資源簡介

第2部分第1節《函數的概念及其表示》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知函數f(x)＝則函數f 等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
2．下列各組函數表示同一個函數的是(　　)
A．y＝x－1與y＝
B．y＝x－1與y＝－
C．y＝2與y＝2x
D．y＝與v＝
3．(多選)下列所給圖象是函數圖象的是(　　)
【知識歸納】
1．函數的概念
一般地，設A，B是 ，如果對于集合A中的 一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有 的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.
2．函數的三要素
(1)函數的三要素： 、 、 ．
(2)如果兩個函數的 相同，并且 完全一致，則這兩個函數為同一個函數．
3．函數的表示法
表示函數的常用方法有 、圖象法和 ．
4．分段函數
若函數在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數稱為分段函數．
常用結論：
1．直線x＝a與函數y＝f(x)的圖象至多有1個交點．
2．在函數的定義中，非空數集A，B，A即為函數的定義域，值域為B的子集．
3．分段函數雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數．分段函數的定義域等于各段函數的定義域的并集，值域等于各段函數的值域的并集．
【題型展示】
題型一　函數的定義域
例1　(1)已知函數f(x)的定義域為(－4，－2)，則函數g(x)＝f(x－1)＋的定義域為________．
(2)函數y＝的定義域為(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
跟蹤訓練1　(1)已知函數f(x)＝lg ，則函數g(x)＝f(x－1)＋的定義域是(　　)
A．{x|x>2或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
(2)函數f(x)＝＋的定義域為(　　)
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
題型二　函數的解析式
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函數且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)已知f(x)滿足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
跟蹤訓練2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，則f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
(2)已知函數f(x)滿足f(x)＋2f ＝3x，則f(2)等于(　　)
A．－3 B．3 C．－1 D．1
(3)若f ＝，則f(x)＝________.
題型三　分段函數
例3　(1)已知函數f(x)＝若f(a)＝4，則實數a的值是________；若f(a)≥2，則實數a的取值范圍是________．
(2)已知函數f(x)＝則f(2 024)的值為(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
跟蹤訓練3 (1)已知函數f(x)＝則f(x)(2)已知函數f(x)＝若f(f(a))＝2，則a等于(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
基礎夯實
1．函數f(x)＝lg(x－2)＋的定義域是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
2．已知集合A＝{x|－2A．f：x→y＝x＋1 B．f：x→y＝ex
C．f：x→y＝x2 D．f：x→y＝|x|
3.函數y＝log2(2x－4)＋的定義域是(　　)
A.(2，3) B.(2，＋∞)
C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)
4.函數y＝1＋x－的值域為(　　)
A. B.
C. D.
5.已知函數f(x＋1)的定義域為(－2，0)，則f(2x－1)的定義域為(　　)
A.(－1，0) B.(－2，0)
C.(0，1) D.
6．已知函數f(x)＝(a>0且a≠1)，若函數f(x)的值域是(－∞，4]，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C．(1，] D．(1，)
7.下列各組函數中，表示同一個函數的是(　　)
A.f(x)＝eln x，g(x)＝x
B.f(x)＝，g(x)＝x－2
C.f(x)＝，g(x)＝sin x
D.f(x)＝|x|，g(x)＝
8．已知f(x3)＝lg x，則f(10)的值為(　　)
A．1 B. C. D.
9.圖中的文物叫做“垂鱗紋圓壺”，是甘肅禮縣出土的先秦時期的青銅器皿，其身流線自若、紋理分明，展現了古代中國精湛的制造技術．科研人員為了測量其容積，以恒定的流速向其內注水，恰好用時30秒注滿，設注水過程中，壺中水面高度為h，注水時間為t，則下面選項中最符合h關于t的函數圖象的是(　　)
10．函數y＝1＋x－的值域為(　　)
A. B.
C. D.
11.設函數f(x)＝若f(a)＞f(－a)，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(－1，0)∪(0，1)
B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－1)∪(0，1)
12.(多選)下列所給圖象可以是函數圖象的是(　　)
13．(多選)下列四個函數，定義域和值域相同的是(　　)
A．y＝－x＋1 B．
C．y＝ln|x| D．y＝
14．(多選)函數概念最早是在17世紀由德國數學家萊布尼茨提出的，后又經歷了貝努利、歐拉等人的改譯.1821年法國數學家柯西給出了這樣的定義：在某些變數存在著一定的關系，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著確定時，則稱最初的變數叫自變量，其他的變數叫做函數．德國數學家康托爾創立的集合論使得函數的概念更嚴謹．后人在此基礎上構建了高中教材中的函數定義：“一般地，設A，B是兩個非空的數集，如果按某種對應法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應，那么這樣的對應叫做從A到B的一個函數”，則下列對應法則f滿足函數定義的有(　　)
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cos x)＝x D．f(ex)＝x
15.已知y＝f(x)是二次函數，若方程f(x)＝0有兩個相等實根，且f′(x)＝2x＋2，則f(x)＝________.
16.函數y＝(x＞1)的值域是________.
17.已知函數f(x)滿足f＋f(－x)＝2x(x≠0)，則f(－2)＝________.
18．已知f(x)＝若f(a)＝5，則實數a的值是__________；若f(f(a))≤5，則實數a的取值范圍是__________．
19．已知函數f(x)＝則f ＝________.
20．已知f()＝x－1，則f(x)＝________.
21．已知函數f(x)的定義域為[－2,2]，則函數g(x)＝f(2x)＋的定義域為__________．
22.已知函數f(x)的解析式為f(x)＝
(1)求f，f，f(－1)的值；
(2)畫出這個函數的圖象；
(3)求f(x)的最大值.
23.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離.在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)滿足下列關系：y＝＋mx＋n(m，n是常數).如圖是根據多次實驗數據繪制的剎車距離y(m)與汽車的車速x(km/h)的關系圖.
(1)求出y關于x的函數解析式；
(2)如果要求剎車距離不超過25.2 m，求行駛的最大速度.
優化提升
24．已知函數f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，則f(a)等于(　　)
A．2 B. C．1 D．0
25． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，則實數n的取值范圍是(　　)
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－，)
26．已知定義在R上的函數f(x)滿足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，則f(1)等于(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
27．(多選)德國數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名字命名的函數F(x)＝被稱為狄利克雷函數．關于狄利克雷函數，下列說法正確的是(　　)
A．F(F(x))＝0
B．對任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立
C．任取一個不為0的實數T，F(x＋T)＝F(x)對任意實數x均成立
D．存在三個點A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC為等邊三角形
28.(多選)若一系列函數的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數為“同值函數”，例如函數y＝x2，x∈[1，2]與函數y＝x2，x∈[－2，－1]即為“同值函數”，給出下面四個函數，其中能夠被用來構造“同值函數”的是(　　)
A.y＝[x]([x]表示不超過x的最大整數，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log3x
D.y＝
29.已知函數f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，則a的取值范圍是________.
30.高斯是德國著名的數學家，是近代數學奠基者之一，享有“數學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數”為：設x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數，則y＝[x]稱為高斯函數.例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函數f(x)＝，求函數y＝[f(x)]的值域.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.D　3.CD
【知識歸納】
1．非空的實數集　任意　唯一確定
2．(1)定義域　對應關系　值域
(2)定義域　對應關系
3．解析法　列表法
【題型展示】
例1 (1)[－2，－1)
(2)C　
跟蹤訓練1 (1)B　
(2)B
例2 解　(1)(換元法)設1－sin x＝t，t∈[0,2]，
則sin x＝1－t，
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2
＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配湊法)∵f＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系數法)∵f(x)是一次函數，可設f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程組法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴將x用－x替換，
得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
跟蹤訓練2 (1)A
(2)A
(3)(x≠0且x≠1)　
例3 (1)－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)
(2)C
跟蹤訓練3 (1)
(2)D
基礎夯實
1．D　
2.B　
3.D
4.B
5.C
6．B　
7.D
8.C　
9.A　
10.B
11.C
12.CD
13．ABD
14．AD
15.x2＋2x＋1
16.[2＋1，＋∞)
17.
18．1或－3　[－，－1]
19.　
20.x2－1(x≥0)　
21.[－1,0]
22.解　(1)∵＞1，∴f＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴f＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)這個函數的圖象如圖.
在函數f(x)＝3x＋5的圖象上截取x≤0的部分，
在函數f(x)＝x＋5的圖象上截取0＜x≤1的部分，
在函數f(x)＝－2x＋8的圖象上截取x＞1的部分.
圖中實線組成的圖形就是函數f(x)的圖象.
(3)由函數圖象可知，當x＝1時，f(x)取最大值6.
23.解　(1)由題意及函數圖象，
得解得m＝，n＝0，
∴y＝＋(x≥0).
(2)令＋≤25.2，得－72≤x≤70.
∵x≥0，∴0≤x≤70.
故行駛的最大速度是70 km/h.
優化提升
24．B
25．B
26．B
27．BD
28.AD
29.[－5，0]
30.解　f(x)＝＝＝1＋，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，0＜＜1，
則0＜＜2，1＜1＋＜3，
即1＜f(x)＜3.
當1＜f(x)＜2時，[f(x)]＝1，
當2≤f(x)＜3時，[f(x)]＝2.
綜上，函數y＝[f(x)]的值域為{1，2}.第2部分第2節《函數的單調性與最值》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．y＝在[3,4]上的最大值為(　　)
A．2 B. C. D．4
2．下列函數中，在區間(0，＋∞)上單調遞減的是(　　)
A．y＝x2－1 B．y＝x3
C．y＝2x D．y＝－x＋2
3．函數f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數，則滿足f(2x－1)>f()的x的取值范圍是________．
【知識歸納】
1．函數的單調性
(1)單調函數的定義
增函數 減函數
定義 一般地，設函數f(x)的定義域為D，區間I D，如果 x1，x2∈I
當x1圖象描述 自左向右看圖象是上升的 自左向右看圖象是下降的
(2)單調區間的定義
如果函數y＝f(x)在區間I上 或 ，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間I叫做y＝f(x)的單調區間．
2．函數的最值
前提 設函數y＝f(x)的定義域為D，如果存在實數M滿足
條件 (1) x∈D，都有 ；(2) x0∈D，使得 (1) x∈D，都有 ；(2) x0∈D，使得
結論 M為f(x)的最大值 M為f(x)的最小值
常用結論：
1． x1，x2∈I且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在區間I上單調遞增(減)．
2．在公共定義域內，增函數＋增函數＝增函數，減函數＋減函數＝減函數．
3．函數y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝的單調性相反．
4．復合函數的單調性：同增異減．
【題型展示】
題型一　確定函數的單調性
命題點1　函數單調性的判斷
例1　(多選)下列函數在(0，＋∞)上單調遞增的是(　　)
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝2x＋2cos x D．y＝
命題點2　利用定義證明函數的單調性
例2　試討論函數f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的單調性．
跟蹤訓練1　(1)函數f(x)＝的單調遞增區間是(　　)
A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
(2)函數g(x)＝x·|x－1|＋1的單調遞減區間為(　　)
A.(-∞,] B.[,1]
C．[1，＋∞) D.(-∞,]∪[1，＋∞)
題型二　函數單調性的應用
命題點1　比較函數值的大小
例3　已知函數f(x)為R上的偶函數，對任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln )，b＝，c＝，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．cC．a命題點2　求函數的最值
例4　函數f(x)＝－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值為________．
命題點3　求參數的取值范圍
例5　已知函數f(x)＝是R上的增函數，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,) B.(-∞,] C．(0,1) D．(0,1]
命題點4　解函數不等式
例6　已知函數f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是________．
跟蹤訓練2　(1)若函數f(x)＝在(a，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為________．
(2)設函數f(x)＝則滿足不等式f(2x－1)<2的解集是(　　)
A.(-∞,) B.[2,)
C.(,2] D.(-∞,)
基礎夯實
1．下列函數在R上為增函數的是(　　)
A．y＝x2 B．y＝x
C．y＝－ D．y＝
2.函數f(x)＝－x＋在[-2,-]上的最大值是(　　)
A. B.－ C.－2 D.2
3.設偶函數f(x)的定義域為R，當x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關系是(　　)
A.f(π)＞f(－3)＞f(－2)
B.f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C.f(π)＜f(－3)＜f(－2)
D.f(π)＜f(－2)＜f(－3)
4.已知函數f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，則此函數的單調遞增區間是(　　)
A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞)
C.[－1，1) D.(－3，－1]
5.如果函數f(x)＝滿足對任意x1≠x2，都有＞0成立，那么實數a的取值范圍是(　　)
A.(0，2) B.(1，2)
C.(1，＋∞) D.[,2)
6．函數f(x)＝－|x－2|的單調遞減區間為(　　)
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[0,2] D．[0，＋∞)
7．若函數f(x)＝，則f(x)的值域為(　　)
A．(－∞，3] B．(2,3)
C．(2,3] D．[3，＋∞)
8．已知函數f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有(　　)
A．f(a)>f(b)>f(c)
B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(a)>f(c)>f(b)
D．f(c)>f(a)>f(b)
9．(多選)已知函數f(x)＝則下列結論正確的是(　　)
A．f(x)在R上為增函數
B．f(e)>f(2)
C．若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，則a≤－1或a≥0
D．當x∈[－1,1]時，f(x)的值域為[1,2]
10．(多選)已知函數f(x)＝x－(a≠0)，下列說法正確的是(　　)
A．當a>0時，f(x)在定義域上單調遞增
B．當a＝－4時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．當a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．當a>0時，f(x)的值域為R
11.(多選)下列函數中，在區間(0，1)上是增函數的是(　　)
A.y＝|x| B.y＝x＋3
C.y＝ D.y＝－x2＋4
12.(多選)已知函數f(x)＝loga|x－1|在區間(－∞，1)上單調遞增，則(　　)
A.0＜a＜1
B.a＞1
C.f(a＋2 021)＞f(2 022)
D.f(a＋2 021)＜f(2 022)
13．函數f(x)＝x2－6|x|＋8的單調遞減區間是________．
14．已知命題p：“若f(x)15.函數y＝－x2＋2|x|＋1的單調遞增區間為________，單調遞減區間為________.
16.若函數f(x)＝ex－e－x，則不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集為________.
17.已知奇函數f(x)在R上是增函數.若a＝－f，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，則a，b，c的大小關系為________________.
18.函數f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0(1)求方程f(x)＝0的解；
(2)若函數f(x)的最小值為－1，求a的值.
19．已知函數f(x)＝x|x－4|.
(1)把f(x)寫成分段函數，并在直角坐標系內畫出函數f(x)的大致圖象；
(2)寫出函數f(x)的單調遞減區間．
20．已知函數f(x)＝a－.
(1)求f(0)的值；
(2)探究f(x)的單調性，并證明你的結論．
21.已知函數f(x)＝a－.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的單調性，并證明你的結論；
(3)若f(x)為奇函數，求滿足f(ax)優化提升
22.已知a＝4ln 3π，b＝3ln 4π，c＝4ln π3，則a，b，c的大小關系是(　　)
A.c＜b＜a B.b＜c＜a
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
23．已知函數y＝f(x)的定義域為R，對任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，則下列說法正確的是(　　)
A．y＝f(x)＋x是增函數
B．y＝f(x)＋x是減函數
C．y＝f(x)是增函數
D．y＝f(x)是減函數
24．若a＝ln 3，b＝lg 5，c＝log126，則(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．a>c>b
25．若函數f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(0，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0,2] D．[2，＋∞)
26.已知函數f(x)＝若a＝50.01，b＝log32，c＝log30.9，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關系為________.
27．設函數f(x)＝x2 022－＋5，則f(x)的單調遞增區間為________，不等式f(x－1)<5的解集為________．
28.已知函數f(x)＝lg(a>0，且a≠1).
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)當a∈(1，4)時，求函數f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(3)若對任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，試確定a的取值范圍.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.D　3.
【知識歸納】
1．(1)f(x1)f(x2)
(2)單調遞增　單調遞減
2．(1)f(x)≤M　(2)f(x0)＝M
(1)f(x)≥M　(2)f(x0)＝M
【題型展示】
例1 AC
例2 解　方法一　設－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－
a
＝，
由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，
x2－1<0，
故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；
當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．
方法二　f′(x)＝
＝＝－.
當a>0時，f′(x)<0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；
當a<0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增．
跟蹤訓練1 (1)B　(2)B
例3 B
例4
例5 B
例6 (0,1)
跟蹤訓練2 ((1)[1,2)
2)D
基礎夯實
1．B　
2.A
3.A
4.C
5.D
6.B　
7.C　
8.A　
9.BC　
10.BCD
11.AB
12.AC
13．(－∞，－3]，[0,3]
14．f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要滿足題意即可)
15.(－∞，－1]和[0，1]　(－1，0)和(1，＋∞)
16.
17.a＞b＞c
18.解　(1)由得－3∴f(x)的定義域為(－3，1)，
則f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1).
令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，
解得x＝－1－或x＝－1＋，
經檢驗，均滿足原方程成立.
故f(x)＝0的解為x＝－1±.
(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，
由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，
∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
由題意可得loga4＝－1，解得a＝，滿足條件.
所以a的值為.
19．解　(1)f(x)＝x|x－4|
＝
函數圖象如圖所示．
(2)由(1)中函數的圖象可知，函數f(x)的單調遞減區間為(2,4)．
20．解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上單調遞增．證明如下：
∵f(x)的定義域為R，
∴任取x1，x2∈R且x1則f(x1)－f(x2)＝，
∵y＝2x在R上單調遞增且x1∴，
∴－<0,＋1>0,＋1>0.
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上單調遞增．
21.解　(1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上單調遞增.證明如下：
∵f(x)的定義域為R，∴任取x1，x2∈R，且x1則f(x1)－f(x2)＝a－－a＋
＝.
∵y＝2x在R上單調遞增且x1∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上單調遞增.
(3)∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，
即a－＝－a＋，解得a＝1，
∴f(ax)又∵f(x)在R上單調遞增，∴x<2.
∴x的取值范圍是(－∞，2).
優化提升
22.B
23．A
24.D
25．D
26.f(c)＜f(b)＜f(a)
27．(0，＋∞)　(0,1)∪(1,2)
28.解　(1)由x＋－2＞0，得＞0，
當a＞1時，x2－2x＋a＞0恒成立，定義域為(0，＋∞)，
當0＜a＜1時，定義域為{x|0＜x＜1－或x＞1＋}.
(2)設g(x)＝x＋－2，
當a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)時，
g′(x)＝1－＝>0，
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函數，
∴f(x)在[2，＋∞)上是增函數，
則f(x)min＝f(2)＝lg.
(3)對任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1對x∈[2，＋∞)恒成立.
∴a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞).
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是減函數，
∴h(x)max＝h(2)＝2.
故a>2時，恒有f(x)>0.
故a的取值范圍為(2，＋∞).第2部分第3節《函數的奇偶性、對稱性與周期性》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．若偶函數f(x)在區間[－2，－1]上單調遞減，則函數f(x)在區間[1,2]上(　　)
A．單調遞增，且有最小值f(1)
B．單調遞增，且有最大值f(1)
C．單調遞減，且有最小值f(2)
D．單調遞減，且有最大值f(2)
2．函數f(x)＝圖象的對稱中心為(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
3．已知函數f(x)是定義在R上的周期為4的奇函數，若f(1)＝1，則f(2 023)＝________.
4．已知函數y＝f(x)是奇函數，且當x>0時，有f(x)＝x＋2x，則f(－2)＝________.
5．已知定義在R上的函數f(x)在[－2，＋∞)上單調遞減，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，則f(－4)與f(1)的大小關系為________．
6．偶函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，且當x∈[2,3]時，f(x)＝2x－1，則f(－1)＝________.
【知識歸納】
1．函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函數f(x)就叫做偶函數 關于 對稱
奇函數 一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果 x∈D，都有－x∈D，且 ，那么函數f(x)就叫做奇函數 關于 對稱
2.周期性
(1)周期函數：一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函數y＝f(x)就叫做周期函數，非零常數T叫做這個函數的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個 的正數，那么這個
就叫做f(x)的最小正周期．
3．奇函數、偶函數的對稱性
(1)奇函數關于 對稱，偶函數關于 對稱．
(2)若f(x－2)是偶函數，則函數f(x)圖象的對稱軸為 ；若f(x－2)是奇函數，則函數f(x)圖象的對稱中心為 ．
4．若函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，則f(a－x)＝f(a＋x)；
若函數y＝f(x)滿足f(a－x)＝－f(a＋x)，則函數的圖象關于點 對稱．
5．兩個函數圖象的對稱
(1)函數y＝f(x)與y＝f(－x)關于 對稱；
(2)函數y＝f(x)與y＝－f(x)關于 對稱；
(3)函數y＝f(x)與y＝－f(－x)關于 對稱．
常用結論：
1．奇函數在關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上具有相反的單調性．
2．函數周期性常用結論
對f(x)定義域內任一自變量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)．
3.對稱性的四個常用結論
(1)若函數y＝f(x＋a)是偶函數，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(2)若函數y＝f(x＋b)是奇函數，則函數y＝f(x)的圖象關于點(b，0)中心對稱.
(3)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱；特別地，當a＝b時，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)時，則y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.
(4)若函數y＝f(x)滿足f(x)＋f(2a－x)＝2b，則y＝f(x)的圖象關于點(a，b)對稱.特別地，當b＝0時，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0時，則y＝f(x)的圖象關于點(a，0)對稱.
【題型展示】
題型一　函數奇偶性的判斷
例1　(多選)下列命題中正確的是(　　)
A．奇函數的圖象一定過坐標原點
B．函數y＝xsin x是偶函數
C．函數y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數
D．函數y＝是奇函數
跟蹤訓練1　已知函數f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，則下列結論正確的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函數
B．|f(x)|g(x)是奇函數
C．f(x)|g(x)|是奇函數
D．|f(x)g(x)|是奇函數
題型二　函數奇偶性的應用
命題點1　利用奇偶性求值(解析式)
例2　(1)已知函數f(x)為定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f(x)＝2x＋x－1，則當x<0時，f(x)等于(　　)
A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1
C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1
(2)已知函數f(x)＝為偶函數，則2a＋b等于(　　)
A．3 B. C．－ D．－
命題點2　利用奇偶性解不等式
例3　函數f(x)是定義域為R的奇函數，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，且f(2)＝0.則不等式>0的解集為(　　)
A．(－2,2)
B．(－∞，0)∪(0,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
跟蹤訓練2　(1)已知函數f(x)＝log2(|x|＋1)，若f(log2x)A．(1,4) B.(0,)∪(4，＋∞)
C.(,1)∪(1,4) D.(,4)
(2)已知函數f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，則f(－a)等于(　　)
A．1 B．3 C．4 D．5
(3)已知函數f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數，則a＝________.
題型三　函數的周期性
例4　(1)設f(x)是定義在R上周期為4的偶函數，且當x∈[0,2]時，f(x)＝log2(x＋1)，則函數f(x)在[2,4]上的解析式為____________________．
(2)若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(2－x)＝－f(x)，且當1≤x≤2時，f(x)＝x－1，則f()的值等于(　　)
A. B. C. D．－
跟蹤訓練3　(多選)已知定義在R上的偶函數f(x)，其周期為4，當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－2，則(　　)
A．f(2 023)＝0
B．f(x)的值域為[－1,2]
C．f(x)在[4,6]上單調遞減
D．f(x)在[－6,6]上有8個零點
題型四　軸對稱問題
例5　(1)已知函數f(x)的定義域為R，且f(x＋2)為偶函數，f(x)在[2，＋∞)上單調遞減，則不等式f(x－1)>f(1)的解集為________．
(2)已知定義在R上的函數f(x)是奇函數，對x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，當f(－3)＝－2時，則f(2 023)等于(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．－4
跟蹤訓練4　(1)如果函數f(x)對任意的實數x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當x≥時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數f(x)在[－2,0]上的最大值與最小值之和為(　　)
A．2 B．3 C．4 D．－1
(2)已知函數f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函數，則f(－1)，f(1)，f(2)的大小關系是(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(－1)題型五　中心對稱問題
例6　(1)已知函數f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)與y＝g(x)有4個交點，則這4個交點的縱坐標之和為________．
(2)(多選)若定義在R上的偶函數f(x)的圖象關于點(2,0)對稱，則下列說法正確的是(　　)
A．f(x)＝f(－x)
B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C．f(－x)＝－f(x＋4)
D．f(x＋2)＝f(x－2)
跟蹤訓練5　(1)若函數f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝－2，則下列函數中為奇函數的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
(2)函數f(x)＝ex－2－e2－x的圖象關于(　　)
A．點(－2,0)對稱 B．直線x＝－2對稱
C．點(2,0)對稱 D．直線x＝2對稱
題型六　兩個函數圖象的對稱
例7　已知函數y＝f(x)是定義域為R的函數，則函數y＝f(x＋2)的圖象與y＝f(4－x)的圖象(　　)
A．關于直線x＝1對稱
B．關于直線x＝3對稱
C．關于直線y＝3對稱
D．關于點(3,0)對稱
跟蹤訓練6　設函數y＝f(x)的定義域為R，則函數y＝f(x－1)的圖象與y＝f(1－x)的圖象(　　)
A．關于y軸對稱
B．關于x軸對稱
C．關于直線x＝1對稱
D．關于直線y＝1對稱
基礎夯實
1.下列函數中，既是偶函數又在(0，＋∞)上單調遞減的是(　　)
A.y＝x－1 B.y＝ln x2
C.y＝ D.y＝－x2
2.已知函數f(x)＝為奇函數，則a等于(　　)
A.－1 B.1 C.0 D.±1
3.已知偶函數f(x)的圖象關于點(1，0)對稱，當－1≤x≤0時，f(x)＝－x2＋1，則f(2 021)＝(　　)
A.2 B.0 C.－1 D.1
4.已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則f(-)＋f(1)＝(　　)
A.－2 B.0 C.2 D.1
5．已知函數f(x＋2)是R上的偶函數，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，則不等式f(ln x)>f(1)的解集為(　　)
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
6．已知函數f(x)＝2|x－a|的圖象關于直線x＝2對稱，則a等于(　　)
A．1 B．2 C．0 D．－2
7．已知奇函數f(x)滿足f(5)＝1，且f(x－2)的圖象關于x＝3對稱，則f(2 025)等于(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．3
8．若函數f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝2，則下列函數是奇函數的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1 D．f(x)＋1
9．設函數f(x)＝，則下列函數中為奇函數的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
10．已知函數f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lg π)，c＝f(log0.26)，則a，b，c的大小關系正確的是(　　)
A．aC．b11．已知函數y＝f(x)的圖象經過點P(1，－2)，則函數y＝－f(－x)的圖象必過點(　　)
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(－2,1)
12．已知函數f(x)的定義域為R，則“f(x)是偶函數”是“|f(x)|是偶函數”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
13．若函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數，當0A．0 B．2 C．4 D．－2
14．(多選)下列函數中，既是奇函數又在區間(0,1)上單調遞增的是(　　)
A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)
C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x
15．(多選)f(x)是定義在R上的偶函數，對 x∈R，均有f(x＋2)＝－f(x)，當x∈[0,1]時，f(x)＝log2(2－x)，則下列結論正確的是(　　)
A．函數f(x)的一個周期為4
B．f(2 022)＝1
C．當x∈[2,3]時，f(x)＝－log2(4－x)
D．函數f(x)在[0,2 021]內有1 010個零點
16．(多選)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上單調遞增，則下列關于f(x)的結論中正確的有(　　)
A．f(x)的圖象關于直線x＝1對稱
B．f(x)在[0,1]上單調遞增
C．f(x)在[1,2]上單調遞減
D．f(2)＝f(0)
17.(多選)已知f(x)是定義在R上的奇函數，f(2－x)＝f(x)，當x∈[0，1]時，f(x)＝x3，則下列結論錯誤的是(　　)
A.f(2 021)＝0
B.2是f(x)的一個周期
C.當x∈(1，3)時，f(x)＝(1－x)3
D.f(x)＞0的解集為(4k，4k＋2)(k∈Z)
18.(多選)已知奇函數f(x)的定義域為R，且滿足f(2＋x)＝f(2－x)，以下關于函數f(x)的說法正確的為(　　)
A.f(x)滿足f(8－x)＝f(x)
B.8為f(x)的一個周期
C.f(x)＝sin 是滿足條件的一個函數
D.f(x)有無數個零點
19．與f(x)＝ex關于直線x＝1對稱的函數是________．
20．寫出一個同時具有性質①②③的函數f(x)＝________.
①f(x)是定義域為R的奇函數；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
21．寫出一個定義域為R，周期為π的偶函數f(x)＝________.
22．若函數f(x)＝ex－e－x，則不等式f(ln x)＋f(ln x－1)>0的解集是________．
23.已知函數f(x)＝asin x＋btan x＋1，若f(a)＝－2，則f(－a)＝________.
24.已知函數f(x)，對 x∈R滿足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝1，則f(26)＝________.
25.已知f(x)是定義在R上的奇函數，f(x＋1)是偶函數，當x∈(2，4)時，f(x)＝|x－3|，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2 022)＝________.
26.設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x).當x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2.
(1)求證：f(x)是周期函數；
(2)當x∈[2，4]時，求f(x)的解析式.
27.設f(x)是R上的奇函數，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x.
(1)求f(π)的值；
(2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.
28．已知函數f(x)＝是奇函數．
(1)求a的值，并解關于x的不等式f(x)>；
(2)求函數g(x)＝圖象的對稱中心．
29．函數y＝f(x)的圖象關于點P(a，b)成中心對稱的充要條件是函數y＝f(x＋a)－b為奇函數．
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函數圖象的對稱中心；
(2)類比上述推廣結論，寫出“函數y＝f(x)的圖象關于y軸成軸對稱的充要條件是函數y＝f(x)為偶函數”的一個推廣結論．
30．已知函數f(x)＝是奇函數．
(1)求實數m的值；
(2)若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．
31．設f(x)是定義在R上的奇函數，且對任意實數x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.
(1)求證：f(x)是周期函數；
(2)當x∈[2,4]時，求f(x)的解析式；
(3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)．
優化提升
32.已知定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數f(x)在(－∞，0)上單調遞增，且滿足f(－1)＝0，則關于x的不等式f(x)＜sin πx的解集為(　　)
A.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B.(－1，0)∪(1，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(0，1)
D.(－1，0)∪(0，1)
33.已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在區間[1，2]上單調遞減，令a＝ln 2，b＝，c＝log2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關系是(　　)
A.f(b)B.f(a)C.f(c)D.f(c)34．已知函數f(x)＝則此函數圖象上關于原點對稱的點有(　　)
A．0對 B．1對 C．2對 D．3對
35．已知函數f(x)＝,則滿足f(2＋log4x)>f(1－log4x)的x的取值范圍是(　　)
A.(0,) B.(,2)
C．(0,2) D．(2，＋∞)
36．已知定義域為R的函數f(x)滿足： x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，且f(1)＝1，則下列結論錯誤的是(　　)
A．f(0)＝2 B．f(x)為偶函數
C．f(x)為奇函數 D．f(2)＝－1
37．(多選)已知函數y＝f(x)，x∈R，下列4個命題中是真命題的是(　　)
A．若y＝f(x＋1)為偶函數，則f(x)的圖象自身關于直線x＝1對稱
B．函數f(x－1)與f(1－x)的圖象關于直線x＝1對稱
C．若f(x)為奇函數，且f(x＋2)＝－f(x)，則f(x)的圖象自身關于點(1,0)對稱
D．若f(x)為奇函數，且f(x)＝f(－x－2)，則f(x)的圖象自身關于直線x＝1對稱
38．已知函數f(x)滿足f(x＋2)是偶函數，若函數y＝|x2－4x－5|與函數y＝f(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則橫坐標之和x1＋x2＋…＋xn＝________.
39．已知定義在R上的函數y＝f(x)滿足：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝；②函數y＝f(x)是偶函數；③當x∈(0,1]時，f(x)＝x＋ex，則f()，f()，f()從小到大的排列是________．
40．若f(x)＝ln＋b是奇函數，則a＝______，b＝______.
41．已知函數f(x)＝在區間[－3,3]上的最大值為M，最小值為N，則M＋N的值為________．
42.已知f(x)是定義在區間[－1，1]上的奇函數，且f(1)＝1，當a，b∈[－1，1]，a＋b≠0時，有＞0成立.
(1)判斷f(x)在區間[－1，1]上的單調性，并證明；
(2)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2．B　
3.－1
4.－6　
5.f(－4)>f(1)　
6.5
【知識歸納】
1．f(－x)＝f(x)　y軸
f(－x)＝－f(x)　原點
2．(1)f(x＋T)＝f(x)　(2)最小
最小正數
3．(1)原點　y軸　(2)x＝－2
(－2,0)
4．(a,0)
5．(1)y軸　(2)x軸　(3)原點
【題型展示】
例1 BC
跟蹤訓練1 C
例2 (1)D　(2)B
例3 D
跟蹤訓練2 (1)D　(2)D
(3)1
例4 (1)f(x)＝log2(5－x)，x∈[2,4]
(2)D
跟蹤訓練3 AB
例5 (1)(2,4)
(2)B
跟蹤訓練4 (1)C　(2)D
例6 (1)4
(2)ABC
跟蹤訓練5 (1)D　(2)C
例7 A
跟蹤訓練6 C
基礎夯實
1.D
2.A
3.B
4.A
5．C
6.B　
7.B　
8.C
9.B　
10.C　
11．A　
12.A　
13.D　
14．ABD　
15.AC
16．AD
17.ABC
18.BCD
19．y＝e2－x
20．2sin x(答案不唯一)
21．cos 2x(答案不唯一)　
22.(，＋∞)
23.4
24.1
25.0
26.(1)證明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x).
∴f(x)是周期為4的周期函數.
(2)解　∵x∈[2，4]，∴－x∈[－4，－2]，
∴4－x∈[0，2]，
∴f(4－x)＝2×(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.
∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x2＋6x－8，
即當x∈[2，4]時，f(x)＝x2－6x＋8.
27.解　(1)由f(x＋2)＝－f(x)得，
f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]
＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)是以4為周期的周期函數，
所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.
(2)由f(x)是奇函數且f(x＋2)＝－f(x)，
得f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，
即f(1＋x)＝f(1－x).
故函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.
又當0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示.
當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則S＝4S△OAB＝4×＝4.
28．解　(1)對任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函數f(x)的定義域為R，
又因為函數f(x)＝為奇函數，則f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，下面驗證函數f(x)＝為奇函數，
f(－x)＝＝－f(x)，故函數f(x)＝為奇函數，
由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，
即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>的解集為.
(2)g(x)＝＝，
則g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函數g(x)＝圖象的對稱中心為(0,1)．
29．解　(1)設函數f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心為P(a，b)，
g(x)＝f(x＋a)－b，
則g(x)為奇函數，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函數f(x)＝x3－3x2圖象的對稱中心為(1，－2)．
(2)推論：函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a成軸對稱的充要條件是函數y＝f(x＋a)為偶函數．
30．解　(1)設x<0，則－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0時，f(x)＝x2＋2x
＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，結合f(x)的圖象(如圖所示)知
所以1故實數a的取值范圍是(1,3]．
31．(1)證明　∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期為4的周期函數．
(2)解　當x∈[－2,0]時，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函數，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又當x∈[2,4]時，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期為4的周期函數，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
從而求得x∈[2,4]時，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解　f(0)＝0, f(1)＝1，
f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期為4的周期函數，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0.
優化提升
32.C
33.C
34．B
35．A
36．C
37．ABD
38．2n
39．f 40．－　ln 2
41．2
42.解　(1)f(x)在區間[－1，1]上單調遞增.證明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，
則－x2∈[－1，1].
∵f(x)為奇函數，
∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝·(x1－x2).
由已知條件得＞0.
又x1－x2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在區間[－1，1]上單調遞增.
(2)∵f(1)＝1，f(x)在區間[－1，1]上單調遞增，
∴在區間[－1，1]上，f(x)≤1.
∵f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1，1]恒成立，
∴m2－2am＋1≥1，
即m2－2am≥0對所有的a∈[－1，1]恒成立.
設g(a)＝－2ma＋m2.
①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1，1]恒成立.
②若m≠0，則g(a)為a的一次函數，
若g(a)≥0，
對a∈[－1，1]恒成立，必須有g(－1)≥0，且g(1)≥0，
∴m≤－2或m≥2.
綜上所述，實數m的取值范圍是{m|m＝0，或m≥2，或m≤－2}.第2部分第4節《二次函數與冪函數》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．函數f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域為(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
2．已知函數f(x)＝－x2－4x＋5，則函數y＝f(x)的單調遞增區間為(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．已知冪函數f(x)的圖象經過點(5,)，則f(8)的值等于(　　)
A. B．4 C．8 D.
【知識歸納】
1．二次函數
(1)二次函數解析式的三種形式
一般式：f(x)＝ ．
頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標為 ．
零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的 ．
(2)二次函數的圖象和性質
函數 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
圖象(拋物線)
定義域
值域
對稱軸 x＝
頂點坐標
奇偶性 當b＝0時是偶函數，當b≠0時是非奇非偶函數
單調性 在(]上單調遞 ；在[)上單調遞 在(]上單調遞 ；在上單調遞
2．冪函數
(1)冪函數的定義
一般地，函數 叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．
(2)常見的五種冪函數的圖象
(3)冪函數的性質
①冪函數在(0，＋∞)上都有定義；
②當α>0時，冪函數的圖象都過點 和 ，且在(0，＋∞)上單調遞增；
③當α<0時，冪函數的圖象都過點 ，且在(0，＋∞)上單調遞減；
④當α為奇數時，y＝xα為 ；當α為偶數時，y＝xα為 ．
【題型展示】
題型一　冪函數的圖象與性質
例1　(1)冪函數f(x)＝(m2＋m－5)在區間(0，＋∞)上單調遞增，則f(3)等于(　　)
A．27 B．9 C. D.
(2)若冪函數y＝xm與y＝xn在第一象限內的圖象如圖所示，則(　　)
A．－1C．－11 D．n<－1，m>1
跟蹤訓練1　(1)(多選)已知函數y＝(m∈Z)為偶函數且在區間(0，＋∞)上單調遞減，則實數m的值可以為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)已知冪函數(p∈Z)的圖象關于y軸對稱，如圖所示，則(　　)
A．p為奇數，且p>0
B．p為奇數，且p<0
C．p為偶數，且p>0
D．p為偶數，且p<0
題型二　二次函數的解析式
例2　已知二次函數f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定該二次函數的解析式．
跟蹤訓練2　已知二次函數的圖象過點(－3,0)，(1,0)，且頂點到x軸的距離等于2，則二次函數的解析式為________．
題型三　二次函數的圖象與性質
命題點1　二次函數的單調性與最值
例3　已知二次函數f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在區間[1,2]上單調遞減，求a的取值范圍；
(2)若a>0，設函數f(x)在區間[1,2]上的最小值為g(a)，求g(a)的表達式．
命題點2　二次函數的圖象
例4　設abc>0，則二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是(　　)
跟蹤訓練3　(1)函數f(x)＝x2－4x＋2在區間[a，b]上的值域為[－2,2]，則b－a的取值范圍是____．
(2)(多選)二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列說法正確的是(　　)
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
基礎夯實
1.若冪函數f(x)＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8在(0，＋∞)上為增函數，則m的值為(　　)
A.1或3 B.1
C.3 D.2
2.若四個冪函數y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐標系中的圖象如圖所示，則a，b，c，d的大小關系是(　　)
A.d＞c＞b＞a B.a＞b＞c＞d
C.d＞c＞a＞b D.a＞b＞d＞c
3.已知函數f(x)＝x－3，若a＝f(0.60.6)，b＝f(0.60.4)，c＝f(0.40.6)，則a，b，c的大小關系是(　　)
A.aC.b4．已知函數f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若對于區間[－1,2]上的任意兩個不相等的實數x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－∞，0] B．[0,3]
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．[3，＋∞)
5.不等式≤的解集是(　　)
A.[0,] B.[,＋∞)
C.[0,] D.[,＋∞)
6.已知在(－∞，1]上遞減的函數f(x)＝x2－2tx＋1，且對任意的x1，x2∈[0，t＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤2，則實數t的取值范圍是(　　)
A.[－，] B.[1，]
C.[2，3] D.[1，2]
7．已知p：f(x)是冪函數，q：f(x)的圖象過點(0,0)，則p是q的(　　)
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
8．已知a＝，b＝，c＝，則(　　)
A．bC．b9．函數y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐標系內的圖象可以是(　　)
10.已知關于x的方程＝a|x|有三個不同的實數解，則實數a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，0) B.(0，1)
C.(1，＋∞) D.(0，＋∞)
11．(多選)冪函數f(x)＝在(0，＋∞)上單調遞增，則以下說法正確的是(　　)
A．m＝3
B．函數f(x)在(－∞，0)上單調遞增
C．函數f(x)是偶函數
D．函數f(x)的圖象關于原點對稱
12．(多選)若二次函數f(x)＝ax2＋2ax＋1在區間[－2,3]上的最大值為6，則a等于(　　)
A．－ B. C．－5 D．5
13.(多選)已知函數f(x)＝xα的圖象經過點(4，2)，則下列命題正確的有(　　)
A.函數f(x)為增函數
B.函數f(x)為偶函數
C.若x＞1，則f(x)＞1
D.若0＜x1＜x2，則＜f()
14．已知二次函數f(x)的圖象經過點(4,3)，且圖象被x軸截得的線段長為2，并且對任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，則f(x)的解析式為________．
15．已知二次函數f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域為[1，＋∞)，則＋的最小值為________．
16.已知函數f(x)為冪函數，且f(4)＝，則當f(a)＝4f(a＋3)時，則實數a＝________.
17.若＜，則實數a的取值范圍是________.
18.若函數φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上單調遞增，則實數m的取值范圍是________.
19.已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值.
20.已知函數f(x)＝，其中a∈R.
(1)當函數f(x)的圖象關于點P(－1，3)成中心對稱時，求a的值；
(2)若函數f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減，求a的取值范圍.
21．已知冪函數f(x)＝(2m2－m－2)(m∈R)為偶函數．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函數g(x)＝f(x)－2(a－1)x＋1在區間[0,4]上的最大值為9，求實數a的值．
22．設二次函數f(x)滿足：①當x∈R時，總有f(－1＋x)＝f(－1－x)；②函數f(x)的圖象與x軸的兩個交點為A，B，且|AB|＝4；③f(0)＝－.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若存在t∈R，只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1成立，求滿足條件的實數m的最大值．
優化提升
23．已知函數f(x)＝2ax2－2 022x－2 023，對任意t∈R，在區間[t－1，t＋1]上存在兩個實數x1，x2，使|f(x1)－f(x2)|≥1成立，則a的取值范圍是(　　)
A.[,]
B．[－1,1]
C．(－∞，－1]∪{0}∪[1，＋∞)
D.(－∞，]∪{0}∪[，＋∞)
24．已知函數f(x)＝x2－4x＋1，設1≤x1A．3 B．4 C．5 D．6
25.已知冪函數y＝xa與y＝xb的部分圖象如圖所示，直線x＝m2，x＝m(0A. B．1
C. D．2
26．設關于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的兩個實數根分別是α，β，則α2＋β2＋5的最小值為________．
27.如圖，正方形OABC的邊長為a(a＞1)，函數y＝3x2的圖象交AB于點Q，函數y＝x－的圖象交BC于點P，則當|AQ|＋|CP|最小時，a的值為________.
28.已知二次函數f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R.
(1)若函數f(x)的最小值為f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并寫出單調區間；
(2)在(1)的條件下，f(x)>x＋k在區間[－3，－1]上恒成立，試求k的取值范圍.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.A　3.D
【知識歸納】
1．(1)ax2＋bx＋c(a≠0)　(m，n) 零點　
(2)R　　　－
　減　增　增　減
2．(1)y＝xα　(3)②(1,1)　(0,0)
③(1,1)　④奇函數　偶函數
【題型展示】
例1 (1)A
(2)B
跟蹤訓練1 (1)BC　(2)D
例2 解　方法一　(利用“一般式”解題)
設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由題意得
解得
所以所求二次函數的解析式為
f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二　(利用“頂點式”解題)
設f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．
因為f(2)＝f(－1)，
所以拋物線的對稱軸為x＝＝，
所以m＝.
又根據題意，函數有最大值8，
所以n＝8，
所以f(x)＝a2＋8.
因為f(2)＝－1，
所以a2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－42＋8
＝－4x2＋4x＋7.
方法三　(利用“零點式”解題)
由已知f(x)＋1＝0的兩根為x1＝2，x2＝－1，
故可設f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函數有最大值8，
即＝8.
解得a＝－4.
故所求函數的解析式為f(x)＝－4x2＋4x＋7.
跟蹤訓練2 y＝x2＋x－或y＝－x2－x＋
例3 解　(1)當a>0時，
f(x)＝ax2－x＋2a－1的圖象開口向上，對稱軸方程為x＝，
所以f(x)在區間[1,2]上單調遞減需滿足≥2，a>0，
解得0當a<0時，f(x)＝ax2－x＋2a－1的圖象開口向下，對稱軸方程為
x＝<0，
所以f(x)在區間[1,2]上單調遞減需滿足a<0，
綜上，a的取值范圍是(－∞，0)∪.
(2)①當0<<1，即a>時，
f(x)在區間[1,2]上單調遞增，
此時g(a)＝f(1)＝3a－2.
②當1≤≤2，即≤a≤時，
f(x)在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
此時g(a)＝f ＝2a－－1.
③當>2，即0f(x)在區間[1,2]上單調遞減，
此時g(a)＝f(2)＝6a－3，
綜上所述，g(a)＝
例4 D
跟蹤訓練3 (1)[2,4]　(2)ACD
基礎夯實
1.B
2.B
3.B
4.C　
5.B
6.B
7．D　
8.A　
9.C　
10.C
11.ABD　
12.BC
13.ACD
14．f(x)＝x2－4x＋3
15．3
16.
17.(－∞，－1)∪
18.　[－2，0]
19.解　(1)當a＝0時，f(x)＝－2x在[0，1]上遞減，
∴f(x)min＝f(1)＝－2.
(2)當a>0時，f(x)＝ax2－2x圖象開口方向向上，且對稱軸為x＝.
①當≤1，即a≥1時，f(x)＝ax2－2x圖象的對稱軸在[0，1]內，∴f(x)在上遞減，在上遞增.
∴f(x)min＝f＝－＝－.
②當>1，即0∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
(3)當a<0時，f(x)＝ax2－2x的圖象的開口方向向下，且對稱軸x＝<0，在y軸的左側，
∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上遞減.
∴f(x)min＝f(1)＝a－2.
綜上所述，f(x)min＝
20.解　(1)f(x)＝
＝＝a＋，
所以f(x)的對稱中心為(－1，a)，
與P(－1，3)比較得a＝3.
(2)由f(x)＝＝a＋，
當2－2a＞0，即a＜1時，f(x)在(－1，＋∞)上單調遞減，故a的取值范圍是{a|a＜1}.
21．解　(1)由冪函數可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝，
當m＝－1時，f(x)＝x2，函數為偶函數，符合題意；
當m＝時，f(x)＝x7，函數為奇函數，不符合題意，
故f(x)的解析式為f(x)＝x2.
(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)·x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函數的對稱軸為x＝a－1，開口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由題意得，在區間[0,4]上，f(x)max＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，經檢驗a＝2符合題意，
所以實數a的值為2.
22．解　(1)由題意知，函數f(x)的圖象關于直線x＝－1對稱，且方程f(x)＝0的兩根為－3和1，
設f(x)＝a(x＋3)(x－1)，
又f(0)＝－，
則f(0)＝－3a＝－，解得a＝.
故f(x)＝x2＋x－.
(2)只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1，即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0，
取x＝1，t2＋4t≤0，－4≤t≤0；
取x＝m，[m＋(t－1)]2≤－4t，
即1－t－2≤m≤1－t＋2，
由－4≤t≤0得0≤－t≤4,1－t＋2≤1＋4＋2×＝9，
故當t＝－4時，m≤9；
當m＝9時，存在t＝－4，
只要x∈[1,9]，
就有f(x－4)－(x－1)
＝(x－1)(x－9)≤0成立，滿足題意．
故滿足條件的實數m的最大值為9.
優化提升
23．D
24．C
25．B
26．7
27.
28.解　(1)由題意知解得
所以f(x)＝x2＋2x＋1，
由f(x)＝(x＋1)2知，函數f(x)的單調遞增區間為[－1，＋∞)，單調遞減區間為(－∞，－1].
(2)由題意知，x2＋2x＋1>x＋k在區間[－3，－1]上恒成立，即k令g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3，－1]，
由g(x)＝＋知g(x)在區間[－3，－1]上是減函數，則g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1，
故k的取值范圍是(－∞，1).第2部分第5節《指數與指數函數》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．已知函數y＝a·2x和y＝2x＋b都是指數函數，則a＋b等于(　　)
A．不確定 B．0 C．1 D．2
2．若指數函數f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值為2，則a＝________.
3．計算：＝________.
【知識歸納】
1．根式
(1)一般地，如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.
(2)式子叫做 ，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．
(3)()n＝ .
當n為奇數時，＝ ，
當n為偶數時，＝|a|＝
2．分數指數冪
正數的正分數指數冪：＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．
正數的負分數指數冪：＝ ＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．
0的正分數指數冪等于 ,0的負分數指數冪沒有意義．
3．指數冪的運算性質
aras＝ ；(ar)s＝ ；(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指數函數及其性質
(1)概念：一般地，函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是 .
(2)指數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域
值域
性質 過定點 ，即x＝0時，y＝1
當x>0時， ；當x<0時， 當x<0時， ；當x>0時，
在(－∞，＋∞)上是_______ 在(－∞，＋∞)上是_______
常用結論：
1．指數函數圖象的關鍵點(0,1)，(1，a)，.
2.如圖所示是指數函數(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，則c>d>1>a>b>0，即在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大．
【題型展示】
題型一　指數冪的運算
例1　計算：
(1)(－1.8)0＋－2·－＋；
(2)(a>0，b>0)．
跟蹤訓練1　計算：
(1) ；
(2).
題型二　指數函數的圖象及應用
例2　(1)若函數f(x)＝|2x－2|－b有兩個零點，則實數b的取值范圍是________．
(2)(多選)已知非零實數a，b滿足3a＝2b，則下列不等關系中正確的是(　　)
A．aB．若a<0，則bC．|a|<|b|
D．若0跟蹤訓練2　(多選)函數f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數，則下列結論正確的是(　　)
A．a>1
B．0C．b>0
D．b<0
題型三　指數函數的性質及應用
命題點1　解簡單的指數方程或不等式
例3　已知y＝4x－3·2x＋3的值域為[1,7]，則x的取值范圍是(　　)
A．[2,4] B．(－∞，0)
C．(0,1)∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]
命題點2　比較指數式大小
例4　設a＝30.7，b＝2－0.4，c＝90.4，則(　　)
A．bC．a命題點3　指數函數性質的綜合應用
例5 已知函數f(x)＝(a為常數，且a≠0，a∈R)，且f(x)是奇函數．
(1)求a的值；
(2)若 x∈[1,2], 都有f(2x)－mf(x)≥0成立，求實數m的取值范圍．
跟蹤訓練3　(1)已知函數f(x)＝，若f(x)有最大值3，則a的值為________．
(2)(多選)已知函數f(x)＝，下列說法正確的有(　　)
A．f(x)的圖象關于原點對稱
B．f(x)的圖象關于y軸對稱
C．f(x)的值域為(－1,1)
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，<0
基礎夯實
1．若m＝，n＝，則m＋n的值為(　　)
A．－7 B．－1 C．1 D．7
2．已知指數函數f(x)＝(2a2－5a＋3)ax在(0，＋∞)上單調遞增，則實數a的值為(　　)
A. B．1 C. D．2
3.不論a為何值，函數y＝(a－1)2x－恒過定點，則這個定點的坐標是(　　)
A. B.
C. D.
4.若0A.ab B.ba C.aa D.bb
5．對任意實數a>1，函數y＝(a－1)x－1＋1的圖象必過定點A(m，n)，f(x)＝
x的定義域為[0,2]，g(x)＝f(2x)＋f(x)，則g(x)的值域為(　　)
A．(0,6] B．(0,20]
C．[2,6] D．[2,20]
6．函數y＝ax－(a>0，且a≠1)的圖象可能是(　　)
7．已知＝5，則的值為(　　)
A．5 B．23 C．25 D．27
8.某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系式為P＝P0e－kt，其中P0，k為正常數.如果一定量的廢氣在前10 h的過濾過程中污染物被消除了20%，那么污染物減少到最初含量的50%還需要經過多長時間？(結果四舍五入取整數，參考數據：ln 2≈0.693，ln 5≈1.609)(　　)
A.11 h B.21 h C.31 h D.41 h
9．(多選)已知函數f(x)＝|2x－1|，實數a，b滿足f(a)＝f(b)(aA．2a＋2b>2
B． a，b∈R，使得0C．2a＋2b＝2
D．a＋b<0
10.(多選)函數y＝ax－a(a＞0，a≠1)的圖象可能是(　　)
11.(多選)下列函數中在區間(0，1)內單調遞減的是(　　)
A.y＝x B.y＝21－x
C.y＝ln(x＋1) D.y＝|1－x|
12.(多選)已知函數f(x)＝2－x－2x，有下列四個結論，其中正確的結論是(　　)
A.f(0)＝0
B.f(x)是奇函數
C.f(x)在(－∞，＋∞)上單調遞增
D.對任意的實數a，方程f(x)－a＝0都有解
13．計算化簡：
(1)＝________；
(2)＝________.
14．已知函數f(x)＝3x＋1－4x－5，則不等式f(x)<0的解集是________．
15.設函數f(x)為偶函數，當x≥0時，f(x)＝2x－1，則不等式f(x)＞1的解集為________.
16.化簡：(a＞0，b＞0)＝________.
17.已知0≤x≤2，則函數y＝4x－－3×2x＋5的最大值為________.
18.化簡下列各式：
(1)8－＋＋[(－2)6]；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
19.已知函數f(x)＝b·ax(其中a，b為常數，且a>0，a≠1)的圖象經過點A(1，6)，B(3，24).
(1)求f(x)的表達式；
(2)若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求實數m的取值范圍.
20．已知定義域為R的函數f(x)＝ax－(k－1)a－x(a>0，且a≠1)是奇函數．
(1)求實數k的值；
(2)若f(1)<0，判斷函數f(x)的單調性，若f(m2－2)＋f(m)>0，求實數m的取值范圍．
21．函數f(x)＝a2x＋ax＋1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上的最大值為13，求實數a的值．
優化提升
22．已知函數f(x)＝x2－bx＋c滿足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關系為(　　)
A．f(cx)≥f(bx) B．f(cx)≤f(bx)
C．f(cx)>f(bx) D．f(cx)＝f(bx)
23．(多選)已知函數f(x)＝a·|x|＋b的圖象經過原點，且無限接近直線y＝2，但又不與該直線相交，則下列說法正確的是(　　)
A．a＋b＝0
B．若f(x)＝f(y)，且x≠y，則x＋y＝0
C．若xD．f(x)的值域為[0,2)
24.(多選)已知a＞b＞0，且ab＝4，則(　　)
A.2a－b＞1 B.log2a－log2b＞1
C.2a＋2b＞8 D.log2a·log2b＜1
25．若ex－ey＝e，x，y∈R，則2x－y的最小值為________．
26．對于函數f(x)，若在定義域內存在實數x0滿足f(－x0)＝－f(x0)，則稱函數f(x)為“倒戈函數”．設f(x)＝3x＋m－1(m∈R，m≠0)是定義在[－1,1]上的“倒戈函數”，則實數m的取值范圍是________．
27.已知常數a>0，函數f(x)＝的圖象經過點P，Q.若2p＋q＝36pq，則a＝________.
28.已知函數f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函數f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求實數λ的取值范圍.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　2.2或　3.1
【知識歸納】
1．(1)x　(2)根式　(3)a　a
2.　　0
3．ar＋s　ars　arbr
4．(1)R　(2)R　(0，＋∞)　(0,1)
y>1　01　0【題型展示】
例1 解　(1)(－1.8)0＋－2·－＋
＝1＋
＝1＋2·2－10＋33
＝1＋1－10＋27＝19.
(2)
＝
＝2××8＝.
跟蹤訓練1 解　(1)因為有意義，所以a>0，
所以原式＝＝÷＝a÷a＝1.
(2)原式＝＝10－1＋8＋23·32＝89.
例2 (1)(0,2)
(2)BCD
跟蹤訓練2 BD
例3 D　　
例4 D
例5 解　(1)f(x)＝×2x＋，
因為f(x)是奇函數，
所以f(－x)＝－f(x)，
所以×＋2x
＝－，
所以＝0，
即＋1＝0，解得a＝－1.
(2)因為f(x)＝－2x，x∈[1,2]，
所以－22x≥m，
所以m≥＋2x，x∈[1,2]，
令t＝2x，t∈[2,4]，
由于y＝t＋在[2,4]上單調遞增，
所以m≥4＋＝.
跟蹤訓練3 (1)1　(2)AC
基礎夯實
1．C　
2.D　
3.C
4.A
5.C
6.D　
7.B　
8.B
9.BC
10.BD
11.ABD
12.CD　
13．(1)0.09　(2)
14．(－1,1)
15.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
16.
17.
18.解　(1)原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－.
19.解　(1)因為f(x)的圖象過A(1，6)，B(3，24)，
所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3.
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知a＝2，b＝3，則當x∈(－∞，1]時，＋－m≥0恒成立，即m≤＋在x∈(－∞，1]上恒成立.
又因為y＝與y＝均為減函數，所以y＝＋也是減函數，所以當x＝1時，y＝＋有最小值.
則m≤，故m的取值范圍是.
20．解　(1)∵f(x)是定義域為R的奇函數，
∴f(0)＝a0－(k－1)a0
＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
經檢驗k＝2符合題意，∴k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0從而y＝ax在R上單調遞減，
y＝a－x在R上單調遞增，
故由單調性的性質可判斷f(x)＝ax－a－x在R上單調遞減，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化為f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2∴實數m的取值范圍是(－2,1)．
21．解　由f(x)＝a2x＋ax＋1，
令ax＝t，則t>0，
則y＝t2＋t＋1＝2＋，其對稱軸為t＝－.
該二次函數在上單調遞增．
①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，
故當t＝a，即x＝1時，
ymax＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．
②若0可得t＝ax∈，
故當t＝，即x＝－1時，
ymax＝2＋＋1＝13.
解得a＝或a＝－(舍去)．
綜上可得，a＝3或.
優化提升
22．A
23．ABD
24.ACD
25．1＋2ln 2
26.
27.6
28.解　(1)f(x)＝－＋4
＝－2λ·＋4(－1≤x≤2).
設t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.
當λ＝時，g(t)＝t2－3t＋4
＝＋.
所以g(t)max＝g＝，
g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函數f(x)的值域為.
(2)方程f(x)＝0有解可轉化為
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2).
設φ(x)＝2·2x＋，
當2x＝，即x＝－1時，φ(x)min＝2；
當2x＝4，即x＝2時，φ(x)max＝.
∴函數φ(x)的值域為.
故實數λ的取值范圍是.第2部分第6節《對數與對數函數》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．若函數f(x)＝log2(x＋1)的定義域是[0,1]，則函數f(x)的值域為(　　)
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．eln 2＋＝________.
3．函數y＝loga(x－2)＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過點________．
【知識歸納】
1．對數的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作 ，其中 叫做對數的底數， 叫做真數．
以10為底的對數叫做常用對數，記作 .
以e為底的對數叫做自然對數，記作 .
2．對數的性質與運算性質
(1)對數的性質：loga1＝ ，logaa＝ ，＝ (a>0，且a≠1，N>0)．
(2)對數的運算性質
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝ ；
②loga＝ ；
③logaMn＝ (n∈R)．
(3)對數換底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域
值域
性質 過定點 ，即x＝1時，y＝0
當x>1時， ；當01時， ；當0在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是
4.反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數 (a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線 對稱．
常用結論：
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如圖給出4個對數函數的圖象
則b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的對數函數圖象從左到右底數逐漸增大．
3．對數函數y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象恒過點(1,0)，(a,1)，.
【題型展示】
題型一　對數式的運算
例1　(1)若2a＝5b＝10，則＋的值是(　　)
A．－1 B. C. D．1
(2)計算：log535＋－log5－log514＝________.
跟蹤訓練1　(1)已知2a＝3，b＝log85，則4a－3b＝________.
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log34×log23＝________.
題型二　對數函數的圖象及應用
例2　(1)已知函數f(x)＝|ln x|，若0(2)已知函數f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關系是(　　)
A．0B．0C．0D．0跟蹤訓練2　(1)已知a>0且a≠1，函數y＝ax的圖象如圖所示，則函數f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為(　　)
(2)已知lg a＋lg b＝0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，則函數f(x)＝ax與g(x)＝的圖象可能是(　　)
題型三　對數函數的性質及應用
命題點1　比較對數式的大小
例3　已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，則a，b，c的大小關系是(　　)
A．aC．a命題點2　解對數方程、不等式
例4　若loga(a＋1)0，且a≠1)，則實數a的取值范圍是________．
命題點3　對數函數的性質及應用
例5　設函數f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，則f(x)(　　)
A．是偶函數，且在(－∞，－3)上單調遞減
B．是奇函數，且在(－3,3)上單調遞減
C．是奇函數，且在(3，＋∞)上單調遞增
D．是偶函數，且在(－3,3)上單調遞增
跟蹤訓練3　(1)若函數f(x)＝loga(a>0，且a≠1)有最小值，則實數a的取值范圍是________．
(2)已知函數f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上單調遞減，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
基礎夯實
1．函數f(x)＝的定義域為(　　)
A. B.
C. D．[1，＋∞)
2.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg ，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1，2).已知太陽的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為(　　)
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10－10.1
3.已知函數f(x)＝lg 的值域是全體實數，則實數m的取值范圍是(　　)
A.(－4，＋∞) B.[－4，＋∞)
C.(－∞，－4) D.(－∞，－4]
4.已知函數f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，＋∞)單調遞增，則a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，－1] B.(－∞，2]
C.[2，＋∞) D.[5，＋∞)
5．已知函數f(x)＝log2(x＋1)－|x|，則不等式f(x)>0的解集是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0) D．
6.已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　)
A.aC.c7．若函數f(x)＝logax(a>0，且a≠1)的反函數的圖象過點(1,3)，則f(log28)等于(　　)
A．－1 B．1 C．2 D．3
8．函數f(x)＝log2(|x|－1)的圖象為(　　)
9．按照“碳達峰”“碳中和”的實現路徑，2030年為碳達峰時期，2060年實現碳中和，到2060年，純電動汽車在整體汽車中的滲透率有望超過70%，新型動力電池迎來了蓬勃發展的風口．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：Ah)，放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關系的經驗公式：C＝In·t，其中n為Peukert常數，為了測算某蓄電池的Peukert常數n，在電池容量不變的條件下，當放電電流I＝20 A時，放電時間t＝20 h；當放電電流I＝30 A時，放電時間t＝10 h．則該蓄電池的Peukert常數n大約為(　　)
(參考數據：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
A. B. C. D．2
10.已知lg a＋lg b＝0，則函數f(x)＝a－x與函數g(x)＝logbx的圖象可能是(　　)
11．(多選)已知函數f(x)＝|loga(x＋1)|(a>1)，下列說法正確的是(　　)
A．函數f(x)的圖象恒過定點(0,0)
B．函數f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減
C．函數f(x)在區間上的最小值為0
D．若對任意x∈[1,2]，f(x)≥1恒成立，則實數a的取值范圍是(1,2]
12.(多選)若10a＝4，10b＝25，則(　　)
A.a＋b＝2 B.b－a＝1
C.ab＞8lg22 D.b－a＞lg 6
13．計算：－2＋＝______.
14．函數f(x)＝的最小值為________．
15.若log43＝mlog23，則log m＝________.
16.已知函數f(x)＝loga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在區間[1，2]上恒成立，則實數a的取值范圍是________.
17.設實數a，b是關于x的方程|lg x|＝c的兩個不同實數根，且a18.設f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1)，且f(1)＝2.
(1)求實數a的值及f(x)的定義域；
(2)求f(x)在區間上的最大值.
19.已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，f(0)＝0，當x＞0時，f(x)＝logx.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x2－1)＞－2.
20．已知f(x)＝
(1)若a＝2，求f(x)的值域；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上單調遞減，求a的取值范圍．
21．已知函數f(x)＝log3(9x＋1)＋kx是偶函數．
(1)求k；
(2)解不等式f(x)≥log3(7·3x－1)．
優化提升
22．若非零實數a，b，c滿足2a＝3b＝6c＝k，則(　　)
A.＋＝ B.＋＝
C.＋＝ D.＋＝
23．已知函數f(x)的定義域為R，圖象恒過點(0,1)，對任意x1，x2∈R，x1≠x2，都有>1，則不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)的解集為(　　)
A．(ln 2，＋∞) B．(－∞，ln 2)
C．(ln 2,1) D．(0，ln 2)
24.設函數f(x)的定義域為D，若滿足：①f(x)在D內是單調增函數；②存在[m，n] D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域為[m，n]，那么就稱y＝f(x)是定義域為D的“成功函數”.若函數g(x)＝loga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定義域為R的“成功函數”，則t的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
25．(多選)關于函數f(x)＝log2x＋log2(4－x)，下列說法正確的是(　　)
A．f(x)的最大值為1
B．f(x)在區間(0,2)上為增函數
C．f(x)的圖象關于直線x＝2對稱
D．f(x)的圖象關于點(2,0)對稱
26．(多選)已知函數f(x)＝若f(x)＝a有四個解x1，x2，x3，x4且滿足x1A．0B．x1＋2x2∈(3，＋∞)
C．x1＋x2＋x3＋x4∈
D．x4∈[4，＋∞)
27.已知f(x)＝|lg x|－kx－2，給出下列四個結論：
(1)若k＝0，則f(x)有兩個零點；
(2) k<0，使得f(x)有一個零點；
(3) k<0，使得f(x)有三個零點；
(4) k>0，使得f(x)有三個零點.
以上正確結論的序號是________.
28.已知函數f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.
(1)當x∈[1，4]時，求函數h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；
(2)如果對任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立，求實數k的取值范圍.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．A　2.4　3.(3,2)
【知識歸納】
1．x＝logaN　a　N　lg N　ln N
2．(1)0　1　N　(2)①logaM＋logaN　②logaM－logaN　③nlogaM
3．(0，＋∞)　R　(1,0)　y>0　y<0
y<0　y>0　增函數　減函數
4．y＝logax　y＝x
【題型展示】
例1 (1)D　(2)2
跟蹤訓練1 (1)　(2)－1
例2 (1)(3，＋∞)
(2)A
跟蹤訓練2 (1)D　(2)B
例3 C
例4
例5 A
跟蹤訓練3 (1)(1，)　(2)A
基礎夯實
1．A　
2.A
3.D
4.D
5.B
6.B
7.B　
8.A　
9.B　
10.C
11．ACD　
12.ACD
13．10　
14.－
15.－2
16.
17.(0，1)
18.解　(1)∵f(1)＝2，
∴loga4＝2(a＞0，且a≠1)，
∴a＝2.由得－1＜x＜3，
∴函數f(x)的定義域為(－1，3).
(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)
＝log2[(1＋x)(3－x)]
＝log2[－(x－1)2＋4]，
∴當x∈[0，1]時，f(x)單調遞增；
當x∈時，f(x)單調遞減，
故函數f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.
19.解　(1)當x＜0時，－x＞0，
則f(－x)＝log(－x).
因為函數f(x)是偶函數，
所以f(－x)＝f(x).
所以x＜0時，f(x)＝log(－x)，
所以函數f(x)的解析式為
f(x)＝
(2)因為f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函數，
所以不等式f(x2－1)＞－2可化為
f(|x2－1|)＞f(4).
又因為函數f(x)在(0，＋∞)上是減函數，
所以0＜|x2－1|＜4，解得－＜x＜且x≠±1，
而x2－1＝0時，f(0)＝0＞－2，所以x＝1或x＝－1.
所以－＜x＜.
所以不等式的解集為{x|－＜x＜}.
20．解　(1)當a＝2時，f(x)＝，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤＝－2，
∴f(x)的值域為(－∞，－2]．
(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝(x)為減函數，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上單調遞增，
∴
解得－∴a的取值范圍是.
21．解　(1)∵f(x)是偶函數，
∴f(－x)＝f(x)，
即log3(9－x＋1)－kx＝log3(9x＋1)＋kx對任意x∈R恒成立，
∴2kx＝log3(9－x＋1)－log3(9x＋1)＝log3＝log33－2x＝－2x，
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3(9x＋1)－log33x＝log3＝log3(3x＋3－x)，
則不等式f(x)≥log3(7·3x－1)等價于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
由7·3x－1>0，解得x>－log37；
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤，
即x≤－log32，
綜上，不等式的解集為(－log37，－log32]．
優化提升
22．A
23．D
24.A
25．BC
26．AC
27.(1)(2)(4)
28.解　(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x
＝2－2(log2x－1)2.
因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，
故函數h(x)的值域為[0，2].
(2)由f(x2)·f()>k·g(x)，
得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，
令t＝log2x，因為x∈[1，4]，
所以t＝log2x∈[0，2]，
所以(3－4t)(3－t)>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，
①當t＝0時，k∈R；
②當t∈(0，2]時，k<恒成立，即k<4t＋－15，
因為4t＋≥12，當且僅當4t＝，即t＝時取等號，
所以4t＋－15的最小值為－3.
所以k<－3.
綜上，實數k的取值范圍為(－∞，－3).第2部分第7節《函數的圖像》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．函數f(x)＝ln(x＋1)的圖象與函數g(x)＝x2－4x＋4的圖象的交點個數為(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函數y＝1－的圖象是(　　)
3．函數y＝f(x)的圖象與y＝ex的圖象關于y軸對稱，再把y＝f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數y＝g(x)的圖象，則g(x)＝________.
【知識歸納】
1．利用描點法作函數圖象的方法步驟： 、 、 ．
2．利用圖象變換法作函數的圖象
(1)平移變換
(2)對稱變換
①y＝f(x)y＝ ．
②y＝f(x)y＝ ．
③y＝f(x)y＝ ．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝ ．
(3)翻折變換
①y＝f(x)y＝ .
②y＝f(x)y＝ ．
常用結論：
1．左右平移僅僅是相對x而言的，即發生變化的只是x本身，利用“左加右減”進行操作．如果x的系數不是1，需要把系數提出來，再進行變換．
2. 函數圖象自身的對稱關系
(1)若函數y＝f(x)的定義域為R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝對稱．
(2)函數y＝f(x)的圖象關于點(a，b)成中心對稱 f(a＋x)＝2b－f(a－x) f(x)＝2b－f(2a－x)．
3．兩個函數圖象之間的對稱關系
(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱．
(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)對稱．
【題型展示】
題型一　作函數圖象
例1　作出下列各函數的圖象：
(1)y＝|log2(x＋1)|；
(2)y＝；
(3)y＝x2－2|x|－1.
跟蹤訓練1　作出下列各函數的圖象：
(1)y＝x－|x－1|；(2)y＝|x|；(3)y＝|log2x－1|.
題型二　函數圖象的識別
例2　(1)如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[－3,3]上的大致圖象，則該函數是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
(2))函數f(x)＝y＝的圖象大致為(　　)
跟蹤訓練2　(1)已知函數f(x)＝則函數y＝f(1－x)的圖象大致為(　　)
(2)函數f(x)＝的大致圖象為(　　)
題型三　函數圖象的應用
命題點1　利用圖象研究函數的性質
例3　(多選)已知函數f(x)＝，則下列結論正確的是(　　)
A．函數f(x)的圖象關于點(1,2)成中心對稱
B．函數f(x)在(－∞，1)上單調遞減
C．函數f(x)的圖象上至少存在兩點A，B，使得直線AB∥x軸
D．函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱
命題點2　利用圖象求參數的取值范圍
例4　已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)－m＝0恰有兩個不同的實數解，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(0,1) B．[0,1)
C．(1,3)∪{0} D．[1,3)∪{0}
命題點3　利用圖象解不等式
例5　已知定義在R上的奇函數f(x)在[0，＋∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為(　　)
A．(－，0)∪(，2)
B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－，0)∪(，2)
D．(－2，－)∪(0，)∪(2，＋∞)
跟蹤訓練3　(1)已知函數f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實數根，則實數k的取值范圍是________．
(2)把函數f(x)＝ln|x－a|的圖象向左平移2個單位長度，所得函數在(0，＋∞)上單調遞增，則a的最大值為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
基礎夯實
1．為了得到函數y＝2x－3－1的圖象，只需把函數y＝2x的圖象(　　)
A．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
B．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度
C．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
D．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度
2.已知函數f(x)＝logax(0＜a＜1)，則函數y＝f(|x|＋1)的圖象大致為(　　)
3.函數y＝的部分圖象大致為(　　)
4.若函數f(x)＝的圖象如圖所示，則f(－3)＝(　　)
A.－ B.－
C.－1 D.－2
5.已知f(x)是定義在[－5,5]上的偶函數，當－5≤x≤0時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式<0的解集為(　　)
A．(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]
B．(－π，－2)∪(π，5]
C．[－5，－2)∪(0，π)∪(π，5]
D．[－5，－2)∪(π，5]
6.如圖，不規則四邊形ABCD中，AB和CD是線段，AD和BC是圓弧，直線l⊥AB交AB于E，當l從左至右移動(與線段AB有公共點)時，把四邊形ABCD分成兩部分，設AE＝x，左側部分的面積為y，則y關于x的圖象大致是(　　)
7.函數y＝1＋x＋的部分圖象大致為(　　)
8.已知函數f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是(　　)
A.(－∞，0] B.(－∞，1]
C.[－2，1] D.[－2，0]
9．已知某個函數的圖象如圖所示，則下列解析式中與此圖象最為符合的是(　　)
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
10．若函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數y＝－f(x＋1)的圖象大致為(　　)
11.下列函數中，其圖象與函數y＝ln x的圖象關于直線x＝1對稱的是(　　)
A.y＝ln(1－x) B.y＝ln(2－x)
C.y＝ln(1＋x) D.y＝ln(2＋x)
12．函數y＝(3x－3－x)·cos x在區間上的圖象大致為(　　)
13．(多選)已知函數f(x)＝方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)，則下列判斷正確的是(　　)
A．函數f(x)的圖象關于直線x＝對稱
B．函數f(x)在區間(3，＋∞)上單調遞增
C．當m∈(1,2)時，方程有3個不同的實數根
D．當m∈(－1,0)時，方程有4個不同的實數根
14.(多選)已知函數f(x)＝(a∈R)，則y＝f(x)的大致圖象可能為(　　)
15.已知函數y＝f(－x)的圖象過點(4，2)，則函數y＝f(x)的圖象一定過點________.
16.若函數f(x)＝的圖象關于點(1，1)對稱，則實數a＝________.
17.已知奇函數f(x)在x≥0時的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集為________.
18.設函數f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，對于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，則實數a的取值范圍是________.
19．將函數f(x)的圖象先向左平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度得到函數g(x)的圖象，若g(x)為奇函數，則f(0)＋f(2)＝________.
20．函數f(x)＝的圖象與直線y＝kx＋1交于不同的兩點(x1，y1)，(x2，y2)，則y1＋y2＝________.
21．已知函數f(x)＝
(1)畫出函數f(x)的圖象；
(2)當f(x)≥2時，求實數x的取值范圍．
22．已知f(x)＝是定義在R上的奇函數．
(1)請畫出f(x)的大致圖象并在圖象上標注零點；
(2)已知a>1，若函數f(x)在區間[－1，a－2]上單調遞增，求實數a的取值范圍；
(3)若函數φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零點個數．
優化提升
23.若函數y＝f(x)的大致圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能是(　　)
A.f(x)＝ B.f(x)＝
C.f(x)＝ D.f(x)＝
24．若平面直角坐標系內A，B兩點滿足：(1)點A，B都在f(x)的圖象上；(2)點A，B關于原點對稱，則對稱點對(A，B)是函數f(x)的一個“和諧點對”，(A，B)與(B，A)可看作一個“和諧點對”．已知函數f(x)＝則f(x)的“和諧點對”有(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個
25．設函數f(x)的定義域為R，滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當x∈(0,1]時，f(x)＝x(x－1)．若對任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，則m的取值范圍是(　　)
A. B.
C. D.
26.(多選)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f(x)＝ex(x＋1)，則下列命題正確的是(　　)
A.當x＞0時，f(x)＝－e－x(x－1)
B.函數f(x)有3個零點
C.f(x)＜0的解集為(－∞，－1)∪(0，1)
D. x1，x2∈R，都有|f(x1)－f(x2)|＜2
27．(多選)函數f(x)＝的圖象如圖所示，則(　　)
A．a>0 B．b<0
C．c>0 D．abc<0
28．(多選)在平面直角坐標系中，如圖放置的邊長為2的正方形ABCD沿x軸滾動(無滑動滾動)，點D恰好經過坐標原點，設頂點B(x，y)的軌跡方程是y＝f(x)，則對函數y＝f(x)的判斷正確的是(　　)
A．函數y＝f(x)是奇函數
B．對任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x－4)
C．函數y＝f(x)的值域為[0,2]
D．函數y＝f(x)在區間[6,8]上單調遞增
29.函數y＝ln|x－1|的圖象與函數y＝－2cos πx(－2≤x≤4)的圖象所有交點的橫坐標之和等于________.
30.已知函數f(x)＝若在該函數的定義域[0，6]上存在互異的3個數x1，x2，x3，使得＝＝＝k，則實數k的取值范圍是________.
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．C　　2.B　　3.e－x＋1
【知識歸納】
1．列表　描點　連線
2．(1)f(x)＋k　f(x＋h)　f(x－h)
f(x)－k　(2)①－f(x)　②f(－x)
③－f(－x)　④logax(a>0，且a≠1)　(3)①|f(x)|　②f(|x|)
【題型展示】
例1 解　(1)將函數y＝log2x的圖象向左平移1個單位長度，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖①所示．
(2)原函數解析式可化為y＝2＋，故函數圖象可由函數y＝的圖象向右平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度得到，如圖②所示．
(3)因為y＝且函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，最后得函數圖象如圖③所示．
跟蹤訓練1 解　(1)根據絕對值的意義，可將函數式化為分段函數y＝可見其圖象是由兩條射線組成，如圖①所示．
(2)作出y＝x的圖象，保留y＝x的圖象中x≥0的部分，加上y＝x的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝|x|的圖象，如圖②實線部分所示．
(3)先作出y＝log2x的圖象，再將其圖象向下平移一個單位長度，保留x軸上方的部分，將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，即得y＝|log2x－1|的圖象，如圖③所示．
例2 (1)A
(2)B
跟蹤訓練2 (1)B　(2)A
例3 AB
例4 D　
例5 C　
跟蹤訓練3 (1)
(2)B
基礎夯實
1．A　
2.A
3.C
4.C
5．A
6.C
7.D
8.D
9.A　
10.C
11.B
12.A　
13．BD
14.ABD
15.(－4，2)
16.1
17.(－2，－1)∪(1，2)
18.[－1，＋∞)
19．－2　
20.2
21．解　(1)由題得f(x)＝其圖象如圖所示，
(2)由題可得或
解得x≤－或0所以實數x的取值范圍為(－∞，－]∪.
22．解　(1)根據題意，列表如下，
x －2 －1 0 1 2
f(x) 0 －1 0 1 0
f(x)的大致圖象如圖所示，其中有A，O，B三個零點，
(2)由(1)的函數圖象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上單調遞增，則－1(3)φ(x)＝f(x)－ex的零點即為f(x)與y＝ex圖象交點的橫坐標，
又y＝ex在R上單調遞增，值域為(0，＋∞)，
結合(1)的圖象，易知f(x)與y＝ex的圖象在(－∞，0)有一個交點，即φ(x)只有一個零點．
優化提升
23.C
24．B
25．B
26.BCD
27．AB
28．BCD
29.6
30.第2部分第8節《函數的零點與方程的解》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
2．函數y＝－ln x的零點所在區間是(　　)
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1)
3．觀察下列函數的圖象，判斷能用二分法求其零點的是(　　)
【知識歸納】
1．函數的零點與方程的解
(1)函數零點的概念
對于一般函數y＝f(x)，我們把使 的實數x叫做函數y＝f(x)的零點．
(2)函數零點與方程實數解的關系
方程f(x)＝0有實數解 函數y＝f(x)有 函數y＝f(x)的圖象與 有公共點．
(3)函數零點存在定理
如果函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 ，那么，函數y＝f(x)在區間 內至少有一個零點，即存在c∈(a，b)，使得 ，這個c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且 的函數y＝f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間 ，使所得區間的兩個端點逐步逼近 ，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．
常用結論：
1．若連續不斷的函數f(x)是定義域上的單調函數，則f(x)至多有一個零點．
2．連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號．
【題型展示】
題型一　函數零點所在區間的判定
例1　(1)函數f(x)＝ln x＋2x－6的零點所在的區間是(　　)
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
延伸探究　用二分法求函數f(x)＝ln x＋2x－6在區間(2,3)內的零點近似值，至少經過________次二分后精確度達到0.1(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)已知x1＋＝0，x2＋log2x2＝0,－log2x3＝0，則(　　)
A．x1C．x1跟蹤訓練1　(1)若aA．(a，b)和(b，c)內
B．(－∞，a)和(a，b)內
C．(b，c)和(c，＋∞)內
D．(－∞，a)和(c，＋∞)內
(2)(多選)函數f(x)＝ex－x－2在下列哪個區間內必有零點(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
題型二　函數零點個數的判定
例2　(1)已知在R上的函數f(x)滿足對于任意實數x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在區間[0,7]上只有x＝1和x＝3兩個零點，則f(x)＝0在區間[0,2 023]上根的個數為(　　)
A．404 B．405 C．406 D．203
(2)若函數f(x)＝|x|，則函數y＝f(x)－|x|的零點個數是(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
跟蹤訓練2　(1)函數f(x)＝·cos x的零點個數為______．
(2)設定義域為R的函數f(x)＝則關于x的函數y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零點的個數為(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
題型三　函數零點的應用
命題點1　根據零點個數求參數
例3　函數f(x)＝g(x)＝kx－3k，若函數f(x)與g(x)的圖象有三個交點，則實數k的取值范圍為(　　)
A．(2－6,0) B．(2－6,0)
C．(－2,0) D．(2－6,0)
命題點2　根據函數零點的范圍求參數
例4　已知函數f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，則實數a的取值范圍是(　　)
A. B.
C．(－∞，0) D.
跟蹤訓練3　(1)已知函數f(x)＝若g(x)＝f(x)－a有3個零點，則實數a的取值范圍為(　　)
A．(－1,0) B.
C. D.∪{－1}
(2)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　)
A．0C．1基礎夯實
1．設函數f(x)＝2x＋的零點為x0，則x0所在的區間是(　　)
A．(－4，－2) B．(－2，－1)
C．(1,2) D．(2,4)
2.函數f(x)＝ln x－的零點所在的區間是(　　)
A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5)
3.已知x＝a是函數f(x)＝2x－logx的零點，若0＜x0＜a，則f(x0)的值滿足(　　)
A.f(x0)＝0
B.f(x0)＞0
C.f(x0)＜0
D.f(x0)的符號不確定
4.設函數f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若實數a，b滿足f(a)＝0，g(b)＝0，則(　　)
A.g(a)<0C.05．已知函數f(x)＝若函數g(x)＝f(x)－m有三個零點，則實數m的取值范圍是(　　)
A．(1,2] B．(1,2)
C．(0,1) D．[1，＋∞)
6．已知函數f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零點分別為x1，x2，x3，則(　　)
A．x1C．x27.若函數y＝f(x)(x∈R)滿足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(－2，2]時，f(x)＝|x|，則函數y＝f(x)的圖象與函數y＝lg|x|的圖象交點個數為(　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
8.已知函數f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是(　　)
A.[－1，0) B.[0，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.[1，＋∞)
9．已知函數f(x)＝log2(x＋1)－＋m在區間(1,3]上有零點，則實數m的取值范圍為(　　)
A.
B.∪(0，＋∞)
C.∪(0，＋∞)
D.
10.已知函數f(x)＝若f(x)有兩個零點x1，x2(x1＞x2)，則x1－x2的最小值是(　　)
A.1 B.2 C. D.
11.已知函數f(x)＝則函數f(x)的零點為(　　)
A.，0 B.－2，0 C. D.0
12．用二分法研究函數f(x)＝x5＋8x3－1的零點時，第一次經過計算得f(0)<0，f(0.5)>0，則其中一個零點所在區間和第二次應計算的函數值分別為(　　)
A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0,0.5)，f(0.375)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)
13．函數f(x)＝的零點個數為(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
14．(多選)函數f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的圖象與直線y＝k的交點個數可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
15．(多選)在數學中，布勞威爾不動點定理可應用到有限維空間，是構成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數學家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單地講，就是對于滿足一定條件的連續函數f(x)，存在一個點x0，使得f(x0)＝x0，那么我們稱該函數為“不動點”函數，下列函數是“不動點”函數的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
16.(多選)已知定義在R上的奇函數f(x)的圖象連續不斷，且滿足f(x＋2)＝f(x)，則以下結論成立的是(　　)
A.函數f(x)的周期T＝2
B.f(2 021)＝f(2 022)＝0
C.點(1，0)是函數y＝f(x)圖象的一個對稱中心
D.f(x)在[－2，2]上有4個零點
17.在平面直角坐標系xOy中，若直線y＝2a與函數y＝|x－a|－1的圖象只有一個交點，則a的值為________.
18.函數f(x)＝2sin xsin－x2的零點個數為________.
19.已知函數f(x)＝2lg x＋x－4的零點在區間(k，k＋1)(k∈Z)上，則k＝________.
20.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，則x1x2＝________.
21．已知指數函數為f(x)＝4x，則函數y＝f(x)－2x＋1的零點為________．
22．函數f(x)滿足以下條件：①f(x)的定義域為R，其圖象是一條連續不斷的曲線；② x∈R，f(x)＝f(－x)；③當x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2時，>0；④f(x)恰有兩個零點，請寫出函數f(x)的一個解析式________．
23．已知函數f(x)＝且關于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實根，則實數a的取值范圍是________．
24．已知函數f(x)＝函數y＝f(x)－a有四個不同的零點x1，x2，x3，x4，且x1優化提升
25．定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x)＝f(2－x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝ex－1，若關于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5個實數解，則實數m的取值范圍為(　　)
A. B.
C. D．(0，e－1)
26．已知函數f(x)＝|ex－1|＋1，若函數g(x)＝[f(x)]2＋(a－2)f(x)－2a有三個零點，則實數a的取值范圍是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
27.(多選)已知函數f(x)＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結論正確的是(　　)
A.x1＋x2＝－1 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜2 D.0＜x1x2x3x4＜1
28.(多選)已知函數f(x)＝若關于x的方程f(x)＝m恰有兩個不同解x1，x2(x1＜x2)，則(x2－x1)f(x2)的取值可能是(　　)
A.－3 B.－1 C.0 D.2
29已知λ∈R，函數f(x)＝
(1)當λ＝2時，不等式f(x)<0的解集是________.
(2)若函數f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是________.
30.已知函數f(x)＝－x2－2x，g(x)＝若方程g(f(x))－a＝0有4個不同的實數根，則實數a的取值范圍是________.
31．已知函數f(x)＝－sin x－1，x∈[－4π，0)∪(0,4π]，則函數f(x)的所有零點之和為________．
32．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．B　2.B　3.A
【知識歸納】
1．(1)f(x)＝0　(2)零點　x軸
(3)f(a)f(b)<0　(a，b)　f(c)＝0
2．f(a)f(b)<0　一分為二　零點
【題型展示】
例1 (1)B
延伸探究 C
(2)A
跟蹤訓練1 (1)A　(2)AD
例2 (1)C
(2)D
跟蹤訓練2 (1)6　(2)B
例3 D
例4 B
跟蹤訓練3 (1)B　(2)A
基礎夯實
1．B　
2.B
3.C
4.A
5．A
6．C
7.C
8.C
9.D
10.D
11.D
12.D　
13.C　
14．ABC
15．BCD
16.ABC
17－
18.2
19.3
20.1
21．1　
22.f(x)＝x2－1 (答案不唯一)
23．(1，＋∞)
24.
優化提升
25．B
26．A
27.BCD
28.BC
29.(1)(1，4)　(2)(1，3]∪(4，＋∞)
30.
31．0
32.第2部分第9節《函數模型的應用》-2025屆高考一輪復習-基礎摸查+基礎夯實+優化提升
基礎摸查
【習題導入】
1．在某個物理實驗中，測量得到變量x和變量y的幾組數據，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
則對x，y最適合的函數模型是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
2．當x越來越大時，下列函數中增長速度最快的是(　　)
A．y＝5x B．y＝log5x
C．y＝x5 D．y＝5x
3．某超市的某種商品的日利潤y(單位：元)與該商品的當日售價x(單位：元)之間的關系為y＝－＋12x－210，那么該商品的日利潤最大時，當日售價為________元．
【知識歸納】
1．三種函數模型的性質
函數性質 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增減性 單調遞增 單調遞增 單調遞增
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩
圖象的變化 隨x的增大逐漸表現為與 平行 隨x的增大逐漸表現為與 平行 隨n值的變化而各有不同
、2．常見的函數模型
函數模型 函數解析式
一次函數模型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數，a≠0)
二次函數模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
反比例函數模型 f(x)＝＋b(k，b為常數，k≠0)
指數函數模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
對數函數模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數，a>0且a≠1，b≠0)
冪函數模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數，a≠0，α≠0)
【題型展示】
題型一　用函數圖象刻畫變化過程
例1　(1)根據一組試驗數據畫出的散點圖如圖所示．
現有如下5個函數模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝log2x；⑤y＝x＋1.84.請從中選擇一個函數模型，使它能近似地反映這些數據的規律，應選________．(填序號)
(2)(多選)血藥濃度是指藥物吸收后在血漿內的總濃度．藥物在人體內發揮治療作用時，該藥物的血藥濃度應介于最低有效濃度和最低中毒濃度之間．已知成人單次服用1單位某藥物后，體內血藥濃度及相關信息如圖所示：
根據圖中提供的信息，下列關于成人使用該藥物的說法中，正確的是(　　)
A．首次服用該藥物1單位約10分鐘后，藥物發揮治療作用
B．每次服用該藥物1單位，兩次服藥間隔小于2小時，一定會產生藥物中毒
C．每間隔5.5小時服用該藥物1單位，可使藥物持續發揮治療作用
D．首次服用該藥物1單位3小時后，再次服用該藥物1單位，不會發生藥物中毒
跟蹤訓練1　如圖，點P在邊長為1的正方形ABCD的邊上運動，M是CD的中點，則當P沿A－B－C－M運動時，點P經過的路程x與△APM的面積y的函數y＝f(x)的圖象大致是下圖中的(　　)
題型二　已知函數模型的實際問題
例2　(1)某工廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物數量P(單位：mg/L)與時間t(單位：h)間的關系為P＝P0·e－kt，其中P0，k是正的常數．如果2 h后還剩下90%的污染物，5 h后還剩下30%的污染物，那么8 h后還剩下________%的污染物．
(2)青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L＝5＋lg V．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據約為(≈1.259)(　　)
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
跟蹤訓練2　(1)牛頓曾經提出了在常溫環境下的溫度冷卻模型θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt(t為時間，單位：分鐘，θ0為環境溫度，θ1為物體初始溫度，θ為冷卻后溫度)，假設一杯開水溫度θ1＝100 ℃，環境溫度θ0＝20 ℃，常數k＝0.2，大約經過_______分鐘水溫降為40 ℃(參考數據：ln 2≈0.7)(　　)
A．10 B．9 C．8 D．7
(2)(多選)在流行病學中，基本傳染數是指每名感染者平均可傳染的人數．假設某種傳染病的基本傳染數為R0，1個感染者在每個傳染期會接觸到N個新人，這N個人中有V個人接種過疫苗，那么1個感染者傳染人數為(N－V)．已知某種傳染病在某地的基本傳染數R0＝4，為了使1個感染者傳染人數不超過1，則該地疫苗的接種率不可能為(　　)
A．45% B．55% C．65% D．75%
題型三　構造函數模型的實際問題
例3　智能輔助駕駛已開始得到初步應用，其自動剎車的工作原理是用雷達測出車輛與障礙物之間的距離，并結合車速轉化為所需時間，當此距離等于報警距離時就開始報警，等于危險距離時就自動剎車．若將報警時間劃分為4段，分別為準備時間t0與人的反應時間t1，系統反應時間t2，制動時間t3，相應的距離分別為d0，d1，d2，d3，如圖所示．當車速為v(米/秒)，且0階段 準備 人的反應 系統反應 制動
時間 t0 t1＝0.8秒 t2＝0.2秒 t3
距離 d0＝10米 d1 d2 d3＝米
(1)請寫出報警距離d(米)與車速v(米/秒)之間的函數關系式，并求當k＝2時，當汽車達到報警距離時，若人和系統均未采取任何制動措施，仍以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間；
(2)若要求汽車在k＝1的路面上行駛時報警距離均小于50米，則汽車的行駛速度應限制在多少以下(單位：米/秒)
跟蹤訓練3　(1)網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內成為商業的一個主要發展方向．某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2022年1月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式．根據幾個月運營發現，產品的月銷量x(單位：萬件)與投入實體店體驗安裝的費用t(單位：萬元)之間滿足函數關系式x＝3－.已知網店每月固定的各種費用支出為3萬元，產品每1萬件的進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司的最大月利潤是________萬元．
(2)嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王旗預定區域安全著陸．嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為100 m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的90%，若要使石片的速率低于60 m/s，則至少需要“打水漂”的次數為(參考數據：取ln 0.6≈－0.511，ln 0.9≈－0.105) (　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
基礎夯實
1.溶液酸堿度是通過pH計算的，pH的計算公式為pH＝
－lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升，人體血液的氫離子的濃度通常在1×10－7.45～1×10－7.35之間，如果發生波動，就是病理現象，那么，正常人體血液的pH值的范圍是(　　)
A.[7.25，7.55] B.[7.25，7.45]
C.[7.25，7.35] D.[7.35，7.45]
2.在某種新型材料的研制中，實驗人員獲得了下列一組實驗數據，現準備用下列四個函數中的一個近似表示這些數據的規律，其中最接近的一個是(　　)
x 1.992 3 4 5.15 6.126
y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01
A.y＝2x－2 B.y＝(x2－1)
C.y＝log2x D.y＝logx
3．農業農村部發布2022年農區蝗蟲防控技術方案．為了做好蝗蟲防控工作，完善應急預案演練，專家假設蝗蟲的日增長率為6%，最初有N0只，則能達到最初的1 200倍大約經過(參考數據：ln 1.06≈0.058 3，ln 1 200≈7.090 1)(　　)
A．122天 B．124天 C．130天 D．136天
4．“喊泉”是一種地下水的毛細現象，人們在泉口吼叫或發出其他聲音時，聲波傳入泉洞內的儲水池，進而產生“共鳴”等物理聲學作用，激起水波，形成涌泉．聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強m與標準聲調m0之比的常用對數稱作聲強的聲強級，記作L(貝爾)，即L＝lg ，取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝．已知某處“喊泉”的聲音響度y(分貝)與噴出的泉水高度x(米)滿足關系式y＝2x，現知A同學大喝一聲激起的涌泉最高高度為70米，若A同學大喝一聲的聲強大約相當于100個B同學同時大喝一聲的聲強，則B同學大喝一聲激起的涌泉最高高度約為(　　)
A．0.7米 B．7米 C．50米 D．60米
5．大氣壓強p＝，它的單位是“帕斯卡”(Pa,1Pa＝1N/m2)，大氣壓強p(Pa)隨海拔高度h(m)的變化規律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126m－1)，p0是海平面大氣壓強．已知在某高山A1，A2兩處測得的大氣壓強分別為p1，p2，＝，那么A1，A2兩處的海拔高度的差約為(　　)
(參考數據：ln 3≈1.099)
A．660 m B．2 340 m
C．6 600 m D．8 722 m
6.2020年12月17日凌晨，嫦娥五號返回器攜帶月球樣品在內蒙古四子王族預定區域安全著陸.嫦娥五號返回艙之所以能達到如此高的再入精度，主要是因為它采用彈跳式返回彈道，實現了減速和再入階段彈道調整，這與“打水漂”原理類似.現將石片扔向水面，假設石片第一次接觸水面的速率為11.2 m/s，這是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率為上一次的93%，若要使石片的速率低于7.84 m/s，則至少需要“打水漂”的次數為(參考數據：取ln 0.7＝－0.357，ln 0.93＝－0.073)(　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
7．某校實行憑證入校，凡是不帶出入證者一律不準進校園，某學生早上上學騎自行車從家里出發，離開家不久，發現出入證忘在家里了，于是回家取出入證，然后乘坐出租車以更快的速度趕往學校，令x(單位：分鐘)表示離開家的時間，y(單位：千米)表示離開家的距離，其中等待紅綠燈及在家取出入證的時間忽略不計，下列圖象中與上述事件吻合最好的是(　　)
8.如圖，有一直角墻角，兩邊的長度足夠長，若P處有一棵樹與兩墻的距離分別是4 m和a m(0＜a＜12)，不考慮樹的粗細.現用16 m長的籬笆，借助墻角圍成一個矩形花圃ABCD，設此矩形花圃的最大面積為u，若將這棵樹圍在矩形花圃內，則函數u＝f(a)(單位：m2)的圖象大致是(　　)
9．(多選)目前部分城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業產生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關數據顯示，某城市從2018年到2021年產生的包裝垃圾量如下表：
年份x 2018 2019 2020 2021
包裝垃圾生產量y(萬噸) 4 6 9 13.5
有下列函數模型：①y＝a·bx－2 018；②y＝sin ＋b.
(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
則以下說法正確的是(　　)
A．選擇模型①，函數模型解析式為y＝4×x－2 018，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產量y(萬噸)與年份x的函數關系
B．選擇模型②，函數模型解析式為y＝sin ＋4，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產量y(萬噸)與年份x的函數關系
C．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2023年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
D．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長下去，從2024年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸
10.(多選)甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是(　　)
A.甲同學從家出發到乙同學家走了60 min
B.甲從家到公園的時間是30 min
C.甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快
D.當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x
11.(多選)某工廠一年中各月的收入、支出情況的統計圖如圖所示，則下列說法中正確的是(　　)
A.收入最高值與收入最低值的比是3∶1
B.結余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的變化率與4至5月份的收入的變化率相同
D.前6個月的平均收入為40萬元
12．“百日沖刺”是各個學校針對高三學生進行的高考前的激情教育，它能在短時間內最大限度地激發一個人的潛能，使成績在原來的基礎上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績，特別對于成績在中等偏下的學生來講，其增加分數的空間尤其大．現有某班主任老師根據歷年成績在中等偏下的學生經歷“百日沖刺”之后的成績變化，構造了一個經過時間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分數f(t)(單位：分)的函數模型：f(t)＝，k為增分轉化系數，P為“百日沖刺”前的最后一次模考總分，且f(60)＝P.現有某學生在高考前100天的最后一次模考總分為400分，依據此模型估計此學生在高考中可能取得的總分約為________．(保留到個位)(lg 61≈1.79)
13．里氏震級M的計算公式為：M＝lg A－lg A0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1 000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為________級；9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．
14.某商品在最近30天內的價格f(t)與時間t(單位：天)的函數關系是f(t)＝t＋10(0＜t≤30，t∈N)，銷售量g(t)與時間t的函數關系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則這種商品的日銷售金額的最大值是________.
15.“好酒也怕巷子深”，許多著名品牌是通過廣告宣傳進入消費者視線的.已知某品牌商品廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿足關系R＝a(a為常數)，廣告效應為D＝a－A.那么精明的商人為了取得最大的廣告效應，投入的廣告費應為________(用常數a表示).
16.據報道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗蟲災害.在所有的農業害蟲中，沙漠蝗蟲對人類糧食作物危害最大.沙漠蝗蟲的繁殖速度很快，遷徙能力很強.已知某蝗蟲群在適宜的環境條件下，每經過15天，數量就會增長為原來的10倍.該蝗蟲群當前有1億只蝗蟲，則經過________天，蝗蟲數量會達到4 000億只.(參考數據：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
17.盡管目前人類還無法準確地預報地震，但科學家通過研究，已經對地震有所了解，例如，地震釋放出的能量E(單位：焦耳)與地震里氏震級M之間的關系為lg E＝4.8＋1.5M.
(1)已知地震等級劃分為里氏12級，根據等級范圍又分為三種類型，其中小于2.5級的為“小地震”，介于2.5級到4.7級之間的為“有感地震”，大于4.7級的為“破壞性地震”，若某次地震釋放能量約1012焦耳，試確定該次地震的類型；
(2)零八年汶川地震為里氏8級，一一年日本地震為里氏9級，問：一一年日本地震所釋放的能量是零八年汶川地震所釋放的能量的多少倍？(取＝3.2)
18.“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點.研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養殖密度x(單位：尾/立方米)的函數.當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4＜x≤20時，v是x的一次函數；當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年.
(1)當0＜x≤20時，求函數v關于x的函數解析式；
(2)當養殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值.
19．“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養殖密度x(單位：尾/立方米)的函數．當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4(1)當0(2)當養殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值．
20．某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為k)，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為24 m2，三月底測得鳳眼蓮的覆蓋面積為36 m2，鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：m2)與月份x(單位：月)的關系有兩個函數模型y＝kax(k>0，a>1)與y＝＋k(p>0，k>0)可供選擇．
(1)試判斷哪個函數模型更合適并求出該模型的解析式；
(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．(參考數據：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
優化提升
21．生物體死亡后，它機體內原有的碳14含量P會按確定的比率衰減(稱為衰減率)，P與死亡年數t之間的函數關系式為P＝(其中a為常數)，大約每經過5 730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”．若2021年某遺址文物出土時碳14的殘余量約占原始含量的75%，則可推斷該文物屬于(　　)
參考數據：log20.75≈－0.4
參考時間軸：
A．宋 B．唐 C．漢 D．戰國
22．醫學家們為了揭示藥物在人體內吸收、排出的規律，常借助恒速靜脈滴注一室模型來進行描述．在該模型中，人體內藥物含量x(單位：mg)與給藥時間t(單位：h)近似滿足函數關系式ln kx＝ln k0＋ln(1－e－kt)，其中k0，k分別稱為給藥速率和藥物消除速率(單位：mg/h)．經測試發現，對于某種藥物，給藥時間12 h后，人體內的藥物含量為，則該藥物的消除速度k的值約為(　　)
(參考數據：ln 2≈0.693)
A．0.105 5 B．0.106 5
C．0.116 5 D．0.115 5
23.嫦娥四號探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業取得又一重大成就.實現月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通信聯系.為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日L2點的軌道運行.L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：
＋＝(R＋r).
設α＝.由于α的值很小，因此在近似計算中≈3α3，則r的近似值為(　　)
A.R B.R
C.R D.R
24．已知某電子產品電池充滿時的電量為3 000毫安時，且在待機狀態下有兩種不同的耗電模式可供選擇．模式A：電量呈線性衰減，每小時耗電300毫安時；模式B：電量呈指數衰減，即：從當前時刻算起，t小時后的電量為當前電量的倍．現使該電子產品處于滿電量待機狀態時開啟A模式，并在m小時后切換為B模式，若使其在待機10小時后有超過5%的電量，則m的取值范圍是(　　)
A．(5,6) B．(6,7) C．(7,8) D．(8,9)
25．(多選)甲、乙、丙、丁四個物體同時從某一點出發向同一方向運動，它們的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)關于時間x(x≥0)的函數關系式分別為f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，則下列結論正確的是(　　)
A．當x>1時，甲走在最前面
B．當x>1時，乙走在最前面
C．當01時，丁走在最后面
D．如果它們一直運動下去，最終走在最前面的是甲
26.中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄，標志著中華五千年文明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一規律.已知樣本中碳14的質量N隨時間T(單位：年)的衰變規律滿足N＝N0·2(N0表示碳14原有的質量)，則經過5 730年后，碳14的質量變為原來的________；經過測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的至，據此推測良渚古城存在的時期距今約在5 730年到________年之間.(參考數據：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48)
27.近年來，“共享單車”的出現為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計劃在甲、乙兩座城市共投資240萬元.根據行業規定，每個城市至少要投資80萬元，由前期市場調研可知：甲城市收益P與投入a(單位：萬元)滿足P＝4－6，乙城市收益Q與投入a(單位：萬元)滿足Q＝設甲城市的投入為x(單位：萬元)，兩個城市的總收益為f(x)(單位：萬元).
(1)當投資甲城市128萬元時，求此時公司的總收益；
(2)試問：如何安排甲、乙兩個城市的投資，才能使公司總收益最大？
參考答案：
基礎摸查
【習題導入】
1．D　2.D　3.150
【知識歸納】
1．y軸　x軸
【題型展示】
例1 (1)④
(2)ABC
跟蹤訓練1 A
例2 (1)10
(2)C
跟蹤訓練2 (1)D　(2)ABC
例3 解　(1)由題意知，d(v)＝d0＋d1＋d2＋d3＝10＋0.8v＋0.2v＋，即d(v)＝10＋v＋，
當k＝2時，d(v)＝10＋v＋，
t(v)＝＝＋＋1
≥2×＋1＝2，
當且僅當v＝20時等號成立，
0即以此速度行駛的情況下，汽車撞上固定障礙物的最短時間為2秒．
(2)當k＝1時，d(v)<50，
即10＋v＋<50，
即v2＋20v－800<0，－40故0所以汽車的行駛速度應限制在20米/秒以下．
跟蹤訓練3 (1)37.5
(2)C
基礎夯實
1.D
2.B
3.A　
4.D　
5.D
6.C
7.C　
8.B
9．AD
10.BD
11.ABC
12．462　
13.6　10 000
14.506
15.a2
16.54
17.解　(1)某次地震釋放能量約1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化簡得M＝＝＝4.8.
因為4.8>4.7，所以該次地震為“破壞性地震”.
(2)設汶川地震、日本地震所釋放的能量分別為E1，E2.
由題意知，lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，lg E2＝4.8＋1.5×9＝18.3，
即E1＝1016.8，E2＝1018.3，
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所釋放的能量是2008年汶川地震所釋放的能量的32倍.
18.解　(1)由題意得當0＜x≤4時，v＝2；
當4＜x≤20時，設v＝ax＋b，
顯然v＝ax＋b在(4，20]內是減函數，
由已知得解得
所以v＝－x＋，
故函數v＝
(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得，
f(x)＝
當0＜x≤4時，f(x)為增函數，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
當4＜x≤20時，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以當x＝10時，f(x)的最大值為12.5.
即當養殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米.
19．解　(1)由題意得當，0當4顯然v＝ax＋b在(4,20]內單調遞減，
由已知得解得
所以v＝－x＋.
故函數v＝
(2)設年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得f(x)＝
當0故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
當4所以當0即當養殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．
20．解　(1)由題設可知，兩個函數y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均為增函數，
隨著x的增大，函數y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越來越快，而函數y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越來越慢，
由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數模型y＝kax(k>0，a>1)滿足要求．
由題意可得
解得k＝，a＝，故該函數模型的解析式為
y＝·x(x∈N)．
(2)當x＝0時，y＝·0＝，
故元旦放入鳳眼蓮的面積為 m2，
由·x>10×，即x>10，
故x>10＝＝，
由于≈≈5.7，又x∈N，故x≥6.
因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份．
優化提升
21．D
22．D
23．D
24．D
25.CD
26.　6 876
27.解　(1)當x＝128，即甲城市投資128萬元時，乙城市投資112萬元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(萬元).
因此，此時公司的總收益為88萬元.
(2)由題意知，甲城市投資x萬元，則乙城市投資(240－x)萬元，
依題意得解之得80≤x≤160，
當80≤x<120，即120<240－x≤160時，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
當120≤x≤160，即80≤240－x≤120時，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2
＝－x＋4＋56.
令t＝，則t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88.
當t＝8，即x＝128時，y取最大值88.
因為88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，
故f(x)的最大值為88.
因此，當甲城市投資128萬元，乙城市投資112萬元時，總收益最大，且最大收益為88萬元.

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