資源簡介

第2節　萬有引力定律
學習目標　1.知道萬有引力存在于任意兩個物體之間，知道其表達式和適用范圍。2.理解萬有引力定律的推導過程。3.會用萬有引力定律解決簡單的引力計算問題。4.了解引力常量G的測定在科學史上的重大意義。
知識點一　行星與太陽間的引力
如圖所示，行星所做的勻速圓周運動與我們平常生活中見到的勻速圓周運動是否遵從同樣的動力學規律？如果是，分析行星的受力情況。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.太陽對行星的引力
(1)建立模型
①行星繞太陽做的橢圓運動可簡化為以太陽為圓心的勻速圓周運動。
②太陽對行星的引力提供行星做勻速圓周運動的向心力，模型如圖所示。
(2)太陽對行星引力的推導
設行星的質量為m，速度為v，公轉周期為T，行星與太陽間的距離為r。則
(3)結論
太陽對行星的引力F與行星的質量m成________，與r2成________，即F∝。
2.行星對太陽的引力
根據牛頓第三定律，行星也吸引太陽，行星對太陽的引力也應與________________成________，與r2成________，即F′∝。
3.太陽與行星間的引力
(1)推導
F∝
(2)太陽與行星間的引力關系：F＝________。
例1 根據開普勒關于行星運動的規律和圓周運動知識得太陽對行星的引力F∝，行星對太陽的引力F′∝，其中m太、m、r分別為太陽的質量、行星的質量和太陽與行星間的距離。下列說法正確的是(　　)
A.由F∝和F′∝知F∶F′＝m∶m太
B.太陽的質量大于行星的質量，所以F>F′
C.F和F′是一對平衡力，大小總是相等的
D.太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
訓練 把行星運動近似看成勻速圓周運動以后，開普勒第三定律可寫為T2＝，則可推得(　　)
A.行星受太陽的引力為F＝k
B.行星受太陽的引力都相同
C.行星受太陽的引力為F＝
D.質量越大的行星受太陽的引力一定越大
知識點二　月—地檢驗
秋天蘋果成熟后會從樹上落下來；月球繞著地球在公轉。
(1)蘋果從樹上脫落后，為什么落向地面而不是飛上天空？月球為什么能夠繞地球轉動？
(2)蘋果和地球之間的作用與月球和地球之間的作用性質相同嗎？如何證明？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.檢驗目的：地球繞太陽運動、月球繞地球運動的力與地球對樹上蘋果的引力是否為________________的力。
2.檢驗方法
(1)假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應該滿足F＝____________。
(2)根據牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝________＝________(式中m地是地球質量，r是地球中心與月球中心的距離)。
(3)假設地球對蘋果的吸引力也是同一種力，同理可知，蘋果的自由落體加速度a蘋＝________＝________(式中m地是地球的質量，R是地球中心與蘋果間的距離)。
(4)＝________，由于r≈60R，所以＝________。
3.檢驗結論：已知自由落體加速度g為9.8 m/s2，即a蘋＝________；月、地中心距離r＝3.8×108 m，月球公轉周期為27.3 d，約2.36×106 s，即a月＝2.69×10－3 m/s2，則＝，可知計算結果與預期符合得很好。
這表明：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從________的規律。
例2 (2024·河北石家莊二中高一檢測)通過“月—地檢驗”證明了地球對地面物體的引力與行星對衛星的引力具有相同的性質。當時牛頓掌握的信息有：地球表面的重力加速度為g，月球軌道半徑為地球半徑的60倍，月球的公轉周期約為27.3天。下列關于月—地檢驗的說法正確的是(　　)
A.牛頓計算出了地球對月球的引力的數值，從而完成了月—地檢驗
B.牛頓計算出了月球對月球表面物體的引力的數值，從而完成了月—地檢驗
C.牛頓計算出了月球表面的重力加速度約為地球表面重力加速度的，從而完成了月—地檢驗
D.牛頓計算出了月球繞地球做圓周運動的加速度約為地球表面重力加速度的，從而完成了月—地檢驗
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知識點三　萬有引力定律　引力常量
月—地檢驗結果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律。一切物體都存在這樣的引力，為什么我們感覺不到周圍物體的引力呢？通過以下實例分析。
(1)如圖所示，假若小明與同桌小兵的質量均為60 kg，相距0.5 m。粗略計算他們間的引力(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的質量大約是0.004 g，其重力約為4×10－5 N，是小明和同桌小兵之間引力的多少倍？
(3)在對一個人受力分析時需要分析兩個人之間的引力嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的________，引力的大小與物體的質量m1和m2的________成正比，與它們之間距離r的________成反比。
2.表達式：F＝G。
3.引力常量
由英國物理學家卡文迪什測量得出，常取G＝____________ N·m2/kg2。
4.對萬有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙間任何兩個有質量的物體之間都存在著相互吸引的力。
(2)相互性：兩個有質量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力。
(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用。
(4)適用范圍：只適用于可以看作質點的兩個物體間的相互作用；若是兩個均勻的球體，應是兩球心間的距離。
【思考】
1.有人說：根據F＝G可得當r趨近于零時，萬有引力將趨于無窮大，這種說法對嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.如圖所示，卡文迪什扭秤實驗是世界史上最美的十個物理實驗之一，你覺得測定G值有什么意義？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度1　萬有引力定律的理解
例3 關于萬有引力和萬有引力定律理解正確的有(　　)
A.我們平常很難覺察到物體之間的萬有引力，是因為一般物體之間沒有萬有引力的作用
B.兩物體間的萬有引力總是大小相等、方向相反的，是一對平衡力
C.由F＝G知，兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大，緊靠在一起時，萬有引力無窮大
D.引力常量的大小首先是由卡文迪什測出來的，約等于6.67×10－11 N·m2/kg2
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.萬有引力定律公式的適用條件的理解
(1)兩質點間的相互作用。當物體間的距離r趨于零時，兩個物體不能被看作質點，其引力不能由萬有引力公式求解。
(2)質量分布均勻的球體間的相互作用，式中r是兩個球體球心間的距離。
2.兩個物體之間的萬有引力是一對相互作用力　　　　
角度2　萬有引力的計算
例4 2021年4月29日，我國空間站“天和”核心艙發射成功。在地球引力作用下，繞地球做勻速圓周運動。已知地球的質量為M，地球的半徑為R，“天和”的質量為m，離地面的高度為h，引力常量為G，則地球對“天和”的萬有引力大小為(　　)
A.G B.G
C.G D.G
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例5 (人教版教材P71復習與提高B組T3改編)一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示。已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質量為m2的質點A(引力常量為G)，求：
(1)被挖去的小球在挖去前對質點A的萬有引力；
(2)剩余部分對質點A的萬有引力。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
填補法：大球體被挖去小球體后，大球體的密度不再均勻，無法直接利用公式求解大球對質點產生的萬有引力，此時我們采取割補法，將被挖部分補回去，完整的大球體密度均勻，此時可以利用萬有引力的公式求解完整地大球對質點的萬有引力，再減去挖掉的小球對質點的萬有引力即可。　　　　
知識點四　萬有引力與重力的關系
假如某個人做環球旅行，可能到達地球的任何地點，如果將地球看成標準的球體，那么該人分別位于赤道上某點、北半球的某點、南半球的某點、北極點、南極點等不同地點。
(1)該人在各地點所受的萬有引力有什么關系？
(2)該人在各地點所受的重力有什么關系？
(3)有人說，重力就是地球對物體的吸引力，對嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是產生重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力Fn。設地球的質量為M，半徑為R，如圖所示。
(1)地球赤道上：Fn＝mω2R最大，此時重力最小，有G＝mg1＋mω2R。
(2)地球兩極上：G＝mg0，重力達到最大值。
(3)地面一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力Fn的矢量和。
(4)距離地面高度h處：G＝mg2。
結論：①緯度越高，g值越大；高度越大，g值越小。
②由于物體隨地球自轉所需的向心力較小，常認為萬有引力近似等于重力，即G＝mg。
例6 假設地球可視為質量均勻分布的球體，已知地球表面重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g，地球的半徑為R，則地球的自轉周期為(　　)
A.2π B.2π
C.2π D.2π
隨堂對點自測
1.(引力常量)(人教版教材P53圖7.2－3改編)物理學領域中具有普適性的一些常量，對物理學的發展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如圖所示的裝置，比較精確地測量出了引力常量。下列說法錯誤的是(　　)
A.引力常量不易測量的一個重要原因就是地面上普通物體間的引力太微小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.這個實驗裝置巧妙地利用放大原理，提高了測量精度
D.引力常量G的大小與兩物體質量的乘積成反比，與兩物體間距離的平方成正比
2.(萬有引力定律的應用)地球半徑為R，一物體在地球表面受到的萬有引力為F，若該物體在地球高空某處受到的萬有引力為，則該處距地面的高度為(　　)
A.R　　 B.(－1)R　　
C.R　　 D.3R
3.(萬有引力與重力的關系)假如地球的自轉角速度增大，對于物體的重力，下列說法正確的是(　　)
A.放在赤道地面上的物體所受的萬有引力不變
B.放在兩極地面上的物體重力變小
C.放在赤道地面上的物體的重力不變
D.“一晝夜”的時間不變
第2節　萬有引力定律
知識點一
導學
提示　行星所做的勻速圓周運動與我們平常生活中見到的勻速圓周運動遵從同樣的動力學規律，合力提供向心力，即F合＝m＝mω2r＝mr，行星做勻速圓周運動所需要的向心力由太陽對它的引力提供。
知識梳理
1.(3)正比　反比　2.太陽的質量m太　正比　反比
3.(2)G
例1 D　[根據牛頓第三定律，太陽對行星的引力與行星對太陽的引力是作用力與反作用力，故兩個力的大小相等、方向相反，故A、B錯誤；太陽對行星的引力的受力物體是行星，行星對太陽的引力的受力物體是太陽，故兩個力不是平衡力，故C錯誤；行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對行星的萬有引力提供行星做圓周運動的向心力，故D正確。]
訓練 C　[太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力，則F＝m，又v＝，結合T2＝，可得F＝，故A錯誤，C正確；由上式可看出F與m、r有關，行星的質量越大，受到太陽的引力不一定越大，故B、D錯誤。]
知識點二
導學
提示　(1)蘋果受到地球的吸引作用使蘋果落向地面；地球對月球的引力為月球做圓周運動提供向心力。
(2)地球對蘋果的引力與地球對月球的引力性質相同，從而具有相同的表達形式；假設二者表達形式相同，則其加速度之比應與其距離二次方成反比，通過測量計算若二者加速度之比滿足這種關系，從而得證。
知識梳理
1.同一性質　2.(1)　(2)　G　(3)　G　(4)　　3.9.8 m/s2　相同
例2 D　[當時還沒有測量出引力常量G，所以牛頓并沒有計算出地球對月球的引力的數值和月球對月球表面物體的引力的數值，故A、B錯誤；根據題給信息無法求出月球表面的重力加速度與地球表面的重力加速度的大小關系，故C錯誤；設地球質量為m地，地球半徑為R，則月球軌道半徑為60R，月球繞地球做圓周運動的加速度a＝G，地球表面重力加速度g＝，則＝，故D正確。]
知識點三
導學
提示　因為我們與周圍物體間的引力很小，所以我們感覺不到。
(1)F引＝G＝6.67×10－11× N≈9.6×10－7 N≈1×10－6 N。
(2)芝麻的重力是小明和同桌小兵之間引力的40倍。
(3)兩個人間的引力很小，所以當兩個人靠近時，不會吸引到一起，故在進行受力分析時，一般不考慮兩物體間的萬有引力，除非是物體與天體、天體與天體間的相互作用。
知識梳理
1.連線上　乘積　二次方　3.6.67×10－11
[思考]
1.提示　不正確。當r趨近于零時，兩物體不可看作質點，萬有引力定律表達式不再適用。
2.提示　證明了萬有引力定律的正確性；使萬有引力定律有了真正的實用價值。
例3 D　[我們平常很難覺察到物體之間的萬有引力，是因為一般物體之間萬有引力很小，故A錯誤；兩物體間的萬有引力總是大小相等、方向相反，是一對作用力和反作用力，故B錯誤；兩物體間距離r減小時，它們之間的引力增大，緊靠在一起時，萬有引力定律不再適用，萬有引力并不是無窮大，故C錯誤；引力常量的大小首先是由卡文迪什用扭秤實驗測出來的，約等于6.67×10－11 N·m2/kg2，故D正確。]
例4 A　[根據萬有引力定律可知地球對“天和”的萬有引力大小為F＝G，故A正確。]
例5 (1)G　(2)G
解析　(1)被挖去的小球在挖去前對質點A的萬有引力大小為F2＝G＝G。
(2)將挖去的小球填入空穴中，由V＝πR3、m＝ρV可知，大球的質量為8m，則挖去小球前大球對質點A的萬有引力大小為
F1＝G＝G
故剩余部分對質點A的萬有引力大小為
F＝F1－F2＝G。
知識點四
導學
提示　 (1)該人在各地點所受的萬有引力大小相等，方向沿對應的地球半徑指向地心。
(2)由于地球自轉的影響，該人在各地點所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不對。重力是物體由于地球吸引產生的，但重力不是地球對物體的吸引力。
例6 B　[設地球的質量為M，質量為m的物體在兩極所受地球的引力等于其所受的重力，有mg0＝G，在赤道，引力為重力和向心力的合力，有mg＋mR＝G，聯立解得T＝2π，故B正確。]
隨堂對點自測
1.D　[地面上普通物體間的引力太微小，這個力很難測量，故不易通過萬有引力定律公式直接計算G，A正確；引力常量是一個常數，與物體所在的位置及物體的質量、物體間的距離無關，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正確，D錯誤；地面上普通物體間的引力太微小，扭矩引起的形變很小，該形變不易被測量，而題圖所示裝置利用放大原理，提高了測量精度，故C正確。]
2.B　[設地球質量為M，物體在地球表面，根據萬有引力定律有F＝，距地面h處有＝，解得h＝(－1)R，選項B正確。]
3.A　[地球的自轉角速度增大，由Fn＝mω2R可知赤道地面上物體隨地球自轉所需的向心力增大。地球的質量和半徑都沒有變化，由F＝可知，放在赤道地面上的物體所受的萬有引力不變，A正確；在兩極地面上，物體轉動所需的向心力為零，此時物體的重力與所受萬有引力相等，故放在兩極地面上的物體的重力不變，B錯誤；根據赤道上萬有引力是重力和向心力的合力，地球的自轉速度增大時物體所需向心力增大，萬有引力不變，重力將減小，C錯誤；根據自轉周期T＝可知，自轉角速度增大，則周期變小，即一晝夜的時間變小，故D錯誤。]第2節　萬有引力定律
(分值：100分)
選擇題1～10題，第12題，每小題8分，共88分。
對點題組練
題組一　行星與太陽間的引力、月—地檢驗
1.(多選)下列說法正確的是(　　)
在探究太陽對行星的引力規律時，我們引用了公式F＝m，這個關系式實際上是牛頓第二定律，是可以在實驗室中得到驗證的
在探究太陽對行星的引力規律時，我們引用了公式v＝，這個關系式實際上是勻速圓周運動的一個公式，它是由線速度的定義式得來的
在探究太陽對行星的引力規律時，我們引用了公式＝k，這個關系式是開普勒第三定律，是可以在實驗室中得到驗證的
在探究太陽對行星的引力規律時，使用的三個公式都是可以在實驗室中得到驗證的
2.(2023·山東卷，3)牛頓認為物體落地是由于地球對物體的吸引，這種吸引力可能與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質，且都滿足F∝。已知地月之間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據牛頓的猜想，月球繞地球公轉的周期為(　　)
30π 30π
120π 120π
題組二　萬有引力定律及引力常量
3.(多選)(人教版教材P53科學漫步改編)在力學理論建立的過程中，有許多偉大的科學家做出了貢獻。關于科學家和他們的貢獻，下列說法正確的是(　　)
開普勒總結出行星運動的三個規律，被譽為“天空立法者”
牛頓是經典物理學的奠基人，著有巨作《自然哲學的數學原理》，被譽為“經典物理學之父”
胡克最早提出了引力大小與距離平方成反比的猜想，是萬有引力定律的提出者
卡文迪什通過扭秤實驗第一次測出了引力常量的值，被譽為“第一個稱量地球的人”
4.如圖所示，兩球間的距離為r0，兩球的質量分布均勻，質量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，引力常量為G，則兩球間的萬有引力大小為(　　)
Geq \f(m1m2,r) eq \f(Gm1m2,r)
5.1687年牛頓在總結了前人研究成果的基礎上提出了萬有引力定律，并通過月—地檢驗證明了地球對地面物體的引力與行星對衛星的引力具有相同的性質。已知地球的質量約為月球質量的80倍，地球的直徑約為月球直徑的4倍，同一物體在地球表面所受地球萬有引力約為在月球表面所受萬有引力的(　　)
5倍 20倍
倍 倍
6.2020年12月，我國嫦娥五號探測器成功在月球背面軟著陸。在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關系的圖像是(　　)
A B
C D
題組三　萬有引力與重力的關系
7.地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為，則該處距地球表面的高度為(　　)
(－1)R R
R 2R
8.據報道，在太陽系外發現了首顆“宜居”行星，設其質量為地球質量的k倍，其半徑為地球半徑的p倍，由此可推知該行星表面的重力加速度與地球表面重力加速度之比為(　　)
綜合提升練
9.從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業實現了由地月系到行星際的跨越。已知火星質量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為(　　)
9∶1 9∶2
36∶1 72∶1
10.(多選)如圖所示，P、Q是質量均為m的兩個質點，分別置于地球表面不同的緯度上。如果把地球看成是一個質量分布均勻的球體，P、Q兩質點隨地球自轉做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
P、Q所受地球引力大小相等
P、Q做圓周運動的向心力大小相等
P、Q做圓周運動的角速度大小相等
P、Q兩質點的重力大小相等
11.(12分)火星半徑是地球半徑的，火星質量大約是地球質量的(在地球表面的重力加速度g取10 m/s2)，那么：
(1)(6分)地球表面上質量為50 kg的航天員在火星表面上受到的重力是多少？
(2)(6分)若航天員在地球表面能跳1.5 m高，那他以相同初速度在火星表面能跳多高？
培優加強練
12.有一質量為m、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有一質量為m′的質點，現在從球體中挖去一半徑為的小球體(如圖所示)，然后在挖空部分填滿另外一種密度為原來2倍的物質，已知萬有引力常量為G，則填充后的實心球體對質點的萬有引力大小為(　　)
第2節　萬有引力定律
1.AB　[公式F＝m中的是行星做圓周運動的加速度，這個關系式實際是牛頓第二定律，也是向心力公式，能通過實驗驗證，A正確；v＝是在勻速圓周運動中，一個周期過程中運動軌跡的弧長與相應時間的比值即線速度，B正確；開普勒第三定律＝k是無法在實驗室中得到驗證的，是開普勒在研究天文學家第谷的行星觀測記錄時發現的，C、D錯誤。]
2.C　[設地球半徑為R，由題意知，r＝60R。地球表面的重力加速度為g，則有mg＝G，月球繞地球公轉，由萬有引力提供向心力，有G＝m月r，聯立解得T＝120π，故C正確。]
3.ABD　[德國杰出的天文學家、物理學家、數學家開普勒在丹麥天文學家第谷積累的大量天文觀測記錄基礎上通過研究發現了行星運動的三大定律，首次對行星運動規律作出了準確的描述，被譽為“天空立法者”；牛頓的巨作《自然哲學的數學原理》，開辟了大科學時代，牛頓是最有影響的科學家，被譽為“經典物理學之父”；英國科學家胡克發現了胡克定律，提出了關于“太陽對行星的吸引力與行星到太陽的距離的平方成反比”的猜想，萬有引力定律是牛頓首先提出來的；卡文迪什通過實驗推算出來引力常量的值，被譽為第一個能“稱量地球質量”的人，故A、B、D正確。]
4.D　[兩個勻質球體間的萬有引力F＝G，r是兩球心間的距離，即F＝G，選項D正確。]
5.A　[物體在地球表面受到地球的萬有引力為F地＝，物體在月球表面受到月球的萬有引力為F月＝＝·，聯立可得＝5，故A正確。]
6.D　[由萬有引力定律得F＝G，可知探測器與地球表面距離h越大，F越小，排除B、C選項；而F與h不是一次函數關系，排除A選項。故D正確。]
7.A　[設地球的質量為M，物體質量為m，物體距地面的高度為h，根據萬有引力近似等于重力，則有＝mg，＝m，聯立解得h＝(－1)R，選項A正確。]
8.B　[由mg＝G可知，g地＝Geq \f(M地,R)，g星＝Geq \f(M星,R)，則＝·eq \f(R,R)＝，選項B正確。]
9.B　[在忽略星球自轉的情況下，星球表面的重力與萬有引力相同，而“玉兔”與“祝融”在懸停過程中，所受著陸平臺的作用力大小等于其受到的萬有引力大小，則有F玉＝Geq \f(M月m玉,r)，F祝＝Geq \f(M火m祝,r)，可知＝，故B正確。]
10.AC　[P、Q兩質點所受地球引力都是F＝G，故A正確；P、Q都隨地球一起轉動，其角速度一樣大，但P的軌道半徑大于Q的軌道半徑，根據Fn＝mω2r可知P的向心力大，故B錯誤，C正確；物體的重力為萬有引力的一個分力，在赤道處最小，隨著緯度的增加而增大，則P的重力小于Q的重力，故D錯誤。]
11.(1)222.2 N　(2)3.375 m
解析　(1)在地球表面有mg＝G，得g＝G
同理，在火星上表面有g′＝G
即g′＝＝＝g＝ m/s2
航天員在火星上受到的重力
G′＝mg′＝50× N≈222.2 N。
(2)在地球表面航天員跳起的高度H＝eq \f(v,2g)
在火星表面航天員跳起的高度h＝eq \f(v,2g′)
綜上可知，h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。
12.A　[設原來球體的密度為ρ，則ρ＝，在球體內部挖去半徑為的小球體，挖去小球體的質量為m小＝ρπ＝。挖去小球體前，球與質點的萬有引力F1＝＝，被挖部分對質點的萬有引力為F2＝＝，填充物密度為原來物質的2倍，則填充物對質點的萬有引力為挖去部分的2倍，填充后的實心球體對質點的萬有引力為F1－F2＋2F2＝，故A正確。](共63張PPT)
第2節　萬有引力定律
第七章　萬有引力與宇宙航行
1.知道萬有引力存在于任意兩個物體之間，知道其表達式和適用范圍。
2.理解萬有引力定律的推導過程。
3.會用萬有引力定律解決簡單的引力計算問題。
4.了解引力常量G的測定在科學史上的重大意義。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　月—地檢驗
知識點一　行星與太陽間的引力
知識點三　萬有引力定律　引力常量
知識點四　萬有引力與重力的關系
知識點一　行星與太陽間的引力
　　　如圖所示，行星所做的勻速圓周運動與我們平常生活中見到的勻速圓周運動是否遵從同樣的動力學規律？如果是，分析行星的受力情況。
1.太陽對行星的引力
(1)建立模型
①行星繞太陽做的橢圓運動可簡化為以太陽為圓心的勻速圓周運動。
②太陽對行星的引力提供行星做勻速圓周運動的向心力，模型如圖所示。
(2)太陽對行星引力的推導
設行星的質量為m，速度為v，公轉周期為T，行星與太陽間的距離為r。則
(3)結論
太陽對行星的引力F與行星的質量m成______，與r2成______，即F∝ 。
正比
反比
太陽的質量m太
正比
反比
3.太陽與行星間的引力
(1)推導
(2)太陽與行星間的引力關系：F＝___________。
D
解析　根據牛頓第三定律，太陽對行星的引力與行星對太陽的引力是作用力與反作用力，故兩個力的大小相等、方向相反，故A、B錯誤；太陽對行星的引力的受力物體是行星，行星對太陽的引力的受力物體是太陽，故兩個力不是平衡力，故C錯誤；行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對行星的萬有引力提供行星做圓周運動的向心力，故D正確。
C
知識點二　月—地檢驗
　　　秋天蘋果成熟后會從樹上落下來；月球繞著地球在公轉。
(1)蘋果從樹上脫落后，為什么落向地面而不是飛上
天空？月球為什么能夠繞地球轉動？
(2)蘋果和地球之間的作用與月球和地球之間的作用性質相同嗎？如何證明？
提示　(1)蘋果受到地球的吸引作用使蘋果落向地面；地球對月球的引力為月球做圓周運動提供向心力。
(2)地球對蘋果的引力與地球對月球的引力性質相同，從而具有相同的表達形式；假設二者表達形式相同，則其加速度之比應與其距離二次方成反比，通過測量計算若二者加速度之比滿足這種關系，從而得證。
1.檢驗目的：地球繞太陽運動、月球繞地球運動的力與地球對樹上蘋果的引力是否為__________的力。
2.檢驗方法
同一性質
(1)假設地球與月球間的作用力和太陽與行星間的作用力是同一種力，它們的表達式也應該滿足F＝________________。
(2)根據牛頓第二定律，月球繞地球做圓周運動的向心加速度a月＝_________＝___________ (式中m地是地球質量，r是地球中心與月球中心的距離)。
這表明：地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從______的規律。
9.8 m/s2
相同
D
知識點三　萬有引力定律　引力常量
　　　月—地檢驗結果表明，地面物體所受地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從相同的規律。一切物體都存在這樣的引力，為什么我們感覺不到周圍物體的引力呢？通過以下實例分析。
(1)如圖所示，假若小明與同桌小兵的質量均為60 kg，相距0.5 m。粗略計算他們間的引力(已知G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)。
(2)一粒芝麻的質量大約是0.004 g，其重力約為4×10－5 N，是小明和同桌小兵之間引力的多少倍？
(3)在對一個人受力分析時需要分析兩個人之間的引力嗎？
1.內容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的________，引力的大小與物體的質量m1和m2的______成正比，與它們之間距離r的________成反比。
連線上
乘積
二次方
3.引力常量
由英國物理學家卡文迪什測量得出，常取G＝____________ N·m2/kg2。
6.67×10－11
4.對萬有引力定律的理解
(1)普遍性：宇宙間任何兩個有質量的物體之間都存在著相互吸引的力。
(2)相互性：兩個有質量的物體之間的萬有引力是一對作用力和反作用力。
(3)宏觀性：地面上的一般物體之間的萬有引力比較小，與其他力比較可忽略不計，但在質量巨大的天體之間或天體與其附近的物體之間，萬有引力起著決定性作用。
(4)適用范圍：只適用于可以看作質點的兩個物體間的相互作用；若是兩個均勻的球體，應是兩球心間的距離。
提示　不正確。當r趨近于零時，兩物體不可看作質點，萬有引力定律表達式不再適用。
2.如圖所示，卡文迪什扭秤實驗是世界史上最美的十個物理實驗之一，你覺得測定G值有什么意義？
提示　證明了萬有引力定律的正確性；使萬有引力定律有了真正的實用價值。
D
1.萬有引力定律公式的適用條件的理解
(1)兩質點間的相互作用。當物體間的距離r趨于零時，兩個物體不能被看作質點，其引力不能由萬有引力公式求解。
(2)質量分布均勻的球體間的相互作用，式中r是兩個球體球心間的距離。
2.兩個物體之間的萬有引力是一對相互作用力　　　　
A
例5 (人教版教材P71復習與提高B組T3改編)一個質量均勻分布的球體，半徑為2r，在其內部挖去一個半徑為r的球形空穴，其表面與球面相切，如圖所示。已知挖去小球的質量為m，在球心和空穴中心連線上，距球心d＝6r處有一質量為m2的質點A(引力常量為G)，求：
(1)被挖去的小球在挖去前對質點A的萬有引力；
(2)剩余部分對質點A的萬有引力。
解析　(1)被挖去的小球在挖去前對質點A的萬有引力大小為
故剩余部分對質點A的萬有引力大小為
填補法：大球體被挖去小球體后，大球體的密度不再均勻，無法直接利用公式求解大球對質點產生的萬有引力，此時我們采取割補法，將被挖部分補回去，完整的大球體密度均勻，此時可以利用萬有引力的公式求解完整地大球對質點的萬有引力，再減去挖掉的小球對質點的萬有引力即可。　　　　
知識點四　萬有引力與重力的關系
　　　假如某個人做環球旅行，可能到達地球的任何地點，如果將地球看成標準的球體，那么該人分別位于赤道上某點、北半球的某點、南半球的某點、北極點、南極點等不同地點。
(1)該人在各地點所受的萬有引力有什么關系？
(2)該人在各地點所受的重力有什么關系？
(3)有人說，重力就是地球對物體的吸引力，對嗎？
提示　 (1)該人在各地點所受的萬有引力大小相等，方向沿對應的地球半徑指向地心。
(2)由于地球自轉的影響，該人在各地點所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。
(3)不對。重力是物體由于地球吸引產生的，但重力不是地球對物體的吸引力。
地球對物體的萬有引力F表現為兩個效果：一是產生重力mg，二是提供物體隨地球自轉的向心力Fn。設地球的質量為M，半徑為R，如圖所示。
B
隨堂對點自測
2
D
1.(引力常量)(人教版教材P53圖7.2－3改編)物理學領域中具有普適性的一些常量，對物理學的發展有很大作用，引力常量G就是其中之一。1798年，卡文迪什首次利用如圖所示的裝置，比較精確地測量出了引力常量。下列說法錯誤的是(　　)
A.引力常量不易測量的一個重要原因就是地面上普
通物體間的引力太微小
B.月球上的引力常量等于地球上的引力常量
C.這個實驗裝置巧妙地利用放大原理，提高了測量精度
D.引力常量G的大小與兩物體質量的乘積成反比，與兩物體間距離的平方成正比
解析　地面上普通物體間的引力太微小，這個力很難測量，故不易通過萬有引力定律公式直接計算G，A正確；引力常量是一個常數，與物體所在的位置及物體的質量、物體間的距離無關，月球上的引力常量等于地球上的引力常量，故B正確，D錯誤；地面上普通物體間的引力太微小，扭矩引起的形變很小，該形變不易被測量，而題圖所示裝置利用放大原理，提高了測量精度，故C正確。
B
A
3.(萬有引力與重力的關系)假如地球的自轉角速度增大，對于物體的重力，下列說法正確的是(　　)
A.放在赤道地面上的物體所受的萬有引力不變
B.放在兩極地面上的物體重力變小
C.放在赤道地面上的物體的重力不變
D.“一晝夜”的時間不變
課后鞏固訓練
3
AB
對點題組練
C
ABD
題組二　萬有引力定律及引力常量
3.(多選)(人教版教材P53科學漫步改編)在力學理論建立的過程中，有許多偉大的科學家做出了貢獻。關于科學家和他們的貢獻，下列說法正確的是(　　 )
A.開普勒總結出行星運動的三個規律，被譽為“天空立法者”
B.牛頓是經典物理學的奠基人，著有巨作《自然哲學的數學原理》，被譽為“經典物理學之父”
C.胡克最早提出了引力大小與距離平方成反比的猜想，是萬有引力定律的提出者
D.卡文迪什通過扭秤實驗第一次測出了引力常量的值，被譽為“第一個稱量地球的人”
解析　德國杰出的天文學家、物理學家、數學家開普勒在丹麥天文學家第谷積累的大量天文觀測記錄基礎上通過研究發現了行星運動的三大定律，首次對行星運動規律作出了準確的描述，被譽為“天空立法者”；牛頓的巨作《自然哲學的數學原理》，開辟了大科學時代，牛頓是最有影響的科學家，被譽為“經典物理學之父”；英國科學家胡克發現了胡克定律，提出了關于“太陽對行星的吸引力與行星到太陽的距離的平方成反比”的猜想，萬有引力定律是牛頓首先提出來的；卡文迪什通過實驗推算出來引力常量的值，被譽為第一個能“稱量地球質量”的人，故A、B、D正確。
D
4.如圖所示，兩球間的距離為r0，兩球的質量分布均勻，質量分別為m1、m2，半徑分別為r1、r2，引力常量為G，則兩球間的萬有引力大小為(　　)
A
D
6.2020年12月，我國嫦娥五號探測器成功在月球背面軟著陸。在探測器“奔向”月球的過程中，用h表示探測器與地球表面的距離，F表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關系的圖像是(　　)
A
B
B
9.從“玉兔”登月到“祝融”探火，我國星際探測事業實現了由地月系到行星際的跨越。已知火星質量約為月球的9倍，半徑約為月球的2倍，“祝融”火星車的質量約為“玉兔”月球車的2倍。在著陸前，“祝融”和“玉兔”都會經歷一個由著陸平臺支撐的懸停過程。懸停時，“祝融”與“玉兔”所受著陸平臺的作用力大小之比為(　　)
綜合提升練
A.9∶1 B.9∶2 C.36∶1 D.72∶1
AC
10.(多選)如圖所示，P、Q是質量均為m的兩個質點，分別置于地球表面不同的緯度上。如果把地球看成是一個質量分布均勻的球體，P、Q兩質點隨地球自轉做勻速圓周運動，則下列說法正確的是(　　)
A.P、Q所受地球引力大小相等
B.P、Q做圓周運動的向心力大小相等
C.P、Q做圓周運動的角速度大小相等
D.P、Q兩質點的重力大小相等
答案　(1)222.2 N　(2)3.375 m
航天員在火星上受到的重力
A
培優加強練

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