資源簡介

第二章 直線和圓的方程
2.4.2圓的一般方程
1.理解圓的一般方程及其特點，發展數學抽象和數學建模的核心素養；
2.掌握圓的一般方程和標準方程的互化。發展邏輯推理，直觀想象、數學運算的核心素養；
3.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程問題．提升數形結合及方程思想，發展邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養；
重點：掌握圓的一般方程及其特點并會求圓的一般方程．
難點：與圓有關的簡單的軌跡方程問題．
（一）創設情境
我們已經學習了曲線與方程的關系,也已經認識了直線方程的多種形式,剛剛學習了圓的標準方程,現給出一個一般的二元二次方程:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F為常數)
提問：你能說出一個它分別表示：①直線;②圓;③y關于x的二次函數的必要條件嗎
師生活動：教師展示本節課要學習的知識點讓學生有第一印象，從而與之前所學知識產生一定的聯系，之后提出問題，引導學生思考如何將其轉化.
設計意圖：通過復習引導，結合前面所學知識引出本節數學知識，學生會感到熟悉而又易于接受. 同時，能使他們體會數學的整體性和關聯性，有效的促進知識的遷移,為接下來的學習打下鋪墊.
（二）探究新知
任務1：圓的一般方程
思考1：類比直線方程的研究過程，說說該如何研究圓的方程？
猜想：圓的方程是否也有一般式？
說一說：說出圓 (x－1)2 + (y+2)2 = 4的圓心坐標、半徑并展開該方程
答：圓心坐標為(1,-2)；半徑為2；
圓的標準方程展開式為：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
設計意圖：明確研究內容和研究思路，將圓的標準方程進行拓展，引導學生研究其中最基本的關系，明晰聯系，探究圓的標準方程到一般方程的轉變.
思考2：.若展開圓的標準方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 展開得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0，
由于 a，b，r 均為常數，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F
總結：任何一個圓的方程都可以寫成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的形式.
設計意圖：引導學生認識圓的一般方程與一般形式的二元二次方程之間的關系.
思考3：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程一定能通過恒等變形為圓的標準方程嗎？
反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 變形為： (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1；
因為任意一個點的坐標 (x，y) 都不滿足上述方程，即這個方程不表示任何圖形；所以形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定通過恒等變形變為圓的標準方程.
總結：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 方程不一定是圓的方程.
設計意圖：通過思考探究，讓學生深刻、形象地掌握向量表示兩條直線的垂直關系，同時也潛意識地培養學生數學抽象、直觀想象的核心素養.
思考4：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D、 E、 F 滿足什么條件時，這個方程表示圓？
將方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得：
（1）當D2 + E2 – 4F > 0時，表示以 (，) 為圓心，為半徑的圓；
（2）當D2 + E2 – 4F = 0時，只有實數解 x = ，y = ，它表示一個點 (，)；
（3）當D2 + E2 – 4F < 0時，沒有實數解，它不表示任何圖形.
設計意圖：由特殊到一般，引導學生思考，總結，從而自然引出方法，得到結論，培養學生的邏輯思維能力，類比遷移能力；再由一般到特殊，檢驗學生的掌握情況和應用水平.
總結：當 D2 + E2 – 4F > 0 時，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示一個圓.
概念：圓的一般方程為x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
（1） x2 與 y2 系數相同并且不等于 0；
（2）圓心：(，)，半徑：.
各抒己見：圓的標準方程與一般方程各有什么特點？
回答：圓的標準方程與圓的一般方程的特點
設計意圖：通過對圓的一般方程的討論，幫助學生總結圓的一般方程的特點。發展學生數學運算，數學抽象和數學建模的核心素養。
設計意圖：培養學生的獨立思考能力，總結歸納的能力.通過歸納總結使學生明白兩個方程的區別并促進學生思考在不同的情境下使用不同的方程.
任務2：圓的一般方程的簡單應用
例1：判斷方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圓. 若能表示圓，求
出圓心和半徑.
分析：判斷方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圓. 若能表示圓，求出圓心和半徑.
解：方法一 (– 4m)2 + (2m)2 – 4(20m – 20) = 16m2 + 4m2 – 80m + 80= 20(m – 2)2
分類討論：當 m = 2 時，它表示一個點
當 m ≠ 2 時，原方程表示一個圓
此時，圓的圓心為 (2m，– m)，半徑為 r = |m – 2|.
方法二 原方程可化為(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2
分類討論：當 m = 2 時，它表示一個點
當 m ≠ 2 時，原方程表示一個圓
此時，圓的圓心為 (2m，– m)，半徑為 r = |m – 2|.
總結：二元二次方程表示圓的兩種判斷方法
（1）計算 D2 + E2 – 4F 的值：
① 若其值為正，則表示圓；
② 若其值為0，則表示一個點；
③ 若其值為負，則不表示任何圖形；
（2）將該方程配方為 (x + )2 + (y + )2 = ，根據圓的標準方程來判斷.
設計意圖：通過對比兩種解題方法，加深學生思考，優化解題步驟，培養學生良好的數學思維習慣和反思總結的能力
例2：求過三點 O (0，0)，M1 (1，1)，M2 (4，2) 的圓的方程，并求這個圓的圓心坐標和半徑.
解：設圓的方程為 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①，因為三點都在圓上
所以將三點分別代入方程得：，解得
所以，所求圓的方程為 x2 + y2 – 8x + 6y = 0
圓心為 (4，– 3)，半徑為 r = = 5.
思考：與課本例2的方法比較，你有什么體會？
總結：待定系數法求圓的方程
（1）根據題意，選擇標準方程或一般方程；
（2）根據條件列出關于 a，b，r 或 D，E，F 的方程組；
（3）解出 a，b，r 或 D，E，F 得到標準方程或一般方程.
注意：① 若知道或涉及圓心和半徑，一般采用圓的標準方程較簡單；
② 若已知三點求圓的方程，常常采用圓的一般方程用待定系數法求解
例3：已知線段 AB 的端點 B 的坐標是 (4，3)，端點 A 在圓 (x + 1)2 + y2 = 4 上運動，求線段 AB 的中點 M 的軌跡方程.
提示：①軌跡：點在運動變化過程中形成的圖形；
解析幾何中，常把圖形看作點的軌跡 (集合)；
②M 的軌跡方程：點M 的坐標 (x，y) 滿足的關系式.
分析：點 A 的運動引起點 M 運動，而點 A 在已知圓上運動，即點 A 的坐標滿足圓的方程 (x + 1)2 + y2 = 4；建立點 M 與點 A 坐標之間的關系，就可以建立點 M 的坐標滿足的條件，從而求出點 M 的軌跡方程.
解：設點 M 的坐標為 (x，y)，點 A 的坐標是 (x0，y0)又點 B 坐標為 (4，3)，
M 線段 AB 的中點
所以 x= ，y= ，
即：x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3 ①
因為點 A 在圓 (x + 1)2 + y2 = 4上運動，
所以點A的坐標滿足圓的方程，
即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②，
將 ① 代入 ② 中得：
(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，即 (x – )2 + (y – )2 = 1.
上述方程即是點 M 的軌跡方程，它表示以 (，) 為圓心，半徑為1的圓.
設計意圖：通過與圓相關的軌跡問題的解決，提升學生數形結合，及方程思想，發展學生邏輯推理，直觀想象、數學抽象和數學運算的核心素養。
總結：（1）設動點坐標為 (x,y ) (求誰設誰)；
（2）用動點坐標把相關點的坐標表示出來；
（3）把相關點的坐標代入已知的軌跡方程；
（4）整理化簡，得到動點的軌跡方程.
設計意圖：通過分析解題思路，給出解答示范，提升學生推理論證的能力，提高學生的數學運算及邏輯推理的核心素養.
課堂練習
1.圓的圓心和半徑分別為( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.與圓同圓心，且過的圓的方程是( )
A. B.
C. D.
3.若方程表示一個圓，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
4.圓關于直線對稱的圓的方程是，則的值為( )
A. B. C. D.
5.已知圓的方程為，那么通過圓心的一條直線方程是( )
A. B. C. D.
6.圓心在軸上，且過點的圓與軸相切，則該圓的方程是( )
A. B.
C. D.
7.當為任意實數時，直線恒過定點，則以為圓心，半徑為的圓的方程為( )
A. B.
C. D.
8.方程與表示的曲線是( )
A. 都表示一條直線和一個圓 B. 都表示兩個點
C. 前者是兩個點，后者是一直線和一個圓 D. 前者是一條直線和一個圓，后者是兩個點
（五）歸納總結
【課堂小結】通過本節課的研究，大家學到了哪些知識和方法，說說你的體會？
設計意圖：通過總結，讓學生進一步鞏固本節所學內容，提高概括能力,提高學生的數學運算能力和邏輯推理能力。

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