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重難點(diǎn)突破02 線性代數(shù)背景下新定義
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：行列式背景 2
題型二：矩陣背景 7
題型三：向量組背景 16
題型四：特征向量背景 22
03 過關(guān)測(cè)試 28
線性代數(shù)中處理新定義問題時(shí)，首要任務(wù)是準(zhǔn)確理解新定義的本質(zhì)。方法技巧上，可以采取以下步驟：
一、深入剖析新定義，明確其內(nèi)涵與外延，把握關(guān)鍵要素。
二、嘗試將新定義與已知概念、定理或性質(zhì)建立聯(lián)系，利用已有知識(shí)體系進(jìn)行推理。
三、在解題過程中，靈活運(yùn)用矩陣運(yùn)算、線性變換、特征值與特征向量等工具，以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或幾何方法。
四、注重驗(yàn)證結(jié)果的正確性，確保解題步驟和答案無誤。
總結(jié)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)新定義在解題中的關(guān)鍵作用，回顧解題過程中用到的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)和技巧。同時(shí)，總結(jié)新定義問題的常見類型和解題思路，以便在遇到類似問題時(shí)能迅速找到解決方法。通過不斷練習(xí)和總結(jié)，可以逐漸提高解決線性代數(shù)新定義問題的能力，加深對(duì)線性代數(shù)學(xué)科的理解和掌握。
題型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·河北保定·三模）對(duì)于任意給定的四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，我們定義方陣，方陣對(duì)應(yīng)的行列式記為，且，方陣與任意方陣的乘法運(yùn)算定義如下：，其中方陣，且.設(shè)，，.
(1)證明：.
(2)若方陣，滿足，且，證明：.
【解析】（1）設(shè)方陣，
則，
，
，
，
則，
所以.
因?yàn)椋裕C畢.
（2）設(shè)，，則由，
可得，①
，②
，③
，④
由①④，得，⑤
由②③，得，⑥
由⑤⑥，可得，
整理得，即.
由，可得或則.
又，
所以，證畢.
【典例1-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能.設(shè)有滿足條件的二元一次方程組.
(1)用消元法解此方程組，直接寫出該方程組的兩個(gè)解；
(2)通過求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)解的分母是由方程組中的系數(shù)所唯一確定的一個(gè)數(shù)，按照它們?cè)诜匠探M中的位置，把它們排成一個(gè)數(shù)表，由此可以看出是這個(gè)數(shù)表中左上到右下對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的乘積減去右上到左下對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的乘積的差，稱為該數(shù)表的二階行列式，記為.當(dāng)≠0時(shí)，二元一次方程組有唯一一組解.同樣的，行列式稱為三階行列式，且=.
（i）用二階行列式表示方程組的兩個(gè)解；
（ii）對(duì)于三元一次方程組，類比二階行列式，用三階行列式推導(dǎo)使得該三元一次方程組有唯一一組解的條件（結(jié)論不得使用行列式表達(dá)），并用三階行列式表示該方程組的解.
(3)若存在，使得，求的取值范圍.
【解析】（1）該方程組的兩個(gè)解為；
（2）（i）由（1）得，
所以該方程組的兩個(gè)解為；
（ii）類比二元一次方程組，將三元一次方程組中的系數(shù)排成一個(gè)數(shù)表，則可以得到三階行列式.
令，當(dāng)時(shí)，該三元一次方程組有唯一一組解，
即得該三元一次方程組有唯一一組解的條件為
，
用三階行列式表示該方程組的解為
，，；
（3），
令，則，
其中，
因?yàn)椋裕?br/>故，
當(dāng)時(shí)，無解，不合要求；
當(dāng)時(shí)，，
其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為2，故；
當(dāng)時(shí)，，
其中在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為-2，故，
因?yàn)榇嬖冢沟茫曰颍?br/>綜上所述，m的取值范圍為.
【變式1-1】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）行列式是代數(shù)學(xué)中線性代數(shù)的重要分支，是一個(gè)方陣所對(duì)應(yīng)的一個(gè)標(biāo)量值.行列式具有簡(jiǎn)潔 對(duì)稱 優(yōu)美的特點(diǎn)，可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.利用行列式進(jìn)行求解，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：；三階行列式定義為：例如：.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的面積公式可表示為：
(1)已知，求的面積.
(2)已知點(diǎn)，若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.
(3)已知橢圓，它的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值.
【解析】（1）由題意得
；
（2），
設(shè)，
則
，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，
最小值為；
（3）由題意得，故，
故橢圓方程為，
過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)，
由對(duì)稱性可知，
故
，
故當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，最大值為4.
題型二：矩陣背景
【典例2-1】（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣求.
(3)矩陣，證明：，，.
【解析】（1）由題意得.
若，則，即.
因式分解得.因?yàn)椋?
所以使的的最小值是10.
（2）由題得第1對(duì)角線上的平方和為，
第2對(duì)角線上的平方和為
，
第對(duì)角線上的平方和為
，
第對(duì)角線上的平方和為，
所以
所以.
（3）由題意知，證明
等價(jià)于證明，
注意到左側(cè)求和式，
將右側(cè)含有的表達(dá)式表示為求和式有
故只需證成立，
即證成立，令，
則需證成立，
記，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以在上恒成立，即成立，
所以原不等式成立.
【典例2-2】行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象，本質(zhì)上，行列式描述的是n維空間中，一個(gè)線性變換所形成的平行多面體的體積，它被廣泛應(yīng)用于解線性方程組，矩陣運(yùn)算，計(jì)算微積分等．在數(shù)學(xué)中，我們把形如，，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱作矩陣．我們將二階矩陣兩邊的“[ ]”改為“”，得到二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值（或多項(xiàng)式），記為．
(1)求二階行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范圍．
【解析】（1）；
（2），
故，故，
解得，
不等式的解集為；
（3），
令，則，
其中，
因?yàn)椋裕?br/>故，
當(dāng)時(shí)，無解，不合要求，
當(dāng)時(shí)，，
其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為2，故；
當(dāng)時(shí)，，
其中在上單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為-2，故，
因?yàn)榇嬖冢沟茫曰颍?br/>m的取值范圍為.
【變式2-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.
(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線方程；
(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）設(shè)，，則，，，
故，
，
所以坐標(biāo)變換公式為，
該變換所對(duì)應(yīng)的二階矩陣為；
（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)角是的旋轉(zhuǎn)變換下所得點(diǎn)坐標(biāo)為.
則，即，
得，則，所求曲線方程為；
（3）
①直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
由，得，
所以，，且，
當(dāng)時(shí)，取，，所以直線方程為：，
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立可得，解得或，
所以，.
所以，所以，可得；
當(dāng)時(shí)，設(shè)的斜率分別為，
，，
所以，
，
所以.
因?yàn)樵诘谝幌笙蓿裕裕?
②直線斜率不存在時(shí)，可得，
可得，，
所以，同理可得.
綜上可得，為定值，得證.
【變式2-2】有個(gè)正數(shù)，排成矩陣（行列的數(shù)表）：，表示位于第行，第列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
【解析】（1）由題可知第4行公差為，由此可知
由第四列數(shù)據(jù)可知公比為：
（2），是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故
（3）因?yàn)槊恳涣械臄?shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，所以由（2）可知，故，設(shè)的前n項(xiàng)和為
①
②
得
【變式2-3】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，由個(gè)數(shù)排列成的m行n列的數(shù)表稱為矩陣，其中稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對(duì)于兩個(gè)矩陣A和B，如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和B相乘，具體來說：若，，則，其中.已知，函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：，.
【解析】（1）由矩陣乘法定義知，，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
時(shí)，方程的判別式，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，
當(dāng)或時(shí)，，令，方程兩根記為，，
則，，
當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)和時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）∵有兩個(gè)極值點(diǎn)，由（1）知，
設(shè)，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴單調(diào)遞增，
∴，
由（1）知，，
∴，即，
∴，
又由（1）知在上單調(diào)遞減且，
∴，
∴.
題型三：向量組背景
【典例3-1】（2024·貴州黔東南·二模）一般地，個(gè)有序?qū)崝?shù)，，，組成的數(shù)組，稱為維向量，記為.類似二維向量，對(duì)于維向量，也可以定義向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、向量的長(zhǎng)度（模）、兩點(diǎn)間的距離等，如，則；若存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù)，，，使得，則向量組，，，是線性相關(guān)的向量組，否則，說向量組，，，是線性無關(guān)的.
(1)判斷向量組，，是否線性相關(guān)？
(2)若，，，當(dāng)且時(shí)，證明：.
【解析】（1）設(shè)存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù)，，使得
則，即，
由①②消去得:，由①③消去得:，
則該方程有無數(shù)組解，所以不妨取，則，，
，即向量組，，是線性相關(guān)的.
（2）證明：，，，
，
先證：，，
設(shè)，，則，
在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，
即，
，.
同理可證：，.
，
，
.
當(dāng)且時(shí)，
.
綜上可得，當(dāng)且時(shí)，.
【典例3-2】對(duì)于一組向量（，且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“H向量”．
(1)設(shè)，若是向量組的“H向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)若，向量組是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在說明理由；
(3)已知均是向量組的“H向量”，其中，，設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
【解析】（1）由題意可得：，
因?yàn)椋裕?br/>則，
解得：；
（2）假設(shè)存在“向量”，因?yàn)椋?br/>且，
則由題意得：只需要使得，
又因?yàn)椋?br/>所以，
則，
即滿足
，又因?yàn)椋?br/>所以滿足上式，故存在“向量”為；
（3）由題意得：，
同理可得：，，
上面三個(gè)式子相加得：，
即，所以，
設(shè)，則由得：，
設(shè)，則依題意得：，
得
,
所以，
而，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故.
【變式3-1】對(duì)于一組向量，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長(zhǎng)向量”．
(1)設(shè)，且，若是向量組的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若且，向量組是否存在“長(zhǎng)向量”？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)已知均是向量組的“長(zhǎng)向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與（且）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
【解析】（1）由題意可得：，，，
則，解得：
（2）存在“長(zhǎng)向量”，且“長(zhǎng)向量”為，，理由如下：
由題意可得，若存在“長(zhǎng)向量”，只需使，
因?yàn)椋?br/>所以，故只需使
，
即，即，
當(dāng)或6時(shí)，符合要求，故存在“長(zhǎng)向量”，且“長(zhǎng)向量”為，.
（3）由題意，得，，即，
即，同理，
三式相加并化簡(jiǎn)，得：，
即，，所以，
設(shè)，由，解得，
即
設(shè)，則依題意得：，
得，
故，
，
所以，
因?yàn)?br/>所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以.
【變式3-2】若，則稱為維空間向量集，為零向量，對(duì)于，任意，定義：
①數(shù)乘運(yùn)算：；
②加法運(yùn)算：；
③數(shù)量積運(yùn)算：；
④向量的模：，
對(duì)于中一組向量，若存在一組不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)，
(1)對(duì)于，判斷下列各組向量是否線性相關(guān)：
①；
②；
(2)已知線性無關(guān)，試判斷是否線性相關(guān)，并說明理由；
(3)證明：對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，均有，
【解析】（1）對(duì)于①，假設(shè)與線性相關(guān)，
則存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，
則，即，
可取，所以線性相關(guān)，
對(duì)于②，假設(shè)線性相關(guān)，
則存在不全為零的實(shí)數(shù)使得，
則，得，
可取，所以線性相關(guān).
（2）假設(shè)線性相關(guān)，
則存在不全為零的實(shí)數(shù)，
使得，
則，
因?yàn)榫€性無關(guān)，
所以，得，矛盾，
所以向量線性無關(guān).
（3）設(shè)，
則，
所以，
又，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)同時(shí)成立時(shí)，等號(hào)成立，
所以.
題型四：特征向量背景
【典例4-1】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若且，求的值；
(2)設(shè)（），試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與方向相反的單位向量﹔
(3)已知，，，為函數(shù)（）的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【解析】（1）由題意知，向量的相伴函數(shù)為
由題意，且，，，
故；
（2）因?yàn)?br/>故函數(shù)的相伴特征向量，
則與反向的單位向量為
（3）因?yàn)椋?br/>其相伴特征向量，
故，所以，
則，
設(shè)點(diǎn)，
又，，
所以，，
若，則，
即，，
因?yàn)椋?br/>故，
又，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，成立
故在的圖象上存在一點(diǎn)，使得
【典例4-2】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值;
(2)設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量;
(3)已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，說明理由.
【解析】（1）由已知可得：，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以
，
，
（2），
，
，
，
所以，，
，
所以與共線的單位向量為和.
（3），
因?yàn)闉榈南喟樘卣飨蛄浚?br/>所以，解得，
所以，
所以，
，
假設(shè)在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以，
令，
令，
所以，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，成立，
此時(shí)，且，即點(diǎn)，
所以的圖象上是存在一點(diǎn)，使得.
【變式4-1】我們學(xué)過二維的平面向量，其坐標(biāo)為，那么對(duì)于維向量，其坐標(biāo)為.設(shè)維向量的所有向量組成集合.當(dāng)時(shí)，稱為的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.設(shè)和為的“特征向量”， 定義.
（1）若，，且，，計(jì)算，的值；
（2）設(shè)且中向量均為的“特征向量”，且滿足：，，當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù).求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；
（3）設(shè)，且中向量均為的“特征向量”，且滿足：，，且時(shí)，.寫出一個(gè)集合，使其元素最多，并說明理由.
【解析】（1），
；
（2）設(shè)，，，
時(shí)，為奇數(shù)，則僅有1個(gè)1或3個(gè)1，
時(shí)，為偶數(shù)，
①當(dāng)僅有1個(gè)1時(shí)，，為使為偶數(shù)，
則，即不同時(shí)為1，
此時(shí)，共4個(gè)元素，
②當(dāng)僅有3個(gè)1時(shí)，，為使為偶數(shù)，
則，即不同時(shí)為0，
此時(shí)，共4個(gè)元素，
③當(dāng)時(shí)，則，不符題意，舍去，
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為4；
（3），，
時(shí)，，則，
則只有3種情況，，且成對(duì)出現(xiàn)，
所以B中最多有個(gè)元素，.
【變式4-2】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；
(2)已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
(3)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【解析】（1）向量的相伴函數(shù)為，
所以
∵，
∴.
∵，∴，∴.
所以.
（2）由為的相伴特征向量知：
所以.
設(shè)，∵，，∴，，
又∵，∴∴.
，∴
∵，∴，
∴.又∵，
∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，這時(shí)（*）式成立.
∴在圖像上存在點(diǎn)，使得.
（3）向量的相伴函數(shù)為
當(dāng)時(shí)，，
即，恒成立.
所以①當(dāng)，即時(shí)，，所以，
即，由于，所以的最小值為，所以；
②當(dāng)，，不等式化為成立.
③當(dāng)，時(shí)，，所以，
即，由于，所以的最大值為，所以.
綜上所述，k的取值范圍是.
1．給出以下關(guān)于線性方程組解的個(gè)數(shù)的命題．
①，②，③，④，
（1）方程組①可能有無窮多組解；
（2）方程組②可能有且只有兩組不同的解；
（3）方程組③可能有且只有唯一一組解；
（4）方程組④可能有且只有唯一一組解．
其中真命題的序號(hào)為 ．
【答案】①④
【解析】將①④的解看作平面上直線交點(diǎn)，將②③的解看作空間平面相交.
對(duì)于①，當(dāng)平面兩條直線重合時(shí)，方程組①有有無窮多組解，①正確；
對(duì)于②，空間三個(gè)平面相交，如果有兩組不同的解，則三個(gè)平面必有一條公共直線，即方程組②的解有無數(shù)個(gè)，故②錯(cuò)誤.
對(duì)于③，空間兩個(gè)平面相交，則兩個(gè)平面有一條公共直線，即方程組③的解有無數(shù)個(gè)，故③錯(cuò)誤.
對(duì)于④，當(dāng)平面三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)，方程組④有且只有唯一一組解，正確.
故真命題的序號(hào)為：①④.
故答案為①④.
2．（2024·上海閔行·二模）平面上有一組互不相等的單位向量，，…，，若存在單位向量滿足，則稱是向量組，，…，的平衡向量．已知，向量是向量組，，的平衡向量，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為 ．
【答案】
【解析】當(dāng)時(shí)，取得最大值，
又，如圖所示，
，
設(shè)，，
則，
所以，即，解得，
故，或，
，
或，
故答案為：
3．（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)計(jì)算．
(2)設(shè)函數(shù)．
①若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求；
②若且，函數(shù)，證明：．
【解析】（1）原式
．
（2）
．
（i）．
當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
所以在和上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，
所以的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為1．
因?yàn)榈臉O值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，
所以，
則公差，所以，
所以．
（ii）因?yàn)椋?br/>所以在上無零點(diǎn)，在上存在唯一零點(diǎn)，且．
令，
則，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．
所以，
而，所以．
令，則．
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞誠(chéng)，
所以當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，
所以，
而，所以．
綜上，．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：．
(1)在等比數(shù)列中，是的兩個(gè)實(shí)根，求的值；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．設(shè)函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的都成立，若，求的值．
【解析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由得：，即，
，，
，，
，
，
.
（2），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
經(jīng)檢驗(yàn)：滿足，，
，
設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，
，
，
，
.
（3）由題意知：存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意都成立，
即，
令，則，
為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
…①；
令，則…②，
由①②得：，
令，則，，
，
.
5．定義行列式運(yùn)算： ，若函數(shù) （，）的最小正周期是，將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.
【解析】（1）由題意：，
∵，即，
∴，
∴的圖象向右平移個(gè)單位后得，
此函數(shù)為奇函數(shù)，則，
∵，∴，
∴，
由，可得，
∴的單調(diào)增區(qū)間為；
（2）由上可得，
∴，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
又，適合此式，
∴，
∴，
∴．
6．行列式按第一列展開得，記函數(shù)，且的最大值是4．
(1)求A；
(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域．
【解析】（1）（1）
因?yàn)榈淖畲笾凳?，所以，故，
（2）由（1）知，
向左移得，
橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?倍得
因?yàn)椋裕虼耍?br/>所以.
7．（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）由個(gè)數(shù)排列成行列的數(shù)表稱為行列的矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，也稱為階方陣，記作：其中表示矩陣中第行第列的數(shù)．已知三個(gè)階方陣分別為，，其中分別表示中第行第列的數(shù)．若，則稱是生成的線性矩陣．
(1)已知，若是生成的線性矩陣，且，求；
(2)已知，矩陣，矩陣是生成的線性矩陣，且．
（i）求；
（ii）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1），則，即，
解得，
則，，，
，
故.
（2）（i），，
故，，
.
（ii），
，
，
故，
故，
，即，取驗(yàn)證不成立，
整理得到，，
當(dāng)時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
現(xiàn)說明當(dāng)時(shí)不成立：
設(shè)，，，則，，
故單調(diào)遞增，，
設(shè)，，，，，
故單調(diào)遞減，，，，，
故時(shí)，不成立，
綜上所述：使成立的所有的正整數(shù)對(duì)為，.
8．（2024·安徽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；
(3)向量（稱為行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標(biāo)公式①可以表示為：，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設(shè)是一個(gè)二階矩陣，，是平面上的任意兩個(gè)向量，求證：．
【解析】（1）可求得，設(shè)，則，，
設(shè)點(diǎn)，，
故
所以.
（2）設(shè)，，則，，，
故
所以坐標(biāo)變換公式為，
該變換所對(duì)應(yīng)的二階矩陣為
（3）設(shè)矩陣，向量，，則．
，
對(duì)應(yīng)變換公式為：，
，
所以
故對(duì)應(yīng)變換公式同樣為
所以得證.
9．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
(1)若向量為的相伴特征向量，求實(shí)數(shù)的值；
(2)記向量的相伴函數(shù)是，求在的值域．
【解析】（1）因?yàn)橄蛄繛榈南喟樘卣飨蛄浚?br/>則，
解得：.
（2）因?yàn)橄蛄康南喟楹瘮?shù)是，
設(shè)，因?yàn)椋瑒t，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值為13，
當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)有最小值為，
故函數(shù)的值域?yàn)?
10．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
（1）設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量；
（2）記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且，的值；
（3）已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
【解析】（1）
的相伴特征向量.
（2）向量的相伴函數(shù)為，
，.
，，.
.
（3）由為的相伴特征向量知：
.
所以.
設(shè)，，
，，
又，.
，
，，
.
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，和同時(shí)等于，這時(shí)式成立.
在圖像上存在點(diǎn)，使得.
11．（2024·高三·上海寶山·期末）對(duì)于一組向量，，，…，，令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“向量”.
（1）設(shè)，若是向量組，，的“向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，向量組，，，…，是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；
（3）已知 均是向量組，，的“向量”，其中，.設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，…滿足：為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值.
【解析】（1）由題意，得：，
則
解得：
（2）是向量組，，，…，的“向量”，證明如下：
，
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
，故
即
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
故
即
綜合得：是向量組，，，…，的“向量”
（3）由題意，得，，即
即，同理，
三式相加并化簡(jiǎn)，得：
即，，所以
設(shè)，由得：
設(shè)，則依題意得：，
得
故
所以
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立
故
12．對(duì)于一組向量，，，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“1向量”．
(1)設(shè)，，若是向量組，，的“1向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)若，，則向量組，，，，是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，請(qǐng)說明理由；
故，
，
所以，
，
當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立，
所以．
13．元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．
(1)設(shè)，解決下面問題：
①求；
②設(shè)與的夾角為，求；
(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．
【解析】（1）因?yàn)椋?br/>所以，
①，
②因?yàn)椋?
（2）任取，，計(jì)算內(nèi)積，設(shè)這些內(nèi)積之和為，
則，設(shè)的第個(gè)分量之和為，
又因?yàn)椋剩?br/>又，
所以，即，所以.
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點(diǎn)突破02 線性代數(shù)背景下新定義
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 2
題型一：行列式背景 2
題型二：矩陣背景 4
題型三：向量組背景 7
題型四：特征向量背景 9
03 過關(guān)測(cè)試 11
線性代數(shù)中處理新定義問題時(shí)，首要任務(wù)是準(zhǔn)確理解新定義的本質(zhì)。方法技巧上，可以采取以下步驟：
一、深入剖析新定義，明確其內(nèi)涵與外延，把握關(guān)鍵要素。
二、嘗試將新定義與已知概念、定理或性質(zhì)建立聯(lián)系，利用已有知識(shí)體系進(jìn)行推理。
三、在解題過程中，靈活運(yùn)用矩陣運(yùn)算、線性變換、特征值與特征向量等工具，以及適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)或幾何方法。
四、注重驗(yàn)證結(jié)果的正確性，確保解題步驟和答案無誤。
總結(jié)時(shí)，應(yīng)強(qiáng)調(diào)新定義在解題中的關(guān)鍵作用，回顧解題過程中用到的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)和技巧。同時(shí)，總結(jié)新定義問題的常見類型和解題思路，以便在遇到類似問題時(shí)能迅速找到解決方法。通過不斷練習(xí)和總結(jié)，可以逐漸提高解決線性代數(shù)新定義問題的能力，加深對(duì)線性代數(shù)學(xué)科的理解和掌握。
題型一：行列式背景
【典例1-1】（2024·河北保定·三模）對(duì)于任意給定的四個(gè)實(shí)數(shù)，，，，我們定義方陣，方陣對(duì)應(yīng)的行列式記為，且，方陣與任意方陣的乘法運(yùn)算定義如下：，其中方陣，且.設(shè)，，.
(1)證明：.
(2)若方陣，滿足，且，證明：.
【典例1-2】（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能.設(shè)有滿足條件的二元一次方程組.
(1)用消元法解此方程組，直接寫出該方程組的兩個(gè)解；
(2)通過求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個(gè)解的分母是由方程組中的系數(shù)所唯一確定的一個(gè)數(shù)，按照它們?cè)诜匠探M中的位置，把它們排成一個(gè)數(shù)表，由此可以看出是這個(gè)數(shù)表中左上到右下對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的乘積減去右上到左下對(duì)角線上兩個(gè)數(shù)的乘積的差，稱為該數(shù)表的二階行列式，記為.當(dāng)≠0時(shí)，二元一次方程組有唯一一組解.同樣的，行列式稱為三階行列式，且=.
（i）用二階行列式表示方程組的兩個(gè)解；
（ii）對(duì)于三元一次方程組，類比二階行列式，用三階行列式推導(dǎo)使得該三元一次方程組有唯一一組解的條件（結(jié)論不得使用行列式表達(dá)），并用三階行列式表示該方程組的解.
(3)若存在，使得，求的取值范圍.
【變式1-1】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）行列式是代數(shù)學(xué)中線性代數(shù)的重要分支，是一個(gè)方陣所對(duì)應(yīng)的一個(gè)標(biāo)量值.行列式具有簡(jiǎn)潔 對(duì)稱 優(yōu)美的特點(diǎn)，可以用來求直線方程，求三角形的面積，解線性方程組等.利用行列式進(jìn)行求解，則可以簡(jiǎn)化運(yùn)算步驟，提高做題速度.其中二階行列式定義為：；三階行列式定義為：例如：.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，則的面積公式可表示為：
(1)已知，求的面積.
(2)已知點(diǎn)，若點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值.
(3)已知橢圓，它的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值.
題型二：矩陣背景
【典例2-1】（2024·廣東·一模）數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其主要研究對(duì)象包括向量和矩陣.對(duì)于平面向量，其模定義為.類似地，對(duì)于行列的矩陣，其模可由向量模拓展為（其中為矩陣中第行第列的數(shù)，為求和符號(hào)），記作，我們稱這樣的矩陣模為弗羅貝尼烏斯范數(shù)，例如對(duì)于矩陣，其矩陣模.弗羅貝尼烏斯范數(shù)在機(jī)器學(xué)習(xí)等前沿領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.
(1)，，矩陣，求使的的最小值.
(2)，，，矩陣求.
(3)矩陣，證明：，，.
【典例2-2】行列式是線性代數(shù)的一個(gè)重要研究對(duì)象，本質(zhì)上，行列式描述的是n維空間中，一個(gè)線性變換所形成的平行多面體的體積，它被廣泛應(yīng)用于解線性方程組，矩陣運(yùn)算，計(jì)算微積分等．在數(shù)學(xué)中，我們把形如，，這樣的矩形數(shù)字（或字母）陣列稱作矩陣．我們將二階矩陣兩邊的“[ ]”改為“”，得到二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值（或多項(xiàng)式），記為．
(1)求二階行列式的值；
(2)求不等式的解集；
(3)若存在，使得，求m的取值范圍．
【變式2-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示.
(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；
(2)在平面直角坐標(biāo)系中，求雙曲線繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（到原點(diǎn)距離不變）得到的雙曲線方程；
(3)已知由（2）得到的雙曲線，上頂點(diǎn)為，直線與雙曲線的兩支分別交于，兩點(diǎn)（在第一象限），與軸交于點(diǎn).設(shè)直線，的傾斜角分別為，，求證：為定值.
【變式2-2】有個(gè)正數(shù)，排成矩陣（行列的數(shù)表）：，表示位于第行，第列的數(shù).其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比都相等，已知，，.
(1)求公比.
(2)用表示.
(3)求的值.
【變式2-3】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)中，由個(gè)數(shù)排列成的m行n列的數(shù)表稱為矩陣，其中稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對(duì)于兩個(gè)矩陣A和B，如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和B相乘，具體來說：若，，則，其中.已知，函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：，.
題型三：向量組背景
【典例3-1】（2024·貴州黔東南·二模）一般地，個(gè)有序?qū)崝?shù)，，，組成的數(shù)組，稱為維向量，記為.類似二維向量，對(duì)于維向量，也可以定義向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算、向量的長(zhǎng)度（模）、兩點(diǎn)間的距離等，如，則；若存在不全為零的個(gè)實(shí)數(shù)，，，使得，則向量組，，，是線性相關(guān)的向量組，否則，說向量組，，，是線性無關(guān)的.
(1)判斷向量組，，是否線性相關(guān)？
(2)若，，，當(dāng)且時(shí)，證明：.
【典例3-2】對(duì)于一組向量（，且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“H向量”．
(1)設(shè)，若是向量組的“H向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)若，向量組是否存在“H向量”？若存在求出所有的“H向量”，若不存在說明理由；
(3)已知均是向量組的“H向量”，其中，，設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列滿足為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
【變式3-1】對(duì)于一組向量，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“長(zhǎng)向量”．
(1)設(shè)，且，若是向量組的“長(zhǎng)向量”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2)若且，向量組是否存在“長(zhǎng)向量”？若存在，求出正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)已知均是向量組的“長(zhǎng)向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列滿足，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與（且）關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．
【變式3-2】若，則稱為維空間向量集，為零向量，對(duì)于，任意，定義：
①數(shù)乘運(yùn)算：；
②加法運(yùn)算：；
③數(shù)量積運(yùn)算：；
④向量的模：，
對(duì)于中一組向量，若存在一組不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)使得，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)，
(1)對(duì)于，判斷下列各組向量是否線性相關(guān)：
①；
②；
(2)已知線性無關(guān)，試判斷是否線性相關(guān)，并說明理由；
(3)證明：對(duì)于中的任意兩個(gè)元素，均有，
題型四：特征向量背景
【典例4-1】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù)．
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若且，求的值；
(2)設(shè)（），試求函數(shù)的相伴特征向量，并求出與方向相反的單位向量﹔
(3)已知，，，為函數(shù)（）的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【典例4-2】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，求當(dāng)且時(shí)，的值;
(2)設(shè)函數(shù)，試求的相伴特征向量，并求出與共線的單位向量;
(3)已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)，使得.若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在，說明理由.
【變式4-1】我們學(xué)過二維的平面向量，其坐標(biāo)為，那么對(duì)于維向量，其坐標(biāo)為.設(shè)維向量的所有向量組成集合.當(dāng)時(shí)，稱為的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.設(shè)和為的“特征向量”， 定義.
（1）若，，且，，計(jì)算，的值；
（2）設(shè)且中向量均為的“特征向量”，且滿足：，，當(dāng)時(shí)，為奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù).求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；
（3）設(shè)，且中向量均為的“特征向量”，且滿足：，，且時(shí)，.寫出一個(gè)集合，使其元素最多，并說明理由.
【變式4-2】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).
(1)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)且時(shí)，求的值；
(2)已知，，為的相伴特征向量，，請(qǐng)問在的圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得.若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
(3)記向量的相伴函數(shù)為，若當(dāng)時(shí)不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
1．給出以下關(guān)于線性方程組解的個(gè)數(shù)的命題．
①，②，③，④，
（1）方程組①可能有無窮多組解；
（2）方程組②可能有且只有兩組不同的解；
（3）方程組③可能有且只有唯一一組解；
（4）方程組④可能有且只有唯一一組解．
其中真命題的序號(hào)為 ．
2．（2024·上海閔行·二模）平面上有一組互不相等的單位向量，，…，，若存在單位向量滿足，則稱是向量組，，…，的平衡向量．已知，向量是向量組，，的平衡向量，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為 ．
3．（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）已知二階行列式，三階行列式，其中分別為的余子式（某個(gè)數(shù)的余子式是指刪去那個(gè)數(shù)所在的行和列后剩下的行列式）．
(1)計(jì)算．
(2)設(shè)函數(shù)．
①若的極值點(diǎn)恰為等差數(shù)列的前兩項(xiàng)，且的公差大于0，求；
②若且，函數(shù)，證明：．
4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）行列式是近代數(shù)學(xué)中研究線性方程的有力工具，其中最簡(jiǎn)單的二階行列式的運(yùn)算定義如下：．
(1)在等比數(shù)列中，是的兩個(gè)實(shí)根，求的值；
(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(3)已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．設(shè)函數(shù)，且存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)于任意的都成立，若，求的值．
5．定義行列式運(yùn)算： ，若函數(shù) （，）的最小正周期是，將其圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.
6．行列式按第一列展開得，記函數(shù)，且的最大值是4．
(1)求A；
(2)將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，再將所得圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的值域．
7．（2024·高三·海南省直轄縣級(jí)單位·開學(xué)考試）由個(gè)數(shù)排列成行列的數(shù)表稱為行列的矩陣，簡(jiǎn)稱矩陣，也稱為階方陣，記作：其中表示矩陣中第行第列的數(shù)．已知三個(gè)階方陣分別為，，其中分別表示中第行第列的數(shù)．若，則稱是生成的線性矩陣．
(1)已知，若是生成的線性矩陣，且，求；
(2)已知，矩陣，矩陣是生成的線性矩陣，且．
（i）求；
（ii）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和記為，是否存在正整數(shù)，使成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
8．（2024·安徽·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，利用公式①（其中，，，為常數(shù)），將點(diǎn)變換為點(diǎn)的坐標(biāo)，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標(biāo)變換公式，該變換公式①可由，，，組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母，，…表示．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角得到點(diǎn)（到原點(diǎn)距離不變），求坐標(biāo)變換公式及對(duì)應(yīng)的二階矩陣；
（2）若，向量組，，，…，是否存在“向量”？給出你的結(jié)論并說明理由；
（3）已知 均是向量組，，的“向量”，其中，.設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，…滿足：為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的位置向量的終點(diǎn)，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值.
12．對(duì)于一組向量，，，，（且），令，如果存在，使得，那么稱是該向量組的“1向量”．
(1)設(shè)，，若是向量組，，的“1向量”，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
(2)若，，則向量組，，，，是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，請(qǐng)說明理由；
(3)已知，，均是向量組，，的“1向量”，其中，．設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中有一點(diǎn)列，，，，（且）滿足：為坐標(biāo)原點(diǎn)，，且與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求的最大值．
13．元向量（）也叫維向量，是平面向量的推廣，設(shè)為正整數(shù)，數(shù)集中的個(gè)元素構(gòu)成的有序組稱為上的元向量，其中為該向量的第個(gè)分量．元向量通常用希臘字母等表示，如上全體元向量構(gòu)成的集合記為．對(duì)于，記，定義如下運(yùn)算：加法法則，模公式，內(nèi)積，設(shè)的夾角為，則．
(1)設(shè)，解決下面問題：
①求；
②設(shè)與的夾角為，求；
(2)對(duì)于一個(gè)元向量，若，稱為維信號(hào)向量．規(guī)定，已知個(gè)兩兩垂直的120維信號(hào)向量滿足它們的前個(gè)分量都相同，證明：．
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