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第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
目錄 01模擬基礎(chǔ)練 2 題型一：求函數(shù)的極值與極值點 2 題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù) 3 題型三：求函數(shù)的最值（不含參） 6 題型四：求函數(shù)的最值（含參） 7 題型五：根據(jù)最值求參數(shù) 11 題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用 13 題型七：不等式恒成立與存在性問題 16 02重難創(chuàng)新練 18 03 真題實戰(zhàn)練 33
題型一：求函數(shù)的極值與極值點
1．已知函數(shù)，當時，求的極值.
【解析】易知的定義域為，
由可得，
當時，，
令可得；
因此當時，，此時在上單調(diào)遞減，
當時，，此時在上單調(diào)遞增，
因此在處取得極小值；
所以的極小值為，無極大值.
2．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，求在點處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．
【解析】（1）當時，，
則，
所以，
又知，
所以在點處的切線方程為．
（2）因為，
令，
則或，
所以當時，，
當或時，．
綜上，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；
所以．
3．已知，函數(shù)．證明存在唯一的極值點.
【解析】令，則，
令，則，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
當時，，，當時，，
畫出大致圖像如下：
所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，
當時，，則，單調(diào)遞增，
當時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)
4．已知函數(shù)在時有極值0，則 ．
【答案】11
【解析】由函數(shù)，得，
由題意得，解得或，
當時，，僅當時等號成立，
此時在R上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；
當時，，
令，則或，令，則，
即在上均單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取得極小值，且，則，
即符合題意，故，
故答案為：11
5．（2024·陜西銅川·三模）若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】的定義域為，
，
令，得.
令，則.
令，則，即，即.
當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.
，
又當趨近于0時，趨近于；當趨近于時，趨近于0，
作出的草圖如圖，
由圖可知，當時，方程有兩個正根，從而函數(shù)有兩個極值點.
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有2個極值點，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由函數(shù)，可得，
因為函數(shù)在上有2個極值點，即在上有兩解，
即在上有兩解，
令且，可得，
當時，可得，單調(diào)遞增，不符合題意，（舍去）；
當時，令，解得，
當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增，
所以，當時，取得極小值，極小值為，
要使得在上有兩解，則滿足，
當時，解得；
當，即，
設(shè)，其中，可得，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減，
又因為，所以，
所以不等式，可得，
由可得，解得，
綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
7．已知函數(shù)，其中且．若存在兩個極值點，，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】對函數(shù)求導(dǎo)得：，
因為存在兩個極值點，所以有兩個不同的變號零點．
令，有 ，令，，
所以與有兩個交點；
當時，，，
設(shè)過原點的直線與的切點坐標為，
切線斜率為，
所以切線方程為：，
將原點坐標帶入切線方程得．
此時切線的斜率為：，現(xiàn)在需要有兩個交點，
即，因為，有，所以，所以；
同理知當時，， ， 即，所以．
綜上知：的取值范圍為．
故答案為：
題型三：求函數(shù)的最值（不含參）
8．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ．
【答案】
【解析】，
則當時，，當時，，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故.
故答案為：.
9．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)，當時的最大值與最小值的和為 ．
【答案】
【解析】，
當時，，遞增；當時，，遞減；
，，，
故最大值與最小值的和為：．
故答案為：
10．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ；最小值是 ．
【答案】 5
【解析】由，求導(dǎo)得，
而，則當時，，當時，，
因此函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
函數(shù)在處取到極小值，
當時，，當時，，則函數(shù)在處取到極大值5
所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值是5，最小值是.
故答案為：5；
題型四：求函數(shù)的最值（含參）
11．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)求函數(shù)在上的最小值.
【解析】（1）因為，所以，
由，得，所以；由，得，所以，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值，
所以的最小值為，無最大值．
（2）由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當，即時，在單調(diào)遞減，
；
當時，即在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，．
當時，在單調(diào)遞增，；
綜上所述.
12．已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2)當時，若函數(shù)在上的最小值為0，求實數(shù)的值.
【解析】（1）當時，，定義域為，
，又，
所以切線方程為（或?qū)懗?
（2），定義域為，，令得；
①當，即時，在上單調(diào)遞增，
這時，不合題意，舍去；
②當，即時，
當單調(diào)遞減單調(diào)遞增，
這時，解得；
③當，即時，在上單調(diào)遞減，
這時，解得（舍去），
綜上：.
13．已知函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
【解析】函數(shù)的定義域為，
，，
令，得或（舍），
當，即時，當時，，則在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
當，即時，當時，，則在上單調(diào)遞減，當時，，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
當，即時，當時，，則在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
綜上.
14．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若的最小值不大于0，求的取值范圍.
【解析】（1）由函數(shù)，則其定義域為，
求導(dǎo)可得，令，解得，
當時，，當時，，單調(diào)遞減；
當時，，單調(diào)遞增.
當時，，當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減.
綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）由（1）可知，當時，無最小值；
則當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
則，
由題意可得：，由，則，解得.
15．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
【解析】（1）當時，，
則，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，
函數(shù)的極大值為，沒有極小值.
（2）由題意得.
若，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時的最大值為；
若，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
此時的最大值為；
若，則，當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
此時的最大值為；
若，則，當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時的最大值為.
綜上可得，.
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
16．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由得，
所以當或時，，當時，，
于是得在和上都單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當時，取得極小值，
因在區(qū)間上存在最小值，而函數(shù)最值不可能在開區(qū)間端點處取得，
于是得，且，
即，解得，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
17．（2024·上海靜安·二模）已知實數(shù)，記．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的值為 ．
【答案】3
【解析】當時，，，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
故時，取得最小值，
解得，．
故答案為：3．
18．（2024·高三·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意可得，函數(shù)的定義域為，
易知，
若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點，
又，不妨設(shè)為方程的兩個不相等實數(shù)根，
則有，不妨令，因此即可；
令，根據(jù)零點存在定理可得，
解得；
經(jīng)檢驗在內(nèi)有最小值，所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用
19．（2024·高三·浙江杭州·期中）設(shè)，已知函數(shù)，.
（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.
（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.
【解析】（Ⅰ）由題知，
當時，；當時，
從而的單調(diào)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是
從而，,
于是；
當時，，所以;
當時，，所以；
綜上所得
（Ⅱ）依題知，則，因為存在極大值，則關(guān)于x的方程，有兩個不等的正根，不妨，則，得，且,
設(shè)列表如下：
+ 0 — 0 +
+ 0 — 0 +
單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
從而極大值，又，
從而，對恒成立,
設(shè)，，則
因為，所以
所以在上遞增，從而
所以，,
設(shè)，則，又.
若，；若，；
從而，即.
20．已知函數(shù)．
(1)當在處取得極小值－1時，求的解析式；
(2)當時，求在區(qū)間上的最值；
(3)當且時，若，，求a的取值范圍．
【解析】（1）因為，所以，
又在處取得極小值－1，所以，，
即，解得所以．
此時，
所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
在處取得極小值－1，滿足題意．
綜上，的解析式為．
（2）當時，，．
①當時，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以的最小值為．
又，，
所以，
故的最大值為；
②當時，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以的最大值為，
此時，
故的最小值為．
綜上，當時，在區(qū)間上的最小值為，最大值為；
當時，在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
（3）當且時，，．
令，解得，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增．
①當時，，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以；
②當時，，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以，不滿足題意，綜上，a的取值范圍為．
21．已知，.
(1)證明：當，有且只有2個零點；
(2)討論是否存在使有極小值？并說明理由.（注：討論過程要完整，有明確的結(jié)論）
【解析】（1）因為，所以定義域為，，
因為，所以令得，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以有最大值為，
因為，所以，所以，
因為當時，單調(diào)遞減，且，所以在上只有一個零點；
因為當時，單調(diào)遞增，且，
所以在上只有一個零點；
綜上，當，有且只有2個零點.
（2）令，
則定義域為，，
令，則，
因為，所以令得，
當時，，單調(diào)遞增，
當時，，單調(diào)遞減，
所以當時，取得最大值，
當，即時，，即恒成立，
所以單調(diào)遞減，此時不滿足題意；
當，即時，
由于當時，，當時，，
所以有兩個解，即有兩個解，且從遞增到一個正數(shù)，然后再遞減到，
所以存在極小值，
即存在使得有極小值.
題型七：不等式恒成立與存在性問題
22．已知，，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間上的最小值為；
又∵，
∴由二次函數(shù)知識，在上的最小值為，
若，，使成立，等價于，即，
∴實數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
23．已知，，若，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知：，
因為，則，
注意到，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，
又因為，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，
可得，即實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
24．已知使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得：使得不等式成立.
令則.
而，
由，得，當時，，當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得，
所以，故實數(shù)a的取值范圍為.
故選：B.
1．（2024·四川眉山·三模）已知函數(shù)，則的極大值點為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，故可得 ，
令，因為，故可得或，
則當時，；
當時，；
所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的極大值點為.
故答案為：.
2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）若為函數(shù)的一個極值點，則下列圖象一定不可能為函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于，，
則為函數(shù)的一個極值點等價條件為：，
且在的左右兩側(cè)取值異號.
對于選項A，，，，
且在的左右兩側(cè)取值可能異號，圖象可能為函數(shù)的圖象.
對于選項B，，，，且在的左右兩側(cè)取值可能異號，圖象可能為函數(shù)的圖象.
對于選項C，，，，在的左右兩側(cè)可取異號，故可能符合條件.
對于選項D，，，因此，不滿足條件.
故選：D.
3．（2024·浙江臺州·二模）已知函數(shù)，滿足，則（ ）
A．函數(shù)有2個極小值點和1個極大值點
B．函數(shù)有2個極大值點和1個極小值點
C．函數(shù)有可能只有一個零點
D．有且只有一個實數(shù)，使得函數(shù)有兩個零點
【答案】A
【解析】設(shè)
所以
設(shè)，由.
所以，因為二次函數(shù)的開口向上，對稱軸方程為.
所以方程有兩個不等實數(shù)根，則設(shè).
則令可得或.
令可得或.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
又當時，，
又，所以
由，所以
所以
根據(jù)單調(diào)性可知，函數(shù)有2個極小值點和1個極大值點，所以選項A正確，B不正確.
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，可畫出函數(shù)的大致草圖如下.
當時，函數(shù)沒有零點
當時，函數(shù)有兩個零點
當時，函數(shù)有四個零點
當時，函數(shù)有三個零點
當時，函數(shù)有兩個零點
由上可知選項C,D都不正確.
故選：A
4．（2024·全國·二模）已知是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，則，，
當時，時，，單調(diào)遞減，而，
時，，，
且，，
即在上單調(diào)遞增，
時，，，
且，，
即在上單調(diào)遞減，
是函數(shù)的極大值點，滿足題意.
當時，存在使得，即，，
又在上單調(diào)遞減，
時，，，
這與是函數(shù)的極大值點矛盾，綜上所述a的取值范圍是.
故選：B
5．（2024·甘肅蘭州·一模）已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將題干中的等式變形為，可得出，并構(gòu)造函數(shù)，可得出，進而可得出，利用求得的值，可得出函數(shù)的解析式，進而利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最小值.由，變形得，即，
（為常數(shù)），則，，得.
，，
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，函數(shù)在處取得極小值，亦即最小值，則.
故選：D.
6．（2024·湖南懷化·二模）若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分離參數(shù)可得，只需，設(shè)，求導(dǎo)函數(shù)，分別令或或，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的最小值即可.，
設(shè)，
則，
令，則，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；
令，則，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
令，則，解得，所以函數(shù)在處取得極小值，
故，所以，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故選：A
7．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知，，由可得出，，利用導(dǎo)數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，進而可得出，由此可得出，可得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.，，
由于，則，同理可知，，
函數(shù)的定義域為，對恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，則，，則，
構(gòu)造函數(shù)，其中，則.
當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，.
故選：C.
8．（2024·遼寧鞍山·三模）已知函數(shù)有三個極值點，則的取值范圍是
A． B．(, ) C． D．(，）
【答案】C
【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
若函數(shù)有三個極值點，
等價為有三個不同的實根，
即，
即，
則，則，有兩個不等于的根，
則，
設(shè)，
則，
則由得，由得且，
則當時，取得極小值（1），
當時，，
作出函數(shù)，的圖象如圖，
要使有兩個不同的根，
則滿足，
即實數(shù)的取值范圍是，
故選．
9．（多選題）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6
C．函數(shù)有三個零點 D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1
【答案】AB
【解析】由題意，點在函數(shù)的圖象上，故；
又.
由，即.故A正確；
所以，所以.
由或.
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為；極小值為，
所以極大值與極小值之和為：，故B正確；
因為函數(shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個零點，故C錯誤；
又，，
所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯.
故選：AB
10．（多選題）（2024·遼寧大連·二模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．在上是增函數(shù)
B．的值域是
C．方程有三個實數(shù)解
D．對于，（）滿足，則
【答案】ACD
【解析】，
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，；當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上可得在上是增函數(shù)，故A正確；
，，故B不正確；
方程，可得或，，方程共有三個實數(shù)解，故C正確；
滿足，即，
則，
化簡得
，
當且僅當時取等號
令，則，解得，故，故D正確
故選：ACD．
11．（多選題）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點
C．函數(shù)必有2個零點 D．
【答案】BD
【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間和極值，可判斷選項A，B；根據(jù)極小值的大小可得函數(shù)的零點個數(shù)，判斷選項C；利用在上為增函數(shù)，比較與的大小關(guān)系，判斷出選項D．函數(shù)，則，
當時，，故在上為增函數(shù)，A錯誤；
當時，，故在單調(diào)遞減，故是函數(shù)g(x)的極小值點，B正確；
若，則有兩個零點，
若，則有一個零點，
若，則沒有零點，故C錯誤；
在上為增函數(shù)，則，即，化簡得，D正確；
故選：BD
12．已知，對任意的都有，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進而求得在給定區(qū)間上的最大值，根據(jù)不等式恒成立的意義即得實數(shù)a的取值范圍.由得或，
在區(qū)間[-2,0)上,單調(diào)遞增；在(0,2)內(nèi)時單調(diào)遞減.
又，，，
∴，
又對于任意的x∈[-2,2]恒成立，
∴，即a的取值范圍是
故答案為：.
13．（2024·山東青島·一模）函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a＝0則x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減．
x＝2處f（x）取得極大值，滿足題意；
若a，則f′（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）遞增，無極值；
若a，則2，f（x）在（，2）遞減；在（2，+∞），（﹣∞，）遞增，
可得f（x）在x＝2處取得極小值；不滿足題意．
當0＜a，則2，f（x）在（2，）遞減；在（，+∞），（﹣∞，2）遞增，
可得f（x）在x＝2處取得極大值，滿足題意；
若a＜0，則x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）遞減．
x＝2處f（x）取得極大值，滿足題意；綜上可得，a的范圍是：（﹣∞，）．
故答案為．
14．已知函數(shù).若是在上的極小值點，則實數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由題意，
令，
解得，.
若,則在上單調(diào)遞增；在內(nèi)單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，
∴在上，是極大值點，是極小值點，不合題意；
當時，在上，恒成立，單調(diào)遞增，沒有極值點，不合題意；
當時，在內(nèi)單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，∴是在上的極小值點，符合題意，
所以m的取值范圍是.
故答案為：.
15．（2024·重慶·一模）已知函數(shù)，.
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若存在唯一極值點，求的取值范圍.
【解析】（1）由題知，，
即，
令，則，
故在和上單增，在上單減，
又，，
所以，或，
從而或，，
∴在和上單增，在上單減；
（2）由題知，，
即，
令，則，
或，，
即在和上單增，在上單減，
∵且時，時，
∴在上唯一零點，記為，
當時，，，單增，當時，，，單減，
∴為的極小值點，由題知有唯一極值點，故在上無極值點，
在上，由的單調(diào)性可知，的極大值為，
且時，且時，
故當時，，在上單增，
在上無極值點；
當時在和內(nèi)各存在一個零點，分別記為，，則或時，，單增，時，，單減，所以為的極大值點，為的極小值點，不合題意，舍去；
綜上，，即，化簡得.
∴實數(shù)的取值范圍是.
16．已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），，注意到，
①當時，，在上單調(diào)遞增；
②當時，令，得，，此時，在及上導(dǎo)數(shù)值大于零，
所以在及上遞增；
（2）由（1）知，，，，則，
由恒成立，即，
即，
即，
記，，
則，
故在上為增函數(shù)，
，
故.
17．（2024·安徽淮北·二模）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當時，；當時，．
（2）若存在兩個極值點，證明：．
【解析】解析：（1）當時，，定義域為，
在定義域上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，當時，；當時，．原命題得證．
（2），若存在兩個極值點，則，解得．由韋達定理可知，
原命題即證：．
不妨設(shè)，原命題即證：，由（*）知，
齊次化，即證：，不放令，
原命題即證：，記，
則，
當時，在上單調(diào)遞減，．
原命題得證．
18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線在處的切線方程為，且．
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【解析】（1），∴，
，，
，，
切線方程為,即,
∴．
（2）由（1）知，函數(shù)定義域為，
所以，
故當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得極大值，極大值為，無極小值．
（3）令,
，，,
當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即符合題意；
當時，設(shè)，
①當，，，所以在上單調(diào)遞增，
，所以在上單調(diào)遞增，所以，
所以符合題意；
②當時，，，所以在上遞增，
在上遞減，，所以當，，
所以在上單調(diào)遞減，，所以，，舍去.
綜上：.
19．已知函數(shù)（，）．
（1）當，時，求曲線在點處的切線方程．
（2）設(shè)，是的兩個極值點，是的一個零點，且，．證明：存在實數(shù)，使得，，，按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求的值．
【解析】（1）當，時，，
因為，
故．
又，所以曲線在點處的切線方程為
（2）因為，
由于，故，
所以的兩個極值點為，．
不妨設(shè)，，
因為，，且是的零點，故．
又，
所以，
此時，，，成等差數(shù)列，
所以存在實數(shù)，滿足題意，且．
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點處的切線方程；
(2)若在時恒成立，求的值；
(3)若，證明．
【解析】（1）由于，故.
所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.
（2）設(shè)，則，從而當時，當時.
所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號成立當且僅當.
設(shè)，則
.
當時，的取值范圍是，所以命題等價于對任意，都有.
一方面，若對任意，都有，則對有
，
取，得，故.
再取，得，所以.
另一方面，若，則對任意都有，滿足條件.
綜合以上兩個方面，知的值是2.
（3）先證明一個結(jié)論：對，有.
證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，
且，
所以，即.
由，可知當時，當時.
所以在上遞減，在上遞增.
不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.
情況一：當時，有，結(jié)論成立；
情況二：當時，有.
對任意的，設(shè)，則.
由于單調(diào)遞增，且有
，
且當，時，由可知
.
所以在上存在零點，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時，時.
故在上遞減，在上遞增.
①當時，有；
②當時，由于，故我們可以取.
從而當時，由，可得
.
再根據(jù)在上遞減，即知對都有；
綜合①②可知對任意，都有，即.
根據(jù)和的任意性，取，，就得到.
所以.
情況三：當時，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.
而根據(jù)的單調(diào)性，知或.
故一定有成立.
綜上，結(jié)論成立.
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對稱圖形；
(3)若當且僅當，求的取值范圍．
【解析】（1）時，，其中，
則，
因為，當且僅當時等號成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值為.，
（2）的定義域為，
設(shè)為圖象上任意一點，
關(guān)于的對稱點為，
因為在圖象上，故，
而，
，
所以也在圖象上，
由的任意性可得圖象為中心對稱圖形，且對稱中心為.
（3）因為當且僅當，故為的一個解，
所以即，
先考慮時，恒成立.
此時即為在上恒成立，
設(shè)，則在上恒成立，
設(shè)，
則，
當，，
故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當時，，
故恒成立，故在上為增函數(shù)，
故即在上恒成立.
當，則當時，
故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；
綜上，在上恒成立時.
而當時，
而時，由上述過程可得在遞增，故的解為，
即的解為.
綜上，.
3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．
(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；
(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設(shè)點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．
【解析】（1）當時，，
當且僅當即時取等號，
故對于點，存在點，使得該點是在的“最近點”．
（2）由題設(shè)可得，
則，因為均為上單調(diào)遞增函數(shù)，
則在上為嚴格增函數(shù)，
而，故當時，，當時，，
故，此時，
而，故在點處的切線方程為.
而，故，故直線與在點處的切線垂直．
（3）設(shè)，
，
而，
，
若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，
設(shè)，則既是的最小值點，也是的最小值點，
因為兩函數(shù)的定義域均為，則也是兩函數(shù)的極小值點，
則存在,使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因為函數(shù)在定義域R上恒正，
則恒成立，
接下來證明，
因為既是的最小值點，也是的最小值點，
則，
即，③
，④
③④得
即，因為
則，解得，
則恒成立，因為的任意性，則嚴格單調(diào)遞減.
4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的極值；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
【解析】（1）當時，，
故，
因為在上為增函數(shù)，
故在上為增函數(shù)，而，
故當時，，當時，，
故在處取極小值且極小值為，無極大值.
（2），
設(shè)，
則，
當時，，故在上為增函數(shù)，
故，即，
所以在上為增函數(shù)，故.
當時，當時，，
故在上為減函數(shù)，故在上，
即在上即為減函數(shù)，
故在上，不合題意，舍.
當，此時在上恒成立，
同理可得在上恒成立，不合題意，舍；
綜上，.
5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，則為單調(diào)函數(shù)，無極值點，不符合題意，故.
有和兩個不同零點，且在左右附近是不變號，在左右附近是變號的.依題意，a為函數(shù)的極大值點，在左右附近都是小于零的.
當時，由，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
當時，由時，，畫出的圖象如下圖所示：
由圖可知，，故.
綜上所述，成立.
故選：D
6．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
【答案】AC
【解析】由題，，令得或，
令得，
所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點，故A正確；
因，，，
所以，函數(shù)在上有一個零點，
當時，，即函數(shù)在上無零點，
綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；
令，該函數(shù)的定義域為，，
則是奇函數(shù)，是的對稱中心，
將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，
所以點是曲線的對稱中心，故C正確；
令，可得，又，
當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.
故選：AC.
7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點
因為，所以方程的兩個根為，
即方程的兩個根為，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
所以當時，，即圖象在上方
當時，，即圖象在下方
，圖象顯然不符合題意，所以．
令，則，
設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為，
則切線的斜率為，故切線方程為，
則有，解得，則切線的斜率為，
因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，
所以，解得，又，所以，
綜上所述，的取值范圍為．
[方法二]：【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)
=0的兩個根為
因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點，
所以函數(shù)在和上遞減，在上遞增，
設(shè)函數(shù)，則，
若，則在上單調(diào)遞增，此時若，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時若有和分別是函數(shù)
且的極小值點和極大值點，則，不符合題意；
若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，則，此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點，且，則需滿足，，即故，所以.
【整體點評】法一：利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是該題的最優(yōu)解；
法二：通過構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于通性通法．
8．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，則，，
可得，，
即切點坐標為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
（2）解法一：因為的定義域為，且，
若，則對任意恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價于，解得，
所以a的取值范圍為；
解法二：因為的定義域為，且，
若有極小值，則有零點，
令，可得，
可知與有交點，則，
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無極大值，符合題意，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，
因為則在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價于，解得，
所以a的取值范圍為.
9．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的最小值為 .
【答案】1
【解析】由題設(shè)知：定義域為，
∴當時，，此時單調(diào)遞減；
當時，，有，此時單調(diào)遞減；
當時，，有，此時單調(diào)遞增；
又在各分段的界點處連續(xù)，
∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；
∴
故答案為：1.
10．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
【解析】（1）因為，所以，
因為在處的切線方程為，
所以，，
則，解得，
所以.
（2）由（1）得，
則，
令，解得，不妨設(shè)，，則，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
當時，，，即
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，在上單調(diào)遞減，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當時，，則單調(diào)遞增；當時，，則單調(diào)遞減；
所以在上有一個極大值點；
當時，在上單調(diào)遞增，
則，故，
所以在上存在唯一零點，不妨設(shè)為，則，
此時，當時，，則單調(diào)遞減；當時，，則單調(diào)遞增；
所以在上有一個極小值點；
當時，，
所以，則單調(diào)遞增，
所以在上無極值點；
綜上：在和上各有一個極小值點，在上有一個極大值點，共有個極值點.
11．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
【解析】（1）當時，，
則，
據(jù)此可得，
函數(shù)在處的切線方程為，
即.
（2）令，
函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域為，
定義域關(guān)于直線對稱，由題意可得，
由對稱性可知，
取可得，
即，則，解得，
經(jīng)檢驗滿足題意，故.
即存在滿足題意.
（3）由函數(shù)的解析式可得，
由在區(qū)間存在極值點，則在區(qū)間上存在變號零點;
令，
則，
令，
在區(qū)間存在極值點，等價于在區(qū)間上存在變號零點，
當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
此時，在區(qū)間上無零點，不合題意;
當，時，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，
所以在區(qū)間上無零點，不符合題意；
當時，由可得，
當時，，單調(diào)遞減，
當時，，單調(diào)遞增，
故的最小值為，
令，則，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，
據(jù)此可得恒成立，
則，
由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，當時，
，
且注意到，
根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.
當時，，單調(diào)減，
當時，，單調(diào)遞增，
所以.
令，則，
則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以
，
所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點，符合題意.
綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.
12．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
【解析】（1）構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
構(gòu)建，
則，
構(gòu)建，則對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
即對恒成立，
則在上單調(diào)遞增，可得，
所以；
綜上所述：.
（2）令，解得，即函數(shù)的定義域為，
若，則，
因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故是的極小值點，不合題意，所以.
當時，令
因為，
且，
所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，
由題意可得：，
（i）當時，取，，則，
由（1）可得，
且，
所以，
即當時，，則在上單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞減，
所以是的極小值點，不合題意；
（ⅱ）當時，取，則，
由（1）可得，
構(gòu)建，
則，
且，則對恒成立，
可知在上單調(diào)遞增，且，
所以在內(nèi)存在唯一的零點，
當時，則，且，
則，
即當時，，則在上單調(diào)遞減，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知：在上單調(diào)遞增，
所以是的極大值點，符合題意；
綜上所述：，即，解得或，
故a的取值范圍為.
13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
【解析】（1）當時，，則，
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以；
（2），則，
當時，，所以當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；
當時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；
又，
由（1）得，即，所以，
當時，，
則存在，使得，
所以僅在有唯一零點，符合題意；
當時，，所以單調(diào)遞增，又，
所以有唯一零點，符合題意；
當時，，在上，，單調(diào)遞增；
在上，，單調(diào)遞減；此時，
由（1）得當時，，，所以，
此時
存在，使得，
所以在有一個零點，在無零點，
所以有唯一零點，符合題意；
綜上，a的取值范圍為.
14．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
【解析】（I），則，
又，則切線方程為；
（II）令，則，
令，則，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，
當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：
所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，
當時，，則，單調(diào)遞增，
當時，，則，單調(diào)遞減，
為的極大值點，故存在唯一的極值點；
（III）由（II）知，此時，
所以，
令，
若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，
，，
當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，
所以，故，
所以實數(shù)b的取值范圍.
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第03講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值
目錄 01模擬基礎(chǔ)練 2 題型一：求函數(shù)的極值與極值點 2 題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù) 2 題型三：求函數(shù)的最值（不含參） 3 題型四：求函數(shù)的最值（含參） 3 題型五：根據(jù)最值求參數(shù) 4 題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用 4 題型七：不等式恒成立與存在性問題 5 02重難創(chuàng)新練 6 03 真題實戰(zhàn)練 9
題型一：求函數(shù)的極值與極值點
1．已知函數(shù)，當時，求的極值.
2．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)當時，求在點處的切線方程；
(2)討論的單調(diào)性，并求出的極小值．
3．已知，函數(shù)．證明存在唯一的極值點.
題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)
4．已知函數(shù)在時有極值0，則 ．
5．（2024·陜西銅川·三模）若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為 .
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有2個極值點，則實數(shù)的取值范圍是 .
7．已知函數(shù)，其中且．若存在兩個極值點，，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
題型三：求函數(shù)的最值（不含參）
8．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ．
9．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)，當時的最大值與最小值的和為 ．
10．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ；最小值是 ．
題型四：求函數(shù)的最值（含參）
11．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最小值；
(2)求函數(shù)在上的最小值.
12．已知函數(shù).
(1)當時，求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；
(2)當時，若函數(shù)在上的最小值為0，求實數(shù)的值.
13．已知函數(shù)，其中，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．
14．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若的最小值不大于0，求的取值范圍.
15．（2024·山西呂梁·二模）已知函數(shù).
(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值.
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
16．若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍是 .
17．（2024·上海靜安·二模）已知實數(shù)，記．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的值為 ．
18．（2024·高三·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實數(shù)的取值范圍為 .
題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應(yīng)用
19．（2024·高三·浙江杭州·期中）設(shè)，已知函數(shù)，.
（Ⅰ）設(shè)，求在上的最大值.
（Ⅱ）設(shè)，若的極大值恒小于0，求證：.
20．已知函數(shù)．
(1)當在處取得極小值－1時，求的解析式；
(2)當時，求在區(qū)間上的最值；
(3)當且時，若，，求a的取值范圍．
21．已知，.
(1)證明：當，有且只有2個零點；
(2)討論是否存在使有極小值？并說明理由.（注：討論過程要完整，有明確的結(jié)論）
題型七：不等式恒成立與存在性問題
22．已知，，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍是 ．
23．已知，，若，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
24．已知使得不等式成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·四川眉山·三模）已知函數(shù)，則的極大值點為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）若為函數(shù)的一個極值點，則下列圖象一定不可能為函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江臺州·二模）已知函數(shù)，滿足，則（ ）
A．函數(shù)有2個極小值點和1個極大值點
B．函數(shù)有2個極大值點和1個極小值點
C．函數(shù)有可能只有一個零點
D．有且只有一個實數(shù)，使得函數(shù)有兩個零點
4．（2024·全國·二模）已知是函數(shù)的極大值點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肅蘭州·一模）已知定義在上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖南懷化·二模）若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為
A． B． C． D．
7．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·遼寧鞍山·三模）已知函數(shù)有三個極值點，則的取值范圍是
A． B．(, ) C． D．(，）
9．（多選題）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（ ）
A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6
C．函數(shù)有三個零點 D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1
10．（多選題）（2024·遼寧大連·二模）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（ ）
A．在上是增函數(shù)
B．的值域是
C．方程有三個實數(shù)解
D．對于，（）滿足，則
11．（多選題）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足，對于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)在上為增函數(shù) B．是函數(shù)的極小值點
C．函數(shù)必有2個零點 D．
12．已知，對任意的都有，則的取值范圍為 .
13．（2024·山東青島·一模）函數(shù)在處取得極大值，則實數(shù)的取值范圍為 ．
14．已知函數(shù).若是在上的極小值點，則實數(shù)的取值范圍是 .
15．（2024·重慶·一模）已知函數(shù)，.
(1)當時，討論的單調(diào)性；
(2)若存在唯一極值點，求的取值范圍.
16．已知函數(shù)，
（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若函數(shù)有兩個極值點，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
17．（2024·安徽淮北·二模）已知函數(shù)．
（1）若，證明：當時，；當時，．
（2）若存在兩個極值點，證明：．
18．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知曲線在處的切線方程為，且．
（1）求的解析式；
（2）求函數(shù)的極值；
（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
19．已知函數(shù)（，）．
（1）當，時，求曲線在點處的切線方程．
（2）設(shè)，是的兩個極值點，是的一個零點，且，．證明：存在實數(shù)，使得，，，按某種順序排列后構(gòu)成等差數(shù)列，并求的值．
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)．
(1)求圖象上點處的切線方程；
(2)若在時恒成立，求的值；
(3)若，證明．
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)
(1)若，且，求的最小值；
(2)證明：曲線是中心對稱圖形；
(3)若當且僅當，求的取值范圍．
3．（2024年上海夏季高考數(shù)學(xué)真題）對于一個函數(shù)和一個點，令，若是取到最小值的點，則稱是在的“最近點”．
(1)對于，求證：對于點，存在點，使得點是在的“最近點”；
(2)對于，請判斷是否存在一個點，它是在的“最近點”，且直線與在點處的切線垂直；
(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù) 在定義域R上恒正，設(shè)點，．若對任意的，存在點同時是在的“最近點”，試判斷的單調(diào)性．
4．（2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的極值；
(2)當時，恒成立，求的取值范圍．
5．（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則（ ）
A． B． C． D．
6．（多選題）（2022年新高考全國I卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)，則（ ）
A．有兩個極值點 B．有三個零點
C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線
7．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知和分別是函數(shù)（且）的極小值點和極大值點．若，則a的取值范圍是 ．
8．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．
9．（2021年全國新高考I卷數(shù)學(xué)試題）函數(shù)的最小值為 .
10．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．
(1)求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；
(3)求的極值點個數(shù)．
11．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知函數(shù).
(1)當時，求曲線在點處的切線方程；
(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.
(3)若在存在極值，求a的取值范圍.
12．（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）（1）證明：當時，；
（2）已知函數(shù)，若是的極大值點，求a的取值范圍．
13．（2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知函數(shù)．
(1)當時，求的最大值；
(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．
14．（2021年天津高考數(shù)學(xué)試題）已知，函數(shù)．
（I）求曲線在點處的切線方程：
（II）證明存在唯一的極值點
（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．
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