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第二章 直線和圓的方程
2.5.1直線與圓的位置關系
1.理解直線和圓的三種位置關系，能準確描述每種關系的特征.
2.掌握判定直線與圓的位置關系的方法.
3.計算直線與圓相交的弦長、直線與圓相切的切線方程等.
重點: 掌握判定直線與圓的位置關系的方法.
難點：計算直線與圓相交的弦長、直線與圓相切的切線方程等.
（一）創設情境
王維的詩句“大漠孤煙直，長河落日圓”描述了沙漠中太陽下山的景象，現把太陽抽象為一個圓，沙漠地平線抽象為一條直線，以下三幅圖是太陽下山過程中捕捉到的三個場景，體現了直線與圓的三種位置關系.
師生活動：教師給出日落圖，并引導學生從圖像中獲取有用信息，為了突出直線與圓的位置關系主題，教師強調三幅圖中太陽與地平線逐漸靠近的過程中，兩者的位置關系.
設計意圖：使學生體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中. 能促進學生會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：直線與圓的三種位置關系.
回顧：我們在初中學習過，直線與圓有三種位置關系，分別是相交、相切、相離.
相交：直線與圓有兩個公共點
相切：直線與圓與一個公共點
相離：直線與圓沒有公共點
師生活動：教師引導學生回顧初中內容.
設計意圖：通過引導回顧初中內容，引出直線與圓的位置關系的判斷.
任務2：判斷直線與圓的位置關系
思考：如何判斷直線與圓的位置關系？
先獨立思考，再小組合作探究.
答：通過圓心到直線的距離與半徑的大小比較.
直線，圓，圓心，半徑. 直線到圓心的距離. 與比較，若，直線與圓相交；若，直線與圓相切；若，直線與圓相離.
注意：幾何法一般把圓化為標準方程，獲得圓心和半徑.
思考：類比用方程研究兩直線的位置關系，如何用直線與圓的方程研究它們的位置關系呢？
答：代數法. 聯立直線與圓的方程，把直線方程代入圓的方程，得到一個一元二次方程，通過判定一元二次方程解的個數，得到直線與圓有幾個交點. 若有兩個交點，則直線與圓相交；若只有一個交點，則直線與圓相切；若沒有交點，則直線與圓相離.
以下為兩個方程聯立：
注意：在實際操作中，我們一般不需要解出二次方程的解，關注判別式即可.
總結：
幾何法判斷直線與圓的位置關系：計算圓心與直線之間的距離，判斷該距離與半徑的關系，得出結論.
代數法判斷直線與圓的位置關系：聯立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，計算判別式，判斷判別式的符號，得出結論.
師生活動：教師帶領學生思考如何判斷直線與圓的位置關系，并給出例題，在學生思考作答后講解.
設計意圖：讓學生思考，歸納總結判斷直線與圓的位置關系的兩種方法，后做題鞏固.
任務3：直線與圓相交弦長.
探究：如圖所示，圓與直線相交于兩點，求.
幾何法：根據垂徑定理與勾股定理，有，則.
圓心到直線的距離通過點到直線的距離公式獲得.
代數法：聯立直線與圓的方程，獲得兩組解，即點的坐標，再通過兩點間距離公式求得.
任務4：直線與圓相切.
思考：過平面內一點，作已知圓的切線，有幾條？
合作探究：先獨立思考，再交流思路.
答：點在圓上，一條；點在圓外，兩條；點在圓內，0條.
探究：過圓上一點，作已知圓的切線，求切線方程.
先求出切點與圓心連線的斜率，再求出切線的斜率，根據點斜式寫出切線方程.
若切點與圓心連線的斜率為0或者不存在，作相應處理即可.
探究：過圓外一點，作已知圓的切線，求切線方程.
下面討論兩條切線斜率都有存在的情況：
設切線斜率為，點則切線方程為.
通過圓心到直線的距離等于半徑或者與圓的方程聯立后得到的二次方程判別式為，求出，進而求出切線方程.
思考：若有一條切線斜率不存在，該怎么處理？
答：設切線為一條垂直于軸的直線，很容易求出切線方程. 這里的解答過程需要注意分類討論.
總結：求解過圓外一點的切線方程的一般步驟.
分類討論：當切線斜率不存在時，求出一條切線或不存在這樣的切線；當切線斜率存在時，求出一條切線或兩條切線.
應用舉例
例1：判斷下列各組直線與圓的位置關系：
：， 圓：；
：， 圓：；
：， 圓：．
解：圓：的圓心坐標為，半徑，
圓心到直線的距離，直線與圓相交；
圓：即，圓心，半徑，
圓心到直線的距離，直線與圓相切；
：即，圓心，半徑，
圓心到直線的距離，直線與圓相離．
總結：幾何法判斷直線與圓的位置關系，先把圓化為標準方程，獲得圓的圓心和半徑，再通過點到直線距離公式計算圓心到直線的距離，比較圓心到直線的距離與半徑的大小.
通常選用幾何法判斷直線與圓的位置關系.
例2：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關系.如果相交，求直線被圓所截得的弦長.
解：幾何法：圓的方程化為標準方程. 圓心，半徑. 圓心到直線的距離為 所以直線與圓相交.于是
代數法：聯立直線與圓的方程：，消去得，解得. 所以直線與圓相交.
進而求得. 從而 于是
例3：過點作圓的切線，求切線的方程.
解：法一：設切線的斜率為，則切線即.
圓心到切線的距離等于圓的半徑.
，解得或.
所以切線的方程是或
法二：設切線的斜率為，則切線而后通過聯立方程求解即可.
例4：圓的方程為，求過點且與圓相切的直線方程．
解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，
由到直線的距離，直線與圓相切，符合題意；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，
若直線與圓相切，則有，解得，
此時直線的方程為，即；
故切線的方程為或．
例5：如圖是某圓拱形橋一孔圓拱示意圖，圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支柱，求支柱A2P2的高度(精確到0.01m)
解：建系如圖，點P,B的坐標分別為(0,4),(10,0)
設圓心坐標(0,b)，半徑為r，圓的方程為x2+(y b)2=r2
代入P,B兩點的坐標，解得b= 10.5,r2=14.52
圓的方程為x2+(y+10.5)2=14.52
把P2點的橫坐標x= 2代入圓的方程，得到y≈3.86
所以支柱A2P2的高度為3.86m.
例6：一個小島周圍有環島暗礁，暗礁分布在以小島中心為圓心，半徑為20km的圓形區域內. 已知小島中心位于輪船正西40km處，港口位于小島中心正北30km處. 如果輪船沿直線返港，那么它是否會有觸礁危險？
解：建系如圖，取10km為單位長度，港口坐標(0,3)，輪船坐標(4,0)
受暗礁影響的圓形區域的邊緣對應的圓的方程為x2+y2=4
輪船航線所在直線l的方程為3x+4y 12=0
聯立直線l與圓O的方程，消去y，得25x2 72x+80=0
判別式 <0，可知方程組無解，直線l與圓O相離，因此沒有觸礁風險.
設計意圖：鞏固知識，強化理解.
課堂練習
1.由點向圓引的切線長是( )
A. B. C. D.
解：圓 ，即圓，
則該圓的圓心為，半徑，
點到圓心的距離為，
所以點向圓引的切線長是．
故選：．
2.設直線與圓：相交于，兩點，若，則圓的面積為 ．
解：圓：的圓心坐標為，半徑為，
直線與圓：相交于，兩點，且，
而圓心到直線的距離，
，
解得：，
故圓的半徑，
所以圓的面積，
故答案為：．
3.在同一坐標系中，直線與圓的圖形情況可能是( )
A. B.
C. D.
解：聯立，可得，解得，當，則方程組無解，即直線與圓無交點，故BC錯誤
又化為標準方程為，其圓心為，半徑為由選項可得，將化為斜截式可得對于，圓心在第一象限，
則，解得，由原點在圓外，可得，故
由直線方程可得，矛盾，故A錯誤
對于，圓心在第二象限，則，解得，，
由原點在圓外，可得，故，由直線方程可得，故D正確．
故選：．
4.是圓上的動點，則點到直線的距離最大值為( )
A. B. C. D.
解：由題可知圓心的坐標為，半徑為，直線恒過定點．
故圓心到直線的最大距離為，
圓上的動點到直線的最大距離為．
故選D．
5.當直線：被圓：截得的弦長最短時，實數 ．
解：
將直線：，化為，
令，解得，所以直線過定點，
又圓的標準方程為，則圓心為，
由，則點在圓內，
故當時，圓心到直線的距離取得最大值，此時直線被圓截得的弦長最短，
則，解得．
故答案為：．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固所學知識，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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