資源簡介

第三章 圓錐曲線的方程
3.2.1雙曲線及其標準方程
通過雙曲線畫法的分析，掌握雙曲線的定義；
理解雙曲線標準方程的推導過程，進一步掌握利用坐標法求曲線方程，并滲透數形結合、等價轉化的數學思想方法；
掌握雙曲線標準方程的兩種形式，會運用待定系數法求雙曲線的標準方程；
通過參與課堂活動，激發學生學習數學的興趣，提高審美能力，培養勇于探索的精神.
重點：雙曲線的定義和標準方程.
難點：雙曲線標準方程的推導過程.
(一)創設情境
雙曲線也是具有廣泛應用的一種圓錐曲線,如發電廠冷卻塔的外形 美麗的花瓶、臺燈的光束等.本節我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關問題.
師生活動：教師展示有關雙曲線的實物圖,引導學生發揮想象力，找到更多優美的雙曲線.
設計意圖：通過直觀感知，引導學生了解生活中的雙曲線，激發學生探究雙曲線的興趣，使學生主動、積極地參與到教學中來，為后續的學習做好準備.
(二)探究新知
任務1：雙曲線的定義
探究：如圖，在直線上取兩個定點是直線上的動點,在平面內,取定點,,以點為圓心 線段為半徑作圓,再以為圓心、線段為半徑作圓.
思考1：隨著點的運動，兩圓交點滿足什么條件？其軌跡是什么形狀？
答：，軌跡是橢圓.
思考2：兩圓一定相交嗎？當滿足什么條件時，兩圓相交？
答：如果，那么兩圓相交，其交點的軌跡是橢圓；如果，兩圓不相交，不存在交點軌跡.
探究：改變條件：在的條件下，讓在線段外運動，如圖：
思考1：隨著點的運動，兩圓交點滿足什么條件？其軌跡是什么形狀？
答：，軌跡是左右兩支曲線.
思考2：同樣地，兩圓一定相交嗎？什么條件下才能相交？
答：如果，那么兩圓相交，其交點的軌跡是不同于橢圓的曲線（即雙曲線）；如果，兩圓不相交，不存在交點軌跡.
探究2：你能利用拉鏈等日常生活中的物品作出雙曲線嗎？
答：如圖1所示，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點，上，把筆尖放在點處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經過的點就形成一條曲線，這就是雙曲線的一支.把拉鏈上兩個固定點的位置交換，如圖2所示，類似可以畫出雙曲線的另一支.這兩條曲線合起來就是雙曲線.
師生活動：實驗過程可讓學生參與，教師引導學生找出雙曲線定義的關鍵.
【概念的形成】
雙曲線的定義：一般地，我們把平面內與兩個定點，的距離的差的絕對值等于非零常數（小于）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.
思考1：在雙曲線的定義中，去掉“絕對值”可以嗎？
答：不可以.因為雙曲線有兩支，當，是右支；當，是左支.
思考2：在雙曲線的定義中，去掉“小于”，則點的軌跡是怎樣的？
答：若，則的軌跡是雙曲線；
若，則的軌跡是兩條射線；
若，則的軌跡不存在；
若，則的軌跡是線段的中垂線.
設計意圖：通過探究，引導學生類比思考，抽象得出雙曲線的定義，培養學生的動手能力，發展學生的數學抽象、直觀想象等核心素養.
任務2：雙曲線的標準方程
師生活動：教師提出思考問題，學生思考并討論，教師講授.
思考：類比橢圓，你認為怎樣建立坐標系可以使所得的雙曲線方程形式簡單？
答：雙曲線也具有對稱性，直線是它的一條對稱軸，取經過兩焦點和的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系.
思考：雙曲線上動點滿足什么條件 如何得出雙曲線的標準方程？
答：設是雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距為，則雙曲線的焦點分別為 ，，又設2a（為大于的常數，）.
由雙曲線的定義，雙曲線就是下列點的集合：
因為
所以 ------------①
類比橢圓的標準方程的化簡過程，化簡①，得
兩邊同除以，得 .
由雙曲線的定義可知，，即，所以.
類比橢圓標準方程的建立過程，令，其中,代入上式，得
------------②
總結：從上述過程可以看到，雙曲線上任意一點的坐標都是方程②的解；以方程②的解為坐標的點與雙曲線的兩個焦點 , 的距離之差的絕對值都為，即以方程②的解為坐標的點都在雙曲線上.我們稱方程②是雙曲線的方程，這個方程叫做雙曲線的標準方程.它表示焦點在軸上，焦點分別是 , 的雙曲線，這里.
思考：類比焦點在軸上的橢圓標準方程，焦點在軸上的雙曲線的標準方程是什么？
答：設雙曲線的焦點為，焦距為,且雙曲線上的動點滿足2a，其中 ，以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系如圖所示，此時，雙曲線的方程是
總結：
焦點位置 焦點在x軸上 焦點在y軸上
圖形
標準方程
焦點
a,b,c的關系
思考：如何根據雙曲線的標準方程判斷雙曲線焦點的位置？
答：在雙曲線的標準方程中，如果項的系數是正的，那么焦點在軸上；如果項的系數是正的，那么焦點在軸上.
總結：對雙曲線標準方程的認識：
(1)只有當雙曲線的兩焦點在坐標軸上，并且線段的垂直平分線也是坐標軸時，得到的方程才是雙曲線的標準方程.
(2)標準方程中的兩個參數和，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件.這里，與橢圓中不同，且橢圓中，雙曲線中，大小關系不確定.
(3)焦點的位置是雙曲線的定位條件，它決定了雙曲線標準方程的類型.“焦點跟著正項走”，若項的系數是正的，則焦點在軸上；若項的系數是正的，則焦點在軸上.
(4)雙曲線的標準方程都可化為一個統一的形式，即.
思考：你能結合橢圓與雙曲線的定義和標準方程，找出它們有哪些相同和不同之處嗎
橢圓 雙曲線
定義
焦點在x軸上
焦點在y軸上
a,b,c的關系
一般方程
設計意圖：類比橢圓標準方程的推導過程，推導得出雙曲線的標準方程，培養學生的類比思維，發展學生的邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養.與橢圓的定義和標準方程進行對比分析，使學生進一步理解區分橢圓和雙曲線.
(三)應用舉例
例1：已知雙曲線的兩個焦點分別為，，雙曲線上一點與，的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程．
師生活動：教師出示例1，學生獨立完成，教師點評.
分析：與求橢圓標準方程類似，可用定義法或待定系數法求雙曲線的標準方程．解題的關鍵是掌握雙曲線的定義及標準方程中，和的關系．先根據焦點坐標求得，進而根據求得，最后根據和求得，則雙曲線的方程可得．
解：方法一：（定義法）依題意可知雙曲線的，
根據雙曲線定義及可知，，
所以，又因為雙曲線的焦點在軸上，
所以雙曲線的標準方程為.
方法二：（待定系數法）
因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為.
由，，得，又，因此.
所以，雙曲線的標準方程為.
總結：求雙曲線標準方程的方法：
(1)定義法：如果已知雙曲線上一點到兩焦點距離的差(或其絕對值)，可確定的值，再根據焦點坐標或焦距得到的值，利用 求出(或)的值，就可得到雙曲線的標準方程.
(2)待定系數法：求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法類似，可以先根據其焦點位置設出標準方程的形式，然后用待定系數法求出的值，若焦點位置不確定，可分焦點在軸和軸上兩種情況討論求解，或者將雙曲線方程設為.
設計意圖：通過例1的學習，幫助學生形成求解雙曲線標準方程的基本解題思路，進一步理解雙曲線的定義和標準方程.
例2：已知，兩地相距，在地聽到炮彈爆炸聲比在地晚，且聲速為，求炮彈爆炸點的軌跡方程．
師生活動：教師出示例2，并引導學生畫圖分析.學生作答，教師點評.并強調炮彈爆炸點的軌跡是雙曲線的一支，方程后面必須加上的范圍.
分析：先根據題意判斷軌跡的形狀.由聲速及、兩處聽到炮彈爆炸聲的時間差，可知、兩處與爆炸點的距離的差為定值，所以爆炸點在以、為焦點的雙曲線上.因為爆炸點離處比離遠，所以爆炸點應在靠近處的雙曲線的一支上.
解：如圖所示，建立平面直角坐標系，使、兩點在軸上，并且原點與線段的中點重合.
設炮彈爆炸點的坐標為，則
，即.
又，所以，
因為，所以點的軌跡是雙曲線的右支，因此.
所以，炮彈爆炸點的軌跡方程為
設計意圖：通過例2的學習，實現用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題的教學目標.提升學生的數學建模能力，發展學生的數學建模、直觀想象和數學運算能力等核心素養.
(四)課堂練習
1.已知方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解：由，得，
因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，
所以，解得．
故選：．
2.已知雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，，則( )
A. B. C. D. 或
解：由題意得焦距為，由雙曲線定義可得，
所以或，又因為在雙曲線中，所以，故 A正確．
故選A．
3.如圖，橢圓和雙曲線的公共焦點分別為，，是橢圓與雙曲線的一個交點，則
解：因為是橢圓 和雙曲線 的一個公共點，
所以由橢圓的定義可得 ，
由雙曲線的定義可得 ，
解得 ， ，
所以 ，
答案為．
4.在下列條件下求雙曲線標準方程．
經過兩點，；
焦點在軸上，雙曲線上的點到兩焦點距離之差的絕對值為，且經過點．
解：由于雙曲線過點，則該雙曲線的焦點在軸上，
設雙曲線標準方程為，
由題意可得，解得
因此，所求雙曲線的標準方程為；
由雙曲線的焦點在軸上，可設雙曲線的標準方程為，
由雙曲線的定義可得，則，所以，雙曲線的標準方程為，
將點的坐標代入雙曲線的標準方程得，解得，
因此，所求雙曲線的標準方程為．
設計意圖：通過課堂練習,進一步鞏固本節課的內容，提高學生解決問題的能力.
(五)歸納總結
回顧本節課的內容,你都學到了什么
設計意圖：通過對本節內容進行反思、歸納、總結，達到深化知識理解、構建知識網絡、領悟思想方法的目的.

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