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第二章 直線和圓的方程
2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.掌握圓的幾何要素，學(xué)會用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)；
2.學(xué)會用待定系數(shù)法和幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的理解，提高學(xué)生用坐標(biāo)系解決幾何問題的能力；
3.掌握判斷點(diǎn)和圓位置關(guān)系的方法，并能用點(diǎn)和圓的位置關(guān)系解決具體的問題.
重點(diǎn)：用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
難點(diǎn)：利用所給已知條件推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（一）創(chuàng)設(shè)情景
月亮，是中國人心目中的宇宙精靈，古代人們在生活中崇拜、敬畏月亮，在文學(xué)作品中也有大量描寫：
《古朗月行》 唐 李白
小時不識月，呼作白玉盤。又疑瑤臺鏡，飛在青云端。
如果把天空看作一個平面，月亮當(dāng)做一個圓，建立一個平面直角坐標(biāo)系，那么圓的坐標(biāo)方程如何表示？
設(shè)計意圖：舉生活中的實際物體，抽象出平面幾何圖象——圓，讓學(xué)生從生活中去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
（二）探究新知
任務(wù)1：探究圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
思考：(1)在初中，我們學(xué)習(xí)了圓.那么，圓是如何定義的呢？在平面中，確定一個圓的幾何要素是什么？
(2)回顧如何建立直線方程？能否類比直線方程的建立過程建立圓的方程？
答：(1)根據(jù)圓的定義，圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)的集合(或軌跡)，其中定點(diǎn)是圓心，定長是半徑.在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個圓的圓心坐標(biāo)和半徑確定了，圓就唯一確定了.所以，確定一個圓的幾何要素有圓心和半徑.
(2)由直線幾何要素邏輯遞推出直線方程，類比直線方程的建立過程，也可以由圓的幾何要素邏輯遞推出圓的方程.
直線方程的建立：
圓的方程的建立：
探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，你能推導(dǎo)出該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？
合作探究：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報.
答：設(shè)為圓上任意一點(diǎn)，就是以下點(diǎn)的集合
根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的條件可以表示為
兩邊平方，得
由此，若點(diǎn)在上，點(diǎn)的坐標(biāo)就滿足該方程；反過來，若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足該方程，就說明點(diǎn)與圓心間的距離為，點(diǎn)就在上.這時，我們把該方程稱為圓心坐標(biāo)為，半徑為的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
特別地：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)即時，圓的方程為；
圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)即且半徑為1時，圓的方程為，稱為單位圓.
設(shè)計意圖：通過生活中的具體實例，讓學(xué)生領(lǐng)會指數(shù)增長和指數(shù)衰減模型，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.
任務(wù)2：探究點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
探究：點(diǎn)，，與圓的關(guān)系如圖所示，則，，與圓的半徑大小關(guān)系？
合作探究：以小組為單位進(jìn)行討論交流，并匯報.
提示：→點(diǎn)在圓內(nèi)
→點(diǎn)在圓外
→點(diǎn)在圓上
探究：點(diǎn)和圓在圓內(nèi)的條件是什么？在圓外的條件是什么？
答：在圓內(nèi) ，在圓外
推廣：點(diǎn)和圓，
點(diǎn)點(diǎn)在圓內(nèi)、在圓外、在圓上的條件分別是什么？
在圓內(nèi)
在圓外
在圓上
設(shè)計意圖：通過具體的例子，讓學(xué)生分析認(rèn)識點(diǎn)與直線的位置關(guān)系.
（三）應(yīng)用舉例
例1 求圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷點(diǎn)和是否在這個圓上．
解：圓心為，半徑為5的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊，得，所以點(diǎn)在這個圓上.
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程的左邊，得，所以點(diǎn)不在這個圓.
【總結(jié)】
1.已知圓的圓心坐標(biāo)和半徑寫圓的方程
第1步 準(zhǔn)備圓心坐標(biāo)和半徑
第2步 將圓心坐標(biāo)和半徑的值代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可
注意：左邊是平方的樣子，不需要去括號，右邊半徑的平方計算出結(jié)果
2.如何判斷點(diǎn)是否在圓上？
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，滿足方程則在圓上，反之，不在圓上
例2 的三個頂點(diǎn)分別是，，，求的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：設(shè)所求的方程是
因為，，三點(diǎn)都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程．
于是
即
觀察上面的式子，我們發(fā)現(xiàn)，三式兩兩相減，可以消去，，，
得到關(guān)于，的二元一次方程組
解此方程組，得
代入，得．
所以，的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
【總結(jié)】待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
第1步 設(shè)：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
第2步 列：由已知條件，建立關(guān)于，，的方程組
第3步 解：解方程，求出，，
第4步 代：將，，代入所設(shè)方程，得所求圓的方程
例3 已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解法設(shè)圓心的坐標(biāo)為因為圓心在直線上，
所以
因為，是圓上兩點(diǎn)，所以．
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有
，
即
由可得，所以圓心的坐標(biāo)是．
圓的半徑．
所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
解法如下圖
設(shè)線段的中點(diǎn)為由，兩點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，
直線的斜率為．
因此，線段的垂直平分線的方程是，
即．
由垂徑定理可知，圓心也在線段的垂直平分線上，
所以它的坐標(biāo)是方程組的解．
解這個方程組，得
所以圓心的坐標(biāo)是．
圓的半徑．
所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．
【總結(jié)】幾何法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
第1步 設(shè)：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
第2步 求：它是利用圖形的幾何性質(zhì)，如圖的性質(zhì)等，直接求出圓的圓心和半徑
第3步 代：將圓心坐標(biāo)和半徑代入所設(shè)方程，得所求圓的方程
例4 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
若點(diǎn)在圓上，求半徑的值
若點(diǎn)與點(diǎn)一點(diǎn)在圓內(nèi)，另一點(diǎn)在圓外，求的取值范圍．
解：點(diǎn)在圓上，
，
解得．
該圓的圓心為，
，
，且，
的取值范圍是
設(shè)計意圖：通過例題，熟悉圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，提高學(xué)生學(xué)以致用的能力．
（四）課堂練習(xí)
1.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則此圓的圓心及半徑分別為( )
A. B.
C. D.
解：由標(biāo)準(zhǔn)方程可得：圓的圓心為，半徑為，
故選：．
2.圓心為，半徑為的圓的方程為( )
A. B.
C. D.
解：因為圓的圓心為，半徑為，
所以圓的方程為．
故選：．
3.設(shè)，，則以線段為直徑的圓的方程為( )
A. B.
C. D.
解：由題知線段中點(diǎn)為，，
所以，以線段為直徑的圓的圓心為，半徑為，其方程為．
故選：．
4.已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上，則圓的面積為( )
A. B. C. D.
解：由圓經(jīng)過點(diǎn)和，
可知圓心在直線上，
又圓心在直線上，
所以的坐標(biāo)為，
半徑，
所以圓的面積為．
故選：．
5.已知點(diǎn)和圓的方程，則它們的位置關(guān)系是( )
A. 在圓心 B. 在圓上 C. 在圓內(nèi) D. 在圓外
解：因為，
所以點(diǎn)在圓外．
故選D．
6.已知圓過、兩點(diǎn)，且圓心在直線上．
求圓的方程；
判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
解：圓心在直線上，
設(shè)圓心坐標(biāo)為，
則，
即，
即，
解得，即圓心為，
半徑，
則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
，
點(diǎn)在圓的外．
設(shè)計意圖：通過課堂練習(xí)，讓學(xué)生反復(fù)鞏固圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，加深理解，并能夠靈活運(yùn)用.
（五）歸納總結(jié)
【課堂小結(jié)】回顧本節(jié)課的內(nèi)容，你都學(xué)到了什么？

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