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高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一
知識(shí)點(diǎn)一 求橢圓中的最值問題
典例1、如圖，橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與橢圓相交于、 兩點(diǎn).
（1）若，且 求橢圓的離心率.
（2）若，求的最大值和最小值.
隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，橢圓E的離心率為，且通徑長(zhǎng)為1．
（1）求E的方程；（2）直線l與E交于M，N兩點(diǎn)（M，N在x軸的同側(cè)），當(dāng)時(shí)，求四邊形面積的最大值．
典例2、已知橢圓：與拋物線：有相同的焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.
（1）求橢圓與拋物線的方程；
（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值.
隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)，且
是橢圓的內(nèi)接三角形.
（1）若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且原點(diǎn)為的垂心，求線段的長(zhǎng)；
（2）若點(diǎn)為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，且原點(diǎn)為的重心，求原點(diǎn)到直線距離的最小值.
典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線 的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程;（2）若點(diǎn)M在曲線C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.
隨堂練習(xí)：對(duì)于橢圓，有如下性質(zhì)：若點(diǎn)是橢圓外一點(diǎn)，，是橢圓
的兩條切線，則切點(diǎn)A，B所在直線的方程是，可利用此結(jié)論解答下列問題．
已知橢圓C：和點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)是A，B，記點(diǎn)A，B到
直線（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）的距離是，．
（1）當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)； （2）求的最大值．
知識(shí)點(diǎn)二 根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問題
典例4、已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)斜率互為相反數(shù)的兩條直線，分別交橢圓C于A，B兩點(diǎn)（A，B在x軸同一側(cè)）.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)的坐標(biāo).
隨堂練習(xí)：已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）點(diǎn)，在橢圓上，且.證明：直線恒過(guò)定點(diǎn).
典例5、已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為4，且C過(guò)點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點(diǎn)，l2與C交于D，E兩點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)為M，DE的中點(diǎn)為N，試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
典例6、已知橢圓T：經(jīng)過(guò)以下四個(gè)不同點(diǎn)中的某三個(gè)點(diǎn)：，，，．
（1）求橢圓T的方程；
（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，得到橢圓E．已知M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)F是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線，分別交橢圓E于G，H（G，H分別異于M，N點(diǎn)）兩點(diǎn)，試判斷直線是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
隨堂練習(xí)：已知橢圓：（）的左、右頂點(diǎn)分別為，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與的兩個(gè)交點(diǎn)和，構(gòu)成一個(gè)面積為的菱形.
（1）求的方程；
（2）圓過(guò)，，交于點(diǎn)，，直線，分別交于另一點(diǎn)，.
①求的值； ②證明：直線過(guò)定點(diǎn).
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題一答案
典例1、答案：（1）；（2）最大值；最小值.
解:（1）， 因?yàn)椤Ｋ裕?所以，
所以
（2）由于，得，則.
①若垂直于軸，則， 所以，
所以
②若與軸不垂直，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為
由 得
，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.
設(shè)，.,
=
，所以當(dāng)直線垂于軸時(shí)，取得最大值
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，取得最小值
隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）2.
解:（1）依題意可知，解得 故橢圓的方程為．
（2）延長(zhǎng)交E于點(diǎn)，由（1）可知，
設(shè)，設(shè)的方程為，由得，故．
設(shè)與的距離為d，則四邊形的面積為S，
，
又因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立， 故四邊形面積的最大值為2．
典例2、答案：（1）橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；（2）最大值為1.
解：（1）因?yàn)椋圆环猎O(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，
所以有：，∴，，
∴橢圓的方程為：，拋物線的方程為：；
（2）由（1）可知：的坐標(biāo)為：，
設(shè)直線的方程為：，到的距離為，則，
聯(lián)立可得：，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為1.
隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.
解：（1）設(shè)焦距為，由題意知：，
因此，橢圓的方程為：；
由題意知：，故軸，設(shè)，則，，
，解得：或，
，不重合，故，，故；
（2）設(shè)中點(diǎn)為，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)， 為的重心，則，
當(dāng)斜率不存在時(shí)，點(diǎn)在軸上，所以此時(shí)點(diǎn)在長(zhǎng)軸的端點(diǎn)處
由,則，則到直線的距離為1；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：，，，
則，所以，
所以，即
也即
，則
，
則：，，代入式子得：，
設(shè)到直線的距離為，則 時(shí)，；
綜上，原點(diǎn)到直線距離的最小值為.
典例3、答案：（1） （2）
解：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，
定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，
，
（2）設(shè)，，，則，，
所以
又，所以，又即，則直線：，
直線：，由，解得，即，
所以
令，則，所以
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為；
隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）．
解:（1）當(dāng)時(shí)，直線方程為，聯(lián)立，得．
設(shè)，，則，．則．
（2）直線：，即，直線：．
設(shè)，，則，
記，則，
法一：常規(guī)換元法
令，，則
，當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)，則的最大值是．
法二：分離常數(shù)法
，顯然時(shí)不取得最大值，
則，
當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，則的最大值是．
典例4、答案：（1）；（2）證明見解析，.
解:（1）由題意得，得，所以橢圓方程為：，
將代入橢圓方程得：，解得， 故橢圓C的方程為
（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得.
設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為， 則，
且， 因?yàn)橹本€，斜率互為相反數(shù)，即，
所以，則， 即，
即， 所以，化簡(jiǎn)得，
所以直線的方程為， 故直線過(guò)定點(diǎn)
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由已知得當(dāng)時(shí)，， 又因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，則，
聯(lián)立解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）證明設(shè)點(diǎn)，， 因?yàn)椋矗?br/>即.* 當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為.
代入橢圓方程消去得， ，，，
根據(jù)，.代入*整理， 得，
結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，.
即， 當(dāng)時(shí)，
直線方程為.過(guò)點(diǎn)，不符合條件.
當(dāng)時(shí)，直線方程為， 故直線恒過(guò)定點(diǎn).
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，令點(diǎn)， 此時(shí)，
又.可得（舍去）或. 當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，與已知條件不符，
∴直線的斜率一定存在，故直線恒過(guò)定點(diǎn).
典例5、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意可知，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，
因此，橢圓的方程為.
（2）證明：若軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與也關(guān)于軸對(duì)稱，
從而直線與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.
設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，可得，，可得，
由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋?br/>整理可得，
即，化簡(jiǎn)得，
即，可得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意.
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2） 過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
解：（1）依題意， 由解得， 所以橢圓的方程為.
（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為，此時(shí)直線為軸；
當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)，
設(shè)，聯(lián)立，整理得，
，，
則， 所以的中點(diǎn)，
同理由，可得的中點(diǎn)， 則，
所以直線的方程為，
化簡(jiǎn)得，
故直線恒過(guò)定點(diǎn)． 綜上，直線過(guò)定點(diǎn).
典例6、答案：（1）；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn).
解:（1）由題意可得A，C一定在橢圓上，即①， 若B在橢圓上，則②，
由①②可得，不存在， 所以D在橢圓上，可得③，
由①③可得，， 所以橢圓的方程為：；
（2）將橢圓T上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變，
設(shè)E上的點(diǎn)為：，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，由題意可得，， 所以，，
所以E的方程， 設(shè)，，， ，
所以直線的方程為：，直線的方程，
聯(lián)立直線與橢圓的方程整理可得，
所以，，即，
聯(lián)立直線NF與橢圓的方程：整理可得，
所以，即，
所以直線的斜率為：，
所以直線的方程為：，
整理可得，當(dāng)，. 所以直線恒過(guò)定點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）①②證明見解析
解：（1）因?yàn)橹本€：與的兩個(gè)交點(diǎn)和，構(gòu)成的四邊形是菱形，
所以垂直平分，所以，.
設(shè)為直線與的一個(gè)交點(diǎn)，則菱形的面積為.
因?yàn)榱庑蔚拿娣e為，所以，解得，即.
將點(diǎn)代入，得，又因?yàn)椋?
故的方程為.
（2）①由題意，得為圓的一條弦，且直線垂直平分該弦，
故直線經(jīng)過(guò)圓心，所以為圓的直徑，因此，即.
設(shè)，，則.
注意到，，則.
又因?yàn)椋?
②易知直線不可能平行于軸，則設(shè)直線的方程為（），，.
由得. ，（*）
，.①因?yàn)椋裕?br/>即， 即.
將①代入上式得，
化簡(jiǎn)得，解得，滿足（*），
所以直線的方程為， 故直線過(guò)定點(diǎn).
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題二
知識(shí)點(diǎn)一 橢圓中三角形（四邊形）的面積,求橢圓中的最值問題,橢圓中的定值問題
典例1、已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓C：離心率e=，A是左頂點(diǎn)，E（2，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若斜率不為0的直線l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓C相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，求三角形APQ面積的最大值
隨堂練習(xí)：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上有一點(diǎn)P，另一焦點(diǎn)，求的面積的最大值．
典例2、已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，且，直線過(guò)且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)線段的中點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)為橢圓的中心，記的面積為的面積為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．
隨堂練習(xí)：已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為
坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)，使，記四邊形的面積為，求的最大值.
典例3、已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)橢圓和圓：.過(guò)點(diǎn)作直線和，且兩直線的斜率之積等于，與圓相切于點(diǎn)，與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，．
（i）求的取值范圍； （ii）求面積的最大值．
隨堂練習(xí)：已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線與
x軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.
（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)和的面積分別為，求的最大值.
知識(shí)點(diǎn)二 根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問題
典例4、已知，是橢圓E：上的兩點(diǎn)．
（1）求橢圓E的方程．
（2）若直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)（C，D均不與點(diǎn)A重合），且以線段CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，問：直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
隨堂練習(xí)：已知橢圓過(guò)點(diǎn)B（0，1），A為其左頂點(diǎn)，且直線AB的斜率為.
（1）求E的方程；（2）不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線l與E相交于C，D兩點(diǎn)，若兩直線BC，BD的斜率之和為，求直線l所過(guò)的定點(diǎn).
典例5、已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（2）若、為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．
（1）求該橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
典例6、已知橢圓過(guò)點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P坐標(biāo)為，成等差數(shù)列．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若對(duì)斜率存在的任意直線l與橢圓恒有M，N兩個(gè)交點(diǎn)，且．證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)A到橢圓的右頂點(diǎn)的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與交于M，N兩點(diǎn)，記線段MN的中點(diǎn)為P，連接OP并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，直線交射線OP于點(diǎn)R，且，求證；直線過(guò)定點(diǎn).
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題二
典例1、答案：（1）（2）
解:（1）∵∴，a=4， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程得，
設(shè)P，Q，則
∴三角形APQ面積為：，
令
∵函數(shù)y=x+在上單調(diào)遞增
∴當(dāng)u=，即m=0時(shí)，三角形APQ的面積取最大值.
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為且過(guò)，所以
所以，，所以橢圓方程為：；
（2）因?yàn)椋?br/>因?yàn)椋裕藭r(shí)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處
典例2、答案：（1） （2）
解：（1）由于，所以，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，
當(dāng)時(shí)，代入橢圓方程為 ，故當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)軸，
故，又，聯(lián)立即可求解
解得，，， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；
（2）由線段的中點(diǎn)不在軸上可知直線有斜率且不為0，
設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線的方程為，， 設(shè)，，，，
聯(lián)立整理得：，
由韋達(dá)定理得，． ．
為線段的中點(diǎn)，則可得點(diǎn)，．
，
又直線的斜率為，直線的方程為：．
令得，，故 令得，,故
因此,
, 故
令 ， 故，記，
故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
故當(dāng)時(shí)，取最大值 ，故此時(shí)取最大值，
此時(shí)， 此時(shí)直線的方程為
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解：（1），∴， ，，又，
解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2），∴，橢圓，
令，直線l的方程為：，
聯(lián)立方程組： ， 消去y得，
由韋達(dá)定理得，， 有 ，
因?yàn)椋海裕?，
將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得： ，
而此時(shí)： . ，
而， O點(diǎn)到直線l的距離，
所以：，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以 ，得， 又，所以
，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立. 所以的最大值是.
典例3、答案： （1） （2）（i）；（ii）
解：（1）由題意，，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）（i）由題意，兩直線、的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，
設(shè)的斜率為，則的斜率為， 則直線的方程為，即，
直線的方程為，即，
與圓相切于點(diǎn)，，化簡(jiǎn)得，
由得，，
，化簡(jiǎn)得，，
由得，，代入上式化簡(jiǎn)得，，
解得， 又，則，得，
所以的取值范圍是.
（ii）設(shè)，，
由（1）可知，，，
又， 又原點(diǎn)到直線的距離，
面積，
設(shè)，則，由以及得，
所以當(dāng)時(shí)，面積取最大值. 所以面積的最大值是.
隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析； （2）.
解：（1）依題意，，設(shè)，
直線方程為，由消去x并整理得：
，，則，
因在橢圓上，有，直線BP斜率，有，
則，即， 而
，
解得，此時(shí)，直線：恒過(guò)點(diǎn)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).
由（1）知，，令，，
則，
令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.
典例4、答案： （1） （2）定點(diǎn)，理由見解析.
解：（1）將，代入橢圓方程可得，解得，
所以橢圓方程為；
（2）若直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，由題可得為等腰直角三角形，
則可將代入橢圓，解得（舍去）或，即直線方程為；
若直線的斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)，
聯(lián)立方程，可得，
則，可得，
①，②，
由題可得，則，即，
代入①②，整理可得，解得或，
若，直線為，經(jīng)過(guò)點(diǎn),不符合，
若，直線為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，
綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn).
隨堂練習(xí)：答案： （1）； （2）.
解：（1）由題意，直線AB為，即，故當(dāng)時(shí)，
所以，橢圓過(guò)，則， 所以橢圓E為.
（2）設(shè)直線BC與直線BD的斜率分別為，.
若直線l與x軸垂直，設(shè)直線，且， 可得C，D分別為，，
則，得，不符合題設(shè). 從而可設(shè)直線.
將代入得：.
由題意. 設(shè)，，則，.
而.
所以，即，解得或（舍去）.
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，于是直線，即，
所以直線l過(guò)定點(diǎn).
典例5、答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為 （2）證明見解析
解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.
（2）分以下兩種情況討論：
①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
可得，
由韋達(dá)定理可得，，
，同理可得，
由已知，則
，
所以，，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意；
②當(dāng)直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，，即點(diǎn)，
由已知可得， ，，由已知，
則，所以，，因?yàn)椋獾茫?br/>此時(shí)直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn). 綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）存在，
解：（1），，橢圓，將代入可得，故，
橢圓方程為：；
（2）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，，
聯(lián)立方程可得：，
，，為常數(shù)，
代入韋達(dá)定理可知，即為常數(shù)，，故
且，直線l過(guò)定點(diǎn)
當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，可檢驗(yàn)也成立，故存在定點(diǎn).
典例6、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意知：，， 成等差數(shù)列．可得：
解得： 又，，解得： 故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)直線方程為
聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：
可得：，，
則有：
可得： 解得：或 故直線方程為：或
所以直線恒過(guò)點(diǎn)或
又因?yàn)橹本€l與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)，故易知定點(diǎn)必在橢圓內(nèi)，故直線l恒過(guò)點(diǎn)
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）由題意得，，解得或（舍去）， 則橢圓的方程為
將代入：得，，解得， 則橢圓的方程為.
（2）設(shè)，，：，
聯(lián)立，得，
由得，∴，∴.
由斜率公式可知，∴：，∴.
聯(lián)立，得，即.
∵，∴，
∴，∴，此時(shí)滿足，
則直線為：，則直線過(guò)定點(diǎn).
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題三
知識(shí)點(diǎn)一 根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問題
典例1、橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，過(guò)的長(zhǎng)軸，短軸端點(diǎn)的一條直線方程是.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明直線過(guò)定點(diǎn).
隨堂練習(xí)：已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．
（1求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；
（2）若、為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．
典例2、已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其右頂點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)、在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，證明直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：已知F是橢圓的左焦點(diǎn)，焦距為4，且C過(guò)點(diǎn)．
（1）求C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，若l1與C交于A，B兩點(diǎn)，l2與C交于D，E兩點(diǎn)，記AB的中點(diǎn)為M，DE的中點(diǎn)為N，試判斷直線MN是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．
典例3、已知橢圓過(guò)點(diǎn)，離心率為，過(guò)點(diǎn)作斜率為，的直線，，它們與橢圓的另一交點(diǎn)分別為，，且.
（1）求橢圓的方程； （2）證明：直線過(guò)定點(diǎn).
隨堂練習(xí)：已知橢圓的離心率，上頂點(diǎn)是，左 右焦點(diǎn)分別是，，若橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；（2）點(diǎn)和是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，，不共線，直線和的斜率分別是和，若，求證直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
知識(shí)點(diǎn)二 根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積
典例4、已知點(diǎn)A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求E的方程； (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程.
隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)垂直于軸的直線被橢圓所截得的線段長(zhǎng)為，橢圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離為．
（1）求橢圓的方程；（2）如圖，點(diǎn)為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），線段的延長(zhǎng)線與橢圓交于點(diǎn)，若的面積為，求直線的方程．
典例5、已知為橢圓上任一點(diǎn)，，為橢圓的焦點(diǎn)，，離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線：與橢圓的兩交點(diǎn)為A，，線段的中點(diǎn)在直線上，為坐標(biāo)
原點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e等于時(shí)，求直線的方程．
隨堂練習(xí)：已知橢圓的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，點(diǎn)在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程； （2）過(guò)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程．
典例6、如圖，已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.點(diǎn)，以為直徑作圓，過(guò)點(diǎn)M作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓與圓于點(diǎn)A，B和點(diǎn)N.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.
隨堂練習(xí)：已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓C在第一象限交于點(diǎn)P，且的面積為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與y軸正半軸交于點(diǎn)S，與曲線C交于點(diǎn)E，軸，過(guò)點(diǎn)S的另一直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，若，求所在的直線方程．
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題三答案
典例1、答案：（1）；（2）見解析
解: （1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)，，即，
橢圓的方程為，
（2）證明：設(shè)直線，（）， 設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則，
聯(lián)立直線與橢圓得， 得，
，解得 ，，
， 直線 ，
令，得 ，
直線過(guò)定點(diǎn)
隨堂練習(xí)：答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為 （2）證明見解析
解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，
所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.
（2）分以下兩種情況討論：
①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得， 可得，
由韋達(dá)定理可得，，
，同理可得，
由已知，則
，
所以，，即，解得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意；
②當(dāng)直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，，即點(diǎn)，
由已知可得， ，，由已知，
則，所以，，因?yàn)椋獾茫?br/>此時(shí)直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn). 綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).
典例2、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）由題意可知，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，可得，
因此，橢圓的方程為.
（2）證明：若軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與也關(guān)于軸對(duì)稱，
從而直線與的斜率互為相反數(shù)，不合乎題意.
設(shè)直線方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，可得，，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
因?yàn)椋?br/>整理可得，
即，化簡(jiǎn)得，
即，可得或.
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意.
綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn)．
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為
解：（1）依題意， 由解得， 所以橢圓的方程為.
（2）由題意知，當(dāng)其中一條的斜率不存在時(shí)，另外一條的斜率為，此時(shí)直線為軸；
當(dāng)?shù)男甭识即嬖谇也粸闀r(shí)，設(shè)，
設(shè)，聯(lián)立，整理得，
，，
則， 所以的中點(diǎn)，
同理由，可得的中點(diǎn)， 則，
所以直線的方程為，化簡(jiǎn)得，
故直線恒過(guò)定點(diǎn)． 綜上，直線過(guò)定點(diǎn).
典例3、答案：（1）；（2）證明見解析.
解:（1）由于，故， 所以.
又橢圓過(guò)點(diǎn)，故， 從而，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意，舍去.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
由得， 設(shè)，則.
又由 得：，
所以，化簡(jiǎn)得， 解得或（舍去）.
當(dāng)時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，符合要求.
綜上可知，直線過(guò)定點(diǎn).
隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)
解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 所以，又，
解得，，， 所以橢圓的方程為．
（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，
聯(lián)立，得， 所以，，
所以，， 所以，
解得， 所以直線過(guò)定點(diǎn)．
典例4、答案：（1） （2）
解：（1）設(shè)，因?yàn)橹本€的斜率為， 所以，.
又 解得， 所以橢圓的方程為.
（2）解：設(shè) 由題意可設(shè)直線的方程為：，
聯(lián)立消去得，
當(dāng)，所以，即或時(shí) .
所以
點(diǎn)到直線的距離 所以，
設(shè)，則， ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即， 解得時(shí)取等號(hào)， 滿足
所以的面積最大時(shí)直線的方程為：或.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）或
解：（1）設(shè)的半焦距為，則，故過(guò)垂直于軸的直線方程為，
與的方程聯(lián)立，得，由題意得，所以，又， 所以，，
因?yàn)闄E圓上的點(diǎn)到一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離為，所以， 所以，，
故橢圓的方程為；
（2）由題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，，，
由，消去并整理得，
所以，，
所以，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，且是線段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線的距離為，
所以，
因?yàn)椋裕獾没颍ㄉ崛ィ?br/>所以，此時(shí)直線的方程為，即或
典例5、答案：（1） （2）或
解：（1）由橢圓定義得，，所以，故， 所以橢圓的方程為．
（2）設(shè)代入方程， 得
所以，， 所以，解得，
則式變?yōu)閯t，
底邊上的高，所以的面積．
令，解得， 把，代入式，經(jīng)檢驗(yàn)，均滿足，
此時(shí)直線的方程為或．
隨堂練習(xí)：答案：（1）； （2）.
解：（1）由題意知，所以，， 所以，由橢圓定義知：，
則，， 故橢圓的方程為．
（2）①當(dāng)直線軸時(shí)，令，可得，解得，
可取，，此時(shí)的面積，與題設(shè)矛盾，舍去．
②當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，
設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得，
成立，
設(shè)，，則，，
可得． 又圓的半徑，
∴的面積為， 化簡(jiǎn)得，解得，
∴， ∴圓的方程為．
典例6、答案：（1） （2）
解：（1）將點(diǎn)代入得，， 又，，得，
所以，，即.
（2）因?yàn)椋O(shè)直線的方程為，設(shè)，，
聯(lián)立，得， 且，則，，
則，且， 直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離為， ∴，
∴面積，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到等號(hào)，此時(shí)， 所以直線的方程為.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）或.
解：（1）由題意知，， 又，∴，，
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）∵軸，∴， 設(shè)，則，∴，即，
∵，∴，∴，
∴，即，
設(shè)，，則，， ∴.
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，的方程為，此時(shí)∴不符合條件.
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立得.
得， ∴，即，解得.
故直線的方程為或.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題四
知識(shí)點(diǎn)一 根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓的離心率或離心率的取值范圍,求橢圓的切線方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積
典例1、已知橢圓，其離心率為，若，分別為C的左、右焦點(diǎn)，x軸上方一點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，．
（1）求C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)P的直線l交C于另一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q在第三象限），點(diǎn)M與點(diǎn)Q關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PM交x軸于點(diǎn)N，若的面積是的面積的2倍，求直線l的方程．
隨堂練習(xí)：已知橢圓的內(nèi)接正方形的面積為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．
（1）求C的方程．（2）直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率大于零．過(guò)C的左焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為A，過(guò)C的右焦點(diǎn)作直線l的垂線，垂足為B，試問在C內(nèi)是否存在梯形，使得梯形的面積有最大值？若存在，求出該最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
典例2、已知橢圓，由E的上 下頂點(diǎn)，左 右焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形.
（1）求E的方程；（2）過(guò)E的右焦點(diǎn)F做相互垂直的兩條直線，，分別和E交點(diǎn)A，B，C，D，若由點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成的四邊形的面積是，求，的方程.
隨堂練習(xí)：已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓的離心率與拋物線的方程；（2）過(guò)焦點(diǎn)的動(dòng)直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，從原點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）點(diǎn)為橢圓上的點(diǎn)，設(shè)直線與平行，且直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若的面積為1，求直線的方程．
典例3、已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線（的斜率為正數(shù)）和，直線與以短軸為直徑的圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，直線與圓和橢圓分別相交于點(diǎn)，，且的面積是面積的倍，求直線和的方程．
隨堂練習(xí)：設(shè)橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)，作，的平行線，兩平行線的交點(diǎn)剛好在橢圓上，已知，的面積為，求直線的方程．
知識(shí)點(diǎn)二 求橢圓中的最值問題
典例4、已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.
（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于 兩點(diǎn)，求的取值范圍.
隨堂練習(xí)：已知橢圓，經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線與交于 兩點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線交于兩點(diǎn)，如圖.
（1）當(dāng)直線垂直軸時(shí)，，求的準(zhǔn)線方程；
（2）若三角形的重心在軸上，且，求的取值范圍.
典例5、已知橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在以為直徑的圓上，延長(zhǎng) 交橢圓于點(diǎn)，的最大值.
隨堂練習(xí)：如圖，點(diǎn)P為拋物線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F且
斜率不為0的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，連接交橢圓E于點(diǎn)C，連接交橢圓E于點(diǎn)D，記直線的斜率分別為．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)并確定當(dāng)為常數(shù)時(shí)的值；（2）求取最大值時(shí)直線l的方程．
典例6、如圖，已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)且斜率為正的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、
分別作與直線垂直的直線，交軸于、兩點(diǎn)，求的最小值.
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題四答案
典例1、答案： （1）； （2）
解：（1）因?yàn)椋裕遥?br/>又，所以，
即，即，所以，
又離心率，所以，，所以， 所以橢圓方程為．
（2）∵，又∵，∴，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為．
依題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
由消去y整理，解得或，
所以Q點(diǎn)坐標(biāo)為， 從而M點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以直線PM的方程為， 則N點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)榈拿娣e是的面積的2倍，點(diǎn)Q在第三象限， 所以，
即，解得（舍負(fù)），
所以滿足條件的直線l的方程為， 即：．
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）存在；
解：（1）設(shè)C的內(nèi)接正方形的一個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為， 則，解得，
則C的內(nèi)接正方形的面積為，
即．又，所以，
代入，解得，故C的方程為．
（2）存在梯形，其面積的最大值為． 理由如下：設(shè)直線，．
因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以， 所以點(diǎn)到直線l的距離為，
點(diǎn)到直線l的距離為，
所以梯形的面積（為直線l的傾斜角），
所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)，直線，直線，
聯(lián)立這兩條直線的方程，解得， 因?yàn)椋?br/>所以點(diǎn)在C的內(nèi)部. 同理可證：也在C的內(nèi)部.
故在C內(nèi)存在梯形，其面積的最大值為．
典例2、答案： （1） （2）與的方程分別為：，
解：（1）由已知，，，所以E的方程為.
（2）又題意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合題意；
②若斜率存在，設(shè)，和的方程聯(lián)立得：
，，，
，
設(shè)，同理可得，
所以
解得，，所以與的方程分別為：，，
隨堂練習(xí)：答案： （1）離心率為；拋物線的方程為
（2） （3）
解：（1）因，，故，從而橢圓的離心率為．
且橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為．
于是由橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，得，即．
從而拋物線的方程為．
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件，且點(diǎn)，在直線上，可得．
于是． 即．
故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：．
（3）由于，設(shè)直線方程為，，．
由得，故．
則． 又點(diǎn)到直線的距離，
故由，
解得，從而．因此，直線的方程為．
典例3、答案： （1） （2），或，
解：（1）根據(jù)題意可得解得 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）圓 設(shè)，則
設(shè)，，，
則，同理可得：，，
∵的面積是面積的倍，則
代入整理得：
聯(lián)立方程，得或，即，同理
聯(lián)立方程，得或，即，同理
代入可得：，解得或
當(dāng)時(shí)，直線，；
當(dāng)時(shí)，直線，
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以．①
又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以．②
結(jié)合，③由①②③，解得． 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，
根據(jù)對(duì)稱性知兩平行線的交點(diǎn)在軸上，又交點(diǎn)剛好在橢圓上，
所以交點(diǎn)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)，則滿足條件的直線的方程是．
此時(shí)點(diǎn)或；
直線的斜率不存在不成立
②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
將直線代入橢圓方程得，
則， ， ．
不妨設(shè)兩平行線的交點(diǎn)為點(diǎn)，則，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．
因?yàn)辄c(diǎn)剛好在橢圓上，所以，
即． 此時(shí)，
則．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則．
所以，
即，解之得：或，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，（舍），所以，直線的方程
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由題意，橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與右焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形 故，
即橢圓：，代入 可得
故橢圓的方程為：
（2）分以下兩種情況討論：
①若直線與軸重合，則；
②若直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立，消去可得， 則恒成立，
由韋達(dá)定理可得，，
由弦長(zhǎng)公式可得，
，則，所以，.
綜上所述，的取值范圍是.
隨堂練習(xí)：答案：（1）x=-1； （2）
解：（1）由知，， 當(dāng)直線PF垂直于x軸時(shí)，由，得，
有， 所以的準(zhǔn)線方程為：，即；
（2）由題意知，，設(shè)直線，，
則，，
，
由，即直線PB的斜率為，
所以直線PB的方程為：，即，
，
，又G為的重心，且G在x軸上，故，
所以，又，所以，
整理，得，解得，
①，令，則，
所以①式②，
令，則， 所以②式，
故的取值范圍為.
典例5、答案：（1）；（2）.
解：（1）根據(jù)題意，橢圓的焦距為，且過(guò)點(diǎn)， 可知，，則，
，， 所以橢圓的方程為；
（2）可得，，則，則以為直徑的圓，圓心為，半徑為，
以為直徑的圓方程為， 即：，
點(diǎn)，由于延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上，
可知直線的斜率存在，且， 則設(shè)直線的方程為，設(shè)，
聯(lián)立直線和圓的方程，得， 解得：，
可得，
聯(lián)立直線和橢圓的方程，得， 解得：，
可得， 則，
可知，設(shè)上式為， 即有，，
，即為， 解得：， 則的最大值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）， （2）
解：（1）由得． 設(shè)直線l的方程為．
由得，由韋達(dá)定理得．
又，同理可得，
則
所以當(dāng)時(shí)，為常數(shù)．
（2）由（1）知，．
設(shè)直線的方程分別為．
由得，
由韋達(dá)定理得，解得，
代入直線的方程得，同理可得．
又由（1）知，，得．
所以
．
所以，令，
則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
此時(shí)直線l的方程為．
典例6、答案：（1）；（2）最小值是.
解:（1）由題意，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，
由得，，
由韋達(dá)定理可得，，
直線的方程為，令得，
同理， 所以，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取最小值.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題五
知識(shí)點(diǎn)一 求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題,根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
典例1、已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓上，且．
（1）求雙曲線的方程；（2）動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)、，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)．求證：的面積為定值．
隨堂練習(xí)：已知雙曲線C：的離心率為，焦點(diǎn)到其漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線l：與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA，OB的斜率之積為，求△OAB的面積．
典例2、已知雙曲線：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，一條漸近線的傾斜角為．
（1）求雙曲線的方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交與兩點(diǎn)，與軸交與點(diǎn)，點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，求證：．
隨堂練習(xí)：已知橢圓與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，的左 右焦點(diǎn)分
別為，，且到的一條漸近線的距離為1.
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是與在第一象限的交點(diǎn)，與的另一個(gè)交點(diǎn)為P，與的另一個(gè)交點(diǎn)為，與的面積分別為，，求.
典例3、已知雙曲線：的一條漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率；（2）已知斜率為的直線與雙曲線交于軸上方的A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，的斜率之積為，求的面積．
隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系中中，已知雙曲線的一條漸近線方程為，
過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且，若的面積為，求直線的方程.
知識(shí)點(diǎn)二 直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題,根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
典例4、已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P（2，0）的直線l交拋物線C于A（x1，y1）和B（x2，y2）兩點(diǎn).
（1）當(dāng)x1+x2＝8時(shí)，求直線l的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)P（2，0）且垂直于直線l的直線l'與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，記△ABF與△MNF的面積分別為S1與S2，求S1S2的最小值.
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為2的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)．
（1）若直線與拋物線的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，且，求直線的方程；
（2）若直線不過(guò)原點(diǎn)，且，求的周長(zhǎng)．
典例5、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，若，求；（2）設(shè)點(diǎn)，且，求l的方程．
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線過(guò)點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn)，．
（1）求的取值范圍；（2）若，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．
典例6、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間.
（1）若，求直線l的斜率；（2）若，證明：為定值.
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為．
（1）如圖所示，線段為過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的弦，動(dòng)點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線 與拋物線交于兩點(diǎn)，請(qǐng)問是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；
（2）過(guò)焦點(diǎn)作直線與交于兩點(diǎn)，分別過(guò)作拋物線的切線，已知兩切線交于點(diǎn)，求證：直線 、的斜率成等差數(shù)列．
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題五答案
典例1、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）不妨設(shè) , 因?yàn)?
從而 故由 , 又因?yàn)? 所以 ,
又因?yàn)?在圓 上, 所以
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，雙曲線的漸近線方程為
由于動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn), 且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn),
當(dāng)動(dòng)直線的斜率不存在時(shí), ,，,
當(dāng)動(dòng)直線的斜率存在時(shí), 且斜率, 不妨設(shè)直線 ,
故由
依題意，且 , 化簡(jiǎn)得 ,
故由 , 同理可求,,
所以 又因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離,
所以,又由 所以,
故的面積是為定值,定值為
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）
解：（1）雙曲線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為，
所以焦點(diǎn)到其漸近線的距離為． 因?yàn)殡p曲線C的離心率為，
所以，解得， 所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，， 聯(lián)立，得，，
所以，．
由， 解得t＝1（負(fù)值舍去），
所以，． 直線l：，所以原點(diǎn)O到直線l的距離為，
， 所以△OAB的面積為．
典例2、答案：（1）；（2）證明見解析．
解：（1）由題意得，，
解得所以雙曲線的方程為：
（2）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，得，，
設(shè)，， 聯(lián)立，整理可得
， 所以
所以
直線與雙曲線右支有兩個(gè)交點(diǎn)，所以
所以，設(shè)，
所以
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）
解：（1）雙曲線的離心率為： 故橢圓的離心率為：
雙曲線的一條漸近線方程為：
設(shè)的坐標(biāo)為：，則，解得
又，解得， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）聯(lián)立方程組： 解得：，即點(diǎn)坐標(biāo)為：
直線的斜率為： 則直線的方程為：
聯(lián)立方程組： 解得：或
即點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到的距離為
聯(lián)立方程組： 解得：或
即點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)到的距離為 則，即
典例3、答案： （1），離心率為 （2）
解：（1）由題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離為， 則
因?yàn)橐粭l漸近線方程為，所以， 又，解得，，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 離心率為．
（2）設(shè)直線：，，， 聯(lián)立
則， 所以，
由
解得或（舍去）， 所以，
：，令，得，
所以的面積為
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）或
解：（1）過(guò)C的焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長(zhǎng)為6，將代入雙曲線，得，則①，
又C的一條漸近線方程為，則②， 由①②解得，，
所以雙曲線C的方程為．
（2）顯然，當(dāng)直線OA斜率為0或不存在時(shí)均不符合題意．
當(dāng)直線OA斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線OA的斜率為k，則方程為．
聯(lián)立，整理得，于是得
則，同理可得，
因?yàn)? 整理得，解得．
即或 （滿足）．
考慮到，只需分以下兩種情形：
①當(dāng)OA、OB的斜率為、時(shí)，
結(jié)合得或，
同理可得或，
于是由點(diǎn)、，據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程并化簡(jiǎn)可得AB方程，
同理可得AB的方程為或或．
②同理，當(dāng)OA、OB的斜率為、時(shí)，
直線AB的方程為，或或或
綜上，直線AB的方程為或
典例4、答案：（1）x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；（2）12.
解:（1）直線l過(guò)定點(diǎn)P（2，0），在x軸上，且直線l與拋物線相交，則斜率一定不為0，
可設(shè)直線l的方程為x＝my+2，聯(lián)立拋物線的方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，所以x1+x2＝my1+2+my2+2＝m（y1+y2）+4＝4m2+4，
因?yàn)閤1+x2＝8，所以4m2+4＝8，解得m＝±1，
所以直線l的方程為x﹣y﹣2＝0或x+y﹣2＝0；
（2）設(shè)直線l的方程為x＝my+2，聯(lián)立拋物線的方程可得y2﹣4my﹣8＝0，
可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣8，則S1|PF||y1﹣y2|2，
因?yàn)橹本€MN與直線l垂直，且當(dāng)m＝0時(shí)，直線l的方程為x＝2，此時(shí)直線l'的方程為x＝0，
但此時(shí)直線l'與拋物線C沒有兩個(gè)交點(diǎn)，所以不符題意，所以m≠0，所以直線l的斜率為，
因此直線MN的斜率為﹣m（m≠0），由點(diǎn)斜式方程可得直線l'的方程為y﹣0＝﹣m（x﹣2），
即mx+y﹣2m＝0， 聯(lián)立拋物線的方程y2＝4x，消去y，可得m2x2﹣（4m2+4）x+4m2＝0，
設(shè)M（x3，y3），N（x4，y4），可得x3+x4，x3x4＝4，
則y3﹣y4＝m（2﹣x3）﹣m（2﹣x4）＝﹣m（x3﹣x4），
因此|y3﹣y4|＝|m||x3﹣x4|＝|m||m|，
所以S2|PF||y3﹣y4|1，
所以S1S2＝2444412，
當(dāng)且僅當(dāng)2m2即m＝±1時(shí)等號(hào)恒成立，所以S1S2的最小值為12.
隨堂練習(xí)：答案： （1）；（2）.
解:（1）由拋物線可知，準(zhǔn)線為，
設(shè)直線的方程為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，
聯(lián)立方程，消去后整理為，
又由，可得，
由點(diǎn)的坐標(biāo)為，有，
解得或（舍去），故直線的方程為．
（2）設(shè)直線的方程為， 點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，
聯(lián)立方程，消去后整理為， 可得，，
又由，可得． 又由，，
可得，
得（舍去）或．由，可得，，
所以，
， 故的周長(zhǎng)為．
典例5、答案： （1） （2）或
解：（1）當(dāng)l的傾斜角為時(shí)，l的斜率為1， 又，所以直線，
將代入，得，即，
設(shè)，，則，，
根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可知，，，
因?yàn)椋? 可知，
， 所以．
（2）當(dāng)軸時(shí)，，，，此時(shí)PA不垂直于PB．
當(dāng)l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)l的斜率為k，則直線，
將代入，得，即，．
設(shè)，，則，，
又，，，
所以，
即，
所以，化簡(jiǎn)有，解得，
所以l的方程為或．
隨堂練習(xí)：答案： （1）（2）
解:（1）依題意，設(shè)直線為，
代入得，其判別式為， ∴．
設(shè)，為交點(diǎn)， ∴，．
∵焦點(diǎn)的坐標(biāo)為， ∴，．
∵， ∴，
∴， ∴或．
∵成立． ∴．
（2）若，則，
設(shè)點(diǎn)，為直線、直線與拋物線的交點(diǎn)．
設(shè)直線為，代入得， ∴，∴，
同理可得， ∴點(diǎn)和的坐標(biāo)分別為，．
又∵在直線上， ∴，共線，
∴， ∴．
∵，∴， ∴，設(shè)，
∴在時(shí)恒成立， ∴在單調(diào)遞增，
∴的取值范圍為．
典例6、答案：（1） （2）證明見解析
解：（1）設(shè)，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，所以直線斜率存在，且不為0，
設(shè)直線l為， 聯(lián)立與得：，
則，， 因?yàn)椋裕?br/>故，解得：，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得：，
直線l的斜率為，滿足點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，解得：，
直線l的斜率為，滿足點(diǎn)N位于點(diǎn)M和點(diǎn)P之間，
綜上：直線l的斜率為；
（2）設(shè)，
因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線l交拋物線C于M，N兩點(diǎn)，所以直線斜率不為0，
設(shè)直線l為，令得：，故，
聯(lián)立與得：， 則，，
因?yàn)椋?所以，，
解得：，， 所以，
故為定值-1.
隨堂練習(xí)：答案： （1）是定值;定值為4. （2）證明見解析.
解：（1）依題意知 ，將 代入可得，
設(shè)，所以直線l的方程為 ，
聯(lián)立方程 ，得： ,當(dāng)不滿足題意舍去，
則是定值.
（2）證明：依題意設(shè)直線的方程為； ，設(shè)點(diǎn) ,
聯(lián)立方程 得： ，， ，
又,點(diǎn)F坐標(biāo)為,∴ ,
，，
，
所以直線 、的斜率成等差數(shù)列．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題六
知識(shí)點(diǎn)一 根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線中的三角形或四邊形面積問題
典例1、已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，且．
（1）求拋物線C的方程；（2）直線FM與拋物線C交于A點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積．
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線方程；（2）斜率為1的直線過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，求的面積．
典例2、已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到直線的距離小2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)是軸上的點(diǎn)，曲線與直線交于，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo).
隨堂練習(xí)：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程C；（2）已知，過(guò)點(diǎn)的直線l斜率存在且不為0，若l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，求的面積.
典例3、已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)F的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，分別以A，B為切點(diǎn)作C的切線，相交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）若PA，PB與x軸分別交于Q，R兩點(diǎn)，令的面積為，四邊形PRFQ面積為，求的最小值．
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為5.
（1）求拋物線C的方程；
（2）若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是拋物線C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求面積的最大值.
知識(shí)點(diǎn)二 求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問題,根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
典例4、已知雙曲線W：的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)，右頂點(diǎn)是M，
且，．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線l交雙曲線W的右支于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)（B在A、Q之間），若點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓的外部，試求△AQH與△BQH面積之比λ的取值范圍．
隨堂練習(xí)：在一張紙上有一圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)恰好與
點(diǎn)M重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕PQ，設(shè)折痕PQ與直線的交點(diǎn)為T.
（1）求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；
（2）曲線上一點(diǎn)P，點(diǎn)A B分別為直線：在第一象限上的點(diǎn)與：在第四象限上的點(diǎn)，若，，求面積的取值范圍.
典例5、已知雙曲線的焦距為，且過(guò)點(diǎn)，直線與曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線的兩條漸近線與、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求雙曲線的方程；（2）求證：面積為定值，并求出該定值.
典例6、已知兩定點(diǎn),滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E,直線y=kx-1
與曲線E交于A,B兩點(diǎn),
(1)求k的取值范圍;
(2)如果,且曲線E上存在點(diǎn)C,使,求m的值和的面積S．
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題六
典例1、答案: （1） （2）
解：（1）， 又點(diǎn)在拋物線C上，
根據(jù)拋物線的定義，， 所以， 所以， 所以，
代入得，， 所以， 所以拋物線C：.
（2）根據(jù)題意，F(xiàn)坐標(biāo)為， ， 所以直線.
聯(lián)立和，所以，
所以 所以， 所以
隨堂練習(xí)：答案： （1） （1）
解：（1），則由拋物線性質(zhì)得， ∴，∴，
即拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.
（2）由題意得，拋物線的焦點(diǎn)為， ∴斜率為1的直線的方程為，，，
， 所以，，
∴ 原點(diǎn)到直線的距離為，
所以的面積
典例2、答案：（1） （2）或
解：依題意動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到直線的距離，
由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線的方程為.
（2）聯(lián)立方程，整理得,
設(shè)，則有, 于是,
設(shè)到直線的距離為，因?yàn)椋?br/>由點(diǎn)到直線的距離公式得,
又，所以， 于是，解得或.
故點(diǎn)的坐標(biāo)為或.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）
解：（1）根據(jù)拋物線定義得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線..
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線l為，將其與拋物線方程聯(lián)立，
得，消去得：①，
因l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則.
將代入①得，解得，代入直線l可得
則直線AP方程為：，則其與y軸交點(diǎn)為，則由圖可得：
典例3、答案：（1） （2）2
解：（1）拋物線的焦點(diǎn).由得，∴.
設(shè)，，，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：，，
∴，即，同理．
又P在PA，PB上，則，所以．
∵直線AB過(guò)焦點(diǎn)F，∴．所以點(diǎn)P的軌跡方程是．
（2）由（1）知，，代入得， 則，
則，
P到AB的距離，所以，
∵，當(dāng)時(shí)，得，
∴，∴，同理，．
由得，∴四邊形PRFQ為矩形，
∵，∴，
∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．∴的最小值為2．
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）32
解：（1）由題意知，，設(shè)圓上的點(diǎn)，則.
所以. 從而有.
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.
又，解之得，因此. 拋物線C的方程為：.
（2）切點(diǎn)弦方程韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法
拋物線C的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)、、，
直線的方程為，即，即
同理可知，直線PB的方程為，
由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)滿足方程， 所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得， 由韋達(dá)定理可得，
所以， 點(diǎn)P到直線AB的距離為，
所以，，
∵，
由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.
典例4、答案：（1）；（2）.
解:（1）由已知，，，，
∵，則，∴，∴，
解得，，∴雙曲線的方程為．
（2）直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l:，設(shè)、，
由，得， 則，解得①，
∵點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓的外部，則，
，解得②，
由①、②得實(shí)數(shù)k的范圍是.
由已知，∵B在A、Q之間，則，且，
∴，則，∴， 則，
∵，∴， 解得，又，∴．
故λ的取值范圍是．
隨堂練習(xí)：答案： （1）證明見解析， （2）
解：（1）證明：如圖，由點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱，
則，，故為定值.
由，
由雙曲線定義知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為8的雙曲線，
設(shè)雙曲線方程為 ，，
所以雙曲線方程為；
（2）由題意知，分別為雙曲線的漸近線
設(shè)，由，設(shè).
，由于P點(diǎn)在雙曲線上
又同理，設(shè)的傾斜角為，
則.
由函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， ；
當(dāng)時(shí)，； .
典例5、答案：（1）；（2）證明見解析，面積為.
解:（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則雙曲線的方程為；
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為， 則消得，
，①
設(shè)與軸交于一點(diǎn)，，
，
雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯(lián)立，聯(lián)立，
則（定值）.
典例6、答案：（1）；（2），面積為.
解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，
且，得， 故曲線的方程為；
設(shè)，由題意建立方程組，
消去，得，
又直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)，有，解得，
（2），
依題意得，整理后得，
∴或，但∴， 故直線的方程為，
設(shè)，由已知，得，
∴，
又， ∴點(diǎn)，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線的方程，得得，
但當(dāng)時(shí)，所得的點(diǎn)在雙曲線的右支上，不合題意，
∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為，到的距離為，
∴的面積.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題七
知識(shí)點(diǎn)一 求拋物線的切線方程,由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù),
根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
典例1、已知拋物線的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）過(guò)作垂直于軸的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，的面積為．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）拋物線上有兩點(diǎn)，若為正三角形，求的邊長(zhǎng)．
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線 上的投影，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.
（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于A，兩點(diǎn)，直線與線段交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得和的面積相等恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
典例2、已知P為拋物線E：上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，垂足為O，點(diǎn)在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．
（1）求E的方程；（2）若直線與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，且為等邊三角形，求m的值．
隨堂練習(xí)：已知拋物線C：上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為2．
（1）求拋物線C的方程；（2）已知點(diǎn)D在直線l：上，過(guò)點(diǎn)D作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與直線l交于點(diǎn)M，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線AB的垂線交直線l于點(diǎn)N，當(dāng)|MN|最小時(shí)，求的值．
典例3、如圖，設(shè)為軸的正半軸上的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條弦和， 在軸的同側(cè).
（1）若為拋物線的焦點(diǎn)，，直線的斜率為，且直線和的傾斜角互補(bǔ)，求的值；
（2）若直線 分別與軸相交于點(diǎn) ，求證：.
隨堂練習(xí)：已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線上的投影.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.
（1）求拋物線的方程；（2）過(guò)軸上一動(dòng)點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)A，B和C，D，點(diǎn)H，K分別為，的中點(diǎn)，求面積的最小值.
知識(shí)點(diǎn)二 拋物線中的三角形或四邊形面積問題,直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問題
典例4、已知曲線M上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到直線的距離小1．
（1）求曲線M的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)．若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線M交于B，C兩點(diǎn)，求的面積的最小值．
隨堂練習(xí)：如圖，已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,2).
（1）求p的值； （2）求△AOB的面積.
典例5、已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于不同兩點(diǎn).
（1）記和的面積分別為，若，求直線的方程；
（2）判斷在軸上是否存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形，并說(shuō)明理由.
隨堂練習(xí)：已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.
（1）設(shè)與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且在軸上方，若，求直線的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，，求的面積.
典例6、如圖，已知拋物線，直線l過(guò)點(diǎn)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且在A、B處的切線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線分別交拋物線C、直線l于M、N兩點(diǎn)．直線l與曲線交于C、D兩點(diǎn)．
（1）求證：點(diǎn)N是中點(diǎn)；（2）設(shè)的面積分別為，求的取值范圍．
隨堂練習(xí)：如圖，點(diǎn)是軸左側(cè)（不含軸）一點(diǎn)，拋物線上存在不同的兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)均在拋物線C上.
1、若，點(diǎn)A在第一象限，求此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；
2、設(shè)中點(diǎn)為，求證：直線軸；
3、若是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求面積的最大值.
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題七答案
典例1、答案：（1） （2）
解：（1）由拋物線方程知：，為拋物線的通徑，則，
，解得：， 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）為正三角形，，由拋物線對(duì)稱性可知：軸，
設(shè)，則，解得：，，
，，解得：，，即的邊長(zhǎng)為.
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解：（1）由題意得：，由拋物線定義可知：此時(shí)，
過(guò)點(diǎn)F作FD⊥P Q于點(diǎn)D，由三線合一得：D為PQ中點(diǎn)，
且，可得： 所以拋物線方程為
（2）由題意得：當(dāng)M為AB中點(diǎn)時(shí)，滿足題意，
設(shè)，由得：直線斜率為，則可設(shè)直線：，
整理得：，聯(lián)立得： ，
設(shè)， 則， 則， 由得直線OQ：，
聯(lián)立直線OQ與直線l得：， 從而，可得：，解得：.
典例2、答案：（1） 1、 （2）2、
解：（1）拋物線E：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
所以，故，
又因?yàn)榈淖钚≈禐?，所的最小值為，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，
此時(shí)，解得， 故拋物線E的方程為；
（2）聯(lián)立，消去x得，
直線與拋物線E相交于不同的兩點(diǎn)A，B， ，得，
設(shè)，，則有，， 所以，
設(shè)線段AB的中點(diǎn)， 則，，即，
直線MN的斜率，直線MN的方程為：，
令，得，即， 所以，
，
又因?yàn)闉榈冗吶切危裕? 所以，
解得，且滿足， 故所求m的值為．
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，在拋物線C：上，所以，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
由拋物線的定義得：，解得，即拋物線C的方程為；
（2）由題意可設(shè)，，， 因?yàn)椋裕矗?br/>故，整理得， 設(shè)點(diǎn)，同理可得，
則直線AB方程為：， 令得，即點(diǎn)，
因?yàn)橹本€NF與直線AB垂直， 所以直線NF方程為：，
令得，即點(diǎn)， ∴，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，時(shí)上式等號(hào)成立， 聯(lián)立，得，
∴，，，
， ∴．
典例3、答案：（1） （2）證明見解析.
解：（1）根據(jù)題意，為拋物線的焦點(diǎn)，則，
由于直線的斜率為，故直線的方程為，
所以聯(lián)立方程得， 設(shè)，則，
因?yàn)橹本€和的傾斜角互補(bǔ)，所以， 因?yàn)椋裕?br/>所以，解得. 所以.
（2）設(shè)，直線的方程為，直線的方程為
設(shè)， 直線與拋物線聯(lián)立得，
所以，，同理，直線與拋物線聯(lián)立得，
所以，， 對(duì)于直線，由于，
所以，所以直線方程為，
故令得，即
同理得，，， 所以，
， 所以
隨堂練習(xí)：答案：（1） ； （2）16.
解：（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，
為等邊三角形，則有，而為在動(dòng)直線上的投影，則，
由，解得，設(shè)，則點(diǎn)，
于是由得：，解得，
所以拋物線的方程為：.
（2）顯然直線AB，CD都不與坐標(biāo)軸垂直，設(shè)直線AB方程為：，則直線CD方程為：，
由消去x并整理得：，設(shè)，則，
于是得弦AB中點(diǎn)，，同理得，
因此，直角面積
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，
所以面積的最小值為16.
典例4、答案：（1） （2）
解：（1）由已知得，曲線M上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以曲線M的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線， 所以曲線M的方程為
（2）設(shè)， 顯然，過(guò)點(diǎn)的直線斜率不為0，設(shè)其方程為
聯(lián)立，整理得
其中， 由韋達(dá)定理得：，，
所以的面積
當(dāng)時(shí)， 所以的面積的最小值為
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）
解：（1）∵OD⊥AB， ∴，又， ∴，則直線AB的方程為，
聯(lián)立方程消y可得① 設(shè)A(x1,x2)，B(x2,y2)，∴，，
由， 又，
將代入可得，且當(dāng)時(shí)方程①有解． ∴.
（2）由， ∵， ∴.
典例5、答案：（1） ； （2）不存在，理由見詳解.
解：（1）設(shè)直線方程為， 聯(lián)立，消去得，
得①，②， 又因?yàn)椋瑒t③ 由①②③解得，
即直線的方程為，即
（2）假設(shè)存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形， 則互相平分
所以線段的中點(diǎn)在上，則軸， 此時(shí)
則不成立. 故在軸上不存在點(diǎn)，使得四邊形為矩形
隨堂練習(xí)：答案：（1） （2）32
解：（1）由可得的準(zhǔn)線為直線，所以點(diǎn)
過(guò)點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，如圖所示，則，
因?yàn)椋裕O(shè)直線的傾斜角為，則，即，
得直線的斜率為1，所以直線的方程為
（2），設(shè)，，，
若軸，由，得，、為、，
此時(shí)不滿足，所以不滿足題意.
設(shè)直線方程為，直線的方程為，如圖所示：
將代入拋物線方程得，所以，，
將代入拋物線方程得，所以①，
直線的斜率為，同理的斜率為，
因?yàn)椋裕?所以，即②，
由①②解得，， 所以或者，
當(dāng)時(shí)，直線方程為，，，
因?yàn)椋瑵M足，所以，
所以，所以的面積為32，
同理可得當(dāng)直線方程為時(shí)的面積也為32. 所以的面積為32.
典例6、答案：（1）證明見解析. （2）
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)的直線l過(guò)與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，
所以直線的斜率存在，可設(shè).
設(shè)，則，消去y可得：，所以.
對(duì)拋物線可化為，求導(dǎo)得：，
所以以為切點(diǎn)的切線方程為，整理得：.
同理可求：以為切點(diǎn)的切線方程為.
兩條切線方程聯(lián)立解得：，，所以.
過(guò)點(diǎn)P且垂直于x軸的直線為：，所以. 所以，即點(diǎn)N是中點(diǎn).
設(shè). 因?yàn)辄c(diǎn)D到MN的距離為，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)B到MN的距離為，所以.
所以.
（2）由（1）可知：點(diǎn)N是中點(diǎn).同理可證：點(diǎn)N是中點(diǎn). 所以.
設(shè)，則，消去y可得：，
所以.所以.
由（1）可知：，，所以.
同理可求：，.
所以
因?yàn)椋裕裕裕?br/>所以，所以. 即的取值范圍為.
隨堂練習(xí)：答案：（1）； （2）證明見解析； （3）
解：（1）設(shè)點(diǎn)，則，所以中點(diǎn)坐標(biāo)為代入，得，
所以，即；
（2）設(shè)，所以中點(diǎn)代入，得，
同理，.所以，是方程的兩根，
由韋達(dá)定理：，又中點(diǎn)為，所以，所以，即直線軸；
（2）當(dāng)軸時(shí)，由對(duì)稱性知，在軸上，則，
所以化為， 即，所以；
當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，方程為，即，
所以，又由（2）知，，則，
所以.
又點(diǎn)到直線的距離，
故.又，得，故，
由，.綜上，，所以的面積的最大值為.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題八
知識(shí)點(diǎn)一 軌跡問題——橢圓,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍,求橢圓中的弦長(zhǎng)
典例1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，，點(diǎn)M的軌跡為C.
（1）求C的方程：（2）設(shè)點(diǎn)P在直線上，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和G，H兩點(diǎn)，若直線AB與直線GH的斜率之和為0，證明：.
隨堂練面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足.記M的軌跡為C.
（1）說(shuō)明C是什么曲線，并求C的方程；
（2）已知經(jīng)過(guò)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.
典例2、在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線 的交點(diǎn)為P，，的斜率均存在且乘積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)Р的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程; （2）若點(diǎn)M在曲線C上，過(guò)點(diǎn)M且垂直于OM的直線交C于另一點(diǎn)N，點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q.直線NQ交x軸于點(diǎn)T，求的最大值.
隨堂練習(xí)：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)M滿足．記M的
軌跡為C．
（1）求C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且，證明：為定值．
典例3、在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到，的兩點(diǎn)的距離之和為．
（1）試判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么曲線，并求其軌跡方程．
（2）已知直線與圓交于、兩點(diǎn)，與曲線交于、兩點(diǎn)，其中、在第一象限，為原點(diǎn)到直線的距離，是否存在實(shí)數(shù)，使得取得最大值，若存在，求出和最大值；若不存在，說(shuō)明理由．
隨堂練習(xí)：設(shè)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，已知點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段
于點(diǎn)，記點(diǎn)的軌跡為曲線．
（1）求曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線l與曲線交于兩點(diǎn)，若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)T，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
知識(shí)點(diǎn)二 根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程,求雙曲線中的弦長(zhǎng),由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、
斜率求參數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
典例4、已知雙曲線與雙曲線的漸近線相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求雙曲線的方程； （2）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，斜率為， 與雙曲線交于A，兩點(diǎn)，求的值．
隨堂練習(xí)：已知雙曲線C的漸近線方程為，右焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程； （2）過(guò)F作斜率為k的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中垂線交x軸于D，求證：為定值.
典例5、已知圓：，圓：，圓與圓、圓外切，
（1）求圓心的軌跡方程（2）若過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與交與兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸與點(diǎn)，證明的值是定值.
隨堂練習(xí)：已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線的斜率與直線的斜率乘積為．當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)的軌跡為；當(dāng)時(shí)點(diǎn)的軌跡為．
（1）求，的方程；
（2）是否存在過(guò)右焦點(diǎn)的直線，滿足直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，且？若存在，求所有滿足條件的直線的斜率之積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由，
典例6、已知雙曲線C的兩焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，且點(diǎn)P（0，-1）到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若過(guò)點(diǎn)P的直線l分別交雙曲線C的左、右兩支于點(diǎn)A、B，交雙曲線C的兩條漸近線于點(diǎn)D、E（D在y軸左側(cè)）.記和的面積分別為、，求的取值范圍.
隨堂練習(xí)：雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到其漸近線的距離為2．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)，與其漸近線分別交于，（從左至右）兩點(diǎn)． ①證明：；
②是否存在這樣的直線，使得，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題八答案
典例1、答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）根據(jù)橢圓的定義可得，點(diǎn)的軌跡是以為左右焦點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，
設(shè)其方程為， 故可得，
故的方程為：.
（2）設(shè)，設(shè)，，則，
聯(lián)立直線與橢圓的方程得：，
則，，
則
故，
故.
隨堂練習(xí)：答案： （1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓， （2）
解：（1）因?yàn)椋? 所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.
于是，，故，因此C的方程為.
（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.
當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)， 代入可得.
因?yàn)椋O(shè)，， 則，.
因?yàn)椋? 所以.
同理.因此.
由可得，，
于是. 根據(jù)橢圓定義可知，于是.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為， 定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為，
，
（2）設(shè)，，，則，，
所以
又，所以，又即，
則直線：，直線：，
由，解得，即，
所以
令，則，所以
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為；
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）證明過(guò)程見解析
解：（1）由橢圓的定義可知：M的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，
且，，所以， 所以C的方程為
（2）設(shè)直線l為：， 則聯(lián)立得：，
設(shè)，則，， ，
則， AB中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以AB的垂直平分線為，
令得：， 所以，，
典例3、答案：（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
（2）2時(shí)取得最大值
解：（1）由題意知，， 所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，
且，， 又因?yàn)椋? 所以， 所以的軌跡方程為．
（2）當(dāng)時(shí)，解得， 又圓的半徑，
所以在橢圓外，在橢圓內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，在外，
在直線上的四點(diǎn)滿足：，，
由，消去整理得，
因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)的右焦點(diǎn)， 所以該方程的判別式恒成立，
設(shè)，， 所以，， ，
又因?yàn)榈闹睆剑? 所以，
化為，
因?yàn)闉辄c(diǎn)到直線的距離， ，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立， 所以時(shí)取得最大值．
隨堂練習(xí)：答案： （1）； （2）
解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在線段的垂直平分線上，所以，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為的橢圓，故，可得，
所以曲線的方程為
（2）由題意，得直線的方程為：.聯(lián)立方程組得，所以，，
則， 的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以直線的垂直平分線的方程為，
則與軸交點(diǎn)，所以，
因?yàn)椋? 所以，
因?yàn)椋裕矗?br/>所以的取值范圍為.
典例4、答案： （1） （2）6
解：（1）設(shè)所求雙曲線方程為， 代入點(diǎn)得：，即，
雙曲線方程為，即；
（2）由（1）知：，， 即直線的方程為，
設(shè)，， 聯(lián)立，得，
滿足，且，，
由弦長(zhǎng)公式得.
隨堂練習(xí)：答案： （1）；（2）證明見解析.
解:（1）設(shè)雙曲線方程為 由題知
雙曲線方程為：
（2）設(shè)直線l的方程為代入
整理得，設(shè) 所以：
由弦長(zhǎng)公式得：
設(shè)AB的中點(diǎn) 則， 代入l得：
AB的垂直平分線方程為
令y=0得，即，所以：為定值.
典例5、答案： （1） （2）證明見解析
解：（1）因?yàn)閳AC與圓A、圓B外切， 設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)，圓C半徑為，
則，， 所以<4， 所以點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的一支，
又，，， 所以其軌跡方程為；
（2）設(shè)直線為，
聯(lián)立，消去y得：， 所以，
設(shè)MN中點(diǎn)坐標(biāo)為G，則，
所以，，
直線GP的方程為:， ，
所以， 所以=1.
隨堂練習(xí)：答案： （1）C1：，C2： （2）存在，
解：（1）設(shè)，． 對(duì)于，由題可得， 整理得，
故的方程為． 對(duì)于由題可得，
整理得． 故的方程為．
（2）由（1）可得，，
的右焦點(diǎn)為，設(shè)，，，．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與無(wú)交點(diǎn)，不滿足題意，故直線的斜率存在，
于是可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，
恒成立， 由韋達(dá)定理：，．①
于是， 將①代人整理得．
同理其中，故．
因?yàn)椋裕?br/>設(shè)，則即．
平方整理得， 因式分解得，
解得，，（舍去）， 即，．
于是所有滿足條件的直線的斜率之積為．
典例6、答案： （1）；（2）.
解:（1）由，知，，，
故雙曲線C的方程為或.
由點(diǎn)到漸近線的距離為，知雙曲線方程為.
（2）設(shè)l：，，.
由可得；由可得.
由得，∴，.
∴.
由和的高相等，可， 由得，
所以，.
隨堂練習(xí)：答案： （1）；（2）①見詳解；②.
詳解:（1）因?yàn)殡p曲線C的漸近線為y＝±2x， 由雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，則雙曲線，
漸近線的方程為，焦點(diǎn)F（±c，0）， 所以解得a＝1，b＝2，
所以雙曲線的方程為；
（2）①由（1）知雙曲線的方程為， 其漸近線的方程為y＝±2x，設(shè)直線l：y＝kx+2，
因?yàn)橹本€l交C雙曲線的左右兩支分別于A，B，所以﹣2＜k＜2，
聯(lián)立，得（4﹣k2）x2﹣4kx﹣8＝0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以x1+x2＝，x1x2＝，
聯(lián)立，解得x＝，y＝，則M（，），
聯(lián)立，解得x＝，y＝，則N（，），
所以|AM|＝，|BM|＝，
所以|AM|2﹣|BN|2＝（1+k2）[（x1﹣）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（﹣x2﹣）2﹣（x2+）2]＝（1+k2）[（﹣﹣x2）2﹣（x2+）2]
＝（1+k2）[（+x2）2﹣（x2+）2]＝0， 所以|AM|＝|BN|．
②由共線，可得，
由①可得，
解得，所以符合題意， 所以直線的方程為.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題九
知識(shí)點(diǎn)一 根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程,求雙曲線中的弦長(zhǎng),由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù),根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
典例1、已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（1）求雙曲線C的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓上，求實(shí)數(shù)m的值．
隨堂練習(xí)：已知橢圓長(zhǎng)軸的頂點(diǎn)與雙曲線實(shí)軸的頂點(diǎn)相同，且的
右焦點(diǎn)到的漸近線的距離為．
（1）求與的方程；（2）若直線的傾斜角是直線的傾斜角的倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，與交于、兩點(diǎn)，求．
典例2、已知雙曲線的離心率為2，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，M為雙曲線C上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
（1）求雙曲線C的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與雙曲線C相交于點(diǎn)P，Q，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)B，求的值．
隨堂練習(xí)：已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線與雙曲線
C交于M，N兩點(diǎn)，且.
（1）求C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C的左 右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線C的兩條漸近線分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
典例3、已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為上的動(dòng)點(diǎn)，為在動(dòng)直線（）上的投影.當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.
（1）求的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn).試問：是否存在，使得為的中點(diǎn)？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
隨堂練習(xí)：已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙
曲線C上，TP垂直x軸于點(diǎn)P，且點(diǎn)P到雙曲線C的漸近線的距離為2.
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，且
的外接圓圓心Q在y軸上，求滿足條件的所有直線l的方程.
知識(shí)點(diǎn)二 根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)
典例4、已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的右頂點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為4．
（1）求橢圓C和拋物線E的方程；（2）設(shè)與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線l與拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則在x軸上是否存在點(diǎn)H，使得x軸平分？若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
隨堂練習(xí)：已知橢圓的左 右焦點(diǎn)分別為，離心率為，以原點(diǎn)為圓心 橢圓
短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)（直線與軸不重合）.在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為定值？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
典例5、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短半軸長(zhǎng)為，為橢圓上一點(diǎn)，的最小值為．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問：在 軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，滿足？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
隨堂練習(xí)：設(shè)中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為，為的右焦點(diǎn)，為
上一點(diǎn)，軸，的半徑為．
（1）求橢圓和的方程；（2）若直線與交于，兩點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，其中，在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程：若不存在，說(shuō)明理由．
典例6、已知在中，兩直角邊，的長(zhǎng)分別為和，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，以的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，橢圓以，為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程； （2）直線：與相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為等邊三角形，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
隨堂練習(xí)：已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，其左、右焦點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為．點(diǎn)
在橢圓上，且滿足△的周長(zhǎng)為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得 恒為定值？若存在，求出該定值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題九答案
典例1、答案：（1）雙曲線C的方程為，離心率，漸近線方程為 （2）
解：（1）因?yàn)殡p曲線C與有相同的漸近線，
所以可設(shè)雙曲線C的方程為，
代入，得，得，故雙曲線C的方程為，
所以，，，故離心率， 漸近線方程為．
（2）聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程，得，
整理得， ．
設(shè)，，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，
所以AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
又點(diǎn)在圓上，所以， 所以．
隨堂練習(xí)：答案： （1）， （2）
解：（1）由題意可得，則． 因?yàn)榈臐u近線方程為，即，
橢圓的右焦點(diǎn)為，由題意可得，，解得，
故橢圓的方程為，雙曲線的方程為．
（2）設(shè)直線的傾斜角為， 所以，直線的斜率為，
所以直線的方程為， 聯(lián)立得，則，
設(shè)、，則，， 所以,
聯(lián)立可得，，
設(shè)點(diǎn)、，則，，
所以，，故．
典例2、答案： （1） （2）1
解：（1）由題意可得，漸近線的方程為， 設(shè)，則有，即，
因?yàn)辄c(diǎn)M到雙曲線C的兩條漸近線距離的乘積為，
所以，
又離心率，即，所以，所以，，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知，，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，得， 所以，
若，，則，，
所以|， 所以，
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的垂直平分線的方程為，
整理得，所以， 則，所以．
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）
解：（1）由題意得，解得 故C的方程為.
（2）顯然直線率存在，設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立，得，
因?yàn)榕c雙曲線C的左，右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，
故， 解得， 此時(shí)有.
，，
由，解得，同理可得，所以.
因?yàn)椋? 因?yàn)椋剩?br/>故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
典例3、答案： （1）； （2）存在，，理由見解析.
解：（1）設(shè)，， 因?yàn)闉榈冗吶切螘r(shí)，其面積為，
所以，解得，即，
由拋物線定義可知，y=t為拋物線的準(zhǔn)線，
由題意可知，所以， 所以的方程；
（2）設(shè)，則在動(dòng)直線上的投影， 當(dāng)時(shí)，，
由可得，所以切線的斜率為，
設(shè)，，線段的中點(diǎn)，
由，可得， 所以，
整理可得：，即，所以，
可得，又因?yàn)椋?br/>所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)三點(diǎn)共線，滿足為的中點(diǎn)，
綜上，存在，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)恒成立，.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）或
解：（1）由在雙曲線C上，得， 由TP垂直x軸于點(diǎn)P，得，
則由到雙曲線C的漸近線的距離為2， 得，得，
聯(lián)立和， 解得，， 即雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意，， 當(dāng)直線無(wú)斜率時(shí)，直線方程為，則、，
則為等腰三角形，若的外接圓的圓心Q在y軸上，
則，而，，， 不符合題意（舍）；
當(dāng)直線存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，得， 即
設(shè)直線l與雙曲線C的右支相交于、，
則， 解得，即或；
則，， 從而，
則線段AB的中點(diǎn)， 且.
由題意設(shè)， 易知Q在線段AB的垂直平分線上，因此，
得，即， 連接QP，QA，QM，因此.
由勾股定理可得，，
又，則，
化簡(jiǎn)得，得（舍去），
因此直線l的方程為， 即或.
典例4、答案： （1）； （2）存在；
解：（1）由已知得，∴，． ∴橢圓的方程為．
∴橢圓的右頂點(diǎn)為． ∴，解得． ∴拋物線的方程為．
（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0．
設(shè)直線的方程為，，．
由消去y，得．
∴，∴． ∴，．
∴．
∴． ∴，∴．∴，此時(shí)．
∴直線l的方程為． 假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分，
則直線的斜率與直線的斜率之和為，
設(shè)，， 由消去，得．
∴，即恒成立． ∴，．
∵， ∴．
∴． ∴．
∴．解得． ∴在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分．
隨堂練習(xí)：答案： （1）； （2）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為和.
解：（1）由題意知，直線與圓相切，
所以圓心到直線的距離，即.
因?yàn)椋?
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)且與軸不重合，所以可設(shè)直線的方程為.
聯(lián)立方程，得化簡(jiǎn)并整理得
設(shè)，則.
所以
設(shè)存在點(diǎn)，則直線與的斜率分別為，
所以
令，解得或. 當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，. 因此，滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為和.
典例5、答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率；（2）存在點(diǎn)，使得．
解：（1）由題知，， 又，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 橢圓的離心率．
（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè) ，．
聯(lián)立，消去并整理得， 由，得或
則，
若存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得，則的平分線與軸平行，即．
設(shè)， 則
解得，即；
當(dāng)直線斜率的不存在時(shí)，由對(duì)稱性，顯然有．
綜上，存在點(diǎn)，使得．
隨堂練習(xí)：答案： （1），. （2）不存在，理由見解析
解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為， 橢圓的離心率，，
，， 將點(diǎn)代入橢圓的方程得：，
聯(lián)立解得：， 橢圓的方程為：， ，
軸，， 的方程為：；
（2）由、在圓上得，
設(shè)，，， 同理：，
若，則，即， ，
由得，
得，無(wú)解，故不存在．
典例6、答案： （1）；（2）存在，或
解:（1）由題意，根據(jù)橢圓的定義，可得， 所以，又，
又，又焦點(diǎn)在x軸上， 故所求橢圓方程為.
（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得為正三角形.
設(shè)，線段AB的中點(diǎn)為，則.
又，整理得， 則，解得，
又
所以， ，
即，則，
令，則，即，， 所以，
解得，滿足條件 所以在軸上存在點(diǎn)，使得為正三角形.
直線方程為或.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）存在，
解：（1）由題意知：，解得， 橢圓方程為：.
（2）設(shè)，，，，，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立，
得，則，，
又，
而
為定值．
只需，解得：，從而．
當(dāng)不存在時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
綜上所述：存在，使得．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）高考解析幾何復(fù)習(xí)專題十
知識(shí)點(diǎn)一 根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中三角形（四邊形）的面積,求橢圓中的最值問題
典例1、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C上任意一點(diǎn)M到F的距離最大值和最小值之積為3，離心率為.
（1）求C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上，求n的值及面積的最大值.
隨堂練習(xí)：已知橢圓的離心率為，為其左焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）試求面積的最大值以及此時(shí)直線的方程.
典例2、已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，
（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)，使，記四邊形的面積為，求的最大值.
隨堂練習(xí)：已知橢圓：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線：與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，原點(diǎn)到直線的距離為2，求的面積的最大值.
典例3、已知點(diǎn)與，動(dòng)點(diǎn)滿足直線，的斜率之積為，則點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)在直線上，直線，分別與曲線交于點(diǎn)，，求 與面積之比的最大值.
隨堂練習(xí)：已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，鈍角三角形
的面積為，斜率為的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn).當(dāng)直線經(jīng)過(guò)，A兩點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線 的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線的縱截距不為零時(shí)，試問是否存在實(shí)數(shù)k，使得為定值 若存在，求出此時(shí)面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
知識(shí)點(diǎn)二 雙曲線定義的理解,根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,等軸雙曲線,雙曲線中的定值問題
典例4、已知雙曲線的方程為.
（1）直線與雙曲線的一支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍；
（2）過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的直線分別交兩條漸近線于兩點(diǎn)，且是線段的中點(diǎn)，求證：為常數(shù).
隨堂練習(xí)：已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點(diǎn)；且的一條漸近線
與直線平行.
（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），且分別交雙曲線 的兩條漸近線于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷的面積是否為定值，若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
典例5、以雙曲線的右焦點(diǎn)為圓心作圓，與的一條漸近線切于點(diǎn)．
（1）求雙曲線的離心率及方程；（2）點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)作一條斜率為的直線，與雙曲線交于點(diǎn)，記直線的斜率分別為，．求的值．
隨堂練習(xí)：已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)，，三
個(gè)點(diǎn)中有且僅有兩點(diǎn)在雙曲線上．
（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線交雙曲線于軸右側(cè)兩個(gè)不同點(diǎn)的，連接分別交直線于點(diǎn)．若直線 與直線的斜率互為相反數(shù)，證明：為定值．
典例6、在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)M到直線的距離的倍，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；（2）已知直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，曲線C上恰有兩點(diǎn)P，Q滿足，問是否為定值 若為定值，請(qǐng)求出該值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.
隨堂練習(xí)：已知雙曲線的離心率為，左 右頂點(diǎn)分別為M，N，點(diǎn)滿足
（1）求雙曲線C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)P的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，直線OP與直線AN交于點(diǎn)D.設(shè)直線MB，MD的斜率分別為，求證：為定值.
高考解析幾何復(fù)習(xí)專題十答案
典例1、答案：（1）； （2），面積的最大值為.
解：（1）由題意可得，，，.
又因?yàn)椋?由已知可得，即，
又橢圓C的離心率，所以，則，
解得，所以， 所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，，又，
因?yàn)椋裕裕?br/>化簡(jiǎn)整理得①.
設(shè)直線，聯(lián)立直線與橢圓方程
化簡(jiǎn)整理可得，
，可得②，
由韋達(dá)定理，可得，③， 將，代入①，
可得④， 再將③代入④，可得，解得，
所以直線l的方程為， 且由②可得，，即，
由點(diǎn)到直線l的距離，
，
.
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，
所以面積S最大值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1）； （2）最大值為，此時(shí)直線的方程.
解：（1）依題意，橢圓的半焦距，而離心率，則，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）顯然直線不垂直于y軸，設(shè)其方程為：，設(shè)，
由消去x得：，則，
，
因此的面積，
令，有，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因此當(dāng)，即時(shí)，取得最小值4，取得最大值，此時(shí)直線，
所以面積的最大值為，此時(shí)直線的方程.
典例2、答案： （1） （2）
解：（1），∴， ，，又，
解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2），∴，橢圓，
令，直線l的方程為：，
聯(lián)立方程組： ， 消去y得，
由韋達(dá)定理得，， 有 ，
因?yàn)椋海裕?，
將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得： ， 而此時(shí)： .
， 而，
O點(diǎn)到直線l的距離， 所以：，
因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以 ，得， 又，所以
，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
所以的最大值是.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）4
解：（1）由題意可得：，又離心率為，所以，
可得，那么，代入可得：，， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可知，原點(diǎn)到直線的距離為2，那么，即：，
設(shè)，，聯(lián)立可得：
，其判別式
，可知
由韋達(dá)定理可得：，，
那么
，
所以的面積
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以△的面積的最大值.
典例3、答案： （1） （2）
解：（1）， ， 化簡(jiǎn)得，
（2）當(dāng)位于軸上時(shí)，此時(shí)直線，的斜率均不存在，不合題意，舍去
故曲線的方程為；
設(shè)，則直線的方程為，
聯(lián)立得：， ， 直線的方程為，
聯(lián)立，得， .
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 最大值為.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）存在，1
解：（1）設(shè)，，則.
當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，A時(shí)，由的面積為，到的距離為， 得①，
同時(shí)得，即②. 聯(lián)立①②，結(jié)合，
解得，，或，，.
因?yàn)闉殁g角三角形，所以，所以，，.
故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立 消元得.
當(dāng)，即時(shí)滿足題意.
設(shè)，，則，.
，
若為定值，則上式與無(wú)關(guān)，故，得，
此時(shí). 又點(diǎn)到直線的距離，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)成立， 所以面積的最大值為1.
典例4、答案： （1）； （2），證明見解析.
解：（1）直線與雙曲線即
聯(lián)立得即
由題意得有兩個(gè)同號(hào)根，則滿足 即，即
解得：
雙曲線的方程為，所以雙曲線的漸近線為
則，所以的中點(diǎn)
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，即 即，即.
隨堂練習(xí)：答案： （1） （2）是，2
解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則， 則雙曲線的方程為.
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點(diǎn)不為右頂點(diǎn)），則直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，則， 消得：，
則，可得：①
設(shè)與軸交點(diǎn)為， 則，
∵雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯(lián)立，解得，即， 同理可得：，
則（定值）.
典例5答案：（1）離心率為，方程為； （2）．
解：（1）雙曲線的漸近線為，
所以圓與切于點(diǎn)，．①
設(shè)，則，即，② 又，③
由①②③解得，，， 所以雙曲線的離心率為，方程為．
（2）因?yàn)椋?br/>設(shè)的方程為，，，
由，消去整理得，
所以且解得，
所以，， ，，
． 故的值為．
隨堂練習(xí)：答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）由題意知：不可能同時(shí)在雙曲線上；
若在雙曲線上，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，，
解得：，雙曲線方程為；
若在雙曲線上，則雙曲線焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)為，，方程組無(wú)解；
綜上所述：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意知：直線，即直線斜率存在，可設(shè)，，，
由得：，
且，即且；
，，
直線與直線的斜率互為相反數(shù)，，
即，
化簡(jiǎn)得：，
整理可得：，即；
當(dāng)時(shí)，，則，恒過(guò)點(diǎn)，與已知矛盾，舍去；
當(dāng)，即時(shí)，直線直線，即，，
，即； 要證為定值，即證為定值，
即證為定值，
，，即為定值.
典例6、答案：（1） （2）是定值，
解:（1）設(shè)，由題意得，化簡(jiǎn)得
（2）存在. 設(shè)，，
聯(lián)立直線與雙曲線方程，有
由韋達(dá)定理，有 ，
法一：注意到上式當(dāng)時(shí)，上式恒成立，即過(guò)定點(diǎn)和
經(jīng)檢驗(yàn)兩點(diǎn)恰在雙曲線C上，且不與A，B重合，故為定值，該定值為
法二：聯(lián)立直線與雙曲線方程，有……（1）
（1）式兩邊平方，有，即……（2）
注意到，是此方程的兩個(gè)增根，故含有因式，記為代入（2），有 即
即 即
解得，代回（1）有或
經(jīng)檢驗(yàn)直線不過(guò)這兩點(diǎn)，故上述兩點(diǎn)為P，Q，為定值，該定值為
隨堂練習(xí)：答案： （1）； （2）證明見解析.
解：（1）由題意知，又， 所以，
由，可得， 又，所以，故，
所以雙曲線的方程為；
（2）因?yàn)椋?br/>若直線l的斜率不存在，則l與雙曲線C僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 不合題意，故l的斜率存在，
設(shè)l：， 聯(lián)立得：，
設(shè)， 則.
因?yàn)椋剩?br/>又， 所以，②
聯(lián)立①②，解得，
于是
所以為定值.
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