資源簡介

5.3實際問題與一元一次方程（第4課時）
——探究3 不同能效空調(diào)的綜合費用比較
內(nèi)容及其解析
內(nèi)容
建議一元一次方程模型解決不同能效空調(diào)的綜合費用比較問題
內(nèi)容解析
在實際生活中，存在著大量問題可以借助數(shù)學(xué)知識來解決，可見數(shù)學(xué)可以回歸生活、服務(wù)于生活。比較不同能效空調(diào)的綜合費用進(jìn)而合理選擇購買方案就是一個常見的生活問題，是學(xué)生利用一元一次方程解決實際問題的實踐基礎(chǔ)上，面對的更加綜合性的問題。通過對這種問題的解決，學(xué)生會再次體驗數(shù)學(xué)建模的全過程，提升模型觀念。
數(shù)學(xué)建模大致分為三個環(huán)節(jié)：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型、利用模型結(jié)論解釋實際問題，在這三個環(huán)節(jié)中“建立模型”尤為重要，需要學(xué)生具有一定的分析、轉(zhuǎn)化能力。在比較不同能效空調(diào)的綜合費用進(jìn)而合理選擇購買方案這個問題中，建立方程模型的關(guān)鍵點主要有兩個，一個是設(shè)哪個量為未知數(shù)，這需要基于對問題的分析，發(fā)現(xiàn)在影響空調(diào)綜合費用的因素中，主要決定因素是使用時間，從而確定可以設(shè)使用時間為未知數(shù)，另一個是尋找相等關(guān)系列方程，通過對使用時間取不同的值發(fā)現(xiàn)，兩款空調(diào)綜合費用相應(yīng)取值的大小情況發(fā)生變化，進(jìn)一步想到兩個值何值相等，從而發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系，再利用相等關(guān)系建立一元一次方程模型。這個實際問題比學(xué)生之前遇到的實際問題存在的相等關(guān)系更具有隱蔽性，需要根據(jù)數(shù)量間的大小變化來發(fā)現(xiàn)和確定。
基于以上分析，確定本節(jié)課的重點是：建立不同能效空調(diào)綜合費用比較問題的一元一次方程模型。
目標(biāo)及目標(biāo)解析
目標(biāo)
通過建立方程模型解決不同能效空調(diào)綜合費用的比較問題，初步掌握解決方案選擇問題的一般方法，提升模型概念，增強(qiáng)應(yīng)用意識。
目標(biāo)解析
達(dá)成目標(biāo)的標(biāo)志是：學(xué)生在理解購買空調(diào)的實際情境基礎(chǔ)上，能夠借助用字母表示的未知數(shù)，表示出兩款空調(diào)的綜合費用，從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題。再通過對使用時間取不同的值發(fā)現(xiàn)，兩款空調(diào)綜合費用的相應(yīng)取值的大小也隨之發(fā)生變化，進(jìn)而找到相等關(guān)系，并利用相等關(guān)系建立方程模型進(jìn)而求解，能利用方程的解以及對代數(shù)式的變形，對各個分類區(qū)間內(nèi)的綜合費用的大小進(jìn)行比較，最終得到購買、使用哪款空調(diào)的方案。
教學(xué)問題分析
學(xué)生通過前面的學(xué)習(xí)，對于一些相對簡單的實際問題，能夠找出其中的已知量和未知量，分析它們之間的關(guān)系，引入未知數(shù)列出方程表示問題中的相等關(guān)系，利用一元一次方程解決實際問題，已具有一定的分析問題、解決問題的能力。由于比較不同能效空調(diào)的綜合費用進(jìn)而合理選擇購買方案的問題綜合性較強(qiáng)，學(xué)生缺乏解決綜合問題的經(jīng)驗，所以提取信息、分析問題能力還有待提高；找到合適的量設(shè)未知數(shù)，找到隱蔽的相等關(guān)系建立方程模型對學(xué)生都提出了更高的要求。因此本節(jié)課的教學(xué)難點是：找到不同能效空調(diào)綜合費用比較問題的相等關(guān)系并列出方程。
為突破這一難點，本節(jié)課的教學(xué)中，首先給學(xué)生充分時間閱讀思考問題情境，表述對問題的認(rèn)識，在教師引導(dǎo)下思考影響空調(diào)綜合費用的主要因素，確定空調(diào)的使用時間為未知數(shù)，并進(jìn)一步用時間來表示兩款空調(diào)的綜合費用；其次引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般地研究問題，對使用時間取不同的值時觀察兩款空調(diào)綜合費用的大小關(guān)系，進(jìn)一步想到兩個綜合費用取值何時相等的問題；最后發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系并利用相等關(guān)系建立非常模型解決問題。
教學(xué)過程設(shè)計
創(chuàng)設(shè)情境，初步認(rèn)識
問題1：購買空調(diào)時，需要綜合考慮空調(diào)的價格和耗電情況.某人打算從當(dāng)年生產(chǎn)的兩款空調(diào)中選購一臺，下表是這兩款空調(diào)的部分基本信息．如果電價是0.5元／（kW·h），請你分析他購買、使用哪款空調(diào)綜合費用較低.
兩款空調(diào)的部分基本信息
匹數(shù) 能效等級 售價／元 平均每年耗電量／（kW·h）
1.5 1級 3 000 640
1.5 3級 2 600 800
師生活動：學(xué)生認(rèn)真閱讀表格，思考并回答問題，教師追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考。
追問：空調(diào)的電費與什么因素有關(guān)？如果把空調(diào)的售價與電費的和叫作空調(diào)的綜合費用，如何根據(jù)綜合費用來選擇空調(diào)？你覺得選哪款空調(diào)更劃算？
師生活動：在教師引導(dǎo)下，學(xué)生分析得出空調(diào)的選擇要綜合考慮空調(diào)的售價和電費，而空調(diào)的電費又和使用時間有關(guān)，因此我們應(yīng)該選擇綜合費用低的空調(diào)。
學(xué)生結(jié)合分析以及自己的生活經(jīng)驗，對哪款空調(diào)的綜合費用更低可能會出現(xiàn)不同的猜想。教師指出檢驗自己的猜想是否正確時，需要借助數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理性分析。
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生閱讀題目，提取信息，逐步思考并得出選擇空調(diào)有影響的因素，為后面用空調(diào)的使用時間表示兩臺空調(diào)的綜合費用作鋪墊。此外，讓學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗以及初步分析，猜想選擇哪款空調(diào)更劃算，是為了讓學(xué)生表達(dá)對問題的直觀認(rèn)識，學(xué)生之間通過發(fā)表意見相互啟發(fā)，對問題的進(jìn)一步探究作準(zhǔn)備。
抽象表示，問題轉(zhuǎn)化
問題2：設(shè)空調(diào)的使用時間為t年，你能把兩款空調(diào)的綜合費用分別用t表示出來嗎？觀察列出的兩個代數(shù)式，可以得出哪款空調(diào)的綜合費用更低嗎？
師生活動：學(xué)生思考并回答問題。
1級能效空調(diào)的綜合費用為：
3級能效空調(diào)的綜合費用為：
學(xué)生在教師引導(dǎo)下分析這兩個代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)無法直接看出他們的大小，其大小和t的取值有關(guān)。
追問：對t取一些具體數(shù)值，分別計算兩款空調(diào)的綜合費用，哪款綜合費用更低？通過計算，你有什么發(fā)現(xiàn)？
師生活動：學(xué)生對t取一些值。例如當(dāng)時，
1級能效空調(diào)的綜合費用為：3000,3320,6200
3級能效空調(diào)的綜合費用為：2600,3000,6600
學(xué)生觀察得出，當(dāng)使用時間比較短時，3級能效空調(diào)的綜合費用更低；當(dāng)使用時間比較長時，1級能效空調(diào)的綜合費用更低.于是會思考使用多長時間兩臺空調(diào)的綜合費用相等。
設(shè)計意圖：逐步加深學(xué)生對空調(diào)綜合費用問題的分析，考察學(xué)生列代數(shù)式表示未知量的能力，教師引導(dǎo)學(xué)生借助t的具體值比較兩個代數(shù)式的大小，為找到相等關(guān)系突破難點作鋪墊，在此過程中體會從特殊到一般地研究問題的方法。
建立模型，求解回答
問題3：使用時間是多少年時？兩款空調(diào)的綜合費用相等？
師生活動：由問題2列出的關(guān)于兩款空調(diào)綜合費用的代數(shù)式，學(xué)生可以列出方程，解得.得出當(dāng)使用5年時，兩款空調(diào)的綜合費用相等。
設(shè)計意圖：將實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題后，學(xué)生通過分析建立方程模型，并利用方程模型求出關(guān)鍵數(shù)據(jù)，使學(xué)生認(rèn)識到方程的重要性和應(yīng)用價值，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識。
問題4：使用時間在什么范圍內(nèi)，1級能效空調(diào)的綜合費用更低？使用時間在什么范圍內(nèi)，3級能效空調(diào)的綜合費用更低？請說明理由。
師生活動：學(xué)生通過前面取特殊值計算兩臺空調(diào)的綜合費用，不難發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在教師的引導(dǎo)下，進(jìn)一步觀察兩個代數(shù)式的特點并進(jìn)行適當(dāng)變形，理性分析理由。
為了比較兩款空調(diào)的綜合費用，可以把表示3級能效空調(diào)的綜合費用的式子變形為1級能效空調(diào)的綜合費用與另一個式子的和，即
1級能效空調(diào)的綜合費用為：；
3級能效空調(diào)的綜合費用為：
=
這樣，當(dāng)時，是負(fù)數(shù)，這表明3級能效空調(diào)的綜合費用更低；當(dāng)時，是正數(shù)，這表明1級能效空調(diào)的綜合費用更低.
追問：如果根據(jù)相關(guān)行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)，空調(diào)的安全使用年限是10年（從生產(chǎn)日期記起），購買、使用哪款空調(diào)更劃算？
師生貨單不過：教師提出問題，學(xué)生思考并回答，不難得出，空調(diào)的安全使用年限是10年（從生產(chǎn)日期記起）時，購買、使用1級能效空調(diào)更劃算。
設(shè)計意圖：在得出當(dāng)時，兩款空調(diào)的綜合費用相等后，可以結(jié)合前面的計算，通過取特殊值，比較當(dāng)和式兩款空調(diào)的綜合費用的大小，提出結(jié)論。讓學(xué)生進(jìn)一步觀察式子的特點，通過適當(dāng)變形，說明結(jié)論成立。引導(dǎo)學(xué)生利用結(jié)論解釋實際問題，完成建模的全過程。
回顧過程，小結(jié)提升
教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)主要內(nèi)容，并請學(xué)生回答以下問題：
利用一元一次方程解決實際問題的基本過程是什么？
在比較空調(diào)的綜合費用進(jìn)而選擇購買方案的過程中，你認(rèn)為哪些步驟比較關(guān)鍵？
在本節(jié)課的研究過程中用到了哪些方法，你有哪些收獲？
設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課研究過程，提煉方法，總結(jié)經(jīng)驗，初步掌握研究同類問題的一般思路。
作業(yè)布置
教科書第139頁第1、2題。

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