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第二章 直線和圓的方程
2.3.3點到直線的距離公式
點到直線的距離公式
1.用坐標法推導點到直線的距離公式，掌握代數運算過程，掌握公式；
2.用向量法推導點到直線的距離公式，掌握向量法分析過程和代數推導過程；
3.利用點到直線的距離公式進行計算和簡單應用.
重點：掌握公式，會利用公式求解點到直線的距離，能進行簡單的應用.
難點：向量法推導點到直線的距離公式.
（一）創設情境
情境：假設某地區計劃修建一條從村莊到公路的便捷通道，以改善村民的出行條件. 問題是：所修的便捷通道最短應有多長？
現把該實際應用抽象為數學問題：把村莊看作一個點，把公路看作一條直線，在平面直角坐標系中，點（村莊）的坐標和直線（公路）的方程已知，求村莊到公路的最短距離，抽象為求點到直線的距離.
師生活動：教師給出實際應用，并提出問題，引導學生把實際問題轉化為數學問題.
設計意圖：通過生活實際應用，使學生體會到生活中處處有數學，數學就在我們身邊，我們生活在充滿數學信息的現實世界中. 能促進學生會用數學的眼光去觀察和認識周圍的事物，有效的促進知識的遷移.
（二）探究新知
任務1：點到直線的距離的概念
思考：如圖所示，在平面直角坐標系中，給定一個點和一條直線：，如何定義點到直線的距離？
答：點到直線的距離就是從點到直線的垂線段的長度，其中是垂足.
師生活動：教師提出問題，引導學生認識點到直線的距離. 在此基礎上，教師進一步提出問題，如何計算垂線段的長度？引導學生利用兩點間距離公式計算垂線段長度.
設計意圖：從概念入手，強化學生從基礎概念進行推導獲取結論的意識. 引導學生拆解問題，利用已有知識解決現有問題.
任務2：坐標法推導點到直線的距離公式
思路：求出的坐標，再利用兩點間距離公式求出. 對于的坐標，根據直線與已知直線垂直，可以獲得直線的斜率，進而獲得直線的方程，由兩條直線的方程，可以求得它們交點的坐標.
推導：設，. 由，以及直線的斜率為，可得的垂線的斜率為，因此，垂線的方程為
解方程組，得到直線與的交點坐標，即垂足為
于是，根據兩點間距離公式
因此，點到直線：的距離
思考：當或時，公式是否成立？
答：當時，直線是一條平行于軸的直線，直線方程為，點到直線的距離. 代入公式，，公式成立.
同理，當時，公式成立.
思考：上述用坐標推導點到直線的距離公式的方法計算量巨大，引起復雜計算的原因是什么？如何簡化運算？
答：根本原因是點的坐標太復雜，導致代入兩點間距離公式后運算復雜. 如果不求點的坐標，能不能求出點到直線的距離呢？
現在設垂足的坐標為，則
思考：如何通過方程組，直接求出
答：將方程組轉化為和的方程組
將①②兩邊分別平方后相加得
所以
所以
【公式形成】
點到直線的距離公式：在平面直角坐標系中，給定一個點和一條直線：，點到直線的距離.
注意：點到直線的距離公式應用
在使用點到直線的距離公式時，應該把直線方程化為一般式.
總結：使用坐標法推導點到直線的距離公式，從定義入手，通過求解垂足坐標，再利用兩點間距離公式求解. 理解簡單，但是運算量較大. 運算量主要來自兩點間距離公式，可以利用設而不求的方法簡化運算. 設而不求的總體思路是把點到直線的距離用一個含有所設未知數的式子表達出來，進而得到整個式子的結果，而不是式子中具體未知數的結果. 這就是設而不求的原因.
師生活動：教師提出問題，引導學生從定義入手，推導點到直線的距離公式，教師可適當總結補充，并引導學生進一步理解，包括直線平行于坐標軸的情況是否需要單獨考慮、引起巨大計算量的原因和規避的方法. 引入設而不求這一重要思想. 同時提醒學生注意計算量的訓練，較大的計算量的背后可能化簡為較簡單的表達式.
設計意圖：逐步引導，推導公式前理清思路，推導公式中攻堅克難不懼怕計算量，推導公式后總結設而不求.
任務3：向量法推導點到直線的距離公式
思考：我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具，能否用向量方法求解點到直線的距離呢？在第一章，在空間中求解點到直線的距離和點到平面的距離都用到了投影向量，平面上是不是也可以用呢？
答：如圖所示，點到直線的距離，就是向量的模. 設點是直線上任意一點，是與直線方向向量垂直的單位向量，則是在上的投影向量，.
師生活動：引導學生利用向量工具處理距離問題，回憶第一章利用向量處理空間中的角度和距離問題.
思考：如何利用直線的方程得到與直線方向向量垂直的單位向量？
答： 方法一：設是直線：上任意兩點，則是直線的方向向量，把和兩式相減，得由平面向量的數量積運算可知，向量與向量垂直，向量就是與直線方向向量垂直的一個單位向量. 取.
方法二：直線的斜率為，則的斜率為，所以直線的方向向量是，即向量是與直線方向向量垂直的向量，進而得到單位向量.
推導：
因此
思考：在圖中，的方向與的方向相同，有，如果的方向與的方向相反，還有嗎？
答：的方向與的方向相同，則，從而；如果的方向與的方向相反，那么，從而.
師生活動：教師提出可能的疑點并引導學生分情況討論.
思考：坐標法和向量法推導點到直線的距離公式有什么區別，各有什么優缺點？
答：
推導方法 步驟 優點 缺點
坐標法 得到垂線方程 得到交點（垂足）坐標 利用兩點間距離公式求解 容易理解 計算量大（降低計算量的方法，設而不求）
向量法 得到表達式 求出 求出 求出 引入向量工具減少計算量 較坐標法難理解
設計意圖：為了讓學生復習兩種推導方法，回顧所學，把兩種方法進行對比，加深理解.
（三）應用舉例
例1：求點到直線的距離.
解：將直線的方程寫成，再利用點到直線的距離公式求解.
點到直線的距離
例2：求原點到下列直線的距離：
(1)：； ：．
解：(1)根據點到直線的距離公式故答案為．
(2)原點到直線的距離．因為直線經過坐標原點，所以距離為．
例3：已知的三個頂點分別是求的面積.
解：如圖所示，由三角形的面積公式可知，只需要求出的長和邊上的高即可.
設邊上的高為，則.
邊上的高為就是點到直線的距離.
直線的方程為，化為一般式為.
點到直線所在直線：的距離為：.
因此，.
例4：已知直線經過兩條直線和的交點，且與直線平行．
1求直線的方程；
2求點到直線的距離．
解：1聯立，解得其交點坐標為．
因為直線與直線平行，
所以直線的斜率為．
所以直線的方程為，即．
2由1知直線的方程為，
點到直線的距離為．
設計意圖：鞏固知識，強化理解.
（四）課堂練習
1.點到直線的距離為( )
A. B. C. D.
解：點 到直線方程為：的距離為：．
故選：.
2.點到直線距離的最大值為( ).
A. B. C. D.
解：因為直線方程可化為，
由點到直線的距離公式可得點到直線的距離為：，
因為要求距離的最大值，故需；
所以，
當且僅當，即取等號，
所以，
所以點到直線距離的最大值為
故選C．
3.經過點，且與原點的距離等于的直線的一般式方程為 ．
解：當直線斜率不存在時，方程為，滿足到原點的距離為；
當直線斜率存在時，設方程為，即，
由點到直線的距離公式可得，解之可得，
故方程為，化為一般式可得．
故答案為：或．
4.已知頂點，邊上的高所在直線方程為，邊上的中線所在的直線方程為．
求直線的方程
求頂點的坐標與的面積．
解： ，，，方程為：，即；
聯立解得，即，
設，則，，，
，點到直線的距離為，且，
的面積為．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固所學知識，能夠靈活運用.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.

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