資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題6.11 角度中的動態(tài)模型
角度的動態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1.旋轉(zhuǎn)中的求值模型 2
考點(diǎn)2.旋轉(zhuǎn)中的定值模型 4
考點(diǎn)3.旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系） 10
考點(diǎn)4.旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型 14
模塊3：能力培優(yōu) 15
1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：
①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：
1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；
2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；
3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。
變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角
③列——根據(jù)題意列方程求解。
注：①題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。
2、常見的三角板旋轉(zhuǎn)模型：
一副三角板有兩個，一個是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一個是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。
總之不管這個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏起來。
3、鐘表的相關(guān)問題
1）鐘表的表面特點(diǎn)：鐘表的表面一般都是一個圓形，共有12個大格，每個大格有5個小格，圓形的表面恰好對應(yīng)著一個周角360°，每個大格對應(yīng)30°角，每個小格對應(yīng)6°角。表面一般有時針、分針、秒針三根指針。
2）鐘表時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動情況：時針每時轉(zhuǎn)1大格，每12分轉(zhuǎn)1小格，每12時轉(zhuǎn)1個圓周；分針每5分轉(zhuǎn)1大格，每 1分轉(zhuǎn)1小格，每時轉(zhuǎn)1個圓周；秒針每5秒轉(zhuǎn)1大格，每1秒轉(zhuǎn)1小格，每1分轉(zhuǎn)1個圓周。
3）時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)速：有了以上的認(rèn)識，我們很容易計算出相應(yīng)指針的轉(zhuǎn)速，①鐘表的時針轉(zhuǎn)速為：30°/時或0.5°/ 分：②分針的轉(zhuǎn)速為：6°/分或0.1/°秒；③秒針的轉(zhuǎn)速為：6°/秒。
考點(diǎn)1.旋轉(zhuǎn)中的求值模型
例1．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）如圖1，已知，，在內(nèi)，在內(nèi)，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終有，．（本題中所有角均大于且小于等于）
(1)從圖1中的位置繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到與重合時，如圖2，則_____°；
(2)從圖2中的位置繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，求、的度數(shù)．（用 n的代數(shù)式表示）；(3)從圖2的位置繞點(diǎn) O逆時針旋轉(zhuǎn)（且），求的度數(shù)．
【答案】(1)100(2)，(3)
【分析】本題考查角的數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合是解答本題關(guān)鍵．（1）根據(jù)可得答案；（2）先分別表示出，，根據(jù)，求解即可；（3）分二種情況：①當(dāng)時，②當(dāng)時，畫出圖形計算即可．
【詳解】（1）∵，，∴，
∴；故答案為：100；
（2）如圖，∵，，，
∴，，
∵，，
∴，；
（3）①當(dāng)時，如圖，
∵，∴，，
∵，，
∴；
②當(dāng)時，如圖，
∵，∴，，
∴．
綜上所述：的度數(shù)為．
例2.（2024 浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？
（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）
【答案】（1），5；（2），；（3）經(jīng)過秒平分
【解析】（1），∵，∴
∵平分，，∴，∴
∴，解得：秒
（2）度 ∵，平分，∴
∴，∴解得：秒
（3）如圖：∵，
由題可設(shè)為，為，∴
∵，，解得：秒
答：經(jīng)過秒平分．
考點(diǎn)2.旋轉(zhuǎn)中的定值模型
例1．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，，角的頂點(diǎn)互相重合，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)射線，重合時，______，(2)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線，則的度數(shù)為______；
(3)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線始終在的內(nèi)部．
①普于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值為定值，請你求出這個定值；
②作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值，若變化，請求出變化的范圍．
【答案】(1)(2)或或(3)①；②度數(shù)不發(fā)生變化，為定值，理由見解析
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，角平分線的定義：（1）直接根據(jù)角之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）分當(dāng)是的角平分線時，當(dāng)是的角平分線時，當(dāng)是的角平分線時，三種情況討論求解即可；（3）①，則；②先由角平分線的定義得到，再由即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵，，
∴當(dāng)射線，重合時，，故答案為：；
（2）解：如圖2-1所示，當(dāng)是的角平分線時，則；
如圖2-2所示，當(dāng)是的角平分線時，則；
如圖2-3所示，當(dāng)是的角平分線時，則；
綜上所述，的度數(shù)為或或；
（3）解：①如圖所示，∵，，
∴，
∴；
②度數(shù)不發(fā)生變化，為定值，理由如下：
∵，，∴，
∵，分別是和的平分線，
∴，
∴．
例2．（2023·河南南陽·七年級校考期末）將一副三角尺如圖①擺放，，，現(xiàn)將繞點(diǎn)C以/秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒．

(1)如圖②，當(dāng)______時，恰好平分；(2)如圖③，當(dāng)______時，恰好平分；
(3)如圖④，當(dāng)______時，恰好平分；
(4)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；
(5)若旋轉(zhuǎn)到如圖⑥的位置，（4）中結(jié)論是否發(fā)生變化？請說明理由．
【答案】(1)4(2)7(3)10(4)(5)不變，，理由見解析；
【分析】（1）如圖，由題意可得：，而，，
再證明，而，再建立方程求解即可；
（2）如圖，證明，，再建立方程求解即可；
（3）如圖，證明，，同理：，而，可得，從而可得答案；（4）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案；（5）先表示，可得，同理可得，而，再利用角的和差可得答案．
【詳解】（1）解：如圖，由題意可得：，而，
∴，

∵平分，∴，而，∴，解得：；
（2）如圖，∵，平分，∴，
∵，，∴，∴，解得：；
（3）如圖，∵，恰好平分，∴，，
同理：，而，∴，解得：；
（4）如圖，∵，，∴，

∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
（5）如圖，∵，，∴，
∵平分，∴，
∵，，∴，
∵平分，∴，
而，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角的動態(tài)定義，角的和差運(yùn)算，角平分線的含義，一元一次方程的應(yīng)用，熟練的畫出符合題意的圖形，再利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關(guān)鍵．
例3．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）已知，為內(nèi)部的一條射線，．
(1)如圖1，若平分，為內(nèi)部的一條射線，，則 ；
(2)如圖2，若射線繞著O點(diǎn)從開始以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束、繞著O點(diǎn)從開始以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，當(dāng)一條射線到達(dá)終點(diǎn)時另一條射線也停止運(yùn)動．若運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，求t的值；
(3)如圖3，若射線繞著O點(diǎn)從開始以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，平分，試問：在某時間段內(nèi)是否為定值？若不是，請畫出圖形，并說明理由；若是，請畫出圖形，并直接寫出這個定值以及t相應(yīng)所在的時間段．（題中的角均為大于且小于的角）
【答案】(1)(2)3或(3)當(dāng)時，；當(dāng)時，
【分析】本題考查了角平分線的定義、角的和差倍分．（1）先根據(jù)角平分線的定義求出的度數(shù)，再根據(jù)角的倍差求出的度數(shù)，最后根據(jù)角的和差即可；（2）先求出的度數(shù)和t的最大值，從而可知停止運(yùn)動時，在的右側(cè)，因此，分在左側(cè)和右側(cè)兩種情況，再根據(jù)列出等式求解即可；（3）因本題中的角均為大于且小于的角，則需分與在一條直線上、與在一條直線上、與在一條直線上三個臨界位置，從而求出此時t的取值范圍，并求出各范圍內(nèi)和的度數(shù)，即可得出答案．
【詳解】（1）解：平分，
，故答案為：；
（2）
由題意知，當(dāng)轉(zhuǎn)到時，兩條射線均停止運(yùn)動
此時（秒）則停止轉(zhuǎn)動時，
即從開始旋轉(zhuǎn)至停止運(yùn)動，始終在OC的右側(cè) 因此，分以下2種情況：
①當(dāng)在左側(cè)時，
則由得，解得
②當(dāng)在右側(cè)時，
則由得，解得 綜上，t的值為3或7.5；
（3）射線從開始轉(zhuǎn)動至結(jié)束時，轉(zhuǎn)動時間為（秒）
由題意，分與在一條直線上（）、與在一條直線上（）、與在一條直線上（）三個臨界位置
①當(dāng)時，如圖1所示
此時，
則為定值
②當(dāng)時，如圖2所示
此時，
則不為定值
③當(dāng)時，如圖3所示
此時，
則為定值
④當(dāng)時，如圖4所示
此時，
則不為定值
綜上，當(dāng)或時，為定值．
考點(diǎn)3.旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）
例1．（23-24七年級上·上海·期末）已知，射線在的內(nèi)部，射線，分別是和的角平分線．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)請從下面，兩題中任選一題作答，我選擇　題．
．如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)為　　．
．若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．
【答案】(1)(2)選擇A: ；選擇B：∠EOF的度數(shù)是或
【分析】本題考查的是角的計算，角平分線的定義，熟知從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類思想的運(yùn)用．
（1）先求出度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，求和即可得出答案；
（2）．根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可；
．分兩種情況：①射線，只有1個在外面，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；②射線，個都在外面，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．
【詳解】（1）解：，，，
，分別是和的角平分線，
，，；
（2）解：選擇題．，分別是和的角平分線，
，，
；故答案為：；
選擇題．①射線，只有1個在外面，如圖3①，

．
②射線，個都在外面，如圖3②，
．
故的度數(shù)是或．
例2．（23-24七年級上·重慶九龍坡·期末）點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，使，平分（如圖1）． 將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，設(shè)直角三角板兩直角邊分別為、（，）． 邊在射線上．
(1)在圖1中， ；(2)如圖2所示，將直角三角板繞點(diǎn)O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)與垂直時，則旋轉(zhuǎn)時間t的值為多少秒？(3)將直角三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)在內(nèi)部運(yùn)動時，請直接寫出此時與的數(shù)量關(guān)系．
【答案】(1)；(2)或時與垂直；(3)
【分析】（1）本題考查有關(guān)角平分線的計算，根據(jù)得到，結(jié)合角平分線即可得到答案；（2）本題考查角度旋轉(zhuǎn)問題，根據(jù)垂直列式求解即可得到答案；（3）本題考查角度旋轉(zhuǎn)問題，設(shè)，分別表示出，，即可得到答案
【詳解】（1）解：∵，∴，
∵平分，∴；
（2）解：由題意可得，
①當(dāng)在之內(nèi)時，由（1）得，，
∵，∴，即：，解得：，
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過時，如圖，
，
∵，∴，即：，解得：，
綜上所述：或時與垂直；
（3）解：由題意可得，如圖所示，
設(shè)，∵， ∴，
，∴．
例3．（23-24七年級上·河南周口·期末）特例感知（）如圖，線段，，線段在線段上運(yùn)動（點(diǎn)不超過點(diǎn)，點(diǎn)不超過點(diǎn)），分別是的中點(diǎn)．在線段運(yùn)動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？如果不變，求出的長度；如果變化，請說明理由；
知識遷移（）我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖，在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，射線和射線分別平分和．①若，，則__________；
②請你猜想，和三個角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
類比探究（）如圖，在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若，，，，直接寫出用含有的式子表示的度數(shù)．
【答案】（）線段的長度不會發(fā)生變化，理由見解析；
（）；，理由見解析；（）．
【分析】（）由線段中點(diǎn)得到，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可求解；（）由角平分線得到，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；．根據(jù)的方法即可求解；（）根據(jù)，代入已知條件即可求解；本題考查了線段中點(diǎn)以及角平分線的定義，熟練掌握線段中點(diǎn)以及角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（）線段的長度不會發(fā)生變化，
∵、分別是的中點(diǎn)，，，，
，，，
，；
（）∵射線和射線分別平分和，
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，故答案為：；
，
理由：和分別平分和，，，
∴，
∵，∴，
∴，，，
即；
（），，，
，，，．
考點(diǎn)4.旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型
例1．（23-24七年級上·遼寧營口·期末）數(shù)學(xué)活動課上同學(xué)們對所學(xué)知識深入思考，如圖1，點(diǎn)C在線段上，圖1中共有三條線段，，，若其中有兩條線段長度比為，則命名點(diǎn)C為線段的“幸福點(diǎn)”；此模型下，如圖2射線在的內(nèi)部，圖2中共有三個角，，，若其中有兩個角的度數(shù)比為，則命名射線為的“幸福線”．
(1)線段的中點(diǎn)是否為這條線段的“幸福點(diǎn)”，說明理由；(2)若，點(diǎn)C為線段的“幸福點(diǎn)”，求線段的長度；(3)如圖3，已知，射線從出發(fā)，以的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線從出發(fā)，以的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時，運(yùn)動停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的時間為，當(dāng)t為何值時，射線是以射線、為邊構(gòu)成角的“幸福線”，并說明理由．
【答案】(1)是，理由見詳解(2)9或6或12(3)或或，理由見詳解
【分析】本題主要考查再新定義下線段的數(shù)量關(guān)系和角度之間的關(guān)系，以及一元一次方程的應(yīng)用，
根據(jù)線段中的關(guān)系和“幸福點(diǎn)”的定義即可求得；分情況討論點(diǎn)C的位置，結(jié)合“幸福點(diǎn)”定義找到對應(yīng)關(guān)系計算即可；計算射線和射線移動過程中所形成的角，分情況討論構(gòu)成角的“幸福線”所在位置，找到對應(yīng)關(guān)系計算即可；
【詳解】（1）解：是，理由如下：∵點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，∴，∴，
則線段的中點(diǎn)是這條線段的“幸福點(diǎn)”；
（2）∵點(diǎn)C為線段的“幸福點(diǎn)”，，∴，或，或；
當(dāng)，則；當(dāng)，則，解得；
當(dāng)，則，解得，那么；
綜上所述，線段的長度9或6或12；
（3）根據(jù)題意得，，則，，
當(dāng)重合時，，解得，∴射線與射線運(yùn)動時間為，
∵射線是以射線、為邊構(gòu)成角的“幸福線”，
∴，或，或，
當(dāng)時，則，解得；
當(dāng)時，則，解得；
當(dāng)時，則，解得；
綜上所述，t為或或時，射線是以射線、為邊構(gòu)成角的“幸福線”．
例2．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，若，則______，______；
(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，的度數(shù)是多少？（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時的值．
【答案】(1)；(2)；或
【分析】本題考查了角平分線的定義，幾何圖形中的角度計算，數(shù)形結(jié)合，分情況討論是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)，以及角的和差計算即可；
（2）①先求，再利用得出結(jié)論；
②分兩種情況討論：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時；當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，解答即可．
【詳解】（1）解：，∴，∵，∴，
∵，∴；
∵，，
∴；故答案為：；．
（2）解：①∵，，∴，
∵射線是的角平分線，∴，
∴，
∵，∴；故答案為：；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到左側(cè)時，如圖所示：∵是的角平分線，∴，

∵，∴，∴，
∵，∴，
∴；
當(dāng)旋轉(zhuǎn)到右側(cè)時，如圖所示：設(shè)，∵，∴，∵是的角平分線，∴，
∵，∴，解得：，∴，
∴；綜上分析可知，的值為：或．故答案為：或．
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共2小題，每小題4分，共8分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024·江蘇·七年級校考期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)，一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線也以每秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為秒（），當(dāng)平分時，的值為（　 ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)轉(zhuǎn)動較小角度的平分時，；當(dāng)轉(zhuǎn)動較大角度的平分時，；分別依據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可得到的值．
【解析】解：分兩種情況：
①如圖平分時，，即，解得；
②如圖平分時，，即，解得．
綜上所述，當(dāng)平分時，的值為2.5或32.5．故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查角的動態(tài)問題，理解題意并分析每個運(yùn)動狀態(tài)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；
③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；
④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】結(jié)合圖形根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計算即可判斷．
【詳解】①如圖可得，所以平分，①正確；
②當(dāng)時，設(shè)，∵平分，∴，
∴ ，，
∴，
當(dāng)時，設(shè)，∵平分，∴，
∴，∴，
∴，∴，故②正確；
③時，時，時故③正確；
④當(dāng)時，當(dāng)時，故④錯誤；
綜上所述，正確的結(jié)論為①②③；故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的和差，角的平分線，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵根據(jù)題意正確進(jìn)行角的和差計算．
二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，共48分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
3．（23-24七年級下·浙江金華·期末）定義：從一個角的頂點(diǎn)引一條射線，把這個角分成兩個角，并且這兩個角的度數(shù)之比為1:2，這條射線叫做這個角的三分線．顯然，一個角的三分線有兩條．如，，是的兩條三分線，以點(diǎn)為中心，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時，的值為 ．
【答案】或
【分析】根據(jù)題意將本題分成兩種情況討論①，②，根據(jù)兩種情況分別討論并計算即可．
【詳解】解：∵，，是的兩條三分線，
∴，
①當(dāng)，如圖，
如原圖所示：，所以；
②當(dāng)時，如圖，
則，所以，．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查角的運(yùn)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，能夠熟練掌握分類討論思想是解決本題的關(guān)鍵．
4．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，將直角三角板的直角頂點(diǎn)落在直線上，射線平分，，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中與均指大于且小于的角）將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）．
【答案】或
【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，分在上方和下方兩種情況解答：先求出，再根據(jù)角平分線的定義求出，結(jié)合三角板的度數(shù)計算即可求解，根據(jù)題意，運(yùn)用分類討論思想進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：當(dāng)在上方時，如圖，
∵，∴，，
∵平分，∴，
∴；
當(dāng)在下方時，如圖，∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴；
∴的度數(shù)為或，故答案為：或．
5．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）如圖，于點(diǎn)，，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度順時針向終邊旋轉(zhuǎn)，同時，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度順時針向終邊旋轉(zhuǎn)，當(dāng)、中有一條射線到達(dá)終邊時，另一條射線也隨之停止．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
【答案】或
【分析】分和，兩種情況進(jìn)行討論求解即可．
【詳解】解：由題意，得：的運(yùn)動時間為：秒，的運(yùn)動時間為：秒；
∴運(yùn)動的時間相同；設(shè)運(yùn)動時間為秒，則：，
∵，∴，
當(dāng)時：，
∴，，∴，∴，
∴，即：；
當(dāng)，在上方時：如圖，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
當(dāng)，在下方時：如圖2，，
∴，，
∴，∴，∴，即：；
綜上：與之間的數(shù)量關(guān)系為或；故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
6．（23-24七年級下·河南鄭州·開學(xué)考試）如圖，和都是直角．固定不動，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，下列結(jié)論正確的有 ．
①如果，那么；②是定值；③若變小，則變大；④.
【答案】①②③④
【分析】由題意得到，，進(jìn)行整理即可分別進(jìn)行判斷．
【詳解】解：，，
，，
，
即，即，
當(dāng)，則，故①正確；
，，故②正確；
，若變小，則變大，故③正確；
，
，，故④正確；
綜上所述，故答案為：①②③④．
【點(diǎn)睛】本題考查了角的有關(guān)計算；解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形對角進(jìn)行正確拆分、組合．
7．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）如圖，點(diǎn)O是直線上的一點(diǎn)，射線在直線的上方且，有一大小為的可繞其頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，其中射線分別平分、，當(dāng)時， ．
【答案】/12度
【分析】分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在直線上方時，當(dāng)點(diǎn)E在直線下方時，用含x的式子分別表示出和，再由，建立關(guān)于x的方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)，
當(dāng)點(diǎn)E在直線上方時，則，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，即；
當(dāng)點(diǎn)E在直線下方時，則，
∵平分，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，解得：，此時，
∴此情況不存在，舍去；故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了角的計算，畫出圖形，分類討論思想和方程思想是解決問題的關(guān)鍵．
8．（23-24七年級上·江蘇南京·期末）如圖，已知，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使射線的夾角為，平分，，，則的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）．

【答案】或
【分析】本題考查了角平分線的定義、幾何圖中角度的計算，分兩種情況：當(dāng)在外部時，當(dāng)在內(nèi)部時，分別計算即可得出答案，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，當(dāng)在外部時，由題意可得：，
， ，
，，
平分，，
；
如圖，當(dāng)在內(nèi)部時，由題意可得：，
，，
平分，，
；
綜上所述：的度數(shù)為或，故答案為：或．
9．（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖，點(diǎn)G為直線上一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)G逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時停止旋轉(zhuǎn)；在旋轉(zhuǎn)過程中，射線始終平分；當(dāng)，三條射線中有一條是另外兩條射線所成夾角的平分線時，的度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計算，分平分和平分兩種情況進(jìn)行討論求解即可．理清角度之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，當(dāng)平分時：則：，
∵平分；∴，
∵，∴，∴，
∴的度數(shù)為；
當(dāng)平分時，則：，
∵平分；∴，∴，
∴，∴；
綜上：的度數(shù)為或；故答案為：或．
10．（23-24七年級上·河北唐山·期中）如圖，已知，當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)且在內(nèi)部時， ．
【答案】/150度
【分析】本題主要考查了平面圖形中角的計算，設(shè)，求出，，是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)，∵，
∴，，
∴．故答案為：．
11．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當(dāng)三角板繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（從圖到圖）．設(shè)圖、圖中的的度數(shù)分別為，， 度．

【答案】105
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)分別求出，的值，計算即可．
【詳解】解：如圖1：∵，，，

∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
即，∴；
如圖2：∵，，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，即，
∴；∴；故答案為：105．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（23-24七年級·江西南昌·期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值為 秒．（旋轉(zhuǎn)過程中，，都只考慮小于的角）

【答案】1或13或25
【分析】利用角平分線求出，，求出，，求出，由角平分線，求出，，再分平分，平分，平分三種情況討論求解即可．
【詳解】解：∵，∴，
∵平分，∴，
∵，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
分情況討論：①當(dāng)平分時，

∵，∴，即：，
∴，∴；
②平分時，則：，∴，∴；
③當(dāng)平分時：則：，∴，
∴點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度為：，∴；
綜上：的值為：1或13或25．故答案為：1或13或25．
【點(diǎn)睛】本題考查幾何圖形中角度的計算．正確的識圖，理清角的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．
13．（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，．若在平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，分別作和平分線OP、OQ，則的度數(shù)為 ．
【答案】或
【分析】分三種情況畫出圖形求解即可．
【詳解】設(shè)，，如圖1，
∵OP、OQ分別是和平分線，∴，
∴，
∴；
如圖2，∵，
∵OP、OQ分別是和平分線，∴，
∴
；
如圖3，∵OP、OQ分別是和平分線，∴，
∴
；故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，線段的和差，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
14．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）如圖，分別過直線上的點(diǎn)和點(diǎn)作射線、，，，射線從開始繞著點(diǎn)以度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線從開始繞著點(diǎn)以度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，在射線旋轉(zhuǎn)一周的過程中，經(jīng)過 秒，射線、射線所在的直線互相垂直．
【答案】或
【分析】設(shè)經(jīng)過秒時，射線、射線所在的直線互相垂直，將線段，沿線段平移，使點(diǎn)與點(diǎn)重合且，；根據(jù)題意，則（為整數(shù)）時，，，，等量代換，則，解出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周，求出的取值范圍，根據(jù)代入，確定的取值，即可．
【詳解】如圖，所示
設(shè)經(jīng)過秒時，射線、射線所在的直線互相垂直，
將線段，沿線段平移，使點(diǎn)與點(diǎn)重合且，，
當(dāng)（為整數(shù)）時，，
∵，∴，
∴（為整數(shù)），解得：，
∵射線旋轉(zhuǎn)一周，∴，∴，∴（為整數(shù)），
∴（為整數(shù)），∴為，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
綜上所述：經(jīng)過或秒時，射線、射線所在的直線互相垂直．故答案為：或．
三、解答題（本大題共11小題，共64分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（23-24七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）綜合與實踐
【問題情境】利用旋轉(zhuǎn)開展數(shù)學(xué)活動，探究體會角在旋轉(zhuǎn)過程中的變化，
【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，且兩個角重合．
（1）將繞著頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)如圖②，此時平分_________；的余角有_________個（本身除外），分別是_________．
【實踐探究】（2）將繞著頂點(diǎn)O順時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)如圖③位置，若，射線在內(nèi)部，且請?zhí)骄浚?br/>①的補(bǔ)角有_________個，分別是：__________________．②求的度數(shù)
理由如下：（請利用圖中的字母和數(shù)字完成證明過程）
因為，所以_________，_________．
又因為，所以_________．
【答案】（1）；2；和（2）①3；、、；②15；30；120
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，余角的定義進(jìn)行解答即可；
（2）①根據(jù)補(bǔ)角的定義進(jìn)行解答即可；②根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：（1）∵將繞著頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45，∴，
∵，∴，∴，∴平分；
∵，，
∴和是的余角，共2個；故答案為：；2；和．
（2）①∵，
∴，，，
∴，，，
∴的補(bǔ)角有3個，分別是：、、；
②∵，，∴，，
又∵，∴；
故答案為：①3；、、；②15；30；120
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)，余角、補(bǔ)角、角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握余角和補(bǔ)角的定義．
16．（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）操作：在一張白紙上畫一條直線，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．
(1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)都在直線上方時，試判斷與的度數(shù)之和是多少，并說明理由；(2)如圖（2），把直角三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A在直線的下方，點(diǎn)仍在直線的上方，用測量或分析的方法完成下表，并判斷與的數(shù)量關(guān)系．結(jié)論：______；
的度數(shù) 的度數(shù) 與的差
(3)如圖（3），繼續(xù)把直角三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A和點(diǎn)B都在直線的下方，你發(fā)現(xiàn)與又有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？請直接寫出結(jié)論：______．
【答案】(1)，理由見解析(2)表格見解析(3)
【分析】本題主要考查了幾何圖形中角的計算，三角板中角的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握各個角之間的數(shù)量關(guān)系．（1）根據(jù)進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)圖形，求出，然后根據(jù)平角再求出即可；（3）根據(jù)，，進(jìn)行解答即可．
【詳解】（1）解：∵，∴，即．
（2）解：∵，，∴，
∴，∴；
∵，，∴，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
的度數(shù) 的度數(shù) 與的差
（3）解：∵，∴，
∴
，故答案為：．
17．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期末）已知是內(nèi)部的一條射線，M，N分別是邊，上的點(diǎn)，線段，分別以，的速度同時繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)．
(1)如圖①若，當(dāng)、逆時針旋轉(zhuǎn)2s時，分別到、處，求的值；(2)如圖②，若分別在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，總有，求的值；(3)如圖③，C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿線段向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動，M，N兩點(diǎn)的速度比是．若運(yùn)動過程中始終有，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題主要考查了角的和差，線段的和差，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對于（1），根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，再表示，然后根據(jù)的度數(shù)，可得答案；對于（2），設(shè)旋轉(zhuǎn)時間是ts，并表示，即可得出，最后代入可得結(jié)論；對于（3），根據(jù)題意可得，再根據(jù)，可得，然后代入得出答案．
【詳解】（1）∵線段分別以每秒，的速度繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)2s，
∴，，∴，
∴．
∵，∴；
（2）設(shè)旋轉(zhuǎn)時間是ts，則，
∵，∴，則，
∴；
（3）∵M(jìn)，N兩點(diǎn)的速度之比是，∴．
∵，∴，∴，∴．
18．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）知識準(zhǔn)備：
如圖①，點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心的圓上，若點(diǎn)P用時5分鐘在圓上繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一圈，此時點(diǎn)P剛好繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個周角，即360度，則稱此時點(diǎn)P繞點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)速度為：度/分鐘．
解決問題：如圖②， A、B兩點(diǎn)相距60厘米，點(diǎn)O在線段上且厘米，角度，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿直線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動．
（1）在點(diǎn)Q運(yùn)動的同時點(diǎn)P繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，當(dāng)點(diǎn)P第一次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，求點(diǎn)Q的速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動的同時，點(diǎn)O也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)P仍然以45度/分鐘的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，求此時點(diǎn)Q的速度．

【答案】（1）18厘米/分鐘；（2）7厘米/分鐘
【分析】（1）根據(jù)題意可求出點(diǎn)P的運(yùn)動時間，由點(diǎn)P第一次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，即得出點(diǎn)Q的運(yùn)動時間與點(diǎn)P的運(yùn)動時間相等，再求出點(diǎn)Q運(yùn)動的距離，最后由速度=路程÷時間求解即可；（2）求出點(diǎn)P的運(yùn)動時間，即得出點(diǎn)O的運(yùn)動時間和點(diǎn)Q的運(yùn)動時間，從而可求出點(diǎn)O的運(yùn)動距離，再求出點(diǎn)Q的運(yùn)動距離，最后根據(jù)速度=路程÷時間求解即可．
【詳解】解：（1）∵，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動時間為：分鐘．
∵點(diǎn)P第一次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為2分鐘，且此時點(diǎn)Q運(yùn)動的距離為厘米，
∴點(diǎn)Q的速度為厘米/分鐘；
（2）當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動到直線上時，點(diǎn)P繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)了，
∴此時點(diǎn)P的運(yùn)動時間為：分鐘．
∵點(diǎn)O也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，∴點(diǎn)O的路程為厘米．
∵點(diǎn)P第二次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，
∴點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為6分鐘，且此時點(diǎn)Q運(yùn)動的距離為厘米，
∴點(diǎn)Q的速度為厘米/分鐘．
【點(diǎn)睛】本題考查線段上的動點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用和掌握速度=路程÷時間．
19．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）鐘面上的數(shù)學(xué)
基本概念：鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕牵鐖D1，即為某一時刻的鐘面角，通常
[簡單認(rèn)識]時針和分針在繞點(diǎn)O一直沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)，時針每小時轉(zhuǎn)動的角度是，分針每小時轉(zhuǎn)動一周，角度為．由此可知：
（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動 °，分針每分鐘轉(zhuǎn)動 °：
[初步研究]（2）已知某一時刻的鐘面角的度數(shù)為，在空格中寫出一個與之對應(yīng)的時刻：
①當(dāng)時， ；②當(dāng)時， ；
（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點(diǎn)04分，此時鐘面角 ．
[深入思考]（4）在某一天的下午2點(diǎn)到3點(diǎn)之間（不包括2點(diǎn)整和3點(diǎn)整）．
①時針恰好與分針重疊，則這一時刻是 ；時針恰好與分針垂直，求此時對應(yīng)的時刻是 ；
②記鐘面上刻度為3的點(diǎn)為C，當(dāng)鐘面角的兩條邊所在射線與射線中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，請直接寫出此時對應(yīng)的時刻．
【答案】（1）；6；（2）答案不唯一；②答不唯一案；（3）；（4）①2點(diǎn)分；2點(diǎn)分；②2點(diǎn)6分和2點(diǎn)分，2點(diǎn)分
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，鐘面角．（1）根據(jù)1小時分解答即可；（2）鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間的夾角為，找到時針和分針相隔3個數(shù)字的時刻和相隔6個數(shù)字的時刻即可；（3）鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間有5格，鐘表上8點(diǎn)04分，時針轉(zhuǎn)了格，分針指向4，據(jù)時針和分針的速度即可求解；（4）①設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點(diǎn)x分，根據(jù)時針和分針轉(zhuǎn)動的角度相同即可求解；②令時針?biāo)谥本€為，分針?biāo)谥本€為，分兩種情況求解即可．
【詳解】解：（1）∵時針每小時轉(zhuǎn)動的角度是，分針每小時轉(zhuǎn)動一周，角度為．
∴時針每分鐘轉(zhuǎn)動，分針每分鐘轉(zhuǎn)動，故答案為：；6；
（2）①某個時刻的鐘面角α為，可為或，②某個時刻的鐘面角α為，可為，
故答案為：①或；②；
（3）鐘表12個數(shù)字，每相鄰兩個數(shù)字之間有5格，鐘表上8點(diǎn)04分，時針轉(zhuǎn)了格，分針指向4，則時針轉(zhuǎn)動的角度是，分針轉(zhuǎn)動的角度是，
此時鐘面角，
∵，∴，故答案為：；
（4）①時針恰好與分針重疊：設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點(diǎn)x分，根據(jù)題意得，
，解得，，∴這一時刻是2點(diǎn)分，故答案為：2點(diǎn)分；
時針恰好與分針垂直：設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點(diǎn)y分，則有：
或，解得：或，
∵時為3點(diǎn)整，不合題意，舍去，∴此時對應(yīng)的時刻是2點(diǎn)分；
②令時針?biāo)谥本€為，分針?biāo)谥本€為，設(shè)此時對應(yīng)的時刻是2點(diǎn)m分，為和角平分線時：，解得：；
為和角平分線時：，解得：；
為時針，為分針，平分時：，，
∵平分，∴，∴，解得：，
答：當(dāng)鐘面角的兩條邊所在射線與射線中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，此時對應(yīng)的時刻在2點(diǎn)6分和2點(diǎn)分，2點(diǎn)分．
20．（23-24七年級上·浙江紹興·期末）如圖①，射線在內(nèi)部，圖中共有三個角：，，，若其中有一個角的角度是另一個角的兩倍，則稱射線為的“倍分線”．
(1)若射線是的角平分線，則射線________（填“是”或“不是”）的“倍分線”；
(2)如圖②，若，射線為的“倍分線”，求；
(3)若，射線從射線的位置開始，繞點(diǎn)逆時針以每秒的速度向射線運(yùn)動，當(dāng)射線到達(dá)射線時停止運(yùn)動，運(yùn)動的時間為秒，同時射線從射線的位置開始以每秒的速度向射線運(yùn)動，如圖③所示，并與射線同時停止，則當(dāng)經(jīng)過多少秒時，射線是的“倍分線”．
【答案】(1)是；(2)或或；(3)或或秒
【分析】本題考查了角度的計算，一元一次方程的應(yīng)用，正確理解“倍分線”的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵，注意分類討論．（1）根據(jù)“倍分線”的定義分析即可；（2）分三種情況討論：當(dāng)時；當(dāng)時；時，利用“倍分線”的定義分別求解即可；（3）由題意可知，，，，分三種情況討論：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時，利用“倍分線”的定義分別求解即可．
【詳解】（1）解：射線是的角平分線，
，射線為的“倍分線”，故答案為：是；
（2）解： ①如圖1，當(dāng)時，；
②如圖2，當(dāng)時，，；
③如圖3，時，，
，，綜上可知，的度數(shù)為或或；
（3）解：由題意可知，，，，
①當(dāng)時，此時，
則，解得：；
②當(dāng)時，則，解得：，
③當(dāng)時，此時，
則，解得：；
綜上可知，當(dāng)經(jīng)過或或秒時，射線是的“倍分線”．
21．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖，是直線上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，從出發(fā)，每秒旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，以相同的速度從出發(fā)，射線與同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，都停止運(yùn)動．
(1)猜想：__________，并說明理由；
(2)已知射線始終平分，射線在內(nèi)，且滿足與互余．
①當(dāng)秒時，__________；
②在運(yùn)動過程中，試探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【答案】(1)180，理由見解析(2)①60；②，理由見解析
【分析】本題主要考查了有關(guān)角平分線的計算，余角的定義：
（1）根據(jù)題意可得，再由，即可求解；
（2）①根據(jù)題意可得，再由余角的定義，即可求解；②根據(jù)題意可得，再根據(jù)角平分線的定義可得，再由余角的定義，可得，然后分別求出與的度數(shù)，即可求解．
【詳解】（1）解：，理由如下：
根據(jù)題意得：，∵，∴；故答案為：180
（2）解：①當(dāng)秒時，，
∵與互余，∴；故答案為：60
②，理由如下：如圖，
根據(jù)題意得：，∵射線始終平分∴，
∵與互余，∴，∴，
∴，∴．
22．（23-24七年級上·浙江臺州·期末）定義：當(dāng)射線在內(nèi)部，時，我們稱為射線在內(nèi)的角值，記作．如圖1，若，，則，則．
(1)如圖1，射線在內(nèi)部，若，則_________；若，則__________；(2)如圖2，已知，射線，分別從射線和同時開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到射線時，射線，停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動時間為秒．①若射線，的運(yùn)動速度均為每秒，試用含的式子表示和，并直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系；②若射線，的運(yùn)動速度分別為每秒和，射線到達(dá)射線后立即以原速返回，則當(dāng)為何值時，
(3)如圖3，在鐘面內(nèi)有三條射線，和，分別指向12點(diǎn)，4點(diǎn)，8點(diǎn)．射線，同時從射線開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時到射線停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)，當(dāng)射線運(yùn)動到的內(nèi)部時，請用含的式子表示．
【答案】(1)，(2)①；②的值為3或7(3)
【分析】（1）根據(jù)角值的定義進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，即可作答．（2）①根據(jù)運(yùn)動時間為秒和射線，的運(yùn)動速度均為每秒，即可作答；②射線，的運(yùn)動速度分別為每秒和，先用含的代數(shù)式表達(dá)和，再代入，計算化簡求值，即可作答．
（3）根據(jù)三條射線，和的起點(diǎn)和運(yùn)動方向，列出含的代數(shù)式，結(jié)合和射線運(yùn)動到的內(nèi)部這兩個條件，即可作答．
【詳解】（1）解：依題意，∵射線在內(nèi)部，若，則；
∵，∴；
（2）解：①由題意可知，．
，，．
，，
．．
②運(yùn)動到時，，停止運(yùn)動，，．
當(dāng)時，，，．
，若，則，解得．
當(dāng)時，，，
同理可由，解得．綜上，的值為3或7．
（3）解：由射線所對應(yīng)的時間可知．
，同時到射線停止旋轉(zhuǎn)，的速度是的2倍，，
，，．
當(dāng)射線運(yùn)動到內(nèi)部時，，，
．
【點(diǎn)睛】本題以新定義的形式考查角的運(yùn)動型問題，涉及到列代數(shù)式，新定義以及角的運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題中的新定義，能根據(jù)射線運(yùn)動過程中角度的變化進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸愑懻摚?br/>23．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖，已知，射線從位置出發(fā)，以每秒的速度順時針向射線旋轉(zhuǎn)；與此同時，射線以每秒的速度，從位置出發(fā)逆時針向射線旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線后又以同樣的速度順時針返回，當(dāng)射線返回并與射線重合時，兩條射線同時停止運(yùn)動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)若，當(dāng)時，求的值；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在t的值，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)(2)10或20(3)存在，或或
【分析】（1）當(dāng)時，得到，利用求出結(jié)果即可；（2）分兩種情況：①當(dāng)OP與OQ第一次相遇前；②當(dāng)OP與OQ第一次相遇后，分別列出等量關(guān)系式求解即可；（3）分三種情況：①當(dāng)OP與OQ第一次相遇前；②當(dāng)OP與OQ第一次相遇前后，但OQ未到達(dá)OA前；③當(dāng)OQ到OA后返回與OP第二次相遇前，分別列出等量關(guān)系式求解即可．
【詳解】（1）∵，，∴；
（2）∵度，度，
①當(dāng)OP與OQ第一次相遇前，，解得，
②當(dāng)OP與OQ第一次相遇后，，解得，
∴當(dāng)或時，；
（3）①當(dāng)OP與OQ第一次相遇前，
∵度，度，度，度，
∴，解得．
②當(dāng)OP與OQ第一次相遇后，但OQ未到達(dá)OA前，
∵度，度，度，度，
∴解得，
③當(dāng)OQ到OA后返回與OP第二次相遇前，
∵度，度，度，
∴，解得，綜上所述，當(dāng)或或時，．
【點(diǎn)睛】本題考查角的和差關(guān)系及列方程解實際問題，解決本題的關(guān)鍵是分好類，列出關(guān)于時間方程．
24．（23-24七年級上·浙江紹興·期末）定義：從一個角（小于）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所構(gòu)成的角等于這個角的，那么這兩條射線所構(gòu)成的角叫做這個角的“三分角”．如圖1所示，若，則是的“三分角”．

(1)如圖1，已知，，是的“三分角”，求的度數(shù)．
(2)如圖2，已知，是的平分線，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)O以/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)是的“三分角”時，求t的值．
【答案】(1)；(2)秒或秒．
【分析】（1）根據(jù)“三分角”的定義及角的和差關(guān)系，列式計算即可求解；
（2）分兩種情況討論，當(dāng)和時，計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，∴，
∵是的“三分角”，∴，∴，∴；
（2）解：∵，是的平分線，∴，
∵是的“三分角”，∴，
分兩種情況討論，當(dāng)，此時秒；
當(dāng)，此時秒；綜上，t的值為秒或秒．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差關(guān)系，“三分角”的定義，掌握新定義是解題的關(guān)鍵．
25．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖1，在直線上取一點(diǎn)O，向上作一條射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．如圖2，將直角三角板繞點(diǎn)O逆時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)與第一次重合時停止．
(1)如圖2，時，若和互余，且滿足始終在內(nèi)部，求此時的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)始終在內(nèi)部時，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系（用含n的等式表示），并說明理由；(3)如圖2，當(dāng)時，若直角三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與第一次重合時停止，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若恰好有，旋轉(zhuǎn)的時間是 秒．（直接寫出結(jié)果）
【答案】(1)(2)，理由見解析(3)25.2或54
【分析】（1）因為和互余，，可得，所以，已知，可得的度數(shù)；（2），因為，所以，即，可得與的數(shù)量關(guān)系；（3）分在直線上方、不在直線上方兩種情況討論．
【詳解】（1）解：和互余，，
，，，，
，，；
（2）解：，，，，
，；
（3）解：設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，①在直線上方時，，，
，，
，，解得：，
，，，，
，，解得：，
②不在直線上方時，，，，，
，，解得：，故答案為：25.2或54．
【點(diǎn)睛】本題考查角的計算，解一元一次方程，兩個角互余，兩個角互補(bǔ)，解題關(guān)鍵是注意分類討論．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
專題6.11 角度中的動態(tài)模型
角度的動態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級上期必考壓軸題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對角度旋轉(zhuǎn)問題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問題需要自己畫出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點(diǎn) 2
考點(diǎn)1.旋轉(zhuǎn)中的求值模型 2
考點(diǎn)2.旋轉(zhuǎn)中的定值模型 4
考點(diǎn)3.旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系） 10
考點(diǎn)4.旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型 14
模塊3：能力培優(yōu) 15
1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：
①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：
1）角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；
2）角度一邊動另一邊不動，角度變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；
3）角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大。
變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角
③列——根據(jù)題意列方程求解。
注：①題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時要分順時針與逆時針分類討論；②旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。
2、常見的三角板旋轉(zhuǎn)模型：
一副三角板有兩個，一個是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一個是含特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度。
總之不管這個角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏起來。
3、鐘表的相關(guān)問題
1）鐘表的表面特點(diǎn)：鐘表的表面一般都是一個圓形，共有12個大格，每個大格有5個小格，圓形的表面恰好對應(yīng)著一個周角360°，每個大格對應(yīng)30°角，每個小格對應(yīng)6°角。表面一般有時針、分針、秒針三根指針。
2）鐘表時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動情況：時針每時轉(zhuǎn)1大格，每12分轉(zhuǎn)1小格，每12時轉(zhuǎn)1個圓周；分針每5分轉(zhuǎn)1大格，每 1分轉(zhuǎn)1小格，每時轉(zhuǎn)1個圓周；秒針每5秒轉(zhuǎn)1大格，每1秒轉(zhuǎn)1小格，每1分轉(zhuǎn)1個圓周。
3）時針、分針、秒針的轉(zhuǎn)速：有了以上的認(rèn)識，我們很容易計算出相應(yīng)指針的轉(zhuǎn)速，①鐘表的時針轉(zhuǎn)速為：30°/時或0.5°/ 分：②分針的轉(zhuǎn)速為：6°/分或0.1/°秒；③秒針的轉(zhuǎn)速為：6°/秒。
考點(diǎn)1.旋轉(zhuǎn)中的求值模型
例1．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）如圖1，已知，，在內(nèi)，在內(nèi)，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終有，．（本題中所有角均大于且小于等于）
(1)從圖1中的位置繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)到與重合時，如圖2，則_____°；
(2)從圖2中的位置繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，求、的度數(shù)．（用 n的代數(shù)式表示）；(3)從圖2的位置繞點(diǎn) O逆時針旋轉(zhuǎn)（且），求的度數(shù)．
例2.（2024 浙江七年級期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）
（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫結(jié)果）．
（2）在（1）問的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動的同時，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問的條件不變，那么經(jīng)過秒平分？（直接寫結(jié)果）
考點(diǎn)2.旋轉(zhuǎn)中的定值模型
例1．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）如圖，，角的頂點(diǎn)互相重合，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)射線，重合時，______，(2)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線，與中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線，則的度數(shù)為______；
(3)在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，若射線始終在的內(nèi)部．
①普于思考的小明發(fā)現(xiàn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，的值為定值，請你求出這個定值；
②作和的平分線，，在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個定值，若變化，請求出變化的范圍．
例2．（2023·河南南陽·七年級校考期末）將一副三角尺如圖①擺放，，，現(xiàn)將繞點(diǎn)C以/秒的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為秒．
(1)如圖②，當(dāng)______時，恰好平分；(2)如圖③，當(dāng)______時，恰好平分；
(3)如圖④，當(dāng)______時，恰好平分；
(4)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖⑤的位置，平分，平分，求的度數(shù)；
(5)若旋轉(zhuǎn)到如圖⑥的位置，（4）中結(jié)論是否發(fā)生變化？請說明理由．

例3．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）已知，為內(nèi)部的一條射線，．
(1)如圖1，若平分，為內(nèi)部的一條射線，，則 ；
(2)如圖2，若射線繞著O點(diǎn)從開始以每秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束、繞著O點(diǎn)從開始以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，當(dāng)一條射線到達(dá)終點(diǎn)時另一條射線也停止運(yùn)動．若運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，求t的值；(3)如圖3，若射線繞著O點(diǎn)從開始以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過程中，平分，試問：在某時間段內(nèi)是否為定值？若不是，請畫出圖形，并說明理由；若是，請畫出圖形，并直接寫出這個定值以及t相應(yīng)所在的時間段．（題中的角均為大于且小于的角）。
考點(diǎn)3.旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）
例1．（23-24七年級上·上海·期末）已知，射線在的內(nèi)部，射線，分別是和的角平分線．

(1)如圖1，若，求的度數(shù)；(2)請從下面，兩題中任選一題作答，我選擇　題．
．如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則的度數(shù)為　　．
．若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中、均是指小于的角），其余條件不變，請借助圖3探究的大小，直接寫出的度數(shù)．
例2．（23-24七年級上·重慶九龍坡·期末）點(diǎn)O為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)O作射線，使，平分（如圖1）． 將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，設(shè)直角三角板兩直角邊分別為、（，）． 邊在射線上．
(1)在圖1中， ；(2)如圖2所示，將直角三角板繞點(diǎn)O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)與垂直時，則旋轉(zhuǎn)時間t的值為多少秒？(3)將直角三角板繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)在內(nèi)部運(yùn)動時，請直接寫出此時與的數(shù)量關(guān)系．
例3．（23-24七年級上·河南周口·期末）特例感知（）如圖，線段，，線段在線段上運(yùn)動（點(diǎn)不超過點(diǎn)，點(diǎn)不超過點(diǎn)），分別是的中點(diǎn)．在線段運(yùn)動的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？如果不變，求出的長度；如果變化，請說明理由；
知識遷移（）我們發(fā)現(xiàn)角的很多規(guī)律和線段一樣，如圖，在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，射線和射線分別平分和．①若，，則__________；
②請你猜想，和三個角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
類比探究（）如圖，在內(nèi)部轉(zhuǎn)動，若，，，，直接寫出用含有的式子表示的度數(shù)．
考點(diǎn)4.旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型
例1．（23-24七年級上·遼寧營口·期末）數(shù)學(xué)活動課上同學(xué)們對所學(xué)知識深入思考，如圖1，點(diǎn)C在線段上，圖1中共有三條線段，，，若其中有兩條線段長度比為，則命名點(diǎn)C為線段的“幸福點(diǎn)”；此模型下，如圖2射線在的內(nèi)部，圖2中共有三個角，，，若其中有兩個角的度數(shù)比為，則命名射線為的“幸福線”．
(1)線段的中點(diǎn)是否為這條線段的“幸福點(diǎn)”，說明理由；(2)若，點(diǎn)C為線段的“幸福點(diǎn)”，求線段的長度；(3)如圖3，已知，射線從出發(fā)，以的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線從出發(fā)，以的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時，運(yùn)動停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的時間為，當(dāng)t為何值時，射線是以射線、為邊構(gòu)成角的“幸福線”，并說明理由．
例2．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如圖1，某校七年級數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在課后綜合實踐活動中，把一個直角三角尺的直角頂點(diǎn)O放在互相垂直的兩條直線、的垂足O處，并使兩條直角邊落在直線、上，將繞著點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖2，若，則______，______；
(2)若射線是的角平分線，且．①旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，的度數(shù)是多少？（用含的代數(shù)式表示）②在旋轉(zhuǎn)過程中，若，則此時的值．
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共2小題，每小題4分，共8分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2024·江蘇·七年級校考期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)，一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，平分，現(xiàn)將三角尺以每秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，同時直線也以每秒的速度繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)運(yùn)動時間為秒（），當(dāng)平分時，的值為（　 ）
A． B． C．或 D．或
2．（2023秋·重慶開州·七年級統(tǒng)考期末）一副三角板ABC、DBE，如圖1放置，（、），將三角板繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2所示，且，有下列四個結(jié)論：

①在圖1的情況下，在內(nèi)作，則平分；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，若平分，平分，的角度恒為定值；
③在旋轉(zhuǎn)過程中，兩塊三角板的邊所在直線夾角成的次數(shù)為3次；
④的角度恒為．其中正確的結(jié)論個數(shù)為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共12小題，每小題4分，共48分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
3．（23-24七年級下·浙江金華·期末）定義：從一個角的頂點(diǎn)引一條射線，把這個角分成兩個角，并且這兩個角的度數(shù)之比為1:2，這條射線叫做這個角的三分線．顯然，一個角的三分線有兩條．如，，是的兩條三分線，以點(diǎn)為中心，將按順時針方向旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時，的值為 ．
4．（23-24七年級上·河南鄭州·期末）如圖，將直角三角板的直角頂點(diǎn)落在直線上，射線平分，，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中與均指大于且小于的角）將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）．
5．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）如圖，于點(diǎn)，，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度順時針向終邊旋轉(zhuǎn)，同時，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)以每秒的速度順時針向終邊旋轉(zhuǎn)，當(dāng)、中有一條射線到達(dá)終邊時，另一條射線也隨之停止．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)，，則與之間的數(shù)量關(guān)系為 ．
6．（23-24七年級下·河南鄭州·開學(xué)考試）如圖，和都是直角．固定不動，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，下列結(jié)論正確的有 ．
①如果，那么；②是定值；③若變小，則變大；④.
7．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）如圖，點(diǎn)O是直線上的一點(diǎn)，射線在直線的上方且，有一大小為的可繞其頂點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，其中射線分別平分、，當(dāng)時， ．
8．（23-24七年級上·江蘇南京·期末）如圖，已知，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使射線的夾角為，平分，，，則的度數(shù)為 （用含的代數(shù)式表示）．

9．（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖，點(diǎn)G為直線上一點(diǎn)，，將繞點(diǎn)G逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時停止旋轉(zhuǎn)；在旋轉(zhuǎn)過程中，射線始終平分；當(dāng)，三條射線中有一條是另外兩條射線所成夾角的平分線時，的度數(shù)為 ．
10．（23-24七年級上·河北唐山·期中）如圖，已知，當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)且在內(nèi)部時， ．
11．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當(dāng)三角板繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（從圖到圖）．設(shè)圖、圖中的的度數(shù)分別為，， 度．
0
12．（23-24七年級·江西南昌·期末）如圖，直線與相交于點(diǎn)O，，平分，，平分．若射線從射線的位置出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒的速度逆時針旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為t秒時，三條射線中恰好有一條射線是另外兩條射線所組成的角的平分線，請寫出旋轉(zhuǎn)時間t的值為 秒．（旋轉(zhuǎn)過程中，，都只考慮小于的角）

13．（22-23七年級上·湖北武漢·期末）如圖，．若在平面內(nèi)繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，分別作和平分線OP、OQ，則的度數(shù)為 ．
14．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）如圖，分別過直線上的點(diǎn)和點(diǎn)作射線、，，，射線從開始繞著點(diǎn)以度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，射線從開始繞著點(diǎn)以度/秒的速度順時針旋轉(zhuǎn)，在射線旋轉(zhuǎn)一周的過程中，經(jīng)過 秒，射線、射線所在的直線互相垂直．
三、解答題（本大題共11小題，共64分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15．（23-24七年級上·黑龍江齊齊哈爾·期末）綜合與實踐
【問題情境】利用旋轉(zhuǎn)開展數(shù)學(xué)活動，探究體會角在旋轉(zhuǎn)過程中的變化，
【操作發(fā)現(xiàn)】如圖①，且兩個角重合．
（1）將繞著頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)如圖②，此時平分_________；的余角有_________個（本身除外），分別是_________．
【實踐探究】（2）將繞著頂點(diǎn)O順時針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)如圖③位置，若，射線在內(nèi)部，且請?zhí)骄浚?br/>①的補(bǔ)角有_________個，分別是：__________________．②求的度數(shù)
理由如下：（請利用圖中的字母和數(shù)字完成證明過程）
因為，所以_________，_________．
又因為，所以_________．
16．（23-24七年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）操作：在一張白紙上畫一條直線，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直線上．
(1)如圖（1），當(dāng)點(diǎn)都在直線上方時，試判斷與的度數(shù)之和是多少，并說明理由；(2)如圖（2），把直角三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A在直線的下方，點(diǎn)仍在直線的上方，用測量或分析的方法完成下表，并判斷與的數(shù)量關(guān)系．結(jié)論：______；
的度數(shù) 的度數(shù) 與的差
(3)如圖（3），繼續(xù)把直角三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A和點(diǎn)B都在直線的下方，你發(fā)現(xiàn)與又有什么樣的數(shù)量關(guān)系呢？請直接寫出結(jié)論：______．
17．（23-24七年級上·江蘇宿遷·期末）已知是內(nèi)部的一條射線，M，N分別是邊，上的點(diǎn)，線段，分別以，的速度同時繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)．
(1)如圖①若，當(dāng)、逆時針旋轉(zhuǎn)2s時，分別到、處，求的值；(2)如圖②，若分別在內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時，總有，求的值；(3)如圖③，C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿線段向點(diǎn)C運(yùn)動，同時點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)沿線段向點(diǎn)B運(yùn)動，M，N兩點(diǎn)的速度比是．若運(yùn)動過程中始終有，求的值．
18．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）知識準(zhǔn)備：
如圖①，點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心的圓上，若點(diǎn)P用時5分鐘在圓上繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一圈，此時點(diǎn)P剛好繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一個周角，即360度，則稱此時點(diǎn)P繞點(diǎn)O的旋轉(zhuǎn)速度為：度/分鐘．
解決問題：如圖②， A、B兩點(diǎn)相距60厘米，點(diǎn)O在線段上且厘米，角度，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿直線向點(diǎn)A勻速運(yùn)動．
（1）在點(diǎn)Q運(yùn)動的同時點(diǎn)P繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的速度為45度/分鐘，當(dāng)點(diǎn)P第一次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，求點(diǎn)Q的速度．
（2）若點(diǎn)Q運(yùn)動的同時，點(diǎn)O也以3厘米/分鐘的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)P仍然以45度/分鐘的速度繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P第二次運(yùn)動到直線上時恰好與點(diǎn)Q相遇，求此時點(diǎn)Q的速度．

19．（23-24七年級上·江蘇淮安·階段練習(xí)）鐘面上的數(shù)學(xué)
基本概念：鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕牵鐖D1，即為某一時刻的鐘面角，通常
[簡單認(rèn)識]時針和分針在繞點(diǎn)O一直沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)，時針每小時轉(zhuǎn)動的角度是，分針每小時轉(zhuǎn)動一周，角度為．由此可知：
（1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動 °，分針每分鐘轉(zhuǎn)動 °：
[初步研究]（2）已知某一時刻的鐘面角的度數(shù)為，在空格中寫出一個與之對應(yīng)的時刻：
①當(dāng)時， ；②當(dāng)時， ；
（3）如圖2，鐘面顯示的時間是8點(diǎn)04分，此時鐘面角 ．
[深入思考]（4）在某一天的下午2點(diǎn)到3點(diǎn)之間（不包括2點(diǎn)整和3點(diǎn)整）．
①時針恰好與分針重疊，則這一時刻是 ；時針恰好與分針垂直，求此時對應(yīng)的時刻是 ；
②記鐘面上刻度為3的點(diǎn)為C，當(dāng)鐘面角的兩條邊所在射線與射線中恰有一條是另兩條射線所成角的角平分線時，請直接寫出此時對應(yīng)的時刻．
20．（23-24七年級上·浙江紹興·期末）如圖①，射線在內(nèi)部，圖中共有三個角：，，，若其中有一個角的角度是另一個角的兩倍，則稱射線為的“倍分線”．
(1)若射線是的角平分線，則射線________（填“是”或“不是”）的“倍分線”；
(2)如圖②，若，射線為的“倍分線”，求；
(3)若，射線從射線的位置開始，繞點(diǎn)逆時針以每秒的速度向射線運(yùn)動，當(dāng)射線到達(dá)射線時停止運(yùn)動，運(yùn)動的時間為秒，同時射線從射線的位置開始以每秒的速度向射線運(yùn)動，如圖③所示，并與射線同時停止，則當(dāng)經(jīng)過多少秒時，射線是的“倍分線”．
21．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖，是直線上一點(diǎn)，射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，從出發(fā)，每秒旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，以相同的速度從出發(fā)，射線與同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時間為秒，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到與重合時，都停止運(yùn)動．
(1)猜想：__________，并說明理由；
(2)已知射線始終平分，射線在內(nèi)，且滿足與互余．
①當(dāng)秒時，__________；
②在運(yùn)動過程中，試探究與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
22．（23-24七年級上·浙江臺州·期末）定義：當(dāng)射線在內(nèi)部，時，我們稱為射線在內(nèi)的角值，記作．如圖1，若，，則，則．
(1)如圖1，射線在內(nèi)部，若，則_________；若，則__________；(2)如圖2，已知，射線，分別從射線和同時開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)到射線時，射線，停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)運(yùn)動時間為秒．①若射線，的運(yùn)動速度均為每秒，試用含的式子表示和，并直接寫出它們的數(shù)量關(guān)系；②若射線，的運(yùn)動速度分別為每秒和，射線到達(dá)射線后立即以原速返回，則當(dāng)為何值時，
(3)如圖3，在鐘面內(nèi)有三條射線，和，分別指向12點(diǎn)，4點(diǎn)，8點(diǎn)．射線，同時從射線開始旋轉(zhuǎn)，其中射線繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，射線繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)，同時到射線停止旋轉(zhuǎn)．設(shè)，當(dāng)射線運(yùn)動到的內(nèi)部時，請用含的式子表示．
23．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖，已知，射線從位置出發(fā)，以每秒的速度順時針向射線旋轉(zhuǎn)；與此同時，射線以每秒的速度，從位置出發(fā)逆時針向射線旋轉(zhuǎn)，到達(dá)射線后又以同樣的速度順時針返回，當(dāng)射線返回并與射線重合時，兩條射線同時停止運(yùn)動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)若，當(dāng)時，求的值；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在t的值，使得？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
24．（23-24七年級上·浙江紹興·期末）定義：從一個角（小于）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所構(gòu)成的角等于這個角的，那么這兩條射線所構(gòu)成的角叫做這個角的“三分角”．如圖1所示，若，則是的“三分角”．
(1)如圖1，已知，，是的“三分角”，求的度數(shù)．
(2)如圖2，已知，是的平分線，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)O以/秒的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為t秒，當(dāng)是的“三分角”時，求t的值．

25．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）如圖1，在直線上取一點(diǎn)O，向上作一條射線，使，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．如圖2，將直角三角板繞點(diǎn)O逆時針轉(zhuǎn)動，當(dāng)與第一次重合時停止．
(1)如圖2，時，若和互余，且滿足始終在內(nèi)部，求此時的度數(shù)；
(2)如圖2，當(dāng)始終在內(nèi)部時，猜想與有怎樣的數(shù)量關(guān)系（用含n的等式表示），并說明理由；(3)如圖2，當(dāng)時，若直角三角板繞點(diǎn)O以每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，與第一次重合時停止，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若恰好有，旋轉(zhuǎn)的時間是 秒．（直接寫出結(jié)果）
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑