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第二章 直線與圓的方程
2.3.4 兩條平行直線間的距離
能理解兩條平行直線間的距離的定義.
能利用點到直線的距離公式推導并掌握兩條平行直線間的距離公式.
能理解兩條平行直線間的距離公式特征，對實際問題進行應用分析，提升數學邏輯推理素養.
重點：兩條平行直線間的距離公式.
難點：兩條平行直線間的距離公式的應用.
（一）創設情境
前面的學習，我們用定量的方法刻畫了兩點間的距離、點到直線的距離，并且得到了相應的距離公式，大家還記得點到直線的距離公式嗎？（學生討論）
我們研究了兩點間的距離、點到直線的距離，還可以研究什么呢？
想一想：如何求兩條平行線直線間的距離呢？
師生活動：師生互動，生生討論、交流；師揭示課題.
設計意圖：教師以回顧引發學生思考，對先前知識的復習，激發學生主動學習，啟發學生思考要想研究兩條平行線直線間的距離，首先要知道兩條平行線直線間的距離的定義，以此順利揭示本節課題.
（二）探究新知
任務1：探究如何求兩條平行直線間的距離.
說一說：兩條平行直線間的距離的定義.
師生活動：1.先獨立思考；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
總結：兩條平行直線間的距離是指:夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.
提示：將兩條平行直線放入平面直角坐標系中，已知它們的方程，如何求它們之間的距離呢？
師生活動：1.先獨立思考；2.小組內交流討論；3.以小組為單位進行匯報.
答：在直線上任取一點（ ），求點直線的距離，即直線與直線間的距離.
思考：如圖，已知兩條平行直線:, :求, 的距離
師生活動：在師的引導下，師生共同總結.
答：設（ ）為直線上任意一點，則點到的距離即為，間的距離.所以，，由在上知， 所以
總結：一般地，兩條平行直線:, :間的距離：
任務2：探究兩條平行直線間的距離公式的結構特征.
思考：公式有什么結構特征呢？
一般地，兩條平行直線:, :間的距離：
師生活動：1.先獨立思考2分鐘; 2.小組內交流討論;3.以小組為單位進行匯報;4.師小結.
答：
總結：1.公式與縱截距有關；2.平行直線間距離就是兩條直線縱截距對應向量在直線垂直方向上投影向量的模長.
說一說：在使用距離公式時，對兩條平行直線有什么要求呢？
答：:, :，兩平行直線的方程都是一般式，且 、 的系數應分別相等.
任務3：探究特殊的直線方程是否滿足兩條平行線直線間的距離公式.
思考：比如平行于的兩條平行直線，滿足距離公式嗎？
猜想：滿足.
分析：
總結：1.平行于軸的兩條平行直線：.
2.平行于軸的兩條平行直線：
追問：對于兩條平行線直線間的距離公式，我們還可以怎樣去理解呢？
提示：如下圖所示,談談你對兩平行直線間距離公式的進一步理解.
師生活動：1.先獨立思考2分鐘; 2.小組內交流討論;3.以小組為單位進行匯報;4.師小結.答：因為點的坐標為,點的坐標為故
又因為，所以,因此 .
設計意圖：本節內容是在已經學過到直線的距離公式，已知兩條平行直線方程的條件下，如何求得兩條平行直線間的距離.通過三個任務串聯，從探究如何求兩條平行直線間的距離，到探究兩條平行直線間的距離公式的結構特征，再到探究特殊的直線方程是否滿足兩條平行線直線間的距離公式，層層遞進，由淺入深.在思考和啟發中滲透知識的學習，在合作與討論中加深進行思維的深加工.以此突破本節課的重難點.
（三）應用舉例
例1 已知兩條平行直線，，求與間的距離.
分析：在上選取一點，例如與坐標軸的交點，用點到直線的距離公式求這點到的距離，即與間的距離.
答：直線與軸的交點A的坐標為，點A到直線的距離，所以與間的距離為 .
思考：如何選取直線上的點，可使計算簡單？
答：取點時取所在直線與坐標軸的交點時，由于橫坐標或縱坐標均為0，可使計算簡單.
總結：求兩條平行直線間距離的兩種方法:
1.轉化法：將兩條平行直線間的距離轉化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距為點線距來求.
2.公式法：設直線:, :，則兩條平行直線間的距離：
例2 已知直線與直線和:的距離相等，則的方程是_____________.
答：方法一：由題意可設的方程為，于是有，即
，解得，故直線l的方程為2x－y＋1＝0.
方法二：　由題意知l必介于l1與l2中間，故設l的方程為2x－y＋c＝0，則c＝＝1，則直線l的方程為2x－y＋1＝0.
總結：由兩條平行直線間的距離求參數問題，轉化為兩平行直線間的距離問題.
設計意圖：通過例題講解，引導學生思考在實際問題情境中，更好的理解和應用兩條平行直線間的距離公式.
（四）課堂練習
1. 兩條平行直線與之間的距離是( )
A. B. C. D.
解：由題意將兩條平行直線中與的系數化為等值，可得：兩條平行直線為與，由平行線間的距離公式可知．故選B．
2. 若直線：和直線：間的距離為，則( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
解：由平行線之間的距離公式有：，求解關于實數的方程可得：或．故選D．
3. 已知直線與平行，則與的距離為( )
A. B. C. D.
解：若直線與平行，則，解得：，
故：與：的距離是：，故選A．
4．已知直線：和直線：，下列說法正確的是( )
A. 當時，
B. 當時，
C. 直線過定點，直線過定點
D. 當，平行時，兩直線的距離為
解：對于，當時，直線為，直線為，
此時兩直線的斜率分別為和，
所以，所以，故 A選項正確；
對于，當時，直線為，直線為，
此時兩直線重合，故B選項錯誤；
對于，由直線：，整理可得：，
故直線過定點，
直線：，整理可得：，
故直線過定點，故 C選項錯誤；
對于，當，平行時，，解得或，
當時，兩直線重合，舍去；
當時，直線為，直線為，
此時兩直線的距離，故 D選項正確．
故選：．
5. 求兩條平行直線與間的距離
若直線與直線平行，求的值．
解：兩條平行直線與間的距離．
因為直線與直線平行，
所以，
解得或
當時，不是直線的方程
當時，直線與重合
故．
設計意圖：通過課堂練習，讓學生反復鞏固兩條平行直線間的距離公式，能夠靈活運用.
（五）總結歸納
回顧本節課所學內容，回答下列問題：
師生活動：學生回答上述問題，其他學生進行點評補充．
設計意圖：通過對之前知識的梳理，提高學生總結概括能力，明確這節課要突破和學習的重點知識內容.

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