資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題27.3位似八大題型（一課一講）
（內容:位似圖形及其應用）
【人教版】
題型一：位似圖形的識別
【經典例題1】已知：，下列圖形中， ABC與不存在位似關系的是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練1-1】下面四個圖中， ABC均與相似，且對應點交于一點；則 ABC與成位似圖形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式訓練1-2】已知：，下列圖形中， ABC與不存在位似關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練1-3】如圖，在正方形網格中， ABC的位似圖形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【變式訓練1-4】下圖所示的四種畫法中，能使得 ABC與是位似圖形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【變式訓練1-5】下列選項中的兩個相似圖形，不是位似圖形的是（ ）
A．B． C．D．
題型二：判斷位似中心
【經典例題2】如圖，在平面直角坐標系中， ABC與是位似圖形，各頂點都在格點上，則位似中心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-1】下列圖中的兩個菱形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【變式訓練2-2】如圖，在平面直角坐標系中的兩個矩形和矩形是位似圖形，對應點和的坐標分別為，，則位似中心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練2-3】如圖，點是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點，則與是位似三角形，此時與的位似比、位似中心分別是（ ）
A．2、點 B．、點 C．2、點 D．、點
【變式訓練2-4】如圖，已知矩形與矩形是位似圖形，M是位似中心，若點B的坐標為，點E的坐標為，則圖中點M的坐標為 .
【變式訓練2-5】如圖，在方格圖中， ABC的頂點與線段的端點都在小正方形的頂點上，且與 ABC是關于點為位似中心的位似圖形，點，的對應點分別為點，．按下列要求完成畫圖，并保留畫圖痕跡．

(1)請在方格圖中畫出位似中心；
(2)請在方格圖中將補畫完整．
【變式訓練2-6】如圖，在直角坐標系中 ABC與是位似圖形，則它們位似中心的坐標是 ．

題型三：位似圖形相關概念辨析
【經典例題3】如圖，已知與 ABC是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．與周長比為
C． D．
【變式訓練3-1】如圖，已知與 ABC是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式訓練3-2】下列說法正確的是（ ）
A．如果兩個圖形是相似圖形，它們的周長比等于相似比的平方
B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
C．相似圖形一定是位似圖形，位似圖形不一定是相似圖形
D．三角形的外心不一定在三角形內
【變式訓練3-3】如圖，以點O為位似中心，把 ABC放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（　　）
A．
B．點C、點O、點三點在同一直線上
C．
D．
【變式訓練3-4】如圖，以點為位似中心，把 ABC放大為原圖形的2倍得到，以下說法正確的是（ ）
A． B．
C．點A，O，三點在同一條直線上 D．
題型四：求兩個位似圖形的相似比
【經典例題4】平面直角坐標系中， ABC與位似，位似中心是點，若點A坐標是，其對應點D的坐標是，那么 ABC與的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
【變式訓練4-1】如圖，已知 ABC與位似，位似中心為，且 ABC的面積與的面積之比是，則（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練4-2】如圖，以點O為位似中心，將 ABC放大得到．若 ABC與的周長之比為，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式訓練4-3】如圖，正方形的兩邊，分別在平面直角坐標系的、軸的正半軸上，正方形與正方形是以的中點為中心的位似圖形，已知，若點的坐標為，則正方形與正方形的相似比是（ ）

A． B． C． D．
【變式訓練4-4】如圖， ABC與是位似圖形，點為位似中心， ABC與的面積之比為，則 ．
【變式訓練4-5】如圖，與是以原點O為位似中心的位似圖形，點的坐標為，點A的坐標為，則相似比為 ．
【變式訓練4-6】在平面直角坐標系中， ABC與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，則 ABC與的相似比為 ．
題型五：畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形
【經典例題5】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出和．
(1)把 ABC先向上平移1個單位，再向右平移4個單位，得到；
(2)以圖中的O為位似中心，將作位似變換且放大到原來的兩倍，得到．
【變式訓練5-1】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的的網格中建立平面直角坐標系， ABC的頂點都在格點（網格線的交點）上，，，點落在格點上．
(1)點的坐標為______，點的坐標為______．
(2)將 ABC向右平移4個單位長度得到，畫出．
(3)以點為位似中心，將 ABC放大為原來的2倍．得到．畫出．
【變式訓練5-2】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網格中．
(1)畫出 ABC向上平移6個單位長度，再向右平移4個單位長度后的．
(2)以點為位似中心，將 ABC放大為原來的2倍，得到，請在網格中畫出．
【變式訓練5-3】如圖，在網格中，點A，B，C，O都在格點上，用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡．
(1)以O為位似中心，在網格中作，且 ABC與的位似比為．
(2)在線段上作點P，使．
【變式訓練5-4】如圖，在網格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度， ABC的頂點均在格點上．
(1)畫出 ABC先向上平移4個單位長度，再向右平移4個單位長度得到的；
(2)以點為位似中心，將按相似比放大，畫出放大后的，直接寫出的面積．
【變式訓練5-5】如圖， ABC在平面直角坐標系內三頂點的坐標分別為，，．
(1)畫出 ABC關于軸對稱的；
(2) ABC內部有一點，直接寫出經過（）中對稱變換后的對應點的坐標________；
(3)以點為位似中心，在點的下方畫出，使與 ABC位似，且位似比為．
題型六：求位似圖形的對應坐標
【經典例題6】在平面直角坐標系中，，，現以原點O為位似中心畫出，使與相似比為，則A的對應點的坐標為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式訓練6-1】如圖，正方形和正方形是位似圖形，點的坐標為，點的坐標為，則這兩個正方形位似中心的坐標是 （ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式訓練6-2】如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，，．若，則點C的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練6-3】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，以點O為位似中心，相似比為3，將放大，則點A的對應點的坐標為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式訓練6-4】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應點的坐標是（ ）
A． B． C．或 D．或
【變式訓練6-5】如圖， AOB的頂點A的坐標為，現以原點O為位似中心，畫一個三角形與 AOB位似，相似比為，則點A的對應點的坐標為（　　）
A． B． C．或 D．或
題型七：求坐標系中兩個位似圖形的相似比、周長比和面積比
【經典例題7】已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示：
(1)在圖中畫出 ABC沿x軸翻折后的；
(2)以點為位似中心，在第一象限畫出與位似的三角形，使與的相似比為；
(3)點的坐標___________； ABC與的周長比是___________， ABC與的面積比是___________．
【變式訓練7-1】如圖，四邊形與四邊形位似，點是它們的位似中心，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-2】在平面直角坐標系中， ABC與位似，位似中心是原點O．若對應點坐標分別為，，則 ABC與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【變式訓練7-3】如圖， ABC與是位似圖形，位似中心為點O．若， ABC的周長為9，則的周長為（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【變式訓練7-4】在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點、恰好分別落在函數，的圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
題型八：位似圖形綜合應用
【經典例題8】在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為、、，與是關于點P為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出位似中心P的位置，并寫出點P及點B的對應點的坐標；
(2)的內部一點M的坐標為，寫出M在中的對應點的坐標．
【變式訓練8-1】在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1， ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．
(1)以點為位似中心，在網格內作出 ABC的位似圖形，若 ABC與的位似比為， ABC與的面積比是____________；
(2)將 ABC繞點逆時針旋轉后得到圖形，則點的運動路徑長為_________；
(3)若為圖中 ABC的外接圓，則圓心的坐標為________．
【變式訓練8-2】如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中， ABC的頂點在格點（網格線的交點）上，以點O為原點建立平面直角坐標系，點A的坐標為．
(1)將 ABC向左平移5個單位長度得到，畫出；
(2)以點O為位似中心，將放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），得到，在所給的網格中畫出；
(3)若點是 ABC內的一點，經過（1）、（2）兩次變換，點D的對應點的坐標是________．（用含a，b的代數式表示）
【變式訓練8-3】 ABC在坐標系的位置所示，三點的坐標分別為、、，請按要求完成任務：
(1)以坐標原點為位似中心，相似比為，在軸下方將 ABC放大得到．
(2)在（1）中，點的坐標為________；若線段上有一點，請直接寫出點的對應點的坐標為________．
(3)在（1）中，若點，分別是線段，的中點，則線段在中對應線段的長度為________．
【變式訓練8-4】在平面直角坐標系中， ABC的位置如圖所示，每個小正方形的邊長為1．
(1)在圖（1）的第一象限內，對 ABC進行位似變換，以原點O為位似中心畫出（點A，B，C分別應點D，E，F），且 ABC與的相似比為，線段上一點經過變換后對應的點的坐標為______．
(2)在圖（2）畫出一個格點三角形（所畫的兩個三角形不全等），使其同時符合下列兩個條件：①與 ABC有公共角；②與 ABC相似但不全等．
【變式訓練8-5】如圖，在直角坐標平面內，點A的坐標為．
(1)以O為位似中心，畫出的位似圖形，相似比為，且位于位似中心異側；
(2)在x軸上找一點E，使得的面積，求點E的坐標．
【變式訓練8-6】如圖， ABC在帶有網格的平面直角坐標系中的位置．
(1)以點O為位似中心，在y軸右側作出 ABC的位似圖形，使得放大后的與 ABC的位似比為．
(2)若點P在 ABC內部， 且坐標為，寫出按（1）變化后的對應點的坐標 ．
(3)在圖中找到點M，使得， 寫出點M的坐標 ．
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專題27.3位似八大題型（一課一講）
（內容:位似圖形及其應用）
【人教版】
題型一：位似圖形的識別
【經典例題1】已知：，下列圖形中， ABC與不存在位似關系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵．
根據位似圖形的定義，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，進而判斷得出答案．
【詳解】解：A、 ABC與是位似關系，故此選項不合題意；
B、 ABC與是位似關系，故此選項不合題意；
C、 ABC與是位似關系，故此選項不合題意；
D、 ABC與對應邊和不平行，故不存在位似關系，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-1】下面四個圖中， ABC均與相似，且對應點交于一點；則 ABC與成位似圖形有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查了位似的定義，如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線所在的直線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形.
根據位似的定義判斷即可得出答案．
【詳解】解：根據位似圖形的定義可知，圖1，圖2，圖4中的 ABC與成位似圖形，
圖3中、不平行，即 ABC與不成位似圖形，
故選；C．
【變式訓練1-2】已知：，下列圖形中， ABC與不存在位似關系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關鍵．根據位似圖形的定義，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，進而判斷得出答案．
【詳解】解：A、 ABC與是位似關系，故此選項不合題意；
B、 ABC與是位似關系，故此選項不合題意；
C、 ABC與是位似關系，故此選項不合題意；
D、 ABC與對應邊和不平行，故不存在位似關系，故此選項符合題意；
故選：D．
【變式訓練1-3】如圖，在正方形網格中， ABC的位似圖形可以是（ ）
A． BDE B． FDE C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是位似圖形，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形．先證明 ABC與相似，再根據位似圖形的概念判斷．
【詳解】解：根據網格信息可知： ABC的三邊長分別為1，2，，
的三邊長分別為2，4，，
ABC與的三邊對應成比例，
∴ ABC與相似，
∵ ABC與對應點連線相交于一點，對應邊平行或在同一條直線上，
∴ ABC與是位似圖形，
故選∶D．
【變式訓練1-4】下圖所示的四種畫法中，能使得 ABC與是位似圖形的有（ ）
A．①②③④ B．①③④ C．①② D．③④
【答案】A
【分析】本題考查位似圖形，根據“兩個相似圖形的對應點的連線相交于一點，而且對應邊互相平行或位于同一條直線上，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，”進行判斷即可．
【詳解】解：圖①對應點的連線相交于點A，對應邊，對應邊與在同一條直線上，與在同一條直線上，是位似圖形；
圖②，對應邊，，對應邊和在同一條直線上，對應點的連線交于一點（的延長線于的交點），是位似圖形；
圖③，對應點的連線交于點O，對應邊，，，是位似圖形；
圖④，對應點法連線交于點O，對應邊，，，是位似圖形，
故選：A．
【變式訓練1-5】下列選項中的兩個相似圖形，不是位似圖形的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】C
【分析】本題考查的是位似變換，掌握兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形是解題的關鍵．根據位似圖形的定義解答即可．
【詳解】解：根據位似圖圖形的定義可知選項A、B、D中的兩個圖形都是位似圖形，C中的兩個圖形不是位似圖形，
故選：C．
題型二：判斷位似中心
【經典例題2】如圖，在平面直角坐標系中， ABC與是位似圖形，各頂點都在格點上，則位似中心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了位似中心、坐標與圖形等知識．
根據圖示，對應點的連線都經過同一點，該點就是位似中心．據此進行解答即可．
【詳解】解：如下圖，
點即為所求的位似中心．
故選：D．
【變式訓練2-1】下列圖中的兩個菱形是位似圖形，它們的位似中心是（ ）
A．點 B．點 C．點 D．點
【答案】A
【分析】本題考查位似變換，理解位似變換的定義是解題關鍵．根據位似圖形對應點的連線交于一點，交點就是位似中心解答即可．
【詳解】解：如圖，連接對應點，交于點P，則點即為位似中心．
故選：A．
【變式訓練2-2】如圖，在平面直角坐標系中的兩個矩形和矩形是位似圖形，對應點和的坐標分別為，，則位似中心的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查位似圖形的性質、相似圖形的應用，連接，交軸于點，則點為位似中心，先根據題意證明，再根據位似比和點的坐標求出線段長度，得到，求出點的坐標即可．解決本題的關鍵是借助相似比求出線段長度．
【詳解】解：連接，交軸于點，則點為位似中心，
矩形與矩形是位似圖形，，，
，，，，，
，
，
，
即，
，
故位似中心的坐標為．
故選：A．
【變式訓練2-3】如圖，點是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點，則與是位似三角形，此時與的位似比、位似中心分別是（ ）
A．2、點 B．、點 C．2、點 D．、點
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換，掌握位似中心的定義、相似三角形的性質是解題的關鍵．
根據三角形中位線定理得到，根據位似三角形的定義、位似中心的定義解答．
【詳解】解：點是等邊三角形的中心，、、分別是、、的中點，
各對應點的連線交于點，，
位似中心是點，
∵與是位似三角形，位似中心到兩個對應點的距離之比叫做位似比，
∴與位似比是．
故選：D．
【變式訓練2-4】如圖，已知矩形與矩形是位似圖形，M是位似中心，若點B的坐標為，點E的坐標為，則圖中點M的坐標為 .
【答案】
【分析】根據位似變換的性質得，則，然后寫出點坐標．
【詳解】解：∵點B的坐標為，點E的坐標為，
∴，
∵矩形與矩形是位似圖形，M是位似中心，
∴，
∴，
∴點坐標為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．注意：兩個圖形必須是相似圖形；對應點的連線都經過同一點；對應邊平行．
【變式訓練2-5】如圖，在方格圖中， ABC的頂點與線段的端點都在小正方形的頂點上，且與 ABC是關于點為位似中心的位似圖形，點，的對應點分別為點，．按下列要求完成畫圖，并保留畫圖痕跡．

(1)請在方格圖中畫出位似中心；
(2)請在方格圖中將補畫完整．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了位似圖形的性質，找位似中心．
（1）連接對應點并延長，交點即為位似中心；
（2）由（1）可知，，則連接并延長，使，再連接即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：點O即為位似中心；

（2）解：補全如圖所示：

【變式訓練2-6】如圖，在直角坐標系中 ABC與是位似圖形，則它們位似中心的坐標是 ．

【答案】
【分析】此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質是解題關鍵．
直接利用位似圖形的性質：對應點的連線都經過同一點，連接對應點，進而得出位似中心的位置．
【詳解】解：如圖所示：位似中心點P的坐標為．

故答案為：．
題型三：位似圖形相關概念辨析
【經典例題3】如圖，已知與 ABC是以點O為位似中心的位似圖形，位似比為，則下列說法錯誤的是（ ）
A． B．與周長比為
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換，掌握位似圖形是相似圖形，相似圖形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據位似變換得到，，，則，，與 ABC周長比為，，即可得到答案．
【詳解】解：與 ABC是以點О為位似中心的位似圖形，位似比為，
，，，
∴，，與周長比為，
，
∴
故選項A、B、C正確，選項D錯誤，
故選：D．
【變式訓練3-1】如圖，已知與 ABC是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，下列說法錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是位似變換的概念和性質、相似三角形的性質．根據位似圖形的概念、相似三角形的性質“對應點的連線都經過同一點；對應邊平行”進行判斷即可．
【詳解】解：A、與 ABC是位似圖形，則其對應邊互相平行，即，原說法正確，本選項不符合題意；
B、與 ABC是以點為位似中心的位似圖形，位似比為，則．所以，原說法錯誤，本選項符合題意；
C、與 ABC是位似圖形，則其對應邊互相平行，即，則，原說法正確，本選項不符合題意；
D、與 ABC是相似圖形，相似比為，則其面積之比等于相似比的平方，即，原說法正確，本選項不符合題意．
故選：B．
【變式訓練3-2】下列說法正確的是（ ）
A．如果兩個圖形是相似圖形，它們的周長比等于相似比的平方
B．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧
C．相似圖形一定是位似圖形，位似圖形不一定是相似圖形
D．三角形的外心不一定在三角形內
【答案】D
【分析】此題主要考查了相似圖形與位似圖形、垂徑定理的推論，三角形的外心，正確掌握相關定義與性質是解題關鍵．直接利用相似圖形與位似圖形、垂徑定理的推論，三角形的外心分別分析得出答案．
【詳解】解：A．如果兩個圖形是相似圖形，它們的周長比等于相似比，故此選項錯誤；
B．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故此選項錯誤；
C．相似圖形不一定位似圖形，故此選項錯誤；
D．三角形的外心不一定在三角形內，比如鈍角三角形的外心在三角形的外部，故此選項正確．
故選：D．
【變式訓練3-3】如圖，以點O為位似中心，把 ABC放大為原圖形的2倍得到，以下說法中錯誤的是（　　）
A．
B．點C、點O、點三點在同一直線上
C．
D．
【答案】D
【分析】此題考查了位似變換，根據位似圖形的性質，對選項逐個判斷即可．
【詳解】解：∵以點O為位似中心，把 ABC放大為原圖形的2倍得到，
∴ ABC與是位似圖形，
∴，A選項說法正確，不符合題意；
點C、點O、點三點在同一直線上，B選項說法正確，不符合題意；
，C選項說法正確，不符合題意；
，D選項說法錯誤，符合題意；
故選：D．
【變式訓練3-4】如圖，以點為位似中心，把 ABC放大為原圖形的2倍得到，以下說法正確的是（ ）
A． B．
C．點A，O，三點在同一條直線上 D．
【答案】BCD
【分析】本題考查了位似的性質，相似三角形的性質；解題的關鍵是掌握相似三角形面積比等于相似比的平方；位似比等于相似比；位似圖形對應點和位似中心三點共線；位似圖形對應邊平行或在同一直線上．據此逐個判斷即可．
【詳解】解：A．根據題意可得，相似比為，
∴，故A不正確，不符合題意；
B．∵相似比為，，
∴，故B正確，符合題意；
C．根據位似的性質可得點A，O，三點在同一條直線上，故C正確，符合題意；
D．根據位似的性質可得，故D正確，符合題意；
故選：BCD．
題型四：求兩個位似圖形的相似比
【經典例題4】平面直角坐標系中， ABC與位似，位似中心是點，若點A坐標是，其對應點D的坐標是，那么 ABC與的相似比是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了位似變換．熟練掌握位似的性質是解題的關鍵．
由題意知，根據 ABC與的相似比為，計算求解即可．
【詳解】解：∵ ABC與位似，位似中心是點，點A坐標是，其對應點D的坐標是，
∴ ABC與的相似比為，
故選：A．
【變式訓練4-1】如圖，已知 ABC與位似，位似中心為，且 ABC的面積與的面積之比是，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了求兩個位似圖形的相似比，相似三角形的判定與性質綜合等知識點，熟練掌握位似圖形的性質以及相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．
根據位似圖形的性質得到，，根據相似三角形的性質得到，進而可證得，于是可得，設，則，，據此即可得出答案．
【詳解】解：與位似，位似中心為，
，，
的面積與的面積之比是，
與的相似比是，
即：，
，
，
，
設，則，，
，
故選：．
【變式訓練4-2】如圖，以點O為位似中心，將 ABC放大得到．若 ABC與的周長之比為，則的值為（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】本題考查的是位似變換，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的周長之比等于相似比．
根據題意求出 ABC與的位似比，得到相似比，周長之比等于相似比．
【詳解】解：∵將 ABC放大得到，
∴，，
∵ ABC與的周長之比為，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A．
【變式訓練4-3】如圖，正方形的兩邊，分別在平面直角坐標系的、軸的正半軸上，正方形與正方形是以的中點為中心的位似圖形，已知，若點的坐標為，則正方形與正方形的相似比是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長交于點E，根據大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可求兩個正方形的相似比．
【詳解】解：延長交于點E，如圖．

∵在正方形中，，
∴，
∵點的坐標為，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形與正方形是以的中點為中心的位似圖形，
∴，
∴，
∴，
∴正方形與正方形的相似比是．
故選：B．
【點睛】本題考查了位似變換和坐標與圖形的變化的知識，解題的關鍵是根據已知條件求得兩個正方形的邊長．
【變式訓練4-4】如圖， ABC與是位似圖形，點為位似中心， ABC與的面積之比為，則 ．
【答案】
【分析】本題考查位似圖形，根據位似圖形面積比是位似比的平方，對應點到位似中心的距離比也是位似比即可得解．
【詳解】解：∵ ABC與是位似圖形，點為位似中心， ABC與的面積之比為4：1，
∴，，
∴ ABC與的面積之比為，
∴
故答案為：．
【變式訓練4-5】如圖，與是以原點O為位似中心的位似圖形，點的坐標為，點A的坐標為，則相似比為 ．
【答案】
【分析】先由勾股定理算出，，再結合位似的性質進行列式代入數值，進行計算即可作答．本題考查位似變換，勾股定理，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．
【詳解】解：∵點的坐標為，點A的坐標為，
∴，，
∵與是以原點為位似中心的位似圖形，
∴，
∴相似比為，
故答案為：．
【變式訓練4-6】在平面直角坐標系中， ABC與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，則 ABC與的相似比為 ．
【答案】/
【分析】此題主要考查了位似變換，根據題意得出位似比是解題關鍵．利用位似圖形的性質，結合對應點的坐標得出位似比，即可得出答案．
【詳解】解：∵ ABC與關于原點位似，點及其對應點的坐標分別為，，
∴ ABC與的相似比為．
故答案為：．
題型五：畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形
【經典例題5】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出和．
(1)把 ABC先向上平移1個單位，再向右平移4個單位，得到；
(2)以圖中的O為位似中心，將作位似變換且放大到原來的兩倍，得到．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】此題主要考查了位似變換以及平移變換，根據題意確定對應點位置是解題關鍵．
（1）利用平移的性質分別作出對應點位置，再連線即可；
（2）直接利用位似圖形的性質作出對應點位置，再連線即可．
【詳解】（1）解：如圖所示．為所求；
（2）解：如圖所示．為所求．
【變式訓練5-1】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的的網格中建立平面直角坐標系， ABC的頂點都在格點（網格線的交點）上，，，點落在格點上．
(1)點的坐標為______，點的坐標為______．
(2)將 ABC向右平移4個單位長度得到，畫出．
(3)以點為位似中心，將 ABC放大為原來的2倍．得到．畫出．
【答案】(1)，
(2)見解析
(3)見解析
【分析】本題考查作圖﹣位似變換，平移變換等知識，解題的關鍵是掌握位似變換的性質，平移變換的性質．
（1）根據坐標系直接寫出坐標即可；
（2）利用平移變換的性質分別作出A，B，C的對應點即可；
（3）利用位似變換的性質分別作出A，B，C的對應點即可．
【詳解】（1）解：根據坐標系可得：；
（2）解：如圖所示，為所求；
（3）解：如圖所示，為所求．
【變式訓練5-2】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形網格中．
(1)畫出 ABC向上平移6個單位長度，再向右平移4個單位長度后的．
(2)以點為位似中心，將 ABC放大為原來的2倍，得到，請在網格中畫出．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖 位似變換：畫位似圖形的一般步驟為：先確定位似中心；再分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；接著根據位似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；然后順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．也考查了平移變換．
（1）先作出平移后點A、B、C的對應點、、，然后順次連接即可；
（2）以點B為位似中心，將 ABC放大為原來的2倍，得到即可．
【詳解】（1）解：為所求三角形；
（2）解：根據題意畫出圖形，為所求三角形．
【變式訓練5-3】如圖，在網格中，點A，B，C，O都在格點上，用無刻度直尺作圖并保留作圖痕跡．
(1)以O為位似中心，在網格中作，且 ABC與的位似比為．
(2)在線段上作點P，使．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查了作圖-位似變換：
（1）延長到使，延長到使，點在C點，則滿足條件；
（2）點向右4格的點與點向左2格點連接起來與交點即為點P，此時根據平行可得，即得到．
【詳解】（1）解：如圖：即為所求；
（2）解：如圖，點P即為所求．
【變式訓練5-4】如圖，在網格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度， ABC的頂點均在格點上．
(1)畫出 ABC先向上平移4個單位長度，再向右平移4個單位長度得到的；
(2)以點為位似中心，將按相似比放大，畫出放大后的，直接寫出的面積．
【答案】(1)見解析
(2)圖見解析，的面積為10
【分析】本題考查了作圖-位似變換：熟練掌握畫位似圖形的一般步驟是解決問題的關鍵．也考查了平移變換．
（1）把點A、B、C分別先向上平移4個單位長度，再向右平移4個單位得到對應的點，從而得到；
（2）延長到點使，延長到點使，延長到點使，從而得到，然后用一個矩形的面積分別減去三個直角三角形的面積去計算的面積．
【詳解】（1）解：如圖，為所作；
（2）如圖，為所作，
的面積
【變式訓練5-5】如圖， ABC在平面直角坐標系內三頂點的坐標分別為，，．
(1)畫出 ABC關于軸對稱的；
(2) ABC內部有一點，直接寫出經過（）中對稱變換后的對應點的坐標________；
(3)以點為位似中心，在點的下方畫出，使與 ABC位似，且位似比為．
【答案】(1)作圖見解析
(2)
(3)作圖見解析
【分析】（）根據軸對稱的性質作圖即可；
（）根據關于軸對稱的點縱坐標相同，橫坐標互為相反數即可求解；
（）根據位似圖形的性質作圖即可；
本題考查了作軸對稱圖形，作位似圖形，坐標與圖形，掌握軸對稱圖形和位似圖形的性質是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）解：∵點和點關于軸對稱，
∴點的坐標，
故答案為：；
（3）解：如圖所示，即為所求．
題型六：求位似圖形的對應坐標
【經典例題6】在平面直角坐標系中，，，現以原點O為位似中心畫出，使與相似比為，則A的對應點的坐標為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題考查了位似變換：在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或，利用關于以原點為位似中心的對應點的坐標特征，把點的A的橫縱坐標都乘以或得到A的對應點的坐標．
【詳解】解：∵以原點O為位似中心畫出，使與相似比為，
而，
∴A的對應點的坐標為或，
即或．
故選：C．
【變式訓練6-1】如圖，正方形和正方形是位似圖形，點的坐標為，點的坐標為，則這兩個正方形位似中心的坐標是 （ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根據位似變換中對應點的坐標的變化規律．因而本題應分兩種情況討論，一種是當和是對應頂點，和是對應頂點；另一種是和是對應頂點，和是對應頂點．本題考查位似變換，一次函數的性質等知識，解題的關鍵是學會構建一次函數解決交點問題，學會用分類討論的思想思考問題．
【詳解】解：正方形和正方形中和點的坐標分別為，，
、、，
（1）當和是對應頂點，和是對應頂點時，位似中心就是與的交點，
設所在直線的解析式為，
，
解得：，
此函數的解析式為，
當時，則，
與的交點坐標是；
（2）當和是對應頂點，和是對應頂點時，位似中心就是與的交點，
設所在直線的解析式為，
，
解得，
故此一次函數的解析式為①，
同理，設所在直線的解析式為，
，
解得：，
故此直線的解析式為②，
聯立①②得，
解得，
故與的交點坐標是．
綜上所述：位似中心的坐標是：或．
故選：D．
【變式訓練6-2】如圖，與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，，．若，則點C的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質，位似的性質．連接，由題意易得出為等腰直角三角形，根據位似得出為等腰直角三角形，再根據位似比得出，則，由直角三角形斜邊中線的性質得出，最后結合即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，
∵，，
∴為等腰直角三角形．
∵與是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為，
∴為等腰直角三角形，且，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
故選B．
【變式訓練6-3】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，以點O為位似中心，相似比為3，將放大，則點A的對應點的坐標為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】本題考查了位似圖形與坐標，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或．
【詳解】解：∵，以點O為位似中心，相似比為3，將放大，
∴點的坐標為或，
故選：C．
【變式訓練6-4】如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，以原點為位似中心，相似比為，把縮小，則點的對應點的坐標是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查的是位似變換，根據在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或計算．
【詳解】解：∵原點O為位似中心，相似比為，把縮小，，
∴點B的對應點的坐標為或，即或．
故選：D．
【變式訓練6-5】如圖， AOB的頂點A的坐標為，現以原點O為位似中心，畫一個三角形與 AOB位似，相似比為，則點A的對應點的坐標為（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分別討論 AOB的位似圖形在位似中心的同側和異側兩種情況，結合位似的性質可得答案．
本題考查了坐標系中位似，正確分類，活用位似性質是解題的關鍵．
【詳解】解：當 AOB的位似圖形在位似中心的同側時，位似對應點坐標為
故點A的對應點的坐標為；
當 AOB的位似圖形在位似中心的異側時，位似對應點坐標為
橫坐標為，縱坐標為，
故點A的對應點的坐標為．
綜上所述，點A的對應點的坐標為或．
故選：C．
題型七：求坐標系中兩個位似圖形的相似比、周長比和面積比
【經典例題7】已知在平面直角坐標系中的位置如圖所示：
(1)在圖中畫出 ABC沿x軸翻折后的；
(2)以點為位似中心，在第一象限畫出與位似的三角形，使與的相似比為；
(3)點的坐標___________； ABC與的周長比是___________， ABC與的面積比是___________．
【答案】(1)圖見解析
(2)圖見解析
(3)，，
【分析】本題考查坐標與圖形變換—軸對稱與位似：
（1）根據軸對稱的性質，畫出即可；
（2）根據位似的性質，畫出即可；
（3）直接寫出的坐標，根據相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方，求解即可．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，即為所求；
（3）由圖可知，，
∵翻折，
∴，
∵與的相似比為
∴與 ABC的相似比為，
∴ ABC與的周長比是，與的面積比是；
故答案為：，，．
【變式訓練7-1】如圖，四邊形與四邊形位似，點是它們的位似中心，若，則四邊形與四邊形的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查相似三角形及位似圖形的性質，利用位似圖形及相似三角形的性質即可求解，掌握相似三角形和位似圖形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：∵四邊形與四邊形位似，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形與四邊形的面積比為，
故選：．
【變式訓練7-2】在平面直角坐標系中， ABC與位似，位似中心是原點O．若對應點坐標分別為，，則 ABC與的面積比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了位似的定義，勾股定理，相似三角形的性質，由勾股定理得，，由位似的定義得，由相似三角形的性質，即可求解；理解位似的定義，掌握勾股定理，相似三角形的性質是解題的關鍵．
【詳解】解：，，
，
，
，
ABC與位似，
，
；
故選：C．
【變式訓練7-3】如圖， ABC與是位似圖形，位似中心為點O．若， ABC的周長為9，則的周長為（ ）
A．18 B．27 C．32 D．36
【答案】D
【分析】本題考查位似變換，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是掌握位似變換的性質．利用位似圖形，相似三角形的性質求解．
【詳解】解：與是位似圖形，點是位似中心，
，，
，
，
，
，
的周長為9，
的周長為36．
故選：D
【變式訓練7-4】在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點重合，頂點、恰好分別落在函數，的圖象上，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據反比例函數的幾何意義，可得，的面積；根據題意又可知這兩個直角三角形相似，根據面積比等于相似比的平方，即可求解，
本題考查了，反比例函數的幾何意義，相似三角形的判定與性質性質，將面積比轉化為相似比，解題的關鍵是：熟練掌握反比例函數的幾何意義．
【詳解】解：過點、分別作軸，軸，垂足為、，
∴
∴
點在反比例函數上，點在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故選：．
題型八：位似圖形綜合應用
【經典例題8】在如圖的方格紙中，的頂點坐標分別為、、，與是關于點P為位似中心的位似圖形．
(1)在圖中標出位似中心P的位置，并寫出點P及點B的對應點的坐標；
(2)的內部一點M的坐標為，寫出M在中的對應點的坐標．
【答案】(1)點P的坐標為，點的坐標為；
(2)點在中的對應點的坐標為．
【分析】本題考查作圖—位似變換及位似變換的性質．
（1）連接兩組對應點，并延長，延長線的交點即為位似中心；
（2）設點在中的對應點的坐標為，根據中點的性質，求出點的坐標即可．
【詳解】（1）解：如圖，點為所作；
；
點P的坐標為，點B的對應點的坐標為；
（2）解：設點在中的對應點的坐標為，
∵位似中心P的坐標為，點M的坐標為，
∴，，
解得，．
∴點在中的對應點的坐標為．
【變式訓練8-1】在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1， ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示．
(1)以點為位似中心，在網格內作出 ABC的位似圖形，若 ABC與的位似比為， ABC與的面積比是____________；
(2)將 ABC繞點逆時針旋轉后得到圖形，則點的運動路徑長為_________；
(3)若為圖中 ABC的外接圓，則圓心的坐標為________．
【答案】(1)圖見解析，
(2)圖見解析，
(3)
【分析】題目主要考查位似圖形的作法及旋轉圖形，外接圓圓心的確定，熟練掌握基本的作圖方法是解題關鍵．
（1）根據位似圖形的作法作圖即可，然后根據相似三角形的性質求解即可；
（2）根據旋轉圖形的作法作圖即可，然后利用弧長公示求解即可；
（3）找出邊的中垂線，交點即為外接圓的圓心，即可得出結果．
【詳解】（1）解：如圖所示即為所求，
∵ ABC與的位似比為，
∴ ABC與的面積比是，
故答案為：
（2）解：即為所求；
由網格得：，
∴，
故答案為：；
（3）如圖所示，為圖中 ABC的外接圓，由圖得，圓心的坐標為，
故答案為： ．
【變式訓練8-2】如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中， ABC的頂點在格點（網格線的交點）上，以點O為原點建立平面直角坐標系，點A的坐標為．
(1)將 ABC向左平移5個單位長度得到，畫出；
(2)以點O為位似中心，將放大到兩倍（即新圖與原圖的相似比為2），得到，在所給的網格中畫出；
(3)若點是 ABC內的一點，經過（1）、（2）兩次變換，點D的對應點的坐標是________．（用含a，b的代數式表示）
【答案】(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】
本題考查作圖位似變換、作圖平移變換，，解題的關鍵是：
（1）根據平移的性質作圖即可．
（2）根據位似的性質作圖即可．
（3）根據平移和位似的性質作圖可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．
（2）如圖，即為所求．
（3）經過（1）變換，點的對應點的坐標是，
經過（2）變換，點的對應點的坐標是．
故答案為：．
【變式訓練8-3】 ABC在坐標系的位置所示，三點的坐標分別為、、，請按要求完成任務：
(1)以坐標原點為位似中心，相似比為，在軸下方將 ABC放大得到．
(2)在（1）中，點的坐標為________；若線段上有一點，請直接寫出點的對應點的坐標為________．
(3)在（1）中，若點，分別是線段，的中點，則線段在中對應線段的長度為________．
【答案】(1)見解析
(2)；
(3)
【分析】本題主要考查了位似圖形的性質，掌握位似圖形的相似比是解題的關鍵．
（1）根據以坐標原點為位似中心，相似比為，得到三角形的頂點，依次連接即可；
（2）由點，以坐標原點為位似中心，相似比為，可得；
（3）點，分別是線段，的中點，則線段，相似比為，即可得：．
【詳解】（1）解：∵ ABC三個頂點的坐標分別為、、，且以坐標原點為位似中心，相似比為，
∴三個頂點的坐標分別為、、，
依次連接三個頂點可得，如下圖所示：
；
（2）解：由（1）得，
點的對應點的坐標為，
故答案為：；；
（3）解：∵點，分別是線段，的中點，
∴是 ABC的一條中位線，
∴，
∵相似比為，
∴，
故答案為：．
【變式訓練8-4】在平面直角坐標系中， ABC的位置如圖所示，每個小正方形的邊長為1．
(1)在圖（1）的第一象限內，對 ABC進行位似變換，以原點O為位似中心畫出（點A，B，C分別應點D，E，F），且 ABC與的相似比為，線段上一點經過變換后對應的點的坐標為______．
(2)在圖（2）畫出一個格點三角形（所畫的兩個三角形不全等），使其同時符合下列兩個條件：①與 ABC有公共角；②與 ABC相似但不全等．
【答案】(1)圖見解析，
(2)見解析
【分析】本題主要考查了畫位似圖形，相似三角形的判定，勾股定理，：
（1）把A、B、C的橫縱坐標分別除以2得到其對應點D，E，F的坐標，描出D，E，F，再順次連接D，E，F即可；把G的橫縱坐標都除以2，即可得到其對應點坐標；
（2）取格點D，則即為所求．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
線段上一點經過變換后對應的點的坐標為；
（2）解：如圖所示，即為所求；
可證明，再由，可證明．
【變式訓練8-5】如圖，在直角坐標平面內，點A的坐標為．
(1)以O為位似中心，畫出的位似圖形，相似比為，且位于位似中心異側；
(2)在x軸上找一點E，使得的面積，求點E的坐標．
【答案】(1)見解析
(2)點E的坐標為或．
【分析】本題考查了位似變換作圖，三角形的面積，坐標與圖形，解題的關鍵是掌握位似變換的性質正確作出圖形是解題的關鍵．
（1）利用位似變換的性質分別作出A，B，D的對應點，，，順次連接，，得出，即可解題；
（2）根據建立等式，求出的長，進而即可得到點E的坐標．
【詳解】（1）解：所作如圖所示：
（2）解：，
，
解得，
點A的坐標為，
點E的坐標為或．
【變式訓練8-6】如圖， ABC在帶有網格的平面直角坐標系中的位置．
(1)以點O為位似中心，在y軸右側作出 ABC的位似圖形，使得放大后的與 ABC的位似比為．
(2)若點P在 ABC內部， 且坐標為，寫出按（1）變化后的對應點的坐標 ．
(3)在圖中找到點M，使得， 寫出點M的坐標 ．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查了作圖位似變換，位似圖形的性質，線段垂直平分線的性質；
（1）根據關于以原點為位似中心的對應點的坐標特征，把點、、的橫縱坐標都乘以2得到點、、的坐標，然后描點即可；
（2） ABC每一個點縱坐標都乘以2得到得到內對應點，據此求點的坐標．
（3）找到，的垂直平分線交點即為點，觀察圖形寫出點M的坐標．
【詳解】（1）解：如圖即為所求：
（2）解： ABC每一個點縱坐標都乘以2得到得到內對應點，
∴按（1）變化后的對應點的坐標，
故答案為：；
（3）解：找到，的垂直平分線交點即為點，由圖形可得，
故答案為：．
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