資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題6.9 線段的雙中點和雙角平分線模型
對于剛接觸幾何的七年級學生來說，關于線段、角度的相關計算是有很大難度的，這就要求學生面對這類題時具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發，先由線段（角）的和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點與雙角平分線模型模型，可以寫出的線段（角）和差種類較多，這就增加了思考的難度。
如果掌握了這個模型的結論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案。總之，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1.線段的雙中點模型 2
考點2.線段的多中點模型 6
考點3.雙角平分線模型與角n等分線模型 9
模塊3：能力培優 15
1.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖，有：.
①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.
②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.
如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點，則有.
2.角的平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成相等的兩個角，這條射線叫作這個角的平分線。如圖所示，射線OC是∠BOA的平分線，則∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 類似地，還有角的三等分線、n等分線等。
考點1.線段的雙中點模型
【解題方法】
條件：點M、N分別為線段AB、BC的中點，結論：.
證明：①當點B在線段AC上，如圖1，
圖1
∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；
∵MN=BM+BN，∴；
②當點B在線段AC的延長線上，如圖2，
圖2
∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；
∵MN=BM-BN，∴；
③當點B在線段CA的延長線上
圖3
∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，點是線段上的一點，點、分別是線段、的中點．(1)如圖1，若點是線段的中點，且，則線段的長______，線段的長______；(2)如圖2，若點是線段上的任一點，且，求線段的長．
例2．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知線段，延長至點，使，點、均在線段的延長線上，且，是線段的中點，當點是線段的中點時，的長為 ．（用含有的式子表示）
例3．（23-24七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，M、N分別為的中點，若、，則 ．
例4．（23-24七年級上·重慶九龍坡·期末）已知、、三點在同一直線上，，點、分別是線段、的中點，則線段的長度為（ ）
A． B． C．或 D．或
例5．（23-24七年級上·遼寧鞍山·階段練習）如圖，點A，B，C在同一條直線上，H為的中點，M為的中點．N為的中點．則下列說法：①；②；③；④；其中正確的是 ．
例6．（23-24七年級·上海浦東新·期末）平面上有一條線段，長度為厘米，點C是線段的中點，點D是線段的中點，如果點E在線段上，且，則 厘米．
例7．（2023·廣東·七年級統考期末）如圖，點在線段上，，，點、分別是、的中點．(1)求線段的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．
考點2.線段的多中點模型
【解題方法】
條件：如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點、﹔第2次操作：分別取線段和的中點，﹔第3次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作n次，結論：．
證明：∵、是和的中點，∴，，
∴，∵、是和的中點，
∴，，∴，
∵，是和的中點，∴，，
∴，……發現規律：，
例1．（23-24七年級上·山東煙臺·期中）如圖，點P從距原點2個單位的A點處向原點方向跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此不斷跳動下去，則第12次跳動后，該點到A點的距離為（ ）
A． B． C． D．
例2．（23-24七年級上·河南濮陽·期末）已知：如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點，； 第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，，連續這樣操作4 次，則 ．
例3．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，已知，點在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點，；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作次，則 ．
例4．（23-24七年級上·廣東·期中）學習了線段的中點之后，小明利用數學軟件做了n次取線段中點實驗：如圖，設線段，第1次，取的中點；第2次，取的中點；第3次，取的中點，第4次，取的中點；…
(1)請完成下列表格數據．
次數 線段的長
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明對線段的表達式進行了如下化簡：
因為，所以，
兩式相加，得，所以．請你參考小明的化簡方法，化簡的表達式．
(3)類比猜想：_____，=_____，隨著取中點次數n的不斷增大，的長最終接近的值是____．
考點3.雙角平分線模型與角n等分線模型
【解題方法】
1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC； 結論：。
證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
圖1 圖2 圖3 圖4
2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC； 結論：。
證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）
條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
結論：。
證明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
4）角n等分線模型
條件：如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線；結論：．
證明：，、分別是和的平分線，
，，
、分別是和的平分線，，
，
、分別是和的平分線，，
，…，
由此規律得：。
例1．（2024·山西臨汾·七年級校聯考階段練習）如圖，已知，是內一條射線，平分，平分，，則 ．

例2．（2023秋·河北唐山·七年級統考期末）如圖，是的平分線，是的平分線，且．(1)求的度數；(2)若，直接寫出的度數．
例3．（2023·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，是的平分線，射線在內部，是的平分線，已知，那么的大小等于 °．
例4．（2023秋·福建福州·七年級統考期末）如圖，已知射線在內部，平分平分平分，以下四個結論：① ；②；③；④．其中正確的結論有 （填序號）．

例5．（2023·河南·七年級校聯考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數是 ．

例6．（2023秋·浙江湖州·七年級統考期末）定義：從的頂點出發，在角的內部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設，則用含x的代數式表示為（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
例7．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）如圖，點，，在同一條直線上，，分別平分和．(1)求的度數；(2)如果．①求的度數；②若，直接寫出的度數．
例8．（2024·河南商丘·七年級統考期末）綜合與探究：如圖1，在的內部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．
(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數為__________．
(2)如圖2，已知，過點O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數（）．
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023吉林七年級上學期期末數學試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（ ）
A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角
C．圖中∠AOC的補角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個
2．（2023·浙江·七年級專題練習）如圖所示，B，C是線段上任意兩點，M是的中點，N是的中點，若，，則的長度是（　　）
A． B． C． D．以上都不對
3．（2023春·山東菏澤·七年級統考期末）如圖，平分，平分，，，（ ）

A． B． C． D．
4．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯考期末）如圖，點A，B，C順次在同一直線上，點M是線段的中點，點N是線段的中點．若想求出的長度，那么只需添加條件（ ）
A． B． C． D．
5．（2024七年級·廣東·培優）如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，是的中點，是線段的中點，，，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·山東泰安·七年級統考期末）如圖，點在直線上，平分，平分，如果，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（ ）．

A． B． C． D．
8．（2023秋·福建泉州·七年級統考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（ ）
A． B． C．或 D．或
9．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（ ）
A． B． C． D．
10．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在的內部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數為（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖，兩根木條的長度分別為和，在它們的中點處各打一個小孔M，N（木條的厚度，寬度以及小孔大小均忽略不計）．將這兩根木條的一端重合并放置在同一條直線上，則兩小孔間的距離 ．

12．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）已知、、三點在同一條直線上，、分別為線段、的中點，且，，則 。
13．（2023春·四川達州·七年級校考階段練習）已知點A、B、C都在直線l上，點C是線段的三等分點，D、E分別為線段中點，直線l上所有線段的長度之和為91，則 ．
14．（2023春·山西太原·七年級校考階段練習）如圖，點A，O，B在同一條直線上，，分別平分和．

請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇 題．
A．的度數 ．B．如果，的度數 ．
15．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為 （用a，b的式子表示）．
16．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，點C，D在線段上，P，Q分別是的中點，若，則 ．
17．（2023秋·廣東梅州·七年級校考階段練習）已知，由定點引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則 度．
18．（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）如圖，為直線上一點，，平分，平分，平分，下列結論：；與互補；；．請你把所有正確結論的序號填寫在橫線上 ．

三、解答題（本大題共7小題，共48分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19.（2024·浙江湖州·七年級統考期末）如圖，已知線段，延長線段至點，使得．點為線段的中點，點為線段的中點．(1)若，求線段的長；(2)若，求的值．
20．（22-23七年級上·河南南陽·期末）如圖，點是線段上的一點，其中，，是線段的中點，是線段上一點．
(1)若為線段的中點，求的長度；(2)若為線段的一個三等分點，求的長度．

21．（2023·山東棗莊·七年級校考期末）（1）如圖1，已知線段，C是線段AB上一點，，M是的中點，N是的中點．求線段的長．（2）如圖2，已知點O是直線上一點，射線、分別是、的平分線．①若，求的度數．
②如果把“”條件去掉，那么的度數有變化嗎？請說明理由．
22．（2023秋·湖南永州·七年級統考期末）點為直線上一點，在直線同側任作射線，使得．
(1)如圖一，過點作射線，使為的角平分線，若時，則________，________；(2)如圖二，過點O作射線，當恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分．①若，求的度數（寫出推理過程）；
②若，則的度數是________（直接填空）．
(3)過點作射線，當恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當時，則的度數是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）

23．（2023秋·福建泉州·七年級校考期末）【概念與發現】當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．
例如，點C是AB的中點時，即，則；反之，當時，則有．
因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．
(1)【理解與應用】如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．
(2)【拓展與延伸】已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．
①小王同學發現，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；
②t為何值時，．
24．（2024·浙江·七年級專題練習）定義：在一個已知角內部，一條線分已知角成兩個新角，其中一個角度數為另個角度數的兩倍，我們把這條線叫做這個已知角的三等分線．
(1)如圖，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分線，求∠AOC的度數．
(2)點O在線段AB上（不含端點A，B），在直線AB同側作射線OC，OD．設∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①當OC是∠AOD的三等分線時，求t的值．②當OC是∠BOD的三等分線時，求∠BOD的度數．
25．（23-24七年級上·浙江臺州·期末）下列各題中，是的三等分線，是的三等分線，且，．
(1)如圖1，若點A，O，B在一條直線上，則______；
(2)如圖2，若點A，O，B不在一條直線上，且，求的度數；
(3)如圖3，若在的內部，則______．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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專題6.9 線段的雙中點和雙角平分線模型
對于剛接觸幾何的七年級學生來說，關于線段、角度的相關計算是有很大難度的，這就要求學生面對這類題時具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來講，這類題通常由問題出發，先由線段（角）的和差確定解題方向，然后輔以線段中點（角平分線）來解決。但是，對于有公共部分的線段雙中點與雙角平分線模型模型，可以寫出的線段（角）和差種類較多，這就增加了思考的難度。
如果掌握了這個模型的結論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案。總之，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。
模塊1：知識梳理 1
模塊2：核心考點 2
考點1.線段的雙中點模型 2
考點2.線段的多中點模型 6
考點3.雙角平分線模型與角n等分線模型 9
模塊3：能力培優 15
1.線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如圖，有：.
①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.
②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.
如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點，則有.
2.角的平分線：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成相等的兩個角，這條射線叫作這個角的平分線。如圖所示，射線OC是∠BOA的平分線，則∠BOC＝∠COA＝∠BOA或∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA。 類似地，還有角的三等分線、n等分線等。
考點1.線段的雙中點模型
【解題方法】
條件：點M、N分別為線段AB、BC的中點，結論：.
證明：①當點B在線段AC上，如圖1，
圖1
∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；
∵MN=BM+BN，∴；
②當點B在線段AC的延長線上，如圖2，
圖2
∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；
∵MN=BM-BN，∴；
③當點B在線段CA的延長線上
圖3
∵M、N分別為AB、BC的中點，∴（中點定義）；（中點定義）；
∵MN=BN-BM，∴；
例1．（23-24七年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，點是線段上的一點，點、分別是線段、的中點．(1)如圖1，若點是線段的中點，且，則線段的長______，線段的長______；(2)如圖2，若點是線段上的任一點，且，求線段的長．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查與中點有關的線段計算，根據圖形中線段的關系得到等量關系是關鍵．
（1）首先根據點M是線段的中點，，求出的長度是多少；然后根據點P是線段的中點，求出線段的長是多少即可．（2）根據點M是線段的中點，點N是線段的中點，可得，，據此判斷出，求出線段的長是多少即可．
【詳解】（1）解：∵M是線段的中點，，∴．
又∵點P是線段的中點，∴．
（2）∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，∴，，
∴．∵，∴．
例2．（23-24七年級上·江蘇南通·階段練習）如圖，已知線段，延長至點，使，點、均在線段的延長線上，且，是線段的中點，當點是線段的中點時，的長為 ．（用含有的式子表示）
【答案】/
【分析】本題考查了線段的中點計算，線段的和差計算，正確理解線段的中點是解題的關鍵，根據中點，線段的和差，依次計算即可．
【詳解】∵，，∴．
∵，是線段的中點，∴．
∵點是線段的中點，∴．
∵，∴．∴．故答案為：．
例3．（23-24七年級上·吉林長春·階段練習）如圖，M、N分別為的中點，若、，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了線段的中點以及線段的和差運算，先算出的長度，根據中點列式計算，即可作答．
【詳解】解：∵、，∴
∵M、N分別為的中點，∴
則故答案為：4
例4．（23-24七年級上·重慶九龍坡·期末）已知、、三點在同一直線上，，點、分別是線段、的中點，則線段的長度為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本題考查了線段的和差運算，線段的中點的含義，分類討論：C在線段上，C在線段的延長線上，根據線段中點的性質，可得，的長，根據線段的和差，可得的長．
【詳解】解：如圖，當C在線段上時，
由點E，F分別是線段、的中點，得，，
∴．
如圖，當C在線段的延長線上時，
由點E，F分別是線段、的中點，得，，
∴，綜上可知，線段的長為或．故選：D．
例5．（23-24七年級上·遼寧鞍山·階段練習）如圖，點A，B，C在同一條直線上，H為的中點，M為的中點．N為的中點．則下列說法：①；②；③；④；其中正確的是 ．
【答案】①②④
【分析】本題考查的是兩點間的距離的計算，掌握線段中點的概念和性質，根據線段中點的性質、結合圖形計算即可判斷．
【詳解】解：∵H為的中點，M為的中點．N為的中點，
，
，，①正確；
∴，②正確；
，③錯誤，
，④正確，
綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．
例6．（23-24七年級·上海浦東新·期末）平面上有一條線段，長度為厘米，點C是線段的中點，點D是線段的中點，如果點E在線段上，且，則 厘米．
【答案】
【分析】本題考查了線段的和與差，與線段中點有關的計算等知識．熟練掌握線段的和與差，與線段中點有關的計算是解題的關鍵．
由題意知，，，，由點E在線段上，可得，由，可求，根據，計算求解即可．
【詳解】解：由題意知，，∵點C是線段的中點，∴，
∵點D是線段的中點，∴，
∵點E在線段上，∴，
又∵，∴，∴，故答案為：．
例7．（2023·廣東·七年級統考期末）如圖，點在線段上，，，點、分別是、的中點．
(1)求線段的長；(2)若點在線段的延長線上，且滿足，其它條件不變，你能猜想的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結論，并說明理由．
【答案】(1)(2)，詳見解析
【分析】（1）利用線段的和差，線段的中點的性質計算；
（2）先畫出圖形，再利用線段的和差，線段的中點的性質計算．
【詳解】（1）解：點在線段上，，，點、分別是、的中點，
，，
；
（2）解：如圖所示，
點在線段的延長線上，且滿足，
又點、分別是、的中點，，，
，的長度．
【點睛】本題考查了兩點間的距離，解題的關鍵是掌握線段的和差，線段中點的性質．
考點2.線段的多中點模型
【解題方法】
條件：如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第1次操作：分別取線段和的中點、﹔第2次操作：分別取線段和的中點，﹔第3次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作n次，結論：．
證明：∵、是和的中點，∴，，
∴，∵、是和的中點，
∴，，∴，
∵，是和的中點，∴，，
∴，……發現規律：，
例1．（23-24七年級上·山東煙臺·期中）如圖，點P從距原點2個單位的A點處向原點方向跳動，第一次跳動到的中點處，第二次從點跳動到的中點處，第三次從點跳動到的中點處，如此不斷跳動下去，則第12次跳動后，該點到A點的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了數字的規律，數軸上兩點間的距離，根據題意，找出數字規律后與2計算距離即可．
【詳解】∵A表示的數是2，原點表示的數是0，
∴表示的數是，表示的數是，表示的數是，由此得到表示的數是，
故第12次跳動后，該點到A點的距離為，故選C．
例2．（23-24七年級上·河南濮陽·期末）已知：如圖，點M在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點，； 第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，，連續這樣操作4 次，則 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了兩點間的距離，熟練掌握兩點的距離計算的方法進行計算及根據題意找出問題的規律進行求解是解決本題的關鍵．根據題意可得，根據線段的差可得，，的長度表示，根據規律進行推理即可得出，即可得出答案．
【詳解】解：根據題意可得，∵，∴，
∵線段 和 的中點 ，∴，
同理：，∴，……
依次類推， ，∴，故答案為：4．
例3．（23-24七年級上·江蘇南通·期末）如圖，已知，點在線段的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點，；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作次，則 ．
【答案】
【分析】本題考查兩點間的距離，根據線段中點的定義得出是解題關鍵．根據線段中點定義先求出的長度，再由的長度求出的長度，從而找到的規律，即可求出結果．
【詳解】解：∵線段，線段和的中點，，
∴，
∵線段和的中點，；
∴
發現規律：，∴．故答案為：．
例4．（23-24七年級上·廣東·期中）學習了線段的中點之后，小明利用數學軟件做了n次取線段中點實驗：如圖，設線段，第1次，取的中點；第2次，取的中點；第3次，取的中點，第4次，取的中點；…
(1)請完成下列表格數據．
次數 線段的長
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次 ①______ ②________
… … …
(2)小明對線段的表達式進行了如下化簡：
因為，所以，
兩式相加，得，所以．請你參考小明的化簡方法，化簡的表達式．
(3)類比猜想：_____，=_____，隨著取中點次數n的不斷增大，的長最終接近的值是____．
【答案】(1)①；②
(2)(3)
【分析】本題考查規律型：數字的變化類，找到規律并會表現出來是解題關鍵．
（1）根據表中的規律可求出，根據可得出答案；
（2）參照小明對線段的表達式的化簡可得的表達式；（3）根據類比猜想可得答案．
【詳解】（1）解：，；
故答案為：，；
（2）因為，所以．
兩式相加，得．所以；
（3），隨著取中點次數的不斷增大的長最終接近的值是．
故答案為：．
考點3.雙角平分線模型與角n等分線模型
【解題方法】
1）雙角平分線模型（兩個角無公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC； 結論：。
證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
圖1 圖2 圖3 圖4
2）雙角平分線模型（兩個角有公共部分）
條件：如圖1，已知：OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC； 結論：。
證明：∵OD、OE分別平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：雙角平分線模型（三個角圍成一個周角）
條件：如圖3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
結論：。
證明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
4）角n等分線模型
條件：如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線；結論：．
證明：，、分別是和的平分線，
，，
、分別是和的平分線，，
，
、分別是和的平分線，，
，…，
由此規律得：。
例1．（2024·山西臨汾·七年級校聯考階段練習）如圖，已知，是內一條射線，平分，平分，，則 ．

【答案】/25度
【分析】由角平分線的性質可得，再由，可求得，進一步利用角平分線的性質求解即可．
【詳解】解：平分，，，
，，
平分，，故答案為：．
【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，角的和差計算，仔細觀察圖形找到數量關系是解題的關鍵．
例2．（2023秋·河北唐山·七年級統考期末）如圖，是的平分線，是的平分線，且．(1)求的度數；(2)若，直接寫出的度數．

【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用角平分線的的定義依次求出、即可；
（2）利用角平分線的的定義依次用表示、即可；
【詳解】（1）解：，是的平分線，，
是的平分線，．
（2）解：；，是的平分線，，
是的平分線，．
【點睛】本題考查的是角平分線的定義，熟知從一個角的頂點出發，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線是解答此題的關鍵．
例3．（2023·黑龍江大慶·七年級校考期末）如圖，是的平分線，射線在內部，是的平分線，已知，那么的大小等于 °．
【答案】40
【分析】據角平分線的定義得到，，根據角的和差即可得到結論．
【詳解】解：∵是的平分線，∴，
設，，則，
又∵是的平分線，∴
∴，∵，∴，∴，
∴．故答案為：40．
【點睛】本題考查角平分線的定義和圖中各角之間的和差關系，解題關鍵是找出圖中各角之間的和差關系．
例4．（2023秋·福建福州·七年級統考期末）如圖，已知射線在內部，平分平分平分，以下四個結論：① ；②；③；④．其中正確的結論有 （填序號）．

【答案】①②④
【分析】①根據平分，平分，平分，得出，，，求出，即可得出結論；②根據角度之間的關系得出，得出，即可得出結論；③無法證明；④根據，得出，，即可得出結論．
【詳解】解：①∵平分，平分，平分，
∴，，，
，，
即，故①正確；
②∵
，，
∴，故②正確；③與不一定相等，故③錯誤；
④根據解析②可知，，∴，
∵，∴，故④正確；
綜上分析可知，正確的有①②④．故答案為：①②④．
【點睛】本題考查角平分線的有關計算，根據角度之間的關系得出是解題關鍵．
例5．（2023·河南·七年級校聯考期末）如圖，分別是和的平分線，分別是和的平分線，分別是和的平分線，…，分別是和的平分線，則的度數是 ．

【答案】
【分析】由角平分線性質推理得，，，據此規律可解答．
【詳解】解：，、分別是和的平分線，
，，
、分別是和的平分線，，
，
、分別是和的平分線，，
，…，
由此規律得：．故答案為：．
【點睛】本題考查角平分線的性質、圖形規律等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
例6．（2023秋·浙江湖州·七年級統考期末）定義：從的頂點出發，在角的內部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設，則用含x的代數式表示為（ ）
A．或或 B．或或 C．或或 D．或或
【答案】C
【分析】分四種情況，分別計算，即可求解．
【詳解】解：如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，
則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，
；
如圖：射線是的三等分線，射線是的三等分線，則，，
；綜上，為或或，故選：C．
【點睛】本題考查了角的有關計算，畫出圖形，采用分類討論的思想是解決本題的關鍵．
例7．（2023秋·遼寧沈陽·七年級統考期末）如圖，點，，在同一條直線上，，分別平分和．(1)求的度數；(2)如果．①求的度數；②若，直接寫出的度數．
【答案】(1)；(2)①；②或．
【分析】（1）由角平分線定義可知，，再根據和可得結果；（2）①利用角之間的和差關系求解即可；②分當在上方時，當在下方時，利用角之間的和差關系求解即可．
【詳解】（1）解：∵，分別平分和，∴，，
則，
∵，∴；
（2）①∵，，∴，
由（1）可知，，則，
∴，
②由①可知，，∵平分，∴，
當在上方時，；
當在下方時，；綜上，為或．
【點睛】本題考查角平分線的定義，利用角的和差關系求解的度數，解決問題的關鍵在于結合圖形，找角之間的和差關系．
例8．（2024·河南商丘·七年級統考期末）綜合與探究：如圖1，在的內部畫射線，射線把分成兩個角，分別為和，若這兩個角中有一個角是另外一個角的2倍，則稱射線為的“3等分線”．
(1)若，射線為的“3等分線”，則的度數為__________．
(2)如圖2，已知，過點O在外部作射線．若三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為角的“3等分線”，求的度數（）．
【答案】(1)或(2)或或或
【分析】（1）根據“3等分線”的定義分和兩種情況求解即可；
（2）分為的“3等分線”和為的“3等分線”兩種情況求解即可．
【詳解】（1）根據“3等分線”的定義可得，或
∵ ∴或故答案為： 或
（2）①當OA在的內部時，如圖，
根據“3等分線”的定義可得，或
②當OB在的內部時，如圖，
根據“3等分線”的定義可得，或
此時，或
綜上，的度數為或或或．
【點睛】本題主要考查了角的和差倍分，熟練掌握“3等分線”的定義是解答本題的關鍵．
全卷共25題 測試時間：60分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（2023吉林七年級上學期期末數學試題）如圖，射線OC、OD把平角∠AOB三等分，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，下列說法正確的是（ ）
A．圖中只有兩個120°的角 B．圖中只有∠DOE是直角
C．圖中∠AOC的補角有3個 D．圖中∠AOE的余角有2個
【答案】C
【詳解】解：∵射線OC、OD把平角∠AOB三等分，∴，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，∴，
∴，故A選項不符合題意；
，故B選項不符合題意；
∠AOC與∠AOD、∠FOE、∠BOC都是互為補角，故C選項符合題意；
∠AOE與∠AOC、∠COD、∠BOD都是互為余角，故D選項不符合題意；故選：C
【點睛】此題考查了角平分線的定義，余角與補角的定義，正確掌握角平分線的定義求出各角的度數是解題的關鍵．
2．（2023·浙江·七年級專題練習）如圖所示，B，C是線段上任意兩點，M是的中點，N是的中點，若，，則的長度是（　　）
A． B． C． D．以上都不對
【答案】C
【分析】根據M是的中點，N是的中點，得出，，根據，，得出，求出，根據求出結果即可．
【詳解】解：∵M是的中點，N是的中點，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，∴，故選：C．
【點睛】利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡潔性．同時，靈活運用線段的和、差、倍、分轉化線段之間的數量關系也是十分關鍵的一點．
3．（2023春·山東菏澤·七年級統考期末）如圖，平分，平分，，，（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據角平分線的定義和角的運算求解即可．
【詳解】解：∵平分，平分，，
∴，，∴，
∵，∴，∴．故選：A．
【點睛】本題考查角平分線的定義和角度的運算，熟練掌握與角平分線的有關的角度運算是解答的關鍵．
4．（2023秋·湖北武漢·七年級校聯考期末）如圖，點A，B，C順次在同一直線上，點M是線段的中點，點N是線段的中點．若想求出的長度，那么只需添加條件（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由中點的定義得，從而可得．
【詳解】解：∵點M是線段的中點，點N是線段的中點，
∴，∴，
∴只要已知，即可求出的長度．故選：B．
【點睛】本題考查了線段的中點，注意理解線段的中點的概念．利用中點性質轉化線段之間的倍分關系是解題的關鍵．
5．（2024七年級·廣東·培優）如圖，A，B，C，D四點在同一直線上，是的中點，是線段的中點，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了線段中點的定義，線段的和差計算，熟練掌握線段中點的定義及線段的和差計算是解答本題的關鍵．先求出，再由線段中點的定義，可得，，由此即可求得的長．
【詳解】，，
，
是的中點，是線段的中點，
，，
．
故選C．
6．（2023春·山東泰安·七年級統考期末）如圖，點在直線上，平分，平分，如果，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】結合已知條件可求得的度數，然后將代入計算即可求得答案．
【詳解】解：平分，平分，，，
，
，，，故選：A．
【點睛】本題考查角的計算及角平分線的定義，結合已知條件求得是解題的關鍵．
7．（2023秋·河南駐馬店·七年級統考期末）如圖，已知，以點為頂點作直角，以點為端點作一條射線．通過折疊的方法，使與重合，點落在點處，所在的直線為折痕，若，則（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分線的定義求出即可解決問題．
【詳解】解：平分，，
，，，
，，故選：C．
【點睛】本題考查角的和差定義，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
8．（2023秋·福建泉州·七年級統考期末）在直線上任取一點A，截取，再截取，則的中點與的中點之間的距離為（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】分兩種情況B，在點A同側時，B，在點A兩側時，分別畫出圖形，求出結果即可．
【詳解】解：①B，在點A同側時，如圖所示：
是的中點，是的中點，，，
．
②B，在點A兩側時，如圖，
是的中點，是的中點，，，
．
綜上：與之間距離為或，故C正確．故選：C．
【點睛】本題主要考查了線段中點的計算，解題的關鍵是分類討論，畫出圖形，數形結合．
9．（2023秋·江蘇徐州·七年級校考期末）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點、；第二次操作：分別取線段和的中點，；第三次操作：分別取線段和的中點，；…連續這樣操作2023次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據，分別為的中點，求出的長度，再由的長度求出的長度，找到的規律即可求出的值．
【詳解】解：∵，分別為的中點，
∴，
∵分別為的中點，
∴，
∵分別為的中點，
∴，……
由此可得：，
∴，
故選C．
【點睛】本題考查線段中點的有關計算，有理數的簡便運算，相對較難，根據題意找出規律是解題的關鍵．
10．（2023秋·山西大同·七年級統考期末）在的內部作射線，射線把分成兩個角，分別為和，若或，則稱射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數為（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】根據題意得出或，再根據角之間的數量關系，得出，綜合即可得出答案．
【詳解】解：∵，射線為的三等分線．
∴或，
∴，∴的度數為或．故選：C．
【點睛】本題考查了角度的計算，理解題意，分類討論是解本題的關鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
11．（23-24七年級上·浙江湖州·期末）如圖，兩根木條的長度分別為和，在它們的中點處各打一個小孔M，N（木條的厚度，寬度以及小孔大小均忽略不計）．將這兩根木條的一端重合并放置在同一條直線上，則兩小孔間的距離 ．

【答案】2.5或11.5
【分析】本題主要考查了線段的中點問題，注意兩端重合有2種情況，如圖，設短的木條為，長的木條為，然后分B、C兩點重合與A、C兩點重合兩種情況進一步分析求解即可.
【詳解】如圖，設短的木條為，長的木條為，
則：，，

①當B、C兩點重合時，

此時；
②當A、C兩點重合時，

此時；
綜上所述，的長度為或，
故答案為：2.5或11.5．
12．（2023秋·廣東深圳·七年級統考期末）已知、、三點在同一條直線上，、分別為線段、的中點，且，，則
【答案】8或2
【分析】首先要考慮、、三點在直線上的不同位置：點在線段上或點在線段的延長線上．再根據線段中點的概念進行計算．
【詳解】解：、分別為、的中點，
，，
如圖，點在線段上時，
，
如圖，點在線段的延長線上時，
，故答案為：8或2．
【點睛】本題考查兩點間的距離，正確考慮三點在直線上的不同位置，掌握線段的中點概念是解題的關鍵．
13．（2023春·四川達州·七年級校考階段練習）已知點A、B、C都在直線l上，點C是線段的三等分點，D、E分別為線段中點，直線l上所有線段的長度之和為91，則 ．
【答案】或13
【分析】畫出圖形，分兩種情況討論①；②．設，根據直線l上所有線段的長度之和為91，列方程，先求出x，即可求出的長.
【詳解】①當時，如圖1
設，則，，，
∵直線l上所有線段的長度之和為91
②當時，如圖2,
故答案為：或13
【點睛】本題主要考查了線段的和差，解題的關鍵是要弄清楚直線l上的線段的條數，及要進行分類討論.
14．（2023春·山西太原·七年級校考階段練習）如圖，點A，O，B在同一條直線上，，分別平分和．

請從A，B兩題中任選一題作答，我選擇 題．
A．的度數 ．B．如果，的度數 ．
【答案】 A（或者選B）
【分析】A：根據角平分線的定義得到，，再根據平角的定義，結合代入計算；B：根據角平分線的定義求出，繼而得到，再次利用角平分線求出，最后根據平角的定義求出結果．
【詳解】解：A：∵，分別平分和，
∴，，∴；
B：∵平分，，∴，∴，
∵平分，∴，∴；
故答案為：A（或者選B）；；．
【點睛】本題考查了角平分線的定義，平角，解題的關鍵是利用角平分線和平角得出角的關系．
15．（2023秋·福建福州·七年級校考期末）已知線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長為a，長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，M為的中點，N為的中點，線段的長為b，則線段的長為 （用a，b的式子表示）．
【答案】/
【分析】根據題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段的長度即可．
【詳解】解：∵M為的中點，N為的中點，
∴，．
∵線段和線段在同一直線上，
線段（A在左，B在右）的長為a，
長度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動，
∴分以下5種情況說明：
①當在左側時，如圖1，
即，
，
，
；
②當點D與點A重合時，如圖2，
即
，
；
③當在內部時，如圖3，
即
，
；
④當點C在點B右側時，
同理可得：；
⑤當在右側時，
同理可得：；
綜上所述：線段的長為．
故答案為：．
【點睛】本題考查線段的和差，根據題意畫出對應情況的圖形是解題的關鍵，注意分類討論思想的運用．
16．（2023秋·湖北武漢·七年級統考期末）如圖，點C，D在線段上，P，Q分別是的中點，若，則 ．
【答案】1
【分析】先由線段　中點定義得出，，又因為，利用線段和差即可求得，，代入即可求解．
【詳解】解∶∵，P，Q分別是，的中點，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
故答案為∶1．
【點睛】本題考查線段和差倍分，熟練掌握線段和差倍分的運算是解題的關鍵．
17．（2023秋·廣東梅州·七年級校考階段練習）已知，由定點引一條射線，使得，、分別是和的平分線，則 度．
【答案】或
【分析】分兩種情況討論，當射線在的內部時，當射線在的外部時，根據角平分線的定義得出，結合圖形即可求解．
【詳解】解：分兩種情況討論，當射線在的內部時，如圖所示，
∵，，、分別是和的平分線，
∴ ∴；
當射線在的外部時，如圖所示，
∵，，、分別是和的平分線，
∴∴；
綜上所述，或，故答案為：或．
【點睛】本題考查了結合圖形中角度的計算，角平分線的定義，數形結合，分類討論是解題的關鍵．
18．（2023春·天津濱海新·七年級校考期中）如圖，為直線上一點，，平分，平分，平分，下列結論：；與互補；；．請你把所有正確結論的序號填寫在橫線上 ．

【答案】
【分析】設，則，，由角平分線的定義得出，，，然后再逐項分析即可得到答案．
【詳解】解：設，
，，
，，
平分，平分，平分，
，，，
，故正確，符合題意；
，
度數未知，與不一定互補，故錯誤，不符合題意；
，故正確，符合題意；
，，
，故正確，符合題意；
綜上所述，正確的有：，故答案為：．
【點睛】本題主要考查的是補角和余角的計算，角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．
三、解答題（本大題共7小題，共48分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19.（2024·浙江湖州·七年級統考期末）如圖，已知線段，延長線段至點，使得．點為線段的中點，點為線段的中點．(1)若，求線段的長；(2)若，求的值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先根據，求出，得出，根據中點定義求出，即可得出答案即可；（2）先用a表示出，得出，根據中點定義即可得出，得出，即可得出，求出a的值即可．
【詳解】（1）解：，，，
為的中點，，．
（2）解：，，
為中點，為中點，，，
，，．
【點睛】本題主要考查了線段中點的計算，解一元一次方程，解題的關鍵是熟練掌握線段之間的數量關系．
20．（22-23七年級上·河南南陽·期末）如圖，點是線段上的一點，其中，，是線段的中點，是線段上一點．

(1)若為線段的中點，求的長度；(2)若為線段的一個三等分點，求的長度．
【答案】(1)4(2)3或5
【分析】本題考查了線段中點的性質，線段的和差計算，數形結合，分類討論是解題的關鍵．（1）根據線段中點的性質得出,，結合圖形，即可求解；（2）根據線段中點的性質以及三等分點的性質，分類討論，進而即可求解．
【詳解】（1）解：∵是線段的中點，為線段的中點，
∴,，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵是線段的中點，
∴，
∵為線段的一個三等分點，
∴或，
∴或；
∴的長為或．
21．（2023·山東棗莊·七年級校考期末）（1）如圖1，已知線段，C是線段AB上一點，，M是的中點，N是的中點．求線段的長．
（2）如圖2，已知點O是直線上一點，射線、分別是、的平分線．
①若，求的度數．
②如果把“”條件去掉，那么的度數有變化嗎？請說明理由．
【答案】（1）；（2）①；②不變，理由見解析
【分析】（1）根據線段中點定義可求，的長度，然后根據求解即可；
（2）①先根據角平分線的定義求出，，然后根據鄰補角定義求出，再根據角平分線的定義求出，最后根據求解即可；
②根據角平分線定義可得，，根據鄰補角定義可得，代入計算即可解決問題．
【詳解】解：（1）∵， ，M是的中點，N是的中點，
∴，，∴；
（2）①∵射線是的平分線，，
∴，，又∴，
∵射線是的平分線，∴，∴；
②的度數不變．理由如下：
∵射線、分別是、的平分線，，，
又 ，．
【點睛】本題考查了有關線段中點的計算，有關角平分線的計算，掌握線段中點的定義和角平分線定義是解題的關鍵．
22．（2023秋·湖南永州·七年級統考期末）點為直線上一點，在直線同側任作射線，使得．

(1)如圖一，過點作射線，使為的角平分線，若時，則________，________；(2)如圖二，過點O作射線，當恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分．①若，求的度數（寫出推理過程）；
②若，則的度數是________（直接填空）．
(3)過點作射線，當恰好為的角平分線時，另作射線，使得平分，當時，則的度數是________．（在稿紙上畫圖分析，直接填空）
【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°
【分析】（1）根據求出，利用角平分線的定義得到，再根據進行求解即可；（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出，根據進行求解即可；②同①法，進行計算即可；（3）分在內部和在外部兩種情況，進行討論求解即可．
【詳解】（1）解：∵，，∴，
∵為的角平分線，∴，
∴；故答案為：；
（2）①解：∵，，∴，
又∵為的角平分線，為的角平分線，
∴，，
∴，
②∵，，∴，
又∵為的角平分線，為的角平分線，
∴，，
∴；故答案為：；
（3）①當在內部時，如圖：

∵，平分，∴，
∵，∴，
∵平分，∴，
②當在外部時，如圖：
∵，平分，∴，
∵，∴，
∵平分，∴；
綜上：的度數是或；故答案為：或．
【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的相關計算．解題的關鍵是正確的識圖，理清角之間的和差關系．
23．（2023秋·福建泉州·七年級校考期末）【概念與發現】當點C在線段AB上，時，我們稱n為點C在線段AB上的“點值”，記作．
例如，點C是AB的中點時，即，則；
反之，當時，則有．
因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．
(1)【理解與應用】如圖，點C在線段AB上．若，，則________；若，則________．
(2)【拓展與延伸】已知線段，點P以1cm/s的速度從點A出發，向點B運動．同時，點Q以3cm/s的速度從點B出發，先向點A方向運動，到達點A后立即按原速向點B方向返回．當P，Q其中一點先到達終點時，兩點均停止運動．設運動時間為t（單位：s）．
①小王同學發現，當點Q從點B向點A方向運動時，的值是個定值，求m的值；
②t為何值時，．
【答案】(1)，
(2)①；②1或8
【分析】（1）根據“點值”的定義得出答案；
（2）①設運動時間為，再根據的值是個定值即可求出的值；②分點從點向點方向運動時和點從點向點方向運動兩種情況分析即可．
【詳解】（1）解：，，，，
，，，
∴故答案為：，；
（2）①設運動時間為，則，，
根據“點值”的定義得：，，
的值是個定值，
的值是個定值，；
②當點從點向點方向運動時，
，，；
當點從點向點方向運動時，
，，，的值為1或8．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，理解新定義并能運用是本題的關鍵．
24．（2024·浙江·七年級專題練習）定義：在一個已知角內部，一條線分已知角成兩個新角，其中一個角度數為另個角度數的兩倍，我們把這條線叫做這個已知角的三等分線．
(1)如圖，已知∠AOB＝120°，若OC是∠AOB三等分線，求∠AOC的度數．
(2)點O在線段AB上（不含端點A，B），在直線AB同側作射線OC，OD．設∠AOC＝3t，∠BOD＝5t．
①當OC是∠AOD的三等分線時，求t的值．②當OC是∠BOD的三等分線時，求∠BOD的度數．
【答案】(1)∠AOC的度數為40°或80°；(2)①：t=或；②∠BOD=度
【分析】（1）分兩種情況討論，列式計算即可；（2）①分兩種情況討論，列式計算即可；
②計算得到∠COD=8t-180°，分兩種情況討論，列式計算即可．
【詳解】（1）解： OC是∠AOB的三等分線，當∠AOC=∠AOB時，如圖：
∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=80°；
當∠AOC=∠AOB時，如圖：∵∠AOB=120°，∴∠AOC=∠AOB=40°；
綜上，∠AOC的度數為40°或80°；
（2）解：①∵OC是∠AOD的三等分線，∴OC在∠AOD內，
依題意得：(180°-5t)3=3t或(180°-5t)3×2=3t，解得：t=或；
②∵OC是∠BOD的三等分線，∴OC在∠BOD內，
∵∠BOD+∠AOC=180°-∠COD，∠AOC=3t，∠BOD=5t，∴∠COD=8t-180°，
依題意得：(8t-180°) ×3=5t或(8t-180°)×=5t，解得：t=或；
∴∠BOD=度或度（舍去）．
【點睛】本題考查了角的計算，解決問題的關鍵是掌握角的三等分線的定義，解題時注意分類思想的運用，分類時不能重復，也不能遺漏．
25．（23-24七年級上·浙江臺州·期末）下列各題中，是的三等分線，是的三等分線，且，．
(1)如圖1，若點A，O，B在一條直線上，則______；
(2)如圖2，若點A，O，B不在一條直線上，且，求的度數；
(3)如圖3，若在的內部，則______．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本題考查角的n等分線，角的和與差，利用數形結合的思想是解題關鍵．
（1）根據題意可知，，再根據求解即可；
（2）由（1）同理可知，即可求解；
（3）由（1）同理可知，，再根據即可求解．
【詳解】（1）解：∵是的三等分線，是的三等分線，且，，∴，，
∴．故答案為：；
（2）解：由（1）可知；
（3）解：∵是的三等分線，是的三等分線，且，，
∴，，
∴，
∴．故答案為：．
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