資源簡介

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人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
第27章 相似 小結與復習
一、知識導圖
二、知識清單
知識點一、圖形的相似的概念
形狀相同的圖形叫做相似圖形。
1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；
2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；
3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關。
例1-1．在研究相似問題時，嘉嘉和淇淇兩同學的觀點如下：
嘉嘉：將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴張，得到新正方形，它們的對應邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似；
淇淇：將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴張，得到新正方形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（　　）
A．兩人都對 B．兩人都不對
C．嘉嘉對，淇淇不對 D．嘉嘉不對，淇淇對
例1-2．下列四組圖形中，不是相似圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
變式．下列說法正確的是（　　）
A．對應邊都成比例的多邊形相似 B．對應角都相等的多邊形相似
C．邊數相同的正多邊形相似 D．矩形都相似
知識點二、成比例線段
在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。
1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。
2）四條線段、、、的單位應一致（有時為了計算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）
3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到小）的順序排列；②分別計算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。
4）比例的重要性質：
基本性質：若，則；反之，也成立。 和比性質：若，則；
更比性質：若，則； 反比性質：若，則；
等比性質：若，則。
5）拓展：比例式中，或中，、叫外項，、叫內項，、叫前項，、叫后項，如果，那么叫做、的比例中項。
把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點。
例2-1．已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，即＝，下列說法錯誤的是(　　)
A．ad=bc B．= C．＝ D．＝
例2-2．若x是3和6的比例中項，則x的值為（　　）
A． B． C． D．
變式2-1．有以下命題：
①如果線段d是線段a，b，c的第四比例項，則有 ．
②如果點C是線段AB的中點，那么AC是AB、BC的比例中項．
③如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，那么AC是AB與BC的比例中項．
④如果點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，且AB=2，則AC=﹣1．
其中正確的判斷有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
變式2-2．已知線段a，b，c滿足 ，且a+2b+c=26，則a+2b﹣c=　 　．
知識點三、平行線分線段成比例
平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例。
例3-1．如圖，已知直線，直線分別交直線于點，直線分別交直線于點，若，則的值（　　）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能確定
例3-2．如圖，在中，點、為邊的三等分點，點、在邊上，，交于點．若，則的長為　 　．
變式3-1． 如圖，點D、E是邊 上的點，，連接，交點為F，，那么的值是　 　．
變式3-2．在中，，將繞點B順時針旋轉得到，其中點A，C的對應點分別為點，．當點落在的延長線上時，連接，交于點P，若是方程的兩個實數根（），則的面積為　 　．
知識點四、相似多邊形的性質與判定
（1）相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。
（2）相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。
（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數相同；（2）對應角相等；（3）對應邊的比相等。
例4-1．如圖，G是正方形ABCD對角線AC上一點，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分別為點E、F.
求證：四邊形AFGE與四邊形ABCD相似．
例4-2．如圖，五邊形ABCDE是由五邊形FGHMN經過位似變換得到的，點O是位似中心，F、G、H、M、N分別是OA、OB、OC、OD、OE的中點，則五邊形ABCDE與五邊形FGHMN的面積比是（　　）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
知識點五、相似三角形的相關概念
1）、相似三角形的概念：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。
三角形相似具有傳遞性。
2）、相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比。相似三角形對應邊的比是有順序的。
3、相似三角形與全等三角形的關系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例。
例5 .下列說法一定正確的是（ ）
（A）有兩邊對應成比例且一角相等的兩個三角形相似
（B）對應角相等的兩個三角形不一定相似
（C）有兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似
（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似
知識點六、相似三角形的判定
判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。
判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。
判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。
判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）。
例6-1．如圖，在四邊形中，對角線、相交于點，，且，若，則的值為　 　.
例6-2．在中，對角線交于點O，E是上一點，且，連結，當時，若則　 　°，若，則　 　.
變式6-1．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的長．
變式6-2．如圖，已知點F在AB上，且AF：BF=1：2，點D是BC延長線上一點，BC：CD=2：1，連接FD與AC交于點N，求FN：ND的值．
知識點七、相似三角形的性質
1、對應角相等，對應邊的比相等；
2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。
3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）
例7-1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點在對角線BD上，且.
（1）求證：；
（2）若，求AB的長.
例7-2． 如圖，中，，，D為邊上一點，．
（1）求證：；
（2）如果，求的長．
變式7-1．如圖，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于點E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的長；
（2）若矩形PQMN的周長為80，求矩形PQMN的面積．
知識點八、利用相似三角形測高測距離
1）、利用相似三角形的性質測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。
2）、利用三角形的性質來解決實際問題的核心是構造相似三角形，在構造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應邊易測這一原則。
例8-1．如圖，某中學兩座教學樓中間有個路燈，甲、乙兩個人分別在樓上觀察路燈頂端，視線所及如圖①所示。根據實際情況畫出平面圖形如圖②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲從點C可以看到點G處，乙從點E恰巧可以看到點D處，點B是DF的中點，路燈AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙兩人的觀測點到地面的距離的差。
變式8-1．又到了一年中的春游季節．某班學生利用周末去參觀“三軍會師紀念塔”．下面是兩位同學的一段對話：
甲：我站在此處看塔頂仰角為60°；
乙：我站在此處看塔頂仰角為30°；
甲：我們的身高都是1.6m；
乙：我們相距36m．
請你根據兩位同學的對話，計算紀念塔的高度．（精確到1米）
變式8-2．已知如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=2m．
（1）請你畫出此時DE在陽光下的投影；
（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為4m，請你計算DE的長．
知識點九、位似的概念及性質
1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。
相似圖形與位似圖形的區別與聯系：1、區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。
2）相似圖形與位似圖形的區別與聯系：
區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；
②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。
聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。
3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。
4)、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比。
例9-1．如圖，DC∥AB，OA=2OC，則△OCD與△OAB的位似比是　 　 ．
變式9-1．如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，，則和的面積比值是　 　．
變式9-2．如圖，在平行四邊形中，以C為位似中心，作平行四邊形的位似平行四邊形，且與原圖形的位似比為2∶3，連接，若平行四邊形的面積為20，則與的面積之和為　 　．
知識點十、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）
利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。
畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。
例10-1．如圖，在平面直角坐標系內，頂點坐標分別為，，．
（1）畫出關于原點O成中心對稱的；
（2）以A為位似中心，在網格中畫出，使與位似且面積比為4：1。
變式10-1．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，且每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，按要求完成如下畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
（1）在圖1中，以為邊，畫出，使與全等，為格點，請在圖1中畫出滿足條件的所有；
（2）在圖2中，以點為位似中心．畫出，使與位似，且位似比，點、為格點；
（3）在圖3中，在邊上找一個點，且滿足．
知識點十一、圖形的變換與坐標
1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應相應地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。
2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數。
3）、以原點為位似中心的位似變換
在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（對應點在位似中心同側）或者－k（對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應點的坐標為或。
例11-1．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，﹣1）．
①以O為位似中心在第二象限作位似比為1：2變換，得到對應的△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出C1的坐標；
②以原點O為旋轉中心，畫出把△ABC順時針旋轉90°的圖形△A2B2C2，并寫出C2的坐標．
變式11-1．已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．
（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，
（2）點C1的坐標是　 　；
（3）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，
（4）使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是　 　．
三、核心素養提升
數學建模-構建相似三角形模型解決實際問題
1．在《數書九章》（宋·秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，表示塔的高度，表示竹竿頂端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知米，米，米，米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為　 　米．
2．如圖，小李利用鏡面反射原理測樹高，小李在點，鏡子為點，表示樹，點，，在同一水平線上，小李身高米，米，米，則樹高為(　　)
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
3．小亮同學想利用影長測量學校旗桿AB的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影一部分在地面上BD處，另一部分在某一建筑的墻上CD處，分別測得其長度為9.6米和2米，求旗桿AB的高度.
2.邏輯推理-利用相似三角形的判定和性質進行推理
4．如圖，點E在菱形ABCD的邊BC的延長線上，AE交CD于點F，FG∥CE交DE于點G．求證：FG=FC．
5．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E.
(1)求證：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求證：CD＝CB.
6．已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF為∠B的平分線．求證：AB=2DE．
【答案】解：連接EF．
3.分類討論思想
7．如圖，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，垂足為D，設AP=x
（1）CD的長度是否隨著的x變化而變化？若變化，請用含的x代數式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度；
（2）當x取何值時，△ABP和△CDP相似．
8．在△ABC中，D，E分別是AC，AB邊上的點，AD=3，AE=2，AC=5，當AB=　 　時，△ADE與△ABC相似．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，點P是邊AC上一點（不與A、C重合），過P點的一條直線與△ABC的邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，這樣的直線有（　　）條．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如圖，在四邊形，，，，，．動點從點出發，沿折線以每秒3個單位長度的速度向終點運動．當點不與點A、B、重合時，作點關于直線PD的對稱點，連接、，設點的運動時間為秒．
（1）線段CD的長為　 　；
（2）當為直角三角形時，求的值；
（3）作點關于直線PD的對稱點，連接．
①當時，求的值；
②連接，當直線經過點A時，直接寫出的值．
4.方程的思想
11．
（1）如圖1，在矩形中，，，點E為邊上一點，沿直線將矩形折疊，使點C落在邊上的點處．求的長；
（2）如圖2，展開后，將沿線段向右平移，使點的對應點與點B重合，得到，與交于點F，求線段的長；
（3）在圖1中，將繞點旋轉至A，，E三點共線時，請直接寫出的長．
12．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P(不與A、B重合)，連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．
⑴當x為何值時，△APD是等腰三角形
⑵若設BE=y，求y關于x的函數關系式；
⑶若BC的長可以變化，在現在的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C 若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C．
人教版九年級數學下名師點撥與訓練
第27章 相似
第27章 相似 小結與復習
一、知識導圖
二、知識清單
知識點一、圖形的相似的概念
形狀相同的圖形叫做相似圖形。
1）兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到；
2）全等的圖形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同；
3）判斷兩個圖形是否相似，就是看兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素無關。
例1-1．在研究相似問題時，嘉嘉和淇淇兩同學的觀點如下：
嘉嘉：將邊長為1的正方形按圖1的方式向外擴張，得到新正方形，它們的對應邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似；
淇淇：將邊長為1的正方形按圖2的方式向外擴張，得到新正方形，每條對角線向其延長線兩個方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時也位似．
對于兩人的觀點，下列說法正確的是（　　）
A．兩人都對 B．兩人都不對
C．嘉嘉對，淇淇不對 D．嘉嘉不對，淇淇對
【答案】A
【知識點】圖形的相似；位似圖形的概念
例1-2．下列四組圖形中，不是相似圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】圖形的相似
【解析】【解答】解：A、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
B、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
C、形狀相同，但大小不同，符合相似形的定義，故不符合題意；
D、形狀不相同，不符合相似形的定義，故符合題意；
故選：D．
【分析】根據相似圖形的定義，對選項進行一一分析，排除錯誤答案．
變式．下列說法正確的是（　　）
A．對應邊都成比例的多邊形相似 B．對應角都相等的多邊形相似
C．邊數相同的正多邊形相似 D．矩形都相似
【答案】C
【知識點】圖形的相似
【解析】【分析】根據相似圖形的定義，對選項一一分析，排除錯誤答案。
【解答】A、對應邊都成比例的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；
B、對應角都相等的多邊形，屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤；
C、邊數相同的正多邊形，形狀相同，大小不一定相同，故正確；
D、矩形屬于形狀不唯一確定的圖形，故錯誤。
故選C．
【點評】本題考查相似變換的定義，即圖形的形狀相同，但大小不一定相同的是相似形。
知識點二、成比例線段
在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段。
1）若四條線段、、、成比例，則記作或。注意：四條線段的位置不能隨意顛倒。
2）四條線段、、、的單位應一致（有時為了計算方便，、的單位一致，、的單位一致也可以）
3）判斷四條線段是否成比例：①將四條線段按從小到大（或從大到小）的順序排列；②分別計算第一和第二、第三和第四線段的比；若相等則是成比例線段，否則就不是。
4）比例的重要性質：
基本性質：若，則；反之，也成立。 和比性質：若，則；
更比性質：若，則； 反比性質：若，則；
等比性質：若，則。
5）拓展：比例式中，或中，、叫外項，、叫內項，、叫前項，、叫后項，如果，那么叫做、的比例中項。
把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點。
例2-1．已知四條線段a，b，c，d是成比例線段，即＝，下列說法錯誤的是(　　)
A．ad=bc B．= C．＝ D．＝
【答案】C
【知識點】比例線段
【解析】【分析】根據比例的性質將原式變形，分別進行判斷即可，進而得出答案．
【解答】∵四條線段a，b，c，d是成比例線段，即＝，
∴A．利用內項之積等于外項之積，ad=bc，故選項正確，
B．利用內項之積等于外項之積，a（b+d)=b（a+c)，ab+ad=ab+bc，即ad=bc，故選項正確，
C．∵=，
∴=，故選項錯誤，
D．∵＝∴＝，故選項正確．
故選：C．
【點評】此題主要考查了比例的性質，將比例式靈活正確變形得出是解題關鍵．
例2-2．若x是3和6的比例中項，則x的值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】比例線段
【解析】【分析】根據比例中項的概念，得x2=3×6，則x可求出來．
【解答】∵x是3和6的比例中項，
∴x2=3×6=18，
解得x=．
故選D．
【點評】本題考查了比例中項的概念：當比例式中的兩個內項相同時，即叫比例中項．求比例中項根據比例的基本性質進行計算．
變式2-1．有以下命題：
①如果線段d是線段a，b，c的第四比例項，則有 ．
②如果點C是線段AB的中點，那么AC是AB、BC的比例中項．
③如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，那么AC是AB與BC的比例中項．
④如果點C是線段AB的黃金分割點，AC＞BC，且AB=2，則AC=﹣1．
其中正確的判斷有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【知識點】比例線段；黃金分割
【解析】【解答】解：①、根據第四比例項的概念，顯然正確；
②、如果點C是線段AB的中點，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，錯誤；
③、根據黃金分割的概念，正確；
④、根據黃金分割的概念：AC= ﹣1，錯誤．
故選B．
【分析】根據比例中項和黃金分割的概念分析各個說法．
變式2-2．已知線段a，b，c滿足 ，且a+2b+c=26，則a+2b﹣c=　 　．
【答案】2
【知識點】比例線段
【解析】【解答】解：設 =k，則有a=3k，b=2k，c=6k，
代入已知等式得：3k+4k+6k=26，
解得：k=2，即a=6，b=4，c=12，
則原式=6+8﹣12=2，
故答案為：2
【分析】設已知比例式值為k，表示出a，b，c，代入已知等式求出k的值，確定出a，b，c的值，代入原式計算即可得到結果．
知識點三、平行線分線段成比例
平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩條直線相交，截得的對應線段成比例。
例3-1．如圖，已知直線，直線分別交直線于點，直線分別交直線于點，若，則的值（　　）
A．大于 B．等于 C．小于 D．不能確定
【答案】A
【知識點】平行四邊形的判定與性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：作分別交、于、，
∵，
∴四邊形、四邊形是平行四邊形，
，
，
，即，
故答案為：A．
【分析】作分別交、于、，可得四邊形、四邊形是平行四邊形，，然后根據平行線分線段成比例求出，再進一步計算的值即可．
例3-2．如圖，在中，點、為邊的三等分點，點、在邊上，，交于點．若，則的長為　 　．
【答案】
【知識點】平行線的判定與性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；相似三角形的判定與性質
【解析】【解答】點，為邊的三等分點，
∴BE=ED=AD，
，
，
，
，
，
點，為邊的三等分點，，
點，為邊的三等分點，
，
，
，
．
故答案為：。
【分析】先證出，再利用相似三角形的性質求得的長度，利用平行線分線段成比例定理求得，最后利用相似三角形的判定與性質解答即可得出結論．
變式3-1． 如圖，點D、E是邊 上的點，，連接，交點為F，，那么的值是　 　．
【答案】
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【解答】解：過作，交于，如圖所示：
則，即：，，
，即：，
∴．
故答案為：
【分析】過作，交于，進而根據平行線分線段成比例結合題意即可求解。
變式3-2．在中，，將繞點B順時針旋轉得到，其中點A，C的對應點分別為點，．當點落在的延長線上時，連接，交于點P，若是方程的兩個實數根（），則的面積為　 　．
【答案】
【知識點】因式分解法解一元二次方程；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例；旋轉的性質
【解析】【解答】解：作交于，過作于，
∵是方程的兩個實數根（），
∴，，
∴，
∵將繞點B順時針旋轉得到，
∴，，，，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】 先解方程可得AC=4，BC=3，再作CM∥BP交AB于點M，過C作CD⊥AB于點D，即可求出CD、BD的長度，再由旋轉的性質和平行線的性質可得∠CBA=∠CMB，即可得到CM=BC，MD=BD，再由平行線分線段成比例求出BP，最后根據求解即可．
知識點四、相似多邊形的性質與判定
（1）相似多邊形對應角相等，對應邊的比相等。
（2）相似比：相似多邊形對應邊的比稱為相似比。
（3）判斷兩個多邊形相似，必須同時具備：（1）邊數相同；（2）對應角相等；（3）對應邊的比相等。
例4-1．如圖，G是正方形ABCD對角線AC上一點，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分別為點E、F.
求證：四邊形AFGE與四邊形ABCD相似．
【答案】證明：∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF，
即四邊形AFGE為正方形．
∴ ＝ ＝ ＝ ，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四邊形AFGE與四邊形ABCD相似
【知識點】相似多邊形
【解析】【分析】由正方形的性質可知；AC平分∠DAB，然后由角平分線的性質可知GE=GF，從而可證明四邊形EGFA為正方形，故此四邊形AFGE與四邊形ABCD相似.本題主要考查的是相似多邊形的判定、正方形的判定、角平分線的性質，證得四邊形EAFG為正方形是解題的關鍵.
例4-2．如圖，五邊形ABCDE是由五邊形FGHMN經過位似變換得到的，點O是位似中心，F、G、H、M、N分別是OA、OB、OC、OD、OE的中點，則五邊形ABCDE與五邊形FGHMN的面積比是（　　）
A．2：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1
【答案】B
【知識點】相似多邊形；位似變換
【解析】【解答】解：∵F為AO的中點，
∴OF：OA=1：2，
∵ 五邊形ABCDE是由五邊形FGHMN經過位似變換得到的 ，
∴FN∥AE，
∴△OFN∽△OAE，
∴OF∶OA=FN∶AE=1∶2
∴五邊形ABCDE與五邊形FGHMN的面積比為：4：1.
故答案為：B.
【分析】由五邊形ABCDE與五邊形FGHMN關于點O成位似關系，且OF：OA=1：2，可得位似比為1：2，根據形似圖形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案.
知識點五、相似三角形的相關概念
1）、相似三角形的概念：對應角相等，對應邊的比相等的兩個三角形是相似三角形。
三角形相似具有傳遞性。
2）、相似比的概念：相似三角形對應邊的比叫做相似比。相似三角形對應邊的比是有順序的。
3、相似三角形與全等三角形的關系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。
若兩個相似三角形的相似比是1，則這兩個三角形是全等三角形，由此可見，全等三角形是相似三角形的一種特例。
例5 .下列說法一定正確的是（ ）
（A）有兩邊對應成比例且一角相等的兩個三角形相似
（B）對應角相等的兩個三角形不一定相似
（C）有兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似
（D）一條直線截三角形兩邊所得的三角形與原三角形相似
【答案】C
【解析】根據判定定理2可知A錯誤，C正確；根據判定定理1可知B錯誤，根據相似三 角形預備定理可知只有直線與底邊平行時才相似．
【總結】考查相似三角形的判定定理掌握情況和相關條件．
知識點六、相似三角形的判定
判定1：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似。
判定2：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。
判定3：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。
判定4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似（此知識常用，用時需要證明）。
例6-1．如圖，在四邊形中，對角線、相交于點，，且，若，則的值為　 　.
【答案】
【知識點】相似三角形的判定；解直角三角形—邊角關系
【解析】【解答】解：如圖：
過點D作DE⊥BC于點E.
∴，
設DE=3x，DB=5x，則BE=4x.
∵DC=DB=5x，
∴CE=BE=4x，BC=8x.
過點A作AG//BC交DB于點G，
∴，∠AHD=∠CEH=90°=∠AHE.
∵，
∴∠GAD=∠GAB=∠ABC.
∴△DAH∽△ABC.
∴.
∵，
∴四邊形ACEH是矩形，
∴.
∴
故答案為：.
【分析】過點D作DE⊥BC于點E.根據 ，設DE=3x，結合DC=DB可表示出BE，CE，BD.過點A作AG//BC交DB于點G，根據可證得∠GAD=∠GAB=∠ABC以及∠AHD=∠CEH=90°=∠AHE.可得△DAH∽△ABC和四邊形ACEH是矩形，于是可得，可得結果.
例6-2．在中，對角線交于點O，E是上一點，且，連結，當時，若則　 　°，若，則　 　.
【答案】；
【知識點】相似三角形的性質；相似三角形的判定；四邊形的綜合
【解析】【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB//CD，∠BCD=∠BAD.
∵
∴，
∴∠AED=∠BAE=90°，
①∵，，AD=DA，
∴△OAD≌△EDA(SAS)
∴∠AOD=∠AED=90°，∠ODA=∠EAD.
∴AC⊥BD，
∴ 是菱形.
∴AB=BC=CD=AD.
∴∠ODC=∠ODA=∠EAD.
∵在直角三角形AED中，∠EAD+∠ODA+∠ODC=3∠EAD=90°.
∴∠ABC=∠ADC=60°.
②在DE上選取點F，使EF=CE，連接AF. 如圖所示：
∵AE⊥CF，
∴AC=AF，
∴∠CAE=∠FAE，∠ACE=∠AFE.
∴.
∵∠OCD=∠FCA，
∴△OCD∽△FCA.
∴
∵AO=CO=DE，
∴
令，
∴.
解得：(舍負)
故
故答案為：60°；.
【分析】先根據平行四邊形的性質以及角的換算，得出∠AED=90°，再證明△OAD≌△EDA ( SAS) ，得∠AOD=∠AED=90°，∠ODA=∠EAD.于是可得四邊形ABCD為菱形，根據菱形的對角線平分對角和直角三角形兩銳角互余，得3∠EAD=90°，可求∠ABC的度數；
在DE上選取點F，使EF=CE，連接AF.根據線段垂直平分線的性質得AC=AF，于是可證明△OCD∽△FCA，得，結合AO=CO=DE，可得，令，得到關于x的方程，求解即可.
變式6-1．在矩形ABCD中，E為DC邊上一點，把△ADE沿AE翻折，使點D恰好落在BC邊上的點F處．
（1）求證：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝8，AD＝10，求EC的長．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝90°，
由翻折可得：
∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∵∠B＝∠C，
∴△ABF∽△FCE；
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，AD＝10，
∴BC＝10，
由翻折可得：
AF＝10，
在Rt△ABF中，
，
∴CF＝10﹣6＝4，
∵△ABF∽△FCE，
∴，
∴，
∴CE＝3．
【知識點】矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根據四邊形ABCD是矩形，得出∠B=∠C=∠D=90°，由翻折可得：∠D=∠AFE=90°，利用同角的余角相等可以得出∠BAF=∠EFC，即可證出結論；
(2)由翻折可得：AF=10，根據勾股定理得出BF=6，利用 △ABF∽△FCE ，求解即可EC.
變式6-2．如圖，已知點F在AB上，且AF：BF=1：2，點D是BC延長線上一點，BC：CD=2：1，連接FD與AC交于點N，求FN：ND的值．
【答案】解：過點F作FE∥BD，交AC于點E，∴，∵AF：BF=1：2，∴=，∴，即FE=BC，∵BC：CD=2：1，∴CD=BC，∵FE∥BD，∴．即FN：ND=2：3．
【知識點】兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【分析】過點F作FE∥BD，交AC于點E，求出，得出FE=BC，根據已知推出CD=BC，根據平行線分線段成比例定理推出=，代入化簡即可．本題考查了平行線分線段成比例定理的應用，注意：平行線分的線段對應成比例，此題具有一定的代表性，但是一定比較容易出錯的題目．
知識點七、相似三角形的性質
1、對應角相等，對應邊的比相等；
2、拓展：對應高的比，對應中線的比，對應角平分線的比都等于相似比。
3、相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方。（相似多邊形周長比等于相似比，相似多邊形的面積比等于相似比的平方。）
例7-1．如圖，在平行四邊形ABCD中，點在對角線BD上，且.
（1）求證：；
（2）若，求AB的長.
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
，
（2）解：
.
【知識點】平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（1）根據平行四邊形的性質，推出從而證明；
（2）根據相似三角形對應邊成比例，列出比例式，即可求出AB長.
例7-2． 如圖，中，，，D為邊上一點，．
（1）求證：；
（2）如果，求的長．
【答案】（1）證明：∵，，
∴，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴
∴，
∵，
∴．
【知識點】相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（1）根據相似三角形的判定，對應邊成比例且夾角相等證出即可.
（2）根據相似三角形對應邊成比例求解即可.
變式7-1．如圖，△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于點E，BC＝48，AD＝16．
（1）若PN＝18，求DE的長；
（2）若矩形PQMN的周長為80，求矩形PQMN的面積．
【答案】（1）解：依題意得：PN∥BC，則△APN∽△ABC，
又AD是高，則，
設DE=，則AE=16-，
由得，，解之得，=10
（2）解：由矩形PQMN，又AD是高，則四邊形PQDE為矩形，
∴DE=PQ，
設DE=PQ=，則PN=，
同理得，
解得=4
則矩形PQMN的面積=
【知識點】矩形的判定與性質；相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（1）先根據相似三角形的判定與性質證明△APN∽△ABC得到，設DE=，則AE=16-，進而代入即可求解；
（2）先根據矩形的判定與性質得到DE=PQ，設DE=PQ=，則PN=，進而求出y，再根據矩形的面積公式即可求解。
知識點八、利用相似三角形測高測距離
1）、利用相似三角形的性質測量河的寬度，計算不能直接測量的物體的高度或深度。
2）、利用三角形的性質來解決實際問題的核心是構造相似三角形，在構造的相似三角形中，被測物體必須是其中一邊，注意要把握其余的對應邊易測這一原則。
例8-1．如圖，某中學兩座教學樓中間有個路燈，甲、乙兩個人分別在樓上觀察路燈頂端，視線所及如圖①所示。根據實際情況畫出平面圖形如圖②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲從點C可以看到點G處，乙從點E恰巧可以看到點D處，點B是DF的中點，路燈AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙兩人的觀測點到地面的距離的差。
【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵點B是DF的中點，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙兩人的觀察點到地面的距離的差為：36.9-11=25.9（米）
【知識點】相似三角形的應用
【解析】【分析】利用垂直的定義可證∠ABD=∠F，再利用有兩組對應角相等的兩三角形相似，可證得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的對應邊成比例，就可求出EF，DG的長，然后求出CD的長即甲、乙兩人的觀測點到地面的距離的差。
變式8-1．又到了一年中的春游季節．某班學生利用周末去參觀“三軍會師紀念塔”．下面是兩位同學的一段對話：
甲：我站在此處看塔頂仰角為60°；
乙：我站在此處看塔頂仰角為30°；
甲：我們的身高都是1.6m；
乙：我們相距36m．
請你根據兩位同學的對話，計算紀念塔的高度．（精確到1米）
【答案】解：如圖，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，
在Rt△AHF中，∵tan∠AFH=，
∴FH=，
在Rt△ADH中，∵tan∠ADH=，
∴DH=，
而DH﹣FH=DF，
∴﹣=36，即﹣=36，
∴AH=18，
∴AB=AH+BH=18+1.6≈33（m）．
答：紀念塔的高度約為33m．
【知識點】相似三角形的應用
【解析】【分析】先畫出幾何圖形，如圖，CD=EF=BH=1.6m，CE=DF=36m，∠ADH=30°，∠AFH=30°，分別利用正切定義得到FH=，DH=，則﹣=36，再利用特殊角的函數值可計算出AH=18，然后計算AH+BH即可．
變式8-2．已知如圖，AB和DE是直立在地面上的兩根立柱，AB=5m，某一時刻AB在陽光下的投影BC=2m．
（1）請你畫出此時DE在陽光下的投影；
（2）在測量AB的投影時，同時測量出DE在陽光下的投影長為4m，請你計算DE的長．
【答案】解：（1）如圖，EF為此時DE在陽光下的投影；
（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴，即，解得DE=10（m），
即DE的長為10m．
【知識點】相似三角形的應用；平行投影
【解析】【分析】（1）連結AC，過點D作DF∥AC，則EF為所求；
（2）先證明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后利用相似比計算出DE的長．
知識點九、位似的概念及性質
1）兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，象這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心。這時的相似比又稱為位似比。
相似圖形與位似圖形的區別與聯系：1、區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。2、聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。
2）相似圖形與位似圖形的區別與聯系：
區別：①位似圖形對應點的連線交于一點，相似圖形沒有；
②位似圖形的對應邊互相平行，相似圖形沒有。
聯系：位似圖形是特殊的相似圖形。
3）、位似圖形是特殊的相似圖形，故具有相似圖形的一切性質。
4)、位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離比等于相似比。
例9-1．如圖，DC∥AB，OA=2OC，則△OCD與△OAB的位似比是　 　 ．
【答案】1：2
【知識點】位似變換
【解析】解：∵DC∥AB
∴△OAB∽△OCD
∵△OCD與OAB的對應點的連線都過點O
∴△OCD與△OAB的位似
∴△OCD與△OAB的位似比為OC：OA=1：2．
【分析】先證明△OAB∽△OCD，△OCD與OAB的對應點的連線都過點O，所以可得△OCD與△OAB的位似，即可求得△OCD與△OAB的位似比為OC：OA=1：2．
變式9-1．如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，，則和的面積比值是　 　．
【答案】
【知識點】相似三角形的性質；位似變換
【解析】【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，
∵OA：OD=2：3，
∴AB：DE=2：3，
∴.
故答案為：.
【分析】根據位似的性質得△ABC∽△DEF，由已知OA：OD=2：3，得AB：DE=2：3，根據相似三角形的性質得，即可求解.
變式9-2．如圖，在平行四邊形中，以C為位似中心，作平行四邊形的位似平行四邊形，且與原圖形的位似比為2∶3，連接，若平行四邊形的面積為20，則與的面積之和為　 　．
【答案】10
【知識點】平行四邊形的性質；位似變換
【解析】【解答】解：連接，如圖所示：
∵平行四邊形和平行四邊形是位似圖形，且位似比為2∶3，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案為：10
【分析】連接，先根據位似結合題意得到，，進而得到，，再根據“”即可求解。
知識點十、利用位似變換作圖（放大或縮小圖形）
利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小，若位似比大于1，則通過位似變換把原圖形放大；若位似比小于1，則通過位似變換把原圖形縮小。
畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②連線并延長（分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長）；③根據相似比確定各線段的長度；④順次連接上述個點，得到圖形。
例10-1．如圖，在平面直角坐標系內，頂點坐標分別為，，．
（1）畫出關于原點O成中心對稱的；
（2）以A為位似中心，在網格中畫出，使與位似且面積比為4：1。
【答案】（1）解：如圖，即為所求作的三角形；
（2）解：如圖，與即為所求作的三角形．
【知識點】作圖﹣位似變換；作圖﹣旋轉
【解析】【分析】（1）根據對稱性質作出A、B、C關于原點的對稱點A1、B1、C1，順次連接即可；
（2）根據位似圖形的性質得出對應點位置，再順次連接即可求解.
變式10-1．如圖，在的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，且每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，按要求完成如下畫圖．（要求僅用無刻度的直尺，且保留必要的畫圖痕跡）
（1）在圖1中，以為邊，畫出，使與全等，為格點，請在圖1中畫出滿足條件的所有；
（2）在圖2中，以點為位似中心．畫出，使與位似，且位似比，點、為格點；
（3）在圖3中，在邊上找一個點，且滿足．
【答案】（1）解：如圖，和和即為所作，
；
（2）解：如圖，即為所作，
；
（3）解：如圖所示，取格點，，連接，交于點，則點即為所求作的點．
【知識點】作圖﹣位似變換；尺規作圖-作三角形
【解析】【分析】
（1）根據全等三角形的性質即可作出；
（2）根據位似圖形的性質以及相似三角形的性質即可畫出△EFC；
（3）取格點E，F，連接EF，交AC于P點，則點P即為所求作的點，由圖可得△APF∽△CPE，從而得出.
知識點十一、圖形的變換與坐標
1）、平移：（1）圖形沿x軸平移后，所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，當向右平移n個單位時，橫坐標應相應地加n個單位，反之則減；（2）圖形沿y軸平移后，所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標上加、下減。
2）、軸對稱:（1）圖形沿x軸翻折后所得新圖形的各對應點的橫坐標不變，縱坐標互為相反數；（2）圖形沿y軸翻折后所得新圖形的各對應點的縱坐標不變，橫坐標互為相反數。
3）、以原點為位似中心的位似變換
在平面直角坐標系中，如果位似變化是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k（對應點在位似中心同側）或者－k（對應點在位似中心異側）。即：若設原圖形的某一點的坐標為，則其位似圖形對應點的坐標為或。
例11-1．如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，△ABC的頂點均在格點上，點C的坐標為（4，﹣1）．
①以O為位似中心在第二象限作位似比為1：2變換，得到對應的△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出C1的坐標；
②以原點O為旋轉中心，畫出把△ABC順時針旋轉90°的圖形△A2B2C2，并寫出C2的坐標．
【答案】解：①如圖所示：△A1B1C1，即為所求，
C1的坐標為：（﹣8，2）；
②如圖所示：△A2B2C2，即為所求，
C2的坐標為：（﹣1，﹣4）．
【知識點】作圖﹣位似變換
【解析】【分析】①直接利用位似圖形的性質得出對應點位置進而得出答案；②直接利用旋轉的性質得出對應點位置，進而得出答案．
變式11-1．已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分別為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．
（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，
（2）點C1的坐標是　 　；
（3）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，
（4）使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是　 　．
【答案】（1）如圖△A1B1C1
（2）（2，﹣2）
（3）如圖△A2B2C2
（4）（1，0）
【知識點】作圖﹣位似變換
【解析】【解答】解：（1.）如圖所示，畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，
（2.）點C1的坐標是（2，﹣2）；
（3.）如圖所示，以B為位似中心，畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，
（4.）點C2的坐標是（1，0），
【分析】（1）將△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，如圖所示，（2）找出所求點坐標即可；（3）以點B為位似中心，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，如圖所示，（4）找出所求點坐標即可．
三、核心素養提升
數學建模-構建相似三角形模型解決實際問題
1．在《數書九章》（宋·秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，表示塔的高度，表示竹竿頂端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面內，點A、C、E在一條水平直線上．已知米，米，米，米，人從點F遠眺塔頂B，視線恰好經過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據以上信息，塔的高度為　 　米．
【答案】
【知識點】相似三角形的應用
【解析】【解答】解：如圖，過作于，交于，
則，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴（米），
故答案為：.
【分析】本題根據相似三角形的預備定理：得出，再根據相似三角形的性質：對應邊成比例，列出比例式：，求出QB，再通過計算出AB即可.
2．如圖，小李利用鏡面反射原理測樹高，小李在點，鏡子為點，表示樹，點，，在同一水平線上，小李身高米，米，米，則樹高為(　　)
A．4米 B．5米 C．6米 D．7米
【答案】A
【知識點】相似三角形的應用；一線三等角相似模型（K字型相似模型）
【解析】【解答】解：根據題意可知： ∠CAO=∠DBO=90°，∠COF=∠DOF，
故∠COA+∠COF=90°，∠DOB+∠DOF=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∴△ACO∽△BDO，
∴，
∵AC=1.6米，OA=2.4米，OB=6米，
∴，
解得： BD=4，
即樹高為4米.
故答案為：A.
【分析】根據等角的余角相等得出∠COA=∠DOB，根據有兩個角相等的兩個三角形是相似三角形得出△ACO∽△BDO，根據相似三角形的對應邊之比相等，即可代入數據，求出BD的值.
3．小亮同學想利用影長測量學校旗桿AB的高度，如圖，他在某一時刻立1米長的標桿測得其影長為1.2米，同時旗桿的投影一部分在地面上BD處，另一部分在某一建筑的墻上CD處，分別測得其長度為9.6米和2米，求旗桿AB的高度.
【答案】解：如圖，
由題意得：AB：BE=1：1.2，
∵FC∥BE，
∴AF：AB=FC：BE，即AB：BE=AF：FC=1：1.2，
∴AF：9.6=1：1.2，
∴AF=8，
∴AB=AF+FB=8+2=10.
【知識點】相似三角形的應用
【解析】【分析】由不同物體影長成正比的性質，可得AB和BE的比值，再由FC平行BE，由平行線分線段成比例的性質列比例式即可求出AF的長，則AB的長可求.
2.邏輯推理-利用相似三角形的判定和性質進行推理
4．如圖，點E在菱形ABCD的邊BC的延長線上，AE交CD于點F，FG∥CE交DE于點G．求證：FG=FC．
【答案】證明：四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，DC∥AB，AD∥BC，
∵FC∥BC，
∵FG∥AD，
∴ ，
∴
∴FG=FC
【知識點】菱形的性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【分析】由菱形的性質可知對邊平行，四條邊相等，然后利用平行線分線段成比例，列出比例式，等量代換即可.
5．如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E.
(1)求證：△ADE∽△BCE；
(2)如果AD2＝AE·AC，求證：CD＝CB.
【答案】證明：(1)如圖∵∠A與∠B是弧CD所對的圓周角，
∴∠A＝∠B，又∵∠1＝∠2，
∴△ADE∽△BCE.
(2)如圖，∵AD2＝AE·AC，∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACD，
∴∠AED＝∠ADC，
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°，
即∠AED＝90°，
∴直徑AC⊥BD，∴CD＝CB.
【知識點】垂徑定理；圓周角定理；相似三角形的判定
【解析】【分析】考查圓周角定理。
6．已知AD⊥BC，BE=CE，∠ABC=2∠C，BF為∠B的平分線．求證：AB=2DE．
【答案】解：連接EF．
∵∠ABC=2∠C，BF為∠B的平分線，
∴∠FBC=∠C=∠ABC，
∴BF=CF；
又∵BE=CE，
∴EF⊥BC；
∵AD⊥BC，
∴EF∥AD，
∴AF：FC=DE：EC；
而AB：BC=AF：FC，
∴AB：BC=DE：EC，
∴，
即AB=2DE．
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；等腰三角形的判定與性質；兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例
【解析】【分析】連接EF．根據角平分線的性質知AF：FC=DE：EC，由平行線分線段成比例知AF：FC=DE：EC，由這兩個比例式和已知條件“BE=CE”知，即AB=2DE．
3.分類討論思想
7．如圖，BA⊥MN，垂足為A，BA=4，點P是射線AN上的一個動點（點P與點A不重合），且∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，過點C作CD⊥MN，垂足為D，設AP=x
（1）CD的長度是否隨著的x變化而變化？若變化，請用含的x代數式表示CD的長度；若不變化，請求出線段CD的長度；
（2）當x取何值時，△ABP和△CDP相似．
【答案】（1）解：CD的長度不變化．
理由如下：
如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．
∵∠BPC=∠BPA，BC⊥BP，
∴QB=BC（等腰三角形“三合一”的性質）．
∵BA⊥MN，CD⊥MN，
∴AB∥CD，
∴△QAB∽△QDC，
∴ = = ，
∴CD=2AB=2×4=8，
即CD=8
（2）解：當△BAP∽△CDP時，
∵∠BPC=∠BPA，∠CPD=∠BPA，
∴∠BPA=∠BPC=∠CPD=60°，
∴AP= = = ，
即x= ；
如圖2，當△BAP∽△PDC時，
∵∠CPB=∠BPA，∠PCD=∠BPA，
∴3∠BPA=90°，
∴∠BPA=30°，
∴AP= = =4 ，
即x=4 ；
即當x= 或4 時，△ABP和△CDP相似．
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）如圖1，延長CB和PA，記交點為點Q．根據等腰△QPC“三合一”的性質證得QB=BC；由相似三角形（△QAB∽△QDC）的對應邊成比例得到 = = ，則CD=2AB；（2）當△BAP∽△CDP時，易得∠BPA=60°，x=AP= = = ，當△BAP∽△PDC時，易得∠BPA=30°，AP= = =4 ，求出x的值即可．
8．在△ABC中，D，E分別是AC，AB邊上的點，AD=3，AE=2，AC=5，當AB=　 　時，△ADE與△ABC相似．
【答案】7.5或
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖，∵AD=3，AE=2，AC=5，
∴當△ADE∽△ACB時， = ，即 = ，解得AB= ；
當△ADE∽△ABC時， = ，即 = ，解得AB=7.5．
綜上所述，當AB為7.5或 時，△ADE與△ABC相似．
故答案為：7.5或 ．
【分析】根據題意畫出圖形，再分△ADE∽△ACB與△ADE∽△ABC兩種情況進行討論即可．
9．已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A≠∠B，點P是邊AC上一點（不與A、C重合），過P點的一條直線與△ABC的邊相交，所構成的三角形與原三角形相似，這樣的直線有（　　）條．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知識點】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：如圖，過點P作AB的平行線，或作BC的平行線，或作AB的垂線，或作∠CPD=∠B，共4條直線，
故選：D．
【分析】過點D作直線與另一邊平行或垂直，或∠CPD=∠B即可．
10．如圖，在四邊形，，，，，．動點從點出發，沿折線以每秒3個單位長度的速度向終點運動．當點不與點A、B、重合時，作點關于直線PD的對稱點，連接、，設點的運動時間為秒．
（1）線段CD的長為　 　；
（2）當為直角三角形時，求的值；
（3）作點關于直線PD的對稱點，連接．
①當時，求的值；
②連接，當直線經過點A時，直接寫出的值．
【答案】（1）5
（2）解：分兩種情況：①當點P在上時，∵點不與點A、B、重合，
∴只能是，如圖所示，
當時，由（1）知，，
∴，
解得：；
②當點P在上時，∵點不與點A、B、重合，
∴只能是，過點D作于E，如圖所示，
由翻折得：
由（1）知：，，，
∴
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴
解得：；
綜上，當為直角三角形時，的值為1或．
（3）解：①分兩種情況：
1)當點P在上時，延長到F，如圖所示，
由（1）知：，
∵點B與點關于對稱，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴，
解得：；
（3）
2）當點P在上時，延長、相交于E，延長到F，如圖所示，
∵
∴
∴
∴
解得：，，
∵點B與點關于對稱，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
解得：．
綜上，當時，的值為或．
故答案為：或；
②或
【知識點】等腰三角形的判定；矩形的判定與性質；翻折變換（折疊問題）；相似三角形的判定與性質
【解析】【解答】（1）解：過點D作于E，如圖所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∴，
根據勾股定理，可得．
故答案為：5；
（3）②分兩種情況：
1)當點P在上時，如圖所示：
由翻折可知，點C與點關于對稱，
∴，，
∵，
∴，
又∵點B與點關于對稱，經過點A，
∴此時，點A為重合，則，
∴，
由股定理，得，
∴，
解得：，
∴，
∴；
2)當點P在上時，過點D作于E，于F，如圖所示：
由翻折可得：，，
∴點C與點關于對稱，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵點B與點關于對稱，
∴，
∵點C與點關于對稱，
∴四邊形與關于對稱，
∴，
∴，
∴，
∵經過點A，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
綜上，當直線經過點A時，的值為或．
故答案為：或．
【分析】（1）過點D作于E，先證明四邊形是矩形，得，，從而得出，然后由勾股定理求解；
（2）分類討論：①當點P在上時，；②當點P在上時，，分別求解即可；
（3）①分類討論：1)當點P在上時，2)當點P在上時，分別求解即可；
②分類討論：1)當點P在上時，2)當點P在上時，分別求解即可．
4.方程的思想
11．
（1）如圖1，在矩形中，，，點E為邊上一點，沿直線將矩形折疊，使點C落在邊上的點處．求的長；
（2）如圖2，展開后，將沿線段向右平移，使點的對應點與點B重合，得到，與交于點F，求線段的長；
（3）在圖1中，將繞點旋轉至A，，E三點共線時，請直接寫出的長．
【答案】（1）解：為矩形，，，
，，
；
（2）解：為平移后的圖形，，，
，，
，
設長為，
，，
解得：，
，
，，
，
，
；
（3）解：將繞點旋轉至A，，E三點共線，
分以下兩種情況：
①當旋轉到左側時，如圖所示：
作，交的延長線于點，
由（2）可知，
由旋轉性質可知，，
，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，
②當旋轉到右側時，如圖所示：
作，交的延長線于點，
由（2）可知，
由旋轉性質可知，，
，
，
四邊形為矩形，
，，
，
．
【知識點】勾股定理；矩形的性質；矩形的判定；相似三角形的判定與性質；旋轉的性質
【解析】【分析】（1）根據矩形的性質、翻折的性質和勾股定理可以直接求解；
（2）根據勾股定理，可得EB的長；根據三角形相似的判定和性質，可列比例式，求出CF的長；根據線段的計算，可得EF的長；
（3）根據旋轉的角度不同，進行分類討論；根據旋轉的性質，矩形的判定和性質以及勾股定理可以直接求出DC的值.
12．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P(不與A、B重合)，連結DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．
⑴當x為何值時，△APD是等腰三角形
⑵若設BE=y，求y關于x的函數關系式；
⑶若BC的長可以變化，在現在的條件下，是否存在點P，使得PQ經過點C 若存在，求出相應的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C．
【答案】解：（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x﹣2，
情況①：當AP=AD時，即x=2．
情況②：當AD=PD時，則AH=PH．
∴2=x﹣2，解得x=4．
情況③：當AP=PD時，
則Rt△DPH中，x2=42+（x﹣2）2，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形．
（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴=，
∴=．
整理得：y=（x﹣2）（8﹣x）=﹣x2+x﹣4；
（3）存在．
設BC=a，則由（2）得△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
當y=a時，
（8﹣x）（x﹣2）=a2
x2﹣10x+（16+a2）=0，
∴△=100﹣4（16+a2），
∵△≥0，
∴100﹣64﹣4a2≥0，
4a2≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經過C．
【知識點】一元二次方程根的判別式及應用；立體圖形的初步認識；相似三角形的判定與性質
【解析】【分析】（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當AP=AD時，x=AP=AD，②當AD=PD時，有AH=PH，故x=AH+PH，③當AP=PD時，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
（2）易證：△DPH∽△PEB ，即，故可求得y與x的關系式．
（3）利用△DPH∽△PEB，得出，進而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．
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