資源簡(jiǎn)介

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上
13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題教學(xué)設(shè)計(jì)
教學(xué)目標(biāo)
經(jīng)歷最短路徑問(wèn)題的探究過(guò)程,體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用;
感悟幾何圖形相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
2、在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形的過(guò)程中,提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.
3、通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性,體現(xiàn)人人都學(xué)有所用的數(shù)學(xué).
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn):利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問(wèn)題.
難點(diǎn):如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題.
突破難點(diǎn)的方法:利用軸對(duì)稱性質(zhì),作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)和已知點(diǎn),得到一條線段,利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決.
教學(xué)過(guò)程
一、創(chuàng)設(shè)情景 引入課題
師:前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等的問(wèn)題,我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題,本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究最短路徑問(wèn)題
(板書(shū)或課件展示)課題
學(xué)生思考教師展示問(wèn)題,并觀察圖片,獲得感性認(rèn)識(shí).
二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知
追問(wèn)1:觀察思考,抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題
這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,你打算首先做什么
活動(dòng)1:思考畫(huà)圖、得出數(shù)學(xué)問(wèn)題
將A,B 兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn),將河l 抽象為一條直線.
追問(wèn)2 你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思, 并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎
師生活動(dòng):學(xué)生嘗試回答, 并互相補(bǔ)充,最后達(dá)成共識(shí):(1)從A 地出發(fā),到河邊l 飲馬,然后到B 地; (2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處,把這些地點(diǎn)與A,B 連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和,就是從A 地到飲馬地點(diǎn),再回到B 地的路程之和;(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè)C 為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí),AC 與CB 的和最小(如圖).
強(qiáng)調(diào):將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”
活動(dòng)2:嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題
問(wèn)題1 : 如圖,點(diǎn)A,B 在直線l 的同側(cè),點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí),AC 與CB 的和最小
追問(wèn)1　你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí),找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B'嗎
問(wèn)題2　如圖,點(diǎn)A,B 在直線l 的同側(cè),點(diǎn)C 是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C 在l 的什么位置時(shí),AC 與CB的和最小
師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,畫(huà)圖分析,并嘗試回答,互相補(bǔ)充
如果學(xué)生有困難,教師可作如下提示
作法:
(1)作點(diǎn)B 關(guān)于直線l 的對(duì)稱點(diǎn)B';
(2)連接AB',與直線l 相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C 即為所求.
如圖所示:
問(wèn)題3　你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC +BC最短嗎
教師展示:證明:如圖,在直線l 上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C 不重合),連接AC',BC',B'C'.
由軸對(duì)稱的性質(zhì)知,
BC =B'C,BC'=B'C'.
∴AC +BC= AC +B'C = AB',
AC'+BC'= AC'+B'C'.
在△AC'B'中,
AC'+B'C'>AB',
∴當(dāng)只有在C點(diǎn)位置時(shí),
AC+BC最短.
方法提煉:
將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”.
三、綜合綜合靈活運(yùn)用或探究
教材93頁(yè)15題
學(xué)生進(jìn)一步探究：造橋選址問(wèn)題
在探究過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生分析、相互交流,,也可以閱讀教材86-87頁(yè)的內(nèi)容，配合幾何畫(huà)板演示或適當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生的疑惑問(wèn)題
小結(jié)
1、在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)稱、平移等變換把已知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易解決的問(wèn)題，從而作出最短路徑的選擇。
2、理論依據(jù)
①兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短
②連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短

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