資源簡介

培優提升三　豎直平面內圓周運動的兩種模型及水平面內的臨界問題
(分值：100分)
選擇題1～10題，每小題7分，共70分。
對點題組練
題組一　豎直平面內圓周運動的兩種模型
1.(多選)在如圖所示光滑軌道上，小球滑下經平直部分沖上圓弧部分的最高點A時，對圓弧的壓力為mg，已知圓弧的半徑為R，則(　　)
在最高點A，小球受重力和向心力
在最高點A，小球受重力和圓弧向下的彈力
在最高點A，小球的速度為
在最高點A，小球的向心加速度為2g
2.如圖所示，長為L的輕質細繩一端與質量為m的小球(可視為質點)相連，另一端可繞O點使小球在豎直平面內運動。設小球在最高點的速度為v，重力加速度為g，不計空氣阻力，則下列說法正確的是(　　)
v最小值可以為0
若v＝，細繩必然對小球有拉力的作用
若v增大，此時小球所需的向心力將減小
若v＝，當小球運動到最低點的速度為v時，繩子的拉力是6mg
3.如圖所示，雜技演員表演“水流星”節目。一根長為L的細繩兩端系著盛水的杯子，演員握住繩中間，隨著演員的掄動，杯子在豎直平面內做圓周運動，杯子運動中水始終不會從杯子灑出，重力加速度為g，則杯子運動到最高點的角速度ω至少為(　　)
4.(2024·四川雅安高一期末)如圖所示，質量為m的小球剛好靜止在豎直放置的光滑圓管道內的最低點，管道的半徑為R(不計內外徑之差)，水平線ab過軌道圓心，現給小球一水平向右的初速度，下列說法正確的是(　　)
若小球剛好能做完整的圓周運動，則它通過最高點時的速度為
若小球剛好能做完整的圓周運動，則它通過最高點時的速度為零
小球在水平線ab以下的管道中運動時，外側管壁對小球一定無作用力
小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力
5.如圖所示，某輕桿一端固定一質量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動，重力加速度為g，以下說法中正確的是(　　)
小球過最高點時，桿所受的彈力不可以為零
小球過最高點時，最小速度為
小球過最低點時，桿對球的作用力不一定與小球所受重力方向相反
小球過最高點時，桿對球的作用力可以與球所受重力方向相反，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力
6.(多選)如圖所示，一長為l的輕桿的一端固定在水平轉軸上，另一端固定一質量為m的小球，輕桿隨轉軸在豎直平面內做角速度ω＝的勻速圓周運動，重力加速度為g。下列說法正確的是(　　)
小球運動到最高點C時與桿作用力為零
小球運動到最高點C時球對桿的作用力大小為mg
小球運動到水平位置A時桿對球的作用力大小為2mg
小球運動到水平位置A時桿對球的作用力大小為 mg
題組二　水平面內圓周運動的臨界問題
7.(多選)如圖所示，質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，當輕桿繞軸OO′以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，a繩與水平面成θ角，b繩平行于水平面且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
a繩一定受拉力作用
a繩所受拉力隨角速度的增大而增大
當角速度ω>時，b繩將出現彈力
若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化
8.如圖所示，在勻速轉動的圓盤圓心處通過一個光滑小孔把質量相等(均為m)的兩物塊用輕繩連接，物塊A到轉軸的距離為R＝20 cm，與圓盤間的動摩擦因數為μ＝0.2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力(已知π2＝g)，則(　　)
物塊A一定會受圓盤的摩擦力
當轉速n＝0.5 r/s時，物塊A不受摩擦力
物塊A所受摩擦力方向一定與線速度方向在一條直線上
當圓盤轉速n＝1 r/s時，物塊A所受摩擦力方向沿半徑背離圓心
綜合提升練
9.(多選)(2024·甘肅靖遠二中高一期中)如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F－v2圖像如圖乙所示。則(　　)
小球的質量為
當地的重力加速度大小為
v2＝c時，桿對小球的彈力方向向上
v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等
10.如圖所示，水平轉盤上的A、B、C三處有三塊可視為質點的由同一種材料做成的正方體物塊，B、C處物塊的質量均為m，A處物塊的質量為2m；A、B到軸O的距離均為r，C到軸O的距離為2r，轉盤以某一角速度勻速轉動時，A、B、C三處的物塊都沒有發生滑動現象，下列說法中正確的是(　　)
A處物塊的向心加速度最大
B處物塊受到的靜摩擦力最小
當轉速增大時，最先滑動起來的是A處的物塊
當轉速繼續增大時，最后滑動起來的是C處的物塊
11.(15分)(2024·山東淄博高一統考期末)如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，轉臺以一定角速度勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊在A點隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ＝60°。已知重力加速度為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為Ff＝mg。
(1)(7分)若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時陶罐轉動的角速度的大小；
(2)(8分)小物塊在A點隨陶罐一起勻速轉動，求陶罐轉動的角速度的最大值。
培優加強練
12.(15分)如圖所示，水平轉盤的中心有一個光滑的豎直小圓孔，質量為m的物體A放在轉盤上，物體A到圓孔的距離為r，物體A通過輕繩與物體B相連。物體B的質量也為m。若物體A與轉盤間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則轉盤轉動的角速度ω在什么范圍內才能使物體A隨轉盤轉動而不滑動？
培優提升三　豎直平面內圓周運動的兩種模型及水平面內的臨界問題
1.BD　[小球在最高點A，受重力和軌道向下的彈力，由牛頓第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正確，A、C錯誤。]
2.D　[小球到達最高點速度最小時，有mg＝m，則v最小值為v＝，即當v＝時，細繩對小球無拉力的作用，選項A、B錯誤；若v增大，根據Fn＝m，可知此時小球所需的向心力將變大，選項C錯誤；若v＝，當小球運動到最低點的速度為v時，繩子的拉力是FT＝mg＋m＝6mg，選項D正確。]
3.B　[杯子在豎直平面內做半徑為的圓周運動，使水不流出的臨界條件是在最高點水的重力提供向心力，則有mg＝mω2·，可得ω＝，故B正確，A、C、D錯誤。]
4.B　[在最高點，由于外管或內管都可以對小球產生彈力作用，當小球的速度等于0時，內管對小球產生彈力，大小為mg，故最小速度為0，A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側管壁對小球一定有作用力，而內側管壁對小球一定無作用力，C錯誤；小球在水平線ab以上管道中運動時，當速度非常大時，內側管壁沒有作用力，此時外側管壁有作用力。當速度比較小時，內側管壁有作用力，外側管壁沒有作用力，D錯誤。]
5.D　[小球在最高點時，如果速度恰好為，則此時恰好只有重力提供向心力，桿和球之間沒有作用力，桿所受彈力為零，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，桿就要對球有支持力，方向與重力的方向相反，桿的作用力F＝mg－m，此時重力一定大于或等于桿對球的作用力，故A、B錯誤，D正確；小球過最低點時，桿對球的作用力方向豎直向上，與重力方向一定相反，故C錯誤。]
6.AD　[小球運動到最高點C時，有FT＋mg＝mω2l，解得FT＝0，A正確，B錯誤；小球運動到水平位置A時，有FT′＝mω2l＝mg，桿對球的作用力大小為F＝＝mg，C錯誤，D正確。]
7.AC　[對小球受力分析如圖所示，可得a繩的彈力在豎直方向的分力與小球的重力平衡，解得Ta＝，為定值，A正確，B錯誤；當Tacos θ＝mω2l，即ω＝時，b繩的彈力為零，若角速度大于該值，則b繩將出現彈力，C正確；由于b繩可能沒有彈力，故b繩突然被剪斷，a繩的彈力可能不變，D錯誤。]
INCLUDEPICTURE"-24.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\-24.TIF" \* MERGEFORMATINET
8.D　[若mg＝mω2R，則物塊A不受摩擦力，A錯誤；當摩擦力為零時，mg＝mω2R＝m(2πn)2R，代入數據解得n＝ r/s，B錯誤；物塊A所受摩擦力方向與半徑在一條直線上，指向圓心或背離圓心，C錯誤；當圓盤轉速n＝1 r/s< r/s時，物塊A有沿半徑向內運動的趨勢，所受摩擦力方向沿半徑背離圓心，D正確。]
9.AD　[在最高點，若v＝0，則FN＝mg＝a；若FN＝0，由題圖知v2＝b，則有mg＝m＝m，解得g＝，m＝，故A正確，B錯誤；當v2＜b時，桿對小球彈力方向向上，當v2＞b時，桿對小球彈力方向向下，所以當v2＝c時，桿對小球彈力方向向下，故C錯誤；若v2＝2b，則FN＋mg＝m＝m，解得FN＝mg，即小球受到的彈力與重力大小相等，故D正確。]
10.B　[三物塊的角速度相等，C處物塊的半徑最大，根據an＝ω2r知，向心加速度最大，故A錯誤；因為B處物塊的質量最小，半徑最小，根據Ff＝mω2r，可知B處物塊受到的靜摩擦力最小，故B正確；根據μmg＝mω2r，可得ω＝，C處物塊的半徑最大，臨界角速度最小，所以C處物塊最先滑動起來，故C、D錯誤。]
11.(1)　(2)
解析　(1)小物塊受到的摩擦力恰好為零時，受力如圖甲所示
INCLUDEPICTURE"t136.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\t136.tif" \* MERGEFORMATINET
由牛頓第二定律得mgtan 60°＝mωRsin 60°
解得ω0＝。
(2)當小物塊達到最大角速度時，受力如圖乙所示，豎直方向受力平衡，有
FNcos 60°＝mg＋Ffsin 60°
水平方向根據牛頓第二定律得
FNsin 60°＋Ffcos 60°＝mωRsin 60°
聯立解得ωm＝。
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12.≤ω≤
解析　當A將要沿轉盤背離圓心滑動時，A所受的摩擦力為最大靜摩擦力，方向指向圓心，此時A做圓周運動所需的向心力由繩的拉力與最大靜摩擦力的合力提供，即F＋Ffm＝mωr①
由于B靜止，故有F＝mg②
又Ffm＝μFN＝μmg③
由①②③式可得ω1＝
當A將要沿轉盤向圓心滑動時，A所受的摩擦力為最大靜摩擦力，方向背離圓心，此時A做圓周運動所需的向心力為
F－Ffm＝mωr④
由②③④式可得ω2＝
故要使A隨轉盤一起轉動而不滑動，其角速度ω的范圍為
ω2≤ω≤ω1
即≤ω≤。培優提升三　豎直平面內圓周運動的兩種模型及水平面內的臨界問題
學習目標　1.建立豎直平面內圓周運動的輕繩模型和輕桿模型，會應用動力學知識分析輕繩和輕桿模型問題。2.會分析水平面內圓周運動的臨界問題，找到臨界條件，列方程解決。
提升1　豎直平面內圓周運動的兩種模型
1.輕繩模型：豎直(光滑)圓弧內側的圓周運動、水流星的運動等，類似輕繩一端的物體以輕繩另一端為圓心的豎直平面內的圓周運動。其特點是在最高點無支撐。
2.輕桿模型：豎直(光滑)圓管內的圓周運動、小球套在豎直圓環上的運動等，類似輕桿一端的物體以輕桿另一端為圓心的豎直平面內的圓周運動。其特點是在最高點有支撐。
3.兩種基本模型的比較
項目 輕繩模型 輕桿模型
情景圖示
最高點 受力特征 除重力外，物體可能受到向下的彈力 除重力，物體可能受到向下或向上的彈力
受力示意圖
力學方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
臨界特征 FN＝0，即mg＝meq \f(v,R)，即vmin＝ v＝0時F向＝0，即FN＝mg
v＝的意義 物體能否過最高點的臨界速度 FN表現為拉力(壓力)還是支持力的臨界速度
過最高點的條件 最高點的速度v≥ 最高點的速度v≥0
過最低點受力分析 FN－mg＝m輕繩或圓軌道受拉力或壓力最大，存在繩斷的臨界條件 FN－mg＝m存在對桿拉力或對管壓力的最大值
角度1　輕繩模型
例1 如圖所示，長度為L＝1.6 m的輕繩，系一小球在豎直平面內做圓周運動，小球的質量為m＝0.5 kg，小球半徑不計，g取10 m/s2，求：
(1)小球剛好通過最高點時的速度大小；
(2)小球通過最高點時的速度大小為8 m/s時，輕繩的拉力大小；
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球速度的最大值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
流程法分析繩模型的臨界問題
　　　　
角度2　輕桿模型
例2 (多選)如圖所示，一個內壁光滑的彎管處于豎直平面內，其中管道半徑為R。現有一個半徑略小于彎管橫截面半徑的光滑小球在彎管里運動，小球通過最高點時的速率為v0，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
A.若v0＝，則小球對管內壁無壓力
B.若v0>，則小球對管內上壁有壓力
C.若0D.不論v0多大，小球對管內下壁都有壓力
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例3 有一輕質桿長L為0.5 m，一端固定一質量m為0.5 kg的小球，桿繞另一端在豎直面內做圓周運動(g＝10 m/s2)。
(1)當小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大小；
(2)當小球運動到最高點速率分別為1 m/s和4 m/s時，求小球對桿的作用力；
(3)當小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41 N，求小球的速度大小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
有關小球通過桿的最高點，要抓住兩點
(1)剛好能過最高點的條件，速度為0
(2)通過最高點，小球剛好不受彈力的臨界速度為v0＝，若速度v>v0，彈力向下，若速度v提升2　水平面內圓周運動的臨界問題
1.常見的臨界問題
(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到最大值。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為0。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到最大承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為0。
2.解題關鍵
(1)在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
例4 如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉的水平圓盤面上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍，三物體的質量分別為2m、m、m，它們離轉軸的距離分別為R、R、2R。當圓盤旋轉時，若A、B、C三物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是(　　)
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.當圓盤轉速緩慢增大時，C比A先滑動
D.當圓盤轉速緩慢增大時，B比A先滑動
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
物體恰好滑動的臨界條件是靜摩擦力剛好達到最大值，根據牛頓第二定律列方程，求解出相應的臨界角速度和線速度。　　　　
例5 (多選)(2024·濟南市高一期末)如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊(可視為質點)，當物塊到轉軸OO′的距離為r時，連接物塊和轉軸的繩剛好被拉直(繩上張力為0)。物塊和轉盤間的最大靜摩擦力是物塊對轉盤壓力的μ倍。已知重力加速度為g，最大靜摩擦力與滑動摩擦力相等。下列說法正確的是(　　)
A.當轉盤以角速度勻速轉動時，物塊所受的摩擦力大小為μmg
B.當轉盤以角速度勻速轉動時，細繩的拉力大小為μmg
C.當轉盤以角速度勻速轉動時，物塊所受的摩擦力大小為μmg
D.當轉盤以角速度勻速轉動時，細繩的拉力大小為μmg
聽課筆記　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例6 如圖所示，水平轉盤上放有質量為m的物塊，物塊到轉軸的距離為r。一段繩的一端與物塊相連，另一端系在圓盤中心上方r處，繩恰好伸直，物塊和轉盤間的動摩擦因數為μ，設物塊受到的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，已知重力加速度為g。
(1)當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張力，求ω1的值；
(2)當水平轉盤以角速度ω2勻速轉動時，物塊恰好離開轉盤，求ω2的值。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
隨堂對點自測
1.(輕繩模型)如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10 m，該同學和秋千踏板的總質量約為50 kg。繩的質量忽略不計。當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8 m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為(　　)
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N
2.(輕桿模型) (2024·湖南十校聯考)如圖所示，輕質細桿OA長為1 m，A端固定一個質量為5 kg的小球，小球在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率為3 m/s，g取10 m/s2，細桿受到(　　)
A.5 N的壓力 B.5 N的拉力
C.95 N的壓力 D.95 N的拉力
3.(水平面內圓周運動的臨界問題)(2024·福建福州高一期末)如圖所示，甲、乙兩個物體放在旋轉圓臺上，它們的質量均為m，它們與圓臺之間的動摩擦因數均為μ，甲物體離軸心距離為2R，乙物體離軸心距離為R。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，重力加速度為g，當圓臺旋轉時，甲、乙兩個物體都沒有滑動，則下列說法中正確的是(　　)
A.乙物體的向心加速度大
B.乙物體受到的靜摩擦力大
C.ω＝是甲物體開始滑動的臨界角速度
D.當圓臺轉速增加時，甲物體先滑動
培優提升三　豎直平面內圓周運動的兩種模型及水平面內的臨界問題
提升1
例1 (1)4 m/s　(2)15 N　(3)8 m/s
解析　(1)小球剛好通過最高點時，重力恰好提供向心力，有
mg＝meq \f(v,L)
得v1＝＝4 m/s。
(2)小球通過最高點時的速度大小為8 m/s時，拉力和重力的合力提供向心力，有FT＋mg＝meq \f(v,L)
得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通過最低點時輕繩的張力最大，在最低點，由牛頓第二定律得FT′－mg＝meq \f(v,L)
將FT′＝45 N，代入解得v3＝8 m/s
即小球的速度不能超過8 m/s。
例2 ABC　[當小球在最高點，只有重力提供向心力時，由mg＝meq \f(v,R)解得v0＝，此時小球對管內壁無壓力，選項A正確；若v0>，則有mg＋FN＝meq \f(v,R)，表明小球對管內上壁有壓力，選項B正確；若0例3 (1) m/s　(2)4 N，方向向下　11 N，方向向上　(3)6 m/s
解析　(1)小球在最高點時剛好對桿無作用力，此時重力提供向心力，有mg＝meq \f(v,L)，代入數據解得v1＝＝ m/s。
(2)當小球運動到最高點速率v2＝1 m/s時，此時小球受到桿向上的支持力。根據牛頓第二定律可得mg－F1＝meq \f(v,L)
代入數據得F1＝4 N
根據牛頓第三定律可得小球對桿的作用力大小為4 N，方向向下
當小球運動到最高點速率v3＝4 m/s時，此時小球受到桿向下的拉力，根據牛頓第二定律得F2＋mg＝meq \f(v,L)，代入數據解得F2＝11 N，根據牛頓三定律可得小球對桿的作用力大小為11 N，方向向上。
(3)當小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41 N，由牛頓第二定律有F－mg＝meq \f(v,L)
代入數據解得v4＝6 m/s。
提升2
例4 C　[A、B、C三物體角速度相同，由an＝ω2r知，物體C的向心加速度最大，選項A錯誤；摩擦力提供向心力，FfB＝mω2R，FfC＝mω2·(2R)，物體B所受摩擦力小于物體C所受摩擦力，選項B錯誤；物體恰好滑動時，有kmg＝mω2r，ω＝，可知滑動的臨界角速度與質量無關，r越大，臨界角速度越小，則物體C先滑動，選項C正確，D錯誤。]
例5 ACD　[物塊和轉盤間的最大靜摩擦力是Ffm＝μmg，當轉盤以角速度勻速轉動時，所需向心力為F1＝mω2r＝μmgFfm，摩擦力不足以提供向心力，繩子也要提供部分向心力，則F2＝FT＋Ffm，解得FT＝μmg，則物塊所受的摩擦力大小為μmg，細繩的拉力大小為μmg，故C、D正確。]
例6 (1)　(2)
解析　(1)當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張力，靜摩擦力達到最大值，則此時物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供，則
μmg＝mωr，解得ω1＝。
(2)物塊恰好離開轉盤，則FN＝0，物塊只受重力和繩的拉力，如圖所示，
mgtan θ＝mωr，tan θ＝，
聯立解得ω2＝。
隨堂對點自測
1.B　[取該同學與踏板為研究對象，到達最低點時，受力如圖所示，設每根繩子中的平均拉力為F。由牛頓第二定律知2F－mg＝m，代入數據得F＝405 N，故每根繩子平均承受的拉力約為405 N，選項B正確。]
2.A　[小球以O點為圓心在豎直平面內做圓周運動，當在最高點小球與細桿無彈力作用時，設小球的速度為v1，則有mg＝meq \f(v,L)，得v1＝＝ m/s，因為 m/s>3 m/s，所以小球受到細桿的支持力，有mg－FN＝meq \f(v,L)，則FN＝mg－meq \f(v,L)＝ N＝5 N，所以由牛頓第三定律知細桿受到壓力，大小為5 N，A正確。]
3.D　[甲、乙兩個物體隨旋轉圓臺轉動時，角速度相同，根據an＝ω2r得＝＝，A錯誤；根據牛頓第二定律有Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝mω2R可知，甲受到的靜摩擦力大，B錯誤；對甲物體，最大靜摩擦力提供向心力時，角速度達到臨界值，有μmg＝mω·2R，得ω甲＝，C錯誤；對乙物體，最大靜摩擦力提供向心力時，角速度達到臨界值，有μmg＝mωR，得ω乙＝，可見ω甲<ω乙，當圓臺轉速增加時，甲物體先滑動，D正確。](共54張PPT)
培優提升三　豎直平面內圓周運動的兩種模型及
水平面內的臨界問題
第六章　圓周運動
1.建立豎直平面內圓周運動的輕繩模型和輕桿模型，會應用動力學知識分析輕繩和輕桿模型問題。
2.會分析水平面內圓周運動的臨界問題，找到臨界條件，列方程解決。
學習目標
目 錄
CONTENTS
提升
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
提升
1
提升2　水平面內圓周運動的臨界問題
提升1　豎直平面內圓周運動的兩種模型
提升1　豎直平面內圓周運動的兩種模型
1.輕繩模型：豎直(光滑)圓弧內側的圓周運動、水流星的運動等，類似輕繩一端的物體以輕繩另一端為圓心的豎直平面內的圓周運動。其特點是在最高點無支撐。
2.輕桿模型：豎直(光滑)圓管內的圓周運動、小球套在豎直圓環上的運動等，類似輕桿一端的物體以輕桿另一端為圓心的豎直平面內的圓周運動。其特點是在最高點有支撐。
3.兩種基本模型的比較
項目 輕繩模型 輕桿模型
情景圖示
最高點 受力特征 除重力外，物體可能受到向下的彈力 除重力，物體可能受到向下或向上的彈力
受力示意圖
角度1　輕繩模型
例1 如圖所示，長度為L＝1.6 m的輕繩，系一小球在豎直平面內
做圓周運動，小球的質量為m＝0.5 kg，小球半徑不計，g取
10 m/s2，求：
(1)小球剛好通過最高點時的速度大小；
(2)小球通過最高點時的速度大小為8 m/s時，輕繩的拉力大小；
(3)若輕繩能承受的最大張力為45 N，小球速度的最大值。
得FT＝15 N。
(3)分析可知小球通過最低點時輕繩的張力最大，在最低點，由牛頓第二定律得
流程法分析繩模型的臨界問題
ABC
例3 有一輕質桿長L為0.5 m，一端固定一質量m為0.5 kg的小球，
桿繞另一端在豎直面內做圓周運動(g＝10 m/s2)。
(1)當小球在最高點時剛好對桿無作用力，求此時的速度大小；
(2)當小球運動到最高點速率分別為1 m/s和4 m/s時，求小球對桿的作用力；
(3)當小球運動到最低點時，小球受桿的拉力為41 N，求小球的速度大小。
代入數據得F1＝4 N
根據牛頓第三定律可得小球對桿的作用力大小為4 N，方向向下
當小球運動到最高點速率v3＝4 m/s時，此時小球受到桿向下的拉力，根據牛頓第二定律得
提升2　水平面內圓周運動的臨界問題
1.常見的臨界問題
(1)物體恰好(沒有)發生相對滑動，靜摩擦力達到最大值。
(2)物體恰好要離開接觸面，物體與接觸面之間的彈力為0。
(3)繩子恰好斷裂，繩子的張力達到最大承受值。
(4)繩子剛好伸直，繩子的張力恰好為0。
2.解題關鍵
(1)在圓周運動問題中，當出現“恰好”“最大”“至少”“取值范圍”等字眼時，說明運動過程中存在臨界點。
(2)分析臨界狀態的受力，列出臨界條件下的牛頓第二定律方程。
例4 如圖所示，A、B、C三個物體放在旋轉的水平圓盤面上，物體與盤面間的最大靜摩擦力均是其重力的k倍，三物體的質量分別為2m、m、m，它們離轉軸的距離分別為R、R、2R。當圓盤旋轉時，若A、B、C三物體均相對圓盤靜止，則下列說法正確的是(　　)
A.A的向心加速度最大
B.B和C所受摩擦力大小相等
C.當圓盤轉速緩慢增大時，C比A先滑動
D.當圓盤轉速緩慢增大時，B比A先滑動
C
物體恰好滑動的臨界條件是靜摩擦力剛好達到最大值，根據牛頓第二定律列方程，求解出相應的臨界角速度和線速度。　　　　
ACD
解析　(1)當水平轉盤以角速度ω1勻速轉動時，繩上恰好有張力，靜摩擦力達到最大值，則此時物塊所需向心力恰好完全由最大靜摩擦力提供，則
(2)物塊恰好離開轉盤，則FN＝0，物塊只受重力和繩的拉力，如圖所示，
隨堂對點自測
2
B
1.(輕繩模型)如圖，一同學表演蕩秋千。已知秋千的兩根繩長均為10 m，該同學和秋千踏板的總質量約為50 kg。繩的質量忽略不計。當該同學蕩到秋千支架的正下方時，速度大小為8 m/s，此時每根繩子平均承受的拉力約為(　　)
A.200 N B.400 N
C.600 N D.800 N
A
2.(輕桿模型) (2024·湖南十校聯考)如圖所示，輕質細桿OA長為1 m，A端固定一個質量為5 kg的小球，小球在豎直平面內做圓周運動，通過最高點時小球的速率為3 m/s，g取10 m/s2，細桿受到(　　)
A.5 N的壓力 B.5 N的拉力
C.95 N的壓力 D.95 N的拉力
D
3.(水平面內圓周運動的臨界問題)(2024·福建福州高一期末)如圖所示，甲、乙兩個物體放在旋轉圓臺上，它們的質量均為m，它們與圓臺之間的動摩擦因數均為μ，甲物體離軸心距離為2R，乙物體離軸心距離為R。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，重力加速度為g，當圓臺旋轉時，甲、乙兩個物體都沒有滑動，則下列說法中正確的是(　　)
課后鞏固訓練
3
BD
對點題組練
D
B
3.如圖所示，雜技演員表演“水流星”節目。一根長為L的細繩兩端系著盛水的杯子，演員握住繩中間，隨著演員的掄動，杯子在豎直平面內做圓周運動，杯子運動中水始終不會從杯子灑出，重力加速度為g，則杯子運動到最高點的角速度ω至少為(　　)
B
解析　在最高點，由于外管或內管都可以對小球產生彈力作用，當小球的速度等于0時，內管對小球產生彈力，大小為mg，故最小速度為0，A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下管道運動，由于沿半徑方向的合力提供做圓周運動的向心力，所以外側管壁對小球一定有作用力，而內側管壁對小球一定無作用力，C錯誤；小球在水平線ab以上管道中運動時，當速度非常大時，內側管壁沒有作用力，此時外側管壁有作用力。當速度比較小時，內側管壁有作用力，外側管壁沒有作用力，D錯誤。
D
AD
AC
題組二　水平面內圓周運動的臨界問題
7.(多選)如圖所示，質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，當輕桿繞軸OO′以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，a繩與水平面成θ角，b繩平行于水平面且長為l，重力加速度為g，則下列說法正確的是(　　)
D
8.如圖所示，在勻速轉動的圓盤圓心處通過一個光滑小孔把質量相等(均為m)的兩物塊用輕繩連接，物塊A到轉軸的距離為R＝20 cm，與圓盤間的動摩擦因數為μ＝0.2，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力(已知π2＝g)，則(　　)
A.物塊A一定會受圓盤的摩擦力
B.當轉速n＝0.5 r/s時，物塊A不受摩擦力
C.物塊A所受摩擦力方向一定與線速度方向在一條直線上
D.當圓盤轉速n＝1 r/s時，物塊A所受摩擦力方向沿半徑背離圓心
AD
9.(多選)(2024·甘肅靖遠二中高一期中)如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F－v2圖像如圖乙所示。則(　　)
綜合提升練
B
10.如圖所示，水平轉盤上的A、B、C三處有三塊可視為質點的由同一種材料做成的正方體物塊，B、C處物塊的質量均為m，A處物塊的質量為2m；A、B到軸O的距離均為r，C到軸O的距離為2r，轉盤以某一角速度勻速轉動時，A、B、C三處的物塊都沒有發生滑動現象，下列說法中正確的是(　　)
A.A處物塊的向心加速度最大
B.B處物塊受到的靜摩擦力最小
C.當轉速增大時，最先滑動起來的是A處的物塊
D.當轉速繼續增大時，最后滑動起來的是C處的物塊
(1)若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時陶罐轉動的角速度的大小；
(2)小物塊在A點隨陶罐一起勻速轉動，求陶罐轉動的角速度的最大值。
解析　(1)小物塊受到的摩擦力恰好為零時，受力如圖甲所示
(2)當小物塊達到最大角速度時，受力如圖乙所示，豎直
方向受力平衡，有
FNcos 60°＝mg＋Ffsin 60°
水平方向根據牛頓第二定律得
12.如圖所示，水平轉盤的中心有一個光滑的豎直小圓孔，質量為m的物體A放在轉盤上，物體A到圓孔的距離為r，物體A通過輕繩與物體B相連。物體B的質量也為m。若物體A與轉盤間的動摩擦因數為μ，重力加速度為g，則轉盤轉動的角速度ω在什么范圍內才能使物體A隨轉盤轉動而不滑動？
培優加強練
解析　當A將要沿轉盤背離圓心滑動時，A所受的摩擦力為最大靜摩擦力，方向指向圓心，此時A
由于B靜止，故有F＝mg②
又Ffm＝μFN＝μmg③

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