資源簡介

第3節(jié)　萬有引力理論的成就
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解“稱量”地球質(zhì)量的基本思路，了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。2.理解計算太陽質(zhì)量的基本思路，能將天體運(yùn)動轉(zhuǎn)化成相關(guān)模型后進(jìn)行求解。3.認(rèn)識萬有引力定律的科學(xué)成就，體會科學(xué)的迷人魅力，進(jìn)一步認(rèn)識運(yùn)動與相互作用的觀念。
知識點(diǎn)一　“稱量”地球的質(zhì)量
如圖是我們測量物體質(zhì)量的常用工具，地球這么大，我們?nèi)绾巍胺Q量”地球的質(zhì)量呢？卡文迪什在實驗室測出了引力常量G的值，他被稱為“可以稱量地球質(zhì)量的人”。他“稱量”的依據(jù)是什么？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.思路：若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于___________________________________________________________________。
2.關(guān)系式：mg＝G。
3.地球的質(zhì)量：m地＝________，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量。
【思考】
1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，能否用“稱量”地球的方法“稱量”該星球的質(zhì)量。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.這種“稱量”星體質(zhì)量的方法忽略了哪種因素的影響？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (2021·全國卷)卡文迪什用扭秤實驗測定了引力常量，以實驗驗證了萬有引力定律的正確性。應(yīng)用引力常量還可以計算出地球的質(zhì)量，卡文迪什也因此被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半徑R＝6.4×106 m，則地球質(zhì)量約為(　　)
A.6×1018 kg B.6×1020 kg
C.6×1022 kg D.6×1024 kg
只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半徑R，就可以估算出星球的質(zhì)量。　　　　
知識點(diǎn)二　計算天體的質(zhì)量和密度
太陽是一個火熱的球體，如果不知道太陽表面的重力加速度，那么如何計算太陽的質(zhì)量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.太陽質(zhì)量的計算
(1)依據(jù)：設(shè)m太是太陽的質(zhì)量，m是某個行星的質(zhì)量，r是行星與太陽之間的距離，行星做勻速圓周運(yùn)動的向心力由他們之間的萬有引力提供，即G＝________。
(2)結(jié)論：m太＝________，測出行星的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽間的距離r，就可以算出太陽的質(zhì)量。
2.行星質(zhì)量的計算：如果已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，可計算行星的質(zhì)量。
【思考】 如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽間的距離r。
(1)寫出太陽質(zhì)量的表達(dá)式，并根據(jù)結(jié)果進(jìn)一步理解開普勒第三定律。
(2)若要求太陽的密度，還需要哪些量？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　重力加速度法
例2 宇航員在距某一星球表面h高度處，以某一速度沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t后小球落到星球表面。已知該星球的半徑為R，引力常量為G，不計一切阻力，則該星球的質(zhì)量為(　　)
A. B.
C. D.
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　環(huán)繞法
例3 一月球探測器繞月球做周期為T的圓周運(yùn)動，軌道距月球表面的高度為H。已知月球半徑為R，引力常量為G，則月球的平均密度為(　　)
A. B.
C. D.
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
天體質(zhì)量和密度的計算方法(天體質(zhì)量為M)
重力加速度法 環(huán)繞法
情景 已知天體的半徑R和天體表面的重力加速度g 行星或衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動
思路 物體在天體表面的重力近似等于天體與物體間的萬有引力：mg＝G 行星或衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力：G＝mr
天體質(zhì)量 天體質(zhì)量：M＝ 中心天體質(zhì)量：M＝
天體密度 ρ＝＝ ρ＝＝
說明 未知星球表面重力加速度通常利用實驗測出，例如讓小球做自由落體、平拋、上拋等運(yùn)動 這種方法只能求中心天體質(zhì)量，不能求環(huán)繞星體質(zhì)量T為公轉(zhuǎn)周期r為軌道半徑R為中心天體半徑
　　　　知識點(diǎn)三　發(fā)現(xiàn)未知天體　預(yù)言哈雷彗星回歸
1.海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學(xué)的學(xué)生__________和法國年輕的天文學(xué)家________根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星軌道外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的________在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——________。
2.其他天體的發(fā)現(xiàn)：近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了________、鬩神星等幾個較大的天體。
3.哈雷彗星回歸
英國天文學(xué)家哈雷計算出在1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的三顆彗星的軌道如出一轍，并預(yù)言這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星，周期約為________年，還預(yù)言它將于1758年底或1759年初再次回歸。1759年3月這顆彗星如期通過了近日點(diǎn)，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在________年左右。
4.海王星的發(fā)現(xiàn)和____________的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。
例4 十八世紀(jì)，人們已經(jīng)知道太陽系有七顆行星，但是第七顆行星天王星的運(yùn)動軌道有些“古怪”：它的軌道與根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道存在一些偏差，這個偏差產(chǎn)生的原因是(　　)
A.天文觀測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確
B.萬有引力定律的準(zhǔn)確性有問題
C.離天王星較近的土星對天王星的影響
D.天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星
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1.發(fā)現(xiàn)過程
(1)由最外側(cè)天體軌道的“古怪”現(xiàn)象提出猜想。
(2)根據(jù)軌道的“古怪”情況和萬有引力定律計算“新”天體的可能軌道。
(3)根據(jù)計算出的軌道預(yù)測可能出現(xiàn)的時刻和位置。
(4)進(jìn)行實地觀察驗證。
2.海王星與冥王星發(fā)現(xiàn)的重要意義并不僅僅在于發(fā)現(xiàn)了新天體，更重要的是確立了萬有引力定律的地位。　　　　
知識點(diǎn)四　天體運(yùn)動的分析與計算
1.基本思路
一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動可看作勻速圓周運(yùn)動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。
2.常用關(guān)系
(1)G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
(2)忽略天體自轉(zhuǎn)時，mg＝G(物體在天體表面受到的萬有引力等于物體重力)，整理可得gR2＝GM，該公式通常被稱為“黃金代換式”，R為天體半徑，g為天體表面的重力加速度。
3.四個重要結(jié)論
設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動。
項目 推導(dǎo)式 關(guān)系式 結(jié)論
v與r的關(guān)系 G＝m v＝∝ r越大，v越小
ω與r的關(guān)系 G＝mω2r ω＝∝ r越大，ω越小
T與r的關(guān)系 G＝mr T＝2π∝ r越大，T越大
a與r的關(guān)系 G＝ma a＝∝ r越大，a越小
規(guī)律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越遠(yuǎn)越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。
例5 (2022·上海卷)木衛(wèi)一和木衛(wèi)二都繞木星做勻速圓周運(yùn)動。它們的周期分別為42 h、46 min和85 h、22 min，它們的軌道半徑分別為R1和R2，線速度分別為v1和v2，則(　　)
A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2
C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2
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例6 (多選)三顆人造地球衛(wèi)星A、B、C繞地球做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，已知mA＝mBA.運(yùn)行線速度大小關(guān)系為vA>vB＝vC
B.運(yùn)行角速度關(guān)系為ωA>ωB＝ωC
C.向心力大小關(guān)系為FA＝FBD.軌道半徑與運(yùn)行周期關(guān)系為eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)＝eq \f(R,T)
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隨堂對點(diǎn)自測
1(天體質(zhì)量的計算)(2024·新課標(biāo)卷，3)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000 倍
2.(天體質(zhì)量的計算)(2021·全國乙卷)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為(　　)
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
3.(天體密度的計算)假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G，則地球的密度為(　　)
A.· B.·
C. D.·
4.(天體運(yùn)動的分析與計算)(2022·廣東卷)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是(　　)
A.火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大
B.火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大
C.火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小
D.火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小
第3節(jié)　萬有引力理論的成就
知識點(diǎn)一
導(dǎo)學(xué)
提示　若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，在地球表面上物體受到的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，因為地球表面的重力加速度g及地球的半徑R均已知，由mg＝G得m地＝。
知識梳理
1.地球?qū)ξ矬w的引力　3.
[思考]
1.提示　能。
2.提示　星體自轉(zhuǎn)的影響。
例1 D　[根據(jù)公式＝mg，可得m地＝＝ kg＝6×1024 kg，故D正確。]
知識點(diǎn)二
導(dǎo)學(xué)
提示　太陽對地球的萬有引力提供了地球繞太陽做圓周運(yùn)動的向心力，若知道地球的公轉(zhuǎn)周期及軌道半徑，根據(jù)G＝m地r，可以推導(dǎo)出太陽的質(zhì)量。
知識梳理
1.(1)m　(2)
[思考]
提示　(1)由G＝m地r知m太＝，所以＝，可見為一常量，只與太陽的質(zhì)量有關(guān)，與行星的質(zhì)量無關(guān)。
(2)由密度公式ρ＝＝eq \f(\f(4π2r3,GT2),\f(4,3)πR)＝eq \f(3πr3,GT2R)，若要求太陽的密度，還需要知道太陽的半徑R太。
例2 A　[設(shè)該星球表面的重力加速度為g，小球在星球表面做平拋運(yùn)動，有h＝gt2。設(shè)該星球的質(zhì)量為M，在星球表面有mg＝G，由以上兩式得，該星球的質(zhì)量為M＝，A正確。]
例3 A　[月球探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動，月球?qū)μ綔y器的引力提供向心力，有G＝m(R＋H)，解得M＝，月球的體積為V＝πR3，則月球的平均密度ρ＝＝＝，故A正確，B、C、D錯誤。]
知識點(diǎn)三
1.亞當(dāng)斯　勒維耶　伽勒　海王星　2.冥王星　3.76　2061
4.哈雷彗星
例4 D　[天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星。該行星對天王星產(chǎn)生吸引作用，使其軌道產(chǎn)生了偏差。故A、B、C錯誤，D正確。]
知識點(diǎn)四
例5 D　[根據(jù)萬有引力提供向心力可得G＝mR＝m，解得T＝，v＝，根據(jù)題目可知，木衛(wèi)一的周期小于木衛(wèi)二的周期，則R1＜R2；根據(jù)線速度的表達(dá)式可知，v1＞v2，故D正確。]
例6 ABD　[由G＝m得v＝，所以vA>vB＝vC，選項A正確；由G＝mω2r得ω＝，所以ωA>ωB＝ωC，選項B正確；由G＝man得an＝G，所以aA>aB＝aC，又mA＝mBFB，F(xiàn)B隨堂對點(diǎn)自測
1.B　[行星繞太陽做圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，由G＝mr得， M＝，則＝eq \f(r·T,r·T)＝≈0.1，故B正確。]
2.B　[由萬有引力提供向心力有G＝mR，整理得＝，可知只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，則＝eq \f(\f(R,T),\f(R,T))，已知T地＝1年，由題圖可知恒星S2繞銀河系運(yùn)動的周期TS2＝2×(2002－1994)年＝16年，解得M黑洞＝4×106M，B正確。]
3.B　[設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為m地、半徑為R，在地球兩極的物體所受重力等于萬有引力，即G＝mg0，在赤道上的物體做圓周運(yùn)動的周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，半徑等于地球的半徑，有G－mg＝mR，又地球的質(zhì)量m地＝πR3ρ，聯(lián)立三式可得ρ＝·，B正確。]
4.D　[由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)G＝mr，可得T＝2π，可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯誤；根據(jù)G＝m，可得v＝，可知火星公轉(zhuǎn)的線速度小于地球公轉(zhuǎn)的線速度，故A錯誤；根據(jù)ω＝可知，火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯誤；根據(jù)G＝ma，可得a＝，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故D正確。]第3節(jié)　萬有引力理論的成就
(分值：100分)
選擇題1～10題，每小題7分，共70分。
對點(diǎn)題組練
題組一　天體質(zhì)量和密度的計算
1.(2024·山東泰安高一期末)已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，其軌道半徑為r，運(yùn)動周期為T，地球半徑為R，引力常量為G，則下列說法正確的是(　　)
地球表面的重力加速度大小為
地球的質(zhì)量大小為
衛(wèi)星的向心加速度大小為
地球的平均密度大小為
2.(多選)(2024·西南大學(xué)附中期中)2023年3月17日，我國成功將“高分十三號02星”發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定軌道。假設(shè)入軌后，“高分十三號02星”以線速度為v繞地球做周期為T的勻速圓周運(yùn)動。已知地球的半徑為R，引力常量為G。由此可知(　　)
該衛(wèi)星到地球表面的高度為－R
該衛(wèi)星到地球表面的高度為－R
地球的質(zhì)量
地球的質(zhì)量
3.2022年8月10日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長征六號運(yùn)載火箭成功將“吉林一號”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定的環(huán)繞地球運(yùn)動軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異，高度不同，通過測量發(fā)現(xiàn)，它們的軌道半徑的三次方與運(yùn)動周期的二次方成正比，且比例系數(shù)為p。已知引力常量為G，由此可知地球的質(zhì)量為(　　)
4.設(shè)在地球上和在某未知天體上，以相同的初速度豎直上拋一物體，物體上升的最大高度比為k(均不計阻力)，且已知地球和該天體的半徑比也為k，則地球質(zhì)量與該天體的質(zhì)量比為(　　)
1 k
k2
題組二　天體運(yùn)動的分析和計算
5.人造衛(wèi)星以地心為圓心，做勻速圓周運(yùn)動。關(guān)于其各物理量間的關(guān)系，下列說法正確的是(　　)
半徑越大，速度越小，周期越小
半徑越大，速度越小，周期越大
所有衛(wèi)星的線速度均是相同的，與半徑無關(guān)
所有衛(wèi)星的角速度均是相同的，與半徑無關(guān)
6.(2023·江蘇卷)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是(　　)
質(zhì)量
向心力大小
向心加速度大小
受到地球的萬有引力大小
7.(2022·河北卷)2008年，我國天文學(xué)家利用國家天文臺興隆觀測基地的2.16米望遠(yuǎn)鏡，發(fā)現(xiàn)了一顆繞恒星HD173416運(yùn)動的系外行星HD173416b，2019年，該恒星和行星被國際天文學(xué)聯(lián)合會分別命名為“羲和”和“望舒”，天文觀測得到恒星羲和的質(zhì)量是太陽質(zhì)量的2倍，若將望舒與地球的公轉(zhuǎn)均視為勻速圓周運(yùn)動，且公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等。則望舒與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為(　　)
2 2
8. (多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運(yùn)動的三顆衛(wèi)星，a和b的質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則(　　)
b所需向心力最小
b、c的周期相同且大于a的周期
b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
綜合提升練
9.已知M、N兩星球的半徑之比為1∶2，在星球表面豎直上拋物體時，其上升的最大高度h與初速度平方v2的關(guān)系如圖所示(不計空氣阻力)，M、N兩星球的密度之比為(　　)
1∶1 1∶2
1∶4 1∶8
10.(2023·浙江卷)木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動的周期之比為1∶2∶4。木衛(wèi)三周期為T，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r的n倍，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T0，則(　　)
木衛(wèi)一軌道半徑為r
木衛(wèi)二軌道半徑為r
周期T與T0之比為n
木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為eq \f(T,T2)n3
11.(15分)若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地，若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求：
(1)(5分)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)(5分)月球的質(zhì)量M；
(3)(5分)月球的平均密度ρ。
培優(yōu)加強(qiáng)練
12.(15分)(2024·齊齊哈爾市第八中學(xué)高一期末)“天問一號”是中國首個火星探測器，其名稱來源于我國著名愛國主義詩人屈原的長詩《天問》。2021年2月我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現(xiàn)環(huán)繞火星運(yùn)動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。在“天問一號”環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動時，周期為T，軌道半徑為r，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉(zhuǎn)。求：
(1)(5分)“天問一號”環(huán)繞火星運(yùn)動的線速度的大小v；
(2)(5分)火星的質(zhì)量M；
(3)(5分)火星表面的重力加速度g的大小。
第3節(jié)　萬有引力理論的成就
1.C　[設(shè)地球質(zhì)量為M，由G＝mr得M＝，根據(jù)萬有引力和重力的關(guān)系有mg＝G，則有g(shù)＝，A、B錯誤；向心加速度為a＝，C正確；由質(zhì)量和密度的關(guān)系得ρ＝＝，D錯誤。]
2.AC　[由v＝得r＝，所以該衛(wèi)星到地球表面的高度為h＝－R，A正確，B錯誤；衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，由G＝m得M＝＝，C正確，D錯誤。]
3.C　[衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，有G＝mr，又由題意可知r3＝pT2，聯(lián)立解得M＝，C項正確。]
4.B　[在地球和天體的表面附近，物體的重力近似等于物體受到的萬有引力，故mg＝G，豎直上拋時物體上升的最大高度H＝eq \f(v,2g)，聯(lián)立解得中心天體的質(zhì)量M＝eq \f(vR2,2HG)，則＝·＝k，B正確。]
5.B　[根據(jù)G＝m＝mr＝mω2r，可得v＝，T＝，ω＝，可知半徑越大，速度越小，周期越大，角速度越小，故B正確。]
6.C　
INCLUDEPICTURE"13KTW181.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學(xué)生word文檔\\13KTW181.TIF" \* MERGEFORMATINET
7.C　[地球繞太陽公轉(zhuǎn)和行星望舒繞恒星羲和的勻速圓周運(yùn)動都是由萬有引力提供向心力，有G＝m，解得公轉(zhuǎn)的線速度大小為v＝，其中中心天體的質(zhì)量之比為2∶1，公轉(zhuǎn)的軌道半徑相等，則望舒與地球公轉(zhuǎn)速度大小的比值為，故C正確。]
8.ABD　[因衛(wèi)星運(yùn)動的向心力是由它們所受的萬有引力提供的，即Fn＝，則b所需向心力最小，A正確；由＝mr得T＝2π，即r越大，T越大，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正確；由＝man，得an＝，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C錯誤；由＝，得v＝，所以b、c的線速度大小相等且小于a的線速度，D正確。]
9.A　[由豎直上拋運(yùn)動和題圖可知v＝2gM·2h0，v＝2gN·h0，可得gM∶gN＝1∶2。根據(jù)＝mg、M＝ρ·πR3可得ρ＝，則M、N兩星球的密度之比為＝·＝×＝，A正確。]
10.D　[已知月球繞地球公轉(zhuǎn)的軌道半徑為r，木衛(wèi)三繞木星做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有＝m木衛(wèi)三nr；月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，有＝m月eq \f(4π2,T)r，聯(lián)立解得木星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比＝eq \f(T,T2)n3，D正確；如果地球、木星質(zhì)量相等，則根據(jù)上式可知eq \f(T2,T)＝n3，但木星、地球質(zhì)量并不相等，C錯誤；設(shè)木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三的軌道半徑分別為R1、R2、R3，根據(jù)開普勒第三定律＝k，可知R∶R∶R＝1∶4∶16，所以木衛(wèi)一的軌道半徑為，木衛(wèi)二的軌道半徑為，A、B錯誤。]
11.(1)　(2)　(3)
解析　(1)物體在月球表面附近做自由落體運(yùn)動，則h＝g月t2
解得g月＝。
(2)因不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則有
G＝mg月
月球的質(zhì)量M＝＝。
(3)月球的平均密度
ρ＝＝＝。
12.(1)　(2)　(3)
解析　(1)由題意可得v＝。
(2)設(shè)“天問一號”的質(zhì)量為m，由萬有引力提供向心力有
G＝mr
得M＝。
(3)忽略火星自轉(zhuǎn)，火星表面質(zhì)量為m′的物體所受引力等于重力，有G＝m′g
得g＝。(共56張PPT)
第3節(jié)　萬有引力理論的成就
第七章　萬有引力與宇宙航行
1.理解“稱量”地球質(zhì)量的基本思路，了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。
2.理解計算太陽質(zhì)量的基本思路，能將天體運(yùn)動轉(zhuǎn)化成相關(guān)模型后進(jìn)行求解。
3.認(rèn)識萬有引力定律的科學(xué)成就，體會科學(xué)的迷人魅力，進(jìn)一步認(rèn)識運(yùn)動與相互作用的觀念。
學(xué)習(xí)目標(biāo)
目 錄
CONTENTS
知識點(diǎn)
01
隨堂對點(diǎn)自測
02
課后鞏固訓(xùn)練
03
知識點(diǎn)
1
知識點(diǎn)二　計算天體的質(zhì)量和密度
知識點(diǎn)一　“稱量”地球的質(zhì)量
知識點(diǎn)三　發(fā)現(xiàn)未知天體　預(yù)言哈雷彗星回歸
知識點(diǎn)四　天體運(yùn)動的分析與計算
知識點(diǎn)一　“稱量”地球的質(zhì)量
　　　如圖是我們測量物體質(zhì)量的常用工具，地球這么大，我們?nèi)绾巍胺Q量”地球的質(zhì)量呢？卡文迪什在實驗室測出了引力常量G的值，他被稱為“可以稱量地球質(zhì)量的人”。他“稱量”的依據(jù)是什么？
1.思路：若不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，地面上質(zhì)量為m的物體所受的重力mg等于__________________。
地球?qū)ξ矬w的引力
3.地球的質(zhì)量：m地＝______，只要知道g、R、G的值，就可計算出地球的質(zhì)量。
【思考】
1.若知道某星球表面的重力加速度和星球半徑，能否用“稱量”地球的方法“稱量”該星球的質(zhì)量。
提示　能。
2.這種“稱量”星體質(zhì)量的方法忽略了哪種因素的影響？
提示　星體自轉(zhuǎn)的影響。
D
例1 (2021·全國卷)卡文迪什用扭秤實驗測定了引力常量，以實驗驗證了萬有引力定律的正確性。應(yīng)用引力常量還可以計算出地球的質(zhì)量，卡文迪什也因此被稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半徑R＝6.4×106 m，則地球質(zhì)量約為(　　)
A.6×1018 kg B.6×1020 kg C.6×1022 kg D.6×1024 kg
只要知道某星球表面的重力加速度g和星球半徑R，就可以估算出星球的質(zhì)量。　　　　
知識點(diǎn)二　計算天體的質(zhì)量和密度
　　　太陽是一個火熱的球體，如果不知道太陽表面的重力加速度，那么如何計算太陽的質(zhì)量？
2.行星質(zhì)量的計算：如果已知衛(wèi)星繞行星運(yùn)動的周期和衛(wèi)星與行星之間的距離，可計算行星的質(zhì)量。
【思考】 如果知道地球繞太陽的公轉(zhuǎn)周期T和它與太陽間的距離r。
(1)寫出太陽質(zhì)量的表達(dá)式，并根據(jù)結(jié)果進(jìn)一步理解開普勒第三定律。
(2)若要求太陽的密度，還需要哪些量？
A
A
天體質(zhì)量和密度的計算方法(天體質(zhì)量為M)
知識點(diǎn)三　發(fā)現(xiàn)未知天體　預(yù)言哈雷彗星回歸
1.海王星的發(fā)現(xiàn)：英國劍橋大學(xué)的學(xué)生________和法國年輕的天文學(xué)家________根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計算出天王星軌道外“新”行星的軌道。1846年9月23日，德國的______在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——________。
2.其他天體的發(fā)現(xiàn)：近100年來，人們在海王星的軌道之外又發(fā)現(xiàn)了________、鬩神星等幾個較大的天體。
亞當(dāng)斯
勒維耶
伽勒
海王星
冥王星
3.哈雷彗星回歸
英國天文學(xué)家哈雷計算出在1531年、1607年和1682年出現(xiàn)的三顆彗星的軌道如出一轍，并預(yù)言這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星，周期約為______年，還預(yù)言它將于1758年底或1759年初再次回歸。1759年3月這顆彗星如期通過了近日點(diǎn)，它最近一次回歸是1986年，它的下次回歸將在__________年左右。
4.海王星的發(fā)現(xiàn)和__________的“按時回歸”確立了萬有引力定律的地位。
76
2061
哈雷彗星
D
例4 十八世紀(jì)，人們已經(jīng)知道太陽系有七顆行星，但是第七顆行星天王星的運(yùn)動軌道有些“古怪”：它的軌道與根據(jù)萬有引力定律計算出來的軌道存在一些偏差，這個偏差產(chǎn)生的原因是(　　)
A.天文觀測數(shù)據(jù)不準(zhǔn)確
B.萬有引力定律的準(zhǔn)確性有問題
C.離天王星較近的土星對天王星的影響
D.天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星
解析　天王星軌道外面還有一顆未發(fā)現(xiàn)的行星。該行星對天王星產(chǎn)生吸引作用，使其軌道產(chǎn)生了偏差。故A、B、C錯誤，D正確。
1.發(fā)現(xiàn)過程
(1)由最外側(cè)天體軌道的“古怪”現(xiàn)象提出猜想。
(2)根據(jù)軌道的“古怪”情況和萬有引力定律計算“新”天體的可能軌道。
(3)根據(jù)計算出的軌道預(yù)測可能出現(xiàn)的時刻和位置。
(4)進(jìn)行實地觀察驗證。
2.海王星與冥王星發(fā)現(xiàn)的重要意義并不僅僅在于發(fā)現(xiàn)了新天體，更重要的是確立了萬有引力定律的地位。　　　　
知識點(diǎn)四　天體運(yùn)動的分析與計算
1.基本思路
一般行星或衛(wèi)星的運(yùn)動可看作勻速圓周運(yùn)動，所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。
2.常用關(guān)系
3.四個重要結(jié)論
設(shè)質(zhì)量為m的天體繞另一質(zhì)量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動。
規(guī)律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越遠(yuǎn)越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。
D
例5 (2022·上海卷)木衛(wèi)一和木衛(wèi)二都繞木星做勻速圓周運(yùn)動。它們的周期分別為42 h、46 min和85 h、22 min，它們的軌道半徑分別為R1和R2，線速度分別為v1和v2，則(　　)
A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2
C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2
ABD
例6 (多選)三顆人造地球衛(wèi)星A、B、C繞地球做勻速圓周運(yùn)動，如圖所示，已知mA＝mB隨堂對點(diǎn)自測
2
B
1.(天體質(zhì)量的計算)(2024·新課標(biāo)卷，3)天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)，在太陽系外的一顆紅矮星有兩顆行星繞其運(yùn)行，其中行星GJ1002c的軌道近似為圓，軌道半徑約為日地距離的0.07倍，周期約為0.06年，則這顆紅矮星的質(zhì)量約為太陽質(zhì)量的(　　)
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000 倍
B
2.(天體質(zhì)量的計算)(2021·全國乙卷)科學(xué)家對銀河系中心附近的恒星S2進(jìn)行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002年間S2的位置如圖所示。科學(xué)家認(rèn)為S2的運(yùn)動軌跡是半長軸約為1 000 AU(太陽到地球的距離為1 AU)的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學(xué)獎。若認(rèn)為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設(shè)太陽的質(zhì)量為M，可以推測出該黑洞質(zhì)量約為(　　)
A.4×104M B.4×106M
C.4×108M D.4×1010M
B
D
4.(天體運(yùn)動的分析與計算)(2022·廣東卷)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季。假設(shè)火星和地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍。火星和地球繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動。下列關(guān)于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是(　　)
A.火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大
B.火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大
C.火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小
D.火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小
課后鞏固訓(xùn)練
3
C
對點(diǎn)題組練
AC
C
B
B
題組二　天體運(yùn)動的分析和計算
5.人造衛(wèi)星以地心為圓心，做勻速圓周運(yùn)動。關(guān)于其各物理量間的關(guān)系，下列說法正確的是(　　)
A.半徑越大，速度越小，周期越小
B.半徑越大，速度越小，周期越大
C.所有衛(wèi)星的線速度均是相同的，與半徑無關(guān)
D.所有衛(wèi)星的角速度均是相同的，與半徑無關(guān)
C
6.(2023·江蘇卷)設(shè)想將來發(fā)射一顆人造衛(wèi)星，能在月球繞地球運(yùn)動的軌道上穩(wěn)定運(yùn)行，該軌道可視為圓軌道。該衛(wèi)星與月球相比，一定相等的是(　　)
A.質(zhì)量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的萬有引力大小
解析　
C
ABD
8.(多選)如圖所示，a、b、c是地球大氣層外圈圓形軌道上運(yùn)動的三顆衛(wèi)星，a和b的質(zhì)量相等，且小于c的質(zhì)量，則(　 　)
A.b所需向心力最小
B.b、c的周期相同且大于a的周期
C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D.b、c的線速度大小相等，且小于a的線速度
A
9.已知M、N兩星球的半徑之比為1∶2，在星球表面豎直上拋物體時，其上升的最大高度h與初速度平方v2的關(guān)系如圖所示(不計空氣阻力)，M、N兩星球的密度之比為(　　)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶4 D.1∶8
綜合提升練
D
11.若宇航員登上月球后，在月球表面做了一個實驗：將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時落地，若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時間t落到月球表面。已知引力常量為G，月球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響)。求：
(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；
(2)月球的質(zhì)量M；
(3)月球的平均密度ρ。
12.(2024·齊齊哈爾市第八中學(xué)高一期末)“天問一號”是中國首個火星探測器，其名稱來源于我國著名愛國主義詩人屈原的長詩《天問》。2021年2月我國首次火星探測任務(wù)“天問一號”探測器實施近火捕獲制動，成功實現(xiàn)環(huán)繞火星運(yùn)動，成為我國第一顆人造火星衛(wèi)星。在“天問一號”環(huán)繞火星做勻速圓周運(yùn)動時，周期為T，軌道半徑為r，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星的自轉(zhuǎn)。求：
(1)“天問一號”環(huán)繞火星運(yùn)動的線速度的大小v；
(2)火星的質(zhì)量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小。
培優(yōu)加強(qiáng)練

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