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二項(xiàng)式定理
課型 新授課 復(fù)習(xí)課□ 試卷講評課□ 其它課□
教學(xué)內(nèi)容分析 二項(xiàng)式定理前面內(nèi)容的繼續(xù)，也是后面內(nèi)容的開始。在計數(shù)原理之后學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理，一方面是因?yàn)樗淖C明要用到計數(shù)原理，可以把它看做為計數(shù)原理的一個應(yīng)用。另一方面也是為后面學(xué)習(xí)隨機(jī)變量及分布做準(zhǔn)備。通過二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)應(yīng)該讓學(xué)生掌握有關(guān)知識，同時在求展開式、其通項(xiàng)、特定項(xiàng)等方面形成技能或技巧；進(jìn)一步體會過程分析與特殊化方法等等的運(yùn)用；重視學(xué)生正確情感、態(tài)度和世界觀的培養(yǎng)和形成。 本節(jié)所涉及的核心素養(yǎng)有:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等。
學(xué)情分析 學(xué)生已經(jīng)掌握了多項(xiàng)式乘法，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了二項(xiàng)式定理的平方、立方和數(shù)列的有關(guān)知識，對組合已經(jīng)有了初步的認(rèn)識，學(xué)生能夠運(yùn)用所學(xué)知識解決簡單的計數(shù)問題，對該節(jié)課推導(dǎo)二項(xiàng)式定理奠定了基礎(chǔ)。 在推導(dǎo)二項(xiàng)式定理的過程中，可能會遇到的難點(diǎn)是二項(xiàng)式定理一般展開式中的系數(shù)為組合數(shù)；二項(xiàng)式定理中字母是可變的，結(jié)構(gòu)是不變的,這里教師需要注意學(xué)生的實(shí)際接受程度，做好重點(diǎn)教學(xué)的準(zhǔn)備。
學(xué)習(xí)目標(biāo) （1）通過運(yùn)用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計數(shù)原理對二項(xiàng)展開式的項(xiàng)的研究，能推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng)； （2）通過對二項(xiàng)展開式結(jié)構(gòu)的分析與研究，能求出二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)； （3）能用二項(xiàng)式定理解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)，通過利用二項(xiàng)式定理求具體情境問題，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。 重點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用 難點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的推導(dǎo)。
評價任務(wù) （1）通過例1檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）是否達(dá)成； （2）通過例2檢測學(xué)習(xí)目標(biāo)（2）、（3）是否達(dá)成。
學(xué)習(xí)活動設(shè)計 教師活動學(xué)生活動環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情景，引入新課歷史情境 1664年,偉大的科學(xué)家牛頓,年僅22歲在劍橋大學(xué)就讀的他,在研讀英國數(shù)學(xué)家沃利斯的《無窮算術(shù)》中的, 時，發(fā)現(xiàn)了展開式的規(guī)律(即二項(xiàng)式定理)，又稱牛頓二項(xiàng)式定理。二項(xiàng)式定理的發(fā)現(xiàn)是牛頓發(fā)明微積分的過程中一個關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，甚至可以說，牛頓正是以二項(xiàng)式定理為基石發(fā)明了偉大的微積分。 了解二項(xiàng)式定理的歷史背景，感受數(shù)學(xué)文化的熏陶，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng).。設(shè)計意圖：遵循“歷史發(fā)生原理”,將牛頓發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理的歷史融入教學(xué)，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟迪思維，同時讓學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶,培育數(shù)學(xué)素養(yǎng). 環(huán)節(jié)二：主動思考，探究新知教師活動 問題1 能否運(yùn)用多項(xiàng)式的乘法法則，寫出展開式的推導(dǎo)過程？ 問題2 的展開式，有什么共同的特點(diǎn)？ 問題3 為什么的展開式合并前共4項(xiàng) 合并后的是怎樣得到的，其他項(xiàng)呢？ 問題4 為什么的展開式合并前共8項(xiàng) 合并后的是怎樣得到的，其他項(xiàng)呢？？學(xué)生活動 問題1解決 問題2解決 每一項(xiàng)的次數(shù)都是相同的且都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，字母按的降冪排序，字母按升冪排序，各項(xiàng)系數(shù)與組合數(shù)有關(guān). 問題3解決 用分步乘法計數(shù)原理分析：第一步從第一個括號中選或，有種選法；第二步從第二個括號中選或，有種選法；由分步乘法計數(shù)原理，合并前共有種選法。 第一個括號取，第二個括號取,第二個括號取，第一個括號取，合起來總共2種取法；出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個中取1個的組合數(shù)，即有2個，所以是。同理可得驗(yàn)證其他項(xiàng)。 問題4解決 與問題3的解決方法類同 設(shè)計意圖： 讓學(xué)生經(jīng)歷從“特殊—一般”“歸納—猜想”的過程，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力，同時讓學(xué)生重新研究多項(xiàng)式乘法的原理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，提升學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)。環(huán)節(jié)三： 提出猜想，歸納定理教師活動 問題1 類比以上分析，嘗試寫出的展開式？ 問題2 類比以上分析，請大家猜想的展開式是怎么樣的？ 我們把這個公式叫做二項(xiàng)式定理（binomial theorem），右邊多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開式，其中各項(xiàng)的系數(shù)為 叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)： . 學(xué)生活動 問題1解決 問題2解決 設(shè)計意圖：將多項(xiàng)式乘法法則與計數(shù)原理建立聯(lián)系，進(jìn)而突破難點(diǎn)：用計數(shù)原理推導(dǎo)二項(xiàng)式定理，其中尤為難的是使用組合數(shù)表達(dá)二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù).讓學(xué)生類比抽象概括出二項(xiàng)式定理的表達(dá)式，不僅有利于學(xué)生二項(xiàng)式定理概念的意義建構(gòu)，還能提高學(xué)生從特殊到一般的思維能力。 環(huán)節(jié)四：運(yùn)用知識，強(qiáng)化練習(xí)教師活動 例1 求的展開式. 例2 （1）求的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù). （2）求的展開式中的系數(shù). 學(xué)生活動 例1 分析：二項(xiàng)式定理中的字母是，而現(xiàn)在是單項(xiàng)式和，只要把公式里的換成和，把賦值為6，就可以了. 解： 總結(jié)：其字母ab是一種符號可以把a(bǔ)看作長方形，b看作三角形,它們可以是任意的數(shù)或代數(shù)式.一般地，我們可以把公式里的兩個字母看成兩個框，改變框里的內(nèi)容并不會影響公式的結(jié)構(gòu)，也就是說字母是可變的，但公式結(jié)構(gòu)卻不變. 例2 （1）分析：此時通項(xiàng)公式中的換成了，把賦值為7，把賦值為4，化簡即可. 解：（1） 因此，展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280. 分析：此時把通項(xiàng)公式中的換成了，把賦值為6，化簡后把的指數(shù)賦值為2，化簡求解. 解：（2）的展開式的通項(xiàng)是 根據(jù)題意，得 因此，的系數(shù)是. 設(shè)計意圖：通過例1的解答一是為了讓學(xué)生熟悉二項(xiàng)式展開式，二是培養(yǎng)學(xué)生看待公式的眼光即公式中字母的可變性和結(jié)構(gòu)的不變性。通過例2的解答，一是區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)和系數(shù)是兩個不同的概念，鞏固公式的應(yīng)用，二是強(qiáng)化通項(xiàng)公式的簡潔性. 三是非標(biāo)準(zhǔn)化形式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，減去一個數(shù)也就是相當(dāng)于加上它的相反數(shù)，因此，此題的就是，要學(xué)會運(yùn)用數(shù)的眼光看待式子，提升學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)。環(huán)節(jié)五：回顧總結(jié)，方法提煉教師活動 1.知識小結(jié) 2.數(shù)學(xué)思想與方法 3.感受數(shù)學(xué)美 學(xué)生活動 學(xué)生自主總結(jié)，學(xué)生間補(bǔ)充完善。 設(shè)計意圖：梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)脈絡(luò)，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的能力，提出研究數(shù)學(xué)問題的一般方法即從特殊到一般歸納定理，從一般到特殊解決問題,同時通過二項(xiàng)式定理，指出二項(xiàng)展開式的概括性和對稱性并此為美.更重要的是滲透數(shù)學(xué)史,與創(chuàng)設(shè)情景進(jìn)行了前后呼應(yīng)，強(qiáng)調(diào)了二項(xiàng)式定理數(shù)學(xué)價值，也進(jìn)行了二項(xiàng)式定理到廣義二項(xiàng)式定理的簡單介紹，為有自主學(xué)習(xí)能力的學(xué)生課后繼續(xù)探究埋下伏筆．
板書設(shè)計 6.3.1 二項(xiàng)式定理 一、二項(xiàng)式定理 二、典例分析 通項(xiàng) 例1 二項(xiàng)式系數(shù) 例2 作業(yè)與拓展學(xué)習(xí)設(shè)計 課本31頁練習(xí)

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