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第6部分第7節(jié)《子數(shù)列問題》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【題型展示】
題型一　奇數(shù)項與偶數(shù)項
例1　在數(shù)列{an}中，an＝
(1)求a1，a2，a3；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
跟蹤訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝
(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)求{an}的前20項和．
題型二　兩數(shù)列的公共項
例2　數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an＝4n－1，bn＝3n＋2，它們的公共項由小到大排列組成數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)問題，所有被3除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{an}，所有被5除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{bn}，把{an}和{bn}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn}，則(　　)
A．a(chǎn)3＋b5＝c3 B．b28＝c10
C．a(chǎn)5b2>c8 D．c9－b9＝a26
(2)已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an＝4n－2(1≤n≤100，n∈N*)，bn＝6n－4(n∈N*)，由這兩個數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的各項之和為(　　)
A．6 788 B．6 800 C．6 812 D．6 824
題型三　分段數(shù)列
例3　(1)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝，則an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b1＝a1，b2＝－a3，b3＝a4，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn.
①求數(shù)列{bn}的通項公式；
②設(shè)cn＝求{cn}的前n項和Tn.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知數(shù)列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，即此數(shù)列第一項是20，接下來兩項是20,21，再接下來三項是20,21,22，依此類推，設(shè)Sn是此數(shù)列的前n項和，則S2 024等于(　　)
A．264＋190 B．263＋190
C．264＋62 D．263＋62
(2)已知數(shù)列{an}滿足an＝若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則當(dāng)λ＝1時，S11等于(　　)
A. B. C. D.
基礎(chǔ)夯實
1．韓信采用下述點兵方法：先令士兵從1～3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2；再令士兵從1～5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3；又令士兵從1～7報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報4；這樣，韓信很快就算出了自己部隊士兵的總?cè)藬?shù)．已知士兵人數(shù)不超過500人，那么部隊最多有多少士兵？
2．已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an＝3n＋6，bn＝2n＋7.將集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，….
(1)求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{an}中的項，又是數(shù)列{bn}中的項；
(2)數(shù)列c1，c2，c3，…，c40中有多少個不是數(shù)列{bn}中的項；
(3)求數(shù)列{cn}的前4n項和S4n.
3．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>1，滿足S3＝13，a＝3a6.
(1)求{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.
4．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)若cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n.
優(yōu)化提升
5．已知在各項均不相等的等差數(shù)列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}中，b1＝log2(a2＋1)，bn＋1＝4bn＋2n＋1，n∈N*.
(1)求{an}的通項公式及其前n項和Sn；
(2)求證：{bn＋2n}是等比數(shù)列，并求{bn}的通項公式；
(3)設(shè)cn＝求數(shù)列{cn}的前2n項的和T2n.
6．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝a(a∈R)，an＋1＝n∈N*.
(1)若0＜an≤6，求證：0＜an＋1≤6；
(2)若a＝5，求S2 024；
(3)若a＝(m∈N*)，求S4m＋2的值．
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【題型展示】
例1 解　(1)因為an＝
所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，
a3＝2×3－1＝5.
(2)因為an＝
所以a1，a3，a5，…是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，
a2，a4，a6，…是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列．
當(dāng)n為奇數(shù)時，數(shù)列的前n項中有個奇數(shù)項，有個偶數(shù)項．
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1)
＝×1＋×4＋＝＋；
當(dāng)n為偶數(shù)時，數(shù)列{an}的前n項中有個奇數(shù)項，有個偶數(shù)項．
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)
＝×1＋×4＋＝＋.
所以數(shù)列{an}的前n項和
Sn＝
跟蹤訓(xùn)練1 解　(1)因為bn＝a2n，且a1＝1，an＋1＝
所以b1＝a2＝a1＋1＝2，
b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.
因為bn＝a2n，
所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1
＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，
所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，
所以數(shù)列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.
(2)因為an＋1＝
所以當(dāng)k∈N*時，
a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，
即a2k＝a2k－1＋1，①
a2k＋1＝a2k＋2，②
a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，
即a2k＋2＝a2k＋1＋1，③
所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，
即a2k＋1－a2k－1＝3，
所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；
②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，
即a2k＋2－a2k＝3，
又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列．
所以數(shù)列{an}的前20項和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)＝10＋×3＋20＋×3＝300.
例2 解　方法一　設(shè)ak＝bm＝cp，
則4k－1＝3m＋2，
所以k＝，
因為3,4互質(zhì)，
所以m＋1必為4的倍數(shù)，
即m＝4p－1，
所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2
＝12p－1，
即數(shù)列{cn}的通項公式為
cn＝12n－1.
方法二　由觀察可知，兩個數(shù)列的第一個公共項為11，
所以c1＝11.
設(shè)ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，
所以ak＋1＝4(k＋1)－1＝4k＋3＝3m＋6＝3＋2不是數(shù)列{bn}中的項，
ak＋2＝4(k＋2)－1＝4k＋7＝3m＋10＝3＋2不是數(shù)列{bn}中的項，
ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是數(shù)列{bn}中的項．
所以cp＋1＝ak＋3，
則cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12，
所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，其公差為12，首項為11，
因此，數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝12n－1.
跟蹤訓(xùn)練2 (1)B
(2)B
例3 (1)
(2)解　①設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，
因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，
所以b＝b1b3，所以a＝a1a4，
所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，
所以a1d＋4d2＝0，
因為d≠0，所以a1＋4d＝0，
又a1＝，所以d＝－，
所以b1＝a1＝，數(shù)列{bn}的公比
q＝＝＝
＝－1－2×＝－，
所以bn＝b1qn－1＝×n－1.
②由①知bn＝×n－1，
an＝a1＋(n－1)d＝－(n－1)
＝－n＋，
所以cn＝
當(dāng)1≤n≤5時，
Tn＝
＝1－n，
當(dāng)n≥6時，Tn＝1－5＋
＝－n2＋n－，
所以Tn＝
跟蹤訓(xùn)練3 (1)A
(2)D
基礎(chǔ)夯實
1．解　根據(jù)士兵報數(shù)結(jié)果可得，士兵的總數(shù)是三個等差數(shù)列{3n＋2}，{5n＋3}，{7n＋4}的公共項所組成的數(shù)列中的項．
記an＝3n＋2，bn＝5n＋3，cn＝7n＋4，新數(shù)列記為{dn}．
從小到大列舉數(shù)列{cn}中的項，并判斷是否為數(shù)列{an}與{bn}中的項，
可得數(shù)列{dn}的首項為d1＝53，
設(shè)ak＝bm＝cp＝dn，則3k＋2＝5m＋3＝7p＋4，
所以cp＋1＝7(p＋1)＋4＝7p＋4＋7＝5＋3不是數(shù)列{bn}中的項；
cp＋2＝7(p＋2)＋4＝7p＋4＋14＝5＋3不是數(shù)列{bn}中的項；
cp＋3＝7(p＋3)＋4＝7p＋4＋21＝5＋3不是數(shù)列{bn}中的項；
cp＋4＝7(p＋4)＋4＝7p＋4＋28＝5＋3不是數(shù)列{bn}中的項；
cp＋5＝7(p＋5)＋4＝7p＋4＋35＝5(m＋7)＋3＝3＋2不是數(shù)列{an}中的項；
cp＋6＝7(p＋6)＋4＝7p＋4＋42＝5＋3不是數(shù)列{bn}中的項；
…；
cp＋15＝7(p＋15)＋4＝7p＋4＋105＝5(m＋21)＋3＝3(k＋35)＋2是數(shù)列{an}和{bn}中的項．
所以dn＋1＝cp＋15，
則dn＋1－dn＝105，
所以數(shù)列{dn}的通項公式為
dn＝105n－52.
當(dāng)n＝5時，dn＝473<500，
當(dāng)n＝6時，dn＝578>500，
所以最多有473個士兵．
2．解　將數(shù)列{an}和{bn}的公共項從小到大排列組成數(shù)列{dn}．
設(shè)ak＝bm，則3k＋6＝2m＋7，
即m＝，所以k為奇數(shù)，
設(shè)k＝2n－1，則m＝3n－2，dn＝ak＝3(2n－1)＋6＝6n＋3.
(1)三個最小的數(shù)依次為9,15,21.
(2)由數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，…的構(gòu)成可知，
dm＝6m＋3與dm＋1＝6m＋9均為數(shù)列{cn}中的項，
在dm和dm＋1中還有以下項：6m＋5,6m＋6,6m＋7，
又c1＝d1＝9，
因此數(shù)列{cn}中的項從第1項起，連續(xù)的4項中只有第3項是數(shù)列{an}中的偶數(shù)項，不是數(shù)列{bn}中的項，
所以數(shù)列c1，c2，c3，…，c40中有10個不是數(shù)列{bn}中的項．
(3)由(2)可知，數(shù)列{cn}的前4n項中，
由數(shù)列{bn}中的前3n項和數(shù)列{an}中的前n項偶數(shù)項構(gòu)成，
因此S4n＝＋＝12n2＋33n.
3．解　(1)方法一　因為{an}是公比q>1的等比數(shù)列，
所以由
得
即
兩式相除得＝，
整理得3q2－10q＋3＝0，
即(3q－1)(q－3)＝0，
解得q＝3或q＝，
又q>1，所以q＝3，故a1＝＝1，
所以an＝a1qn－1＝3n－1.
方法二　因為{an}是公比q>1的等比數(shù)列，
所以由
得
即
則
故
解得或(舍去)，
故q2＝＝9，則q＝3，
所以an＝a1qn－1＝3n－1.
(2)當(dāng)n為奇數(shù)時，bn＝an＝3n－1，
當(dāng)n為偶數(shù)時，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n，
所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n
＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝(30＋32＋…＋32n－2)＋(30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n)
＝2×(30＋32＋…＋32n－2)＋(2＋4＋…＋2n)
＝2×＋
＝＋n(n＋1)．
4．解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0)，
∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，
∴解得
∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.
(2)由(1)知，Sn＝＝n(n＋2)，
∴cn＝
∴T2n＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)
＝1－＋＝－.
優(yōu)化提升
5．解　(1)設(shè)各項均不相等的等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，∵a1＝1，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，
∴a＝a1·a5，即(1＋d)2＝1＋4d，解得d＝2，
∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
∴Sn＝＝n2.
(2)在數(shù)列{bn}中，b1＝log2(a2＋1)＝log24＝2，
∵bn＋1＝4bn＋2n＋1，n∈N*.
∴bn＋1＋2n＋1＝4(bn＋2n)，b1＋2＝4.
∴數(shù)列{bn＋2n}是等比數(shù)列，首項為4，公比為4，
∴bn＋2n＝4n，
∴bn＝4n－2n.
(3)①當(dāng)n＝2k，k∈N*時，cn＝c2k＝＝，
∴數(shù)列{c2k}的前k項的和Ak＝＋＋…＋，
∴Ak＝＋＋…＋＋，
∴Ak＝＋2－
＝＋2×－，
化簡為Ak＝－＝－.
②當(dāng)n＝2k－1，k∈N*時，
cn＝c2k－1＝
＝＝
＝＝，
∴數(shù)列{c2k－1}的前k項的和Bk＝
＝＝，
∴數(shù)列{cn}的前2n項的和T2n＝Ak＋Bk＝－＋.
6．(1)證明　當(dāng)an∈(0,3]時，
則an＋1＝2an∈(0,6]，
當(dāng)an∈(3,6]時，
則an＋1＝an－3∈(0,3]，
故an＋1∈(0,6]，
所以當(dāng)0＜an≤6時，
總有0＜an＋1≤6.
(2)解　當(dāng)a1＝a＝5時，a2＝a1－3＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3－3＝1，a5＝2a4＝2，a6＝2a5＝4，a7＝a6－3＝1，
所以數(shù)列{an}為5,2,4,1,2,4,1,2,4,1，…，
所以從第2項起，{an}中的項以3為周期，其和為2＋4＋1＝7，
所以S2 024＝5＋7×674＋2＝4 725.
(3)解　由m∈N*，可得2m－1≥1，
故a＝≤3，
當(dāng)1＜k≤m，k∈N*時，2k－1a≤＝<＝3.
故ak＝2k－1a且am＋1＝2ma.
又am＋1＝＞3，
所以am＋2＝am＋1－3＝2ma－3
＝2m·－3＝a.
故S4m＋2＝S4(m＋1)－a4m＋3－a4m＋4
＝4(a1＋a2＋…＋am＋1)－(2m－1＋2m)a
＝4(1＋2＋…＋2m)a－3×2m－1a
＝4(2m＋1－1)a－3×2m－1a
＝(2m＋3－4－3×2m－1)a
＝.第6部分第1節(jié)《數(shù)列的概念》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋n，則a2的值是(　　)
A．2 B．4 C．5 D．6
2．(多選)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，是{an}的項的是(　　)
A．21 B．33 C．152 D．153
3．在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝________.
【知識歸納】
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
概念 含義
數(shù)列 按照 排列的一列數(shù)
數(shù)列的項 數(shù)列中的__________
通項公式 如果數(shù)列{an}的第n項an與它的 之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式
遞推公式 如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式
數(shù)列{an}的前n項和 把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝____________
2.數(shù)列的分類
分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件
項數(shù) 有窮數(shù)列 項數(shù)______
無窮數(shù)列 項數(shù)______
項與項間的大小關(guān)系 遞增數(shù)列 an＋1 an 其中n∈N*
遞減數(shù)列 an＋1 an
常數(shù)列 an＋1＝an
擺動數(shù)列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列
3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是 ，對應(yīng)的函數(shù)值是 ，記為an＝f(n)．
常用結(jié)論
1．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn，則an＝
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則(n≥2，n∈N*)；若an最小，則(n≥2，n∈N*)．
【題型展示】
題型一　由an與Sn的關(guān)系求通項公式
例1　(1)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝2n＋2－3，則an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，則a10等于(　　)
A．128 B．256 C．512 D．1 024
跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝__________.
(2)已知正項數(shù)列{an}中，＋＋…＋＝，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n2
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
題型二　由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式
命題點1　累加法
例2　設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
命題點2　累乘法
例3　在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為________．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知數(shù)列a1，，…，，…是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則log2an＝________.
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln()，則an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
題型三　數(shù)列的性質(zhì)
命題點1　數(shù)列的單調(diào)性
例4　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且 n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
命題點2　數(shù)列的周期性
例5　若數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，則a2 024的值為(　　)
A．2 B．－3 C．－ D.
命題點3　數(shù)列的最值
例6　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝，其最大項和最小項的值分別為(　　)
A．1，－ B．0，－ C.，－ D．1，－
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知數(shù)列{an}的通項an＝，n∈N*，則數(shù)列{an}前20項中的最大項與最小項分別為________．
(2)觀察數(shù)列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，則該數(shù)列的第11項是(　　)
A．1 111 B．11 C．ln 11 D．sin 11
基礎(chǔ)夯實
1.數(shù)列{an}的前幾項為，3，，8，，…，則此數(shù)列的通項可能是(　　)
A.an＝ B.an＝
C.an＝ D.an＝
2.已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝，若a1＝，則a2 023＝(　　)
A.－1 B. C.1 D.2
3.記Sn為數(shù)列{an}的前n項的和，若Sn＝2an＋1，則S6＝(　　)
A.31 B.－31 C.63 D.－63
4．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－，記數(shù)列{an}的前n項之積為Pn，則P2 024等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．大衍數(shù)列，來源于我國的《乾坤譜》，是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理．其前11項依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，則大衍數(shù)列的第41項為(　　)
A．760 B．800 C．840 D．924
6.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*).若bn＝log2()，則數(shù)列{bn}的通項公式bn＝(　　)
A.n B.n－1 C.n D.2n
7．已知an＝，那么數(shù)列{an}是(　　)
A．遞減數(shù)列 B．遞增數(shù)列
C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列
8．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于(　　)
A．128 B．16 C．32 D．64
9．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，則an等于(　　)
A. B. C. D.
10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝6，Sn＝(n∈N*).則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A.an＝3n B.an＝3n
C.an＝n＋4 D.an＝n2＋2
11.(多選)下列四個命題中，正確的有(　　)
A.數(shù)列的第k項為1＋
B.已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2－n－50，n∈N*，則－8是該數(shù)列的第7項
C.數(shù)列3，5，9，17，33，…的一個通項公式為an＝2n－1
D.數(shù)列{an}的通項公式為an＝，n∈N*，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
12．(多選)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝(n＋2)·，則下列說法正確的是(　　)
A．?dāng)?shù)列{an}的最小項是a1
B．?dāng)?shù)列{an}的最大項是a4
C．?dāng)?shù)列{an}的最大項是a5
D．當(dāng)n≥5時，數(shù)列{an}遞減
13．Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且log2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式為________.
14．若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________，數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第________項．
15.已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，前n項和為Sn，且滿足2an＋1＋Sn＝2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
16.已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak對n∈N*恒成立，則正整數(shù)k的值為________.
17.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且 n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.請寫出一個滿足條件的數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，求數(shù)列{an}的通項公式.
(1)Sn＝2n－1，n∈N*；
(2)Sn＝2n2＋n＋3，n∈N*.
19.已知數(shù)列{an}中，a1＝1，其前n項和為Sn，且滿足2Sn＝(n＋1)an(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝3n－λa，若數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍.
20．在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1這兩個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并解答．
若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{an}滿足________．
(1)求a2，a3；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
21．已知數(shù)列{cn}滿足c1＝，＝，n∈N*，Sn為該數(shù)列的前n項和．
(1)求證：數(shù)列為遞增數(shù)列；
(2)求證：Sn<1.
優(yōu)化提升
22．在數(shù)列{an}中，a1＝1，a＝(n，an)，b＝(an＋1，n＋1)，且a⊥b，則a100等于(　　)
A. B．－ C．100 D．－100
23．嫦娥二號衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進行深空探測，成為我國第一顆環(huán)繞太陽飛行的人造行星．為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此類推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．則(　　)
A．b1C．b624.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2n，a1＝13，則取最小值時，n＝(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
25．已知數(shù)列{an}滿足a2＝2，a2n＝a2n－1＋2n(n∈N*)，a2n＋1＝a2n＋(－1)n(n∈N*)，則數(shù)列{an}第2 024項為(　　)
A．21 012－2 B．21 013－3
C．21 011－2 D．21 011－3
26.(多選)若數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列{an}(a∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有(　　)
A.an＝3n B.an＝n2＋1
C.an＝ D.an＝ln
27．已知數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，且Sn＝an，則的最大值為________．
28．已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在數(shù)列{an}中，an＝[lg n]，記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，則a2 024＝________；S2 024＝________.
29．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，n2an－Sn＝n2an－1－Sn－1(n≥2，n∈N*)，記bn＝，Tn為數(shù)列{bn}的前n項和，則T2 025＝________.
30.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值；
(2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．B　2.ABD　3.34
【知識歸納】
1．確定的順序　每一個數(shù)　序號n
a1＋a2＋…＋an
2．有限　無限　>　<
3．序號n　數(shù)列的第n項an
【題型展示】
例1 (1)　(2)B
跟蹤訓(xùn)練1 (1)－
(2)B
例2 A
例3 an＝
跟蹤訓(xùn)練2 (1)　(2)A
例4 n－6，n∈N*(答案不唯一)
例5 D
例6 A
跟蹤訓(xùn)練3 (1)3，－1　(2)C
基礎(chǔ)夯實
1.A
2.B
3.D
4.C　
5.C
6.C
7．B　
8.D　
9.D　
10.A
11.ABD
12．BCD
13．a(chǎn)n＝　
14.2n－11　3
15.
16.5
17.n－6(n∈N*)(答案不唯一)
18.解　(1)∵Sn＝2n－1(n∈N*)，
∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－1＝1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.
經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時，符合上式，
∴an＝2n－1(n∈N*).
(2)∵Sn＝2n2＋n＋3(n∈N*)，
∴當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2×12＋1＋3＝6；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n＋3－[2(n－1)2＋(n－1)＋3]＝4n－1.
經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時，不符合上式，
∴an＝
19.解　(1)∵2Sn＝(n＋1)an，
∴2Sn＋1＝(n＋2)an＋1，
∴2an＋1＝(n＋2)an＋1－(n＋1)an，
即nan＋1＝(n＋1)an，∴＝，
∴＝＝…＝＝1，
∴an＝n(n∈N*).
(2)bn＝3n－λn2.
bn＋1－bn＝3n＋1－λ(n＋1)2－(3n－λn2)＝2·3n－λ(2n＋1).
∵數(shù)列{bn}為遞增數(shù)列，
∴2·3n－λ(2n＋1)＞0，即λ＜.
令cn＝，即＝·＝＞1.
∴{cn}為遞增數(shù)列，∴λ＜c1＝2，
即λ的取值范圍為(－∞，2).
20．解　(1)選擇①：a2－2a1＝1×2，
則a2＝4.
2a3－3a2＝2×3，則a3＝9.
選擇②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.
a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1
＝10.
(2)選擇①：由nan＋1－(n＋1)an
＝n(n＋1)，
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a1＋a1＝n－1＋1＝n，
所以an＝n2.
選擇②：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝1，不符合上式，
故{an}的通項公式為
an＝
21．證明　(1)因為c1＝，
＝，
所以cn≠1，cn≠0，
兩邊分別取倒數(shù)可得
1－＝－，
整理可得－＝2>0，
所以數(shù)列為遞增數(shù)列．
(2)由＝可得
＝，
即＝cn＋，
所以cn＝－，
所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＋2，
又≥＝2，所以cn＋1∈，
所以<－1，即Sn<1.
優(yōu)化提升
22．D
23．D
24.B
25．B
26.CD
27．3
28．3　4 965
29.
30.解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*).
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*).
∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性，
可知5<<6，即－10故a的取值范圍是(－10，－8).第6部分第2節(jié)《等差數(shù)列》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a9＋a10＋a11＋a12等于(　　)
A．12 B．8 C．20 D．16
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若a1＝10，S4＝28，則Sn的最大值為________．
【知識歸納】
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)等差數(shù)列的定義
一般地，如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的差都等于 ，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 表示，定義表達式為 ．
(2)等差中項
由三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a與b的等差中項，且有2A＝ .
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項公式：an＝ .
(2)前n項和公式：Sn＝ 或Sn＝ .
3．等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1)通項公式的推廣：an＝am＋ (n，m∈N*)．
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則 .
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為 的等差數(shù)列．
(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，為等差數(shù)列．
常用結(jié)論：
1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2．在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值．
3．等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時，{an}是常數(shù)列．
4．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．這里公差d＝2A.
【題型展示】
題型一　等差數(shù)列基本量的運算
例1　(1)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699塊 B．3 474塊
C．3 402塊 D．3 339塊
(2)已知公差為1的等差數(shù)列{an}中，a＝a3a6，若該數(shù)列的前n項和Sn＝0，則n等于(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
跟蹤訓(xùn)練1　(1)數(shù)列是等差數(shù)列，且a1＝1，a3＝－，那么a2 024＝________.
(2)《周髀算經(jīng)》有這樣一個問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個節(jié)氣日影長減等寸，冬至、立春、春分日影長之和為三丈一尺五寸，前九個節(jié)氣日影長之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長為(一丈＝十尺＝一百寸)(　　)
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
題型二　等差數(shù)列的判定與證明
例2 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.
跟蹤訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}的各項都是正數(shù)，n∈N*.
(1)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項，設(shè)cn＝b－b，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，求數(shù)列{an}的通項公式．
題型三　等差數(shù)列的性質(zhì)
命題點1　等差數(shù)列項的性質(zhì)
例3　(1)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，則a2 024－b2 024的值為________．
(2)已知在等差數(shù)列{an}中，若a8＝8且log2()＝22，則S13等于(　　)
A．40 B．65 C．80 D．40＋log25
跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知等差數(shù)列{an}滿足＝－2，則下列結(jié)論一定成立的是(　　)
A.＝－1 B.＝－1
C.＝－1 D.＝－1
(2)若等差數(shù)列{an}的前15項和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
命題點2　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
例4(1)已知等差數(shù)列{an}共有(2n＋1)項，其中奇數(shù)項之和為290，偶數(shù)項之和為261，則an＋1的值為(　　)
A．30 B．29 C．28 D．27
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，都有＝，則＋的值為(　　)
A. B. C. D.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＝－2 020，－＝6，則S2 023等于(　　)
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，則m等于(　　)
A．6 B．10 C．20 D．40
基礎(chǔ)夯實
1．首項為－21的等差數(shù)列從第8項起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是(　　)
A．(3，＋∞) B.()
C.[) D.(]
2．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S50－S47＝12，則S97等于(　　)
A．198 B．388 C．776 D．2 023
3.已知數(shù)列{an}滿足5an＋1＝25·5an，且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)＝(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
4.在數(shù)列{an}中，a1＝3，am＋n＝am＋an(m，n∈N*)，若a1＋a2＋a3＋…＋ak＝135，則k＝(　　)
A.10 B.9 C.8 D.7
5．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3a5＝7a11，且a1>0.則使Sn<0的n的最小值為(　　)
A．30 B．31 C．32 D．33
6.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＝a6，a9＝a，則a10＝(　　)
A. B.5 C.10 D.40
7．已知等差數(shù)列{an}的項數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項之和為319，所有偶數(shù)項之和為290，則該數(shù)列的中間項為(　　)
A．28 B．29 C．30 D．31
8．天干地支紀(jì)年法，源于中國．中國自古便有十天干與十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支紀(jì)年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如說第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，依此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，……，依此類推.1911年中國爆發(fā)推翻清朝專制帝制、建立共和政體的全國性革命，這一年是辛亥年，史稱“辛亥革命”.1949年新中國成立，請推算新中國成立的年份為(　　)
A．己丑年 B．己酉年
C．丙寅年 D．甲寅年
9.(多選)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”，則下列數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”的是(　　)
A.bn＝n B.bn＝(－1)n(n＋1)
C.bn＝4n－2 D.bn＝2n
10．(多選)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不一定成立的是(　　)
A．a(chǎn)，b，c依次成等差數(shù)列
B.，，依次成等差數(shù)列
C．a(chǎn)2，b2，c2依次成等差數(shù)列
D．a(chǎn)3，b3，c3依次成等差數(shù)列
11.(多選)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.已知S4＝0，a5＝5，則下列選項正確的是(　　)
A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5
C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
12.(多選)在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學(xué)文化是其中一朵絢麗的奇葩.《張丘建算經(jīng)》是我國古代有標(biāo)志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學(xué)名著之一，大約創(chuàng)作于公元5世紀(jì).書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”.其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”.已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若這一個月有30天，記該女子這一個月中第n天所織布的尺數(shù)為an，bn＝2an，對于數(shù)列{an}、{bn}，下列選項中正確的為(　　)
A.b10＝8b5 B.{bn}是等比數(shù)列
C.a1b30＝105 D.＝
12．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝________.
14．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝________.
15.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S6＝1，S12＝4，則S18＝________.
16.等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，若＝，則等于________.
17.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a6＋a7＝1，則S12＝________，若a7＜0，則使得不等式Sn＜0成立的最小整數(shù)n＝________.
18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1＝，a2＝2，2(Sn＋2＋Sn)＝4Sn＋1＋1，則數(shù)列{an}的前16項和S16＝________.
19.已知等差數(shù)列的前三項依次為a，4，3a，前n項和為Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式bn＝，證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求其前n項和Tn.
20.已知公差大于零的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足a2a4＝65，a1＋a5＝18.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)是否存在常數(shù)k，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)k；若不存在，請說明理由.
21．已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，且a5＝1，________.若存在正整數(shù)n，使得Sn有最小值．
(1)求{an}的通項公式；
(2)求Sn的最小值．
從①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2這三個條件中選擇符合題意的一個條件，補充在上面的問題中并作答．
22．在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
優(yōu)化提升
23．將正奇數(shù)排成一個三角形陣，按照如圖排列的規(guī)律，則第15行第3個數(shù)為(　　)
A．213 B．215 C．217 D．219
24．對于數(shù)列{an}，定義Hn＝為{an}的“優(yōu)值”，已知數(shù)列{an}的“優(yōu)值”Hn＝2n＋1，記數(shù)列{an－20}的前n項和為Sn，則Sn的最小值為(　　)
A．－70 B．－72 C．－64 D．－68
25．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且＝，則等于(　　)
A. B. C. D.
26．(多選)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項正確的有(　　)
A．a(chǎn)10＝0 B．S10最小
C．S7＝S12 D．S20＝0
27．將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．
28．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<0的正整數(shù)n的值為______．
29.已知在數(shù)列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，則an＝________；eq \f(a＋143,n)的最小值為________.
30.等差數(shù)列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，a3a5＝7.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記Tn為數(shù)列{bn}前n項的和，其中bn＝|an|，n∈N*，若Tn≥1 464，求n的最小值.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．C　2.D　3.30
【知識歸納】
1．(1)2　同一個常數(shù)　d　an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)　(2)a＋b
2．(1)a1＋(n－1)d
(2)na1＋d　
3．(1)(n－m)d　(2)ak＋al＝am＋an
(3)md
【題型展示】
例1 (1)C
(2)D
跟蹤訓(xùn)練1 (1)－　(2)B
例2 解　①③ ②.
已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，
所以Sn＝na1＋d＝n2a1.
因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，
所以＝n，
所以－＝(n＋1)－n＝(常數(shù))，
所以數(shù)列{}是等差數(shù)列．
①② ③.
已知{an}是等差數(shù)列，{}是等差數(shù)列．
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則Sn＝na1＋d
＝n2d＋n.
因為數(shù)列{}是等差數(shù)列，所以數(shù)列{}的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)，則a1－＝0，即d＝2a1，
所以a2＝a1＋d＝3a1.
②③ ①.
已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，
a2＝3a1，
所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.
設(shè)數(shù)列{}的公差為d，d>0，
則－＝－＝d，得a1＝d2，
所以＝＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2，
所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)證明　由題意得b＝anan＋1，
則cn＝b－b＝an＋1an＋2－anan＋1＝2dan＋1，
因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)
＝2d2(常數(shù))，
∴{cn}是等差數(shù)列．
(2)解　當(dāng)n＝1時，a＝a，
∵a1>0，∴a1＝1.
a＋a＋a＋…＋a＝S，①
當(dāng)n≥2時，a＋a＋a＋…＋a
＝S，②
①－②得，a＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)．
∵an>0，
∴a＝Sn＋Sn－1＝2Sn－an，③
∵a1＝1也符合上式，∴當(dāng)n≥2時，a＝2Sn－1－an－1，④
③－④得a－a＝2(Sn－Sn－1)－an＋an－1＝2an－an＋an－1
＝an＋an－1，
∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，
∴數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，可得an＝n.
例3 (1)4 051
(2)B
跟蹤訓(xùn)練3 (1)C　(2)A
例4 (1)B
(2)C
跟蹤訓(xùn)練4 (1)C　(2)C
基礎(chǔ)夯實
1．D　
2.B　
3.A
4.B
5.B
6.A
7.B　
8.A　
9.BC
10．ABD
11.ABC
12.BD
13．2　
14.200
15.9
16.
17.6　13
18.84
19.(1)解　設(shè)該等差數(shù)列為{an}，則a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋·d
＝2k＋×2＝k2＋k，
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)證明　由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，
則bn＝＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
即數(shù)列{bn}是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，
所以Tn＝＝.
20.解　(1)設(shè)公差為d.∵{an}為等差數(shù)列，
∴a1＋a5＝a2＋a4＝18，又a2a4＝65，
∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的兩個根，
又公差d＞0，∴a2＜a4，∴a2＝5，a4＝13.
∴∴∴an＝4n－3.
(2)由(1)知，Sn＝n＋×4＝2n2－n，
假設(shè)存在常數(shù)k，使數(shù)列{}為等差數(shù)列.
由＋＝2，
得＋＝2，解得k＝1.
∴＝＝n，
當(dāng)n≥2時，n－(n－1)＝，為常數(shù)，
∴數(shù)列{}為等差數(shù)列.
故存在常數(shù)k＝1，使得數(shù)列{}為等差數(shù)列.
21．解　選擇①作為補充條件：
(1)因為a5＝1，a3＝－1，所以d＝1，
所以an＝1＋(n－5)×1
＝n－4(n∈N*)．
(2)由(1)可知a1＝－3，
所以Sn＝＝n(n－7)．
因為n∈N*，所以當(dāng)n＝3或4時，Sn取得最小值，且最小值為－6.故存在正整數(shù)n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值為－6.
選擇②作為補充條件：
(1)因為a5＝1，d＝2，
所以an＝1＋(n－5)×2
＝2n－9(n∈N*)．
(2)由(1)可知a1＝－7，
所以Sn＝＝n2－8n.
所以當(dāng)n＝4時，Sn取得最小值，且最小值為－16.
故存在正整數(shù)n＝4，使得Sn有最小值，最小值為－16.
不可以選擇③作為補充條件．
22．解　(1)∵an＋2－2an＋1＋an＝0，
∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，
設(shè)其公差為d，
∵a1＝8，a4＝2，
∴d＝＝－2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，
則由(1)可得，
Sn＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
由(1)知an＝10－2n，
令an＝0，得n＝5，
∴當(dāng)n>5時，an<0，
則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)
＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)
＝n2－9n＋40；
當(dāng)n≤5時，an≥0，
則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
∴Tn＝
優(yōu)化提升
23．B
24．B
25．D
26．AC
27．3n2－2n
28．12
29.2n－1　44
30.解　(1)∵等差數(shù)列{an}中，公差d＜0，a2＋a6＝－8，
∴a2＋a6＝a3＋a5＝－8，又∵a3a5＝7，
∴a3，a5是一元二次方程x2＋8x＋7＝0的兩個根，且a3＞a5，
解方程x2＋8x＋7＝0，得a3＝－1，a5＝－7，
∴解得a1＝5，d＝－3.
∴an＝5＋(n－1)×(－3)＝－3n＋8.
(2)由(1)知{an}的前n項和Sn＝5n＋×(－3)＝－n2＋n.
∵bn＝|an|，∴b1＝5，b2＝2，b3＝|－1|＝1，b4＝|－4|＝4，
當(dāng)n≥3時，bn＝|an|＝3n－8.
當(dāng)n＜3時，T1＝5，T2＝7；
當(dāng)n≥3時，Tn＝－Sn＋2S2＝－＋14.
∵Tn≥1 464，∴Tn＝－＋14≥1 464，
即(3n－100)(n＋29)≥0，解得n≥，
∴n的最小值為34.第6部分第3節(jié)《等比數(shù)列》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn.若S2＝3，S4＝15，則S6等于(　　)
A．31 B．32 C．63 D．64
3．已知三個數(shù)成等比數(shù)列，若它們的和等于13，積等于27，則這三個數(shù)為________________．
【知識歸納】
1．等比數(shù)列有關(guān)的概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第 項起，每一項與它的前一項的比都等于 常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的 ，公比通常用字母q(q≠0)表示.
(2)等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使 成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，此時，G2＝ .
2．等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式
(1)若等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比是q，則其通項公式為an＝ .
(2)等比數(shù)列通項公式的推廣：an＝amqn－m.
(3)等比數(shù)列的前n項和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝ ＝ .
3．等比數(shù)列性質(zhì)
(1)若m＋n＝p＋q，則 ，其中m，n，p，q∈N*.特別地，若2w＝m＋n，則 ，其中m，n，w∈N*.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為 (k，m∈N*)．
(3)若數(shù)列{an}，{bn}是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列，則數(shù)列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比數(shù)列(b，p，q≠0)．
(4)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn， ， 仍成等比數(shù)列，其公比為qn.(n為偶數(shù)且q＝－1除外)
(5)若或則等比數(shù)列{an}遞 ．
若或則等比數(shù)列{an}遞 ．
常用結(jié)論：
1．等比數(shù)列{an}的通項公式可以寫成an＝cqn，這里c≠0，q≠0.
2．等比數(shù)列{an}的前n項和Sn可以寫成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
3．?dāng)?shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和．
(1)若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，，，…成等比數(shù)列．
(2)若數(shù)列{an}的項數(shù)為2n，則＝q；若項數(shù)為2n＋1，則＝q，或＝q.
【題型展示】
題型一　等比數(shù)列基本量的運算
例1　(1)朱載堉(1536～1611)是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中闡述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音的頻率是最初那個音的2倍．設(shè)第二個音的頻率為f1，第八個音的頻率為f2.則等于(　　)
A. B. C. D．4
(2)已知等比數(shù)列{an}的前3項和為168，a2－a5＝42，則a6等于(　　)
A．14 B．12 C．6 D．3
跟蹤訓(xùn)練1　(1)在1和2之間插入11個數(shù)使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為M，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯誤的是(　　)
A．插入的第8個數(shù)為
B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的倍
C．M>3
D．N<7
(2)設(shè)正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S2＝3，S4＝15，則公比q等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
例2　已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．
①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.
跟蹤訓(xùn)練2　在數(shù)列{an}中，a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，且a1＝2，a2＝5.
(1)證明：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.
題型三　等比數(shù)列的性質(zhì)
例3　(1)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn且S8－2S4＝6，則a9＋a10＋a11＋a12的最小值為______．
(2)在等比數(shù)列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，則的值為(　　)
A. B．3 C．± D．±3
跟蹤訓(xùn)練3　(1)在等比數(shù)列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，則a7＋a8等于(　　)
A．40 B．36 C．54 D．81
(2)等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)個項，所有奇數(shù)項和S奇＝255，所有偶數(shù)項和S偶＝－126，末項是192，則首項a1等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(3)在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，則＋＋…＋的值為(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
基礎(chǔ)夯實
1．已知等比數(shù)列{an}滿足a5－a3＝8，a6－a4＝24，則a3等于(　　)
A．1 B．－1 C．3 D．－3
2.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a2＝－8，a7＝，則S6＝(　　)
A.－ B. C. D.
3.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量剛好構(gòu)成一個公比為q(q≠1)的等比數(shù)列，現(xiàn)從全體產(chǎn)品中按分層隨機抽樣的方法抽取一個樣本容量為260的樣本進行調(diào)查，其中C產(chǎn)品的數(shù)量為20，則抽取的A產(chǎn)品的數(shù)量為(　　)
A.100 B.140 C.180 D.120
4.等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn.設(shè)甲：q＞0，乙：{Sn}是遞增數(shù)列，則(　　)
A.甲是乙的充分條件但不是必要條件
B.甲是乙的必要條件但不是充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
5．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若a2＝1，a5＝，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值為(　　)
A. B．1 C．2 D．3
6.已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，則a7的值為(　　)
A.2 B.4 C. D.6
7．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若等比數(shù)列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的兩個根，則log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于(　　)
A. B．1 011 C. D．1 012
9．河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1 016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列{an}，則log2(a3·a5)的值為(　　)
A．16 B．12 C．10 D．8
10.(多選)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，且a5＝1，則下列選項正確的是(　　)
A.a3＋a7≥2 B.a4＋a6≥2
C.a7－2a6＋1≥0 D.a3－2a4－1≥0
11．(多選)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項和為Sn，且{Sn}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．{an＋Sn}是等差數(shù)列
B．{an·Sn}是等比數(shù)列
C．{a}是等差數(shù)列
D．是等比數(shù)列
12．已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，且an>0，S1＋a1＝2，S3＋a3＝22，則公比q＝________，S5＋a5＝________.
13．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，若數(shù)列{3n－an}也是等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的通項公式可以為 __________.(寫出一個即可)
14.朱載堉(1536－1611)是中國明代一位杰出的律學(xué)家、數(shù)學(xué)家和歷學(xué)家，他的著作《律學(xué)新說》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍.設(shè)第三個音的頻率為f1，第七個音的頻率為f2，則＝________.
15.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝7，S6＝63，則a1＝________.
16.等比數(shù)列{an}的首項a1＝－1，前n項和為Sn，若＝，則{an}的通項公式an＝________.
17.設(shè)數(shù)列{xn}滿足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，若x1＋x2＋…＋x100＝100，則x101＋x102＋…＋x200＝________.
18.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足2Sn＝－an＋n(n∈N*).
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an－1}的前n項和Tn.
19.已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
20．等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記Sn為{an}的前n項和，若Sm＝63，求m.
21．Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
優(yōu)化提升
22．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝8，a4＝－1，則數(shù)列{Sn}(　　)
A．有最大項，有最小項
B．有最大項，無最小項
C．無最大項，有最小項
D．無最大項，無最小項
23．(多選)在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列關(guān)于“等差比數(shù)列”的判斷正確的是(　　)
A．k不可能為0
B．等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”
C．等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”
D．“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0
24.(多選)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N＋，則下列說法正確的是(　　)
A.a4＝4 B.{a2n}是等比數(shù)列
C.a2n－a2n－1＝2n－1 D.a2n－1＋a2n＝2n＋1
25.(多選)已知數(shù)列{an}和各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}滿足： (ai＋i)＝2bn－2，b1＝2，b2＋b3是b3與b4的等差中項，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.數(shù)列{an－bn}是等差數(shù)列
B.Sn＝2n＋1－2－
C.數(shù)列{an}是遞增數(shù)列
D. ＜2
26．設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝________.
27．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝1－an，記Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，則an＝________，Tn＝________.
28．將正整數(shù)按照如圖所示方式排列：
試問2 024是表中第________行的第________個數(shù)．
29．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an>0,4S1＋S2＝S3.
(1)求數(shù)列{an}的公比q；
(2)對于 n∈N*，不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，求實數(shù)t的最大值．
30.已知公比不為1的等比數(shù)列{an}滿足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求{an}的通項公式；
(2)記Sn為{an}的前n項和，求使Sk＞成立的最大正整數(shù)k的值.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．B　2.C　3.1,3,9或9,3,1
【知識歸納】
1．(1)2　同一個　公比
(2)a，G，b　ab
2．(1)a1qn－1　(3)　
3．(1)aman＝apaq　aman＝a　(2)qm
(4)S2n－Sn　S3n－S2n　(5)增　減
【題型展示】
例1 (1) A
(2)D
跟蹤訓(xùn)練1 (1)D
(2)A
例2解　選①②作為條件證明③：
設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
因為{an}是等比數(shù)列，所以＝，解得q＝2，所以a2＝2a1.
選①③作為條件證明②：
因為a2＝2a1，{an}是等比數(shù)列，所以公比q＝2，
所以Sn＝＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，
因為＝2，所以{Sn＋a1}是等比數(shù)列．
選②③作為條件證明①：
設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，
因為a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，
所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，
又因為＝2(n≥2)，且a2＝2a1，
所以{an}為等比數(shù)列．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)證明　因為a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2，
所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)，
即＝.
因為a1＝2，a2＝5，
所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，
所以＝2，
所以數(shù)列{an＋1}是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列．
(2)解　由(1)知，an＋1＝3·2n－1，
所以an＝3·2n－1－1，
所以Sn＝－n
＝3·2n－n－3.
例3 (1)24
(2)B
跟蹤訓(xùn)練3 (1)C
(2)C
(3)A
基礎(chǔ)夯實
1．A　
2.C
3.C
4.B
5．C
6.B
7.C　
8.C　
9.B　
10.AC
11.ACD
12．3　202　
13.an＝3n－1(答案不唯一)
14.2
15.1
16.－
17.100a100
18.(1)證明　2Sn＝－an＋n，
當(dāng)n≥2時2Sn－1＝－an－1＋n－1，
兩式相減，得2an＝－an＋an－1＋1，
即an＝an－1＋.
∴an－＝，
∴數(shù)列為等比數(shù)列.
(2)解　由2S1＝－a1＋1，得a1＝，
由(1)知，數(shù)列是以－為首項，為公比的等比數(shù)列.
∴an－＝－＝－，
∴an＝－＋，
∴an－1＝－－，
∴Tn＝－
＝－.
19.解　(1)設(shè){an}的公比為q(q>1)，且a2＋a4＝20，a3＝8.
∴
消去a1，得q＋＝，則q＝2，或q＝(舍).
因此q＝2，a1＝2，
所以{an}的通項公式an＝2n.
(2)易知(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1·22n＋1，
則數(shù)列{(－1)n－122n＋1}公比為－4.
故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1·anan＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝[1－(－4)n]
＝－(－1)n·.
20．解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1(n∈N*)．
(2)若an＝(－2)n－1，
則Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，
此方程沒有正整數(shù)解．
若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.
由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
綜上，m＝6.
21．解　(1)由題意可得
解得a1＝1，q＝3，
所以an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列{Sn＋λ}是等比數(shù)列．
因為S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，
此時Sn＋＝×3n，
則＝3.
故存在常數(shù)λ＝，使得數(shù)列是等比數(shù)列．
優(yōu)化提升
22．A
23．AD
24.ABC
25.ABC
26．－9
27.　
28．11　1 001
29．解　(1)由4S1＋S2＝S3，
得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3，
整理得4a1＝a3，
所以4a1＝a1q2.
因為a1≠0，所以q2＝4，
由題意得q>0，所以q＝2.
(2)由(1)得Sn＝
＝a1(2n－1)，
an＝a1·2n－1，
所以＝.
所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等價于＋n2＋≥6n＋t恒成立，
所以t≤＋n2－6n＋.
令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.
當(dāng)n＝1時，f(1)＝4－＝；
當(dāng)n＝2時，f(2)＝1－＝；
當(dāng)n≥3時，f(n)單調(diào)遞增，
所以f(n)≥f(3)＝－.
所以t≤－，
故實數(shù)t的最大值為－.
30.解　(1)設(shè)公比為q.由題意得a1＋a2＝2a3，
∴a1(1＋q－2q2)＝0，
又∵a1≠0，∴q＝－或1(舍)，
∵a1＋a3＝5，∴a1(1＋q2)＝5，∴a1＝4，
∴an＝4·.
(2)Sn＝＝.
∵Sk＞，∴＞，
∴＜－，
顯然，k為奇數(shù)，即＞＞＝.
解得k≤3，所以滿足條件的最大正整數(shù)k的值為3.第6部分第4節(jié)《數(shù)列中的構(gòu)造問題》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【題型展示】
題型一　形如an＋1＝pan＋f(n)型
命題點1　an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)
例1　(1)已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且＝＋2，則數(shù)列{an}的通項公式為__________．
(2)數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋3(n≥2)且a1＝0，則a2 024等于(　　)
A．22 023－1 B．42 023－1
C．22 023＋1 D．42 023＋1
命題點2　an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)
例2　已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an－n＋1(n∈N*)，a1＝3，求數(shù)列{an}的通項公式．
命題點3　an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)
例3　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝6an＋3n，則an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*.則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A．a(chǎn)n＝(2n＋1)·3n B．a(chǎn)n＝(n－1)·2n
C．a(chǎn)n＝(2n－1)·3n D．a(chǎn)n＝(n＋1)·2n
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(2＋an)·(1－an＋1)＝2，設(shè)的前n項和為Sn，則a2 023(S2 023＋2 023)的值為(　　)
A．22 023－2 B．22 023－1
C．2 D．1
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.則數(shù)列{an}的通項公式an等于(　　)
A．n·2n－1 B．n·2n
C．(n－1)·2n D．(n＋1)·2n
(3)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝2an＋n，a1＝2，則an＝________.
題型二　相鄰項的差為特殊數(shù)列(形如an＋1＝pan＋qan－1)
例4　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)．則數(shù)列{an}的通項公式為an＝________.
(2)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，則a9＋a10等于(　　)
A．47 B．48
C．49 D．410
跟蹤訓(xùn)練2　若x＝1是函數(shù)f(x)＝an＋1x4－anx3－an＋2x＋1(n∈N*)的極值點，數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
題型三　倒數(shù)為特殊數(shù)列
例5　(1)(多選)數(shù)列{an}滿足an＋1＝(n∈N*)，a1＝1，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.＝＋ B.是等比數(shù)列
C．(2n－1)an＝1 D．3a5a17＝a49
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則滿足an>的n的最大取值為(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
跟蹤訓(xùn)練3　已知函數(shù)f(x)＝，數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式為____________．
優(yōu)化提升
1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋1，則a4的值為(　　)
A．15 B．23 C．32 D．42
2．在數(shù)列{an}中，a1＝5，且滿足－2＝，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A．2n－3 B．2n－7
C．(2n－3)(2n－7) D．2n－5
3．已知數(shù)列{an}滿足a2＝，an－an＋1＝3anan＋1，則數(shù)列的通項公式an等于(　　)
A. B.
C．3n－2 D．3n＋2
4．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，且an＋1－2an＝n－1，其中n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式為(　　)
A．a(chǎn)n＝2n－n B．a(chǎn)n＝2n＋n
C．a(chǎn)n＝3n－1 D．a(chǎn)n＝3n＋1
5．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＝－an－1＋2n(n≥2)，則數(shù)列的通項公式an等于(　　)
A.·2n＋ B.·2n＋·(－1)n
C.＋ D.＋·(－1)n
6．在數(shù)列{an}中，若a1＝3，an＋1＝a，則an等于(　　)
A．2n－1 B.3n－1
C． D．
7．將一些數(shù)排成如圖所示的倒三角形，其中第一行各數(shù)依次為1,2,3，…，2 023，從第二行起，每一個數(shù)都等于它“肩上”的兩個數(shù)之和，最后一行只有一個數(shù)M，則M等于(　　)
A．2 023×22 020 B．2 024×22 021
C．2 023×22 021 D．2 024×22 022
8．(多選)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.為等差數(shù)列
B．{an}的通項公式為an＝
C．{an}為遞減數(shù)列
D.的前n項和Tn＝2n＋2－3n－4
9．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且滿足an＋1＝3an＋2n，則an＝________.
10．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，a6＝124，則a2＝________.
11．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，an＋1＝，若cn＝，則cn＝____________.
12．英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列{xn}滿足xn＋1＝xn－，則稱數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)f(x)＝2x2－8，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，設(shè)an＝ln ，且a1＝1，xn>2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn＝________.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【題型展示】
例1 (1)an＝
(2)B
例2 解∵an＋1＝2an－n＋1，
∴an＋1－(n＋1)＝2(an－n)，
∴＝2，
∴數(shù)列{an－n}是以a1－1＝2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴an－n＝2·2n－1＝2n，
∴an＝2n＋n.
例3 (1)－3n－1
(2)C
跟蹤訓(xùn)練1 (1)C
(2)A
(3)2n＋1－n－1
例4 (1)
(2)C
跟蹤訓(xùn)練2 3n－1
例5 (1)ABC
(2)C
跟蹤訓(xùn)練3 an＝(n∈N*)
優(yōu)化提升
1．B　
2.C　
3.A　
4.A　
5.D
6．D
7．B
8．CD
9.·3n－1－n－
10．4
11．(n＋1)3n－1
12．2n－1第6部分第5節(jié)《數(shù)列求和》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和為Sn.若an＝，則S5等于(　　)
A．1 B. C. D.
2．已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)
A．0 B．100 C．－100 D．10 200
3．Sn＝＋＋＋…＋等于(　　)
A. B.
C. D.
【知識歸納】
數(shù)列求和的幾種常用方法
1．公式法
直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和．
(1)等差數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝ ＝ .
(2)等比數(shù)列的前n項和公式：
Sn＝.
2．分組求和法與并項求和法
(1)分組求和法
若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
(2)并項求和法
一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．
3．錯位相減法
如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的．
4．裂項相消法
把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和．
常見的裂項技巧
(1)＝－.
(2)＝().
(3)＝().
(4)＝－.
(5)＝[].
常用結(jié)論：
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝.
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝[].
【題型展示】
題型一　分組求和與并項求和
例1　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，它的前n項和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.
延伸探究　在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn
跟蹤訓(xùn)練1　記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝(－1)n·log2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
題型二　錯位相減法求和
例2　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn，對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
跟蹤訓(xùn)練2　在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)·an，②＋＋…＋＝2n＋1－2這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中并作答．
問題：在數(shù)列{an}中，已知________．
(1)求{an}的通項公式；
(2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
題型三　裂項相消法求和
例3　記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，是公差為的等差數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；[切入點：求數(shù)列的通項公式]
(2)證明：＋＋…＋<2.[關(guān)鍵點：把拆成兩項相減]
跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn，并證明：Tn<.
基礎(chǔ)夯實
1.數(shù)列{an}的通項公式是an＝(－1)n(2n－1)，則該數(shù)列的前100項之和為(　　)
A.－200 B.－100 C.200 D.100
2.在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，則該數(shù)列的前100項之和是(　　)
A.18 B.8 C.5 D.2
3.已知冪函數(shù)y＝f(x)過點(4，2)，令an＝f(n＋1)＋f(n)，n∈N*，記數(shù)列的前n項和為Sn，則Sn＝10時，n的值是(　　)
A.10 B.120 C.130 D.140
4.已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝(　　)
A.9 B.15 C.18 D.30
5.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為(　　)
A.184斤 B.176斤
C.65斤 D.60斤
6.(多選)已知數(shù)列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和Sn，則(　　)
A.an＝ B.an＝n
C.Sn＝ D.Sn＝
7.已知數(shù)列{an}的首項為－1，anan＋1＝－2n，則數(shù)列{an}的前10項之和等于________.
8.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1＋an＝n－1 009(n∈N*)，則其前2 021項之和S2 021＝________.
9.已知數(shù)列{nan}的前n項和為Sn，且an＝2n，且使得Sn－nan＋1＋50<0的最小正整數(shù)n的值為________.
10.在①＝，②an＋1an＝2Sn，③a＋an＝2Sn這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答該問題.
已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，滿足________.
(1)求an；
(2)若bn＝(an＋1)·2an，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
11.在①＝＋1，②是2n＋1與an的等比中項，③4Sn＝(1＋an)2(an＞0)這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答.
問題：已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且滿足________.若bn＝，求使不等式b1＋b2＋…＋bn＞成立的最小正整數(shù)n.
12．已知數(shù)列{an}滿足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.
(1)求出a2，a3的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
13．已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足4Sn＝(an＋1)2.
(1)求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
(2)設(shè)bn＝2n，求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.
14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＋1＝(n∈N*)，設(shè)bn＝a2n－1.
(1)證明：數(shù)列{bn＋2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項公式；
(2)求數(shù)列{an}的前2n項和．
15．已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
優(yōu)化提升
16.(多選)設(shè)首項為1的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＋1＝2Sn＋n－1(n∈N*)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.數(shù)列{Sn＋n}為等比數(shù)列
B.數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1－1
C.數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列
D.數(shù)列{2Sn}的前n項和為2n＋2－n2－n－4
17.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時，發(fā)現(xiàn)剪紙時經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20 dm×12 dm的長方形紙，對折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S1＝240 dm2，對折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和S2＝180 dm2，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為________；如果對折n次，那么Sk＝________ dm2.
18.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，a1＝b1＝1，a5＝5(a4－a3)，b5＝4(b4－b3).
(1)求和的通項公式；
(2)記的前n項和為Sn，求證：SnSn＋2＜S(n∈N*)；
(3)對任意的正整數(shù)n，設(shè)cn＝
求數(shù)列{cn}的前2n項和.
19．給出以下條件：①a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列；②S1＋1，S2，S3成等比數(shù)列；③Sn＝(n∈N*)．從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答．已知遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，________.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項的和Tn.
20．設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知2Sn＝a＋an.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)記bn＝acos ，Tn是數(shù)列{bn}的前n項和，求T3n.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【習(xí)題導(dǎo)入】
1．B　2.B　3.B
【知識歸納】
1．(1)　na1＋d　(2)＝，q≠1
【題型展示】
例1 (1)證明　由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1(n≥1)，①
得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)，
得an＋1＝－an＋2n an＋1－
＝－(n≥2)，
又當(dāng)n＝1時，由①得a2＝1 a2－＝－，
所以對任意的n∈N*，
都有an＋1－＝－，
故是以為首項，－1為公比的等比數(shù)列．
(2)解　由(1)知an－＝ an＝，
所以an＋1＝，代入①得Sn＝－－，
所以S1＋S2＋…＋S2n＝(22＋23＋…＋22n＋1)－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)2n]－＝×－0－n＝.
延伸探究 解　當(dāng)n為偶數(shù)時，
S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝(22＋23＋…＋2n＋1)－[(－1)＋(－1)2＋…＋(－1)n－1＋(－1)n]－＝×－
＝－＝.
當(dāng)n為奇數(shù)時，
S1＋S2＋S3＋…＋Sn
＝(S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋Sn＋1)－Sn＋1＝－
＝.
綜上，S1＋S2＋…＋Sn
＝
跟蹤訓(xùn)練1 解　(1)當(dāng)n＝1時，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，
即an＝2an－1＋2，可得an＋2
＝2(an－1＋2)，顯然an－1＋2≠0.
所以數(shù)列{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3·2n－1，
即有an＝3·2n－1－2.
(2)bn＝(－1)n·
log2
＝(－1)n·log22n＝(－1)n·n.
當(dāng)n為偶數(shù)時，
Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n
＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(n－1)＋n]＝.
當(dāng)n為奇數(shù)時，
Tn＝－1＋2－3＋4－…＋(n－1)－n
＝－n＝＝－.
綜上，Tn＝
例2 解　(1)因為4Sn＋1＝3Sn－9，
所以當(dāng)n≥2時，4Sn＝3Sn－1－9，
兩式相減可得4an＋1＝3an，
即＝.
當(dāng)n＝1時，4S2＝4
＝－－9，
解得a2＝－，
所以＝.
所以數(shù)列{an}是首項為－，
公比為的等比數(shù)列，
所以an＝－×n－1＝－.
(2)因為3bn＋(n－4)an＝0，
所以bn＝(n－4)×n.
所以Tn＝－3×－2×2－1×3＋0×4＋…＋(n－4)×n，①
且Tn＝－3×2－2×3－1×4＋0×5＋…＋(n－5)×n＋(n－4)×n＋1，②
①－②得Tn＝－3×＋2＋3＋…＋n－(n－4)×n＋1＝－＋－(n－4)×n＋1＝－n×n＋1，
所以Tn＝－4n×n＋1.
因為Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，
所以－4n×n＋1
≤λ恒成立，
即－3n≤λ(n－4)恒成立，
當(dāng)n<4時，λ≤＝－3－，
此時λ≤1；
當(dāng)n＝4時，－12≤0恒成立，
當(dāng)n>4時，λ≥＝－3－，
此時λ≥－3.
所以－3≤λ≤1.
跟蹤訓(xùn)練2 解　(1)選擇①，
因為nan＋1＝(n＋1)an，所以＝.
所以是常數(shù)列．
又＝1，所以＝1，故an＝n.
選擇②，
因為＋＋…＋＝2n＋1－2，
所以當(dāng)n＝1時，＝22－2＝2，解得a1＝1，
當(dāng)n≥2時，＝2n＋1－2n＝2n，所以an＝n.
又a1＝1，所以an＝n.
(2)由(1)可知bn＝，
則Sn＝＋＋…＋，①
Sn＝＋＋…＋＋.②
兩式相減得Sn＝＋＋＋…＋－＝＋－＝－.
故Sn＝1－.
跟蹤訓(xùn)練3 解　(1)由題意，設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝＝8，即q＝2，
∵a2＋a5＝36，∴a1q＋a1q4＝36，
即2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，
∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.
(2)由(1)可得，
bn＝
＝
＝－，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋－＋…＋－＝－
＝－<，
∴不等式Tn<對n∈N*恒成立．
基礎(chǔ)夯實
1.D
2.C
3.B
4.C
5.A
6.AC
7.31
8.2 021
9.5
10.解　(1)若選①，即2Sn＝nan＋1，
當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝(n－1)an，
兩式作差得2an＝nan＋1－(n－1)an，
即(n＋1)an＝nan＋1，
∴＝，∴an＝××…×××a1＝n，
當(dāng)n＝1時也成立，∴an＝n.
若選②，即2Sn＝an＋1an，
當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝anan－1，
兩式作差得2an＝anan＋1－anan－1，
由an＞0，得an＋1－an－1＝2.
當(dāng)n＝1時，2S1＝a2a1，得a2＝2.
又∵a1＝1，a2＝2，∴{a2n}是公差為2，首項為2的等差數(shù)列，
{a2n－1}是公差為2，首項為1的等差數(shù)列，故an＝n.
若選③，即a＋an＝2Sn，當(dāng)n≥2時，a＋an－1＝2Sn－1，
兩式相減得a＋an－a－an－1＝2an，
即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
由an＞0，得an－an－1－1＝0，
即an－an－1＝1，
∴{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.
故an＝n.
(2)bn＝(n＋1)·2n，
Tn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)·2n，
2Tn＝2×22＋3×23＋…＋
n×2n＋(n＋1)·2n＋1，
兩式相減，得－Tn＝4＋22＋23＋…＋2n－(n＋1)·2n＋1＝4＋－(n＋1)·2n＋1
＝4－4＋2n＋1－(n＋1)·2n＋1＝－n·2n＋1，
故Tn＝n·2n＋1.
11.解　選①.因為＝＋1，a1＝1，
所以{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
則＝1＋(n－1)×1＝n，從而Sn＝n2.
當(dāng)n＞1時，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
經(jīng)檢驗，當(dāng)n＝1時，a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1.
因為bn＝＝
＝，
所以b1＋b2＋…＋bn
＝
＝＝.
由＞，解得n＞9，
所以使原不等式成立的最小正整數(shù)為10.
選②.因為是2n＋1與an的等比中項，
所以4Sn－1＝(2n＋1)an.
當(dāng)n＞1時，
兩式相減得
4an＝(2n＋1)an－(2n－1)an－1，
整理得＝，
所以an＝···…···a1＝2n－1(n≥2)，
經(jīng)檢驗，a1＝1也符合上式，
所以an＝2n－1.
以下同選①.
選③.由題設(shè)可得
兩式相減得
4an＝(1＋an)2－(1＋an－1)2(n≥2)，
進一步整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.
因為an＞0，所以an－an－1＝2(n≥2)，所以{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
以下同選①.
12．解　(1)由已知得，當(dāng)n＝1時，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1.
(2)由(1)可知an＝2n－1，經(jīng)檢驗符合題意，所以Sn＝n2，
則bn＝
＝
＝＋，
所以Tn＝＋＋…＋
＝＋＝.
13．(1)證明　在4Sn＝(an＋1)2中，
令n＝1，可得a1＝1，
因為4Sn＝(an＋1)2，①
所以當(dāng)n≥2時，4Sn－1＝(an－1＋1)2，②
①－②得，4an＝(an＋1)2－(an－1＋1)2，
整理得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0，
因為an>0，
所以an－an－1＝2(n≥2)，
所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
(2)解　由(1)得an＝2n－1，
所以an·bn＝(2n－1)·2n，
所以Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
兩式相減得，－Tn＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1
＝－6＋(3－2n)·2n＋1，
所以Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
14．解　(1)由題意知，bn＋1＝a2n＋1
＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，
所以＝2，
又b1＋2＝a1＋2＝4，
所以{bn＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
則bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
所以bn＝2n＋1－2.
(2)數(shù)列{an}的前2n項和為S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)
＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n
＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n
＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n
＝2×－3n＝2n＋3－3n－8.
15．解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，
由題意得
即
解得或(舍)，
所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.
(2)由(1)得，an＝2n，
所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，
所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)
＝4n·－
＝2n2＋6n＋－.
優(yōu)化提升
16.AD
17.5　240×
18.(1)解　設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q.由a1＝1，a5＝5(a4－a3)，可得d＝1，從而的通項公式為an＝n.
由b1＝1，b5＝4(b4－b3)，又q≠0，可得q2－4q＋4＝0，解得q＝2，從而 的通項公式為bn＝2n－1.
(2)證明　由(1)可得Sn＝，
故SnSn＋2＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，
S＝(n＋1)2(n＋2)2，
從而SnSn＋2－S＝－(n＋1)(n＋2)＜0，
所以SnSn＋2＜S.
(3)解　當(dāng)n為奇數(shù)時，cn＝＝＝－；
當(dāng)n為偶數(shù)時，cn＝＝.
對任意的正整數(shù)n，有c2k－1＝
＝－1，
和c2k＝ ＝＋＋＋…＋.①
由①得c2k＝＋＋…＋＋.②
①－②得c2k＝＋＋…＋－
＝－－，
從而得c2k＝－.
因此，ck＝c2k－1＋c2k＝－－.
所以，數(shù)列{cn}的前2n項和為
－－.
19．解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
則d>0，
選擇條件①：
因為a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列，
所以a＝a2·(a4＋1)，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)·(2＋3d＋1)，
化簡得d2－d－2＝0，
解得d＝2或d＝－1(舍)，
所以數(shù)列{an}的通項公式為
an＝2＋(n－1)×2＝2n.
選擇條件②：因為S1＋1，S2，S3成等比數(shù)列，
所以S＝(S1＋1)·S3，所以(2×2＋d)2＝(2＋1)·(3×2＋3d)，化簡得d2－d－2＝0，
解得d＝2或d＝－1(舍)，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×2＝2n.
選擇條件③：
因為Sn＝(n∈N*)，
所以當(dāng)n≥2時，Sn－1＝，
兩式相減得，an＝an(an＋1－an－1)，
因為an≠0，所以an＋1－an－1＝4，
即2d＝4，所以d＝2，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×2＝2n.
(2)因為是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以＝2·2n－1＝2n，
所以bn＝2n·2n，
所以Tn＝2·21＋4·22＋6·23＋…＋2n·2n，
2Tn＝2·22＋4·23＋6·24＋…＋(2n－2)·2n＋2n·2n＋1，
兩式相減得，－Tn＝2·21＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－2n·2n＋1＝2×－2n·2n＋1
＝(1－n)2n＋2－4，
所以Tn＝(n－1)2n＋2＋4.
20．解　(1)由2Sn＝a＋an，當(dāng)n≥2時，2Sn－1＝a＋an－1，
兩式相減得，2an＝a－a＋an－an－1，
整理可得(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，
因為an>0，所以an－an－1－1＝0，
即an－an－1＝1(n≥2)，
在2Sn＝a＋an中，令n＝1，
則a1＝1，
所以數(shù)列{an}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，
故an＝n.
(2)bn＝acos ＝n2cos ，
設(shè)ck＝b3k－2＋b3k－1＋b3k
＝(3k－2)2cos＋(3k－1)2·
cos＋(3k)2cos 2kπ
＝－(3k－2)2＋(3k－1)2＋(3k)2＝9k－，
所以T3n＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝＋＋＋…＋
＝9(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝9×－n＝.第6部分第6節(jié)《數(shù)列中的綜合問題》-2025屆高考一輪復(fù)習(xí)-基礎(chǔ)摸查+基礎(chǔ)夯實+優(yōu)化提升
基礎(chǔ)摸查
【題型展示】
題型一　等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合運算
例1　記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．已知＋n＝2an＋1.
(1)證明：{an}是等差數(shù)列；
(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值．
題型二　數(shù)列與其他知識的交匯問題
跟蹤訓(xùn)練1　已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝n2＋n，遞增的等比數(shù)列{bn}滿足b1＋b4＝18，b2·b3＝32.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)若cn＝an·bn，n∈N*，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
命題點1　數(shù)列與不等式的交匯
例2　(1)已知數(shù)列{an}滿足a1＋a2＋a3＋…＋an＝n2＋n(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{bn}滿足：bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若Tn<λ(n∈N*)恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為(　　)
A.[) B.()
C.[) D.()
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝，3an,2an＋1，anan＋1成等差數(shù)列．
①證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
②記{an}的前n項和為Sn，求證：[]≤Sn<.
命題點2　數(shù)列與函數(shù)的交匯
例3　(1)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1,2]，且a4＋λa10＋a16＝15，則實數(shù)λ的最大值為________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝x3＋4x，記等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若f(a1＋2)＝100，f(a2 022＋2)＝－100，則S2 022等于(　　)
A．－4 044 B．－2 022
C．2 022 D．4 044
跟蹤訓(xùn)練2　(1)設(shè){an}是等比數(shù)列，函數(shù)y＝x2－x－2 023的兩個零點是a2，a3，則a1a4等于(　　)
A．2 023 B．1 C．－1 D．－2 023
(2)數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，Sn為其前n項和．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，且滿足b1＝a1，b4＝S3.
①求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
②設(shè)cn＝，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，證明：≤Tn<.
基礎(chǔ)夯實
1．在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2a5,1A.() B.()
C.() D.()
2．在正項等比數(shù)列{an}中，為a6與a14的等比中項，則a3＋3a17的最小值為(　　)
A．2 B．89 C．6 D．3
3．直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前受到了廣大消費者的追捧，針對這種現(xiàn)狀，某傳媒公司決定逐年加大直播帶貨的資金投入，若該公司今年投入的資金為2 000萬元，并在此基礎(chǔ)上，以后每年的資金投入均比上一年增長12%，則該公司需經(jīng)過____年其投入資金開始超過7 000萬元(　　)
(參考數(shù)據(jù)：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845)
A．14 B．13 C．12 D．11
4．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項和為15,4a1,2a3，a5成等差數(shù)列，則a1等于(　　)
A．5－5 B．5＋5 C．5 D．5
6．?dāng)?shù)學(xué)家也有許多美麗的錯誤，如法國數(shù)學(xué)家費馬于1640年提出了Fn＝＋1(n＝0,1,2，…) 是質(zhì)數(shù)的猜想，直到1732年才被善于計算的大數(shù)學(xué)家歐拉算出F5＝641×6 700 417，不是質(zhì)數(shù)．現(xiàn)設(shè)an＝log4(Fn－1)(n＝1,2，…)，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和．若32Sn＝63an，則n等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝lg x，則下列四個命題中，是真命題的為(　　)
A．f(2)，f()，f(5)成等差數(shù)列
B．f(2)，f(4)，f(8)成等差數(shù)列
C．f(2)，f(12)，f(72)成等比數(shù)列
D．f(2)，f(4)，f(16)成等比數(shù)列
7．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝ln n，若存在p∈R，使得an≤pn對任意的n∈N*都成立，則p的取值范圍為________．
8.宋元時期我國數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中“落—形”就是每層為“三角形數(shù)”的三角錐垛，三角錐垛從上到下最上面是1個球，第二層是3個球，第三層是6個球，第四層是10個球，…，則這個三角錐垛的第十五層球的個數(shù)為________．
9．記關(guān)于x的不等式x2－4nx＋3n2≤0(n∈N*)的整數(shù)解的個數(shù)為an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，滿足4Tn＝3n＋1－an－2.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式；
(2)設(shè)cn＝2bn－λ，若對任意n∈N*，都有cn10．設(shè)n∈N*，有三個條件：①an是2與Sn的等差中項；②a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)；③Sn＝2n＋1－2.在這三個條件中任選一個，補充在下列問題的橫線上，再作答．
若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且________．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若{an·bn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
優(yōu)化提升
11．設(shè){an}是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0，當(dāng)n>N0時，an>0”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
12．已知a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，且a1＋a2＋a3＋a4＝ln(a1＋a2＋a3)．若a1>1，則(　　)
A．a(chǎn)1a3，a2C．a(chǎn)1a4 D．a(chǎn)1>a3，a2>a4
13．若數(shù)列{an}對于任意的正整數(shù)n滿足：an>0且anan＋1＝n＋1，則稱數(shù)列{an}為“積增數(shù)列”．已知“積增數(shù)列”{an}中，a1＝1，數(shù)列{a＋a}的前n項和為Sn，則對于任意的正整數(shù)n，有(　　)
A．Sn≤2n2＋3 B．Sn≥n2＋4n
C．Sn≤n2＋4n D．Sn≥n2＋3n
14．設(shè)函數(shù)f(x)＝數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)(n∈N*)，若{an}是等差數(shù)列．則a1的取值范圍是__________．
15．函數(shù)y＝f(x)，x∈[1，＋∞)，數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，
①函數(shù)f(x)是增函數(shù)；
②數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．
寫出一個滿足①的函數(shù)f(x)的解析式________．
寫出一個滿足②但不滿足①的函數(shù)f(x)的解析式________．
16．設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，并且對于所有的正整數(shù)n，an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)令bn＝()(n∈N*)，求證：b1＋b2＋b3＋…＋bn<1＋n.
17．在遞增的等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，＝，a1＝1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝log3a2n－1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
18．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，S3＝a3＋6.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)bn＝log2an，求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn.
19．已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列{an}中不在數(shù)列{bn}中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列{cn}，記數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，求S100.
20．設(shè)正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，且滿足________．給出下列三個條件：①a3＝4，2lg an＝lg an－1＋lg an＋1(n≥2)；②Sn＝man－1(m∈R)；③2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)．
請從其中任選一個將題目補充完整，并求解以下問題．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若bn＝，且數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝，求n的值．
21．已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分別為等比數(shù)列{bn}的前三項．
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；
(2)刪去數(shù)列{bn}中的第ai項(其中i＝1,2,3，…)，將剩余的項按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn.
22．(設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝a2－b2＝a3－b3＝1.
(1)求{an}與{bn}的通項公式；
(2)設(shè){an}的前n項和為Sn，求證：(Sn＋1＋an＋1)bn＝Sn＋1bn＋1－Snbn；
(3)求[ak＋1－(－1)kak]bk.
參考答案：
基礎(chǔ)摸查
【題型展示】
例1 (1)證明　由＋n＝2an＋1，
得2Sn＋n2＝2ann＋n，①
所以2Sn＋1＋(n＋1)2
＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②
②－①，得2an＋1＋2n＋1
＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，
化簡得an＋1－an＝1，
所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列．
(2)解　由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.
由a4，a7，a9成等比數(shù)列，
得a＝a4a9，
即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，
解得a1＝－12.
所以Sn＝－12n＋
＝
＝2－，
所以當(dāng)n＝12或13時，Sn取得最小值，最小值為－78.
跟蹤訓(xùn)練1 解　(1)當(dāng)n≥2時，
an＝Sn－Sn－1
＝n2＋n－
＝3n－1，
又∵當(dāng)n＝1時，
a1＝S1＝2符合上式，
∴an＝3n－1.
∵b2b3＝b1b4，
∴b1，b4是方程x2－18x＋32＝0的兩根，
又∵b4>b1，
∴解得b1＝2，b4＝16，
∴q3＝＝8，
∴q＝2，∴bn＝b1·qn－1＝2n.
(2)∵an＝3n－1，bn＝2n，
則cn＝(3n－1)·2n，
∴Tn＝2·21＋5·22＋8·23＋11·24＋…＋(3n－1)·2n，
2Tn＝2·22＋5·23＋8·24＋11·25＋…＋(3n－1)·2n＋1，
將兩式相減得－Tn＝2·21＋3(22＋23＋24＋…＋2n)－(3n－1)·2n＋1
＝4＋3－(3n－1)·2n＋1＝(4－3n)·2n＋1－8，
∴Tn＝(3n－4)·2n＋1＋8.
例2 (1)D　
(2)①解　由已知得4an＋1＝3an＋anan＋1，因為a1＝≠0，所以由遞推關(guān)系可得an≠0恒成立，
所以＝＋1，
所以－4＝－3，
即－1＝.
又因為－1＝－1＝，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以－1＝n，
所以an＝.
②證明　由①可得an＝≥＝×n－1，
所以Sn≥＋×1＋…＋×n－1＝，
an＝<＝n，
S1＝<，
當(dāng)n≥2時，Sn<＋2＋…＋n＝＋＝－3×n<.
綜上所述，≤Sn<成立．
例3 (1)－
(2)A
跟蹤訓(xùn)練2 (1)D
(2)①解　由題意知，{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an＝a1·2n－1＝2n－1.所以Sn＝2n－1.
設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，
則b1＝a1＝1，b4＝1＋3d＝7，
所以d＝2，bn＝1＋(n－1)×2
＝2n－1.
②證明　因為log2a2n＋2＝log222n＋1
＝2n＋1，
所以cn＝
＝
＝，
所以Tn＝
.
因為n∈N*，
所以Tn＝<，
＝.
當(dāng)n≥2時，Tn－Tn－1＝－＝>0，
所以數(shù)列{Tn}是一個遞增數(shù)列，
所以Tn≥T1＝.
綜上所述，≤Tn<.
基礎(chǔ)夯實
1．A　
2.C　
3.C　
4.A
6．B
5．ABD
7.
8．120　
9．解　(1)由不等式x2－4nx＋3n2≤0可得，n≤x≤3n，
∴an＝2n＋1，
Tn＝×3n＋1－n－，
當(dāng)n＝1時，b1＝T1＝1，
當(dāng)n≥2時，bn＝Tn－Tn－1
＝×3n－，
∵b1＝1適合上式，
∴bn＝×3n－.
(2)由(1)可得，
cn＝3n－1＋(－1)n－1λn，
∴cn＋1＝3n＋1－1＋(－1)nλn＋1，
∵cn∴cn＋1－cn＝2×3n＋(－1)n·λn>0，
∴(－1)nλ>－×2n，
當(dāng)n為奇數(shù)時，λ<×2n，
由于×2n隨著n的增大而增大，當(dāng)n＝1時，×2n的最小值為，
∴λ<，
當(dāng)n為偶數(shù)時，λ>－×2n，
由于－×2n隨著n的增大而減小，
當(dāng)n＝2時，－×2n的最大值為－，
∴λ>－，
綜上可知，－<λ<.
10．解　(1)選擇條件①：
因為an是2與Sn的等差中項，所以2an＝2＋Sn，
所以當(dāng)n≥2時，2an－1＝2＋Sn－1，
兩式相減得，2an－2an－1＝an，
即an＝2an－1(n≥2)，
在2an＝2＋Sn中，令n＝1，
可得a1＝2，
所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故an＝2·2n－1＝2n.
選擇條件②：
由a1＝2，Sn＋1＝a1(Sn＋1)，
知Sn＋1＝2(Sn＋1)，
當(dāng)n＝1時，可求得a2＝4，
所以當(dāng)n≥2時，Sn＝2(Sn－1＋1)，
兩式相減得，an＋1＝2an(n≥2)，
又a1＝2，a2＝4也滿足上式，
所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
故an＝2·2n－1＝2n.
選擇條件③：在Sn＝2n＋1－2中，令n＝1，則a1＝21＋1－2＝2，
當(dāng)n≥2時，有Sn－1＝2n－2，
兩式相減得，an＝2n(n≥2)，
當(dāng)n＝1時，a1＝2滿足上式，
所以an＝2n.
(2)因為{an·bn}是以2為首項，4為公差的等差數(shù)列，
所以an·bn＝2＋(n－1)·4
＝4n－2，
由(1)知，an＝2n，所以bn＝，
所以Tn＝1×0＋3×1＋5×2＋…＋，
Tn＝1×1＋3×2＋…＋＋，
兩式相減得，Tn＝1×0＋2×1＋2×2＋…＋2×n－1－＝1＋2×－＝3－，
所以Tn＝6－.
優(yōu)化提升
11．C
12．B
13．D
14．(－∞，－3]∪{－2,1}
14．f(x)＝x2　f(x)＝2(答案不唯一)
16．(1)解　由已知＝(n∈N*)，
整理得Sn＝(an＋2)2，
所以Sn＋1＝(an＋1＋2)2.
所以an＋1＝Sn＋1－Sn
＝[(an＋1＋2)2－(an＋2)2]
＝(a＋4an＋1－a－4an)，
整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0，
由題意知an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝4，而a1＝2，
即數(shù)列{an}是a1＝2，d＝4的等差數(shù)列，
所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－2.
(2)證明　令cn＝bn－1，
則cn＝
＝
＝－.
故b1＋b2＋…＋bn－n＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－<1.故b1＋b2＋…＋bn<1＋n.
17．解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，
由＝，得S4＝4S2,
所以a3＋a4＝3(a1＋a2)，即(a1＋a2)q2＝3(a1＋a2)，
所以q2＝3，
因為等比數(shù)列{an}遞增，所以q＝，
所以an＝a1qn－1＝.
(2)由(1)可得a2n－1＝3n－1，所以bn＝log3a2n－1＝n－1，
故Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1＝.
18．解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝2，S3＝a3＋6，
得 a1(1＋q＋q2)＝6＋a1q2，
解得 q＝2，
所以an＝2n.
(2)由(1)可得bn＝log2an＝n，所以anbn＝n·2n，
Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，
所以－Tn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1
＝2n＋1－2－n·2n＋1，
所以Tn＝(n－1)2n＋1＋2.
19．解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因為b2＝4，所以a2＝2log2b2＝4，
所以d＝a2－a1＝2，
所以an＝2＋(n－1)×2＝2n.
又an＝2log2bn，即2n＝2log2bn，
所以n＝log2bn，
所以bn＝2n.
(2)由(1)得bn＝2n＝2·2n－1＝，
即bn是數(shù)列{an}中的第2n－1項．
設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Pn，數(shù)列{bn}的前n項和為Qn，
因為b7＝＝a64，b8＝＝a128，
所以數(shù)列{cn}的前100項是由數(shù)列{an}的前107項去掉數(shù)列{bn}的前7項后構(gòu)成的，
所以S100＝P107－Q7＝－＝11 302.
20．解　(1)選條件①時，a3＝4,2lg an＝lg an－1＋lg an＋1(n≥2)，
整理得a＝an－1·an＋1，故正項數(shù)列{an}為等比數(shù)列，
由于a1＝1，a3＝4，
故公比q2＝＝4，解得q＝2，
故an＝a1qn－1＝2n－1.
選條件②時，Sn＝man－1(m∈R)，
當(dāng)n＝1時，整理得a1＝ma1－1，解得m＝2，
故Sn＝2an－1，(a)
當(dāng)n≥2時，Sn－1＝2an－1－1，(b)
(a)－(b)得an＝2an－2an－1，整理得＝2(常數(shù))，
所以數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以an＝2n－1.
選條件③時，2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝kn·2n(k∈R)，
當(dāng)n＝1時，整理得2a1＝k·21，
解得k＝1，
故2a1＋3a2＋4a3＋…＋(n＋1)an＝n·2n(k∈R)，(a)
當(dāng)n≥2時，2a1＋3a2＋4a3＋…＋nan－1＝(n－1)·2n－1，(b)
(a)－(b)得an＝2n－1(首項符合通項)，
所以an＝2n－1.
(2)由(1)得bn＝
＝＝－，
所以Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，
解得n＝99.
21．解　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，數(shù)列{bn}的公比為q，
由已知得解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n；
所以b1＝a1＝3，q＝＝3，所以bn＝3n.
(2)由題意可知新數(shù)列{cn}為b1，b2，b4，b5，…，
則當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn＝
＝＝，
則當(dāng)n為奇數(shù)時，
Sn＝Sn－1＋cn＝Sn－1＋＝Sn－1＋＝，
綜上，Sn＝

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