資源簡介

第3節(jié)　向心加速度
(分值：100分)
選擇題1～9題，每小題8分，共72分。
對點題組練
題組一　勻速圓周運動的加速度的方向
1.(多選)關于向心加速度，下列說法中正確的是(　　)
向心加速度越大，物體速度方向改變得就越快
做曲線運動的物體，一定存在向心加速度
由an＝可知，向心加速度一定與軌道半徑成反比
物體做變速圓周運動時，向心加速度的大小不能用an＝來計算
2.(2024·北京石景山高一統(tǒng)考)一個地球儀繞與其“赤道面”垂直的“地軸”勻速轉動，如圖所示。P點和Q點位于同一條“經線”上，Q點和M點位于“赤道”上，O為球心。下列說法正確的是(　　)
P、Q的線速度大小相等
P、M的角速度大小相等
P、Q的向心加速度大小相等
P、M的向心加速度方向均指向O
題組二　向心加速度大小的計算
3.(2024·湖南岳陽市高一期末)如圖所示，兩輪用皮帶傳動，皮帶不打滑，A、B、C三點分別位于兩輪上且滿足關系rA>rB＝rC，則這三點的向心加速度aA、aB、aC的關系是(　　)
aA＝aB＝aC aC>aA>aB
aCaB
4.某變速箱中有甲、乙、丙三個齒輪，如圖所示，其半徑分別為r1、r2、r3，若甲輪勻速轉動的角速度大小為ω，三個輪相互不打滑，則丙輪邊緣上各點的向心加速度大小為(　　)
eq \f(rω2,r) 　　　　eq \f(rω2,r3)
　　　　eq \f(rω2,r)
題組三　勻速圓周運動的動力學問題
5.(2024·山東聊城市高一期中)質量為m的飛機以速率v在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，如圖所示，重力加速度為g，則空氣對飛機的作用力大小為(　　)
m
mg
6.(多選)(2024·山東聊城市高一期中)智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛。如圖甲，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖乙所示。可視為質點的配重質量為0.8 kg，繩長為0.5 m，懸掛點P到腰帶中心點O的距離為0.2 m。水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重隨短桿沿水平面做勻速圓周運動，若繩子與豎直方向夾角為37°，運動過程中腰帶可看作不動，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列說法正確的是(　　)
繩的拉力大小為10 N
配重的向心加速度大小為7.5 m/s2
配重的角速度大小為 rad/s
配重的角速度大小為5 rad/s
綜合提升練
7.(多選)(2024·山東煙臺市高一期中)如圖所示，甲、乙兩物體分別靜置于赤道和緯度為45°的地面上，甲、乙兩物體隨地球自轉的線速度大小分別為v1和v2，向心加速度大小分別為a1和a2，下列關系式正確的是(　　)
v1∶v2＝1∶1 v1∶v2＝∶1
a1∶a2＝2∶1 a1∶a2＝∶1
8.如圖為一壓路機的示意圖，其大輪半徑是小輪半徑的1.5倍。A、B分別為大輪和小輪邊緣上的點。在壓路機前進時(　　)
A、B兩點的轉速之比為nA：nB＝1∶1
A、B兩點的線速度之比為vA：vB＝3∶2
A、B兩點的角速度之比為ωA：ωB＝3∶2
A、B兩點的向心加速度之比為aA：aB＝2∶3
9.(2024·山西太原高一下月考)如圖所示，用一根細繩一端系一個小球，另一端固定，給小球不同的初速度，使小球在水平面內做角速度不同的圓周運動，則下列細繩拉力F、懸點到軌跡圓心高度h、向心加速度a、線速度v與角速度的平方ω2的關系圖像正確的是(　　)
A B C D
10.(12分)(2024·江蘇江陰高級中學高一期末)如圖甲，一半徑為r＝0.2 m的滾筒洗衣機內有一件質量為m＝0.5 kg的衣服(示意圖如圖乙)，衣服貼著內壁跟著圓筒以角速度ω＝20 rad/s繞中心軸做勻速圓周運動，重力加速度g＝10 m/s2，若此時衣服恰好不下滑，求：
(1)(6分)衣服對桶壁的壓力大小；
(2)(6分)衣服與桶壁之間的動摩擦因數。
培優(yōu)加強練
11.(16分)如圖所示，水平光滑桌面上A、B兩球質量分別為m1、m2，用一勁度系數為k的輕彈簧相連，一長為L1的水平細線一端與A相連，另一端拴在豎直軸OO′上。當A與B均以角速度ω繞OO′做勻速圓周運動時，彈簧長度為L2，求：
(1)(5分)彈簧伸長量；
(2)(5分)細線上的彈力大小；
(3)(6分)將細線突然燒斷瞬間，A、B兩球的加速度大小。
第3節(jié)　向心加速度
1.AB　[向心加速度是表示速度方向變化快慢的物理量，向心加速度越大，物體速度方向改變得就越快，故A正確；做曲線運動的物體，其運動軌跡可看作由若干個曲率半徑不同的小圓弧組成，物體運動到每個小圓弧時都存在向心加速度，可知做曲線運動的物體一定有向心加速度，故B正確；公式an＝表示在線速度大小一定的條件下，向心加速度與軌道半徑成反比，如果線速度大小不一定，則不能說向心加速度與軌道半徑成反比，故C錯誤；物體做變速圓周運動時，向心加速度的大小仍然能用an＝來計算，故D錯誤。]
2.B　[由于同軸轉動的物體的角速度相等，可知P、Q、M的角速度均相等，B正確；圖中球面上各點圓周運動的半徑為各點到地軸的垂直距離，因此有rP3.C　[A、B兩點線速度大小相等，rA>rB，根據an＝知aArC，根據an＝ω2r知aA>aC，故aB>aA>aC，故選項C正確。]
4.B　[設乙輪、丙輪的角速度分別為ω2、ω3，由于甲、乙、丙三個齒輪邊緣的線速度相等，則有ωr1＝ω2r2＝ω3r3，則有ω3＝ω，丙輪邊緣上各點的向心加速度大小為a＝ωr3＝eq \f(rω2,r3)，故A、C、D錯誤，B正確。]
5.B　[飛機受到豎直向下的重力和空氣的作用力，兩力的合力提供向心力，如圖所示，故有F＝＝m，故B正確。]
INCLUDEPICTURE"t107.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\t107.TIF" \* MERGEFORMATINET
6.ABC　[繩的拉力大小為F＝＝10 N，故A正確；由牛頓第二定律有mgtan 37°＝man，可得an＝7.5 m/s2，故B正確；由an＝ω2(Lsin 37°＋rPO)可得ω＝ rad/s，故C正確，D錯誤。]
7.BD　[設地球的半徑為R，甲、乙兩物體分別靜置于赤道和緯度為45°的地面上，軌道半徑關系為＝＝，甲、乙兩物體隨地球一起自轉，角速度相同，由線速度與角速度的關系知＝＝，故A錯誤，B正確；由向心加速度an＝ω2r知＝＝，故C錯誤，D正確。]
8.D　[壓路機前進時，其輪子邊緣上的點參與兩個分運動，即繞軸心的轉動和隨著車的運動，與地面接觸點速度為零，故兩個分運動的速度大小相等、方向相反，故A、B兩點圓周運動的線速度都等于汽車前進的速度，故A、B兩點的線速度之比vA∶vB＝1∶1，根據v＝2πrn可知轉速之比nA∶nB＝rB∶rA＝2∶3，故A、B錯誤；根據公式v＝ωr，知A、B兩點的角速度之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C錯誤；根據an＝ωv可知A、B兩點的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正確。]
9.A　[設細繩長度為l，小球做勻速圓周運動時細繩與豎直方向的夾角為θ，對小球受力分析有Fsin θ＝mω2lsin θ，得F＝mω2l，故A正確；根據mgtan θ＝mω2htan θ，得h＝，故B錯誤；小球的向心加速度a＝ω2lsin θ，故C錯誤；小球的線速度v＝ωlsin θ，故D錯誤。]
10.(1)40 N　(2)
解析　(1)衣服所受彈力提供衣服做圓周運動的向心力，有
FN＝mω2r＝40 N
由牛頓第三定律知，衣服對桶壁壓力大小為
FN′＝FN＝40 N。
(2)衣服豎直方向受力平衡，有Ff＝mg＝5 N
而Ff＝μFN′
代入數據解得μ＝。
11.(1)　
(2)(m1L1＋m2L1＋m2L2)ω2　
(3)　ω2(L1＋L2)
解析　(1)由題意可知，B球受到的彈簧彈力提供B球做圓周運動的向心力。設彈簧伸長ΔL，滿足kΔL＝m2ω2(L1＋L2)
解得彈簧伸長量為ΔL＝。
(2)對A球分析，細線的彈力和彈簧彈力的合力提供A球做勻速圓周運動的向心力，滿足
F－kΔL＝m1ω2L1
所以細線的彈力為
F＝m2ω2(L1＋L2)＋m1ω2L1
＝(m1L1＋m2L1＋m2L2)ω2。
(3)細線燒斷的瞬間，A、B兩球都由彈簧的彈力提供加速度，對A球，有kΔL＝m1a1
解得a1＝
對B球，有kΔL＝m2a2
解得a2＝ω2(L1＋L2)。第3節(jié)　向心加速度
學習目標　1.知道勻速圓周運動中向心加速度大小的表達式。2.理解向心加速度與半徑的關系，并會用來進行計算。3.能根據問題情境選擇合適的向心加速度的表達式。
知識點一　勻速圓周運動的加速度方向
1.如圖甲所示，游客乘坐摩天輪做勻速圓周運動時，有加速度嗎？方向向哪？
2.如圖乙所示，小球在拉力作用下做勻速圓周運動，小球受幾個力、合力方向如何？產生的加速度指向哪個方向？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.勻速圓周運動的速度方向不斷改變，一定是________運動，必定有________。
2.向心加速度定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向________，我們把它叫作向心加速度。
3.向心加速度方向：沿半徑指向圓心，與線速度方向________，且時刻在變化，因此勻速圓周運動是________曲線運動。
【思考】 有關圓周運動，請思考下列問題：
(1)向心加速度的作用是什么？
(2)向心加速度方向變化嗎？汽車勻速拐彎時的運動性質是什么？
(3)圓周運動的加速度一定指向圓心嗎？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 (多選)關于向心加速度，以下說法中正確的是(　　)
A.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直
B.向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小
C.物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心
D.物體做勻速圓周運動時，在相等時間內速度變化量是相同的
(1)圓周運動分為勻速圓周運動和變速圓周運動，只有勻速圓周運動加速度的方向始終指向圓心。
(2)無論是勻速圓周運動還是變速圓周運動，向心力都是指向圓心，是變力，向心加速度指向圓心，是變加速曲線運動。　　　　
訓練1 如圖所示，質量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么(　　)
A.加速度為零
B.加速度恒定
C.加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心
D.加速度大小不變，方向時刻指向圓心
知識點二　勻速圓周運動的加速度大小
1.向心加速度幾種表達式
(1)對應線速度：an＝________。
(2)對應角速度：an＝________。
(3)對應周期：an＝________。
(4)對應轉速：an＝________。
(5)推導公式an＝ωv。
2.向心加速度an與半徑r的關系圖像如圖所示
【思考】 如圖所示，自行車的大齒輪、小齒輪、后輪三個輪子的半徑不一樣，A、B、C是它們邊緣上的三個點，請思考：
(1)A和B兩個點的向心加速度與半徑有什么關系？
(2)B和C兩個點的向心加速度與半徑有什么關系？
(3)向心加速度有時與半徑r成正比，有時與半徑r成反比，是否相矛盾？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例2 如圖所示，一個大輪通過皮帶拉著小輪轉動，皮帶和兩輪之間無相對滑動，大輪的半徑是小輪半徑的2倍，大輪上的一點S離轉動軸的距離是大輪半徑的。當大輪邊緣上的P點的向心加速度是12 m/s2時，大輪上的S點和小輪邊緣上的Q點的向心加速度各為多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解決不同質點的圓周運動問題，需要關注以下幾點：
(1)看清是皮帶傳動還是同軸轉動。
(2)明確軌道半徑，找線速度、角速度之間的聯系。
(3)根據問題，恰當的選取向心加速度公式an＝＝ω2r＝r＝ωv解決問題。　　　　
訓練2 “旋轉紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現。拉動多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50 r/s，此時紐扣上距離中心1 cm處的點的向心加速度大小約為(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
知識點三　圓周運動的動力學問題分析
例3 游樂場里的“飛天秋千”游戲開始前，座椅由鋼絲繩豎直懸吊在半空，繩到轉軸的距離為r。秋千勻速轉動時，鋼絲繩與豎直方向成某一角度θ，其簡化模型如圖所示。已知鋼絲繩的長度為l，座椅質量為m，大小忽略不計。重力加速度為g，不計空氣阻力，求：
(1)鋼絲繩所受拉力F的大小；
(2)秋千勻速轉動的角速度ω；
(3)若要使鋼絲繩與豎直方向的夾角θ增大，可采取哪些方法？(只要答對一種即可)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解決圓周運動的動力學問題的解題步驟如下：
(1)明確研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。
(2)確定物體做圓周運動的軌道平面、圓心、半徑。
(3)找出向心力的來源，利用平行四邊形定則或正交分解法，計算出沿半徑方向的合力F合。
(4)利用牛頓第二定律列方程F合＝Fn＝mω2r＝m＝mr。
(5)解方程求出待求物理量。　　　　
訓練3 如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉動的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺以一定角速度勻速轉動，一個質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，此時小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。則轉臺轉動的角速度大小為(　　)
A. B.
C. D.
隨堂對點自測
1.(向心加速度的方向)(多選)小球做圓周運動，關于小球運動到P點時的加速度方向，下列圖中可能正確的是(　　)
2.(向心加速度的大小)甲、乙兩個物體都做勻速圓周運動，轉動半徑之比為9∶4，轉動周期之比為3∶4，則它們的向心加速度大小之比為(　　)
A.1∶4 B.4∶1
C.4∶9 D.9∶4
3.(圓周運動的動力學問題)有一種雜技表演叫“飛車走壁”。由雜技演員駕駛摩托車沿圓臺形表演臺的側壁，做勻速圓周運動。圖中圓弧表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h。下列說法中正確的是(　　)
A.h越高，摩托車對側壁的壓力將越大
B.h越高，摩托車做圓周運動的向心力將越大
C.h越高，摩托車做圓周運動的周期將越小
D.h越高，摩托車做圓周運動的線速度將越大
第3節(jié)　向心加速度
知識點一
導學
提示　1.有加速度　指向圓心
2.兩個力　合力指向圓心　加速度指向圓心
知識梳理
1.變速　加速度　2.圓心　3.垂直　變加速
[思考]
提示　(1)向心加速度的方向始終指向圓心，其作用是只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(2)向心加速度的方向總是沿半徑指向圓心，加速度方向是變化的，故汽車拐彎時所做的勻速圓周運動是一種變加速曲線運動。
(3)勻速圓周運動加速度指向圓心，變速圓周運動加速度有時指向圓心，有時不指向圓心。
例1 AB　[向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，且只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，故A、B正確；變速圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度的方向不指向圓心，故C錯誤；物體做勻速圓周運動時，相等時間內速度變化量大小相等，方向不同，故D正確。]
訓練1 D　[由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤。]
知識點二
1.(1)　(2)ω2r　(3)r　(4)4π2n2r
[思考]
提示　(1)A、B兩個點的線速度大小相等，由an＝知向心加速度與半徑成反比。
(2)B、C兩個點的角速度相同，由an＝ω2r知向心加速度與半徑成正比。
(3)不矛盾。an與r成正比還是反比，要看ω恒定還是v恒定。
例2 4 m/s2　24 m/s2
解析　同一輪子上的S點和P點的角速度相同，即ωS＝ωP
由向心加速度公式an＝ω2r，得＝
故aS＝aP＝×12 m/s2＝4 m/s2
又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，即vP＝vQ
由向心加速度公式an＝得＝
故aQ＝aP＝2×12 m/s2＝24 m/s2。
訓練2 C　[向心加速度的公式an＝ω2r，結合角速度與轉速的關系ω＝2πn，代入數據可得an≈1 000 m/s2，C正確。]
知識點三
例3 (1)　(2)　(3)增大轉速(角速度)或增加鋼絲繩的長度
解析　(1)座椅做勻速圓周運動時，由重力和鋼絲繩的拉力的合力提供向心力，如圖所示，鋼絲繩的拉力大小為F＝。
INCLUDEPICTURE"Q493.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\Q493.TIF" \* MERGEFORMATINET
(2)座椅做勻速圓周運動的半徑為
R＝r＋lsin θ
由mgtan θ＝mRω2得ω＝。
(3)增大轉速(角速度)或增加鋼絲繩的長度，可以增加鋼絲繩與豎直方向的夾角。
訓練3 D　[對物塊受力分析如圖所示，由牛頓第二定律有mgtan 60°＝mω2r，由幾何關系有r＝Rsin 60°，解得ω＝，A、B、C錯誤，D正確。]
INCLUDEPICTURE"+22.TIF" INCLUDEPICTURE "E:\\課件\\2024課件\\同步\\2025（春）物理 必修 第二冊 人教版（L）（魯瓊浙）\\學生word文檔\\+22.TIF" \* MERGEFORMATINET
隨堂對點自測
1.AD　[小球做圓周運動，運動到題圖所示的P點時，加速度可分解為沿PO指向圓心的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，當小球做勻速圓周運動時，切向加速度為零，故A、D正確，B、C錯誤。]
2.B　[設甲、乙兩物體的轉動半徑分別為r1、r2，周期分別為T1、T2，根據題意＝，＝，由an＝r得＝·＝×＝，選項B正確。]
3.D　[雜技演員以及摩托車所受的重力和支持力的合力提供向心力，向心力Fn＝mgtan θ，對側壁的壓力FN′＝FN＝，其中θ是表演臺的側壁與地面的夾角，可以看出，向心力和對側壁的壓力均與h無關，故A、B錯誤；向心力Fn＝mr，由于Fn為定值，則T2與r成正比，當h越大時，r越大，所以周期T也越大，故C錯誤；向心力Fn＝m，由于Fn為定值，則v2與r成正比，當h越大時，r越大，所以線速度v也越大，故D正確。](共45張PPT)
第3節(jié)　向心加速度
第六章　圓周運動
1.知道勻速圓周運動中向心加速度大小的表達式。
2.理解向心加速度與半徑的關系，并會用來進行計算。
3.能根據問題情境選擇合適的向心加速度的表達式。
學習目標
目 錄
CONTENTS
知識點
01
隨堂對點自測
02
課后鞏固訓練
03
知識點
1
知識點二　勻速圓周運動的加速度大小
知識點一　勻速圓周運動的加速度方向
知識點三　圓周運動的動力學問題分析
知識點一　勻速圓周運動的加速度方向
　　　1.如圖甲所示，游客乘坐摩天輪做勻速圓周運動時，有加速度嗎？方向向哪？
2.如圖乙所示，小球在拉力作用下做勻速圓周運動，小球受幾個力、合力方向如何？產生的加速度指向哪個方向？
提示　1.有加速度　指向圓心
2.兩個力　合力指向圓心　加速度指向圓心
1.勻速圓周運動的速度方向不斷改變，一定是______運動，必定有________。
2.向心加速度定義：物體做勻速圓周運動時的加速度總指向______，我們把它叫作向心加速度。
3.向心加速度方向：沿半徑指向圓心，與線速度方向______，且時刻在變化，因此勻速圓周運動是________曲線運動。
變速
加速度
圓心
垂直
變加速
【思考】 有關圓周運動，請思考下列問題：
(1)向心加速度的作用是什么？
(2)向心加速度方向變化嗎？汽車勻速拐彎時的運動性質是什么？
(3)圓周運動的加速度一定指向圓心嗎？
提示　(1)向心加速度的方向始終指向圓心，其作用是只改變速度的方向，不改變速度的大小。
(2)向心加速度的方向總是沿半徑指向圓心，加速度方向是變化的，故汽車拐彎時所做的勻速圓周運動是一種變加速曲線運動。
(3)勻速圓周運動加速度指向圓心，變速圓周運動加速度有時指向圓心，有時不指向圓心。
AB
例1 (多選)關于向心加速度，以下說法中正確的是(　　)
A.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直
B.向心加速度只改變線速度的方向，不改變線速度的大小
C.物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心
D.物體做勻速圓周運動時，在相等時間內速度變化量是相同的
解析　向心加速度的方向沿半徑指向圓心，線速度方向沿圓周的切線方向，所以向心加速度的方向始終與線速度方向垂直，且只改變線速度的方向，不改變線速度的大小，故A、B正確；變速圓周運動的向心加速度與切向加速度的合加速度的方向不指向圓心，故C錯誤；物體做勻速圓周運動時，相等時間內速度變化量大小相等，方向不同，故D正確。
(1)圓周運動分為勻速圓周運動和變速圓周運動，只有勻速圓周運動加速度的方向始終指向圓心。
(2)無論是勻速圓周運動還是變速圓周運動，向心力都是指向圓心，是變力，向心加速度指向圓心，是變加速曲線運動。　　　　
D
訓練1 如圖所示，質量為m的木塊從半徑為R的半球形碗口下滑到碗的最低點的過程中，如果由于摩擦力的作用使木塊的速率不變，那么(　　)
A.加速度為零
B.加速度恒定
C.加速度大小不變，方向時刻改變，但不一定指向圓心
D.加速度大小不變，方向時刻指向圓心
解析　由題意知，木塊做勻速圓周運動，木塊的加速度大小不變，方向時刻指向圓心，D正確，A、B、C錯誤。
知識點二　勻速圓周運動的加速度大小
1.向心加速度幾種表達式
(1)對應線速度：an＝_______。
(2)對應角速度：an＝_______。
(3)對應周期：an＝_________。
(4)對應轉速：an＝_________。
(5)推導公式an＝ωv。
2.向心加速度an與半徑r的關系圖像如圖所示
【思考】 如圖所示，自行車的大齒輪、小齒輪、后輪三個輪子的半徑不一樣，A、B、C是它們邊緣上的三個點，請思考：
(1)A和B兩個點的向心加速度與半徑有什么關系？
(2)B和C兩個點的向心加速度與半徑有什么關系？
(3)向心加速度有時與半徑r成正比，有時與半徑r成反比，是否相矛盾？
解析　同一輪子上的S點和P點的角速度相同，即ωS＝ωP
又因為皮帶不打滑，所以皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等，即vP＝vQ
C
訓練2 “旋轉紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現。拉動多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50 r/s，此時紐扣上距離中心1 cm處的點的向心加速度大小約為(　　)
A.10 m/s2 B.100 m/s2
C.1 000 m/s2 D.10 000 m/s2
解析　向心加速度的公式an＝ω2r，結合角速度與轉速的關系ω＝2πn，代入數據可得an≈1 000 m/s2，C正確。
知識點三　圓周運動的動力學問題分析
例3 游樂場里的“飛天秋千”游戲開始前，座椅由鋼絲繩豎直懸吊在半空，繩到轉軸的距離為r。秋千勻速轉動時，鋼絲繩與豎直方向成某一角度θ，其簡化模型如圖所示。已知鋼絲繩的長度為l，座椅質量為m，大小忽略不計。重力加速度為g，不計空氣阻力，求：
(1)鋼絲繩所受拉力F的大小；
(2)秋千勻速轉動的角速度ω；
(3)若要使鋼絲繩與豎直方向的夾角θ增大，可采取哪些方法？(只要答對一種即可)
(2)座椅做勻速圓周運動的半徑為R＝r＋lsin θ
(3)增大轉速(角速度)或增加鋼絲繩的長度，可以增加鋼絲繩與豎直方向的夾角。
D
訓練3 如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸轉動的水平轉臺上，轉臺轉軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合。轉臺以一定角速度勻速轉動，一個質量為m的小物塊落入陶罐內，經過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉動且相對罐壁靜止，此時小物塊受到的摩擦力恰好為0，且它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°，重力加速度為g。則轉臺轉動的角速度大小為(　　)
隨堂對點自測
2
AD
1.(向心加速度的方向)(多選)小球做圓周運動，關于小球運動到P點時的加速度方向，下列圖中可能正確的是(　　)
解析　小球做圓周運動，運動到題圖所示的P點時，加速度可分解為沿PO指向圓心的向心加速度和垂直于PO的切向加速度，當小球做勻速圓周運動時，切向加速度為零，故A、D正確，B、C錯誤。
B
2.(向心加速度的大小)甲、乙兩個物體都做勻速圓周運動，轉動半徑之比為9∶4，轉動周期之比為3∶4，則它們的向心加速度大小之比為(　　)
A.1∶4 B.4∶1 C.4∶9 D.9∶4
D
3.(圓周運動的動力學問題)有一種雜技表演叫“飛車走壁”。由雜技演員駕駛摩托車沿圓臺形表演臺的側壁，做勻速圓周運動。圖中圓弧表示摩托車的行駛軌跡，軌跡離地面的高度為h。下列說法中正確的是(　　)
A.h越高，摩托車對側壁的壓力將越大
B.h越高，摩托車做圓周運動的向心力將越大
C.h越高，摩托車做圓周運動的周期將越小
D.h越高，摩托車做圓周運動的線速度將越大
課后鞏固訓練
3
AB
對點題組練
B
2.(2024·北京石景山高一統(tǒng)考)一個地球儀繞與其“赤道面”垂直的“地軸”勻速轉動，如圖所示。P點和Q點位于同一條“經線”上，Q點和M點位于“赤道”上，O為球心。下列說法正確的是(　　)
A.P、Q的線速度大小相等
B.P、M的角速度大小相等
C.P、Q的向心加速度大小相等
D.P、M的向心加速度方向均指向O
解析　由于同軸轉動的物體的角速度相等，可知P、Q、M的角速度均相等，B正確；圖中球面上各點圓周運動的半徑為各點到地軸的垂直距離，因此有rPC
題組二　向心加速度大小的計算
3.(2024·湖南岳陽市高一期末)如圖所示，兩輪用皮帶傳動，皮帶不打滑，A、B、C三點分別位于兩輪上且滿足關系rA>rB＝rC，則這三點的向心加速度aA、aB、aC的關系是(　　)
A.aA＝aB＝aC B.aC>aA>aB
C.aCaB
B
B
ABC
6.(多選)(2024·山東聊城市高一期中)智能呼啦圈輕便美觀，深受大眾喜愛。如圖甲，腰帶外側帶有軌道，將帶有滑輪的短桿穿入軌道，短桿的另一端懸掛一根帶有配重的輕繩，其簡化模型如圖乙所示。可視為質點的配重質量為0.8 kg，繩長為0.5 m，懸掛點P到腰帶中心點O的距離為0.2 m。水平固定好腰帶，通過人體微小扭動，使配重隨短桿沿水平面做勻速圓周運動，若繩子與豎直方向夾角為37°，運動過程中腰帶可看作不動，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，下列說法正確的是(　 　)
BD
綜合提升練
D
8.如圖為一壓路機的示意圖，其大輪半徑是小輪半徑的1.5倍。A、B分別為大輪和小輪邊緣上的點。在壓路機前進時(　　)
A.A、B兩點的轉速之比為nA：nB＝1∶1
B.A、B兩點的線速度之比為vA：vB＝3∶2
C.A、B兩點的角速度之比為ωA：ωB＝3∶2
D.A、B兩點的向心加速度之比為aA：aB＝2∶3
解析　壓路機前進時，其輪子邊緣上的點參與兩個分運動，即繞軸心的轉動和隨著車的運動，與地面接觸點速度為零，故兩個分運動的速度大小相等、方向相反，故A、B兩點圓周運動的線速度都等于汽車前進的速度，故A、B兩點的線速度之比vA∶vB＝1∶1，根據v＝2πrn可知轉速之比nA∶nB＝rB∶rA＝2∶3，故A、B錯誤；根據公式v＝ωr，知A、B兩點的角速度之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝2∶3，故C錯誤；根據an＝ωv可知A、B兩點的向心加速度之比aA∶aB＝2∶3，故D正確。
A
9.(2024·山西太原高一下月考)如圖所示，用一根細繩一端系一個小球，另一端固定，給小球不同的初速度，使小球在水平面內做角速度不同的圓周運動，則下列細繩拉力F、懸點到軌跡圓心高度h、向心加速度a、線速度v與角速度的平方ω2的關系圖像正確的是(　　)
10.(2024·江蘇江陰高級中學高一期末)如圖甲，一半徑為r＝0.2 m的滾筒洗衣機內有一件質量為m＝0.5 kg的衣服(示意圖如圖乙)，衣服貼著內壁跟著圓筒以角速度ω＝20 rad/s繞中心軸做勻速圓周運動，重力加速度g＝10 m/s2，若此時衣服恰好不下滑，求：
(1)衣服對桶壁的壓力大小；
(2)衣服與桶壁之間的動摩擦因數。
解析　(1)衣服所受彈力提供衣服做圓周運動的向心力，有
FN＝mω2r＝40 N
由牛頓第三定律知，衣服對桶壁壓力大小為
FN′＝FN＝40 N。
(2)衣服豎直方向受力平衡，有
Ff＝mg＝5 N
而Ff＝μFN′
11.如圖所示，水平光滑桌面上A、B兩球質量分別為m1、m2，用一勁度系數為k的輕彈簧相連，一長為L1的水平細線一端與A相連，另一端拴在豎直軸OO′上。當A與B均以角速度ω繞OO′做勻速圓周運動時，彈簧長度為L2，求：
培優(yōu)加強練
(1)彈簧伸長量；
(2)細線上的彈力大小；
(3)將細線突然燒斷瞬間，A、B兩球的加速度大小。
解析　(1)由題意可知，B球受到的彈簧彈力提供B球做圓周運動的向心力。設彈簧伸長ΔL，滿足kΔL＝m2ω2(L1＋L2)
(2)對A球分析，細線的彈力和彈簧彈力的合力提供A球做
勻速圓周運動的向心力，滿足F－kΔL＝m1ω2L1
所以細線的彈力為F＝m2ω2(L1＋L2)＋m1ω2L1＝(m1L1＋m2L1＋m2L2)ω2。
(3)細線燒斷的瞬間，A、B兩球都由彈簧的彈力提供加速度，對A球，有kΔL＝m1a1

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