資源簡介

13.1.2 線段的垂直平分線的性質
目標確定的依據：
1.課程標準相關要求：
理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等；反之，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上。
2.教材分析：
本套教科書對于推理證明的安排，上一章“全等三角形”已經要求讓學生會用符號表示推理（證明）．在本章對于一些圖形的性質（如線段垂直平分線的性質、等腰（邊）三角形的性質與判定等），仍要求學生加以證明，但是相對于上一章，推理的依據多了，圖形、題目的復雜程度也增加了，因此會使部分學生感到無處下手，這是本章教學的一個難點。在本章教學中要加強對問題分析的教學，幫助學生分析證明問題的思路，這時可以結合所要求證的結論一起考慮，即“兩頭湊”，幫助學生克服這一難點．
3.學情分析：
在前面的幾何學習中，學生學習了線段、角等基本幾何元素，研究了相交線與平行線、三角形等基本幾何圖形，積累了一些幾何研究的經驗，本章利用和進一步強化了這些經驗。在七年級學生認識了圖形的判定和圖形的性質的含義，知道它們是研究幾何圖形的兩個重要方面，同時對將研究的內容做到心中有數。
學習目標：
1、經歷線段垂直平分線的性質的發現過程，初步掌握線段垂直平分線的性質定理及其逆定理，體會辯證思想。
2、能運用線段垂直平分線的性質定理及其逆定理解決簡單的幾何問題。
學習重點：
能夠利用尺規作已知線段的垂直平分線。
學習難點：
能夠證明線段的垂直平分線的性質定理、判定定理及其相關結論。
一、情景引入：
提問1：線段是不是軸對稱圖形？如果是，那么請說明它的對稱軸在哪里？
提問2：如圖，線段AB關于直線MN對稱，在直線MN上任取一點P，分別連接PA、PB，那么線段PA與PB一定相等嗎？
二、預習導學：
閱讀P61--62并思考一下問題：
運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．
線段垂直平分線性質定理和判定定理，兩者的應用上的區別及各自的作用。
用尺規作線段的垂直平分線．體會作法中每一步的依據．（為什么以大于AB的長為半徑作弧．兩弧相交于點C和D．請你說明CD為什么是AB的垂直平分線嗎 ）
三、合作探究：
1.過到線段兩端距離相等的點的直線是這條線段垂直平分線—是否正確
2.垂直平分線性質定理和判定定理，兩者的應用上的區別及各自的作用。
3.運用公理和所學過的定理證明線段垂直平分線的性質定理和判定定理．
4.性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等。
注：點P在線段AB的垂直平分線上 PA=PB
線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等
可見，定理是證明兩線段相等的依據。
用集合的觀點描述線段的垂直平分線：線段的垂直平分線可以看作是和這條線段的兩個端點的距離相等的所有的點的集合。
用符號語言表示線段垂直平分線性質定理：
∵點P在線段AB的垂直平分線上
∴PA=P B
用符號語言表示線段垂直平分線判定定理：
∵PA=P B
∴點P在線段AB的垂直平分線上
小結：線段垂直平分線定理
性質：線段垂直平分線上的任意一點到這條線段兩個端點的距離相等
（逆定理）判定：和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的直平分線上
例：已知，如圖ΔABC中，邊AB，BC的垂直平分線相交于點P，求證：PA=PB=PC。
證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上
∴PA=PB（ ）
同理PB=PC
∴PA=PB=PC（ ）
由例題PA=PC，知道點P在AC的垂直平分線上，所以三角形三邊的垂直平分線交于一點P，這個點到三個頂點的距離相等。
四、跟蹤訓練：
判斷
1、如圖1直線MN垂直平分線段AB，則AE=AF。 （ ）
2、如圖2線段MN被直線AB垂直平分，則ME=NE。 （ ）
3、如圖3，PA=PB，則直線MN是線段AB的垂直平分線。 （ ）
五、當堂檢測：
1.已知：是等腰三角形，ED為腰AB的垂直平分線，
的周長為24cm，腰長為14cm，求底邊BC的長。
2.已知，D是直角斜邊AC的中點，于D交BC于E，，求：的度數。
3.在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分線M別
交BC、AB于點M、N. 求證：CM=2BM.

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