資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題6.9 線段的雙中點和雙角平分線模型
線段中的動態模型一直都是一大難點和常考點，它經常以壓軸題的形式出現。考查形式也是很豐富，和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態模型（與中點、和差倍分結合的動點問題；定值問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1.線段中點、和差倍分關系中的動態模型 1
考點2.線段上動點問題中的定值模型 4
考點3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型 8
考點4.閱讀理解型（新定義）模型 12
模塊3：能力培優 15
1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數據無法直接利用，常設未知數列方程。
2、線段的動態模型解題步驟：
1）設入未知量t表示動點運動的距離； 2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；
3）根據題設條件建立方程求解； 4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。
考點1.線段中點、和差倍分關系中的動態模型
例1．（23-24七年級上·河北邯鄲·期末）如圖，嘉淇設計了一動畫，已知數軸上點，，表示的數分別為，，，是的中點，機器人（看成點）從點出發，以個單位長度秒的速度沿數軸正方向運動，當機器人到達點時，機器人（看成點）同時從點出發，以個單位長度秒的速度沿數軸正方向運動．設機器人的運動時間為秒．
(1)的長為________個單位長度，的值為________；(2)當時，求點表示的數；
(3)當機器人，和點中有一個點到其他兩點的距離相等時，直接寫出的值．
【答案】(1)，；(2)點表示的數為；(3)或或或或．
【分析】（1）本題考查數軸上兩點之間的距離，根據點，表示的數，即可算出的長，再利用是的中點，得到，即可解得的值．（2）本題根據線段的和差，得到點只能在點的右邊，推出的長，即可解題；（3）分情況進行討論，然后綜合各種情況得到的值；
此題考查了數軸的動點問題和一元一次方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意和分類討論．
【詳解】（1）解：∵數軸上點A，B表示的數分別為，，∴，
∵ 是的中點，∴，∴表示的數分別為，即的值為，故答案為：，；
（2）解：∵，，∴點只能在點的右邊，位置如圖所示：
∴，即，整理得，解得，
∴點表示的數為；
（3）解：當機器人到達點時，機器人（看成點）同時從點出發，設機器人的運動時間為秒，則機器人的運動時間為秒，
當時，即點到點和點到點距離相等時，
當機器人到達點，此時點與點重合，即，
當機器人過點時，即，解得或，
當時，即點到點和點到點距離相等時，
當機器人到達點時，即，
當機器人超過機器人時，，解得或（舍去），
當時，即點到點和點到點距離相等時，
當機器人未到達點時，即，
當機器人與機器人相遇時，即，解得或，
綜上可知，的值為或或或或．
例2．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，點P是定長線段上一點，從點從點B同時出發分別以每秒厘米的速度沿直線向左運動（C在線段上，D在線段上），并滿足下列條件：
①關于m、n的單項式與的和仍為單項式；②在運動過程中，總有．
(1)直接寫出：_______，_______；(2)求出的值，并說明理由：(3)在運動過程中，分別是的中點，運動t秒時，恰好滿足，求此時的值．
【答案】(1)1，2(2)3(3)
【分析】本題考查了線段的和差倍分，一元一次方程的應用，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系是十分關鍵的一點．（1）根據同類項的定義列方程即可得到結論；（2）設，則，根據題意列方程即可得到結論；（3）設，由（2）知，，根據題意得到，①當點在線段上時，②當點在線段的延長線上時，列方程即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵關于、的單項式與的和仍為單項式，
∴單項式與是同類項，∴，故答案為：1，2；
（2）設運動了t秒，則設，則，
故答案為：3；
（3）設，由（2）知，，
①當點在線段上時，，解得：，
②當點在線段的延長線上時，，解得：，(不合題意，舍去)，
綜上所述，．
例3．（23-24七年級上·天津和平·期末）已知：如圖1，M是定長線段上一定點，C、D兩點分別從M，B出發以的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）
(1)若，當點C、D運動了，求的值；(2)若點C、D運動時，總有，求的值；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點，且，直接寫出的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】本題主要考查了線段的和差問題和兩點間的距離的計算，（1）計算出和的長，進而可得出答案；（2）由結合（1）問便可解答；
（3）由，分兩種情況討論：①點N在線段上時，②點N在的延長線上時；結合圖形計算出線段的長度關系即可求解；
【詳解】（1）解：當點C、D運動了時，，
∵，．
（2）解：設運動時間為t，則，∵，
又，，即，∴；
（3）解：由（2）可得：，∵，，，
點N在線段上時，如圖，
∵，∴，，即．
當點N在線段AB的延長線上時，如圖，
∵，，∴，即．
綜上所述，的值為或．
【點睛】本題考查求線段長短的知識，關鍵是細心閱讀題目，根據條件理清線段的長度關系再解答．
考點2.線段上動點問題中的定值模型
例1．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，已知線段，線段在直線上運動（A在B左側，C在D左側），若(1)求線段的長．(2)若點M，N分別為線段的中點，且，求線段的長；(3)當運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段延長線上任意一點，則是一個定值，請加以說明．
【答案】(1)(2)(3)見解析．
【分析】（1）根據非負數的性質求出m、n的值即可得到答案；（2）分點C在點B左側和右側兩種情況討論求解即可；（3）先根據線段和差關系證明，再由即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，∴，∴，∴
（2）解：分兩種情況討論：①當點C在點B右側時，如圖所示：
∵點M，N分別為線段的中點，
∴，．
∴；
②當點C在點B左側時，如圖所示：
∵點M，N分別為線段的中點，∴，，
∴；綜上所述，；
（3）解：定值為2，說明如下：
點D與點B重合，點P是線段延長線上任意一點，如圖所示：
∴，∵，∴，
∴．
【點睛】本題主要考查了非負數的性質，線段的和差關系，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵，．
例2．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）如圖（）所示，已知直線上有兩點，，有一根木棒放在直線上，將木棒沿直線左右水平移動．當點與重合時，點剛好落在點移動前的位置，當點與重合時，點剛好落在點移動前的位置．

(1)直接寫出木棒的長；(2)木棒在射線上移動的過程中，當時，求的長；
(3)另一根木棒長為，和在直線上的位置如圖（）所示，其中點與重合，點與重合．木棒以個單位長度/秒的速度向左移動，木棒以個單位長度/秒的速度向右移動，它們同時出發，設運動時間為秒，若式子的值為定值，請直接寫出此時的取值范圍，并寫出這個定值．
【答案】(1)；(2)或；(3)，定值為．
【分析】（）根據題意可得的長等于的三分之一，即可求解；
（）設，分點在點左側和右側兩種情況列方程求解即可；（）由式子的值為定值可判斷出木棒和木棒重疊，分別求出點與點重合和點與點重合的時間，即可求出的取值范圍，由木棒和木棒重疊可得的值為定值即為的值；本題考查了一元一次方程的應用，根據題意，找到等量關系，并運用分類討論的方法分別列出方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：由題意可得，；
（2）解：設，當點在點左側時，，
∵，∴，解得，∴；
當點在點右側時，，
∵，∴，解得，∴；
∴的長為或；
（3）解：由題意可得，當木棒和木棒重疊時，式子的值為定值，
定值即為，
當點與點重合時，，解得；
當點與點重合時，，解得；
∴當時，式子的值為定值，定值為．
例3．（2024七年級上·重慶·專題練習）如圖①，已知線段，，線段在射線上運動（點A在點B的左側，點C在點D的左側），且
(1)若，求的長．(2)當在線段的延長線上時，如圖②所示，若點分別是線段的中點，求的長．(3)當運動到某一時刻，使得點D與點B重合時，若點P是線段延長線上任意一點，請判斷是否為定值，并說明理由．
【答案】(1)或(2)(3)是，見解析
【分析】此題主要考查了線段中點的定義，線段的計算，理解線段中點的定義，熟練掌握線段的計算是解決問題的關鍵．先根據非負數的性質求出，，則．
（1）若，則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，則，根據可得的長；②當點C在點B的右側時，根據可得的長；
（2）設，則，根據線段中點定義得，， ，從而得，由此可得的長；
（3）設，根據點D與點B重合，點C在點D的左側得點C在線段上，再根據點P在線段的延長線上畫出圖形，結合圖形得，則，據此可得出結論．
【詳解】（1）解：∵，，，
，解得：，，
若，則有以下兩種情況，①當點C在點B的左側時，如圖1①所示：
，，；
②當點C在點B的右側時，如圖1②所示：
，；
綜上所述：線段的長為或．
（2）解：設，如圖2所示：
，∵點分別是線段的中點，
， ，∴，
∴；
（3）解：為定值，理由如下：設，
∵點D與點B重合，點C在點D的左側，∴點C在線段上，
又∵點P在線段的延長線上，如圖3所示：
∴，∴，
∴．∴為定值．
考點3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型
例1．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，直線上有A、B兩點，，上有兩個動點P、Q．點P從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿直線向右運動，同時點Q從點B出發，以每秒個單位長度的速度沿直線向右運動．設運動時間為（秒）．
(1)請用含t的代數式表示線段的長．(2)當點B是線段的中點時，求t的值．
(3)運動過程中，點P和點Q能否重合？若能重合，幾秒后重合？
(4)運動過程中，線段與線段的長度能否相等？若能相等請求出t值，若不能請說明理由．
【答案】(1)當時，；當時，(2)(3)能重合，(4)
【分析】（1）根據題意，點P每秒個單位長度，點P運動到點B需要用時間為，當時，秒過后，點P運動的路程為，結合，得，得到；當時，秒過后，點P運動的路程為，結合，得，得到即．（2）設點P、Q出發t秒鐘后，點B是線段的中點．根據題意得到等量關系：列式計算即可；
（3）假設點P、Q出發t秒鐘后，點P和點Q重合，則，列式計算即可；
（4）需要分類討論：當點P在點Q左側和右側兩種情況下的t的值．
【詳解】（1）解：根據題意，點P的速度為每秒個單位長度，點P運動到點B需要用時間為，當時，秒過后，點P運動的路程為，
∵，∴，∴；
當時，秒過后，點P運動的路程為，
∵，，∴即．
（2）解：根據題意，點P每秒個單位長度，點P運動到點B需要用時間為，
當時，秒過后，點P運動的路程為，
∵，∴，∴；
∵點Q從點B出發，以每秒個單位長度的速度沿直線向右運動．
∴秒過后，點Q運動的路程為，
∵點B是線段的中點．∴，∴，解得，
即點P、Q出發秒鐘后，點B是線段的中點．
（3）解：假設點P、Q出發t秒鐘后，點P和點Q重合，則，
∴．解得：；故點P、Q出發秒鐘后，點P和點Q重合．
（4）解：當點P在點Q左側時，線段與線段的長度不可能相等．
當點P在點Q右側時，設點P、Q出發t秒鐘后，線段與線段的長度相等，根據題意，得，解得：．當時，線段與線段的長度相等．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，線段的中點，線段的和差，數軸，列代數式，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．
例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【背景知識】數軸是重要的數學學習工具，利用數軸可以將數與形完美結合．已知結論：數軸上點表示的數分別為，則兩點之間的距離；線段的中點表示的數為．
【知識運用】（）點表示的數分別為，若與互為倒數，與互為相反數．則兩點之間的距離為______；線段的中點表示的數為______．
【拓展遷移】（）在（）的條件下，動點從點出發以每秒個單位的速度沿數軸向左運動，動點從點出發以每秒個單位的速度沿數軸向左運動，點是線段的中點．
①點表示的數是______（用含的代數式表示）；
②在運動過程中，點中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間；
③線段的長度隨時間的變化而變化，當點在點左側時，是否存在常數，使為定值？若存在，求常數及該定值；若不存在，請說明理由．
【答案】（）；；（）；或；存在，，此時定值．
【分析】（）根據題意，求出，再根據結論解答即可求解；
（）根據題意，表示出秒后點表示的數，再根據線段中點計算公式求解即可；
根據線段中點計算公式分三種情況解答即可求解；
根據兩點之間的距離公式求出，得到，當時即可求出常數的值，進而求出定值．
【詳解】解：（）∵與互為倒數，與互為相反數，
∴，，∴；
線段的中點表示的數為；故答案為：；；
（）秒后，點表示的數為，點表示的數為，
∵點是線段的中點，∴點表示的數是，故答案為：；
當點為中點時，則，解得，不合，舍去；
當點為中點時，則，解得；
當點為中點時，則，解得；∴運動時間的值為或；
當點在點左側時，，，
∴，
當時，∴，此時，定值．
【點睛】本題考查了數軸上兩點間的距離計算公式，線段中點計算公式，掌握兩點間的距離計算公式和線段中點計算公式是解題的關鍵．
例3．（23-24七年級·湖南邵陽·期末）如圖，在直線上，線段，動點P從A出發，以每秒2個單位長度的速度在直線上運動，M為的中點，N為的中點，設點P的運動時間為t秒．
(1)若點P在線段上運動，當時，______；(2)若點P在射線上運動，當時，求點P的運動時間t的值；(3)當點P在線段的反向延長線上運動時，線段有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．
【答案】(1)3(2)當時，點的運動時間的值為或20(3)
【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，線段中點的含義，線段的和差運算，理解題意，清晰地分類討論是解本題的關鍵．（1）由中點的含義先求解，證明，再求解，從而可得答案；（2）當點在線段上，，當點在線段的延長線上，，再建立方程求解即可；（3）先證明，，可得，從而可得結論．
【詳解】（1）解：∵為的中點，為的中點，，
∴，∴，
∵線段，∴，∴．故答案為：3．
（2）當點在線段上，，如圖，
為的中點，∴，解得，
當點在線段的延長線上，，如圖，
同理：解得，
綜上所述，當時，點的運動時間的值為或20；
（3）當點在線段的反向延長線上時，，理由如下：如圖，
為的中點，為的中點，
考點4.閱讀理解型（新定義）模型
例1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）【新知理解】如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．
（1）線段的中點______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；
（2）若，點是線段的巧點，則最長為______；
【解決問題】（3）如圖②，已知，動點從點出發，以的速度沿向點勻速移動；點從點出發，以的速度沿向點勻速移動，點、同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為．當為何值時，為、的巧點？說明理由．
【答案】（1）是；（2）；（3）當為或或時，為、的巧點
【分析】本題考查了線段的相關計算，與線段有關的動點問題，一元一次方程的應用．
（1）根據“巧點”的定義解答即可；
（2）點為線段的巧點，則最長時，滿足，即，即可求解；
（3）根據“巧點”的定義，分為或或，三種情況，分別計算即可求解．
【詳解】（1）解：∵點在線段上，點為線段的中點，
∴，∴點是線段的的“巧點”，故答案為：是．
（2）解：點在線段上，點為線段的巧點，∴則最長時，滿足，
即，∴，故答案為：．
（3）解：秒后，，，，
∵為、的巧點∴或，或，
當時，，解得：，
當時，，解得：，
當時，，解得：，
∴當為或或時，為、的巧點．
例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【概念學習】點在線段上，若，則稱是點在線段上的“分點值”，記作．例如，如圖1，若，則點在線段上的“分點值”是，記作；若，則，故點在線段上的“分點值”是，記作．
【理解與應用】(1)已知點在線段上．若，，則________；
若，，則_________．
(2)如圖2，線段， 是線段上一點，、兩點分別從點、出發以，的速度同時向點運動，運動的時間為， 當其中一點到達點時，兩點都停止運動．
①若點在上運動時，總有，求出的值；
②若，則當為何值時，；
③若時，，則___________．
【答案】(1)；18(2)①；②；③或
【分析】本題考查了一元一次方程的應用，線段的數量關系，解題關鍵在于理解新定義，根據新定義列出方程即可．（1）根據新定義，列出式子即可．（2）①設，，表示出，列式子求解．
②根據定義，，表示出，即可求解．③分兩種情況進行討論，一個是當在的左側時，一個當在的右側時，根據新定義列出式子，進行求解．
【詳解】（1）解：若，，則，
若，，則，
∵，∴．
∵∴．故答案為：；18；
（2）①，．∵，∴．
∴．∴；
②∵，，∴，則．
∴，，
∵，∴，故；
③∵．∴，．分兩種情況：
當在的左側時，
∵，∴．∴．
可知，，則；
當在的右側時，
．，
則；綜上所述，或；故答案為：或．
例3．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖1，數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，將這兩點在數軸上以相同的速度同時相向運動，若A，B分別到達M，N兩點（我們用表示以點A、點B為端點的線段的長，、表示的含義以此類推），且滿足（k為正整數），我們稱兩點完成了一次“準相向運動”．如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續運動，分別到達，兩點，且滿足（k為正整數）我們稱兩點完成了二次“準相向運動”…．
(1)若A，B兩點完成了一次“準相向運動”．①當時，M，N兩點表示的數分別為 、 ；
②當k為任意正整數時，求M，N兩點表示的數；(2)如圖2所示，若A，B兩點完成了兩次“準相向運動”，并分別到達，兩點，若k不變，求，兩點所表示的數（用含k的式子表示）；
(3)若A，B兩點完成了n次“準相向運動”，并分別到達兩點，當時是否存在點，使其表示的數為65？如果存在，求完成的次數n和此時點所表示的數；如果不存在，說明理由．
【答案】(1)①5，；②M點為，N點為
(2)為，為(3)存在，n為5，為
【分析】（1）①由題意可得，從而得到，再由，可得，即可求解；②根據，可得，即可．
（2）由（1）中②可得兩點的值，再進行一次“準相向運動”計算，根據點和也關于中點1對稱，且k值不變即可求解．（3）根據題意可得，根據，可得點，到的中點的距離相等，從而表達出對應和的值，從特殊取值過程中，研究n和點以及點的關系，總結出一般規律進行解題．
【詳解】（1）解：①∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，
∴．∴．∴．
∵數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，∴，
又∵，，
∴M點為5，N點為，故答案為：5，．
②∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，
∴．∴．∴．
∵數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，
∴，且中點所對應的數為1，
又∵，∴中點所對應的數也為1，
∵，，
∴M點為，即，N點為，即；
（2）解：由（1）中②可得M點為，N點為，點和也關于中點1對稱，
∴．∴，
∴．∴為，為．
（3）解：存在，理由：∵，A，B兩點完成了n次“準相向運動”，
∴，
∵數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，∴的中點所表示的數為1，
∵A點和B點的速度相同，時間也相同，那么運動路程也相同，
∴．∴．∴，∴點，到的中點的距離相等，
當n為1時，根據（1）得：此時點為5，為，
當n為2時，為，為，
當n為3時，為，為，
當n為4時，為，為，
以此類推發現n為奇數時，為正數，而正數的規律是，
令，∴，
∴，∴． ．
當表示的數為65時，，解得：．
又∵和關于1對稱，∴為．
答：存在次數n使得為65，此時n為5，為．
【點睛】本題考查列代數式的表達能力，數軸上表示數，利用數軸上線段中點解決相關問題，乘方，數的規律總結能力以及數軸相關知識運用，難度偏大，利用數形相結合是解題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，已知（在的左側）是數軸上的兩點，點對應的數，且，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點的運動過程中，始終為的中點，設運動時間為（）秒，則下列結論中正確結論的個數是（ ）
①對應的數是；②點到達點時，；③時，；
④在點的運動過程中，線段的長度會發生變化．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了數軸，根據兩點間距離進行計算即可判斷；利用路程除以速度即可判斷；分兩種情況，點在點的右邊，點在點的左邊，由題意求出的長，再利用路程除以速度即可判斷；分兩種情況，點在點的右邊，點在點的左邊，利用線段的中點性質進行計算即可判斷；根據題目的已知條件并結合圖形分析是解題的關鍵．
【詳解】解：∵已知(在的左側)是數軸上的兩點，點對應的數為，且，
∴對應的數為，故正確；∵，∴點到達點時，，故是正確的；
當點在點右邊時，∵，∴，∴；
當點在點左邊時，∵，∴，∴，
∴時，或，故錯誤；
在點的運動過程中，當點在點右邊時，；
在點的運動過程中，當點在點左邊時，；
∴在點的運動過程中，線段的長度不會發生變化，故錯誤；∴正確結論有，故選：．
2．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）如圖，線段，動點P從A出發，以的速度沿運動，M為的中點，N為的中點．以下說法正確的是（ ）
①運動后，；②的值隨著運動時間的改變而改變；③的值不變；
④當時，運動時間為．

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本題考查兩點間的距離，動點問題，線段的和差問題，根據題意，分別用代數式表示出的長，根據線段之間和差倍關系逐一判斷即可．
【詳解】解：運動后，，，
M為的中點，，，故①錯誤；
設運動t秒，則，，
M為的中點，N為的中點，，
，的值隨著運動時間的改變而改變，故②正確；
，，，
的值不變，故③正確；，，
，解得：，故④正確；故選：D
3．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如右圖所示：C是線段上一點，且，P、Q從C點同時出發，分別朝著點A運動、點B運動，且點P的運動速度是點Q的一半，當時，的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查線段的和差倍分，根據點P的運動速度是點Q的一半，可得，根據可得，則．
【詳解】解：點P的運動速度是點Q的一半，，
，，，
，
，故選C．
4．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）如圖，線段，動點P從A出發，以的速度沿運動，M為的中點，N為的中點．以下說法正確的是（ ）
①運動后，； ②的值隨著運動時間的改變而改變；
③的值不變； ④當時，運動時間為．

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】本題考查兩點間的距離，動點問題，線段的和差問題，根據題意，分別用代數式表示出的長，根據線段之間和差倍關系逐一判斷即可．
【詳解】解：運動后，，，
M為的中點，，，故①錯誤；
設運動t秒，則，，
M為的中點，N為的中點，，
，的值隨著運動時間的改變而改變，故②正確；
，，，
的值不變，故③正確；
，，，解得：，故④正確；
故選：D
5．（23-24七年級上·四川廣元·期末）已知有理數a，b滿足∶ ．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動(點B在點C的左側)，且，下列結論：

①，； ②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時， 若點P是線段延長線上的點， 則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N 為線段的中點，則線段的長度不變． 其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】本題考查數軸的性質，解題關鍵是掌握數軸上兩點之間的距離公式，線段中點的含義．根據平方式和絕對值的非負性求出，，即可判斷①結論；根據點B與點O重合時，得到點C表示的數為2，即可判斷②結論；設點P對應的數是x，根據數軸上兩點之間距離公式得出，，，即可判斷③結論；設B表示的數為c，則C表示的數為， 根據中點定義可求M表示的數為，N表示的數為，然后數軸上兩點間距離公式求出，即可判斷④結論．
【詳解】解：∵，
∴，，∴，，故①正確；∴，
當點B與點O重合時，點B在點C的左側，∴C對應的數是2，∴，故②錯誤；
當點C與點A重合時，點C對應的數是4，點B對應的數是2，
設點P對應的數是x，則，，，
∴，故③正確；
設B表示的數為c，則C表示的數為， ∵M為線段的中點，∴M表示的數為，
∵N為線段的中點，A表示的數是4，∴N表示的數為
∴，故④正確，∴正確的是①③④，故選：C．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）已知直線上線段，線段（點在點的左側，點在點的左側），若線段的端點從點開始以1個單位/秒的速度向右運動，同時點從點開始以2個單位/秒的速度向右運動，點是線段的中點，則線段運動 秒時，．
【答案】2或18
【分析】設線段運動的時間為t秒，則，，，，．分兩種情況計算：①當M點在N點左側時，②當M點在N點右側時，分別將和用含有t的式子表示出來，根據列方程即可求出t的值．
本題主要考查了線段的中點、線段的和差、直線上的動點問題，解題的關鍵是正確的把各條線段用含有t的式子表示出來，并且注意分類討論．
【詳解】，
設線段運動的時間為t秒，則，，，，
∵點N是線段的中點，
．
①當M點在N點左側時
，
，
，
，
解得．
②當M點在N點右側時，
，
，
，
，
解得．
綜上，線段運動2秒或18秒時，．
故答案為：2或18．
7．（23-24七年級上·廣東·課后作業）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為 ．
【答案】1或
【分析】設運動的時間為t秒，點A表示的數為a，點b表示的數為b，點M表示的數為m，則，然后表示出，再由得到，再討論點M在數軸上的位置，結合已知條件進行求解即可．
【詳解】解；設運動的時間為t秒，點A表示的數為a，點b表示的數為b，點M表示的數為m，則，∴點C在數軸上表示的數為，點D在數軸上表示的數為，∴，∵，∴，即：，
①若點M在點B的右側時，如圖1所示：
由得，，即：；∴，
②若點M在線段上時，如圖2所示：
由得， ，即：；∴；
③若點M在線段上時，如圖3所示：
由得，，即：，
∵此時，∴此種情況不符合題意舍去；
④若點M在點A的左側時，如圖4所示：
由得，，即：；而，因此，不符合題意舍去，綜上所述，的值為1或，故答案為：1或．
【點睛】本題主要考查了數軸表示數的意義，整式的加減計算，掌握數軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關重要的作用．
8．（2023秋·河北邢臺·七年級統考期末）已知長方形中，，，動點從點出發沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發以每秒3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．
設運動時間為秒．

（1）當點到達終點時，點在邊 ；（2）當點在邊上運動時，用表示的式子為 ；
（3）點、相遇時， 秒．
【答案】 7.2
【分析】（1）由題意知，點從，運動時間為秒，點從，運動時間為秒，由，可知當點到達終點時，點運動路程為，由，可判斷點的位置；
（2）由題意知，；（3）由題意知，，計算求解即可．
【詳解】（1）解：由題意知，點從，運動時間為秒，
點從，運動時間為秒，
∵，∴當點到達終點時，點運動路程為，
∵，∴點在邊上，故答案為：；
（2）解：由題意知，，故答案為：；
（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．
【點睛】本題考查動點，列代數式，一元一次方程的應用．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．
9．（23-24七年級上·浙江紹興·期中）電子跳蚤游戲盤(如圖)為三角形，如果電子跳蚤開始時在邊的點，，第一步跳蚤從跳到邊上點，且；第二步跳蚤從跳到邊上點，且；第三步跳蚤從跳回到邊上點，且；…跳蚤按上述規則跳下去，第n次落點為，則與C之間的距離為 ．
【答案】5
【分析】本題首先根據題意，分別計算電子跳騷的位置和三角形的頂點的距離，找到循環的規律：經過6次跳，電子跳蚤回到起跳點．根據這一規律確定第2022次落點的位置，可得答案．
【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
此時與重合，即經過6次跳，電子跳蚤回到起跳點．
∵，即與重合，∴與C之間的距離為．故答案為：5
【點睛】本題考查了規律型：此題主要是能夠根據題意利用線段的和差計算出有關線段的長，發現電子跳蚤的落點的循環規律，掌握由特殊到一般推導規律是解題的關鍵．
10．（2024·江蘇·無錫市七年級期中）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．
【答案】1或
【分析】設點A在數軸上表示的數為a，點B在數軸上表示的數為b，設運動的時間為t秒，由OD=4AC得a與b的關系，再根據點M在直線AB的不同的位置分4種情況進行解答，①若點M在點B的右側時，②若點M在線段BO上時，③若點M在線段OA上時，④若點M在點A的左側時，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關系，再計算的值即可．
【詳解】設運動的時間為t秒，點M表示的數為m
則OC=t，BD=4t，即點C在數軸上表示的數為-t，點D在數軸上表示的數為b-4t，
∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，
①若點M在點B的右側時，如圖1所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a ∴
②若點M在線段BO上時，如圖2所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴
③若點M在線段OA上時，如圖3所示：
由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：
∵此時m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；
④若點M在點A的左側時，如圖4所示：
由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；
而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，
綜上所述，的值為1或．
【點睛】考查數軸表示數的意義，掌握數軸上兩點之間距離的計算方法是正確解答的關鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關重要的作用．
11．（23-24七年級上·四川巴中·期末）如圖：數軸上點A、B、D表示的數分別是，，1，且點C為線段的中點，點O為原點，點E在數軸上，點F為線段的中點，P、Q為數軸上兩個動點，點P從點B向左運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點D向左運動，速度為每秒3個單位長度，P、Q同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點E表示的數是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點P是線段的中點；其中正確的有 ．(填序號)

【答案】①③/③①
【分析】①根據線段的中點的定義以及點D、E可確定點C、F表示的數，進而得到的長度；②由，分兩種情況討論：點E在點D的右側時以及點E在點D的左側時，可得到點E表示的數，由點F為線段的中點可得點F表示的數，進而得到的長度；③當時，可得到的長，從而確定點P、Q，即可得到的長；④當時，可得到的長，從而確定點P、Q，進而判斷．
【詳解】解：①若點E表示的數是3，
∵點F為線段的中點，D表示的數是1，∴，即F表示的數是2，
∵數軸上點A、B表示的數分別是 9 ， 1 ，點C為線段的中點，
∴點C表示的數為，∴，故①正確；
②若，當點E在點D的右側時，則點E表示的數是4，
∵點F為線段的中點，∴，即F表示的數是，∴，
當點E在點D的左側時，則點E表示的數是，
∵點F為線段的中點，∴，即F表示的數是，∴，
綜上，或，故②不正確；
③當時，，
∵B、D表示的數分別是，1，∴P、Q表示的數分別是，∴，故③正確；
④當時，，，∴P、Q表示的數分別是，，
∵點P在D、Q的左側，不可能是線段的中點，故④不正確；故答案為：①③．
【點睛】本題考查了數軸以及兩點間的距離、線段的中點，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
12．（23-24九年級下·河北廊坊·階段練習）如圖，點是線段上一點，這樣，圖中共有三條線段，，若其中一條線段是另一條線段的兩倍，則稱點是線段的“兩倍分點”
（1）線段中點 （選填“是”或“不是”）這條線段的“兩倍分點”；
（2）若，點從點開始，以每秒1個單位的速度沿射線運動，設運動時間為且．則 時，點是線段的“兩倍分點”．
【答案】 是 ，12，18
【分析】本題考查線段之間的數量關系，與線段中點有關的計算：
（1）根據中點的性質以及“兩倍分點”的定義，進行判斷即可；
（2）分四種情況進行討論求解即可．
【詳解】解：（1）一條線段的中點把這條線段分成相等的兩部分，這條線段是每一部分的2倍，所以一條線段的中點是這條線段的“兩倍分點”，故答案為：是；
（2）∵，點從點開始，以每秒1個單位的速度沿射線運動，∴，
∵點是線段的“兩倍分點”∴點在線段上，∴，
當點運動到點時，所需時間為秒，∴，
當時：，解得：；
當時：，解得：；
當時：；
當時：，解得：；故答案為：，12，18．
13．（23-24七年級上·貴州貴陽·期末）如圖，點A，B，C在直線上，已知A，B兩點間的距離為24個單位長度，點位于A，B兩點之間，且到點的距離為15個單位長度，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿直線向右運動，點的速度是3個單位長度，點的速度是1個單位長度，設運動時間為，在運動過程中，當點P，Q，C這三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的中點時，滿足條件的值為 ．

【答案】或或33
【分析】分點為的中點，點為的中點，為的中點，三種情況進行討論求解．
【詳解】解：∵，∴，
①當點為的中點時，，解得：；
②當點為的中點時，，解得：；
③當為的中點時，，解得：；
綜上：或或；故答案為：或或33
【點睛】本題考查一元一次方程的應用，與線段中點有關的計算．解題的關鍵是讀懂題意，利用分類討論的思想，正確的列出方程．
三、解答題（本大題共12小題，共68分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
14．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，數軸上點A表示的數為，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒．
(1)填空：①A、B兩點間的距離___________，線段的中點表示的數為___________；
②用含t的代數式表示：t秒后，點P表示的數為___________；點Q表示的數為___________．
(2)求當t為何值時，；(3)當點P運動到點B的右側時，PA的中點為M，N為的三等分點且靠近于P點，求的值．
【答案】(1)①10，3；②，(2)1或3(3)5
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，數軸上兩點之間的距離，用數軸上的點表示有理數，與線段中點有關的計算，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．
（1）由數軸上兩點間的距離公式可求，兩點之間的距離，由中點公式可求線段的中點表示的數；
（2）根據點從點出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，點從點出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動，進行計算即可得到答案；由，得到方程，求解即可得到答案；
（3）先表示，，再代入計算即可．
【詳解】（1）解：①點表示的數為，點表示的數為8，
，兩點間的距離等于，線段的中點表示的數為；
②t秒后，點P表示的數為；點Q表示的數為；
（2），
，
或3，
或3時，；
（3）∵的中點為M，N為的三等分點且靠近于P點，
∴，
，
∴．
15．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）新定義學習：
【新知學習】若A，B，C是數軸上的三個點，如果點C到A的距離等于點C到B的距離，那么我們就稱點C是的中點．例如，如圖1，點A表示的數為，點B表示的數為3，表示數1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是2，那么點C是的中點．
【知識運用】(1)如圖2，E、F為數軸上兩點，點E所表示的數為，點F所表示的數為2，求的中點所表示的數，并說明理由．(2)如圖3，若數所表示的點G是的中點，那么M表示的數為 ，N表示的數為 （只要寫出符合條件的一對值即可）．
【知識拓展】(3)如圖4，A，B為數軸上兩點，點A所表示的數為，點B所表示的數為20．現有一只電子蝸牛P從點A出發，以1個單位每秒的速度向右運動；同時另一只電子蝸牛Q從點B出發，以2個單位每秒的速度向左運動，若點M，N分別是和的中點，則在P，Q的運動過程中，當 秒時，M，N點到原點的距離相等（請直接寫出答案）．
【答案】(1)，理由見解析(2)(3)秒或秒
【分析】本題考查了實數與數軸，結合中點公式與方程解答是解題的關鍵．
（1）利用中點公式解答；
（2）根據中點公式結合中點定義，求出、即可．
（3）表示出、表示的數，列方程解答．
【詳解】（1）解：、中點為，
理由：到和2的距離都是3；
（2）解：①，
取，則，
故答案為：1，（答案不唯一）；
（3）解：由題意得：點表示的數為，點表示的數為，
點表示的數為，點表示的數為，
①，在數軸同側，則有，解得；
②，在數軸異側，則有，解得；
綜上所述，當秒或24秒時，點，到原點的距離相等．
16．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）如圖（1），已知A，B為數軸上的兩點，點O表示原點，點A表示的數為．動點C從A出發做勻速運動，動點D從B出發做勻速運動．

(1)若動點C向右運動，動點D向左運動，且兩點同時出發，它們運動的時間、在數軸上的位置所表示的數記錄如下表．請將表格補充完整．
時間（秒） 0 1 2
C點在數軸上的位置所表示的數 _____
D點在數軸上的位置所表示的數 _____ 3 2
(2)若點D先出發2秒后，點C開始運動，它們以（1）中各自的速度和方向運動，求兩點相遇時的位置所表示的數．(3)如圖（2），若動點C，D以（1）中各自的速度同時反方向運動，同一時刻數軸上另有一動點P以恒定速度和方向從點O出發運動．在運動過程中，如果點F為線段的中點，且，試求點P的運動方向和速度．
【答案】(1)，；(2)；(3)點P向右運動，且運動速度為個單位/秒．
【分析】（1）本題考查數軸上兩點之間的距離，利用表格得出點C，點D的運動速度，根據距離時間速度，求出距離，即可解題．
（2）本題考查一元一次方程的實際應用，設C點的運動秒后，兩點相遇，根據點C的運動距離點D總的的運動距離，建立方程求解，即可得到相遇時間，再推出點C的運動距離，即可解題．
（3）本題考查一元一次方程的實際應用，以及線段中點的定義，設點P的運動速度為個單位/秒，運動時間為秒，表示出，，，根據題意分以下兩種情況討論，①點P向右運動，②點P向左運動，根據以上兩種情況通過建立方程求解，即可解題．
【詳解】（1）解：由題知，點C向右運動的速度為：個單位/秒，
當時間為2秒時，C點在數軸上的位置所表示的數為：，
點D向左運動的速度為：個單位/秒，
當時間為0秒時，點D在數軸上的位置所表示的數為：，
故答案為：，；
（2）解：由動點D從B出發可知，點B表示的數為，
設C點的運動秒后，兩點相遇，
根據題意有：，
解得：，
C點運動的距離為，
兩點相遇時的位置所表示的數為：；
（3）解：設點P的運動速度為個單位/秒，運動時間為秒，
下面分情況討論：
①點P向右運動，
有，，，
點F為線段的中點，
，
，
，整理得，解得，
即點P向右運動，且運動速度為個單位/秒；
②點P向左運動，
有，
，
，整理得，解得（不合題意，舍去），
綜上所述，點P向右運動，且運動速度為個單位/秒．
17．（2024·浙江·七年級專題練習）如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．
（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；
（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；
（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．
【答案】（1）點P在線段AB的處；（2）或；（3）結論②的值不變正確，.
【分析】（1）設運動時間為t秒，用含t的代數式可表示出線段PD、AC長，根據，可知點在線段上的位置；
（2）由可知，當點Q在線段AB上時，等量代換可得，再結合可得的值；當點Q在線段AB的延長線上時，可得，易得的值.
（3）點停止運動時，，可求得CM與AB的數量關系，則PM與PN的值可以含AB的式子來表示，可得MN與AB的數量關系，易知的值.
【詳解】解：（1）設運動時間為t秒，則，
由得，即
，，，即所以點P在線段AB的處；
（2）①如圖，當點Q在線段AB上時，
由可知，
②如圖，當點Q在線段AB的延長線上時，
， 綜合上述，的值為或；
（3）②的值不變.
由點、運動5秒可得，
如圖，當點M、N在點P同側時，點停止運動時，，
點、分別是、的中點，
當點C停止運動，點D繼續運動時，MN的值不變，所以；
如圖，當點M、N在點P異側時，
點停止運動時，，點、分別是、的中點，
當點C停止運動，點D繼續運動時，MN的值不變，所以；
所以②的值不變正確，.
【點睛】本題考查了線段的相關計算，利用線段中點性質轉化線段之間的和差倍分關系是解題的關鍵.
18．（23-24七年級上·浙江金華·期末）如圖①，已知線段，線段在射線上運動（點A在點B的左側，點C在點D的左側），且．
(1)若，求的長．(2)當在線段的延長線上時，如圖②所示，若點M，N分別是線段的中點，求的長．(3)當運動到某一時刻，使得點D與點B重合時，若點P是線段延長線上任意一點，請判斷是否為定值，并說明理由．
【答案】(1)17或25(2)(3)不是定值，理由見解析．
【分析】本題主要考查了非負數的性質，線段的和差關系，利用分類討論的思想求解是解題的關鍵．
（1）根據非負數的性質求出m、n的值，分類討論進行求解即可；
（2）根據線段和差關系進行計算即可．；
（3）先根據線段和差關系證明，再由即可得到答案．
【詳解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
①當點C在點B的左側時，
，
，
，
②當點C在點B的右側時，
，
，
，
綜上所述，的長為17或25．
（2）解：∵點M，N分別為線段的中點，
，．
∴；
（3）解：不是定值，說明如下：
點D與點B重合，點P是線段延長線上任意一點，如圖所示：
∴，
∵，
∴
，
∵點位值不確定，
∴長度不確定，
故不是定值．
19．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）如圖，在數軸上A，B，C三點分別表示的數是x，y，z．z是絕對值最小的整數，且x，y滿足．(1)填空：______， ______，______；

(2)若點B以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時，點A和點C分別以每秒2個單位長度和1個單位長度的速度向左運動．假設t秒鐘過后，若點A與點C之間的距離表示為，點B與點C之間的距離表示為，請判斷的值是否隨著時間t的變化而變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由；
(3)如圖，點D，E分別在點C的左右兩側，若點P，Q分別從點D，E處開始相向運動，在點C處相遇后，點P繼續向點E處運動，點Q停止了14秒后再繼續向點D處運動．點P，Q到達點E，D處立即折返，仍在C處相遇．已知點P每秒運動3個單位長度，點Q每秒運動4個單位長度，求點D與點E之間的距離．
【答案】(1)，1，0(2)的值不隨著時間t的變化而變化，其值為1，理由見詳解；
(3)點D與點E之間的距離為84個單位長度
【分析】（1）根據絕對值與偶次冪的非負性可進行求解；（2）由（1）可知：點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為1，點C在數軸上表示的數為0，則由題意可得：t秒鐘過后，點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為，點C在數軸上表示的數為，然后代入求解即可；
（3）設點P、Q第一次在點C相遇的時間為t，則有：，然后可得，進而求解即可．
【詳解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∵z是絕對值最小的整數，
∴；
故答案為，1，0；
（2）解：的值不隨著時間t的變化而變化，理由如下：
由（1）可知：點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為1，點C在數軸上表示的數為0，則由題意可得：t秒鐘過后，點A在數軸上表示的數為，點B在數軸上表示的數為，點C在數軸上表示的數為，
∴，
∴
；
（3）解：設點P、Q第一次在點C相遇的時間為t，則有：
，
∴第二次相遇時，點P從點C運動到點E后折返回點C處所需時間為，而點Q從點C運動到點D后折返回點C處所需時間為，
∵點Q停止了14秒后再繼續向點D處運動，
∴，解得：，
∴，即點D與點E之間的距離為84個單位長度．
【點睛】本題主要考查數軸上的動點問題、一元一次方程的應用及線段的和差問題，熟練掌握數軸上的動點問題、一元一次方程的應用及線段的和差問題是解題的關鍵．
20．（23-24七年級上·浙江紹興·期末）定義：若線段上的一個點把這條線段分成的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．
(1)如圖1，點是線段的一個三等分點，滿足，若，則________．
(2)如圖2，已知，點從點出發，點從點出發，兩點同時出發，都以每秒的速度沿射線方向運動秒．①當為何值時，點是線段的三等分點．
②在點，點開始出發的同時，點也從點出發，以每秒的速度沿射線方向運動，在運動過程中，點，點分別是，的三等分點，請直接寫出的值．
【答案】(1)3(2)①當為或時，點是線段的三等分點；②的值為或或
【分析】此題考查一元一次方程的實際運用，掌握數軸上兩點之間的距離求解方法，分類討論是解決問題的關鍵．（1）由，，可得出的長度；
（2）①點是線段的三等分點，分兩種情況：或進行討論求解即可；②點，點分別是，的三等分點，可以分四種情況討論求解即可．
【詳解】（1）∵，，
∴
故答案為：3；
（2）由題意可得：，
∴，
點是線段的三等分點，分兩種情況：
當時，，解得：；
當時，，解得：；
綜上所述：當為或時，點是線段的三等分點；
由題意得：，則，，
∵點，點分別是，的三等分點，
∴可以分四種情況討論：
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：；
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：；
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：；
當時，則，，
分別解得：，
∴
解得：（舍去）；
點，點分別是，的三等分點，的值為或或．
21．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）定義：在同一直線上有三點，若點到兩點的距離呈2倍關系，即或，則稱點是線段的“倍距點”．
(1)線段的中點 該線段的“倍距點”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，點是線段的“倍距點”，直接寫出 ．
(3)如圖1，在數軸上，點表示的數為2，點表示的數為20，點為線段中點．①現有一動點從原點O出發，以每秒2個單位的速度沿數軸向右勻速運動．設運動時間為秒，求當為何值時，點為的“倍距點”？②現有一長度為2的線段（如圖2，點起始位置在原點），從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿數軸向右勻速運動．當點為的“倍距點”時，請直接寫出的值．
【答案】(1)不是
(2)3或6或9或18
(3)或4或10；②或8或10或13
【分析】本題考查數軸上兩點間的距離，線段的中點，線段的和差，
（1）根據中點的意義可得，不滿足“倍距點”定義，即可作答；
（2）分情況討論當點C在線段上時，當點C在線段延長線上時，當點C在線段延長線上時，再根據“倍距點”的定義求解即可；
（3）①由題意得，，表示出，根據點為的“倍距點”，可得或，得出或，解絕對值方程求解即可；②由題意得點M表示的數為t，點N表示的數為，表示出，根據點為的“倍距點”，可得或，進而得出或，解絕對值方程求解即可；
熟練掌握知識點，準確理解新定義是解題的關鍵．
【詳解】（1）假設點P是線段的中點，
∴，
∴線段的中點不是該線段的“倍距點”，
故答案為：不是；
（2）當點C在線段上時，，
若，則，
若，則；
當點C在線段延長線上時，，則，則
當點C在線段延長線上時，，則；
故答案為：3或6或9或18；
（3）∵在數軸上，點表示的數為2，點表示的數為20，點為線段中點，
∴點C表示的數為11，
①由題意得，，
∴，
若點為的“倍距點”，
則或，
即，解得或10；
或，解得（負舍）；
綜上，的值為或4或10；
②由題意得點M表示的數為t，點N表示的數為，
∴，
∵點為的“倍距點”，
∴則或，
即或，
解得或8或10或13．
22．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點A、點B在數軸上分別表示數a、b，則A、B兩點之間的距離表示為．
【探索新知】如圖1，點C將線段分成和兩部分，若，則稱點C是線段的圓周率點，線段稱作互為圓周率伴侶線段 (1)若，則______；
(2)若點D也是圖1中線段的圓周率點（不同于C點），則______（填“<”、“”、“>”）
【深入研究】如圖2，現有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數軸上表示1的點重合，并把圓片沿數軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置
(3)若點M、N均為線段的圓周率點，求線段的長度；
(4)在圖2中，點P、Q分別從點O、C位置同時出發，分別以每秒3個單位長度、每秒2個單位長度的速度向右勻速運動，運動時間為t秒．當點P在點C左側時，P、C、Q三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點，請求出t的值
【答案】(1)(2)(3)(4)或
【分析】（1）根據線段之間的數量關系代入解答即可；
（2）根據線段的圓周率點的定義及相關線段的大小比較即可解題；
（3）由題意可知，點C表示的數是，設M點離O點近，且，根據題意可得關于x的一元一次方程，求解即可；（4）根據題意分類討論計算即可：①點P在點C左側，；②點P在點C左側，．
【詳解】（1）解：由題意得，∴，
∵，∴；
（2）解：如圖，∵，
當時，，，即點也是圖1中線段的圓周率點，
與的數量關系是相等；故答案為：；
（3）解：由題意可知，點C表示的數是，
∵點M、N均為線段的圓周率點，不妨設M點離O點近，且，
∴，∴，解得：，
∴，∴；
（4）解：由題意可知，點P、C、Q所表示的數分別為：，
當P、C、Q三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點時，
①如圖①，點P在點C左側，
∵，，∴；
如圖②，點P在點C左側，
∵，∴，∴；
綜上所述，t的值為或．
【點睛】本題考查了一元一次方程在新定義類動點問題中的應用，有一定綜合性，通過數形結合并分類討論，是解題的關鍵．
23．（23-24七年級·福建·期末）如圖，已知，點C、D分別為線段、上的動點，若點C從點O出發以的速度沿方向運動，同時點D從點B出發以的速度沿方向運動．

(1)如圖1，當運動時間為時，求的值；(2)如圖1，若在運動過程中，始終保持，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使，點P是直線OB上一點，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）先求出，，根據，求出，，最后求出結果即可；
（2）設運動時間為，則，，求出，，根據，得出，求出，再根據求出結果即可；
（3）當點P在O、B之間時，根據，得出，，求出，根據求出，根據，得出，求出，最后求出比值即可；當點P在點B右邊時，可得，進而可得結果．
【詳解】（1）解：當運動時間為時，，，
∵，∴，∴，
∵，∴；

（2）解：設運動時間為，則，，∴，，
∵，∴，∴
∵，∴，∴．
（3）解：∵，∴，，，
∵，∴點P在點O右邊，
當點P在O、B之間時，∴，
∵，∴，∴，∴．

當點P在點B右邊時，∵，，
∴，∴；綜上，或．
【點睛】本題主要考查了線段的和差運算，解題的關鍵是數形結合，根據線段之間的數量關系求出結果．
24．（23-24七年級上·湖南長沙·階段練習）材料閱讀：對線段而言，當點在線段上，且點是的中點時，有，反過來，當有時，則點為線段的中點．
(1)如圖1，點在線段上，若，則______；若，則______；
(2)如圖2，已知線段，點分別從點和點同時出發，相向而行，點的運動速度為，點的運動速度為，若它們相遇則點同時停止運動．線段的中點為點，線段的中點為點，運動時，求兩中點之間的距離；
(3)已知線段，點分別從點和點同時出發，相向而行，若點的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點同時停止運動，設運動時間為s，則當為何值時，等式成立？
【答案】(1)，(2)之間的距離(3)或時，等式成立
【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用，線段中點等知識．運動過程中用含的式子表達線段的長度是解決本題的關鍵．（1）用含式子表示，即可求解；
（2）由題意先求和，根據中點定義求出和，即可求得的距離；
（3）分兩種情況：當點到達點之前時，當點到達點返回時，分別表示、，代入題中等式，即可求出時間．
【詳解】（1）解：，，
又，，．
（2）如圖， 點的運動速度為，點的運動速度為，運動時間為，
，，
又、是線段、的中點，，，
．
（3）當點到達點之前時，即時，
由題意得，，，，
又，，解得：；
當點到達點返回時，即時，
由題意得，，，
又，，解得：，
綜上所述，當或時，等式成立．
25．（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖1，已知線段，點、、在線段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知動點從點出發，以的速度沿向點運動；同時動點從點出發，以的速度沿向點運動，當點到達點后立即以原速返回，直到點到達點，運動停止；設運動的時間為．①求為何值，線段的長為；②如圖2，現將線段折成一個長方形（點、重合），請問：是否存在某一時刻，以點、、、為頂點的四邊形面積與以點、、、為頂點的四邊形面積相等，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)16，8(2)①或或；②存在，
【分析】本題主要考查了與線段有關的動點問題， 線段等分點的相關計算，列一元一次方程解決實際問題等知識，解決問題的關鍵是弄清運動的過程和畫出圖形．
（1）根據比值列方程或直接列乘積式求得結果；
（2）①分為相遇前，相遇后以及M點返回三種情形，通過線段圖列方程求得；②分為相遇前（點M在上，N在上），此時即可列出方程求得，當M點返回時，點M在上，點N在上，此時，列出方程求得，
【詳解】（1）解：，，故答案是：16，8；
（2）①當M、N第一次相遇時，，當M到達E點時，，
如圖1，
當時，，∴，
如圖2，
當時，，∴，
如圖3，
當時，，∴，
綜上所述：或或；
②如圖4，
當時，由得，，∴，
如圖5，
當時，，∴，此時不構成四邊形，舍去
綜上所述：．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
專題6.9 線段的雙中點和雙角平分線模型
線段中的動態模型一直都是一大難點和常考點，它經常以壓軸題的形式出現。考查形式也是很豐富，和平時所學的內容結合在一起考。本專題就線段中的動態模型（與中點、和差倍分結合的動點問題；定值問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1.線段中點、和差倍分關系中的動態模型 1
考點2.線段上動點問題中的定值模型 4
考點3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型 8
考點4.閱讀理解型（新定義）模型 12
模塊3：能力培優 15
1、在與線段長度有關的問題中，常會涉及線段較多且關系較復雜的問題，而且題中的數據無法直接利用，常設未知數列方程。
2、線段的動態模型解題步驟：
1）設入未知量t表示動點運動的距離； 2）利用和差（倍分）關系表示所需的線段；
3）根據題設條件建立方程求解； 4）觀察運動位置可能的情況去計算其他結果。
考點1.線段中點、和差倍分關系中的動態模型
例1．（23-24七年級上·河北邯鄲·期末）如圖，嘉淇設計了一動畫，已知數軸上點，，表示的數分別為，，，是的中點，機器人（看成點）從點出發，以個單位長度秒的速度沿數軸正方向運動，當機器人到達點時，機器人（看成點）同時從點出發，以個單位長度秒的速度沿數軸正方向運動．設機器人的運動時間為秒．
(1)的長為________個單位長度，的值為________；(2)當時，求點表示的數；
(3)當機器人，和點中有一個點到其他兩點的距離相等時，直接寫出的值．
例2．（23-24七年級上·湖北武漢·階段練習）如圖，點P是定長線段上一點，從點從點B同時出發分別以每秒厘米的速度沿直線向左運動（C在線段上，D在線段上），并滿足下列條件：
①關于m、n的單項式與的和仍為單項式；②在運動過程中，總有．
(1)直接寫出：_______，_______；(2)求出的值，并說明理由：(3)在運動過程中，分別是的中點，運動t秒時，恰好滿足，求此時的值．
例3．（23-24七年級上·天津和平·期末）已知：如圖1，M是定長線段上一定點，C、D兩點分別從M，B出發以的速度沿直線向左運動，運動方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）
(1)若，當點C、D運動了，求的值；(2)若點C、D運動時，總有，求的值；(3)在（2）的條件下，N是直線上一點，且，直接寫出的值．
考點2.線段上動點問題中的定值模型
例1．（23-24七年級上·廣東佛山·階段練習）如圖，已知線段，線段在直線上運動（A在B左側，C在D左側），若(1)求線段的長．(2)若點M，N分別為線段的中點，且，求線段的長；(3)當運動到某一時刻時，點D與點B重合，點P是線段延長線上任意一點，則是一個定值，請加以說明．
例2．（23-24七年級上·湖北武漢·期末）如圖（）所示，已知直線上有兩點，，有一根木棒放在直線上，將木棒沿直線左右水平移動．當點與重合時，點剛好落在點移動前的位置，當點與重合時，點剛好落在點移動前的位置．

(1)直接寫出木棒的長；(2)木棒在射線上移動的過程中，當時，求的長；
(3)另一根木棒長為，和在直線上的位置如圖（）所示，其中點與重合，點與重合．木棒以個單位長度/秒的速度向左移動，木棒以個單位長度/秒的速度向右移動，它們同時出發，設運動時間為秒，若式子的值為定值，請直接寫出此時的取值范圍，并寫出這個定值．
例3．（2024七年級上·重慶·專題練習）如圖①，已知線段，，線段在射線上運動（點A在點B的左側，點C在點D的左側），且
(1)若，求的長．(2)當在線段的延長線上時，如圖②所示，若點分別是線段的中點，求的長．(3)當運動到某一時刻，使得點D與點B重合時，若點P是線段延長線上任意一點，請判斷是否為定值，并說明理由．
考點3.線段上動點問題中的存在性（探究性）模型
例1．（24-25七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，直線上有A、B兩點，，上有兩個動點P、Q．點P從點A出發，以每秒個單位長度的速度沿直線向右運動，同時點Q從點B出發，以每秒個單位長度的速度沿直線向右運動．設運動時間為（秒）．
(1)請用含t的代數式表示線段的長．(2)當點B是線段的中點時，求t的值．
(3)運動過程中，點P和點Q能否重合？若能重合，幾秒后重合？
(4)運動過程中，線段與線段的長度能否相等？若能相等請求出t值，若不能請說明理由．
例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【背景知識】數軸是重要的數學學習工具，利用數軸可以將數與形完美結合．已知結論：數軸上點表示的數分別為，則兩點之間的距離；線段的中點表示的數為．
【知識運用】（）點表示的數分別為，若與互為倒數，與互為相反數．則兩點之間的距離為______；線段的中點表示的數為______．
【拓展遷移】（）在（）的條件下，動點從點出發以每秒個單位的速度沿數軸向左運動，動點從點出發以每秒個單位的速度沿數軸向左運動，點是線段的中點．
①點表示的數是______（用含的代數式表示）；
②在運動過程中，點中恰有一點是另外兩點連接所得線段的中點，求運動時間；
③線段的長度隨時間的變化而變化，當點在點左側時，是否存在常數，使為定值？若存在，求常數及該定值；若不存在，請說明理由．
例3．（23-24七年級·湖南邵陽·期末）如圖，在直線上，線段，動點P從A出發，以每秒2個單位長度的速度在直線上運動，M為的中點，N為的中點，設點P的運動時間為t秒．
(1)若點P在線段上運動，當時，______；(2)若點P在射線上運動，當時，求點P的運動時間t的值；(3)當點P在線段的反向延長線上運動時，線段有怎樣的數量關系？請寫出你的結論，并說明你的理由．
考點4.閱讀理解型（新定義）模型
例1．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）【新知理解】如圖①，點在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點是線段的“巧點”．
（1）線段的中點______這條線段的“巧點”（填“是”或“不是”）；
（2）若，點是線段的巧點，則最長為______；
【解決問題】（3）如圖②，已知，動點從點出發，以的速度沿向點勻速移動；點從點出發，以的速度沿向點勻速移動，點、同時出發，當其中一點到達終點時，運動停止，設移動的時間為．當為何值時，為、的巧點？說明理由．
例2．（23-24七年級上·江蘇泰州·期末）【概念學習】點在線段上，若，則稱是點在線段上的“分點值”，記作．例如，如圖1，若，則點在線段上的“分點值”是，記作；若，則，故點在線段上的“分點值”是，記作．
【理解與應用】(1)已知點在線段上．若，，則________；
若，，則_________．
(2)如圖2，線段， 是線段上一點，、兩點分別從點、出發以，的速度同時向點運動，運動的時間為， 當其中一點到達點時，兩點都停止運動．
①若點在上運動時，總有，求出的值；
②若，則當為何值時，；
③若時，，則___________．
例3．（23-24七年級上·江蘇無錫·階段練習）如圖1，數軸上A，B兩點表示的數分別是和3，將這兩點在數軸上以相同的速度同時相向運動，若A，B分別到達M，N兩點（我們用表示以點A、點B為端點的線段的長，、表示的含義以此類推），且滿足（k為正整數），我們稱兩點完成了一次“準相向運動”．如圖2若它們按照原來的速度和方向繼續運動，分別到達，兩點，且滿足（k為正整數）我們稱兩點完成了二次“準相向運動”…．
(1)若A，B兩點完成了一次“準相向運動”．①當時，M，N兩點表示的數分別為 、 ；
②當k為任意正整數時，求M，N兩點表示的數；(2)如圖2所示，若A，B兩點完成了兩次“準相向運動”，并分別到達，兩點，若k不變，求，兩點所表示的數（用含k的式子表示）；
(3)若A，B兩點完成了n次“準相向運動”，并分別到達兩點，當時是否存在點，使其表示的數為65？如果存在，求完成的次數n和此時點所表示的數；如果不存在，說明理由．
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·山東臨沂·期末）如圖，已知（在的左側）是數軸上的兩點，點對應的數，且，動點從點出發，以每秒個單位長度的速度沿數軸向左運動，在點的運動過程中，始終為的中點，設運動時間為（）秒，則下列結論中正確結論的個數是（ ）
①對應的數是；②點到達點時，；③時，；
④在點的運動過程中，線段的長度會發生變化．
A． B． C． D．
2．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）如圖，線段，動點P從A出發，以的速度沿運動，M為的中點，N為的中點．以下說法正確的是（ ）
①運動后，；②的值隨著運動時間的改變而改變；③的值不變；
④當時，運動時間為．

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
3．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）如右圖所示：C是線段上一點，且，P、Q從C點同時出發，分別朝著點A運動、點B運動，且點P的運動速度是點Q的一半，當時，的長為（ ）

A． B． C． D．
4．（23-24七年級上·江蘇無錫·期末）如圖，線段，動點P從A出發，以的速度沿運動，M為的中點，N為的中點．以下說法正確的是（ ）
①運動后，； ②的值隨著運動時間的改變而改變；
③的值不變； ④當時，運動時間為．

A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
5．（23-24七年級上·四川廣元·期末）已知有理數a，b滿足∶ ．如圖，在數軸上，點O是原點，點A所對應的數是a，線段在直線上運動(點B在點C的左側)，且，下列結論：

①，； ②當點B與點O重合時，；③當點C與點A重合時， 若點P是線段延長線上的點， 則；④在線段運動過程中，若M為線段的中點，N 為線段的中點，則線段的長度不變． 其中正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
6．（23-24七年級上·廣東深圳·期末）已知直線上線段，線段（點在點的左側，點在點的左側），若線段的端點從點開始以1個單位/秒的速度向右運動，同時點從點開始以2個單位/秒的速度向右運動，點是線段的中點，則線段運動 秒時，．
7．（23-24七年級上·廣東·課后作業）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為 ．
8．（2023秋·河北邢臺·七年級統考期末）已知長方形中，，，動點從點出發沿以每秒2個單位的速度運動；同時，點也從點出發以每秒3個單位的速度沿運動，當其中一個點到達終點時另一個點也隨之停止運動．
設運動時間為秒．

（1）當點到達終點時，點在邊 ；（2）當點在邊上運動時，用表示的式子為 ；
（3）點、相遇時， 秒．
9．（23-24七年級上·浙江紹興·期中）電子跳蚤游戲盤(如圖)為三角形，如果電子跳蚤開始時在邊的點，，第一步跳蚤從跳到邊上點，且；第二步跳蚤從跳到邊上點，且；第三步跳蚤從跳回到邊上點，且；…跳蚤按上述規則跳下去，第n次落點為，則與C之間的距離為 ．
10．（2024·江蘇·無錫市七年級期中）如圖，數軸上有兩點，點C從原點O出發，以每秒的速度在線段上運動，點D從點B出發，以每秒的速度在線段上運動．在運動過程中滿足，若點M為直線上一點，且，則的值為_______．
11．（23-24七年級上·四川巴中·期末）如圖：數軸上點A、B、D表示的數分別是，，1，且點C為線段的中點，點O為原點，點E在數軸上，點F為線段的中點，P、Q為數軸上兩個動點，點P從點B向左運動，速度為每秒1個單位長度，點Q從點D向左運動，速度為每秒3個單位長度，P、Q同時運動，運動時間為．有下列結論：①若點E表示的數是3，則；②若，則；③當時，；④當時，點P是線段的中點；其中正確的有 ．(填序號)

12．（23-24九年級下·河北廊坊·階段練習）如圖，點是線段上一點，這樣，圖中共有三條線段，，若其中一條線段是另一條線段的兩倍，則稱點是線段的“兩倍分點”
（1）線段中點 （選填“是”或“不是”）這條線段的“兩倍分點”；
（2）若，點從點開始，以每秒1個單位的速度沿射線運動，設運動時間為且．則 時，點是線段的“兩倍分點”．
13．（23-24七年級上·貴州貴陽·期末）如圖，點A，B，C在直線上，已知A，B兩點間的距離為24個單位長度，點位于A，B兩點之間，且到點的距離為15個單位長度，點P，Q分別從A，B兩點同時出發，沿直線向右運動，點的速度是3個單位長度，點的速度是1個單位長度，設運動時間為，在運動過程中，當點P，Q，C這三點中恰好有一點是以另外兩點為端點的線段的中點時，滿足條件的值為 ．

三、解答題（本大題共12小題，共68分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
14．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，數軸上點A表示的數為，點B表示的數為8，點P從點A出發，以每秒3個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，同時點Q從點B出發，以每秒2個單位長度的速度向左勻速運動．設運動時間為t秒．
(1)填空：①A、B兩點間的距離___________，線段的中點表示的數為___________；
②用含t的代數式表示：t秒后，點P表示的數為___________；點Q表示的數為___________．
(2)求當t為何值時，；(3)當點P運動到點B的右側時，PA的中點為M，N為的三等分點且靠近于P點，求的值．
15．（23-24七年級上·浙江溫州·期中）新定義學習：
【新知學習】若A，B，C是數軸上的三個點，如果點C到A的距離等于點C到B的距離，那么我們就稱點C是的中點．例如，如圖1，點A表示的數為，點B表示的數為3，表示數1的點C到點A的距離是2，到點B的距離是2，那么點C是的中點．
【知識運用】(1)如圖2，E、F為數軸上兩點，點E所表示的數為，點F所表示的數為2，求的中點所表示的數，并說明理由．(2)如圖3，若數所表示的點G是的中點，那么M表示的數為 ，N表示的數為 （只要寫出符合條件的一對值即可）．
【知識拓展】(3)如圖4，A，B為數軸上兩點，點A所表示的數為，點B所表示的數為20．現有一只電子蝸牛P從點A出發，以1個單位每秒的速度向右運動；同時另一只電子蝸牛Q從點B出發，以2個單位每秒的速度向左運動，若點M，N分別是和的中點，則在P，Q的運動過程中，當 秒時，M，N點到原點的距離相等（請直接寫出答案）．
16．（23-24七年級上·浙江杭州·期末）如圖（1），已知A，B為數軸上的兩點，點O表示原點，點A表示的數為．動點C從A出發做勻速運動，動點D從B出發做勻速運動．

(1)若動點C向右運動，動點D向左運動，且兩點同時出發，它們運動的時間、在數軸上的位置所表示的數記錄如下表．請將表格補充完整．
時間（秒） 0 1 2
C點在數軸上的位置所表示的數 _____
D點在數軸上的位置所表示的數 _____ 3 2
(2)若點D先出發2秒后，點C開始運動，它們以（1）中各自的速度和方向運動，求兩點相遇時的位置所表示的數．(3)如圖（2），若動點C，D以（1）中各自的速度同時反方向運動，同一時刻數軸上另有一動點P以恒定速度和方向從點O出發運動．在運動過程中，如果點F為線段的中點，且，試求點P的運動方向和速度．
17．（2024·浙江·七年級專題練習）如圖，點是定長線段上一點，、兩點分別從點、出發以1厘米/秒，2厘米/秒的速度沿直線向左運動（點在線段上，點在線段上）．
（1）若點、運動到任一時刻時，總有，請說明點在線段上的位置；
（2）在（1）的條件下，點是直線上一點，且，求的值；
（3）在（1）的條件下，若點、運動5秒后，恰好有，此時點停止運動，點繼續運動（點在線段上），點、分別是、的中點，下列結論：①的值不變；②的值不變．可以說明，只有一個結論是正確的，請你找出正確的結論并求值．
18．（23-24七年級上·浙江金華·期末）如圖①，已知線段，線段在射線上運動（點A在點B的左側，點C在點D的左側），且．
(1)若，求的長．(2)當在線段的延長線上時，如圖②所示，若點M，N分別是線段的中點，求的長．(3)當運動到某一時刻，使得點D與點B重合時，若點P是線段延長線上任意一點，請判斷是否為定值，并說明理由．
19．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）如圖，在數軸上A，B，C三點分別表示的數是x，y，z．z是絕對值最小的整數，且x，y滿足．(1)填空：______， ______，______；

(2)若點B以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時，點A和點C分別以每秒2個單位長度和1個單位長度的速度向左運動．假設t秒鐘過后，若點A與點C之間的距離表示為，點B與點C之間的距離表示為，請判斷的值是否隨著時間t的變化而變化？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由；
(3)如圖，點D，E分別在點C的左右兩側，若點P，Q分別從點D，E處開始相向運動，在點C處相遇后，點P繼續向點E處運動，點Q停止了14秒后再繼續向點D處運動．點P，Q到達點E，D處立即折返，仍在C處相遇．已知點P每秒運動3個單位長度，點Q每秒運動4個單位長度，求點D與點E之間的距離．
20．（23-24七年級上·浙江紹興·期末）定義：若線段上的一個點把這條線段分成的兩條線段，則稱這個點是這條線段的三等分點．
(1)如圖1，點是線段的一個三等分點，滿足，若，則________．
(2)如圖2，已知，點從點出發，點從點出發，兩點同時出發，都以每秒的速度沿射線方向運動秒．①當為何值時，點是線段的三等分點．
②在點，點開始出發的同時，點也從點出發，以每秒的速度沿射線方向運動，在運動過程中，點，點分別是，的三等分點，請直接寫出的值．
21．（23-24七年級上·浙江寧波·期末）定義：在同一直線上有三點，若點到兩點的距離呈2倍關系，即或，則稱點是線段的“倍距點”．
(1)線段的中點 該線段的“倍距點”；（填“是”或者“不是”）
(2)已知，點是線段的“倍距點”，直接寫出 ．
(3)如圖1，在數軸上，點表示的數為2，點表示的數為20，點為線段中點．①現有一動點從原點O出發，以每秒2個單位的速度沿數軸向右勻速運動．設運動時間為秒，求當為何值時，點為的“倍距點”？②現有一長度為2的線段（如圖2，點起始位置在原點），從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿數軸向右勻速運動．當點為的“倍距點”時，請直接寫出的值．
22．（23-24七年級上·江蘇鹽城·期中）如圖，點A、點B在數軸上分別表示數a、b，則A、B兩點之間的距離表示為．
【探索新知】如圖1，點C將線段分成和兩部分，若，則稱點C是線段的圓周率點，線段稱作互為圓周率伴侶線段 (1)若，則______；
(2)若點D也是圖1中線段的圓周率點（不同于C點），則______（填“<”、“”、“>”）
【深入研究】如圖2，現有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數軸上表示1的點重合，并把圓片沿數軸向右無滑動地滾動1周，該點到達點C的位置
(3)若點M、N均為線段的圓周率點，求線段的長度；
(4)在圖2中，點P、Q分別從點O、C位置同時出發，分別以每秒3個單位長度、每秒2個單位長度的速度向右勻速運動，運動時間為t秒．當點P在點C左側時，P、C、Q三點中某一點為其余兩點所構成線段的圓周率點，請求出t的值
23．（23-24七年級·福建·期末）如圖，已知，點C、D分別為線段、上的動點，若點C從點O出發以的速度沿方向運動，同時點D從點B出發以的速度沿方向運動．

(1)如圖1，當運動時間為時，求的值；(2)如圖1，若在運動過程中，始終保持，求OA的長；(3)如圖2，在（2）的條件下，延長BO到點M，使，點P是直線OB上一點，且，求的值．
24．（23-24七年級上·湖南長沙·階段練習）材料閱讀：對線段而言，當點在線段上，且點是的中點時，有，反過來，當有時，則點為線段的中點．
(1)如圖1，點在線段上，若，則______；若，則______；
(2)如圖2，已知線段，點分別從點和點同時出發，相向而行，點的運動速度為，點的運動速度為，若它們相遇則點同時停止運動．線段的中點為點，線段的中點為點，運動時，求兩中點之間的距離；
(3)已知線段，點分別從點和點同時出發，相向而行，若點的運動速度分別為和，點到達點后立即以原速返回，點到達點時，點同時停止運動，設運動時間為s，則當為何值時，等式成立？
25．（23-24七年級上·江蘇宿遷·階段練習）如圖1，已知線段，點、、在線段上，且．
(1)__________，__________；
(2)已知動點從點出發，以的速度沿向點運動；同時動點從點出發，以的速度沿向點運動，當點到達點后立即以原速返回，直到點到達點，運動停止；設運動的時間為．①求為何值，線段的長為；②如圖2，現將線段折成一個長方形（點、重合），請問：是否存在某一時刻，以點、、、為頂點的四邊形面積與以點、、、為頂點的四邊形面積相等，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑