資源簡介

培優(yōu)提升四　應(yīng)用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解衛(wèi)星發(fā)射、變軌和對接過程，會分析變軌過程中各物理量的變化。2.理解天體運動中的追及與相遇問題。3.掌握雙星和多星模型的特點，會分析相關(guān)問題。
提升1　衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接
1.變軌運行分析
如圖是飛船從地球上發(fā)射到繞月球運動的飛行示意圖。
(1)從繞地球運動的軌道上進(jìn)入奔月軌道，飛船應(yīng)采取什么措施？為什么？
(2)從奔月軌道進(jìn)入月球軌道，又應(yīng)采取什么措施？為什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.衛(wèi)星的變軌發(fā)射問題
(1)衛(wèi)星的發(fā)射過程
如圖所示，首先，利用第一級火箭將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，當(dāng)?shù)竭_(dá)赤道上空時，第二、三級火箭在Q點點火，衛(wèi)星進(jìn)入位于赤道平面內(nèi)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道2，當(dāng)?shù)竭_(dá)遠(yuǎn)地點P時，衛(wèi)星啟動發(fā)動機(jī)，然后進(jìn)入圓軌道3做圓周運動。
(2)變軌運行各量間的關(guān)系
衛(wèi)星在軌道1上運動到Q點的速度vQ1與在軌道2上運動到Q點的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而衛(wèi)星在軌道2上運行到P點的速度vP2與軌道3上運動到P點的速度vP3相比vP3>vP2；在圓軌道1上與圓軌道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P點的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因為衛(wèi)星在不同軌道上的相切點處所受萬有引力是相同的。
3.對接問題
(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接：如圖甲所示，低軌道飛船通過合理加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。
(2)同一軌道飛船與空間站對接：如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當(dāng)控制，使飛船追上空間站完成對接。
例1 (2024·北京市第十五中學(xué)南口學(xué)校期中)如圖為飛船運動過程的示意圖。飛船先進(jìn)入圓軌道1做勻速圓周運動，再經(jīng)橢圓軌道2，最終進(jìn)入圓軌道3完成對接任務(wù)。橢圓軌道2分別與軌道1、軌道3相切于A點、B點。則飛船(　　)
A.在軌道1的運行周期大于在軌道3的運行周期
B.在軌道2運動過程中，經(jīng)過A點時的速率比B點大
C.在軌道2運動過程中，經(jīng)過A點時的加速度比B點小
D.從軌道2進(jìn)入軌道3時需要在B點處減速
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判斷衛(wèi)星變軌時速度、加速度變化情況的思路
(1)判斷衛(wèi)星在不同圓軌道的運行速度大小時，可根據(jù)“越遠(yuǎn)越慢”的規(guī)律判斷。
(2)判斷衛(wèi)星在同一橢圓軌道上不同點的速度大小時，可根據(jù)開普勒第二定律判斷，即離中心天體越遠(yuǎn)，速度越小。
(3)判斷衛(wèi)星為實現(xiàn)變軌在某點需要加速還是減速時，可根據(jù)離心運動或近心運動的條件進(jìn)行分析。
(4)判斷衛(wèi)星的加速度大小時，可根據(jù)a＝＝
G判斷。　　　　
訓(xùn)練1 (2024·湖北卷，4)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
提升2　衛(wèi)星的追及與相遇
對于衛(wèi)星的追及、相遇問題一般存在下列兩種情況
(1)衛(wèi)星對接，最常見的是由低軌道向高軌道運行的衛(wèi)星對接。
(2)繞行方向相同的兩衛(wèi)星和天體的連線在同一直線上，處于內(nèi)軌道的衛(wèi)星周期T1小，處于外軌道的衛(wèi)星周期T2大。
①當(dāng)兩衛(wèi)星在天體同側(cè)時，那么當(dāng)t滿足下列關(guān)系時兩衛(wèi)星相距最近：t－t＝2nπ(n＝1，2，3，…)。
②當(dāng)兩衛(wèi)星在天體異側(cè)時，那么當(dāng)t滿足下列關(guān)系時兩衛(wèi)星相距最近：t－t＝π＋2nπ(n＝0，1，2，3，…)。
例2 設(shè)地球的自轉(zhuǎn)角速度為ω0，地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，某人造地球衛(wèi)星在赤道上空做勻速圓周運動，軌道半徑為r，且r<5R，飛行方向與地球的自轉(zhuǎn)方向相同。在某時刻，該人造地球衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方，則到它下一次通過該建筑物正上方所需要的時間為(地球同步衛(wèi)星軌道半徑約為6.6R)(　　)
A.2π B.
C.2π D.
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天體追及問題的解題技巧
處理天體追及問題時，首先判斷誰的角速度大，然后根據(jù)兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于2π的整數(shù)倍、相距最遠(yuǎn)時兩星運行的角度差等于π的奇數(shù)倍求解。　　　　
訓(xùn)練2 如圖甲所示，A、B兩顆衛(wèi)星在同一平面內(nèi)圍繞中心天體做勻速圓周運動，且繞行方向相同，圖乙是兩顆衛(wèi)星的間距Δr隨時間t的變化圖像，t＝0時刻A、B兩顆衛(wèi)星相距最近。已知衛(wèi)星A的周期TA＝t0，則A、B兩顆衛(wèi)星運行軌道半徑之比為(　　)
A.1∶2 B.1∶4
C.1∶7 D.1∶8
提升3　“雙星”和“多星”模型
1.“雙星”模型
(1)如圖所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠(yuǎn)，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。
(2)處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，
即G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2可得m1r1＝m2r2。
(3)特點
①兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同。
②兩星所需的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。
③兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L，軌道半徑與兩星質(zhì)量成反比。
2.“多星”模型
三星模型 四星模型
(1)運動特點
轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相同。
(2)受力特點
圓周運動半徑都相等，各星所受萬有引力的合力提供做圓周運動所需的向心力。
例3 (2024·天津南開高一期末) “雙星系統(tǒng)”是由相距較近的兩顆恒星組成，每個恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們在相互間的萬有引力作用下，繞其連線上的某一點做勻速圓周運動。如圖所示為某一雙星系統(tǒng)，A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G。則下列說法正確的是(　　)
A.A、B兩星球做圓周運動的半徑之比為m1∶m2
B.A、B兩星球做圓周運動的角速度之比為m1∶m2
C.A星球的軌道半徑r1＝L
D.雙星運行的周期T＝2πL
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分析雙星問題時注意區(qū)分兩星的軌道半徑和兩星之間的距離，萬有引力提供向心力，萬有引力中的距離為兩星間距，向心力中的r為軌道半徑。　　　　
訓(xùn)練3 (多選) (2024·重慶市楊家坪中學(xué)高一期末)中國科幻電影《流浪地球》講述了地球逃離太陽系的故事，假設(shè)人們在逃離過程中發(fā)現(xiàn)一種三星組成的孤立系統(tǒng)，三星的質(zhì)量相等、半徑均為R，穩(wěn)定分布在等邊三角形的三個頂點上，三角形的邊長為d，三星繞O點做周期為T的勻速圓周運動。已知引力常量為G，忽略星體的自轉(zhuǎn)，下列說法正確的是(　　)
A.勻速圓周運動的半徑為d
B.每個星球的質(zhì)量為
C.每個星球表面的重力加速度大小為
D.每個星球的第一宇宙速度大小為
隨堂對點自測
1.(衛(wèi)星的發(fā)射與變軌)(多選)“嫦娥三號”衛(wèi)星從地球發(fā)射到月球過程的路線示意圖如圖所示。關(guān)于“嫦娥三號”的說法正確的是(　　)
A.在P點由a軌道轉(zhuǎn)變到b軌道時，速度必須變小
B.在Q點由d軌道轉(zhuǎn)變到c軌道時，要加速才能實現(xiàn)(不計“嫦娥三號”的質(zhì)量變化)
C.在b軌道上，衛(wèi)星在P點的速度比在R點的速度大
D.“嫦娥三號”在a、b軌道上正常運行時，通過同一點P時，加速度相等
2.(衛(wèi)星的對接)如圖所示，我國發(fā)射的“神舟十一號”飛船和“天宮二號”空間實驗室于2016年10月19日自動交會對接成功。假設(shè)對接前“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛
船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是(　　)
A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接
B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接
C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
3.(雙星模型)(多選)如圖所示，兩個黑洞A、B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若A的軌道半徑大于B的軌道半徑，兩個黑洞的總質(zhì)量為m，距離為L，其運動周期為T。則(　　)
A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量
B.A的線速度一定小于B的線速度
C.L一定，m越大，T越小
D.m一定，L越大，T越小
培優(yōu)提升四　應(yīng)用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
提升1
1.提示　(1)飛船繞天體穩(wěn)定運行時，萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力。
由G＝m得v＝。
從繞地球運動的軌道上加速，使飛船速度v增大，所需向心力m增大，即萬有引力不足以提供所需的向心力，飛船將做離心運動，脫離原來的圓軌道，向高軌道變軌，軌道半徑變大，進(jìn)入新的軌道運行。
(2)當(dāng)飛船從奔月軌道進(jìn)入月球軌道時應(yīng)減速，速度突然減小時，所需向心力m 減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此飛船將做近心運動，會脫離原來的圓軌道，向低軌道變軌，軌道半徑變小，進(jìn)入新軌道運行。
例1 B　[根據(jù)G＝mr得T＝，軌道1的運動半徑小于軌道3的運動半徑，則在軌道1的運行周期小于在軌道3的運行周期，A錯誤；在軌道2運動過程中，A點為近地點，速度最大，B點為遠(yuǎn)地點，速度最小，B正確；根據(jù)G＝ma得a＝G，可知經(jīng)過A點時的加速度比B點大，C錯誤；從軌道2進(jìn)入軌道3時需要在B點加速，D錯誤。]
訓(xùn)練1 A　[變軌前、后，根據(jù)a＝可知，空間站在P點的加速度相同，A正確；由于變軌后的軌道半長軸大于變軌前的軌道半徑，則根據(jù)開普勒第三定律可知，空間站變軌后的運動周期比變軌前的大，B錯誤；變軌時，空間站噴氣加速，因此變軌后其在P點的速度比變軌前的大，C錯誤；變軌后，空間站在近地點的速度最大，大于變軌后在P點的速度，結(jié)合C項分析可知，變軌后空間站在近地點的速度大于變軌前的速度，D錯誤。]
提升2
例2 D　[設(shè)地球質(zhì)量為M，根據(jù)G＝mω2r知ω＝，軌道半徑越大，衛(wèi)星運行角速度越小，而同步衛(wèi)星運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，且同步衛(wèi)星的軌道半徑約為6.6R，人造地球衛(wèi)星的軌道半徑r<5R，故該人造地球衛(wèi)星運行的角速度比地球上建筑物隨地球轉(zhuǎn)動的角速度大，因此再次出現(xiàn)在該建筑物正上方時，說明衛(wèi)星已經(jīng)比建筑物多轉(zhuǎn)動了一圈，故θ衛(wèi)－θ地＝2π，θ衛(wèi)＝ω1t，θ地＝ω0t，根據(jù)“黃金代換”GM＝gR2，聯(lián)立得t＝＝，故D項正確。]
訓(xùn)練2 B　[0～t0時間內(nèi)，A、B兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度關(guān)系為t0－t0＝2π，又TA＝t0，解得TB＝7t0。根據(jù)開普勒第三定律有eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，可得＝，故B正確。]
提升3
例3 D　[設(shè)A星球的軌道半徑為r1，B星球的軌道半徑為r2，根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，解得A、B兩星球做圓周運動的半徑之比為r1∶r2＝m2∶m1，又r1＋r2＝L，解得r1＝L，故A、C錯誤；A、B兩星球做圓周運動的周期相同，角速度之比為1∶1，故B錯誤；T＝，解得T＝2πL，故D正確。]
訓(xùn)練3 AD　[三星均圍繞邊長為d的等邊三角形的中心O做勻速圓周運動，由幾何關(guān)系可得勻速圓周運動的半徑為r＝＝d，A正確；設(shè)星球質(zhì)量為M，則有2Gcos 30°＝Mr，可得M＝，B錯誤；星球表面的重力近似等于萬有引力，有mg＝G，可得g＝，C錯誤；根據(jù)G＝m，可得v＝，D正確。]
隨堂對點自測
1.CD　[衛(wèi)星在a軌道上的P點進(jìn)入b軌道，需加速，使萬有引力小于需要的向心力而做離心運動，選項A錯誤；在Q點由d軌道轉(zhuǎn)變到c軌道時，必須減速，使萬有引力大于需要的向心力而做近心運動，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第二定律知，在b軌道上，衛(wèi)星在P點的速度比在R點的速度大，選項C正確；根據(jù)牛頓第二定律得G＝man可知，衛(wèi)星在a、b軌道上正常運行時，通過同一點P時，加速度相等，選項D正確。]
2.C　[飛船在同一軌道上加速追趕空間實驗室時，速度增大，所需向心力大于萬有引力，飛船將做離心運動，不能實現(xiàn)與空間實驗室的對接，選項A錯誤；空間實驗室在同一軌道上減速等待飛船時，速度減小，所需向心力小于萬有引力，空間實驗室將做近心運動，不能實現(xiàn)對接，選項B錯誤；當(dāng)飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上加速時，飛船將做離心運動，逐漸靠近空間實驗室，可在兩者速度接近時實現(xiàn)對接，選項C正確；當(dāng)飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上減速時，飛船將做近心運動，遠(yuǎn)離空間實驗室，不能實現(xiàn)對接，選項D錯誤。]
3.AC　[黑洞繞同一圓心運動，則兩者的角速度相等，設(shè)兩個黑洞質(zhì)量為mA和mB，軌道半徑為RA和RB，角速度為ω，則由萬有引力提供向心力可知G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，聯(lián)立可得＝，由題意可知RA>RB，則mARB，根據(jù)v＝ωr可知vA>vB，B錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力有G＝mAω2RA＝mBω2RB，且RA＋RB＝L，又T＝，整理可得T＝2π，由此可知，當(dāng)L一定時，m越大，T越小；當(dāng)m一定時，L越大，T越大，C正確，D錯誤。]培優(yōu)提升四　應(yīng)用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題9分，共81分。
對點題組練
題組一　衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接
1.嫦娥五號是中國首個實施月面無人取樣返回的月球探測器，為中國探月工程的收官之戰(zhàn)。2020年11月29日，嫦娥五號探測器從橢圓環(huán)月軌道1上的P點實施變軌進(jìn)入近月圓形圓軌道2，開始進(jìn)行動力下降后成功落月，如圖所示。下列說法正確的是(　　)
嫦娥五號的發(fā)射速度大于11.2 km/s
沿軌道1運動至P時，需減速才能進(jìn)入軌道2
沿軌道1運行的周期小于沿軌道2運行的周期
探測器在軌道2上經(jīng)過P點的加速度小于在軌道1上經(jīng)過P點的加速度
2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進(jìn)入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器(　　)
在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)
在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ在P處要加速
沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
3.(多選)“嫦娥四號”月球探測器首次在月球背面軟著陸，如圖所示，“嫦娥四號”從環(huán)月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進(jìn)入環(huán)月橢圓形軌道Ⅱ，由近月點Q落月，關(guān)于“嫦娥四號”，下列說法正確的是(　　)
沿軌道Ⅰ運行至P點時，需加速才能進(jìn)入軌道Ⅱ
沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期
沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的加速度
若已知“嫦娥四號”繞軌道Ⅰ的半徑、運動周期和引力常量，可算出月球的密度
題組二　衛(wèi)星的追及與相遇
4.太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線時，天文學(xué)稱這種現(xiàn)象為“行星沖日”。已知2020年7月21日土星沖日，土星繞太陽運動的軌道半徑約為地球繞太陽運動的軌道半徑的9.5倍，則下一次土星沖日的時間約為(　　)
2021年8月 2022年7月
2023年8月 2024年7月
5.如圖所示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛(wèi)星，運行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉(zhuǎn)周期為T0，某時刻A、B兩衛(wèi)星距離達(dá)到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠(yuǎn)時所經(jīng)歷的最短時間為(　　)
題組三　“雙星”和“多星”模型
6.雙星是兩顆相距較近的天體，在相互間的萬有引力作用下，繞其連線上的某點做勻速圓周運動。對于兩顆質(zhì)量不等的天體構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，下列說法中正確的是(　　)
質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的向心力較大
質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的向心加速度較大
質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的角速度較大
質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的線速度較小
7.中國科學(xué)家利用“慧眼”太空望遠(yuǎn)鏡觀測到了銀河系的MAXI J1820＋070是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，距離地球約10 000光年。根據(jù)觀測，此雙星系統(tǒng)中的黑洞質(zhì)量大約是恒星質(zhì)量的16倍，不考慮其他天體的影響，可推斷該黑洞與恒星的(　　)
向心力大小之比為16∶1
周期之比為16∶1
角速度大小之比為1∶1
加速度大小之比為1∶1
綜合提升練
8.(多選)(2024·山師大附中高一月考)三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T1，B的運行周期為T2，則下列說法正確的是(　　)
C加速可追上同一軌道上的A
經(jīng)過時間，A、B首次相距最遠(yuǎn)
A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
在相同時間內(nèi)，C與地心連線掃過的面積等于B與地心連線掃過的面積
9.太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)這三個星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，引力常量為G，則(　　)
直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星的線速度相同
直線三星系統(tǒng)的運動周期為4πR
三角形三星系統(tǒng)中星體間的距離為L＝R
三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為
培優(yōu)加強(qiáng)練
10.(19分)如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G。
(1)(6分)求A星球做圓周運動的半徑rA和B星球做圓周運動的半徑rB；
(2)(6分)求兩星球做圓周運動的周期；
(3)(7分)如果把星球A質(zhì)量的搬運到B星球上，并保持A和B兩者中心之間距離仍為L，那么組成新的穩(wěn)定雙星后星球A做圓周運動的半徑和周期如何變化？
培優(yōu)提升四　應(yīng)用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
1.B　[發(fā)射速度大于11.2 km/s的衛(wèi)星將脫離地球束縛，繞太陽運動，嫦娥五號的發(fā)射速度應(yīng)大于7.9 km/s小于11.2 km/s，A錯誤；沿軌道1運動至P時，需減速才能進(jìn)入軌道2，B正確；由開普勒第三定律可知，沿軌道1運行的周期大于沿軌道2運行的周期，C錯誤；探測器在軌道2上經(jīng)過P點和在軌道1上經(jīng)過P點的加速度都由萬有引力產(chǎn)生，即探測器在軌道2上經(jīng)過P點的加速度等于在軌道1上經(jīng)過P點的加速度，D錯誤。]
2.D　[天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速運動，受力不平衡，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，故在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時長，故B錯誤；天問一號探測器從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ，做近心運動，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P處減速，故C錯誤；在軌道Ⅰ上向P飛近時，由開普勒第二定律可知速度增大，故D正確。]
3.BC　[“嫦娥四號”在軌道Ⅰ上的P點實施變軌，需做近心運動，在P點應(yīng)該制動減速，故A錯誤；軌道Ⅱ的半長軸小于軌道Ⅰ的半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期，故B正確；“嫦娥四號”只受萬有引力作用，沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的萬有引力等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的萬有引力，由牛頓第二定律可知，沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的加速度，故C正確；月球的半徑未知，所以無法算出月球的密度，故D錯誤。]
4.A　[根據(jù)開普勒第三定律有eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，解得T土＝T地＝年≈29.28年，設(shè)兩次土星沖日時間間隔為t年，則地球多轉(zhuǎn)動一周，有t－t＝2π，解得t＝≈1.04年，故2020年7月21日土星沖日，下一次沖日大約為2021年8月，故A正確。]
5.C　[由開普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，設(shè)兩衛(wèi)星至少經(jīng)過時間t距離最遠(yuǎn)，即B比A多轉(zhuǎn)半圈，t＝π，又TA＝T0，＝k，聯(lián)立解得t＝，故C正確。]
6.D　[兩顆天體在兩者之間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，根據(jù)牛頓第三定律可知，兩天體受到的萬有引力大小相等，則它們做勻速圓周運動的向心力大小相等，故A錯誤；兩天體繞同一圓心轉(zhuǎn)動，角速度相等，周期相等，根據(jù)萬有引力提供向心力可得G＝m1ω2r1＝m2ω2r2，則質(zhì)量大的天體軌道半徑較小，根據(jù)a1＝ω2r1和a2＝ω2r2可知，質(zhì)量大的天體的向心加速度較小；根據(jù)v1＝ωr1和v2＝ωr2可知，質(zhì)量大的天體的線速度較小，故D正確，B、C錯誤。]
7.C　[黑洞和恒星組成雙星系統(tǒng)，根據(jù)雙星系統(tǒng)的特點可知，黑洞與恒星的向心力都等于黑洞和恒星之間的萬有引力，轉(zhuǎn)動的角速度相等，周期相等，故A、B錯誤，C正確；根據(jù)a＝可知黑洞與恒星的加速度大小之比為＝，故D錯誤。]
8.BC　[衛(wèi)星C加速后做離心運動，軌道變高，不可能追上衛(wèi)星A，A錯誤；A、B衛(wèi)星由相距最近至相距最遠(yuǎn)時，兩衛(wèi)星轉(zhuǎn)的圈數(shù)差半圈，設(shè)經(jīng)歷時間為t，有－＝，解得t＝，B正確；由a＝及rA＝rC>rB，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，C正確；軌道半徑為r的衛(wèi)星，其周期T＝2π，則該衛(wèi)星在單位時間內(nèi)掃過的面積S0＝＝，由于rC>rB，所以在相同時間內(nèi)，C與地心連線掃過的面積大于B與地心連線掃過的面積，D錯誤。]
9.B　[直線三星系統(tǒng)中甲星和丙星角速度相同，運動半徑相同，由v＝ωR可知甲星和丙星的線速度大小相等，方向不同，故A錯誤；直線三星系統(tǒng)中萬有引力提供向心力，由G＋G＝MR，得T＝4πR，故B正確；兩種系統(tǒng)的運動周期相同，根據(jù)牛頓第二定律可得，對三角形三星系統(tǒng)中任意星體有2Gcos 30°＝Mr，軌道半徑r與邊長L的關(guān)系為L＝r，解得L＝R，故C錯誤；三角形三星系統(tǒng)的線速度大小為v＝，得v＝×，故D錯誤。]
10.(1)L　L　(2)2π　(3)半徑變大　周期不變
解析　(1)兩星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，有
G＝mArA，G＝mBrB
可得＝
又因為L＝rA＋rB
解得rA＝L，rB＝L。
(2)由G＝mArA和
rA＝L兩式聯(lián)立解得
T＝＝2π。
(3)根據(jù)rA＝L，且總質(zhì)量(mA＋mB)不變，知mB變大，rA變大
根據(jù)T＝2π，知周期不變。(共57張PPT)
培優(yōu)提升四　應(yīng)用萬有引力定律解決“三個”熱點問題
第六章　萬有引力與宇宙航行
1.理解衛(wèi)星發(fā)射、變軌和對接過程，會分析變軌過程中各物理量的變化。
2.理解天體運動中的追及與相遇問題。
3.掌握雙星和多星模型的特點，會分析相關(guān)問題。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
提升
1
提升2　衛(wèi)星的追及與相遇
提升1　衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接
提升3　“雙星”和“多星”模型
提升1　衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接
1.變軌運行分析
如圖是飛船從地球上發(fā)射到繞月球運動的飛行示意圖。
(1)從繞地球運動的軌道上進(jìn)入奔月軌道，飛船應(yīng)采取什么措施？為什么？
(2)從奔月軌道進(jìn)入月球軌道，又應(yīng)采取什么措施？為什么？
提示　(1)飛船繞天體穩(wěn)定運行時，萬有引力提供其做勻速圓周運動的向心力。
2.衛(wèi)星的變軌發(fā)射問題
(1)衛(wèi)星的發(fā)射過程
如圖所示，首先，利用第一級火箭將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1，
當(dāng)?shù)竭_(dá)赤道上空時，第二、三級火箭在Q點點火，衛(wèi)星進(jìn)入位
于赤道平面內(nèi)的橢圓轉(zhuǎn)移軌道2，當(dāng)?shù)竭_(dá)遠(yuǎn)地點P時，衛(wèi)星啟
動發(fā)動機(jī)，然后進(jìn)入圓軌道3做圓周運動。
(2)變軌運行各量間的關(guān)系
衛(wèi)星在軌道1上運動到Q點的速度vQ1與在軌道2上運動到Q點的速度vQ2相比vQ2>vQ1；而衛(wèi)星在軌道2上運行到P點的速度vP2與軌道3上運動到P點的速度vP3相比vP3>vP2；在圓軌道1上與圓軌道3上有vQ1>vP3，所以有vQ2>vQ1>vP3>vP2；在Q、P點的加速度有aQ1＝aQ2，aP3＝aP2，因為衛(wèi)星在不同軌道上的相切點處所受萬有引力是相同的。
3.對接問題
(1)低軌道飛船與高軌道空間站對接：如圖甲所示，低軌道飛船通過合理加速，沿橢圓軌道(做離心運動)追上高軌道空間站與其完成對接。
(2)同一軌道飛船與空間站對接：如圖乙所示，后面的飛船先減速降低高度，再加速提升高度，通過適當(dāng)控制，使飛船追上空間站完成對接。
B
例1 (2024·北京市第十五中學(xué)南口學(xué)校期中)如圖為飛船運動過程的示意圖。飛船先進(jìn)入圓軌道1做勻速圓周運動，再經(jīng)橢圓軌道2，最終進(jìn)入圓軌道3完成對接任務(wù)。橢圓軌道2分別與軌道1、軌道3相切于A點、B點。則飛船(　　)
A.在軌道1的運行周期大于在軌道3的運行周期
B.在軌道2運動過程中，經(jīng)過A點時的速率比B點大
C.在軌道2運動過程中，經(jīng)過A點時的加速度比B點小
D.從軌道2進(jìn)入軌道3時需要在B點處減速
A
訓(xùn)練1 (2024·湖北卷，4)太空碎片會對航天器帶來危害。設(shè)空間站在地球附近沿逆時針方向做勻速圓周運動，如圖中實線所示。為了避開碎片，空間站在P點向圖中箭頭所指徑向方向極短時間噴射氣體，使空間站獲得一定的反沖速度，從而實現(xiàn)變軌。變軌后的軌道如圖中虛線所示，其半長軸大于原軌道半徑。則(　　)
A.空間站變軌前、后在P點的加速度相同
B.空間站變軌后的運動周期比變軌前的小
C.空間站變軌后在P點的速度比變軌前的小
D.空間站變軌前的速度比變軌后在近地點的大
提升2　衛(wèi)星的追及與相遇
D
天體追及問題的解題技巧
處理天體追及問題時，首先判斷誰的角速度大，然后根據(jù)兩星追上或相距最近時滿足兩星運行的角度差等于2π的整數(shù)倍、相距最遠(yuǎn)時兩星運行的角度差等于π的奇數(shù)倍求解。　　　　
B
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶7 D.1∶8
提升3　“雙星”和“多星”模型
1.“雙星”模型
(1)如圖所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠(yuǎn)，其他星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。
(2)處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，
(3)特點
①兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同。
②兩星所需的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。
③兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L，軌道半徑與兩星質(zhì)量成反比。
2.“多星”模型
三星模型 四星模型
(1)運動特點
轉(zhuǎn)動方向、周期、角速度、線速度大小均相同。
(2)受力特點
圓周運動半徑都相等，各星所受萬有引力的合力提供做圓周運動所需的向心力。
例3 (2024·天津南開高一期末) “雙星系統(tǒng)”是由相距較近的兩顆恒星組成，每個恒星的半徑遠(yuǎn)小于兩個恒星之間的距離，而且雙星系統(tǒng)一般遠(yuǎn)離其他天體，它們在相互間的萬有引力作用下，繞其連線上的某一點做勻速圓周運動。如圖所示為某一雙星系統(tǒng)，A星球的質(zhì)量為m1，B星球的質(zhì)量為m2，它們中心之間的距離為L，引力常量為G。則下列說法正確的是(　　)
D
分析雙星問題時注意區(qū)分兩星的軌道半徑和兩星之間的距離，萬有引力提供向心力，萬有引力中的距離為兩星間距，向心力中的r為軌道半徑。　　　　
訓(xùn)練3 (多選) (2024·重慶市楊家坪中學(xué)高一期末)中國科幻電影《流浪地球》講述了地球逃離太陽系的故事，假設(shè)人們在逃離過程中發(fā)現(xiàn)一種三星組成的孤立系統(tǒng)，三星的質(zhì)量相等、半徑均為R，穩(wěn)定分布在等邊三角形的三個頂點上，三角形的邊長為d，三星繞O點做周期為T的勻速圓周運動。已知引力常量為G，忽略星體的自轉(zhuǎn)，下列說法正確的是(　　)
AD
隨堂對點自測
2
CD
1.(衛(wèi)星的發(fā)射與變軌)(多選)“嫦娥三號”衛(wèi)星從地球發(fā)射到月球過程的路線示意圖如圖所示。關(guān)于“嫦娥三號”的說法正確的是(　　)
A.在P點由a軌道轉(zhuǎn)變到b軌道時，速度必須變小
B.在Q點由d軌道轉(zhuǎn)變到c軌道時，要加速才能實現(xiàn)(不計“嫦娥三號”的質(zhì)量變化)
C.在b軌道上，衛(wèi)星在P點的速度比在R點的速度大
D.“嫦娥三號”在a、b軌道上正常運行時，通過同一點P時，加速度相等
C
2.(衛(wèi)星的對接)如圖所示，我國發(fā)射的“神舟十一號”飛船和“天宮二號”空間實驗室于2016年10月19日自動交會對接成功。假設(shè)對接前“天宮二號”與“神舟十一號”都圍繞地球做勻速圓周運動，為了實現(xiàn)飛船與空間實驗室的對接，下列措施可行的是(　　)
A.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后飛船
加速追上空間實驗室實現(xiàn)對接
B.使飛船與空間實驗室在同一軌道上運行，然后空間
實驗室減速等待飛船實現(xiàn)對接
C.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上加速，加速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
D.飛船先在比空間實驗室半徑小的軌道上減速，減速后飛船逐漸靠近空間實驗室，兩者速度接近時實現(xiàn)對接
解析　飛船在同一軌道上加速追趕空間實驗室時，速度增大，所需向心力大于萬有引力，飛船將做離心運動，不能實現(xiàn)與空間實驗室的對接，選項A錯誤；空間實驗室在同一軌道上減速等待飛船時，速度減小，所需向心力小于萬有引力，空間實驗室將做近心運動，不能實現(xiàn)對接，選項B錯誤；當(dāng)飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上加速時，飛船將做離心運動，逐漸靠近空間實驗室，可在兩者速度接近時實現(xiàn)對接，選項C正確；當(dāng)飛船在比空間實驗室半徑小的軌道上減速時，飛船將做近心運動，遠(yuǎn)離空間實驗室，不能實現(xiàn)對接，選項D錯誤。
AC
3.(雙星模型)(多選)如圖所示，兩個黑洞A、B組成的雙星系統(tǒng)繞其連線上的O點做勻速圓周運動，若A的軌道半徑大于B的軌道半徑，兩個黑洞的總質(zhì)量為m，距離為L，其運動周期為T。則(　　)
A.A的質(zhì)量一定小于B的質(zhì)量
B.A的線速度一定小于B的線速度
C.L一定，m越大，T越小
D.m一定，L越大，T越小
課后鞏固訓(xùn)練
3
B
題組一　衛(wèi)星的發(fā)射、變軌和對接
1.嫦娥五號是中國首個實施月面無人取樣返回的月球探測器，為中國探月工程的收官之戰(zhàn)。2020年11月29日，嫦娥五號探測器從橢圓環(huán)月軌道1上的P點實施變軌進(jìn)入近月圓形圓軌道2，開始進(jìn)行動力下降后成功落月，如圖所示。下列說法正確的是(　　)
對點題組練
A.嫦娥五號的發(fā)射速度大于11.2 km/s
B.沿軌道1運動至P時，需減速才能進(jìn)入軌道2
C.沿軌道1運行的周期小于沿軌道2運行的周期
D.探測器在軌道2上經(jīng)過P點的加速度小于在軌道1上經(jīng)過P點的加速度
解析　發(fā)射速度大于11.2 km/s的衛(wèi)星將脫離地球束縛，繞太陽運動，嫦娥五號的發(fā)射速度應(yīng)大于7.9 km/s小于11.2 km/s，A錯誤；沿軌道1運動至P時，需減速才能進(jìn)入軌道2，B正確；由開普勒第三定律可知，沿軌道1運行的周期大于沿軌道2運行的周期，C錯誤；探測器在軌道2上經(jīng)過P點和在軌道1上經(jīng)過P點的加速度都由萬有引力產(chǎn)生，即探測器在軌道2上經(jīng)過P點的加速度等于在軌道1上經(jīng)過P點的加速度，D錯誤。
D
2.(2021·天津卷)2021年5月15日，天問一號探測器著陸火星取得成功，邁出了我國星際探測征程的重要一步，在火星上首次留下國人的印跡。天問一號探測器成功發(fā)射后，順利被火星捕獲，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。經(jīng)過軌道調(diào)整，探測器先沿橢圓軌道Ⅰ運行，之后進(jìn)入稱為火星停泊軌道的橢圓軌道Ⅱ運行，如圖所示，兩軌道相切于近火點P，則天問一號探測器(　　)
A.在軌道Ⅱ上處于受力平衡狀態(tài)
B.在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時短
C.從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ在P處要加速
D.沿軌道Ⅰ向P飛近時速度增大
解析　天問一號探測器在軌道Ⅱ上做變速運動，受力不平衡，故A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知，軌道Ⅰ的半長軸大于軌道Ⅱ的半長軸，故在軌道Ⅰ運行周期比在Ⅱ時長，故B錯誤；天問一號探測器從軌道Ⅰ進(jìn)入Ⅱ，做近心運動，需要的向心力小于提供的向心力，故要在P處減速，故C錯誤；在軌道Ⅰ上向P飛近時，由開普勒第二定律可知速度增大，故D正確。
BC
3.(多選)“嫦娥四號”月球探測器首次在月球背面軟著陸，如圖所示，“嫦娥四號”從環(huán)月圓形軌道Ⅰ上的P點實施變軌，進(jìn)入環(huán)月橢圓形軌道Ⅱ，由近月點Q落月，關(guān)于“嫦娥四號”，下列說法正確的是(　　)
A.沿軌道Ⅰ運行至P點時，需加速才能進(jìn)入軌道Ⅱ
B.沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期
C.沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運行
經(jīng)P點時的加速度
D.若已知“嫦娥四號”繞軌道Ⅰ的半徑、運動周期和
引力常量，可算出月球的密度
解析　“嫦娥四號”在軌道Ⅰ上的P點實施變軌，需做近心運動，在P點應(yīng)該制動減速，故A錯誤；軌道Ⅱ的半長軸小于軌道Ⅰ的半徑，根據(jù)開普勒第三定律可知，沿軌道Ⅱ運行的周期小于沿軌道Ⅰ運行的周期，故B正確；“嫦娥四號”只受萬有引力作用，沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的萬有引力等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的萬有引力，由牛頓第二定律可知，沿軌道Ⅱ運行經(jīng)P點時的加速度等于沿軌道Ⅰ運行經(jīng)P點時的加速度，故C正確；月球的半徑未知，所以無法算出月球的密度，故D錯誤。
A
題組二　衛(wèi)星的追及與相遇
4.太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。當(dāng)?shù)厍蚯『眠\行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線時，天文學(xué)稱這種現(xiàn)象為“行星沖日”。已知2020年7月21日土星沖日，土星繞太陽運動的軌道半徑約為地球繞太陽運動的軌道半徑的9.5倍，則下一次土星沖日的時間約為(　　)
A.2021年8月 B.2022年7月
C.2023年8月 D.2024年7月
C
5.如圖所示，A、B為地球的兩個軌道共面的人造衛(wèi)星，運行方向相同，A為地球同步衛(wèi)星，A、B衛(wèi)星的軌道半徑的比值為k，地球自轉(zhuǎn)周期為T0，某時刻A、B兩衛(wèi)星距離達(dá)到最近，從該時刻起到A、B間距離最遠(yuǎn)時所經(jīng)歷的最短時間為(　　)
D
題組三　“雙星”和“多星”模型
6.雙星是兩顆相距較近的天體，在相互間的萬有引力作用下，繞其連線上的某點做勻速圓周運動。對于兩顆質(zhì)量不等的天體構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，下列說法中正確的是(　　)
A.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的向心力較大
B.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的向心加速度較大
C.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的角速度較大
D.質(zhì)量大的天體做勻速圓周運動的線速度較小
C
7.中國科學(xué)家利用“慧眼”太空望遠(yuǎn)鏡觀測到了銀河系的MAXI J1820＋070是一個由黑洞和恒星組成的雙星系統(tǒng)，距離地球約10 000光年。根據(jù)觀測，此雙星系統(tǒng)中的黑洞質(zhì)量大約是恒星質(zhì)量的16倍，不考慮其他天體的影響，可推斷該黑洞與恒星的(　　)
A.向心力大小之比為16∶1
B.周期之比為16∶1
C.角速度大小之比為1∶1
D.加速度大小之比為1∶1
BC
8.(多選)(2024·山師大附中高一月考)三顆人造衛(wèi)星A、B、C都在赤道正上方同方向繞地球做勻速圓周運動，A、C為地球同步衛(wèi)星，某時刻A、B相距最近，如圖所示。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T1，B的運行周期為T2，則下列說法正確的是(　　)
綜合提升練
B
9.太空中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其他星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于邊長為L的等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行。設(shè)這三個星體的質(zhì)量均為M，并設(shè)兩種系統(tǒng)的運動周期相同，引力常量為G，則(　　)
10.如圖所示，質(zhì)量分別為mA和mB的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側(cè)，引力常量為G。
培優(yōu)加強(qiáng)練
又因為L＝rA＋rB

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