們可以表示出共個(gè)不同的整數(shù)假設(shè)卡片的總數(shù)為一個(gè)定值，那么進(jìn)制的效率最高則意味著張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)最大根據(jù)上述研究方法，幾進(jìn)制的效率最高？
【解析】設(shè)為定值，
則nx張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)，，
假設(shè)，，
則，即，
求導(dǎo)可得：，
因?yàn)椋援?dāng)，，當(dāng)，，
可得時(shí)，函數(shù)取得最大值，
比較，的大小即可，
分別6次方可得：，，
可得，
．
根據(jù)上述研究方法，3進(jìn)制的效率最高.
題型二：數(shù)對(duì)序列
【典例2-1】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)對(duì)序列， 記，其中表示和兩個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，
(1)對(duì)于數(shù)對(duì)序列， 求的值
(2)記m為a、b、c、d四個(gè)數(shù)中最小的數(shù)， 對(duì)于由兩個(gè)數(shù)對(duì)(a， b)， (c， d)組成的數(shù)對(duì)序列和， 試分別對(duì)m=a和m=d時(shí)兩種情況比較和的大小
(3)在由5個(gè)數(shù)對(duì)(11， 8)， (5， 2)， (16， 11)， (11， 11)， (4， 6)組成的所有數(shù)對(duì)序列中， 寫出一個(gè)數(shù)對(duì)序列P使最小， 并寫出的值(只需寫出結(jié)論)．
【解析】（1）
（2）
當(dāng)時(shí),
因?yàn)?且所以
當(dāng)時(shí),
因?yàn)榍宜?br/>所以無(wú)論還是,都成立．
（3）數(shù)對(duì)序列的值最小,
對(duì)于與，觀察知，五個(gè)有序數(shù)對(duì)中第1坐標(biāo)最小的是4，第2坐標(biāo)最小的是2，
由（2）小題的結(jié)論可知，要使最小，應(yīng)把放首位，把放在最后，
觀察知，第1坐標(biāo)最小的是11，第2坐標(biāo)最小的是8，
因此，應(yīng)把放在倒數(shù)第2的位置，把放在正數(shù)第二的位置，放在正中間，
這樣得到的數(shù)對(duì)序列，一定會(huì)使值最小.
【典例2-2】（2024·高一·上海楊浦·期中）對(duì)于四個(gè)正數(shù)，若滿足，則稱有序數(shù)對(duì)是的"下位序列".
(1)對(duì)于2、3、7、11，有序數(shù)對(duì)是的"下位序列"嗎 請(qǐng)簡(jiǎn)單說明理由;
(2)設(shè)均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷之間的大小關(guān)系；
(3)設(shè)正整數(shù)滿足條件:對(duì)集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求正整數(shù)的最小值.
【解析】（1）
是的"下位序列"
（2）是的“下位序列”
，，，均為正數(shù)
故，
即
同理，
綜上所述：；
（3）由已知得，
因?yàn)闉檎麛?shù)，
故，
，
該式對(duì)集合內(nèi)的每一個(gè) 的每個(gè)正整數(shù)都成立，
所以正整數(shù)的最小值為.
【變式2-1】（2024·高三·北京西城·期末）給定正整數(shù)，已知項(xiàng)數(shù)為且無(wú)重復(fù)項(xiàng)的數(shù)對(duì)序列：滿足如下三個(gè)性質(zhì)：①，且；②；③與不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中.
(1)當(dāng)，時(shí)，寫出所有滿足的數(shù)對(duì)序列；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，記的最大值為，求.
【解析】（1）依題意，當(dāng)，時(shí)有：
或.
（2）當(dāng)時(shí)，
因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，
所以，所以每個(gè)數(shù)至多出現(xiàn)次，
又因?yàn)椋?br/>所以只有對(duì)應(yīng)的數(shù)可以出現(xiàn)次，
所以.
（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，先證明.
因?yàn)榕c不同時(shí)在數(shù)對(duì)序列中，
所以，
當(dāng)時(shí)，構(gòu)造恰有項(xiàng)，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為.
對(duì)奇數(shù)，如果和可以構(gòu)造一個(gè)恰有項(xiàng)的序列，且首項(xiàng)的第個(gè)分量與末項(xiàng)的第個(gè)分量都為，
那么多奇數(shù)而言，可按如下方式構(gòu)造滿足條件的序列：
首先，對(duì)于如下個(gè)數(shù)對(duì)集合：
，
，
……
，
，
每個(gè)集合中都至多有一個(gè)數(shù)對(duì)出現(xiàn)在序列中，
所以，
其次，對(duì)每個(gè)不大于的偶數(shù)，
將如下個(gè)數(shù)對(duì)并為一組：
，
共得到組，將這組對(duì)數(shù)以及，
按如下方式補(bǔ)充到的后面，
即
.
此時(shí)恰有項(xiàng)，所以.
綜上，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
.
題型三：群論
【典例3-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）稱代數(shù)系統(tǒng)為一個(gè)有限群，如果
1、為一個(gè)有限集合，為定義在上的運(yùn)算(不必交換)，
2、
3、稱為的單位元
4、，存在唯一元素使稱為的逆元有限群，稱為的子群.若，定義運(yùn)算.
(1)設(shè)為有限群的子群，為中的元素. 求證:
(i)當(dāng)且僅當(dāng)；
(ii)與元素個(gè)數(shù)相同.
(2)設(shè)為任一質(zhì)數(shù).上的乘法定義為，其中[x]為不大于的最小整數(shù).已知構(gòu)成一個(gè)群，求證:(其中表示個(gè)作運(yùn)算)
【解析】（1）（i）如果，則，，
從而.
另一方面，如果，
則有，，
即，從而，
即，
從而，
反之由得到，
類似討論得中的元素也全都屬于，證畢；
（ii）我們首先構(gòu)造一個(gè)到的滿射，
這直接由的定義得到，
另一方面，我們證明這個(gè)映射同時(shí)也是單射，
事實(shí)上，若對(duì)，
兩邊左乘，
則有，從而兩集合間有一一映射，
故元素個(gè)數(shù)相等；
（2）我們有如下斷言:，
假設(shè)是使得的最小正整數(shù)，
則(其中表示個(gè)作.運(yùn)算)在運(yùn)算下構(gòu)成的一個(gè)子群，
記作，
而由（1）的結(jié)論可知，這一集族中的集合有相同的元素個(gè)數(shù)，
且兩兩不交(若有兩個(gè)集合相交，則推得，
由（1）（i）得兩集合相同)從而它們構(gòu)成的一個(gè)劃分，從而有，
因而.
【典例3-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于非空集合，定義其在某一運(yùn)算（統(tǒng)稱乘法）“×”下的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為“群”，簡(jiǎn)記為．而判斷是否為一個(gè)群，需驗(yàn)證以下三點(diǎn)：
1、（封閉性）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；
2、（結(jié)合律）對(duì)于規(guī)定的“×”運(yùn)算，對(duì)任意，都須滿足；
3、（恒等元）存在，使得對(duì)任意，；
4、（逆的存在性）對(duì)任意，都存在，使得．
記群所含的元素個(gè)數(shù)為，則群也稱作“階群”．若群的“×”運(yùn)算滿足交換律，即對(duì)任意，，我們稱為一個(gè)阿貝爾群（或交換群）．
(1)證明：所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下構(gòu)成群；
(2)記為所有模長(zhǎng)為1的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合，請(qǐng)找出一個(gè)合適的“×”運(yùn)算使得在該運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群，并說明理由；
(3)所有階數(shù)小于等于四的群是否都是阿貝爾群？請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）我們需證在普通加法下可構(gòu)成一個(gè)群，需從以下四個(gè)方面進(jìn)行驗(yàn)證：
①封閉性：對(duì)，則，封閉性成立；
②結(jié)合律：對(duì)，，結(jié)合律成立；
③恒等元：取，則對(duì)任意，．符合恒等元要求；
④逆的存在性：對(duì)任意，，且，滿足逆的存在性．
綜上所述，所有實(shí)數(shù)在普通加法運(yùn)算下可構(gòu)成群．
（2）首先提出，的“×”運(yùn)算可以是復(fù)數(shù)的乘法：，理由如下．
即證明在普通乘法下可構(gòu)成一個(gè)群，同（1），需從四方面進(jìn)行驗(yàn)證：
①封閉性：設(shè)，，其中，即．
則，
所以
，即，封閉性成立；
②結(jié)合律：設(shè)，，，其中，
即，結(jié)合律成立；
③恒等元：取，則對(duì)任意，，符合恒等元要求；
④逆的存在性：對(duì)任意，取其共軛，則，滿足逆的存在性；
綜上所述，在復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群．
（3）所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群，理由如下：
若群的階數(shù)為0，則為空集，與定義矛盾．所以的階數(shù)為1，2，3，4．下逐一證明．
（1）若群的階數(shù)為1，則其唯一的元素為其恒等元，明顯符合交換律，故此時(shí)是阿貝爾群；
（2）若群的階數(shù)為2，設(shè)其元素為，其中是恒等元，則，符合交換律，故此時(shí)是阿貝爾群；
（3）若群的階數(shù)為3，設(shè)其元素為，其中是恒等元，由群的封閉性，．
若，又，推出，則集合有兩個(gè)相同的元素，
不滿足集合的唯一性，矛盾，所以，
現(xiàn)要驗(yàn)證交換律，即．
若，有前知，且，所以，
與群的封閉性矛盾．所以，交換律成立，故此時(shí)是阿貝爾群；
（4）若群的階數(shù)為4，設(shè)其元素為，其中是恒等元，
由群的封閉性，，由③的分析可知，且，
所以或．
若．由群中逆的存在性，群中存在一個(gè)元素使得，很明顯，
所以或．
假設(shè)，即，又，推出則集合有兩個(gè)相同的元素，
不滿足集合的唯一性，矛盾，故只能；
先證交換律對(duì)成立，即．
若，則由，只能等于．
又因?yàn)椋ê屯恚?br/>不滿足群中逆的存在性，矛盾，所以．交換律對(duì)成立．
接下來只需證交換律對(duì)和也成立．
事實(shí)上，由和的對(duì)稱性，只需證即可．
由群中逆的存在性，存在使得．
①若，則只需證．
若，由群的封閉性，，所以只能等于，
又因?yàn)椋茫矗?br/>但是任取的，該結(jié)論具有局限性，不對(duì)一般的成立，故矛盾．
即，此時(shí)交換律對(duì)成立．
②若．群中逆的存在性，存在使得，
又因?yàn)椋灾荒艿扔冢矗?br/>由①可得：，即此時(shí)交換律對(duì)成立．
故群的階數(shù)為4時(shí)，交換律成立，故此時(shí)是阿貝爾群．
綜上所述，所有階數(shù)小于等于四的群都是阿貝爾群．
【變式3-1】（2024·安徽蕪湖·二模）對(duì)稱變換在對(duì)稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．若一個(gè)平面圖形K在m（旋轉(zhuǎn)變換或反射變換）的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對(duì)稱性，并記m為K的一個(gè)對(duì)稱變換．例如，正三角形R在（繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)）的作用下仍然與R重合（如圖1圖2所示），所以是R的一個(gè)對(duì)稱變換，考慮到變換前后R的三個(gè)頂點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，記；又如，R在（關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射）的作用下仍然與R重合（如圖1圖3所示），所以也是R的一個(gè)對(duì)稱變換，類似地，記．記正三角形R的所有對(duì)稱變換構(gòu)成集合S．一個(gè)非空集合G對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算.來說作成一個(gè)群，假如同時(shí)滿足：
I．，；
II．，；
Ⅲ．，，；
Ⅳ．，，．
對(duì)于一個(gè)群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的為a在群G中的逆元．一個(gè)群G的一個(gè)非空子集H叫做G的一個(gè)子群，假如H對(duì)于G的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個(gè)群．

(1)直接寫出集合S（用符號(hào)語(yǔ)言表示S中的元素）；
(2)同一個(gè)對(duì)稱變換的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)形式不唯一，如．對(duì)于集合S中的元素，定義一種新運(yùn)算*，規(guī)則如下：，．
①證明集合S對(duì)于給定的代數(shù)運(yùn)算*來說作成一個(gè)群；
②已知H是群G的一個(gè)子群，e，分別是G，H的單位元，，，分別是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之間的關(guān)系以及，之間的關(guān)系，并給出證明；
③寫出群S的所有子群．
【解析】（1）依題意，正三角形的對(duì)稱變換如下：繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；
繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；
繞中心作的旋轉(zhuǎn)變換；
關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射變換；
關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射變換；
關(guān)于對(duì)稱軸所在直線的反射變換，
綜上，.（形式不唯一）
（2）①Ⅰ.，，；
Ⅱ.，，，
，
所以；
Ⅲ.
，
而，所以；
Ⅳ.，
；
綜上可知，集合對(duì)于給定的新運(yùn)算*來說能作成一個(gè)群.
②，，證明如下：
先證明：由于是的子群，取，則，，
根據(jù)群的定義，有，，所以，
所以，即，
即，所以.
再證明：由于，，，
所以，所以，
所以，所以.
③的所有子群如下：
，
，，
，
題型四：平面幾何
【典例4-1】（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理（西方稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”）.如圖，四個(gè)完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個(gè)大正方形，角為直角三角形中的一個(gè)銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，由圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，可得，
因?yàn)椋傻茫?br/>所以，所以，所以，
所以，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
故選：C.
【典例4-2】在平面幾何里有射影定理：設(shè)的兩邊，是點(diǎn)在上的射影，則．拓展到空間，在四面體中，⊥面，點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，且在內(nèi)，類比平面三角形射影定理，得出正確的結(jié)論是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在直角三角形中的射影定理為；（即直角邊的平方等于它在斜邊上的射影與斜邊的積），
所以四面體中可類比得；．（側(cè)面面積的平方等于它在地面上的射影與底面的積），證明如下：
過作，連接，
因?yàn)槠矫妫矫妫剩?br/>而，平面，故平面，
而平面，故，
又點(diǎn)是在面內(nèi)的射影，故平面，
而平面，故，而平面，
故平面，而平面，故，
在平面中，因?yàn)椋使簿€，
因?yàn)槠矫妫矫妫剩?br/>故在中，有，
而，，，
故，
故選：A.
【變式4-1】（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，S表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.如圖，等腰梯形∥，已知，則其重心到的距離為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分別過點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn)F，，
等腰梯形繞底邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為兩個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體的體積；
等腰梯形的面積，
記重心到的距離為，則重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)為，
根據(jù)題意可知，則.
故選：C.
【變式4-2】托勒密是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內(nèi)接四邊形中，兩對(duì)角線所包矩形的面積等于一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì).已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓的圓周上，AC、BD是其兩條對(duì)角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】設(shè)，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因?yàn)椋?br/>因此，
.
故選：C.
【變式4-3】（2024·高三·廣東揭陽(yáng)·期末）數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)了九點(diǎn)圓，即在任意的三角形中，三邊的中點(diǎn)、三條高的垂足、三條高的交點(diǎn)（垂心）與三角形頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)共圓，因此九點(diǎn)圓也稱作歐拉圓．已知在中，，，，則的九點(diǎn)圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
所以的九點(diǎn)圓是三角形的外接圓.
，
，則為鈍角，
所以，
設(shè)三角形外接圓半徑為，由正弦定理得，
所以.
故選：D
【變式4-4】（多選題）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，為定值
D．的最大值為16
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，如圖，過作直徑，
由題意，
所以
為定值，故A正確；
對(duì)于B，若為中點(diǎn)，連接，則
，
由題意，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，故，
則，
又，則，同理可得，故，
故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t當(dāng)弦均與重合時(shí)，
此時(shí)有最大值，為16，故D正確.
故選：ACD.
【變式4-5】（多選題）萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家.歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把整個(gè)數(shù)學(xué)推至物理的領(lǐng)域.他在1765年首次提出定理：的外心O，重心G，垂心H依次位于同一條直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，該直線被稱為歐拉線.若，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】如圖，根據(jù)歐拉線定理，外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心的距離的一半，
根據(jù)重心的性質(zhì)可知：
，D錯(cuò)誤；
，C正確；
為的重心，，，A正確，
由于,所以,故B錯(cuò)誤，
故選：AC．
題型五：置換
【典例5-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）“對(duì)稱性”是一個(gè)廣義的概念，包含“幾何對(duì)稱性”、“置換對(duì)稱性”等范疇，是數(shù)學(xué)之美的重要體現(xiàn)．假定以下各點(diǎn)均在第一象限，各函數(shù)的定義域均為．設(shè)點(diǎn)，，，規(guī)定，且對(duì)于運(yùn)算“”，表示坐標(biāo)為的點(diǎn)．若點(diǎn)U，V，W滿足，則稱V與U相似，記作V~U．若存在單調(diào)函數(shù)和，使得對(duì)于圖像上任意一點(diǎn)T，均在圖像上，則稱為的鏡像函數(shù)．
(1)若點(diǎn)，，且N~M，求的坐標(biāo)；
(2)證明：若為的鏡像函數(shù)，，則；
(3)已知函數(shù)，為的鏡像函數(shù)．設(shè)R~S，且．證明：．
【解析】（1）設(shè)，則根據(jù)題意有．
因?yàn)镹~M，則存在點(diǎn)，使得：
．
由條件知，由得，解得，
所以N的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為．
故的坐標(biāo)為．
（2）由條件知點(diǎn)在函數(shù)圖像上，則點(diǎn)在函數(shù)的鏡像函數(shù)圖像上．
所以．同理，即．
由（1）可知，若A~B，則，故．
（3）設(shè)，若R~S，且，由（1）可知，存在使得．
故，，且，
故若，只需（*）．
由（2）可知，且因?yàn)椋亩x域均為，由對(duì)稱性可知，的值域也均為．
故（*）等價(jià)于．
設(shè)，則．
設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增．
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，即，且由對(duì)稱性可知．
所以，
故．
綜上，．
【典例5-2】一個(gè)如果定義在上的函數(shù)使得，則稱是一個(gè)元置換，可以用一個(gè)的數(shù)表來簡(jiǎn)單表示，例如表示一個(gè)4元置換，對(duì)于一個(gè)元置換和，按照的遞推關(guān)系定義的數(shù)列稱為關(guān)于生成的數(shù)列．
(1)對(duì)于3元置換，直接寫出2關(guān)于的生成數(shù)列的前四項(xiàng)；
(2)給出兩條新定義：
①對(duì)于一個(gè)數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)于任意正整數(shù)，都有，則稱是一個(gè)周期數(shù)列，并稱是的一個(gè)周期；
②對(duì)于一個(gè)元置換，如果存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都是關(guān)于的生成數(shù)列的一個(gè)周期，則稱是元置換的一個(gè)周期．
對(duì)于5元置換，求的一個(gè)周期；
(3)王老師有一個(gè)特制機(jī)關(guān)盒和一把特制鑰匙，鎖孔內(nèi)部有10個(gè)互不相同的可移動(dòng)的凹槽，鑰匙上有10個(gè)對(duì)應(yīng)的固定的齒，必須所有的齒與對(duì)應(yīng)的凹槽同時(shí)匹配后，再按下開關(guān)，才能打開機(jī)關(guān)盒，鑰匙每順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，就會(huì)按照某個(gè)10元置換運(yùn)作，將在第個(gè)位置的凹槽轉(zhuǎn)移到第個(gè)位置上．機(jī)關(guān)盒原本處于打開狀態(tài)，但一位貪玩的同學(xué)將機(jī)關(guān)盒關(guān)上后，又把鑰匙順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)了一圈，且操作不當(dāng)弄壞了零件，導(dǎo)致鑰匙只能繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，而且只有一次按下開關(guān)的機(jī)會(huì)，如果按下開關(guān)時(shí)所有的齒與凹槽沒有匹配上，機(jī)關(guān)盒就會(huì)徹底報(bào)廢．問：王老師還有辦法打開機(jī)關(guān)盒嗎？他要至少繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)鑰匙多少次，才能保證能打開機(jī)關(guān)盒？
【解析】（1）直接根據(jù)，，，得，，.
所以前四項(xiàng)為.
（2）直接根據(jù)，，知關(guān)于的生成數(shù)列分別為：
，，，，.
這些數(shù)列的最小周期為或，所以正整數(shù)是的一個(gè)周期當(dāng)且僅當(dāng)既是的倍數(shù)也是的倍數(shù)，即是的倍數(shù).
從而，的一個(gè)周期是.
（3）若要保證轉(zhuǎn)動(dòng)鑰匙次以后機(jī)關(guān)盒一定成功打開，即要保證對(duì)任意的置換，都是的周期.
一方面，若對(duì)任意的置換，都是的周期：
特別地，對(duì)，考慮置換，是的周期.
注意到關(guān)于的生成數(shù)列為，該數(shù)列的最小周期為，
故是的倍數(shù).
從而對(duì)，是的倍數(shù)，故特別地，是的倍數(shù).
而兩兩互質(zhì)，故是的倍數(shù)，從而，得；
另一方面，若，則.
直接驗(yàn)證可知，是中每個(gè)數(shù)的倍數(shù).
由于對(duì)任意的置換和任意的，設(shè)關(guān)于的生成數(shù)列為.
由于是單射和滿射，故其存在逆映射.
由于，故在中必有一對(duì)相等的數(shù).
則由，，可知，這里的定義是個(gè)的復(fù)合.
此即，所以，從而對(duì)任意的正整數(shù)都有，即.
這表明是數(shù)列的周期，而，故是的倍數(shù).
所以是數(shù)列的周期.
以上討論表明，對(duì)任意的置換和任意的，都是數(shù)列的周期.
所以，對(duì)任意元置換，都是的周期，從而滿足條件.
綜合以上兩方面可知，至少繼續(xù)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)鑰匙次，才能保證能打開機(jī)關(guān)盒.
【變式5-1】（2024·高三·浙江·開學(xué)考試）置換是代數(shù)的基本模型，定義域和值域都是集合的函數(shù)稱為次置換.滿足對(duì)任意的置換稱作恒等置換.所有次置換組成的集合記作.對(duì)于，我們可用列表法表示此置換：，記.
(1)若，計(jì)算；
(2)證明：對(duì)任意，存在，使得為恒等置換；
(3)對(duì)編號(hào)從1到52的撲克牌進(jìn)行洗牌，分成上下各26張兩部分，互相交錯(cuò)插入，即第1張不動(dòng)，第27張變?yōu)榈?張，第2張變?yōu)榈?張，第28張變?yōu)榈?張，......，依次類推.這樣操作最少重復(fù)幾次就能恢復(fù)原來的牌型？請(qǐng)說明理由.
【解析】（1），
由題意可知；
（2）解法一：①若，則為恒等置換；
②若存在兩個(gè)不同的，使得，不妨設(shè)，則.
所以，即為恒等置換；
③若存在唯一的，使得，不妨設(shè)，則或.
當(dāng)時(shí)，由（1）可知為恒等置換；
同理可知，當(dāng)時(shí)，也是恒等置換；
④若對(duì)任意的，
則情形一：或或；
情形二：或或
或或或；
對(duì)于情形一：為恒等置換；
對(duì)于情形二：為恒等置換；
綜上，對(duì)任意，存在，使得為恒等置換；
解法二：對(duì)于任意，都有，
所以中，至少有一個(gè)滿足，
即使得的的取值可能為.
當(dāng)分別取時(shí)，記使得的值分別為，
只需取為的最小公倍數(shù)即可.
所以對(duì)任意，存在，使得為恒等置換；
（3）不妨設(shè)原始牌型從上到下依次編號(hào)為1到52，則洗牌一次相當(dāng)于對(duì)作一次如下置換：，即
其中.
注意到各編號(hào)在置換中的如下變化：
，，
，
，
，
，
，
，
，
所有編號(hào)在連續(xù)置換中只有三種循環(huán)：一階循環(huán)2個(gè)，二階循環(huán)2個(gè)，八階循環(huán)48個(gè)，
注意到的最小公倍數(shù)為8，由此可見，最少8次這樣的置換即為恒等置換，
故這樣洗牌最少8次就能恢復(fù)原來的牌型.
題型六：余數(shù)、約數(shù)
【典例6-1】約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)除以整數(shù)除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱為的倍數(shù)，稱為的約數(shù).設(shè)正整數(shù)共有個(gè)正約數(shù)，即為.
(1)當(dāng)時(shí)，若正整數(shù)的個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)的值；
(2)當(dāng)時(shí)，若構(gòu)成等比數(shù)列，求正整數(shù)；
(3)記，求證：.
【解析】（1）當(dāng)時(shí),正整數(shù)的4個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，
比如為8的所有正約數(shù)，即.
（2）由題意可知，，
因?yàn)椋}意可知，所以，
化簡(jiǎn)可得，所以，
因?yàn)椋裕?br/>因此可知是完全平方數(shù).
由于是整數(shù)的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以為，
所以.
（3）由題意知，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，即.
【典例6-2】（河北省2024屆高三學(xué)期大數(shù)據(jù)應(yīng)用調(diào)研聯(lián)合測(cè)評(píng)（V）數(shù)學(xué)試題）設(shè)a，b為非負(fù)整數(shù)，m為正整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對(duì)模m同余，記為．
(1)求證：；
(2)若p是素?cái)?shù)，n為不能被p整除的正整數(shù)，則，這個(gè)定理稱之為費(fèi)馬小定理．應(yīng)用費(fèi)馬小定理解決下列問題：
①證明：對(duì)于任意整數(shù)x都有；
②求方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以被7除所得的余數(shù)為1，
所以被7除所得的余數(shù)為2，
又65被7除所得的余數(shù)為2，
所以.
（2）①由費(fèi)馬小定理得即，
又，
所以，
同理：，，
因?yàn)槎紴樗財(cái)?shù)，，
所以
②因?yàn)椋?br/>由費(fèi)馬小定理知，對(duì)于任意正整數(shù)都有，
即，
由費(fèi)馬小定理知，對(duì)于任意正整數(shù)都有，
即，
因?yàn)?和7互為質(zhì)數(shù)，所以對(duì)于任意的正整數(shù)都有
所以方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為35.
【變式6-1】（湖北省襄陽(yáng)市第五中學(xué)2024屆高三學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二：五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二．問物幾何？”問題的意思是，一個(gè)數(shù)被3除余2，被5除余3，被7除余2，那么這個(gè)數(shù)是多少？若一個(gè)數(shù)被除余，我們可以寫作．它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書九章》大衍求一術(shù)中給出的．大衍求一術(shù)（也稱作“中國(guó)剩余定理”）是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，現(xiàn)將滿足上述條件的正整數(shù)從小到大依次排序．中國(guó)剩余定理：假設(shè)整數(shù)，，…，兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：，，…，方程組一定有解，并且通解為，其中為任意整數(shù)，，，為整數(shù)，且滿足．
(1)求出滿足條件的最小正整數(shù)，并寫出第個(gè)滿足條件的正整數(shù)；
(2)在不超過4200的正整數(shù)中，求所有滿足條件的數(shù)的和．（提示：可以用首尾進(jìn)行相加）．
【解析】（1）由題目中給出的中國(guó)剩余定理可知，
又因?yàn)椋獾茫?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，．
所以第個(gè)滿足條件的正整數(shù)為．
（2）不超過4200的正整數(shù)中，，解得，
所以共有40個(gè)滿足條件的正整數(shù)，將這40個(gè)正整數(shù)首尾進(jìn)行相加有
，
故所有滿足條件的數(shù)的和為82820．
【變式6-2】（2024·新疆·模擬預(yù)測(cè)）“剩余定理”又稱“孫子定理”.1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此算法符合1801年由高斯得到的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”該定理講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2029這2029個(gè)整數(shù)中，能被3除余2且能被4除余2的數(shù)按從小到大順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列所有項(xiàng)中，中間項(xiàng)為（）
A．1010 B．1020 C．1021 D．1022
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可知既是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)，也即是12的倍數(shù)，
即，．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
故，數(shù)列共有169項(xiàng)，
此數(shù)列中間項(xiàng)為第85項(xiàng)，，
故選：A．
1．歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的出發(fā)點(diǎn)．其中第命題是著名的畢達(dá)哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路:如圖，中，，四邊形、、都是正方形，于點(diǎn)，交于點(diǎn)．先證明與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進(jìn)一步定理得證.在該圖中，若，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)可得，
又，可得
∴，又
，即，
在中，，得，
在中，，
即，可得
所以選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)ABC錯(cuò)誤
故選：D.
2．幾何學(xué)有兩個(gè)偉大的瑰寶，一個(gè)是畢達(dá)哥拉斯定理，另一個(gè)是黃金分割.畢達(dá)哥拉斯幾何學(xué)中有一個(gè)關(guān)于五角星結(jié)構(gòu)的問題.如圖，一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正五邊形有5條對(duì)角線，這些對(duì)角線相交于五點(diǎn)，它們組成了另一個(gè)正五邊形，則的值為（ ）(參考數(shù)值：)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正五邊形的性質(zhì)知，
在中，，
在中，，
故.
故選:C.
3．（2024·河南洛陽(yáng)·三模）首位數(shù)定理：在進(jìn)位制中，以數(shù)字為首位的數(shù)出現(xiàn)的概率為，幾乎所有日常生活中非人為規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)都滿足這個(gè)定理.已知某銀行10000名儲(chǔ)戶的存款金額調(diào)查結(jié)果符合上述定理，則下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）
A．存款金額的首位數(shù)字是1的概率約為
B．存款金額的首位數(shù)字是5的概率約為9.7%
C．存款金額的首位數(shù)字是6的概率小于首位數(shù)字是7的概率
D．存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率約為9.7%
【答案】D
【解析】因此存款金額用十進(jìn)制計(jì)算，故，
對(duì)于A，存款金額的首位數(shù)字是1的概率為，故A錯(cuò)誤.
對(duì)于B，存款金額的首位數(shù)字是5的概率為
，
故不約為9.7%，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，存款金額的首位數(shù)字是6的概率為，
存款金額的首位數(shù)字是7的概率為，
因?yàn)椋剩蔆錯(cuò)誤.
對(duì)于D，存款金額的首位數(shù)字是8的概率為，
存款金額的首位數(shù)字是9的概率為，
故存款金額的首位數(shù)字是8或9的概率為，
故D正確.
故選：D.
4．（2024·高三·上海寶山·開學(xué)考試）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中.有重要地位，且群論的研究方法也對(duì)抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“.”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：
①對(duì)任意的，有；
②對(duì)任意的，有；
③存在，使得對(duì)任意的，有稱為單位元；
④對(duì)任意的，存在，使，稱與互為逆元.
則稱關(guān)于“.”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．實(shí)數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
【答案】D
【解析】A：由且，使，但，不存在，使，不正確；
B：由且，都有，但，不存在，使，不正確；
C：由且，使，但，不存在，使，不正確；
D：對(duì)所有的，可設(shè)，則，
①滿足加法結(jié)合律，即，有；
②，使得，有；
③，設(shè)，使，正確.
故選：D.
5．（多選題）（2024·山西·一模）群的概念由法國(guó)天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué) 晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元，記作.一般地，可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作可簡(jiǎn)記作，以此類推.正八邊形的中心為.以表示恒等變換，即不對(duì)正八邊形作任何變換；以表示以點(diǎn)為中心，將正八邊形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換；以表示以所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對(duì)稱變換.定義運(yùn)算“”表示復(fù)合變換，即表示將正八邊形先進(jìn)行變換再進(jìn)行變換的變換.以形如，并規(guī)定的變換為元素，可組成集合，則對(duì)運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對(duì)稱變換群”，記作.則以下關(guān)于及其元素的說法中，正確的有（ ）
A．，且
B．與互為逆元
C．中有無(wú)窮多個(gè)元素
D．中至少存在三個(gè)不同的元素，它們的逆元都是其本身
【答案】ABD
【解析】我們有：
由于兩次軸對(duì)稱等價(jià)與不變換，故；
由于旋轉(zhuǎn)施行8次等價(jià)于旋轉(zhuǎn)也就是不變，故；
由于先旋轉(zhuǎn)再關(guān)于對(duì)稱和先關(guān)于對(duì)稱再旋轉(zhuǎn)等效，故.
一共是16個(gè)元素，變換后逆時(shí)針排列的有8個(gè)，順時(shí)針排列的有8個(gè).
這就說明：， A正確；
，B正確；
一共是16個(gè)元素，C錯(cuò)誤；
中，，D正確.
故選：ABD
6．（多選題）（2024·高二·全國(guó)·期末）群的概念由數(shù)學(xué)家伽羅瓦在19世紀(jì)30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對(duì)代數(shù)多項(xiàng)式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分廣泛的應(yīng)用.設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是一個(gè)適用于中元素的運(yùn)算，若同時(shí)滿足以下四個(gè)條件，則稱對(duì)“”構(gòu)成一個(gè)群：（1）封閉性，即若，，則存在唯一確定的，使得；（2）結(jié)合律成立，即對(duì)中任意元素，，都有；（3）單位元存在，即存在，對(duì)任意，滿足，則稱為單位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，則稱與互為逆元.根據(jù)以上信息，下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．和均關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
C．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
D．平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積構(gòu)成群
【答案】CD
【解析】對(duì)于A，、，有，且滿足（乘法結(jié)合律）；
，使得，有；
，，有，即關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群，故A正確；
對(duì)于B，若，即為所有偶數(shù)組成的集合，
、，有，且滿足（加法結(jié)合律），
，使得，有；
，，有，故關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群；
若，設(shè)、，，
則，
且對(duì)滿足，
當(dāng)時(shí)，，滿足，
，，使，
故關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椋遥蔆錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)為平面向量集，、，但是為實(shí)數(shù)，即可，不滿足封閉性
故平面向量集關(guān)于向量的數(shù)量積不構(gòu)成群，故D錯(cuò)誤；
故選：CD
7．（多選題）（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）群論是代數(shù)學(xué)中一門很重要的理論，我們熟知的一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論的知識(shí)證明，群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)是一個(gè)非空集合，“”是上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，若滿足：
①有；
②，使得，有；
③，使，
則稱關(guān)于“”構(gòu)成一個(gè)群，則下列說法正確的有（ ）
A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
B．有理數(shù)集關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群
C．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群
【答案】ACD
【解析】若，滿足乘法結(jié)合律，滿足②的為1，也滿足③，故A正確；
若為有理數(shù)集，不滿足③，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不存在，使得，故B錯(cuò)誤
若，即為所有偶數(shù)組成的集合，滿足加法的結(jié)合律，滿足條件②的為0，
，使，故C正確；
若，滿足①
當(dāng)時(shí)，，滿足的
，使，故D正確
故選：ACD
8．任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”：的三邊是，它們所對(duì)的角分別是，則有，，．請(qǐng)利用上述知識(shí)解答下面的題：在中，若，則 ．
【答案】
【解析】由題得，，
由第一余弦定理知，
所以，
所以，又C為三角形的內(nèi)角
解得，
故答案為：
9．莫利定理，也稱為莫雷角三分線定理，是由英國(guó)數(shù)學(xué)家法蘭克·莫利于1899年左右發(fā)現(xiàn)的一個(gè)幾何定理.該定理的內(nèi)容如下：將任意三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，則靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個(gè)交點(diǎn)，這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)等邊三角形.這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形.如圖，在等腰直角中，是的莫利正三角形，則的邊長(zhǎng)為 .
【答案】
【解析】在等腰直角中，，
所以，
在中，，，，
由正弦定理得，
同理可得，，，
所以，
即等邊的邊長(zhǎng)為.
故答案為：.
10．平面幾何中有定理：若點(diǎn)為銳角的外心，直線，，分別與銳角外接圓交于另外一點(diǎn)，，，則．若銳角的外接圓方程為，且該圓與軸的交點(diǎn)分別為，，則六邊形的面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】由得六邊形的面積，
由題意，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，
則圓心到軸的距離，故相交弦長(zhǎng)，
則點(diǎn)到直線距離的最大值為，
所以的最大值為，
所以六邊形的面積的最大值為．
故答案為：．
11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）古希臘科學(xué)家阿基米德對(duì)幾何很有研究，下面是他發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理：設(shè)的外接圓的弧的中點(diǎn)為，自點(diǎn)向，中較長(zhǎng)的邊作垂線，垂足為，則點(diǎn)平分折線的長(zhǎng)．如圖，點(diǎn)都在圓：上，軸，且，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)為圓與軸正半軸的交點(diǎn)，且，則 ．

【答案】
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)平分折線的長(zhǎng)，
所以，所以．
設(shè)，其中，．
由圓的對(duì)稱性可得，則，解得．
又，所以．所以，．
設(shè)（，），則①，且②．
聯(lián)立①②，解得，（另一組解不合題意，已舍去），
所以．
故答案為：.
12．平面幾何中有一個(gè)著名的定理：的三條高線的垂足、三邊中點(diǎn)及三個(gè)頂點(diǎn)與垂心連線段的中點(diǎn)共圓，該圓稱為的九點(diǎn)圓或歐拉圓，若，，的垂心為，則的九點(diǎn)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
【答案】
【解析】由，，，可得中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，
設(shè)的九點(diǎn)圓方程為，
代入三點(diǎn)坐標(biāo)，可得，
解得，
即，
化簡(jiǎn)可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：
13．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）平面幾何中有一個(gè)著名的塞爾瓦定理：三角形任意一個(gè)頂點(diǎn)到其垂心（三角形三條高的交點(diǎn)）的距離等于外心（外接圓圓心）到該頂點(diǎn)對(duì)邊距離的2倍．若點(diǎn)A，B，C都在圓E上，直線BC方程為，且，△ABC的垂心在△ABC內(nèi)，點(diǎn)E在線段AG上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程 .
【答案】
【解析】由△ABC的垂心到直線BC距離，設(shè)圓E半徑為r，
由塞爾瓦定理可得，由圓的幾何性質(zhì)可得，聯(lián)立解得，，
因?yàn)橹本€BC方程為，,且，所以直線EG方程為，
設(shè)，則E到直線BC距離，解得（舍去）或，
所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
故答案為：
14．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）在1815年英國(guó)倫敦出版的著名數(shù)學(xué)科普刊物《男士日記》中刊登了如下問題：如圖所示，設(shè)M為圓內(nèi)弦AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作弦CD和EF，連接CF和DE分別交AB于點(diǎn)P，Q，則M為PQ的中點(diǎn)．這個(gè)問題的圖形，像一只在圓中翩翩起舞的蝴蝶，所以該問題被冠名為“蝴蝶定理”．若點(diǎn)D到AB的距離為，點(diǎn)F到AB的距離為，，△QMD的外接圓為，△PMF的外接圓為，隨機(jī)向圓內(nèi)丟一粒豆子，落入△QMD內(nèi)的概率為，隨機(jī)向圓內(nèi)丟一粒豆子，落入△PMF內(nèi)的概率為，利用蝴蝶定理的結(jié)論，可得，的大小關(guān)系是 ．
【答案】
【解析】設(shè)外接圓的半徑為，外接圓的半徑為，
點(diǎn)D到AB的距離為，點(diǎn)F到AB的距離為，由題意可知．
根據(jù)正弦定理，有，，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>故答案為：
15．漢代大將韓信集合部隊(duì)欲知部隊(duì)總?cè)藬?shù)，只要求部下先后按報(bào)數(shù)，再報(bào)告一下每次報(bào)的余數(shù).這種算法，稱為鬼谷算，也叫隔墻算，或稱韓信點(diǎn)兵，被譽(yù)為中國(guó)剩余定理，剩余定理是等差數(shù)列的應(yīng)用.明代數(shù)學(xué)家程大位用詩(shī)歌揭示了鬼谷算：三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團(tuán)圓月正半，除百零五便得知.即用3除所得余數(shù)乘以70，加上用5除所得余數(shù)乘以21，再加上用7除所得余數(shù)乘以15，就是所得數(shù)，若結(jié)果大于則減去105的倍數(shù).如，則52的鬼谷算式子為.寫出134的鬼谷算式子： .
【答案】
【解析】，
由鬼谷算得.
故答案為：.
16．“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”．1852年英國(guó)來華傳教偉烈亞利將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲．1874年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得出的關(guān)于同余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國(guó)剩余定理”，“中因剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將2至2017這2016個(gè)數(shù)中能被3除余1且被5除余1的數(shù)按由小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為 ．
【答案】134
【解析】由能被3除余1且被5除余1的數(shù)就是能被整除余的數(shù)，
故，
由 ，解得 ，
當(dāng)時(shí)，不符合，
故此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為，
故答案為：134
17．阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數(shù)學(xué)家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個(gè)關(guān)于三角形邊長(zhǎng)與中線長(zhǎng)度關(guān)系的定理，內(nèi)容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.
(1)若在中，，，，求此三角形BC邊上的中線長(zhǎng)；
(2)請(qǐng)證明題干中的定理；
(3)如圖中，若，D為BC中點(diǎn)，，，，求的值.
【解析】（1）
如圖所示，
由余弦定理得，，
代值計(jì)算得到，求得；
由于，代值計(jì)算得，求得
（2）在中，；
在中，；
兩式相加，且，得到，則原式得證．
（3）由于
則由正弦定理，得，
即，
去分母整理得到，即．
且，則，則．
由于，且，即
聯(lián)立解出
由于，則，
解得，則（負(fù)數(shù)不滿足）.
由余弦定理得到，代值計(jì)算，， 則，
則．
18．法國(guó)著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個(gè)幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個(gè)等邊三角形，則這三個(gè)三角形的外接圓圓心恰為另一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)”．如圖，在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．以，，為邊向外作三個(gè)等邊三角形，其外接圓圓心依次為，，．

(1)求；
(2)若的面積為，求的面積的最大值．
【解析】（1）在中，因?yàn)椋?br/>所以，
根據(jù)正弦定理可得，
即，
因?yàn)椋?br/>可得，由，可得；
（2）如圖，連接，，
則，
正△面積，
，而，則，
△中，由余弦定理得：，
即，則，
由基本不等式知，，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以，
所以的面積的最大值為
19．如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形設(shè).
(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形OACB的周長(zhǎng)；
(2)克羅狄斯托勒密所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)，根據(jù)以上材料，則當(dāng)線段OC的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求
(3)問：B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大，并求出面積的最大值.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
即，于是四邊形OACB的周長(zhǎng)為；
（2）因?yàn)椋覟榈冗吶切危?br/>所以，所以，
即OC的最大值為3，取等號(hào)時(shí)，
所以，
不妨設(shè)，
則，解得，
所以，
所以；
（3）在中，由余弦定理得，
所以，，
于是四邊形OACB的面積為
，
當(dāng)，即時(shí)，四邊形OACB的面積取得最大值為，
所以，當(dāng)B滿足時(shí)，四邊形OACB的面積最大，最大值為.
20．已知橢圓（），四點(diǎn)，，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）蝴蝶定理：如圖1，為圓的一條弦，是的中點(diǎn)，過作圓的兩條弦，.若，分別與直線交于點(diǎn)，，則.
該結(jié)論可推廣到橢圓.如圖2所示，假定在橢圓中，弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，且兩條弦，所在直線斜率存在，證明：.
【解析】（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
故由題設(shè)知經(jīng)過，兩點(diǎn)，
又由知，不過點(diǎn)，所以點(diǎn)在上，
因此，解得，
故橢圓的方程為；
（2）因點(diǎn)的坐標(biāo)在軸上，且為的中點(diǎn)，
所以直線平行于軸，
設(shè)，，，，
設(shè)直線的方程為，代入橢圓，
得：，
根據(jù)韋達(dá)定理得：，，①
同理，設(shè)直線的方程為，代入橢圓，
得：，
根據(jù)韋達(dá)定理得：，，②
由于、、三點(diǎn)共線，得，，
同理，由于、、三點(diǎn)共線，得：，結(jié)合①和②可得：
即，所以，即.
21．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在相同的介質(zhì)中，人們?nèi)庋劭吹降墓饩€總是呈直線運(yùn)動(dòng)的.由于光在不同的介質(zhì)中的傳播速度不同，因此在不同的介質(zhì)中光會(huì)發(fā)生折射現(xiàn)象.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)平面中，光在介質(zhì)Ⅰ內(nèi)點(diǎn)以入射角，速度在介質(zhì)1內(nèi)傳播至軸上的點(diǎn)，而后以折射角，速度v在介質(zhì)Ⅱ內(nèi)傳播至點(diǎn).
(1)將光從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B的所需的時(shí)間關(guān)于x的函數(shù)的解析式；
(2)費(fèi)爾馬認(rèn)為：光總是沿著最節(jié)省時(shí)間的路線傳播，設(shè)點(diǎn)B在x軸上的射影為C.根據(jù)費(fèi)爾馬的結(jié)論，解決以下問題：
（i）證明：.
（ii）若，，，求光線從點(diǎn)A傳播到點(diǎn)B所經(jīng)過路程的取值范圍.
【解析】（1）由勾股定理得，，
所以，，
（2）（i），
由于在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
故在上為增函數(shù)，
又，，
由零點(diǎn)存在性定理得，存在唯一的，使得，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
據(jù)此，并運(yùn)用費(fèi)爾馬的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，光線所經(jīng)過的路程最短，
令得，，
故，
過作于，則，故，
所以該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離之和為．
（2）（i）因?yàn)椋烧叶ɡ恚遥?br/>所以得，
所以的三個(gè)角都小于，
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知，，
設(shè)，，
由得：，
整理得，
則
．
（ii）由（i）知，所以點(diǎn)在內(nèi)部，且，
設(shè)，
所以，
由余弦定理得，，
，
，
由勾股定理得，，即，
所以，即，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．
設(shè)，則，解得或（舍去），
由，
故，最小值為．
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