資源簡介

第二章 直線和圓的方程
2.5.2圓與圓的位置關系
1.理解圓與圓的位置關系，掌握對圓與圓的位置關系進行判斷的兩種方法培養學生應用數形結合思想解決問題的意識，提升數學素養.
2.類比直線與圓研究位置關系的方法，探究用方程判斷兩圓位置關系的方法.讓學生經歷類比探究的過程，提升學生知識遷移能力.
3.掌握用坐標法求動點的軌跡的基本方法,并應用軌跡思想解決綜合問題提升學生解決較復雜問題的能力.
重點：圓與圓的位置關系及判定方法.
難點：掌握圓與圓的位置關系的代數判斷方法與幾何判斷方法，能夠利用上述方法判斷兩圓的位置關系．
（一）創設情境
回顧：直線和圓的位置關系有哪些？如何判斷直線與圓的位置關系？
直線與圓的位置關系有相離、相切、相交三種；可以利用幾何法、代數法兩種方法來進行判斷.
設計意圖：通過復習回顧，不僅喚醒學生對直線與圓的位置關系的記憶，能夠快速進入狀態，同時檢測學生對前面知識的掌握情況，而且為后面圓與圓位置關系的探究做好鋪墊。
情境：日食分為日偏食、日全食、日環食、全環食。我們將月亮與太陽抽象為圓，觀察到的這些圓在變化的過程中位置關系是怎樣的
師生活動：教師課件展示日食圖片，引導學生思考圓與圓的位置關系到底是怎樣的？
設計意圖：通過生活中的例子，體會圓與圓的位置關系其實就在身邊，需要留心觀察就可以發現。同時，激發學生的學習興趣，為引出本節課的教學作出鋪墊。
（二）探究新知
任務1：探究圓與圓的位置關系
探究：在平面中，圓與圓的位置關系有哪些？
要求：
1.先獨立思考2分鐘；
2.小組內交流討論；
3.以小組為單位進行展示匯報.
師生活動：學生思考并討論，小組代表發言；教師動畫演示，總結圓與圓的位置關系.
總結：
設計意圖：通過圖形直觀判斷兩圓之間存在的位置關系，并思考求解位置關系的方法。
任務2：判斷圓與圓的位置關系的方法
探究：類比直線與圓位置關系的判定方法，如何判斷圓與圓的位置關系？
要求：
1.小組內交流討論；
2.以小組為單位進行展示匯報；
3.師生共同歸納.
師生活動：小組交流討論，合作學習，歸納判斷圓與圓的位置關系的方法。
總結：判斷圓與圓的位置關系的方法
(1)幾何法：
圓O1：，圓O2：，
兩圓的圓心距，則有
位置關系 外離 外切 相交 內切 內含
圖示
d與r1，r2 的關系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代數法：圓O1：，圓O2：，兩圓的方程聯立得方程組，則有
方程組解的情況 2組 1組 0組
兩圓的公共點 2個 1個 0個
兩圓的位置關系 相交 外切或內切 外離或內含
設計意圖：教師引導學生回顧學過的知識、舉例,概括，通過觀察圖形、觀察公共點個數或利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關系判斷.
思考：
1.當兩圓外離、外切、相交、內切、內含時,公切線的條數分別是多少
答： 公切線的條數分別是4,3,2,1,0.
2.當兩圓相交、外切、內切時,連心線有什么性質
答： 當兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦;當兩圓外切時,連心線垂直于過兩圓公共點的公切線;當兩圓內切時,連心線垂直于兩圓的公切線.
（三）應用舉例
例1 設圓：,圓:,使判斷圓與圓之間的關系.
分析：
思路1：圓與圓的位置關系由它們有幾個公共點確定，而它們有幾個公共點又由它們的方程所組成的方程組有幾組實數解確定；
思路2：借助圖形，可以依據圓心距與兩半徑的和或兩半徑的差的絕對值的大小關系，判斷兩圓的位置關系.
解法1:將圓與圓的方程聯立，得到方程組
①—②得 ③
∴,
把上式代入①，整理后得
∵根據根的判別式
Δ=
∴方程有兩個不相等的實數根，分別代入方程，可得。
∴圓與圓相交，有兩個不相同的公共點A,B。
解法2：把兩圓的方程化為標準方程，
圓:=25，
圓:=10，
∴圓的圓心是，半徑長=5
圓的圓心是，半徑長=，
兩圓心之間的距離
=5，=5，
∵5
即
∴圓與圓相交。
【總結】判斷圓與圓的位置關系的兩種方法：
1.幾何法：利用兩圓半徑的和或差與圓心距作比較,得到兩圓的位置關系；
2.代數法：把兩圓位置關系的判定完全轉化為代數問題,轉化為方程組的解的組數問題.
設計意圖：通過例題將知識點融入題目，鞏固知識。用例題更直觀地比較兩種求解方法，訓練學生數形結合的思想。
思考：畫出本例中兩圓及解法1中的③的圖象，你會發現什么？
【總結】當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得二元一次方程是兩圓公共弦所在直線的方程。
設計意圖：引導學生對于中間過程中產生的代數結論，進行進一步思考，發掘其幾何含義.看似代數運算的中間表達，但其仍具有幾何意義，提醒學生在得到代數結論時，向它所表達的幾何元素這個方向上進行思考.那么結合圖像，可知，求得的直線方程表示的直線，就是兩圓公共弦所在直線.
例2 已知圓和圓C2：.求兩圓公共弦所在直線的方程及公共弦長.
分析: 兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程,再根據半徑、弦心距、半弦長的關系求出弦長.
解：設兩圓交點為，
則兩點坐標是方程組 的解．
①－②，得0.
兩點坐標都滿足此方程，
即為兩圓公共弦所在直線的方程．
又圓的圓心，
到直線的距離為，
，
即兩圓的公共弦長為.
求公共弦長的另一種解法：
解方程組得或,
即,
.
即兩圓的公共弦長為.
【總結】公共弦問題的解決方法：
(1)求兩圓的公共弦所在直線的方程的方法:將兩圓方程相減即得兩圓公共弦所在直線方程,但必須注意只有當兩圓方程中二次項系數相同時,才能如此求解,否則應先調整系數.
(2)求兩圓公共弦長的方法:一是聯立兩圓方程求出交點坐標,再用距離公式求解;二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程,再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構成的直角三角形求解.
例3 圓：,圓:恰有三條公切線，求實數a的值.
解： 圓的標準方程為,
∵兩圓有三條公切線，
∴=,
解得.
∴實數a的值是16.
【總結】
(1)與兩個圓都相切的直線叫作兩圓的公切線，兩圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種.
①兩圓外離時，有2條外公切線和2條內公切線，共4條;
②兩圓外切時，有2條外公切線和1條內公切線，共3條;
③兩圓相交時，只有2條外公切線;
④兩圓內切時，只有1條外公切線;
⑤兩圓內含時，無公切線.
(2)確定公切線的條數，應首先判斷兩圓的位置關系，從而防止漏解.
例4 已知圓O的直徑AB=4,動點M與動點A的距離是它與點B的距離的倍，試探究點M的軌跡，并判斷該軌跡與圓O的位置關系.
追問：什么是軌跡？
舉例：平面內動點M到點C的距離等于，點M的軌跡是什么圖形？
以點C為圓心,為半徑的圓.
軌跡就是一個幾何圖形，是滿足一定條件的點，常常把圖形看成點的集合或點運動形成的軌跡. 所以求軌跡，就是求一個幾何圖形.求軌跡的方程就是求幾何圖形的方程。
分析：我們可以通過建立適當的平面直角坐標系，求得滿足條件的動點M的軌跡方程，從而得到點M的軌跡;通過研究它的軌跡方程與圓O方程的關系，判斷這個軌跡與圓O的位置關系。
解：以線段AB的中點O為原點，AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系.由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).設點M的坐標為(x,y)
,
化簡，得，即
點M的軌跡是以P(6,0)為圓心，半徑為的圓.
兩圓圓心距,圓與圓半徑和 ，
圓與圓半徑差，
,
點M的軌跡與圓O相交.
【總結】
把幾何問題求軌跡轉化成代數問題求軌跡方程，再通過軌跡方程的代數特征回歸到它是什么軌跡這個問題的結論中，這就是利用坐標法解決軌跡問題的基本步驟.
坐標法求軌跡方程的步驟：建、設、限、代、化、檢。
設計意圖：通過例題，熟悉圓與圓的位置關系及其判定方法，并強化數學運算的核心素養．
（四）課堂練習
1.已知圓的方程為，圓的圓心的坐標為，若兩圓相交于，兩點，且，則圓的方程為( )
A.
B.
C. 或
D. 或
解：由題意可設圓的方程為，
因為圓的方程為，所以圓的圓心為，半徑為，
兩式相減得直線的方程為，則圓心到直線的距離，
所以，即，
解得或，
故圓的方程為或．
故選：．
2.已知圓和圓相交于兩點，點是圓上任意一點，則的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
解：圓，即，其圓心，半徑，
圓，即，其圓心，半徑，
取線段的中點，連接，
則，
將圓與圓的方程作差可得公共弦的方程為，
則，
則，
所以．
故選：．
3.已知圓與圓，則下列說法正確的有( )
A. 若，則兩圓外切
B. 若，直線為兩圓的公切線
C. 若，則兩圓的公共弦所在直線方程為
D. 若，則兩圓外離
解：圓的圓心半徑為，
圓的圓心，半徑為，
選項，當時，，
所以兩圓外切，故A正確；
選項，當時，直線與圓和圓均相切，
所以直線為兩圓的公切線，故B正確；
選項，當時，圓的方程為，
圓的一般方程為：，
兩圓方程相減，得，故C錯誤；
選項，當時，則，
此時，
所以兩圓外離，故D正確．
故選：．
4.在平面直角坐標系中，為坐標原點，點，動點滿足，若動點在圓：，則的取值范圍為 ．
解：設 ，因為動點 滿足 ，
所以 ，
化簡得 ，即
若動點 在圓 上，
就是圓 與圓 有公共點，
所以 ，解得 ，
故答案為： ．
5.古希臘著名數學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發現：“平面內到兩個定點，的距離之比為定值且的點的軌跡是圓”后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標系中，，，動點滿足設點的軌跡為．
求曲線的方程；
若曲線和：無公共點，求的取值范圍．
解：根據題意，設點，則由，
得，
化簡可得，；
若曲線和沒有公共點，兩圓位置關系可以是外離或內含，
又：，圓心為，半徑為，
當兩圓外離時，兩圓圓心距，
此時，且，
，解得，故，
當兩圓內含時，兩圓圓心距，
此時，，
綜上所述，．
6.已知線段的端點的坐標是，端點在圓：上運動．
求線段的中點的軌跡的方程；
設圓與曲線交于，兩點，求線段的長；
若點在曲線上運動，點在軸上運動，求的最小值．
解：設點的坐標為，點的坐標為，由于點的坐標為，且點是線段的中點，
所以，．
于是有，
因為點在圓：上運動，
所以點的坐標滿足方程，
即
把代入，得，
整理，得，
所以點的軌跡的方程為．
圓：與圓：的方程相減，得．
由圓：的圓心為，半徑，且到直線的距離，
則公共弦長．
圓的圓心為，半徑，
圓的圓心為，半徑，
所以
當且僅當在線段上且在線段上時，取等號．
取關于軸的對稱點，
當點為直線與軸的交點時，取得最小值，且，
所以的最小值為．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固圓與圓的位置關系，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
1.研究兩圓的位置關系的方法有哪些呢
2.兩圓相交時，如何求公共弦所在的直線的方程和公共弦長呢
兩個圓的方程相減就得到公共弦所在的直線方程；
通過聯立弦所在直線的方程與圓的方程，求出交點坐標就可以求得公共弦長.

展開更多......

收起↑