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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
專題6.8.余角和補角
1、掌握互為余角和互為補角的概念及性質；
2、會用余角、補角性質進行有關計算；
3、掌握方位角的相關概念及計算。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.求一個角的余角 2
考點2.求一個角的補角 3
考點3.與余角、補角有關的計算 4
考點4.同（等）角的余（補）角相等的應用 5
考點5.鄰補角的定義理解 6
考點6.利用鄰補角互補求角度 8
考點7.方位角的表示 9
考點8.方位角中的角度計算 11
模塊3：能力培優 13
1.余角、補角
（1）余角：如果兩個銳角的和為直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余。
即∠1+∠2＝90°， 則∠1與∠2互為余角。也可以說一個角是另一個角的余角。
（2）補角：如果兩個角的和為平角，則這兩個角互為補角，簡稱互補。
若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補角。也可以說一個角是另一個角的補角。
（3）性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。
注意：①余角(或補角)是兩個角的關系，是成對出現的，單獨一個角不能稱其為余角（或補角）。
②一個角的余角（或補角）可以不止一個，但是它們的度數是相同的.
③只考慮數量關系，與位置無關．
④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”．
2.方位角：以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的。所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南。二要確定其旋轉方向是向東還是向西。三要確定旋轉角度的大小。
（2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛.
考點1.求一個角的余角
1．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知，與互余，則 ．
2．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）若，則的余角等于 °．
3．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）已知，則的余角的度數為 ．
考點2.求一個角的補角
1．（24-25九年級上·云南文山·期中）如圖，，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年級·廣東清遠·期中）圖中，的補角是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·廣東中山·模擬預測）已知，則的補角為（ ）
A． B． C． D．
考點3.與余角、補角有關的計算
1．（24-25七年級上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知直線與相交于點O，、分別是、的平分線．(1)的補角是_____；(2)若，求和的度數；
2．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）與互余，與互補，，那么 ．
3．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）已知點O為直線上一點，，在內部作射線，且恰好平分．(1)若，求的度數；(2)若，求的度數．
考點4.同（等）角的余（補）角相等的應用
1．（23-24七年級上·甘肅平涼·期末）若，，則與的關系是（ ）
A．互補 B．互余 C．相等 D．無法確定
2．（23-24七年級·云南昭通·期末）將一副三角板分別按圖中位置擺放，下列說法正確的是（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·福建廈門·七年級統考期末）下列推理錯誤的是（ ）
A．因為，所以 B．因為，所以
C．因為，所以 D．因為，所以
考點5.鄰補角的定義理解
1．（2023·黑龍江綏化·七年級統考期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（ ）

A．4對 B．5對 C．6對 D．8對
2．（2023春·河北承德·七年級統考期末）下列四個選項中，與互為鄰補角的是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023秋·福建福州·七年級統考期末）如圖，直線AB、MN相交于一點O，，則∠COM的鄰補角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
考點6.利用鄰補角互補求角度
1．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，已知點M，O，N在同一條直線上，，則 ．
2．（2023·上海嘉定·七年級校考期末）如圖，已知直線、相交于點O，平分，，那么的度數是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·福建龍巖·七年級校考階段練習）如圖，直線和交于點O，．，則的度數為 ．

考點7.方位角的表示
1．（2023秋·黑龍江綏化·七年級校考階段練習）如圖，山東省在北京市的（ ）.

A．西偏南方向 B．東偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向
2．（2023秋·浙江寧波·七年級統考開學考試）在一次臺球比賽中，運動員需要把臺球A向 （填方向） 撞擊B球，使B被擊進袋中．

3．（2023秋·廣東肇慶·七年級校考開學考試）如圖是小紅家附近的平面示意圖．

(1)火車站位于體育場的________面________m處，百貨大樓位于少年宮的________偏________，________方向________m處．
(2)從汽車站去百貨大樓，要先往________方向走________m到少年宮，再往________偏________，________°方向走________m到百貨大樓．
(3)小兵家位于火車站的西偏北方向600m處，請在圖中標出來．
考點8.方位角中的角度計算
1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）甲從點出發，沿北偏西走了米到達點，乙從點出發，沿南偏東方向走了米到達點，則為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西臨汾·七年級統考期末）如圖，甲從點出發向北偏東方向走至點，乙從點出發向南偏西方向走至，則的度數是( )

A． B． C． D．
3．（2024上海楊浦·七年級校考期末）從世博地圖可知，亞洲聯合館（A 點）在中國國家館（O 點）的北偏東，太平洋聯合館（B點）在中國國家館的北偏西，則等于（ ）
A． B． C． D．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·浙江·課后作業）如圖，為直角，是的平分線，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）如圖，用量角器度量幾個角的度數，下列結論正確的有（ ）
①；②與互補；③；④是的余角；⑤平分．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．（24-25七年級上·浙江·課后作業）已知，，若，則與的關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
4．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）如圖，一副三角尺的直角頂點O重合在一起，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·福建泉州·七年級校考期中）下列圖形中，與是鄰補角的是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24七年級下·四川達州·階段練習）若和互補，與互補，若，則（ ）
A．28° B．68° C．118° D．90°
7．（23-24六年級下·山東威海·期末）將一副三角板如圖擺放，則與互為補角的是( )
A． B． C． D．
8．（22-23七年級·山西呂梁·期中）如圖，已知，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24七年級上·福建廈門·期末）下列推理正確的是（ ）
A． B．
C．， D．與互余，與互余與互余
10．（23-24七年級·河北保定·期中）如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（題中所有角均指小于的角）．給出下列結論：①；②；③．其中結論一定正確的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（24-25七年級上·浙江·期末）如圖，將三個大小不同的正方形的一個頂點重合放置，則三個角的數量關系為（　　）
A． B． C． D．
12．（2023秋·山東菏澤·七年級校考期末）如圖，小明從A處沿南偏西方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西方向行走至點E處，則∠ABE＝（　　）
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）若的余角為，則的補角的大小是 ．
14．（24-25七年級上·浙江·課后作業）若，則與的關系是 ．
15．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）一位同學利用如圖所示的量角器、采用如圖1所示的方法測量銳角的度數，其中量角器有兩條刻度線分別在射線、上、則的度數為 ，另外一位同學用同樣的方法，測量的余角的度數，如圖2所示，已知射線所指示的度數為，則射線所指示的度數為 ．
16．（23-24七年級下·河北石家莊·開學考試）如圖所示，已知，并給出下列說法：；與互補；的余角只有；⑤若則，其中一定正確的是 ．（填序號）
17．（22-23七年級上·廣東梅州·階段練習）如圖，把一個三角板繞點旋轉一定的角度，若，則 ，你的理由是 ．
18．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，，則圖中三個角的數量關系是 ．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，直線與相交于點O，射線分別是的平分線．(1)請寫出的所有余角；(2)請寫出的所有補角．
20．（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖1，和都是直角．

(1)如果，求的度數；
(2)當變小時，則的度數______（填“變大”、“不變”或“變小”）；
(3)在圖2中利用能夠畫直角的工具畫一個與相等的角．
21．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，平分．
(1)比較和的大小，并說明理由；(2)若平分，求的度數．
22．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖，平分，平分，如果與互余，那么與有什么數量關系？請判斷并說明理由．
小剛的解答過程如下：
與的數量關系是①_____．
理由：因為平分，平分，
所以，②_____，
所以．……
(1)小剛解答過程中的①應填的內容是_____；②應填的內容是_____．(2)將小剛后續的解題過程補充完整．
23．（23-24七年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，已知，與互余，平分．(1)在圖1中，若，則_________，_________；
(2)在圖2中，設，請探究α與β之間的數量關系．
24．（2024七年級上·浙江·專題練習）已知O為直線上的一點，．
(1)如圖①，以O為觀察中心，射線表示正北方向，表示正東方向．
①若，則射線的方向是_________；
②與的關系為_________；
③與的關系為_________．
(2)若將射線、射線繞點O旋轉至如圖②所示的位置，另一條射線恰好平分．若，求的度數；
(3)若將射線、射線繞點O旋轉至如圖③所示的位置，射線仍然平分與之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．
25．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）已知正方形的每個角都等于，請解決下列問題：
(1)如圖1所示，將兩個正方形的一個頂點重合放置，若，則_______度．
(2)如圖2所示，將三個正方形的一個頂點重合放置，若，，求的度數．
(3)如圖3所示，將三個正方形的一個頂點重合放置，若平分，則平分嗎？為什么？
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專題6.8.余角和補角
1、掌握互為余角和互為補角的概念及性質；
2、會用余角、補角性質進行有關計算；
3、掌握方位角的相關概念及計算。
模塊1：知識梳理 2
模塊2：核心考點 3
考點1.求一個角的余角 2
考點2.求一個角的補角 3
考點3.與余角、補角有關的計算 4
考點4.同（等）角的余（補）角相等的應用 5
考點5.鄰補角的定義理解 6
考點6.利用鄰補角互補求角度 8
考點7.方位角的表示 9
考點8.方位角中的角度計算 11
模塊3：能力培優 9
1.余角、補角
（1）余角：如果兩個銳角的和為直角，我們就說這兩個角互為余角，簡稱互余。
即∠1+∠2＝90°， 則∠1與∠2互為余角。也可以說一個角是另一個角的余角。
（2）補角：如果兩個角的和為平角，則這兩個角互為補角，簡稱互補。
若∠1+∠2＝180°，則∠1與∠2互為補角。也可以說一個角是另一個角的補角。
（3）性質：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。
注意：①余角(或補角)是兩個角的關系，是成對出現的，單獨一個角不能稱其為余角（或補角）。
②一個角的余角（或補角）可以不止一個，但是它們的度數是相同的.
③只考慮數量關系，與位置無關．
④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”．
2.方位角：以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.
（1）方位角還可以看成是將正北或正南的射線旋轉一定角度而形成的。所以在應用中一要確定其始邊是正北還是正南。二要確定其旋轉方向是向東還是向西。三要確定旋轉角度的大小。
（2）北偏東45 °通常叫做東北方向，北偏西45 °通常叫做西北方向，南偏東45 °通常叫做東南方向，南偏西45 °通常叫做西南方向.
（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應用十分廣泛.
考點1.求一個角的余角
1．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）已知，與互余，則 ．
【答案】
【分析】本題考查求一個角的余角，根據互余兩角的度數之和為90度，進行求解即可．
【詳解】解：．故答案為：．
2．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）若，則的余角等于 °．
【答案】
【分析】此題考查了余角和補角的知識，解決本題的關鍵是掌握如果兩個角的和是一個直角，那么稱這兩個角互為余角．利用余角的概念求解即可．
【詳解】解：的余角．故答案為：．
3．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）已知，則的余角的度數為 ．
【答案】/度
【分析】本題考查了求一個角的余角，根據互余的兩個角的和為，計算即可得出答案．
【詳解】解：∵，∴的余角的度數為，故答案為：．
考點2.求一個角的補角
1．（24-25九年級上·云南文山·期中）如圖，，則的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查求角的度數，根據平角的定義，求出的大小即可．
【詳解】解：∵，∴；故選：C．
2．（23-24七年級·廣東清遠·期中）圖中，的補角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了補角的定義，如果兩個角的度數和為，那么這兩個角叫做互為補角，簡稱互補，其中一個角稱為另一個角的補角．據此求解即可．
【詳解】解：根據平角的意義知：,∴的補角是，故選：B．
3．（2024·廣東中山·模擬預測）已知，則的補角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了求一個角的補角，理解補角的定義是解題的關鍵．根據補角的定義（若兩角之和為，則稱這兩個角“互為補角”）求解即可．
【詳解】解：∵，∴補角為：，故選：D．
考點3.與余角、補角有關的計算
1．（24-25七年級上·黑龍江大慶·階段練習）如圖，已知直線與相交于點O，、分別是、的平分線．
(1)的補角是_____；(2)若，求和的度數；
【答案】(1)或(2)，
【分析】本題考查余角與補，角度的計算，是基礎題，熟記性質并準確識圖，找出圖中各角之間的關系是解題的關鍵．（1）根據角平分線的定義可得再根據補角的定義結合圖形找出即可；
（2）根據角平分線的定義計算即可求出，然后根據補角的和等于列式計算即可求出，先求出，再根據角平分線的定義解答．
【詳解】（1）解：∵是的平分線，∴，
又∵，，
∴∴的補角是或；
（2）∵是的平分線，，
∴，∴，
∵，∴，
∵是的平分線，∴．
36．（23-24七年級下·河南鄭州·期中）與互余，與互補，，那么 ．
【答案】/153度
【分析】本題考查了余角與補角的定義．熟練掌握互為余角的和等于90°，互為補角的和等于180°是解題的關鍵．
根據互為余角的和等于90°先求出∠2的度數，再根據互為補角的和等于180°即可求出∠3的度數．
【詳解】∵與互余， ，∴，
∵與互補，∴．故答案為：．
3．（23-24七年級上·山東濟寧·期末）已知點O為直線上一點，，在內部作射線，且恰好平分．(1)若，求的度數；(2)若，求的度數．
【答案】(1)(2)
【分析】本題考查角平分線的意義、互補、互余的意義，正確表示各個角，理清各個角之間的關系是得出正確結論的關鍵．（1）先根據余角的定義求出，再根據角平分線的定義求出，然后根據計算即可；（2）根據角的倍分關系以及角平分線的定義即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：
，，
平分，，；
（2）解：，平分，，
，，，
，．
考點4.同（等）角的余（補）角相等的應用
1．（23-24七年級上·甘肅平涼·期末）若，，則與的關系是（ ）
A．互補 B．互余 C．相等 D．無法確定
【答案】C
【分析】根據同角的補角相等的性質即可求解．
【詳解】解：∵，，∴，故選：C．
【點睛】本題考查補角的性質：同角或等角的補角相等．掌握補角的性質是解題的關鍵．
2．（23-24七年級·云南昭通·期末）將一副三角板分別按圖中位置擺放，下列說法正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角的余角相等解題即可．
【詳解】如圖，∵，∴，故選A．

【點睛】本題考查余角的性質，掌握同角或等角的余角相等是解題的關鍵．
3．（2023·福建廈門·七年級統考期末）下列推理錯誤的是（ ）
A．因為，所以
B．因為，所以
C．因為，所以
D．因為，所以
【答案】A
【分析】根據余角、補角的性質，利用等量代換思想逐項分析即可得出答案．
【詳解】解：與不一定相等，根據，不能推出，故A選項推理錯誤，符合題意；，通過等量代換可得，故B選項推理正確，不合題意；
，通過等量代換可得，故C選項推理正確，不合題意；
，根據等角的余角相等可得，故D選項推理正確，不合題意；故選A．
【點睛】本題考查余角、補角，掌握等量代換思想是解題的關鍵．
考點5.鄰補角的定義理解
1．（2023·黑龍江綏化·七年級統考期末）如圖，圖中鄰補角有幾對（ ）

A．4對 B．5對 C．6對 D．8對
【答案】D
【分析】根據鄰補角的概念判斷即可．
【詳解】解：與，與，與，與，與，與，與，與是鄰補角，共8對，故選：D．
【點睛】本題考查的是鄰補角的概念，只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，稱為互為鄰補角．
2．（2023春·河北承德·七年級統考期末）下列四個選項中，與互為鄰補角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角，由此即可判斷．
【詳解】解：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角，只有選項A中的與互為鄰補角．故選：A．
【點睛】本題考查鄰補角，關鍵是掌握鄰補角的定義．
3.（2023秋·福建福州·七年級統考期末）如圖，直線AB、MN相交于一點O，，則∠COM的鄰補角是（ ）
A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB
【答案】C
【分析】相鄰且互補的兩個角互為鄰補角
【詳解】解：∠COM與∠NOC相鄰且互補，所以互為鄰補角. 故選：C
【點睛】熟記鄰補角的定義是解題的關鍵.
考點6.利用鄰補角互補求角度
1．（23-24七年級上·江西贛州·期末）如圖，已知點M，O，N在同一條直線上，，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了利用鄰補角求度數，根據即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，故答案為：．
2．（2023·上海嘉定·七年級校考期末）如圖，已知直線、相交于點O，平分，，那么的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據角平分線的定義求出，再根據鄰補角之和為計算，得到答案．
【詳解】解：∵平分，，∴，
∴，故選：B．
【點睛】本題考查的是鄰補角、角平分線的定義，熟記鄰補角之和為是解題的關鍵．
3.（2023·福建龍巖·七年級校考階段練習）如圖，直線和交于點O，．，則的度數為 ．

【答案】/55度
【分析】先運用鄰補角的定義求得的度數，再利用即可求出的度數．
【詳解】解：∵，∴，
∵，∴．故答案為：．
【點睛】本題主要考查的是角的運算問題，鄰補角等，數形結合是解題的關鍵．
考點7.方位角的表示
1．（2023秋·黑龍江綏化·七年級校考階段練習）如圖，山東省在北京市的（ ）.

A．西偏南方向 B．東偏南方向 C．西偏北方向 D．北偏西方向
【答案】B
【分析】根據方位的表示和定義判斷；
【詳解】解：由圖，山東省在北京市的東偏南方向；故選：B
【點睛】本題考查方位的表示，理解平面內方位的表示方法是解題的關鍵．
2．（2023秋·浙江寧波·七年級統考開學考試）在一次臺球比賽中，運動員需要把臺球A向 （填方向） 撞擊B球，使B被擊進袋中．

【答案】 南偏西
【分析】根據方向角即可求解．
【詳解】解：運動員需要把臺球A向南偏西撞擊B球，使B被擊進袋中，故答案為：南偏西；．
【點睛】本題考查了方向角，熟練掌握其基礎知識是解題的關鍵．
3．（2023秋·廣東肇慶·七年級校考開學考試）如圖是小紅家附近的平面示意圖．

(1)火車站位于體育場的________面________m處，百貨大樓位于少年宮的________偏________，________方向________m處．
(2)從汽車站去百貨大樓，要先往________方向走________m到少年宮，再往________偏________，________°方向走________m到百貨大樓．
(3)小兵家位于火車站的西偏北方向600m處，請在圖中標出來．
【答案】(1)正東，1200，西，南，45，750(2)正東，900，西，南，45，750(3)見解析
【分析】（1）根據上北下南左西右東的圖上方向，結合題干中給出的角度和距離，結合題意分析解答即可；（2）根據上北下南左西右東的圖上方向，結合題干中給出的角度和距離，結合題意分析解答即可；（3）根據上北下南左西右東的圖上方向，結合題干中給出的角度和距離，結合題意分析解答即可．
【詳解】（1）火車站位于體育場的正東面1200m處，百貨大樓位于少年宮的西偏南方向750m處．故答案為：正東，1200，西，南，45，750；
（2）從汽車站去百貨大樓，要先往正東方向走900m到少年宮，再往西偏南方向走750m到百貨大樓，故答案為：正東，900，西，南，45，750；
（3）（厘米），小兵家如圖：

【點睛】本題考查了方向與位置知識，結合題意分析解答即可．
考點8.方位角中的角度計算
1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·七年級校考階段練習）甲從點出發，沿北偏西走了米到達點，乙從點出發，沿南偏東方向走了米到達點，則為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據方位角的概念即可求解．
【詳解】解：如圖所示，

甲從點出發，沿北偏西走了米到達點，乙從點出發，沿南偏東方向走了米到達點，，，
．故選：C．
【點睛】本題考查的是方向角，根據方向角的概念正確畫出圖形是解答此題的關鍵．
2．（2024·山西臨汾·七年級統考期末）如圖，甲從點出發向北偏東方向走至點，乙從點出發向南偏西方向走至，則的度數是( )

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據，即可求解．
【詳解】根據題意，，故選：D．
【點睛】本題考查了方位角的計算，熟練掌握方位角的表示方法是解題的關鍵．
3．（2024上海楊浦·七年級校考期末）從世博地圖可知，亞洲聯合館（A 點）在中國國家館（O 點）的北偏東，太平洋聯合館（B點）在中國國家館的北偏西，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意畫出草圖，根據圖形計算即可
【詳解】解：由題意得出圖形：

所以，故選：B．
【點睛】此題考查的知識點是方向角，關鍵是根據題意準確畫出圖形，根據圖形求角的度數．
全卷共25題 測試時間：70分鐘 試卷滿分：120分
一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（23-24七年級上·浙江·課后作業）如圖，為直角，是的平分線，且，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查了角的有關計算與角平分線的定義．結合已知條件與角平分線的定義解題即可．
【詳解】解：∵為直角，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∴
故選：B．
2．（23-24七年級上·山東濟寧·期中）如圖，用量角器度量幾個角的度數，下列結論正確的有（ ）
①；②與互補；③；④是的余角；⑤平分．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【分析】本題主要考查了余角和補角，角的度量，量角器的使用方法，正確使用量角器是解題的關鍵．由圖形，根據角的度量和互余、互補的定義求解即可．
【詳解】解：①，故①錯誤；
②，，，它們互補，故②正確；
③，，它們的大小不相等，故③錯誤；
④，，，是的余角，故④正確；
⑤，，，不平分，故⑤錯誤；
綜上分析可知，正確的有2個．
故選：B．
3．（24-25七年級上·浙江·課后作業）已知，，若，則與的關系是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】B
【分析】此題考查了等角的補角相等，根據等角的補角相等求解即可．
【詳解】解：∵，，
∴
∵
∴．
故選：B．
4．（23-24七年級上·陜西西安·階段練習）如圖，一副三角尺的直角頂點O重合在一起，若，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此題考查了角的數量關系，理清圖中的角的和差關系，并結合方程求解是解題的關鍵．根據同角的余角相等可以證明，由題意設，則，結合圖形列方程即可求解．
【詳解】解：∵ ，
∴，
∴，
設，則，
∴，
∴，
∴，
解得：，
故選B．
5．（2023春·福建泉州·七年級校考期中）下列圖形中，與是鄰補角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】鄰補角是指兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，叫做鄰補角，且兩個角的和為，由此即可求解．
【詳解】解：、不是鄰補角，原選項不符合題意；、是對頂角，原選項不符合題意；
、是鄰補角，原選項符合題意；、不是鄰補角，原選項不符合題意；故選：．
【點睛】本題主要考查鄰補角的概念及識別，理解并掌握其概念，圖形結合分析是解題的關鍵．
6．（23-24七年級下·四川達州·階段練習）若和互補，與互補，若，則（ ）
A．28° B．68° C．118° D．90°
【答案】B
【分析】由同角的補角相等即可求解．
【詳解】解：∵和互補，與互補
∴同為的補角
∵同角的補角相等
∴
故選：B
【點睛】本題考查同角的補角相等．熟記結論即可．
7．（23-24六年級下·山東威海·期末）將一副三角板如圖擺放，則與互為補角的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據各選項中與的位置，結合互補的定義判斷即可．
【詳解】解：A、由圖可知與相等，則與不互補，故本選項不符合題意；
B、由平角的定義可知，，則，即與互余，故本選項不符合題意；
C、由圖可知，，，則，故本選項不符合題意；
D、由圖可知，，則，故與互為補角，本選項符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了補角的定義，觀察圖形從中找到與存在的數量關系是解題的關鍵．
8．（22-23七年級·山西呂梁·期中）如圖，已知，，，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據可得，根據同角的余角相等可得．
【詳解】解：，
，
，
，
故選：D．
【點睛】本題考查余角的有關計算，解題的關鍵是掌握同角或等角的余角相等．
9．（23-24七年級上·福建廈門·期末）下列推理正確的是（ ）
A． B．
C．， D．與互余，與互余與互余
【答案】C
【分析】根據題意逐項推理判斷即可．
【詳解】解：A、當，，時，，但，，故A選項錯誤；
B、當，，時，，但，，故B選項錯誤；
C、∵，又∵，
由等式的基本性質可知，，∴，故C選項正確；
D、與互余，與互余∴，，
∴，故D選項錯誤；故選：C．
【點睛】本題考查同角的余角相等，及等式的基本性質，熟練的運用等式的基本性質將等式變形是解決問題的關鍵．
10．（23-24七年級·河北保定·期中）如圖，在同一平面內，，，點為反向延長線上一點（題中所有角均指小于的角）．給出下列結論：①；②；③．其中結論一定正確的是（ ）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】由根據等角的余角相等得到，而，即可判斷①正確；由，而，即可判斷②正確；由，而，即可判斷③不正確．
【詳解】解：∵，
∴，
而，
∴，所以①正確；
，所以②正確；
，而，所以③不正確；
故選：A．
【點睛】本題考查了余角和補角，角度的計算，余角的性質，準確識圖是解題的關鍵．
11．（24-25七年級上·浙江·期末）如圖，將三個大小不同的正方形的一個頂點重合放置，則三個角的數量關系為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了余角的計算，正確理解這一關系是解決本題的關鍵．
根據，即可求得，，代入，從而求解．
【詳解】解：如圖：
∵三個大小相同的正方形，∴，∴，，
∴，即，故選：C．
12．（2023秋·山東菏澤·七年級校考期末）如圖，小明從A處沿南偏西方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西方向行走至點E處，則∠ABE＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根據方位角以及平行線的性質可得∠2=∠3=、∠1=，則∠ABE＝∠1+∠2，最后計算即可．
【詳解】解：如圖：
∵小明從A處沿南偏西方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西方向行走至點E處
∴∠2=∠3=，∠1=∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案為D．
【點睛】本題考查了方位角和角的運用，正確認識方位角成為解答本題的關鍵．
二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）
13．（24-25七年級上·河北石家莊·期中）若的余角為，則的補角的大小是 ．
【答案】
【分析】本題考查了角的補角和余角，熟練掌握角的補角和余角是解題的關鍵；
先計算出的度數，從平角為互補角的和，從而解得．
【詳解】解：的余角為，，
的補角為，故答案為：．
14．（24-25七年級上·浙江·課后作業）若，則與的關系是 ．
【答案】互余
【分析】本題考查余角的定義，求出，根據和為的兩個角互為余角即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴與互余．
故答案為：互余
15．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）一位同學利用如圖所示的量角器、采用如圖1所示的方法測量銳角的度數，其中量角器有兩條刻度線分別在射線、上、則的度數為 ，另外一位同學用同樣的方法，測量的余角的度數，如圖2所示，已知射線所指示的度數為，則射線所指示的度數為 ．
【答案】 /50度 或
【分析】本題考查了量角器中的角度計算，互余等知識．明確角度之間的數量關系是解題的關鍵．
根據圖1可得，射線所對的數字為、所對的數字為，即可求出的度數，從而得出的余角的度數，再根據射線所指示的度數為，即可求解．
【詳解】解：根據圖1可得，射線所對的數字為、所對的數字為，
∴，
則的余角的度數為，
根據圖2可得，射線所指示的度數為，
∴射線所指示的度數為，射線所指示的度數為，
故答案為：或．
16．（23-24七年級下·河北石家莊·開學考試）如圖所示，已知，并給出下列說法：；與互補；的余角只有；⑤若則，其中一定正確的是 ．（填序號）
【答案】②③⑤
【分析】根據余角的定義、角的計算和角平分線性質，對五個結論逐一計算即可．本題考查了角的計算，余角的定義和角平分線定義，解題的關鍵是對角平分線的理解和掌握．
【詳解】解：如圖：
∵，
∴
∴
故是正確的；
∵
∴
則
故是正確的；
∵，
∴
∵
∴
∴
故⑤是正確的；
∵
∴的余角有、
故是錯誤的；
但無法得出
故是錯誤的；
故答案為：②③⑤
17．（22-23七年級上·廣東梅州·階段練習）如圖，把一個三角板繞點旋轉一定的角度，若，則 ，你的理由是 ．
【答案】 /度 同角的余角相等
【分析】根據題意可得，由此可利用同角的余角相等得到．
【詳解】解：由三角板中角度的特點可知，
∴（同角的余角相等），
∵，
∴，
故答案為：，同角的余角相等．
【點睛】本題主要考查了同角的余角相等，正確理解題意是解題的關鍵．
18．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，，則圖中三個角的數量關系是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查了余角．解決問題的關鍵是熟練掌握余角定義和同角的余角相等．余角定義：如果兩個角的和等于90°，那么這兩個角叫做互為余角．
由，得到，即得．
【詳解】∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
三、解答題（本大題共7小題，共66分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
19．（24-25七年級上·浙江·課后作業）如圖，直線與相交于點O，射線分別是的平分線．
(1)請寫出的所有余角；
(2)請寫出的所有補角．
【答案】(1)與
(2)與
【分析】本題考查了角平分線、補角、垂線的定義以及角的計算．
（1）根據互余的定義確定的余角；
（2）根據互補的定義確定的補角．
【詳解】（1）解：∵是平分線，
∴，
∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的余角為與；
（2）解：∵是的平分線，
∴，
∵，
∴，，
∴的補角為與．
20．（23-24七年級上·四川成都·期末）如圖1，和都是直角．

(1)如果，求的度數；
(2)當變小時，則的度數______（填“變大”、“不變”或“變小”）；
(3)在圖2中利用能夠畫直角的工具畫一個與相等的角．
【答案】(1)
(2)變大
(3)見解析
【分析】（1）根據直角的定義得到，由此可得，則；
（2）仿照（1）的求解方法求出即可得到結論；
（3）根據同角的余角相等仿照圖（1）畫圖即可．
【詳解】（1）解：∵和都是直角，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是直角，
∴，
∴，
∴，
∴當變小時，則的度數變大，
故答案為：變大；
（3）解：如圖2所示：．

【點睛】本題主要考查了幾何圖形中角度的計算，同角的余角相等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．
21．（2024七年級上·浙江·專題練習）如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，平分．
(1)比較和的大小，并說明理由；
(2)若平分，求的度數．
【答案】(1)；理由見解析
(2)
【分析】本題主要考查了角的比較大小和角平分線的性質，解一元一次方程，解決此題的關鍵是熟練運用角平分線的性質及角的和差列出方程式．
（1）先說明，再說明，從而得出，再根據，即可得到；
（2）設，則，，列方程即可求得．
【詳解】（1）解：；理由如下：
，
，
平分，
，
，
，
．
（2）解：設，
平分，
，
，
，
平分，
，
，
，
．
22．（24-25七年級上·河北邢臺·期中）如圖，平分，平分，如果與互余，那么與有什么數量關系？請判斷并說明理由．
小剛的解答過程如下：
與的數量關系是①_____．
理由：因為平分，平分，
所以，②_____，
所以．
……
(1)小剛解答過程中的①應填的內容是_____；②應填的內容是_____．
(2)將小剛后續的解題過程補充完整．
【答案】(1)互補；；
(2)見解析．
【分析】此題考查了角平分線有關計算，熟記角平線定義，余角和補角定義，是解題的關鍵．
（1）根據角平分線定義解答；
（2）根據余角和補角的定義求解即可．
【詳解】（1）解：與的數量關系是互補．
理由：因為平分，平分，
所以，，
所以，
因為與互余，
所以，
所以，
所以與互補．
故答案為：互補；；
（2）解：因為與互余，
所以，
所以，
所以與互補．
23．（23-24七年級上·遼寧撫順·階段練習）如圖，已知，與互余，平分．
(1)在圖1中，若，則_________，_________；
(2)在圖2中，設，請探究α與β之間的數量關系．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本題考查了角的計算，余角和補角，角平分線的定義，根據題目的已知條件并結合圖形進行分析是解題的關鍵．
（1）根據余角的定義可得：，從而可得，然后利用角平分線的定義可得，從而利用角的和差關系進行計算即可解答；
（2）利用（1）的解題思路進行計算，即可解答．
【詳解】（1）∵與互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案為：；；
（2），
理由：∵與互余，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
24．（2024七年級上·浙江·專題練習）已知O為直線上的一點，．
(1)如圖①，以O為觀察中心，射線表示正北方向，表示正東方向．
①若，則射線的方向是_________；
②與的關系為_________；
③與的關系為_________．
(2)若將射線、射線繞點O旋轉至如圖②所示的位置，另一條射線恰好平分．若，求的度數；
(3)若將射線、射線繞點O旋轉至如圖③所示的位置，射線仍然平分與之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．
【答案】(1)①北偏東；②相等；③互補
(2)
(3)，理由見解析
【分析】本題主要考查了方向角的定義，以及角平分線的定義，余角與補角的性質，對定義的熟練掌握是解題關鍵．
（1）①根據方向角的定義即可求解；
②根據同角的余角相等即可得出結論；
③先根據同角的余角相等得出，再根據兩角互補的定義即可得出結果；
（2）①根據同角的余角可知，又根據角平分線的定義可得，兩式相減即可得出結果；
（3）根據角的和差，以及角平分線的定義即可求解．
【詳解】（1）解：①∵，
∴射線的方向是北偏東；
②∵由題意知，，
∴；
③由題意知，，
∴，
又，
∴．
即與的關系為互補．
故答案為：①北偏東；②相等；③互補；
（2）由題意知，，
∴．
∵恰好平分，
∴，
∴，
∴．
（3），理由如下：
∵為的平分線，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
25．（23-24七年級上·廣東汕頭·期末）已知正方形的每個角都等于，請解決下列問題：
(1)如圖1所示，將兩個正方形的一個頂點重合放置，若，則_______度．
(2)如圖2所示，將三個正方形的一個頂點重合放置，若，，求的度數．
(3)如圖3所示，將三個正方形的一個頂點重合放置，若平分，則平分嗎？為什么？
【答案】(1)
(2)
(3)平分，理由見解析
【分析】（1）根據正方形各角等于，得出，再根據，，即可得出答案；
（2）結合圖形可得，再利用即可求出的度數；
（3）根據和等角的余角相等得出，，再根據角平分線的性質得出，從而得出答案．
【詳解】（1）解：∵正方形的每個角都等于，
∴，，
∴，
∵，
∴。
故答案為：；
（2）∵正方形的每個角都等于，
∴，
∵，，
∴。
∴的度數為；
（3）平分，理由如下：
∵正方形的每個角都等于，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分。
【點睛】本題考查角的計算，余角，角平分線的性質．根據所給出的圖形，找到角與角的關系是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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