資源簡介

二項式系數的性質
課型 新授課 復習課□ 試卷講評課□ 其它課□
教學內容分析 （1）二項式系數的性質：本節課設置在學生學習完二項式定理之后，課程要求學生對二項式系數的性質進行探索。本節課設置為教師結合數學史的相關內容，引導學生對二項式系數的性質進行由淺及深的探究。結合楊輝三角，教師可以引導學生發現二項式系數最直觀的一個性質——對稱性，要觀察對稱性，我們可以把它看作一個函數，通過提問“對于，比如，它關于誰對稱呢？”幫助學生去發現結論；隨后在函數的基礎上很自然地引出第二個性質——增減性與最大值，學生通過前面函數圖像都對二項式系數的增減性與最大值已經有較清晰的感受，這時教師再從數的角度展示增減性和最大值的證明過程，體現結論的合理性；隨后對于不能直接觀察到的性質——各二項式系數的和，可以結合二項式定理的展開式，通過賦值得到結果。 （2）賦值法：即通過對二項展開式中的字母賦予特定的值，從而求解特定項的值的方法。學生在學習二項式系數的第三條性質——各二項式系數的和時，了解了賦值法，通過例題“證明：在的展示式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和”進一步熟悉賦值法，隨后通過更多的習題和變式初步掌握賦值法的運用。
學情分析 通過前面內容的學習，學生已經掌握了組合與二項式定理的相關知識，并且已經初步了解了二項式系數的簡單性質.對常見的數學思想方法，如數形結合、轉化與化歸、分類討論、函數思想等也有所接觸,這為本節課的學習奠定了基礎.另外，高二的學生已經具備了一定的分析、探究問題的能力，恰當的問題引導能夠幫助學生建立知識間的相互聯系，從而解決問題.
學習目標 （1）通過“觀察、歸納、論證”二項式系數的性質這一過程，掌握二項式系數的基本性質及證明方法; （2）通過學生課前自主探究、課上合作探究、課下延伸探究的學習方式，體會從函數角度研究問題的過程，體會應用數形結合、特殊到一般、賦值法等重要數學思想方法解決問題的“再創造”過程.。培養學生問題意識，培養學生團結協作的精神，提高學生思維能力。 重點：掌握二項式系數的性質、探討二項式系數的規律、了解賦值法的運用。 難點：賦值法的正確運用。
評價任務 （1）學生通過觀察楊輝三角能否二項式系數的性質檢測目標1是否達成； （2）學生能否完成李二檢測目標2是否達成。
教學評活動過程 教師活動學生活動環節一：新知引入教師活動 這節課我們一起來學習二項式系數的性質，首先讓我們回顧一下二項式定理，在二項展開式中，就叫做二項式系數，那么隨著n的改變，二項式系數有什么通用的性質呢？讓我們一起來看看。 令，計算二項式系數的值，并填入表格，如果將這些系數進行特定的排列，形似三角，這個三角在我國被稱為楊輝三角。它是由我國南宋數學家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》中記載著的表。 學生活動 學生自主探究，通過了解我國古代數學的偉大成就，培養學生的愛國情感，增強民族自豪感。 設計意圖：通過了解我國古代數學的偉大成就，培養學生的愛國情感，增強民族自豪感。環節二：觀察歸納，分析性質教師活動 問題1：觀察楊輝三角和二項式系數表的特點，總結歸納二項式系數的性質。 問題2：如何證明二項式系數的性質？學生活動 問題解決： 性質1【對稱性】通過楊輝三角我們可以直觀感受到每一行的二項式系數都具有一個通性，這 個性質就是對稱性。通過函數圖形可以更清晰地感受這一點，設，以為例畫出函數圖形——7個孤立的點，這個圖形的對稱軸是誰呢？沒錯，它的對稱軸是。事實上，函數的圖像總是關于對稱的。 【概括】與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等。 性質2【增減性與最大值】 讓我們繼續觀察的函數圖像，可以直觀感受到函數在對稱軸以左遞增，以右遞減，最大值應該在中間項取到。從數的角度我們可以通過比值比較兩個數的大小，不妨設，那么相對于的大小就由決定，通過令，可得在時遞增，再通過比較相鄰兩項的大小可以得到當n為偶數時，最大，而當n為奇數時，，且同時取得最大值。 【概括】當n為偶數時，最大，而當n為奇數時，，且同時取得最大值。 性質3【各二項式系數的和】 在二項展開式中，令，則可以得到，也就是說各二項式系數的和為，這種方法稱之為賦值法。 【概括】 。 設計意圖： 通過楊輝三角和函數圖像研究二項式系數的第一個性質——對稱性，并為二項式系數的第二個性質——增減性埋下伏筆。分別從形與數的角度發現的增減性與最大值，加深學生印象，理解二項式系數的增減性通過賦值法的巧妙運用證明結論，加深學生對賦值法的理解。 環節三：例題講解教師活動 例1 證明：在的展示式中，奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。 教師展示證明過程。學生活動 學生先獨立思考，再個別提問解答，規范步驟。 例1解決： 【點撥】通過賦 可得 ， 即得證。 【結論】 設計意圖： 通過賦值法的巧妙運用證明結論，加深學生對賦值法的理解，培養學生用聯系、轉化的方法觀察問題、解決問題，提升學生的邏輯推理素養。環節四：運用知識，強化練習教師活動 1. 2. 3..已知 （1）求的值； （2）求的值。 教師展示答案并根據學生作答情況重點講解。 學生活動 學生自行完成后核對。設計意圖：通過以上練習的解答，鞏固所學的二項式系數的性質和賦值法的應用，幫助學生熟悉賦值法在求二項展開式中特定項系數和中的運用。環節五：歸納小結，強化思想教師活動 1.知識清單 2.學生反思 （1）通過這節課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？學生活動 學生自主總結，學生間補充完善。 設計意圖：加強對本節課所學知識的記憶，加深對數學思想方法的理解，養成總結的好習慣。
板書設計 6.3.2 二項式系數的性質 一、楊輝三角（二項式系數表） 二、二項式系數的性質 1.與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等。 2.當n為偶數時，最大，而當n為奇數時，，且同時取得最大值。 3.
作業與拓展學習設計 （1）教材第34頁練習題 （2）查找相關資料，探究楊輝三角的性質與應用 楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在我國南宋數學家楊輝 1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現。在歐洲，帕斯卡在1654年發現這一規律，所以這個排列又叫作帕斯卡三角形。就是這個看上去平平無奇的數字三角形，卻有一些非常奇妙甚至是神秘的特性。
特色學習資源分析、技術手段的應用說明 多媒體課件
教學反思與改進 教學過程中要多關注學生的原有知識水平和個性差異，靈活機動地隨機處理課堂上的問題，把學生出現的錯誤當成是一種珍貴的教學資源，并加以合理利用。同時也要認真觀察學生的微妙變化和反應情況，隨機的調整教課的速度，讓每個學生都能消化吸收。

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